A
Camillo Lo Surdo
Fondamenti matematici della fisica
macroscopica: un percorso geometrico
Tomo I
Copyright © MMXIII
ARACNE editrice S.r.l.
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via Raffaele Garofalo, /A–B
Roma
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(tomo I)
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(opera completa)
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di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: marzo
«A quelli che non conoscono la matematica è difficile farsi un’idea precisa della
bellezza, la profonda bellezza, della natura.»
R. Feynman (1967)
«Non esiste matematica senza lacrime.»
(folclore)
2
INDICE
0.0
PRESENTAZIONE
17
0.0.1 CONSIDERAZIONI GENERALI E PIANO DI LAVORO
0.0.2 I CONTENUTI CAPITOLO PER CAPITOLO: SINTESI E COMMENTI
0.0.3 “ISTRUZIONI PER L’USO”
17
26
35
0.1
39
INTRODUZIONE: ALCUNE RIFLESSIONI SULLE TEORIE FISICO-MATEMATICHE
0.1.1 PREMESSA
0.1.2 RAGIONAMENTO ASSIOMATICO-DEDUTTIVO VS. RAGIONAMENTO INDUTTIVO
0.1.3 MATEMATICA SIGNIFICANTE VS. MATEMATICA NON SIGNIFICANTE
0.1.4 SCIENZE MATEMATIZZABILI VS. SCIENZE NON MATEMATIZZABILI, E ALTRI COMMENTI
39
42
48
56
PARTE PRIMA
GEOMETRIA EUCLIDEA E PSEUDOEUCLIDEA
CAP.1 LA GEOMETRIA EUCLIDEA
1.1
LA GEOMETRIA COME PROTOTIPO DI TEORIA FISICO-MATEMATICA
63
63
1.1.1 GENERALITÀ E INQUADRAMENTO STORICO
1.1.2 GEOMETRIA EUCLIDEA SINTETICA E ANALITICA
63
71
1.2
UNA FORMALIZZAZIONE METRICA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
77
1.2.1 INTRODUZIONE
1.2.2 I PRIMI NOVE ASSIOMI E LA GEOMETRIA “SPECIALE” DELLA RETTA
1.2.3 I SUCCESSIVI OTTO ASSIOMI E LE GEOMETRIE DIADICHE DEL PIANO E DELLO SPAZIO
1.2.4 GLI ULTIMI DUE ASSIOMI: LA GEOMETRIA ASSOLUTA E LA GEOMETRIA EUCLIDEA
77
79
85
95
1.3
L’ISOMORFISMO TRA Hn E LO SPAZIO CARTESIANO REALE n-DIMENSIONALE 5n 107
1.3.1 5n COME MODELLO NORMALE DI Hn: PARTE PRIMA
1.3.2 5n COME MODELLO NORMALE DI Hn: PARTE SECONDA
107
120
1.4
127
QUESTIONI DI ESTENSIONE E ORIENTAMENTO, CONCLUSIONI
1.4.1 ESTENSIONE
1.4.2 ORIENTAMENTO
1.4.3 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
127
135
142
APP. SPEC. CAP. 1
146
7
8
Indice generale
3
1.A
1.B
LE RELAZIONI D’ORDINE
LE FUNZIONI Cos E Sin
146
148
CAP. 2 LA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA
2.1
PREMESSA: LO SPAZIO-TEMPO DI EUCLIDE-NEWTON
2.1.1 ELEMENTI DI CINEMATICA EUCLIDEA-NEWTONIANA
2.1.2 ELEMENTI DI DINAMICA NEWTONIANA
2.2
151
151
151
157
INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA E ALLA DINAMICA RELATIVISTICHE SPECIALI 165
2.2.1 CINEMATICA RELATIVISTICA SPECIALE E TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
2.2.2 RUDIMENTI DI DINAMICA RELATIVISTICA SPECIALE
165
177
2.3
185
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA
2.3.1 GLI SPAZI PSEUDOEUCLIDEI (NOZIONI DI BASE)
2.3.2 LO SPAZIO DI MINKOWSKI (NOZIONI DI BASE)
185
196
2.4
203
ALGEBRA E GEOMETRIA DELLO SPAZIO DI MINKOWSKI
2.4.1
2.4.2
PARTE PRIMA
PARTE SECONDA
203
208
2.5
INTRODUZIONE ALL’ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANO
216
2.5.1
2.5.2
2.5.3
LE EQUAZIONI DI MAXWELL-LORENTZ
LA TEORIA EM NEL LINGUAGGIO DEL CALCOLO TENSORIALE
L’ELETTROMAGNETISMO NEI CONTINUI MATERIALI
216
223
229
APP. SPEC. CAP. 2
236
2.A
2.B
2.C
2.D
2.E
236
243
245
249
2.F
2.G
2.H
2.I
SPOSTAMENTI RIGIDI E CINEMATICA CLASSICA
PROCEDURE DI SINCRONIZZAZIONE
COMPLEMENTI SULLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
LE FORMULE DI TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA
INDUZIONE DI LEGGI DI CONSERVAZIONE IN MECCANICA RELATIVISTICA SPECIALE
(SECONDO LEWIS E TOLMAN)
ANCORA SULLA RELAZIONE TRA MASSA DI QUIETE E MASSA DI MOTO
DESCRIZIONE LAGRANGIANA E DESCRIZIONE EULERIANA DEL MOTO DI UN CONTINUO
ELEMENTI DI DINAMICA CLASSICA E RELATIVISTICA DEI MEZZI MATERIALI CONTINUI
I PARADOSSI DELLE VELOCITÀ SUPERLUMINALI IN RELATIVITÀ SPECIALE
255
257
259
262
267
Indice generale
4 9
PARTE SECONDA
STRUMENTI MATEMATICI DI BASE
CAP. 3 STRUMENTI MATEMATICI I
3.1
ELEMENTI DI ALGEBRA MULTILINEARE E TENSORIALE
IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI
269
269
3.1.1 FORME -LINEARI
3.1.2 -TENSORI
3.1.3 FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE
269
277
283
3.2
SVILUPPI E APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA TENSORIALE
287
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
3.2.7
SULLE TRASFORMAZIONI ORTOGONALI E PSEUDORTOGONALI
PSEUDOTENSORE DI LEVI-CIVITA
ALCUNE APPLICAZIONI ALLA FISICA
%-ORTOGONALITÀ E SOTTOSPAZI
GRAMIANI E PROIETTORI ORTOGONALI
OPERATORI LINEARI SIMMETRICI E HERMITIANI, AUTOPROBLEMI
INVARIANTI SCALARI
287
290
295
296
298
299
304
3.3
ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI
E IN LORO VARIETÀ IMMERSE I
306
3.3.1 CAMPI TENSORIALI, BASI CARTESIANE E BASI LOCALI
3.3.2 DERIVAZIONE DI UN CAMPO TENSORIALE IN UNA BASE LOCALE
3.4
ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI
E IN LORO VARIETÀ IMMERSE II
3.4.1 DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI INTERNA A VARIETÀ IMMERSE
3.4.2 IL TENSORE DI RIEMANN IN VARIETÀ IMMERSE
3.5
TEORIA
DELLA CURVATURA PER VARIETÀ EMBEDDED
IN UNO SPAZIO EUCLIDEO m-DIMENSIONALE
306
310
317
317
324
332
3.5.1 INTRODUZIONE
3.5.2 CASO DELLE CURVE, n = 1
3.5.3 CASO DELLE (IPER)SUPERFICI, 2 n = m1
3.5.4 CASO DELLE VARIETÀ, 2 n m1
332
334
337
346
APP. SPEC. CAP. 3
349
3.A
3.B
349
350
NOTA SUL TENSORE FONDAMENTALE IN RELATIVITÀ SPECIALE
ALCUNI ASPETTI DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE IMMERSA IN R3
10
Indice generale
5
CAP 4 STRUMENTI MATEMATICI II
355
4.1
355
VARIETÀ TOPOLOGICHE E DIFFERENZIABILI
355
361
365
4.1.1 NOZIONI DI BASE I
4.1.2 NOZIONI DI BASE II
4.1.3 ESEMPI E COMMENTI
4.2
368
CALCOLO DIFFERENZIALE SU VARIETÀ
4.2.1 APPLICAZIONI DI UNA VARIETÀ IN UNA VARIETÀ
4.2.2 CALCOLO DIFFERENZIALE DEL 1° ORDINE SU O TRA VARIETÀ
4.2.3 APPROCCI ALTERNATIVI AL CALCOLO DIFFERENZIALE SU O TRA VARIETÀ
4.3
ALGEBRA
E ANALISI DIFFERENZIALE DI CAMPI
SU VARIETÀ ASTRATTE
a,b-TENSORIALI
368
371
380
389
4.3.1 ALGEBRA DEI a,b-TENSORI
4.3.2 CAMPI TENSORIALI IN VARIETÀ A CONNESSIONE AFFINE
4.3.3 CAMPI TENSORIALI RELATIVI E CAMPI PSEUDOTENSORIALI
389
396
400
4.4
403
ALGEBRE DELLE FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE
4.4.1 INTRODUZIONE
4.4.2 FORME (COMPLETAMENTE) SIMMETRICHE ED ANTISIMMETRICHE
4.4.3 ALGEBRE DI GRASSMANN
403
407
413
4.5
423
INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE ESTERNO
4.5.1 DALLE FORME DIFFERENZIALI ESTERNE AL LEMMA DI POINCARÉ INVERSO
4.5.2 TEOREMI DEL TIPO “FROBENIUS”
4.5.3 IL TEOREMA DI GAUSS-BONNET
424
436
444
APP. SPEC. CAP. 4
448
4.A
4.B
4.C
448
451
ESTENSIONE DELLE FORMULE DI FRENET-SERRET A UNA VARIETÀ PSEUDORIEMANNIANA
COMPLEMENTI: OLTRE IL PULL-BACK
LE GEOMETRIE A CONNESSIONE AFFINE CON TENSORE FONDAMENTALE.
CENNI ALLE TEORIE FISICHE UNITARIE
456
CAP 5 STRUMENTI MATEMATICI III
463
5.1
463
INTEGRAZIONE
5.1.1 INTEGRAZIONE SU SPAZI CARICHI
5.1.2 J-MISURA DI SOTTOINSIEMI NOTEVOLI DI 5n
5.1.3 INTEGRAZIONE SU SOTTOVARIETÀ DI 5n
5.1.4 ESTENSIONI AGLI L-INTEGRALI
464
472
477
483
5.2
485
IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE I
5.2.1 IL TEOREMA DI GAUSS-OSTROGRADSKIJ
5.2.2 ESEMPI ED APPLICAZIONI I
485
489
Indice generale
6 11
5.2.3 ESEMPI ED APPLICAZION II (TEORIA DEL POTENZIALE NEWTONIANO)
5.2.4 ESEMPI ED APPLICAZIONI III (TEORIA DEI POTENZIALI ELETTROMAGNETICI)
493
504
5.3
IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE II
508
5.3.1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI E LORO SISTEMI: GENERALITÀ
5.3.2 IL PROBLEMA DI CAUCHY NORMALE NELLA TEORIA DEI SDP
5.3.3 IL PROBLEMA DI CAUCHY GENERALIZZATO NELLA TEORIA DEI SDP
508
510
521
5.4
532
L’EQUAZIONE DIFFERENZIALPARZIALE DEL 1° ORDINE
5.4.1 IL CASO PROTOTIPO CON 2 VARIABILI INDIPENDENTI
5.4.2 IL CASO GENERALE CON n 2 VARIABILI INDIPENDENTI
5.4.3 L’INTEGRALE COMPLETO
532
542
545
APP. SPEC. CAP. 5
554
5.A
I PROBLEMI DI DIRICHLET E DI NEUMANN, INTERNI ED ESTERNI
CAP. 6 STRUMENTI MATEMATICI IV
6.1
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI I
554
559
559
6.1.1 GENERALITÀ
6.1.2 LE EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE NEL CASO UNIDIMENSIONALE
6.1.3 PROBLEMI VARIAZIONALI UNIDIMENSIONALI CONDIZIONATI
559
566
576
6.2
584
APPLICAZIONI DEL CDV UNIDIMENSIONALE
6.2.1 RASSEGNA DI PROBLEMI CLASSICI
6.2.2 GEODETICHE DI UNA VARIETÀ RIEMANNIANA
584
593
6.3
602
DINAMICA ANALITICA CLASSICA I
6.3.1 DALLA DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI ALLA DINAMICA LAGRANGIANA
6.3.2 LE BASI CONCETTUALI DELLA DINAMICA HAMILTONIANA
6.3.3 TRASFORMAZIONI CANONICHE I
6.3.4 TRASFORMAZIONI CANONICHE II (PARENTESI DI LAGRANGE E DI POISSON)
602
609
614
622
6.4
631
DINAMICA ANALITICA CLASSICA II
6.4.1 L’EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI
6.4.2 APPLICAZIONI DELL’EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI
6.4.3 ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE I
6.4.4 ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE II
631
636
645
655
APP. SPEC. CAP. 6
662
6.A
6.B
662
SULLA RAPPRESENTAZIONE POLARE DELLE CONICHE
FORMULAZIONE LAGRANGIANA/HAMILTONIANA DELLA DINAMICA RELATIVISTICA
SPECIALE DI UN PUNTO MATERIALE CARICO
669
12
Indice generale
CAP. 7
STRUMENTI MATEMATICI V
7
673
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI II
673
7.1.1 FONDAMENTI DEL CDV MULTIDIMENSIONALE
7.1.2 ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIDIMENSIONALE I
7.1.3 ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIMENSIONALE II
673
680
698
7.2
703
7.1
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI III
7.2.1 COMPLEMENTI DI CDV
7.2.2 SUL TEOREMA DI NOETHER
703
715
7.3
725
PROBLEMI VARIAZIONALI OMOGENEI DEL 1° ORDINE
7.3.1 PROBLEMI OMOGENEI UNIDIMENSIONALI
7.3.2 PROBLEMI OMOGENEI MULTIDIMENSIONALI (CENNI)
725
739
APP. SPEC. CAP. 7
742
7.A
742
DISCONTINUITÀ DI SOLUZIONI DI SDP QUASI-LINEARI
PARTE TERZA
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E DI RELATIVITÀ
SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE
CAP. 8 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
749
8.1
749
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE I
8.1.1 n-SUPERFICI IMMERSE IN UNO SPAZIO EUCLIDEO: UNA RIVISITAZIONE ALTERNATIVA
8.1.2 PARALLELISMO GEODETICO E COORDINATE SEMIGEODETICHE
8.1.3 SUL TRASPORTO PARALLELO (DI UN VETTORE LUNGO UNA CURVA SU UNA SUPERFICIE)
8.1.4 2-SUPERFICI IMMERSE IN UNO SPAZIO MINKOWSKIANO 3-DIMENSIONALE
749
762
768
774
8.2
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE II
777
8.2.1 GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI PSEUDORIEMANNIANE
8.2.2 GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI A CONNESSIONE AFFINE
777
790
8.3
800
COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE III
8.3.1 ALGEBRA DEI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ
8.3.2 DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ ORDINARIE. DERIVATA DI LIE
800
803
Indice generale
8.4
ELEMENTI DI TEORIA DELL’INTEGRAZIONE SU VARIETÀ ELEMENTARI
8.4.1 PROPEDEUTICA
8.4.2 IL TEOREMA DI POINCARÉ-STOKES
8.4.3 ESEMPI ED APPLICAZIONI
8 13
815
815
824
828
8.5
INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI ESTERNE SU VARIETÀ: COMPLEMENTI 832
8.5.1
8.5.2
8.5.3
8.5.4
-FORME E DUALITÀ DI HODGE
CODIFFERENZIAZIONE
IL “PROBLEMA -”
I TEOREMI DI DE RHAM
833
835
839
843
APP. SPEC. CAP. 8
846
8.A
846
SUI MODELLI CANONICI DEL PIANO ELLITTICO E DI QUELLO IPERBOLICO
CAP. 9 COMPLEMENTI DI RELATIVITÀ SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE
RELATIVITÀ GENERALE
9.1
NOTA STORICA: DA GAUSS A EINSTEIN
859
859
9.1.1 VERSO LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
9.1.2 LA RELATIVITÀ SPECIALE
9.1.3 LA RELATIVITÀ GENERALE
9.1.4 LA RELATIVITÀ E I FATTI OSSERVATIVI
859
864
870
880
9.2
887
SULLA GEOMETRIA DI UNA VARIETÀ LORENTZIANA
9.2.1 PARTE PRIMA: APPROFONDIMENTI ALGEBRICI
9.2.2 PARTE SECONDA: APPROFONDIMENTI ANALITICI
9.2.3 TETRADI E MATRICI LORENTZIANE, TRASPORTO ALLA FERMI-WALKER
9.2.4 COMPLEMENTI SUL TENSORE DI RIEMANN
887
896
901
905
9.3
LA TEORIA RELATIVISTICA GENERALE
910
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.5
PRELIMINARI
FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE PRIMA
FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE SECONDA
FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE TERZA
FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE QUARTA
910
913
917
927
932
9.4
APPLICAZIONI E COMPLEMENTI I
944
9.4.1 ANALISI GEODETICA IN RIFERIMENTI NON INERZIALI
9.4.2 IL PARADOSSO DEI GEMELLI E LA SUA SOLUZIONE MEDIANTE LA TRASFORMAZIONE DI
MØLLER
9.4.3 SUL TENSORE ENERGETICO TOTALE
9.4.4 MEZZO MATERIALE CONTINUO CON SFORZI “DI CONTIGUITÀ”
944
9.5
975
APPLICAZIONI E COMPLEMENTI II
9.5.1 LE METRICHE, ESTERNA ED INTERNA, DI SCHWARZSCHILD
9.5.2 CAMPI VETTORIALI DI KILLING, K-SIMMETRIE
954
959
964
975
984
14
Indice generale
9.5.3 IL TEOREMA DI BIRKHOFF
9.5.4 DINAMICA RELATIVISTICA GENERALE DEL PUNTO MATERIALE E DEL FOTONE
APP. SPEC. CAP. 9
9.A
9.B
9.C
9.D
9.E
9.F
9.G
SULLA DEDUZIONE EINSTEINIANA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ SPECIALI
TRASFORMAZIONI DI LORENTZ PARALLELE DI -TENSORI 4-DIMENSIONALI
TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA DEL 2-TENSORE DEGLI SFORZI MECCANICI
L-TRASFORMAZIONI E L-BOOSTS
MOTI RADIALI E CIRCOLARI DI PUNTI MATERIALI O DI FOTONI IN UNA VARIETÀ DI
SCHWARTZSCHILD ESTERNA
SULLE VARIETÀ CARATTERISTICHE DELLE EQUAZIONI DI EH
NOTA SULLE COORDINATE PSEUDOARMONICHE
9
988
994
1005
1005
1006
1010
1014
1023
1029
1031
APPENDICI GENERALI
1035
APP. GEN. A NOZIONI ELEMENTARI DI LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI
1035
A.0
A.1
PREMESSA
LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI: NOTAZIONI, MORFOLOGIA,
A.2
A.3
GENERALITÀ SULLA TEORIA DELLA DEDUZIONE
GLI ASSIOMI E SCHEMI DI ASSIOMI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI,
A.4
ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLA FONDAZIONE
A.5
E LA FORMALIZZAZIONE DELLE TEORIE MATEMATICHE
SEMANTICA DEI SISTEMI FORMALI E TEORIA DEI MODELLI (CENNI)
INTERPRETAZIONE INTUITIVA
E ALCUNE DELLE LORO CONSEGUENZE
APP. GEN. B GLOSSARIO RAGIONATO DI TOPOLOGIA
B.0
B.1
B.2
PREMESSA
DEFINIZIONI FONDAMENTALI
CONTINUITÀ, CONNESSIONE, COMPATTEZZA, CICLI, GRUPPO FONDAMENTALE, ECC.
APP. GEN. C STRUTTURE DI MISURA
C.0
C.1
C.2
C.3
PREMESSA
MISURA DI LEBESGUE SUL QUADRATO UNITARIO
STRUTTURE DI PRE-MISURA
L-MISURE E J-MISURE ASTRATTE
APP. GEN. D INTRODUZIONE ALLA SCIENZA COMPUTAZIONALE
D.1
D.2
D.3
D.4
D.5
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI: ESEMPI ED APPLICAZIONI
GENERALITÀ SULL’ANALISI FUNZIONALE-NUMERICA
ESEMPI DI METODI COSTRUTTIVI PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI ASTRATTE
I SISTEMI DINAMICI E IL CAOS DETERMINISTICO (CENNI)
1035
1038
1048
1051
1059
1061
1067
1067
1068
1073
1081
1081
1082
1087
1093
1103
1103
1109
1115
1119
1126
Indice generale 10 15
APP.
E.1
E.2
E.3
E.4
GEN.
E BREVE
STORIA RAGIONATA DEI FONDAMENTI
DELLA TERMODINAMICA CLASSICA
1131
IL 1° PRINCIPIO
LA TESI DI CARNOT E LA TEMPERATURA ASSOLUTA
IL 2° PRINCIPIO, L’ENTROPIA E I POTENZIALI TERMODINAMICI
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE (DAL PUNTO DI VISTA FISICO-MATEMATICO)
1131
1136
1140
1150
APP. GEN. F ELEMENTI DI TEORIA COSMOLOGICA MACROSCOPICA
F.1
F.2
F.3
F.4
CENNI STORICI
I MODELLI COSMOLOGICI DI EINSTEIN E DI DE SITTER
IL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD
APPLICAZIONI DEL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD: FRIEDMANN E LEMAITRE
B
BIBLIOGRAFIA
IBLIOGRAFIAGENERALE
GENERALE
A
CRONIMI
ACRONIMI
G
GLOSSARI
LOSSARI
INDICE DEI NOMI NOTEVOLI
INDICE DEI NOMI NOTEVOLI
1153
1153
1157
1165
1171
1181
1197
1199
1247
2
0.0)
PRESENTAZIONE
0.0.1)
CONSIDERAZIONI GENERALI E PIANO DI LAVORO
La fisica matematica
1
che oggi diciamo “classica”
2
, o più precisamente “macroscopica”,
nasce verso la metà del Seicento, e diventa una teoria asintotica per costante di Planck tendente a
zero con la formalizzazione della meccanica quantistica, portata a sostanziale compimento nel
sesto quinquennio dello scorso secolo
3
. Bisogna tuttavia osservare che una fisica matematica sui
generis, la geometria euclidea, esisteva nel Seicento da circa due millenni. Se si accetta questo
punto di vista (che appare pienamente legittimo a chi scrive), il secolo XVII si deve in effetti vedere
come lo spartiacque al di là del quale la tradizionale separazione tra geometria e resto della
“filosofia naturale” (la dei Greci) comincia a farsi meno netta. Infatti i più
elementari modelli fisico-matematici in senso stretto, i modelli meccanici, coinvolgono
simultaneamente sia la geometria spazio-temporale classica che la fisica, le quali si intrecciano
1
La fisica matematica e la fisica teorica sono spesso esageratamente accostate e tra loro confuse, pur essendo discipline
notevolmente diverse. In sostanza, il fisico matematico è un matematico che sceglie come oggetto del suo interesse la
matematica pertinente alla fisica, mentre il fisico teorico è un fisico il cui obbiettivo, in mancanza di alternative
altrettanto efficaci, è quello di rappresentare il mondo fenomenico entro convenienti cornici matematiche (o come anche
si dice gergalmente, quello di “modellare” matematicamente quel mondo), e di sviluppare ed interpretare le
conseguenze di quella rappresentazione. Sulle sorgenti ispirazionali della matematica ed i suoi legami con il mondo dei
fenomeni, è interessante ricordare qui quanto scriveva J. von Neumann in un noto saggio del 1947 (“The
Matematician”, in “Collected Works”, 1961). «The most vitally characteristic fact about mathematics dice von
Neumann is its quite peculiar relationship to the natural sciences, or, more generally, to any science which interprets
experience on a higher more than on a purely descriptive level (…). Mathematical ideas originate in empirics, although
the genealogy is sometimes long and obscure. But, once they are so conceived, the subject begins to live a peculiar life
of its own and is better, compared to a creative one, governed by almost entirely aesthetic motivations than to anything
else and, in particular, to an empirical science (…). However there is a grave danger that the subject will develop along
the line of least resistance, that the stream, so far from its source, will separate into a multitude of insignificant
tributaries (…). In other words, at a great distance from its empirical sources, or after much “abstract” inbreeding, a
mathematical object is in danger of degeneration. At the inception the style is usually classical; when it shows signs of
becoming baroque, then the danger signal is up (…). Whenever this stage is reached, the only remedy seems a
rejuvenating return to the source: the reinjection of more or less directly empirical ideas.». Si deve anche aggiungere
che non tutte le opinioni di von Neumann (il quale fu anche un grande fisico-matematico) sulle ascendenze della
matematica erano condivise dai matematici a lui contemporanei, e tanto meno lo sarebbero dai matematici del
ventunesimo secolo.
2
Nel linguaggio scientifico-esatto l’attributo “classico” usualmente contraddistingue modelli/teorie considerati a
fondamento primo della disciplina in oggetto, e spesso in contrapposizione con modelli/teorie più recenti. Tuttavia il
suo uso non è scevro di ambiguità. Ad esempio per un fisico relativista della prima ora era “classico” quanto ancora
ignorava la relatività (speciale o generale), mentre per un fisico atomico o nucleare lo è quanto non cade nel dominio
della teoria quantistica; e così via. In questo libro conveniamo di nominare come “classica” la fisica matematica
macroscopica, cioè quella che può considerarsi (ragionevolmente) completa pur trascurandovi gli effetti quantistici.
Essa include la relatività standard, per definizione macroscopica nel senso sopraddetto.
3
L’equazione di Schrödinger è del 1926. Beninteso, qui con “meccanica quantistica” ci riferiamo alla sua versione
prerelativistica. Il primo fondamentale passo verso il connubio con la relatività speciale, dovuto a Dirac, è del 1928.
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Presentazione
3
definitivamente nella seconda legge di Newton (Principia Mathematica, 1687
4
), o “legge
fondamentale della dinamica”: la geometria spazio-temporale fornendo i concetti di posizione,
velocità e accelerazione, e la fisica quelli di massa e di forza.
Fin dagli albori della ricerca filosofica, partendo dalla esperienza quotidiana l’uomo aveva
elaborato una rappresentazione intuitiva dello spazio e del tempo che li raffigurava come
“contenitori” assoluti cioè dotati ciascuno di sue specifiche proprietà, tra le quali la mutua e
completa separazione dei fenomeni che vi osservava. Almeno per quanto riguardava lo spazio,
con Euclide (III secolo a.C.; e forse anche prima, con Talete
5
) aveva poi preso corpo il
convincimento che la conoscenza delle sue proprietà potesse essere organizzata in un sistema
ipotetico-deduttivo fondato su certe “verità evidenti” e governato da certe “regole naturali”. In
effetti quel convincimento si basava su un tentativo non del tutto compiuto, ma come dimostrò una
storia millenaria di approfondimenti e miglioramenti, completamente perfettibile. Non è dunque
improprio affermare che proprio in quella circostanza la matematica nel senso moderno del termine
si affacciò prodigiosamente sulla scena umana. Quanto al tempo, esso venne sottoposto ad una
analisi ragionevolmente rigorosa soltanto molto più tardi, a partire dalla nascita del calcolo
differenziale, con la (ancora immatura, ma efficace) formalizzazione della cinematica da parte di
Newton; cioè, appunto verso la fine del Seicento. Un po’ convenzionalmente, potremo denominare
il sistema di conoscenze che derivò da queste concettualizzazioni come “geometria spaziotemporale (o se si preferisce, cinematica) di Euclide-Newton”.
Questo quadro di avvio, le cui conseguenze si dimostrarono piuttosto stabili, subì un primo
sconvolgimento circa cento anni fa 6 , quando si fece luce la nozione di uno “spazio-tempo” in cui
spazio e tempo si trovano fusi in un “unicum” di natura inusitata; e poco più tardi, una ulteriore
evoluzione di prospettive, quando per la prima volta venne proposto che alcune proprietà dello
spazio-tempo ed alcuni fenomeni fisici che vi hanno luogo potessero influenzarsi a vicenda. La
maggior parte dei meccanismi che governano questa interdipendenza appaiono oggi accettabilmente
compresi sulla scala spazio-temporale cosiddetta dei “fenomeni osservabili”. Questa è situata tra
circa 19 ordini di grandezza (ma anche alquanto meno nei moderni acceleratori di particelle) al
disopra della scala di Planck
4
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( 1035 m (metri) o 1043 s (secondi)) quindi tra 1016 m, o
Questo è l’anno di pubblicazione dei Principia; ma la meditazione di Newton sui fondamenti della meccanica durava,
per sua testimonianza, da circa venti anni.
Probabilmente dobbiamo a Talete (Mileto, VI secolo a. C.) l’introduzione del concetto di dimostrazione matematica,
chiave di volta di ogni sistema ipotetico-deduttivo. La scuola pitagorica usò poi sistematicamente tale tipo di
dimostrazione come strumento per verificare la possibile validità degli asserti matematici.
6
In realtà esso era già stato colpito al cuore nella prima metà dell’Ottocento con la scoperta delle geometrie noneuclidee; ma gli effetti di quei mutamenti concettuali rimasero confinati all’ambito teoretico-matematico fino all’inizio
del nuovo secolo.
7
Nel 1899 M. Planck propose che si costruissero unità “naturali” di massa, lunghezza e tempo sulla base delle tre più
fondamentali “costanti di natura”, e cioè: di gravitazione G, di velocità della luce c, e di azione (di Planck) h. Il risultato
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Presentazione
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1024 s e ovviamente, la dimensione o l’età stimate dell’universo osservabile ( 1026 m, o
1010 anni-luce 1018 s). Le proprietà dello spazio-tempo entro queste scale, quindi sul colossale
intervallo relativo di almeno 1016+26=24+18 = 1042, formano l’oggetto della geometria-fisica o
come potremo ormai dire, della fisica matematica cosiddetta “macroscopica”. Sulla fisica
matematica significativamente al disotto di 1016 m, sino alla scala di Planck o addirittura al
disotto di essa (quindi su fenomeni per il momento, o forse per sempre, inosservabili), si è fatto e si
continua a fare un grande lavoro teorico-congetturale, che finora ha prodotto affascinanti ipotesi
fisiche e non poca matematica innovativa. Intorno a questa ardua materia comincia anche ad essere
disponibile una letteratura divulgativa, ovviamente di tipo metaforico (vedi nota (14)).
La fisica matematica macroscopica in senso stretto si situa invece in un dominio relativo
assai meno esteso; e precisamente, poiché la sua scala-limite inferiore (diciamo, temporale) è
dell’ordine di 1014 s (contro i precedenti 1024 s), significativamente più piccolo di 1014+18 = 1032.
La sopraddetta scala-limite inferiore può dirsi “quantistico-chimica”, in quanto alle reazioni
chimiche si associano variazioni di energia dell’ordine dell’elettrone-volt (1 eV 1019 J (joule) 8 ).
Ad essa si giunge imponendo che il prodotto dell’azione di Planck (6,631034 Js) per la frequenza
sia 1019 J, dal che si trae appunto 1 1014 s. (Il periodo di un orologio atomico al cesio è
1010s; e questo consente di giungere a precisioni relative, nella misura del tempo su periodi
consistentemente lunghi, dell’ordine di 1013.) I moderni acceleratori si spingono fino a 1012 eV
107 J (fino a 71012 eV nel Large Hadron Collider (LHC) prossimo ad entrare in funzione alla
data presente), e quindi a 1 1026 s. Questo giustifica quanto abbiamo anticipato menzionando la
scala dei fenomeni osservabili. Ovviamente ci si aspetta che una fisica matematica macroscopica in
senso stretto come sopra definita debba essere sostanzialmente incompleta; e di fatto, innumerevoli
questioni di piena pertinenza macroscopica non possono essere affrontate né tanto meno risolte al
suo interno, le necessarie informazioni dovendo quindi esservi immesse in modo “artificiale” (nel
senso di provenire da una scala fenomenica diversa). Questo tipo di incompletezza non può del
resto non affliggere qualunque fisica matematica artificialmente confinata entro un intervallo
relativo di scale (i cui estremi sono sempre da pensarsi come asintoticamente lontani)
significativamente più piccolo del più grande intervallo relativo oggi ragionevolmente concepibile
( 1035+26=61; o anche più grande se si scende al disotto della scala di Planck); ma come è noto, una
è: mpl (“massa di Planck”) =: (hc/G)1/2 = 5,56107 kg (kilogrammi); lpl (“lunghezza di Planck”) =: (Gh/c3)1/2 =
= 4,131035 m; tpl (“tempo di Planck”) =: (Gh/c5)1/2 = 1.381043s. Associata a tpl è l’“energia di Planck” Epl = h/tpl =
= mplc2 = 4,80109 J (joule), e quindi la “temperatura di Planck” Tpl, pari a Epl espressa in unità gradi-kelvin, Tpl =
= 3.51032 K (kelvin).
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Ricordiamo che la carica e dell’elettrone è ca. 1,60 1019 C (coulomb).
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Presentazione
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fisica matematica che abbracci la totalità di questo intervallo, o come oggi si dice una “teoria del
tutto”, è ancora ben lontana da un assetto accettabile allo stato attuale delle conoscenze.
Il modello oggi corrente nella fisica matematica macroscopica in senso stretto, o modello
dello “spazio-tempo di Riemann-Einstein”
9
, che denoteremo brevemente come modello (G) (G
come “Generale”), è quello di una varietà 4-dimensionale pseudoriemanniana possibilmente
orientata con segnatura lorentziana e curvatura legata alla densità di materia-energia nella varietà
stessa. Nel limite in cui il rapporto tra l’energia potenziale di gravità per unità di massa e il
quadrato della velocità della luce c2 è trascurabile rispetto a 1, /c2 << 1, il modello (G) degenera
nel modello (S) (S come “Speciale”) dello “spazio-tempo pseudoeuclideo di Minkowski-Einstein”
(una varietà 4-dimensionale anch’essa con segnatura lorentziana ma curvatura nulla); e nel limite in
cui anche v2/c2 << 1, v essendo una velocità tipica, il modello (S) degenera a sua volta nel modello
(C) (C come “Classico”) dello “spazio-tempo di Euclide-Newton”, prodotto cartesiano () degli
spazi euclidei E3 e E
10
(ad esempio presi in quest’ordine).
La prima degenerazione (G) (S) pone in evidenza il carattere asintotico (per /c2 0)
della separazione della cinematica di Einstein-Minkowski dalla fisica in senso stretto
11
; mentre
l’analoga degenerazione (S) (C) mostra lo stesso carattere asintotico (per v /c 0) della
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separazione dello spazio dal tempo, ovvero della difformità tra la cinematica di Newton-Euclide e
quella di Einstein-Minkowski. È allora chiaro che una discussione didattica dei fondamenti della
fisica-matematica “macroscopica in senso stretto” o come diremo in breve nel seguito,
semplicemente “macroscopica” deve partire dalla geometria euclidea (E) (vero e proprio
archetipo, per quanto imperfetto nella sua accezione storica, di teoria fisico-matematica), ed ha a
suo coronamento quella del modello (G).
Lo svolgimento, opportunamente sintetizzato, di questo programma è grosso modo l’oggetto
del presente lavoro. Esso implica preconoscenze matematiche e fisiche progressivamente più
sofisticate muovendo dalla geometria euclidea (E), che in linea di principio si può descrivere quasi
in assenza di preconoscenze di qualsiasi tipo, fino alla relatività generale (G), che comporta invece
una laboriosa propedeutica di livello superiore. Il libro è diviso in tre parti: la prima (Capp.
1-2) prevalentemente dedicata all’analisi dei modelli (E), (C) e (S), la seconda (Capp.
9
Per brevità, qui e altrove riferiamo simbolicamente a Riemann il contributo matematico alla relatività generale. Più o
meno lo stesso varrà più sotto per quello di Minkowski alla relatività speciale.
10
Con “spazio euclideo En1” intendiamo qui la potenza cartesiana n-ma della retta reale R definita a meno della sua
origine (cioè considerata come spazio affine), e dotata della distanza d(x,y) =: [i=1n(yixi)2]1/2 = d(y,x) per generici
x x1in e y y1in di Rn (ossia della cosiddetta “metrica pitagorica”). Questo è possibile perché la scelta dell’origine
non influenza la distanza pitagorica tra x e y. (Del resto nemmeno la scelta dell’orientamento la influenza.)
11
La fisica è infatti estranea a tale cinematica se non contiamo l’emissione, propagazione, riflessione ecc. di impulsi
luminosi, da considerare come oggetti primitivi. È precisamente in questo spirito che è concepita la prima parte del
nostro libro.
