Fondamenti matematici della fisica macroscopica
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A Camillo Lo Surdo Fondamenti matematici della fisica macroscopica: un percorso geometrico Tomo I Copyright © MMXIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, /A–B Roma () ---- (tomo I) ---- (opera completa) I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: marzo «A quelli che non conoscono la matematica è difficile farsi un’idea precisa della bellezza, la profonda bellezza, della natura.» R. Feynman (1967) «Non esiste matematica senza lacrime.» (folclore) 2 INDICE 0.0 PRESENTAZIONE 17 0.0.1 CONSIDERAZIONI GENERALI E PIANO DI LAVORO 0.0.2 I CONTENUTI CAPITOLO PER CAPITOLO: SINTESI E COMMENTI 0.0.3 “ISTRUZIONI PER L’USO” 17 26 35 0.1 39 INTRODUZIONE: ALCUNE RIFLESSIONI SULLE TEORIE FISICO-MATEMATICHE 0.1.1 PREMESSA 0.1.2 RAGIONAMENTO ASSIOMATICO-DEDUTTIVO VS. RAGIONAMENTO INDUTTIVO 0.1.3 MATEMATICA SIGNIFICANTE VS. MATEMATICA NON SIGNIFICANTE 0.1.4 SCIENZE MATEMATIZZABILI VS. SCIENZE NON MATEMATIZZABILI, E ALTRI COMMENTI 39 42 48 56 PARTE PRIMA GEOMETRIA EUCLIDEA E PSEUDOEUCLIDEA CAP.1 LA GEOMETRIA EUCLIDEA 1.1 LA GEOMETRIA COME PROTOTIPO DI TEORIA FISICO-MATEMATICA 63 63 1.1.1 GENERALITÀ E INQUADRAMENTO STORICO 1.1.2 GEOMETRIA EUCLIDEA SINTETICA E ANALITICA 63 71 1.2 UNA FORMALIZZAZIONE METRICA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA 77 1.2.1 INTRODUZIONE 1.2.2 I PRIMI NOVE ASSIOMI E LA GEOMETRIA “SPECIALE” DELLA RETTA 1.2.3 I SUCCESSIVI OTTO ASSIOMI E LE GEOMETRIE DIADICHE DEL PIANO E DELLO SPAZIO 1.2.4 GLI ULTIMI DUE ASSIOMI: LA GEOMETRIA ASSOLUTA E LA GEOMETRIA EUCLIDEA 77 79 85 95 1.3 L’ISOMORFISMO TRA Hn E LO SPAZIO CARTESIANO REALE n-DIMENSIONALE 5n 107 1.3.1 5n COME MODELLO NORMALE DI Hn: PARTE PRIMA 1.3.2 5n COME MODELLO NORMALE DI Hn: PARTE SECONDA 107 120 1.4 127 QUESTIONI DI ESTENSIONE E ORIENTAMENTO, CONCLUSIONI 1.4.1 ESTENSIONE 1.4.2 ORIENTAMENTO 1.4.3 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 127 135 142 APP. SPEC. CAP. 1 146 7 8 Indice generale 3 1.A 1.B LE RELAZIONI D’ORDINE LE FUNZIONI Cos E Sin 146 148 CAP. 2 LA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA 2.1 PREMESSA: LO SPAZIO-TEMPO DI EUCLIDE-NEWTON 2.1.1 ELEMENTI DI CINEMATICA EUCLIDEA-NEWTONIANA 2.1.2 ELEMENTI DI DINAMICA NEWTONIANA 2.2 151 151 151 157 INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA E ALLA DINAMICA RELATIVISTICHE SPECIALI 165 2.2.1 CINEMATICA RELATIVISTICA SPECIALE E TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 2.2.2 RUDIMENTI DI DINAMICA RELATIVISTICA SPECIALE 165 177 2.3 185 INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA 2.3.1 GLI SPAZI PSEUDOEUCLIDEI (NOZIONI DI BASE) 2.3.2 LO SPAZIO DI MINKOWSKI (NOZIONI DI BASE) 185 196 2.4 203 ALGEBRA E GEOMETRIA DELLO SPAZIO DI MINKOWSKI 2.4.1 2.4.2 PARTE PRIMA PARTE SECONDA 203 208 2.5 INTRODUZIONE ALL’ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANO 216 2.5.1 2.5.2 2.5.3 LE EQUAZIONI DI MAXWELL-LORENTZ LA TEORIA EM NEL LINGUAGGIO DEL CALCOLO TENSORIALE L’ELETTROMAGNETISMO NEI CONTINUI MATERIALI 216 223 229 APP. SPEC. CAP. 2 236 2.A 2.B 2.C 2.D 2.E 236 243 245 249 2.F 2.G 2.H 2.I SPOSTAMENTI RIGIDI E CINEMATICA CLASSICA PROCEDURE DI SINCRONIZZAZIONE COMPLEMENTI SULLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ LE FORMULE DI TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA INDUZIONE DI LEGGI DI CONSERVAZIONE IN MECCANICA RELATIVISTICA SPECIALE (SECONDO LEWIS E TOLMAN) ANCORA SULLA RELAZIONE TRA MASSA DI QUIETE E MASSA DI MOTO DESCRIZIONE LAGRANGIANA E DESCRIZIONE EULERIANA DEL MOTO DI UN CONTINUO ELEMENTI DI DINAMICA CLASSICA E RELATIVISTICA DEI MEZZI MATERIALI CONTINUI I PARADOSSI DELLE VELOCITÀ SUPERLUMINALI IN RELATIVITÀ SPECIALE 255 257 259 262 267 Indice generale 4 9 PARTE SECONDA STRUMENTI MATEMATICI DI BASE CAP. 3 STRUMENTI MATEMATICI I 3.1 ELEMENTI DI ALGEBRA MULTILINEARE E TENSORIALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI 269 269 3.1.1 FORME -LINEARI 3.1.2 -TENSORI 3.1.3 FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE 269 277 283 3.2 SVILUPPI E APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA TENSORIALE 287 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 SULLE TRASFORMAZIONI ORTOGONALI E PSEUDORTOGONALI PSEUDOTENSORE DI LEVI-CIVITA ALCUNE APPLICAZIONI ALLA FISICA %-ORTOGONALITÀ E SOTTOSPAZI GRAMIANI E PROIETTORI ORTOGONALI OPERATORI LINEARI SIMMETRICI E HERMITIANI, AUTOPROBLEMI INVARIANTI SCALARI 287 290 295 296 298 299 304 3.3 ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI E IN LORO VARIETÀ IMMERSE I 306 3.3.1 CAMPI TENSORIALI, BASI CARTESIANE E BASI LOCALI 3.3.2 DERIVAZIONE DI UN CAMPO TENSORIALE IN UNA BASE LOCALE 3.4 ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI E IN LORO VARIETÀ IMMERSE II 3.4.1 DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI INTERNA A VARIETÀ IMMERSE 3.4.2 IL TENSORE DI RIEMANN IN VARIETÀ IMMERSE 3.5 TEORIA DELLA CURVATURA PER VARIETÀ EMBEDDED IN UNO SPAZIO EUCLIDEO m-DIMENSIONALE 306 310 317 317 324 332 3.5.1 INTRODUZIONE 3.5.2 CASO DELLE CURVE, n = 1 3.5.3 CASO DELLE (IPER)SUPERFICI, 2 n = m1 3.5.4 CASO DELLE VARIETÀ, 2 n m1 332 334 337 346 APP. SPEC. CAP. 3 349 3.A 3.B 349 350 NOTA SUL TENSORE FONDAMENTALE IN RELATIVITÀ SPECIALE ALCUNI ASPETTI DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE IMMERSA IN R3 10 Indice generale 5 CAP 4 STRUMENTI MATEMATICI II 355 4.1 355 VARIETÀ TOPOLOGICHE E DIFFERENZIABILI 355 361 365 4.1.1 NOZIONI DI BASE I 4.1.2 NOZIONI DI BASE II 4.1.3 ESEMPI E COMMENTI 4.2 368 CALCOLO DIFFERENZIALE SU VARIETÀ 4.2.1 APPLICAZIONI DI UNA VARIETÀ IN UNA VARIETÀ 4.2.2 CALCOLO DIFFERENZIALE DEL 1° ORDINE SU O TRA VARIETÀ 4.2.3 APPROCCI ALTERNATIVI AL CALCOLO DIFFERENZIALE SU O TRA VARIETÀ 4.3 ALGEBRA E ANALISI DIFFERENZIALE DI CAMPI SU VARIETÀ ASTRATTE a,b-TENSORIALI 368 371 380 389 4.3.1 ALGEBRA DEI a,b-TENSORI 4.3.2 CAMPI TENSORIALI IN VARIETÀ A CONNESSIONE AFFINE 4.3.3 CAMPI TENSORIALI RELATIVI E CAMPI PSEUDOTENSORIALI 389 396 400 4.4 403 ALGEBRE DELLE FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE 4.4.1 INTRODUZIONE 4.4.2 FORME (COMPLETAMENTE) SIMMETRICHE ED ANTISIMMETRICHE 4.4.3 ALGEBRE DI GRASSMANN 403 407 413 4.5 423 INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE ESTERNO 4.5.1 DALLE FORME DIFFERENZIALI ESTERNE AL LEMMA DI POINCARÉ INVERSO 4.5.2 TEOREMI DEL TIPO “FROBENIUS” 4.5.3 IL TEOREMA DI GAUSS-BONNET 424 436 444 APP. SPEC. CAP. 4 448 4.A 4.B 4.C 448 451 ESTENSIONE DELLE FORMULE DI FRENET-SERRET A UNA VARIETÀ PSEUDORIEMANNIANA COMPLEMENTI: OLTRE IL PULL-BACK LE GEOMETRIE A CONNESSIONE AFFINE CON TENSORE FONDAMENTALE. CENNI ALLE TEORIE FISICHE UNITARIE 456 CAP 5 STRUMENTI MATEMATICI III 463 5.1 463 INTEGRAZIONE 5.1.1 INTEGRAZIONE SU SPAZI CARICHI 5.1.2 J-MISURA DI SOTTOINSIEMI NOTEVOLI DI 5n 5.1.3 INTEGRAZIONE SU SOTTOVARIETÀ DI 5n 5.1.4 ESTENSIONI AGLI L-INTEGRALI 464 472 477 483 5.2 485 IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE I 5.2.1 IL TEOREMA DI GAUSS-OSTROGRADSKIJ 5.2.2 ESEMPI ED APPLICAZIONI I 485 489 Indice generale 6 11 5.2.3 ESEMPI ED APPLICAZION II (TEORIA DEL POTENZIALE NEWTONIANO) 5.2.4 ESEMPI ED APPLICAZIONI III (TEORIA DEI POTENZIALI ELETTROMAGNETICI) 493 504 5.3 IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE II 508 5.3.1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI E LORO SISTEMI: GENERALITÀ 5.3.2 IL PROBLEMA DI CAUCHY NORMALE NELLA TEORIA DEI SDP 5.3.3 IL PROBLEMA DI CAUCHY GENERALIZZATO NELLA TEORIA DEI SDP 508 510 521 5.4 532 L’EQUAZIONE DIFFERENZIALPARZIALE DEL 1° ORDINE 5.4.1 IL CASO PROTOTIPO CON 2 VARIABILI INDIPENDENTI 5.4.2 IL CASO GENERALE CON n 2 VARIABILI INDIPENDENTI 5.4.3 L’INTEGRALE COMPLETO 532 542 545 APP. SPEC. CAP. 5 554 5.A I PROBLEMI DI DIRICHLET E DI NEUMANN, INTERNI ED ESTERNI CAP. 6 STRUMENTI MATEMATICI IV 6.1 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI I 554 559 559 6.1.1 GENERALITÀ 6.1.2 LE EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE NEL CASO UNIDIMENSIONALE 6.1.3 PROBLEMI VARIAZIONALI UNIDIMENSIONALI CONDIZIONATI 559 566 576 6.2 584 APPLICAZIONI DEL CDV UNIDIMENSIONALE 6.2.1 RASSEGNA DI PROBLEMI CLASSICI 6.2.2 GEODETICHE DI UNA VARIETÀ RIEMANNIANA 584 593 6.3 602 DINAMICA ANALITICA CLASSICA I 6.3.1 DALLA DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI ALLA DINAMICA LAGRANGIANA 6.3.2 LE BASI CONCETTUALI DELLA DINAMICA HAMILTONIANA 6.3.3 TRASFORMAZIONI CANONICHE I 6.3.4 TRASFORMAZIONI CANONICHE II (PARENTESI DI LAGRANGE E DI POISSON) 602 609 614 622 6.4 631 DINAMICA ANALITICA CLASSICA II 6.4.1 L’EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI 6.4.2 APPLICAZIONI DELL’EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI 6.4.3 ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE I 6.4.4 ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE II 631 636 645 655 APP. SPEC. CAP. 6 662 6.A 6.B 662 SULLA RAPPRESENTAZIONE POLARE DELLE CONICHE FORMULAZIONE LAGRANGIANA/HAMILTONIANA DELLA DINAMICA RELATIVISTICA SPECIALE DI UN PUNTO MATERIALE CARICO 669 12 Indice generale CAP. 7 STRUMENTI MATEMATICI V 7 673 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI II 673 7.1.1 FONDAMENTI DEL CDV MULTIDIMENSIONALE 7.1.2 ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIDIMENSIONALE I 7.1.3 ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIMENSIONALE II 673 680 698 7.2 703 7.1 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI III 7.2.1 COMPLEMENTI DI CDV 7.2.2 SUL TEOREMA DI NOETHER 703 715 7.3 725 PROBLEMI VARIAZIONALI OMOGENEI DEL 1° ORDINE 7.3.1 PROBLEMI OMOGENEI UNIDIMENSIONALI 7.3.2 PROBLEMI OMOGENEI MULTIDIMENSIONALI (CENNI) 725 739 APP. SPEC. CAP. 7 742 7.A 742 DISCONTINUITÀ DI SOLUZIONI DI SDP QUASI-LINEARI PARTE TERZA COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E DI RELATIVITÀ SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE CAP. 8 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE 749 8.1 749 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE I 8.1.1 n-SUPERFICI IMMERSE IN UNO SPAZIO EUCLIDEO: UNA RIVISITAZIONE ALTERNATIVA 8.1.2 PARALLELISMO GEODETICO E COORDINATE SEMIGEODETICHE 8.1.3 SUL TRASPORTO PARALLELO (DI UN VETTORE LUNGO UNA CURVA SU UNA SUPERFICIE) 8.1.4 2-SUPERFICI IMMERSE IN UNO SPAZIO MINKOWSKIANO 3-DIMENSIONALE 749 762 768 774 8.2 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE II 777 8.2.1 GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI PSEUDORIEMANNIANE 8.2.2 GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI A CONNESSIONE AFFINE 777 790 8.3 800 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE III 8.3.1 ALGEBRA DEI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ 8.3.2 DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ ORDINARIE. DERIVATA DI LIE 800 803 Indice generale 8.4 ELEMENTI DI TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SU VARIETÀ ELEMENTARI 8.4.1 PROPEDEUTICA 8.4.2 IL TEOREMA DI POINCARÉ-STOKES 8.4.3 ESEMPI ED APPLICAZIONI 8 13 815 815 824 828 8.5 INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI ESTERNE SU VARIETÀ: COMPLEMENTI 832 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 -FORME E DUALITÀ DI HODGE CODIFFERENZIAZIONE IL “PROBLEMA -” I TEOREMI DI DE RHAM 833 835 839 843 APP. SPEC. CAP. 8 846 8.A 846 SUI MODELLI CANONICI DEL PIANO ELLITTICO E DI QUELLO IPERBOLICO CAP. 9 COMPLEMENTI DI RELATIVITÀ SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE RELATIVITÀ GENERALE 9.1 NOTA STORICA: DA GAUSS A EINSTEIN 859 859 9.1.1 VERSO LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE 9.1.2 LA RELATIVITÀ SPECIALE 9.1.3 LA RELATIVITÀ GENERALE 9.1.4 LA RELATIVITÀ E I FATTI OSSERVATIVI 859 864 870 880 9.2 887 SULLA GEOMETRIA DI UNA VARIETÀ LORENTZIANA 9.2.1 PARTE PRIMA: APPROFONDIMENTI ALGEBRICI 9.2.2 PARTE SECONDA: APPROFONDIMENTI ANALITICI 9.2.3 TETRADI E MATRICI LORENTZIANE, TRASPORTO ALLA FERMI-WALKER 9.2.4 COMPLEMENTI SUL TENSORE DI RIEMANN 887 896 901 905 9.3 LA TEORIA RELATIVISTICA GENERALE 910 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 PRELIMINARI FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE PRIMA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE SECONDA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE TERZA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE QUARTA 910 913 917 927 932 9.4 APPLICAZIONI E COMPLEMENTI I 944 9.4.1 ANALISI GEODETICA IN RIFERIMENTI NON INERZIALI 9.4.2 IL PARADOSSO DEI GEMELLI E LA SUA SOLUZIONE MEDIANTE LA TRASFORMAZIONE DI MØLLER 9.4.3 SUL TENSORE ENERGETICO TOTALE 9.4.4 MEZZO MATERIALE CONTINUO CON SFORZI “DI CONTIGUITÀ” 944 9.5 975 APPLICAZIONI E COMPLEMENTI II 9.5.1 LE METRICHE, ESTERNA ED INTERNA, DI SCHWARZSCHILD 9.5.2 CAMPI VETTORIALI DI KILLING, K-SIMMETRIE 954 959 964 975 984 14 Indice generale 9.5.3 IL TEOREMA DI BIRKHOFF 9.5.4 DINAMICA RELATIVISTICA GENERALE DEL PUNTO MATERIALE E DEL FOTONE APP. SPEC. CAP. 9 9.A 9.B 9.C 9.D 9.E 9.F 9.G SULLA DEDUZIONE EINSTEINIANA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ SPECIALI TRASFORMAZIONI DI LORENTZ PARALLELE DI -TENSORI 4-DIMENSIONALI TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA DEL 2-TENSORE DEGLI SFORZI MECCANICI L-TRASFORMAZIONI E L-BOOSTS MOTI RADIALI E CIRCOLARI DI PUNTI MATERIALI O DI FOTONI IN UNA VARIETÀ DI SCHWARTZSCHILD ESTERNA SULLE VARIETÀ CARATTERISTICHE DELLE EQUAZIONI DI EH NOTA SULLE COORDINATE PSEUDOARMONICHE 9 988 994 1005 1005 1006 1010 1014 1023 1029 1031 APPENDICI GENERALI 1035 APP. GEN. A NOZIONI ELEMENTARI DI LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI 1035 A.0 A.1 PREMESSA LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI: NOTAZIONI, MORFOLOGIA, A.2 A.3 GENERALITÀ SULLA TEORIA DELLA DEDUZIONE GLI ASSIOMI E SCHEMI DI ASSIOMI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI, A.4 ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLA FONDAZIONE A.5 E LA FORMALIZZAZIONE DELLE TEORIE MATEMATICHE SEMANTICA DEI SISTEMI FORMALI E TEORIA DEI MODELLI (CENNI) INTERPRETAZIONE INTUITIVA E ALCUNE DELLE LORO CONSEGUENZE APP. GEN. B GLOSSARIO RAGIONATO DI TOPOLOGIA B.0 B.1 B.2 PREMESSA DEFINIZIONI FONDAMENTALI CONTINUITÀ, CONNESSIONE, COMPATTEZZA, CICLI, GRUPPO FONDAMENTALE, ECC. APP. GEN. C STRUTTURE DI MISURA C.0 C.1 C.2 C.3 PREMESSA MISURA DI LEBESGUE SUL QUADRATO UNITARIO STRUTTURE DI PRE-MISURA L-MISURE E J-MISURE ASTRATTE APP. GEN. D INTRODUZIONE ALLA SCIENZA COMPUTAZIONALE D.1 D.2 D.3 D.4 D.5 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI: ESEMPI ED APPLICAZIONI GENERALITÀ SULL’ANALISI FUNZIONALE-NUMERICA ESEMPI DI METODI COSTRUTTIVI PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI ASTRATTE I SISTEMI DINAMICI E IL CAOS DETERMINISTICO (CENNI) 1035 1038 1048 1051 1059 1061 1067 1067 1068 1073 1081 1081 1082 1087 1093 1103 1103 1109 1115 1119 1126 Indice generale 10 15 APP. E.1 E.2 E.3 E.4 GEN. E BREVE STORIA RAGIONATA DEI FONDAMENTI DELLA TERMODINAMICA CLASSICA 1131 IL 1° PRINCIPIO LA TESI DI CARNOT E LA TEMPERATURA ASSOLUTA IL 2° PRINCIPIO, L’ENTROPIA E I POTENZIALI TERMODINAMICI CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE (DAL PUNTO DI VISTA FISICO-MATEMATICO) 1131 1136 1140 1150 APP. GEN. F ELEMENTI DI TEORIA COSMOLOGICA MACROSCOPICA F.1 F.2 F.3 F.4 CENNI STORICI I MODELLI COSMOLOGICI DI EINSTEIN E DI DE SITTER IL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD APPLICAZIONI DEL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD: FRIEDMANN E LEMAITRE B BIBLIOGRAFIA IBLIOGRAFIAGENERALE GENERALE A CRONIMI ACRONIMI G GLOSSARI LOSSARI INDICE DEI NOMI NOTEVOLI INDICE DEI NOMI NOTEVOLI 1153 1153 1157 1165 1171 1181 1197 1199 1247 2 0.0) PRESENTAZIONE 0.0.1) CONSIDERAZIONI GENERALI E PIANO DI LAVORO La fisica matematica 1 che oggi diciamo “classica” 2 , o più precisamente “macroscopica”, nasce verso la metà del Seicento, e diventa una teoria asintotica per costante di Planck tendente a zero con la formalizzazione della meccanica quantistica, portata a sostanziale compimento nel sesto quinquennio dello scorso secolo 3 . Bisogna tuttavia osservare che una fisica matematica sui generis, la geometria euclidea, esisteva nel Seicento da circa due millenni. Se si accetta questo punto di vista (che appare pienamente legittimo a chi scrive), il secolo XVII si deve in effetti vedere come lo spartiacque al di là del quale la tradizionale separazione tra geometria e resto della “filosofia naturale” (la dei Greci) comincia a farsi meno netta. Infatti i più elementari modelli fisico-matematici in senso stretto, i modelli meccanici, coinvolgono simultaneamente sia la geometria spazio-temporale classica che la fisica, le quali si intrecciano 1 La fisica matematica e la fisica teorica sono spesso esageratamente accostate e tra loro confuse, pur essendo discipline notevolmente diverse. In sostanza, il fisico matematico è un matematico che sceglie come oggetto del suo interesse la matematica pertinente alla fisica, mentre il fisico teorico è un fisico il cui obbiettivo, in mancanza di alternative altrettanto efficaci, è quello di rappresentare il mondo fenomenico entro convenienti cornici matematiche (o come anche si dice gergalmente, quello di “modellare” matematicamente quel mondo), e di sviluppare ed interpretare le conseguenze di quella rappresentazione. Sulle sorgenti ispirazionali della matematica ed i suoi legami con il mondo dei fenomeni, è interessante ricordare qui quanto scriveva J. von Neumann in un noto saggio del 1947 (“The Matematician”, in “Collected Works”, 1961). «The most vitally characteristic fact about mathematics dice von Neumann is its quite peculiar relationship to the natural sciences, or, more generally, to any science which interprets experience on a higher more than on a purely descriptive level (…). Mathematical ideas originate in empirics, although the genealogy is sometimes long and obscure. But, once they are so conceived, the subject begins to live a peculiar life of its own and is better, compared to a creative one, governed by almost entirely aesthetic motivations than to anything else and, in particular, to an empirical science (…). However there is a grave danger that the subject will develop along the line of least resistance, that the stream, so far from its source, will separate into a multitude of insignificant tributaries (…). In other words, at a great distance from its empirical sources, or after much “abstract” inbreeding, a mathematical object is in danger of degeneration. At the inception the style is usually classical; when it shows signs of becoming baroque, then the danger signal is up (…). Whenever this stage is reached, the only remedy seems a rejuvenating return to the source: the reinjection of more or less directly empirical ideas.». Si deve anche aggiungere che non tutte le opinioni di von Neumann (il quale fu anche un grande fisico-matematico) sulle ascendenze della matematica erano condivise dai matematici a lui contemporanei, e tanto meno lo sarebbero dai matematici del ventunesimo secolo. 2 Nel linguaggio scientifico-esatto l’attributo “classico” usualmente contraddistingue modelli/teorie considerati a fondamento primo della disciplina in oggetto, e spesso in contrapposizione con modelli/teorie più recenti. Tuttavia il suo uso non è scevro di ambiguità. Ad esempio per un fisico relativista della prima ora era “classico” quanto ancora ignorava la relatività (speciale o generale), mentre per un fisico atomico o nucleare lo è quanto non cade nel dominio della teoria quantistica; e così via. In questo libro conveniamo di nominare come “classica” la fisica matematica macroscopica, cioè quella che può considerarsi (ragionevolmente) completa pur trascurandovi gli effetti quantistici. Essa include la relatività standard, per definizione macroscopica nel senso sopraddetto. 3 L’equazione di Schrödinger è del 1926. Beninteso, qui con “meccanica quantistica” ci riferiamo alla sua versione prerelativistica. Il primo fondamentale passo verso il connubio con la relatività speciale, dovuto a Dirac, è del 1928. 17 18 Presentazione 3 definitivamente nella seconda legge di Newton (Principia Mathematica, 1687 4 ), o “legge fondamentale della dinamica”: la geometria spazio-temporale fornendo i concetti di posizione, velocità e accelerazione, e la fisica quelli di massa e di forza. Fin dagli albori della ricerca filosofica, partendo dalla esperienza quotidiana l’uomo aveva elaborato una rappresentazione intuitiva dello spazio e del tempo che li raffigurava come “contenitori” assoluti cioè dotati ciascuno di sue specifiche proprietà, tra le quali la mutua e completa separazione dei fenomeni che vi osservava. Almeno per quanto riguardava lo spazio, con Euclide (III secolo a.C.; e forse anche prima, con Talete 5 ) aveva poi preso corpo il convincimento che la conoscenza delle sue proprietà potesse essere organizzata in un sistema ipotetico-deduttivo fondato su certe “verità evidenti” e governato da certe “regole naturali”. In effetti quel convincimento si basava su un tentativo non del tutto compiuto, ma come dimostrò una storia millenaria di approfondimenti e miglioramenti, completamente perfettibile. Non è dunque improprio affermare che proprio in quella circostanza la matematica nel senso moderno del termine si affacciò prodigiosamente sulla scena umana. Quanto al tempo, esso venne sottoposto ad una analisi ragionevolmente rigorosa soltanto molto più tardi, a partire dalla nascita del calcolo differenziale, con la (ancora immatura, ma efficace) formalizzazione della cinematica da parte di Newton; cioè, appunto verso la fine del Seicento. Un po’ convenzionalmente, potremo denominare il sistema di conoscenze che derivò da queste concettualizzazioni come “geometria spaziotemporale (o se si preferisce, cinematica) di Euclide-Newton”. Questo quadro di avvio, le cui conseguenze si dimostrarono piuttosto stabili, subì un primo sconvolgimento circa cento anni fa 6 , quando si fece luce la nozione di uno “spazio-tempo” in cui spazio e tempo si trovano fusi in un “unicum” di natura inusitata; e poco più tardi, una ulteriore evoluzione di prospettive, quando per la prima volta venne proposto che alcune proprietà dello spazio-tempo ed alcuni fenomeni fisici che vi hanno luogo potessero influenzarsi a vicenda. La maggior parte dei meccanismi che governano questa interdipendenza appaiono oggi accettabilmente compresi sulla scala spazio-temporale cosiddetta dei “fenomeni osservabili”. Questa è situata tra circa 19 ordini di grandezza (ma anche alquanto meno nei moderni acceleratori di particelle) al disopra della scala di Planck 4 7 ( 1035 m (metri) o 1043 s (secondi)) quindi tra 1016 m, o Questo è l’anno di pubblicazione dei Principia; ma la meditazione di Newton sui fondamenti della meccanica durava, per sua testimonianza, da circa venti anni. Probabilmente dobbiamo a Talete (Mileto, VI secolo a. C.) l’introduzione del concetto di dimostrazione matematica, chiave di volta di ogni sistema ipotetico-deduttivo. La scuola pitagorica usò poi sistematicamente tale tipo di dimostrazione come strumento per verificare la possibile validità degli asserti matematici. 6 In realtà esso era già stato colpito al cuore nella prima metà dell’Ottocento con la scoperta delle geometrie noneuclidee; ma gli effetti di quei mutamenti concettuali rimasero confinati all’ambito teoretico-matematico fino all’inizio del nuovo secolo. 7 Nel 1899 M. Planck propose che si costruissero unità “naturali” di massa, lunghezza e tempo sulla base delle tre più fondamentali “costanti di natura”, e cioè: di gravitazione G, di velocità della luce c, e di azione (di Planck) h. Il risultato 5 Presentazione 19 4 1024 s e ovviamente, la dimensione o l’età stimate dell’universo osservabile ( 1026 m, o 1010 anni-luce 1018 s). Le proprietà dello spazio-tempo entro queste scale, quindi sul colossale intervallo relativo di almeno 1016+26=24+18 = 1042, formano l’oggetto della geometria-fisica o come potremo ormai dire, della fisica matematica cosiddetta “macroscopica”. Sulla fisica matematica significativamente al disotto di 1016 m, sino alla scala di Planck o addirittura al disotto di essa (quindi su fenomeni per il momento, o forse per sempre, inosservabili), si è fatto e si continua a fare un grande lavoro teorico-congetturale, che finora ha prodotto affascinanti ipotesi fisiche e non poca matematica innovativa. Intorno a questa ardua materia comincia anche ad essere disponibile una letteratura divulgativa, ovviamente di tipo metaforico (vedi nota (14)). La fisica matematica macroscopica in senso stretto si situa invece in un dominio relativo assai meno esteso; e precisamente, poiché la sua scala-limite inferiore (diciamo, temporale) è dell’ordine di 1014 s (contro i precedenti 1024 s), significativamente più piccolo di 1014+18 = 1032. La sopraddetta scala-limite inferiore può dirsi “quantistico-chimica”, in quanto alle reazioni chimiche si associano variazioni di energia dell’ordine dell’elettrone-volt (1 eV 1019 J (joule) 8 ). Ad essa si giunge imponendo che il prodotto dell’azione di Planck (6,631034 Js) per la frequenza sia 1019 J, dal che si trae appunto 1 1014 s. (Il periodo di un orologio atomico al cesio è 1010s; e questo consente di giungere a precisioni relative, nella misura del tempo su periodi consistentemente lunghi, dell’ordine di 1013.) I moderni acceleratori si spingono fino a 1012 eV 107 J (fino a 71012 eV nel Large Hadron Collider (LHC) prossimo ad entrare in funzione alla data presente), e quindi a 1 1026 s. Questo giustifica quanto abbiamo anticipato menzionando la scala dei fenomeni osservabili. Ovviamente ci si aspetta che una fisica matematica macroscopica in senso stretto come sopra definita debba essere sostanzialmente incompleta; e di fatto, innumerevoli questioni di piena pertinenza macroscopica non possono essere affrontate né tanto meno risolte al suo interno, le necessarie informazioni dovendo quindi esservi immesse in modo “artificiale” (nel senso di provenire da una scala fenomenica diversa). Questo tipo di incompletezza non può del resto non affliggere qualunque fisica matematica artificialmente confinata entro un intervallo relativo di scale (i cui estremi sono sempre da pensarsi come asintoticamente lontani) significativamente più piccolo del più grande intervallo relativo oggi ragionevolmente concepibile ( 1035+26=61; o anche più grande se si scende al disotto della scala di Planck); ma come è noto, una è: mpl (“massa di Planck”) =: (hc/G)1/2 = 5,56107 kg (kilogrammi); lpl (“lunghezza di Planck”) =: (Gh/c3)1/2 = = 4,131035 m; tpl (“tempo di Planck”) =: (Gh/c5)1/2 = 1.381043s. Associata a tpl è l’“energia di Planck” Epl = h/tpl = = mplc2 = 4,80109 J (joule), e quindi la “temperatura di Planck” Tpl, pari a Epl espressa in unità gradi-kelvin, Tpl = = 3.51032 K (kelvin). 8 Ricordiamo che la carica e dell’elettrone è ca. 1,60 1019 C (coulomb). 20 Presentazione 5 fisica matematica che abbracci la totalità di questo intervallo, o come oggi si dice una “teoria del tutto”, è ancora ben lontana da un assetto accettabile allo stato attuale delle conoscenze. Il modello oggi corrente nella fisica matematica macroscopica in senso stretto, o modello dello “spazio-tempo di Riemann-Einstein” 9 , che denoteremo brevemente come modello (G) (G come “Generale”), è quello di una varietà 4-dimensionale pseudoriemanniana possibilmente orientata con segnatura lorentziana e curvatura legata alla densità di materia-energia nella varietà stessa. Nel limite in cui il rapporto tra l’energia potenziale di gravità per unità di massa e il quadrato della velocità della luce c2 è trascurabile rispetto a 1, /c2 << 1, il modello (G) degenera nel modello (S) (S come “Speciale”) dello “spazio-tempo pseudoeuclideo di Minkowski-Einstein” (una varietà 4-dimensionale anch’essa con segnatura lorentziana ma curvatura nulla); e nel limite in cui anche v2/c2 << 1, v essendo una velocità tipica, il modello (S) degenera a sua volta nel modello (C) (C come “Classico”) dello “spazio-tempo di Euclide-Newton”, prodotto cartesiano () degli spazi euclidei E3 e E 10 (ad esempio presi in quest’ordine). La prima degenerazione (G) (S) pone in evidenza il carattere asintotico (per /c2 0) della separazione della cinematica di Einstein-Minkowski dalla fisica in senso stretto 11 ; mentre l’analoga degenerazione (S) (C) mostra lo stesso carattere asintotico (per v /c 0) della 2 2 separazione dello spazio dal tempo, ovvero della difformità tra la cinematica di Newton-Euclide e quella di Einstein-Minkowski. È allora chiaro che una discussione didattica dei fondamenti della fisica-matematica “macroscopica in senso stretto” o come diremo in breve nel seguito, semplicemente “macroscopica” deve partire dalla geometria euclidea (E) (vero e proprio archetipo, per quanto imperfetto nella sua accezione storica, di teoria fisico-matematica), ed ha a suo coronamento quella del modello (G). Lo svolgimento, opportunamente sintetizzato, di questo programma è grosso modo l’oggetto del presente lavoro. Esso implica preconoscenze matematiche e fisiche progressivamente più sofisticate muovendo dalla geometria euclidea (E), che in linea di principio si può descrivere quasi in assenza di preconoscenze di qualsiasi tipo, fino alla relatività generale (G), che comporta invece una laboriosa propedeutica di livello superiore. Il libro è diviso in tre parti: la prima (Capp. 1-2) prevalentemente dedicata all’analisi dei modelli (E), (C) e (S), la seconda (Capp. 9 Per brevità, qui e altrove riferiamo simbolicamente a Riemann il contributo matematico alla relatività generale. Più o meno lo stesso varrà più sotto per quello di Minkowski alla relatività speciale. 10 Con “spazio euclideo En1” intendiamo qui la potenza cartesiana n-ma della retta reale R definita a meno della sua origine (cioè considerata come spazio affine), e dotata della distanza d(x,y) =: [i=1n(yixi)2]1/2 = d(y,x) per generici x x1in e y y1in di Rn (ossia della cosiddetta “metrica pitagorica”). Questo è possibile perché la scelta dell’origine non influenza la distanza pitagorica tra x e y. (Del resto nemmeno la scelta dell’orientamento la influenza.) 11 La fisica è infatti estranea a tale cinematica se non contiamo l’emissione, propagazione, riflessione ecc. di impulsi luminosi, da considerare come oggetti primitivi. È precisamente in questo spirito che è concepita la prima parte del nostro libro.
