Dispensa sui modelli quadratici in economia - web

Modelli matematici in economia – Modelli quadratici
1. Sconto progressivo
Capita spesso che un fornitore pratichi prezzi differenti in base alla quantità di pezzi di un
determinato articolo che vengono acquistati. Ad esempio, supponiamo che io abbia bisogno di farmi
stampare dei volantini pubblicitari. La tipografia potrebbe farmi questa proposta: i volantini costano
5 centesimi l'uno, ma se ne compro almeno 1000 costano 4 centesimi e se ne compro almeno 10000,
3 centesimi.
La maniera più semplice per realizzare un modello matematico di questa situazione è quella di
ipotizzare uno sconto proporzionale al numero di pezzi acquistati. Ricordiamo che se S è lo sconto
su un articolo il cui costo pieno è C0, il costo effettivo C è dato da: C=C 0⋅1−S  . Così ad
esempio, per un articolo che costa 250,00 euro, scontato al 15% (cioè S=0,15 ), pagherò:
C=250,00⋅1−0,15=212,50 euro.
Indicando quindi con n il numero di pezzi venduti, lo sconto è S=s⋅n , dove s rappresenta
quanto aumenta lo sconto per ogni pezzo venduto. Con numeri molto grandi può essere comodo
indicare con s l'aumento dello sconto per migliaia di pezzi venduti. In tal caso lo sconto applicato è:
n
S=s⋅
(analogamente se s indica l'aumento dello sconto per milione di pezzi venduti).
1000
Possiamo quindi scrivere il costo di ogni pezzo nell'ipotesi che siano stati acquistati n pezzi e che
n
 .
venga praticato uno sconto progressivo s ogni 1000 pezzi venduti: C=C 0⋅1−s⋅
1000
Fin qui abbiamo ragionato sul costo del singolo pezzo, ma la spesa totale C Tot è data dal prodotto
s
 . Osserviamo che
del costo di un pezzo C per il numero di pezzi n: C Tot =n⋅C 0⋅1−n⋅
1000
all'aumentare di n diminuisce il prezzo unitario ma si vendono più pezzi. È quindi ipotizzabile che
vi sarà un particolare valore di n per cui C Tot è massimo (massimo ricavo per il venditore o
massima spesa per il compratore).
Facciamo un esempio realistico ipotizzando che una software house proponga la seguente offerta
per stampare dei DVD: 0,90 centesimi l'uno con uno sconto del 6% ogni mille pezzi acquistati.
Come dipende il ricavo della software house (e la spesa del cliente) dal numero di DVD?
La variabile indipendente (x) in questo caso è il numero n di pezzi mentre la variabile dipendente
0,06
 , cioè y=−0,000054 x 20,9 x . Si tratta
(y) è il ricavo totale C Tot . y=0,90⋅x⋅1−x⋅
1000
di una parabola con la concavità rivolta verso il basso, e quindi il vertice corrisponde a un punto di
0,9
=8333 . Questo valore
massimo. Calcoliamo la coordinata x del vertice: x V =−
2⋅−0,000054
rappresenta il numero di DVD venduti che garantisce alla software house il massimo ricavo. Infatti,
anche vendendo più pezzi, il prezzo si abbassa a causa dello sconto progressivo, e con esso anche il
ricavo. Calcoliamo infine il ricavo massimo, cioè quello che si ottiene con n=8333 :
2
C Max =−0,000054⋅8333 0,9⋅8333=3750 euro.
2. Prezzo e domanda
Come viene stabilito il prezzo di vendita di un certo articolo? Sicuramente il produttore deve
rientrare in tutti i suoi costi, altrimenti fallirebbe subito. Dovendo decidere di quanto ricaricare il
prezzo, il produttore ha un ovvio obiettivo: realizzare il più alto guadagno possibile. A prima vista
sembrerebbe che questo obiettivo sia facile da realizzare: basta imporre un prezzo molto alto. Ma
quanto alto? È chiaro che se il prezzo dell'articolo è molto alto nessuno lo compra e quindi il
guadagno del produttore svanisce. Viceversa, diminuendo il prezzo il numero di clienti che
acquistano l'articolo aumenta (anche se su ogni vendita il guadagno è basso). Si hanno quindi i due
casi limite: prezzo bassissimo, tutti comprano l'articolo ma il guadagno unitario è inesistente;
prezzo altissimo, nessuno compra l'articolo. Per valori intermedi del prezzo il produttore avrà il suo
guadagno che dipende dal prezzo applicato; in particolare per una certa scelta del prezzo il
guadagno sarà massimo.
In questo caso si tratta di rappresentare mediante un modello matematico come il guadagno del
produttore dipende dal prezzo di vendita dell'articolo. La nostra variabile indipendente (x) sarà il
prezzo di vendita. Indicando con c il costo di produzione di un articolo, il guadagno del produttore
sulla vendita di un singolo pezzo è: x−c . Pertanto, indicando con n il numero di pezzi venduti,
guadagno totale sarà: G=n⋅ x−c . Ora, n a sua volta dipende da x (prezzo basso molte vendite,
prezzo alto poche vendite...). Un'ipotesi ragionevole su come il numero di pezzi venduti dipende dal
prezzo di vendita è la seguente: se l'articolo fosse in omaggio ( x=0 ) n coinciderebbe con la
totalità dei potenziali clienti, che indicheremo con N 0 . Vi è poi un valore del prezzo,
chiamiamolo p 0 , per cui l'articolo è fuori mercato e nessuno lo compra. Interpoliamo tra questi
x
due valori con una espressione di primo grado in x: n  x =N 0⋅1−  .
p0
Possiamo a
questo punto mettere tutto insieme e dare un'espressione per il guadagno del
x
produttore: G=N 0⋅1− ⋅ x−c  . È facile osservare che l'espressione ottenuta – considerando
p0
G come variabile indipendente y – è una parabola avente la concavità rivolta verso il basso, e quindi
vi sarà un valore di x per cui il guadagno è massimo.
Prendiamo come esempio N 0 pari a un milione di potenziali clienti per un articolo che ha un
costo di produzione di 2 euro e che è da considerarsi fuori mercato con un prezzo di 40 euro. Se
x
indichiamo con y il guadagno del produttore in milioni di euro, si avrà: y=1− ⋅ x−2 ,
40
2
cioè: y=−0,025 x 1,05 x−2 . Il massimo guadagno si ha in corrispondenza del vertice della
1,05
=21 , a cui corrisponde G=−0,025⋅212 1,05⋅21−2=9,025
parabola, per x V =−
2⋅−0,025
milioni di euro.