Il magnetismo
Il Teorema di Ampere: la circuitazione del campo magnetico.
Richiamiamo la definizione generale di circuitazione per un campo vettoriale
Definizione: si definisce circuitazione di un campo vettoriale lungo una generica linea chiusa
orientata la somma dei prodotti scalari tra il campo vettoriale e il relativo spostamento
in cui viene suddivisa la linea considerata.
Consideriamo un filo percorso da corrente, le linee di campo magnetico per la situazione analizzata
sono circonferenze concentriche al filo stesso. Esaminiamo una sezione di filo vista dall’alto in cui
il filo appare come un punto (assumiamo la corrente uscente dal foglio).
Calcoliamo la circuitazione del campo magnetico per un cammino chiuso che coincida con una
linea del campo magnetico.
Le linee segnate lungo la circonferenza hanno un doppio significato:
rappresentano direzione e verso del campo magnetico nel punto considerato (se
consideriamo al circonferenza come una linea di campo magnetico);
rappresentano gli spostamenti infinitesimi in cui viene suddivisa la linea chiusa che
consideriamo per calcolare la circuitazione.
Inoltre per la legge di Biot Savart abbiamo che il campo magnetico per un filo ad una distanza r
vale:
B=
µ0 i
2π r
Poiché la linea considerata è una circonferenza (in cui il raggio è costante) allora il campo
magnetico B per il cammino considerato ha intensità costante.
Se chiamiamo gli spostamenti infinitesimi lungo al circonferenza ∆s1 , ∆s 2 ,..., ∆s n la circuitazione
vale:
r
r r r r
r
r
C B = B • ∆s1 + B • ∆s 2 + ... + B • ∆s n
()
Poiché per ogni spostamento tangenziale ∆s1 , ∆s 2 ,..., ∆s n il campo magnetico è sempre parallelo e
concorde, allora si ha che il prodotto scalare vale per ogni spostamento:
r
r
B • ∆si = B∆s i cos(0) = B∆s i i = 1,..., n
Allora possiamo scrivere:
r
C B = B∆s1 + B∆s 2 + ... + B∆s n = B(∆s1 + ∆s 2 + ... + ∆s n )
()
La somma d tutti gli incrementi ∆s1 , ∆s 2 ,..., ∆s n però non è altro che la lunghezza della
circonferenza, cioè il cammino chiuso considerato, quindi:
r
C B = B ⋅ 2πr
()
Poiché il campo magnetico per un filo ad una distanza r è dato dalla legge di Biot Savart si ha:
r
µ i
C B = 0 ⋅ 2πr
2π r
()
Semplificando si ottiene:
r
C B = µ 0i
()
Tale risultato è valido in generale e non solo per una circonferenza, pertanto possiamo affermare
che:
Teorema di Ampere sula circuitazione dl campo magnetico
La circuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa con la quale risulti
concatenata una corrente che genera il campo magnetico è sempre uguale al prodotto della
permeabilità magnetica del vuoto per l’intensità di corrente.
Osservazione
Ricordiamo che una corrente si dice concatenata ad una linea chiusa su essa attraversa la superficie
delimitata dalle curva stessa.
Osservazione
Un puntino pieno
significa che al corrente è uscente dal foglio, una croce
che la corrente è entrante nel piano del foglio.
invece significa
Osservazione
Nel caso in cui le correnti concatenate al cammino chiuso siano più di una allora la circuitazione del
campo magnetico è data dal prodotto di µ 0 per la somma della correnti concatenate.
Osservazione
Calcoliamo la circuitazione lungo la linea chiusa rappresentata:
Possiamo osservare che:
r
1. la circuitazione lungo la circonferenza interna vale C B = − µ 0 i (in quanto la corrente
()
genera un campo magnetico che ha verso opposta al senso di percorrenza segnato per il
cammino)
r
2. la circuitazione lungo la circonferenza esterna vale C B = µ 0 i (in quanto la corrente genera
()
un campo magnetico che ha verso concorde al senso di percorrenza segnato per il cammino)
3. lungo i due tratti rettilinei il campo magnetico è perpendicolare ai cammini pertanto il
r
prodotto scalare tra B e gli spostamento è nullo (in questo caso essi sono infatti vettori
perpendicolari).
La circuitazione allora lungo l’intero il cammino chiuso è nullo, il contributo della circonferenza
esterna è infatti annullato dal contributo uguale ed opposto della circonferenza interna.
Si osservi infatti che in questo caso il cammino chiuso non è concatenato con la corrente uscente dal
foglio.
Differenza tra la circuitazione del campo elettrico e del campo magnetico.
Abbiamo visto che la circuitazione del campo elettrico è nulla., infatti se i considera una carica(ad
esempio positiva) contenuta in una superficie chiusa:
Le linee di campo elettrico sono rette con direzione radiale rispetto al carica e avente verso uscente.
La circuitazione del campo elettrico lungo la circonferenza è data dal prodotto scalare tra il vettore
campo elettrico (che ha intensità costante lungo tutti i punti della circonferenza, che sono
equidistanti dalla carica che genera il campo) e gli spostamenti infinitesimi ∆s in cui la
r
circonferenza stessa viene scomposta. Poiché E e ∆s sono in ogni punto perpendicolari il loro
prodotto scalare è sempre nullo. Pertanto la circuitazione del campo elettrico lungo un cammino
chiuso è nulla.
La differenza tra circuitazione del campo elettrico e del campo magnetico è dovuta proprio alla
diversa natura delle linee di campo:
per il campo elettrico esse sono rette radiali uscenti o entranti dalle cariche;
per il campo magnetico esse sono linee chiuse che iniziano e terminano sul magnete stesso o
circonferenza concentriche ad un filo percorso da corrente.
Flusso campo magnetico
Il flusso magnetico è una grandezza scalare che misura la quantità di campo magnetico che
r
attraversa una superficie tenendo conto dell'angolo d'incidenza tra la direzione e il verso di B
dell'area della superficie orientata stessa.
Il valore del flusso di B attraverso la superficie orientata S con cui le linee di campo magnetico
formano un angolo α con la normale alla superficie stessa è dato dalla formula:
r
Φ B = BS cos α
()
Esempio
Caso 1: il flusso generico
Caso 2: flusso massimo (quando le linee di campo sono parallele alla normale alla superficie)
Osservazione il flusso è:
nullo quando la superficie è parallela alle linee di campo magnetico (infatti la normale è
r
perpendicolare a B );
massimo positivo quando la superficie è perpendicolare alle linee di campo e la normale è
parallela e concorde rispetto queste ultime;
massimo negativo quando la superficie è perpendicolare alle linee di campo e la normale è
parallela e discorde rispetto queste ultime.
Il flusso magnetico è indicato nelle formule con la lettera greca Φ e la rispettiva unità di misura SI è
il weber che si indica con w.
[w] = T2
m
Ciò mi permette di dire che il Tesla, unità di misura derivata nel SI del campo magnetico è data
dalla relazione:
[T ] = [w ⋅ m 2 ]
Flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa
Analizziamo ora il flusso generato da un magnete contenuto in una superficie chiusa, come
illustrato nella figura seguente:
E’ immediato notare che il numero delle linee di campo uscenti dalla superficie è uguale al numero
delle linee di campo che entrano nella superficie.
Ciò è dovuto al fatto che un magnete ha sempre polo positivo (da cui escono le linee di campo) e
polo negativo (in cui entrano le linee di campo), quindi le linee del campo magnetico sono linee
chiuse e la conseguenza di questo fatto consiste proprio che per un magnete posto in una superficie
chiusa il numero delle linee uscenti sia uguale a quello delle linee entranti.
Il contributo positivo, dato dalle linee uscenti è pertanto annullato dal contributo negativo delle
linee entranti.
Questo risultato costituisce il
Teorema di Gauss per il flusso del campo magnetico
Il flusso del campo magnetico uscente da una superficie chiusa è sempre nullo, qualunque sia il
campo magnetico e per qualunque superficie.
Analogie e differenze tra i teoremi di Gauss per il flusso del campo elettrico e del campo magnetico.
Un risultato analogo è stato individuato per il campo elettrico
Teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico
r
Il flusso di un campo elettrico E attraverso una superficie chiusa S è dato dalla relazione
Φ S (E ) =
Dove
∑Q
∑Q
ε0
indica la somma algebrica delle cariche contenute nella superficie chiusa.
Analizziamo il caso di una sfera contenente una carica al centro.
Il campo elettrico sul bordo è costante, in quanto tutti i punti della superficie hanno distanza R dal
centro, il flusso in ogni elemento superficiale considerato è massimo perché il campo elettrico è
sempre perpendicolare all’elemento di area considerato, inoltre poiché le linee di campo sono rette
ognuna si esse darà un contributo dello stesso segno.
Anche in questo caso, come per la circuitazione del campo elettrico lungo un cammino chiuso, la
differenza tra i risultati ottenuti è causata sempre dalla diversa natura delle linee di campo del
campo elettrico (radiali rispetto la carica, aperte) e del campo magnetico (chiuse rispetto il magnete
o l’elettromagnete che le origina).
Momento torcente
Consideriamo ora una spira rettangolare percorsa da corrente immersa in un campo magnetico
uniforme. Illustriamo innanzitutto la situazione con un disegno.
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
i
asse di rotazione
Se la spira è libera di girare attorno al proprio asse, notiamo che essa quando si trovare disposta in
certe posizioni ruota sino a fermarsi, cioè sino a giungere ad una posizione di equilibrio.
Analizziamo quindi le forze che agiscono sui rami della spira che sono tutti perpendicolari al campo
magnetico.
Forze verticali
Dalla relazione
F = bil
possiamo stabilire direzione e verso delle forza agente sui fili percorsi da corrente immersi in
campo magnetico (la situazione descritta è analoga a quella dell’esperienza di Oersted).
Utilizziamo la regola della mano destra applicata ai rami BC e AD della spira.
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
i
asse di rotazione
Tutti i lati della spira sono perpendicolari al campo e quindi essi sono sottoposti ad una forza
magnetica massima.
Sui lati BC e AD (che sono fili percorsi da corrente immersi in un campo magnetico) agisce una
forza che è possibile determinare utilizzando la regola della mano destra:
sul lato superiore della spira agisce una forza diretta verso il basso, la cui intensità è data
dalla relazione
FBC = Bil
sul lato inferiore della spira agisce una forza diretta verso l’alto, la cui intensità è data dalla
relazione
FDA = Bil
Poiché la corrente che passa nei fili ha la stessa intensità, inoltre la lunghezza l dei fili è la stessa
(cioè assumiamo che si la stessa in quanto ciò comporta un errore trascurabile) ed infine dall’essere
il campo magnetico costante possiamo affermare che le due forze hanno intensità uguale con verso
opposto. Pertanto le forze verticali agenti sulla spira sono tali che:
Fy → FBC − FAD = 0
Cioè sulla spira non agisce alcuna forze diretta verticalmente in quanto le due forze verticali sono
opposte e si annullano.
Forze orizzontali
Come prima utilizziamo la relazione
F = bil
possiamo stabilire direzione e verso della forza agente sui fili.
Utilizziamo la regola della mano destra applicata ai rami AB e CD della spira.
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
i
asse di rotazione
Tutti i lati della spira sono perpendicolari al campo e quindi essi sono sottoposti ad una forza
magnetica massima.
Sui lati AB e CD (che sono fili percorsi da corrente immersi in un campo magnetico) agisce una
forza che è possibile determinare utilizzando la regola della mano destra:
sul lato AB della spira agisce una forza diretta verso il lato CD, la cui intensità è data dalla
relazione
FAB = Bil
sul lato CD della spira agisce una forza diretta verso il lato AB, la cui intensità è data dalla
relazione
FCD = Bil
Poiché la corrente che passa nei fili ha la stessa intensità, inoltre la lunghezza l dei fili è la stessa
(cioè assumiamo che si la stessa in quanto ciò comporta un errore trascurabile) ed infine dall’essere
il campo magnetico costante possiamo affermare che le due forze hanno intensità uguale con verso
opposto. Tuttavia a differenza del caso precedente le forze ora si trovano disposte su rette parallele
ma non coincidenti, quindi non si annullano. Illustriamo la situazione con un disegno che mostri
una vista dall’alto di quanto illustrato.
Polo positivo
Polo negativo
C=D
A=B
Pertanto le forze orizzontali non si trovano sulla stessa retta pertanto queste due forze costituiscono
una coppia di forze che fa ruotare la spira attorno al suo asse di rotazione, abbiamo allora un
movimento rotatorio per la spira che viene detto momento torcente.
Tale movimento rotatorio tende a far ruotare la spira sino ad una posizione di equilibrio.
La coppia di forze si trova in equilibrio quando le forze FAB e FCD si trovano sua stessa rette, allora
la spira sarà in equilibrio. Tuttavia abbiamo due possibilità per l’equilibrio (cioè vi sono due
situazioni in cui le forze FAB e FCD sono allineate).
Osservazione
La posizione di equilibrio della spira è quella in cui è massimo il flusso di campo magnetico
attraverso la spira stessa.
Definizione: un punto per un sistema si dice punto di equilibrio stabile se il sistema ritorna allo stato
di equilibrio dopo una piccola perturbazione.
Definizione: un punto per un sistema si dice punto di equilibrio instabile se il sistema si allontana
dallo stato di equilibrio dopo una piccola perturbazione.
La spira immersa nel campo magnetico pertanto tende ad allineare la linea di campo centrale con la
direzione del campo magnetico uniforme in cui è immersa.
La posizione con la linea di campo centrale parallela e concorde con il campo magnetico uniforme è
pertanto una posizione di equilibrio stabile.
(infatti se in questa posizione la spira viene sollecitata torna alla posizione iniziale)
La posizione con la linea di campo centrale parallela e discorde rispetto il campo magnetico
uniforme è pertanto una posizione di equilibrio instabile.
(infatti se in questa posizione la spira viene sollecitata no torna alla posizione iniziale ma ruota
disponendosi in una posizione di equilibrio stabile)
Spira percorsa da corrente e motore elettrico
Il moto rotatorio della spira è alla base del funzionamento dei motori elettrici: l'energia elettrica che
attraversa la spira è utilizzata per far ruotare la spira immersa nel campo magnetico e trasformare
quindi energia elettrica in energia di meccanica di movimento. Consideriamo il seguente schema:
Polo positivo
Polo negativo
C
B
D
A
i
elemento variabile che fa
variare la resistenza
+
-
Descriviamo le componenti ed il funzionamento del motore elettrico.
1.
La spira è collegata tramite un circuito ad un generatore di fem;
2.
la spira è percorsa da corrente;
3.
la linea di campo centrale della spira (che si ottiene a causa della corrente che la percorre) fa
ruotare la spira affinché la linea di campo centrale si allineata con le linee del campo
magnetico in cui è immersa la spira stessa;
4.
abbiamo allora un movimento meccanico;
5.
la spira alla base ha due spazzole che strisciano su due semianelli (divisi tra loro) collegati al
circuito, la spira pertanto è un elemento che serve per chiudere il circuito;
6.
quando la spira giunge alla posizione di equilibrio stabile (linea di campo centrale allineata
con le linee del campo magnetico) le spazzole, che sono state disposte in maniera apposita, a
causa del movimento rotatorio invertono la loro polarità, cioè:
la spazzola che era contatto con il semianello di destra ora si ritrova a contatto con il
semianello di sinistra;
la spazzola che era contatto con il semianello di sinistra ora si ritrova a contatto con il
semianello di destra;
7.
ciò inverte il verso di percorrenza della corrente nella spira che da una posizione di equilibrio
stabile si ritroverà in una posizione di equilibrio instabile;
8.
pertanto la spira ripeterà il procedimento descritto per portarsi di nuovo in una posizione di
equilibrio stabile.
9.
a causa della disposizione delle spazzole che ruotano sui semianelli il movimento rotatorio
continuerà finché la spira sarà percorsa da corrente.
Inoltre nella parte di destra del circuito è presente un ramo variabile del circuito stesso che scorre su
una resistenza, tale dispositivo fa variare appunto la resistenza R del circuito che per la legge di
Ohm:
i=
∆V
R
controlla il valore dell’intensità di corrente che circola nel circuito e quindi anche nella spira,
pertanto da tale valore dipende la velocità di rotazione del dispositivo.
Il dispositivo mobile funziona quindi come l’acceleratore:
all’aumentare della resistenza diminuisce l’intensità di corrente e quindi il moto rotatorio è
meno intenso;
al diminuire della resistenza aumenta l’intensità di corrente e quindi il moto rotatorio è più
intenso.
Proprietà magnetiche della materia
Sulla base delle proprietà magnetiche, che vengono evidenziate quando esse vengono immerse in un
campo magnetico, i materiali vengono classificati in tre categorie:
1. diamagnetici;
2. paramagnetici;
3. ferromagnetici.
Le sostanze diamagnetiche in presenza di un campo magnetico esterno, manifestano una debole
magnetizzazione diretta in senso opposto rispetto al campo inducente;
Le sostanze paramagnetiche in presenza di un campo magnetico esterno manifestano una debole
magnetizzazione concorde al verso del campo indicente;
Le sostanze ferromagnetiche in presenza di un campo magnetico esterno reagiscono invece con
un’intensa magnetizzazione di segno concorde al campo inducente, magnetizzazione che
conservano anche dopo l’allontanamento dalla sorgente del campo.
Pertanto:
i materiali diamagnetici fanno diminuire di poco l’intensità del campo magnetico in cui sono
immersi;
i materiali paramagnetici fanno aumentare di poco l’intensità del campo magnetico in cui
sono immersi;
i materiali ferromagnetici fanno aumentare di molto l’intensità del campo magnetico in cui
sono immersi.
Domini ferro magneti o domini di Weiss: magnetizzazione della materia
Riguardo la capacità delle sostanze ferromagnetiche di mantenere proprietà magnetiche anche dopo
l’allontanamento dal campo magnetico in cui sono state immerse, possiamo osservare ciò accade in
quanto a livello atomico, il numero e la disposizione degli elettroni negli orbitali sono tali da creare
un effetto magnetico permanente. Nelle sostanze ferromagnetiche si osserva una tendenza degli
atomi adiacenti ad accoppiare i rispettivi momenti magnetici, essi sono raggruppati in piccoli gruppi
– i cosiddetti domini di Weiss – microscopiche aree di materiale all’interno delle quali i momenti
magnetici sono orientati tutti nella stessa direzione. In assenza di un campo magnetico esterno,
l’orientazione dei domini di Weiss è casuale e tale da non produrre alcun effetto magnetico
macroscopico; quando, invece, il materiale viene sottoposto all’azione di un campo magnetico
esterno, i domini orientati nella direzione del campo si espandono occupando gli altri domini
provocando una magnetizzazione uniforme del materiale (detta condizione di saturazione).
Osservazione
Esempio di allineamento dei domini di Weiss per un materiale ferromagnetico sottoposto ad un
campo magnetico verticale diretta dal basso verso l’alto.
Quando i domini sono tutti allineati come nella terza figura, si ha la condizione di saturazione.
Il ciclo di isterèsi
Diamo innanzitutto il significato della parola isteresi:
Isteresi: in fisica è un fenomeno per cui la risposta di un sistema a uno stimolo esterno dipende
anche da tutte le reazioni che il sistema aveva dato in precedenza allo stesso stimolo. Si
ottiene che le grandezze fisiche relative agli stimoli non risultano perfettamente reversibili
e descrivono delle curve dette curve d'isteresi.
Questo fenomeno è determinato dalla struttura della materia. Se si rappresenta in un sistema di
riferimento cartesiano la magnetizzazione di un materiale ferromagnetico in funzione del campo
magnetico applicato, e quindi della corrente utilizzata per provocare al magnetizzazione, questo
comportamento corrisponde ad ben preciso grafica che ora andiamo ad analizzare.
Consideriamo un materiale ferromagnetico che venga sottoposto ad un campo magnetico variabile
dipendente dall’intensità di corrente i che lo genera.
Supponiamo che allo stato iniziale il campo magnetico del materiale sia nullo.
Fase 1
Aumentiamo intensità di corrente in cui è sottoposto il materiale, aumenta quindi il campo
magnetico, sino ad un valore limite in corrispondenza del quale pur aumentando l’intensità di
corrente non aumenta il valore di B per il materiale.
Fase 2
Invertiamo il verso dell’intensità di corrente che ora diminuisce sino a zero e continuiamo ad
aumentare l’intensità in verso opposto rispetto alla Fase 1, allora il materiale è sottoposto ad un
campo magnetico opposto al primo che provoca una magnetizzazione della sostanza opposta alla
prima, sino ad un valore limite in corrispondenza del quale pur aumentando l’intensità di corrente
non aumenta il valore attuale di B per il materiale.
Fase 3
Invertiamo di nuovo il verso dell’intensità di corrente che ora cresce come nella Fase 1 sino a zero e
continuiamo ad aumentare l’intensità, allora il materiale è sottoposto ad un campo magnetico come
nella prima curva però la magnetizzazione che ora si ottiene un grafico che non è sovrapposto alla
prima curva ma aumentando l’intensità di corrente si giunge al valore massimo si magnetizzazione
raggiunto al termine della fase 1.
Facendo variare ora al corrente il grafico ripercorre i rami tracciati nella Fase 2 e nella Fase 3.
Osservazioni
Quando l’intensità di corrente nella fase 2 e nella 3 vale zero il materiale presenta magnetizzazione
residua non nulla, in accordo con le proprietà dei materiali ferromagnetici.
I punti di saturazione per il livello di magnetizzazione sono 2, non è possibile indurre nel materiale
considerato valori maggiori di magnetizzazione.
La prima curva di magnetizzazione non viene ripercorsa poiché i materiali ferromagnetici
conservano una capacità magnetica dopo che non sono più sottoposti al campo magnetico.
Grafico del ciclo d’isteresi
