Tecnica e Sperimentazione Aerospaziale

Tecnica e Sperimentazione Aerospaziale
c
°Simone
& Andrea
Indice
1
2
Analisi Statistica delle incertezze
1.1 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Descrizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Media e deviazione standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementi di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Probabilità e sue proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Rappresentazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Distribuzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Funzione normale di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Livello di confidenza e fattore di copertura . . . . . . . . . . .
1.2.7 Giustificazione di media come miglior stima . . . . . . . . . .
1.2.8 Distribuzione t di student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Rigetto dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Propagazione delle incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Regole provvisorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Correzione alle formule precedenti . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Fattori di amplificazione delle incertezze . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Normativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Regressione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Incertezza sui coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Relazione lineare per grandezze che non dipendono linearmente
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Lo Strumento Generalizzato
2.1 La misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Descrizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modello sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Caratteristiche dinamiche degli strumenti . . . .
2.2.2 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Approssimazione statica di un sistema dinamico
2.3 Linearizzazione risposta ingresso-uscita . . . . . . . . .
2.3.1 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Calibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Accuratezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Altre caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE
3
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Elaborazione dei segnali
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Amplificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Guadagno e CMMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Impedenze di ingresso e di uscita . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Tensione di alimentazione . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Configurazione invertente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Configurazione non invertente . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Configurazione a buffer unitario . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Circuito sommatore invertente . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Circuito derivatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Circuito integratore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Tipologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Caratteristiche dei filtri reali . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Realizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Trasmissione dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Visualizzazione e registrazione dei dati . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Scheda di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Conversione analogico-digitale . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Tipi di convertitori A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Convertitore a rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Convertitore flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Convertitore ad approssimazioni successive . . . . . . .
3.7.4 Convertitore D/A a resistenze pesate . . . . . . . . . . .
3.8 Sample and Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Scelta della frequenza di campionamento . . . . . . . .
3.8.3 Uso dei filtri per limitare la frequenza di campionamento
3.9 Analisi in Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Trasformata discreta di Fourier . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Tipologie delle schede di acquisizione . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 S&H e A/D multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 S&H e A/D singoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.3 S&H multipli e A/D singolo . . . . . . . . . . . . . . .
Trasduttori
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Potenziometri . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Estensimetri . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Condizionamento . . . . . . . . . .
4.3.2 Disposizione . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Contributo dei cavi di collegamento
4.3.4 Effetti di carico . . . . . . . . . . .
4.3.5 Utilizzo per altri trasduttori . . . . .
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91
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INDICE
4.4
4.5
4.6
4.7
3
Trasduttori capacitivi . .
LVDT e RVDT . . . . .
Trasduttori piezoelettrici
Encoder . . . . . . . . .
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Premessa
Tali appunti sono il frutto di un’intensa collaborazione volta ad offrire un valido aiuto al superamento dell’esame. Essi sono la trascrizione più o meno pedissequa delle lezioni tenute
nell’anno accademico 2004-2005 dal Prof Dozio. Si è usato il programma di editoria, completamente free, LATEX. E’ nostro dovere avvertire che tali note NON sono sufficienti al superamento dell’esame. Oltre a queste pagine sono presenti in bacheca anche gli appunti ufficiali di
Dozio, anche se probabilmente incompleti, e i lucidi di Ghiringhelli. Si noti che queste pagine
sono nate proprio per costruire la dispensa finale del corso in accordo col Prof Dozio. Infine
si ricorda che è presente una bibliografia, in particolare il testo di Wheeler... è eccellente. Si
noti però che non copre affatto tutto il corso e serve più a dare un’idea, molto precisa, della
globalità della materia. Inoltre sono presenti esempi molto azzeccati.
In ogni modo, teniamo doveroso dare alcuni consigli per il superamento dell’esame:
• Seguire le lezioni.
• Studiare queste note.
• Leggere attentamente ogni pagina del Wheeler..., anche del programma non svolto.
Infatti molti esercizi sono tratti da questo libro, ovviamente nella parte non fatta.
• Svolgere tutti gli esercizi d’esame possibili, cercando di capire e colmare le lacune
pregresse, specialmente elettrotecnica, dinamica, automatica, scienza delle costruzioni.
• Studiare C.
• Studiare ancora queste note.
Diciamo in bocca al lupo ad ogni studente che deve affrontare questa materia, per ogni
evenienza, anche per notizie sull’editor di testo:
[email protected]
In bocca al lupo!
Simone & Andrea.
4
Capitolo 1
Analisi Statistica delle incertezze
1.1 Incertezze
1.1.1 Descrizione
Ogni misura ha un’incertezza: non siamo in grado di conoscere esattamente il valore vero di
ciò che stiamo misurando. Ogni misura è affetta da un errore.
Le incertezze possono essere divise in due categorie:
• incertezze casuali: producono una distribuzione casuale intorno al valore probabile
della misura. possono essere individuate ripetendo più volte la misura, e possono essere
trattate con metodi statistici. Si riducono effettuando più volte la misura.
• incertezze sistematiche: producono una differenza costante tra il valore medio e il valore esatto. Non possono essere individuate ripetendo più volte la misura, ma attraverso
un confronto con una misura di riferimento. Si riducono effettuando una calibrazione
dello strumento.
Chiamiamo X il valore della grandezza che vogliamo misurare (misurando). Allora
X = Xmedio ± δx
dove si è indicato con δx il margine di incertezza.
Ne risulta che il valore esatto della misura è
Xmedio − δx ≤ Xesatto ≤ Xmedio + δx
ESEMPIO
Si vuole scoprire se un oggetto sia fatto d’oro o di una lega. Si conosce la densità dell’oro:
ρoro = 15.5
g
cm3
e la densità della lega sospetta:
g
cm3
Due diverse persone A e B misurano la densità dell’oggetto e trovano:
ρsosp = 13.8
ρA = 15 ± 1.5
5
g
cm3
1.1. INCERTEZZE
6
g
cm3
Il margine di incertezza della misura data dall’osservatore A è troppo grande: esso comprende sia il valore di densità dell’oro, sia quello della lega sospetta. La misura dell’osservatore B invece è più accurata, e consente di dire che è probabile che l’oggetto non sia fatto di oro.
ρB = 13.9 ± 0.2
Questo esempio ci permette di introdurre il concetto di discrepanza: la differenza tra i
valori probabili.
Allora si parlerà di discrepanza non significativa se le misure sono compatibili, ossia se esiste
una sovrapposizione (anche parziale) dei margini di incertezza; si parla invece di discrepanza
significativa se le misure non sono compatibili.
Ci si renderà però conto che il valore dell’incertezza è importante se confrontato con la
grandezza misurata: un errore di 1 metro su una misura di 10 Km è accettabile, mentre diventa
significativa se la misura è di 10 m! Si introduce allora l’utile concetto di incertezza relativa:
ε=
δx
| Xm |
(1.1)
1.1.2 Media e deviazione standard
Tutte le consideazioni si basano su una serie di valori, che però risulta limitata. Si deve far
in modo che il campione di dati che è stato rilevato sia un estratto significativo dell’insieme
infinito di dati.
Per misurare X sono state effettuate diverse misure X1 , X2 , . . . , XN . Si definisce il valore
più probabile come:
PN
Xi
(1.2)
µˆx = i=1
N
dove µˆx indica il valore medio rilevato (diverso dal valore medio statistico).
É necessario individuare un numero che identifichi la dispersione dei valori rispetto a µˆx .
Un primo modo è quello di usare gli scarti delle misure dal valore medio:
di = Xi − µˆx
Se i di sono piccoli, le misure effettuate sono precise. C’è però bisogno di un indice globale.
Si potrebbe pensare di prendere il valore medio degli scarti:
N
N
1 X
1 X
µˆd =
di =
(Xi − µˆx )
N i=1
N i=1
ma come si
facilmente
quantità è nulla: scomponendo la sommatoria si
Ppuò
PNverificare, questa
N
1
1
1
ottiene N i=1 Xi − N i=1 µˆx = µˆx − N N µˆx = 0
Allora si prende lo scarto quadratico medio, chiamato anche varianza della popolazione:
N
1 X
2
ˆ
σx =
(Xi − µˆx )2
N i=1
É importante anche la deviazione standard della popolazione, che è definita a partire dalla
varianza:
q
σˆx = σˆx 2
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
7
Si noti che la deviazione standard ha le stesse unità di misura della grandezza X.
Quando il numero N di misure è inferiore a 30, si usano la varianza e la deviazione standard
del campione:
N
1 X
σˆx 2 =
(Xi − µˆx )2
(1.3)
N − 1 i=1
v
u
N
u 1 X
t
(Xi − µˆx )2
(1.4)
σˆx =
N − 1 i=1
Usando queste definizioni, il loro valore è più vicino al valore statistico vero quando N < 30
ESEMPIO
Per ottenere il valore della costante elastica di una molla vengono effettuate le seguenti misure:
K1 = (86 85 84 89 85 89 87 85 82 85) N
m
a cui corrispondono i seguenti valori di media e deviazione standard:
µˆK1 = 85.7 N
m
σˆK1 = 2.16 N
m
La deviazione standard indica l’errore che si compie usando quel preciso strumento o metodo
di misura. Quindi se possiedo una seconda molla e voglio misurarne la costante elastica K2 ,
posso semplicemente effettuare una sola misura, ed esprimere la grandezza come:
K2 = 71 ± 2 N
m
dove 2 é la deviazione standard che è stata arrotondata per aver lo stesso numero di cifre
significative del valor medio.
Se ora avessi un campione di N molle, e volessi ottenere la costante elastica media di tutte le
N molle, si effettuano m misure per una sola molla e si rileva la sua deviazione standard (ad
esempio 2.16 N
); si calcola il valor medio della costante elastica, poi:
m
σˆK
K = µˆK ± √ 1
N
dove la
σˆ
√K1
N
esprime l’incertezza sul valore medio di un campione.
(1.5)
1.2 Elementi di probabilità
Si ottiene una dispersione dei dati attorno a un valore medio perché una misurazione non è un
evento prevedibile: il risultato è originato da un processo casuale.
Effettuando più volte la misurazione, si può dedurre la legge statistica che la governa.
Consideriamo come esempio il lancio di un dado a sei facce. Si definiscono:
• Esito (s): il singolo risultato di un esperimento. Nell’esempio, s è uno dei 6 possibili
risultati del lancio.
• Spazio degli esiti (S): L’insieme di tutti gli esiti possibili. Nel nostro caso: s ∈ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
8
• Evento (A): è un sottoinsieme qualunque degli esiti. Ad esempio si puó considerare
l’uscita di numeri dispari: A1 = {1, 3, 5}.
Se:
½
A ≡ S, l’evento si dice certo;
A ≡ ∅, l’evento si dice nullo.
Supponiamo ora di lanciare il dado N volte, ossia che il numero di esiti sia N, e supponiamo
che NA sia il numero di volte che si verifica un evento A. Si definisce frequenza relativa con
cui capita l’evento A:
NA
0 ≤ FA ≤ 1
(1.6)
FA =
N
FA = 0 se l’evento è nullo, mentre FA = 1 se l’evento è certo.
1.2.1 Probabilità e sue proprietà
Si definisce probabilità che avvenga un certo evento A:
P (A) = lim
N →∞
NA
N
0 ≤ P (A) ≤ 1
É immediato vedere che P (A) = 0 in caso di evento nullo e P (A) = 1 in caso di evento certo.
Si enunciano le seguenti proprietà, valide solo nel caso in cui due eventi A e B sono
stocasticamente indipendenti, ovvero l’evento B non dipende dall’evento A e viceversa1 :
• P (A) = 1 − P (A)
in cui A rappresenta l’evento complementare di A, ossia che accade se non accade A.
• P (A + B) = P (A) + P (B)
se A e B sono due eventi mutuamente esclusivi, ossia che non possono accadere contemporaneamente.P (
B) è la probabilità che avvenga un evento oppure l’altro.
• P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)
se A e B non sono mutuamente esclusivi. P(AB) rappresenta la probabilità che i due
eventi possano avvenire contemporaneamente.
• P (AB) = P (A)P (B)
1.2.2 Rappresentazione grafica
Supponiamo di avere 10 misure di una grandezza X:
{ 26; 24; 26; 28; 23; 24; 25; 24; 26; 25 }
Riportiamo questi valori in una tabella. Nella colonna di sinistra inseriamo i diversi M valori
assunti da X, nella colonna di destra il numero di volte che quel valore è stato ottenuto:
Xk
23
24
25
26
28
1
Nk
1
3
2
3
1
Si noti che, almeno in questo corso si avrà sempre a che fare con eventi stocasticamente indipendenti. Una
trattazione più ampia ma elementare è presente ad esempio in: Maraschini - Palma, ForMat, Spe
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
9
PM
PN
k=1 Xk Nk
La stima del valore medio µˆX =
i=1 Xi =
N
Ricordando poi l’equazione (1.6), si può calcolare la media come:
1
N
µˆX =
M
X
Xk Fk
(1.7)
k=1
Possiamo quindi compilare una nuova tabella
Xk
23
24
25
26
28
Nk
1
3
2
3
1
Fk
0.1
0.3
0.2
0.3
0.1
0.35
0.3
0.25
0.2
Fk
0.15
0.1
0.05
0
23
24
25
26
28
Xk
Figura 1.1: Primo istogramma
Questo si può fare solo se le misure sono intere ed equispaziate. Consideriamo invece il seguente insieme di misure:
Xi ={26.4; 23.9; 25.1; 24.6; 22.7; 23.8; 25.1; 23.9; 25.3; 25.4} Dobbiamo definire degli intervalli entro i quali calcolare Fk
Prendiamo i valori massimi e minimi dell’insieme:
Xmax = 26.4
Xmin = 22.7
e prendiamo un dominio che li contenga entrambi, ad esempio [22,27], e scegliamo una spaziatura ∆k = 1.
Si definisce densità di frequenza:
fk =
Fk
∆k
(1.8)
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
10
Si può compilare una seconda tabella con questi valori, e tracciare un secondo istogramma.
In questo esempio i risultati sono coincidenti, perché si è scelto ∆k = 1. Cambia solo che al
posto di avere dei segmenti, si hanno dei rettangoli.
Xk
23
24
25
26
28
Nk
1
3
2
3
1
fk
0.1
0.3
0.2
0.3
0.1
0.4
0.35
0.3
0.25
Fk 0.2
0.15
0.1
0.05
0
22
23
24
25
26
27
28
Xk
Figura 1.2: Secondo istogramma
La probabilità che una misura X cada nell’intervallo [Xi , Xj ] è:
P (Xi ≤ X ≤ Xj ) =
j
X
fk ∆ k
(1.9)
k=i
1.2.3 Densità di probabilità
Per rappresentare meglio la distribuzione dei valori, si deve diminuire ∆k , e contemporaneamente aumentare il numero di misure effettuate. Se N → ∞, ∆k → dx. Allora fk tende ad
una funzione continua, che chiamiamo densità di probabilità, e che indichiamo con p(x).
Facendo un passaggio al limite, si vede che la (1.9) assume l’espressione:
Z Xj
P (Xi ≤ X ≤ Xj ) =
p(x) dx
(1.10)
Xi
La probabilità è l’area sottesa dalla funzione densità di probabilità.
Essa gode delle seguenti proprietà:
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
Z
11
∞
•
p(x) dx = 1
−∞
ossia la densità di probabilità è una funzione normalizzata. Questo indica che la probabilità che avvenga un evento qualunque è un evento certo.
Z x̄
• P (X ≤ x̄) =
p(x) dx
−∞
Z
x̄
• P (X ≥ x̄) = 1 − P (X ≤ X̄) = 1 −
p(x) dx
−∞
• P (X = x̄ = 0)
Poiché la funzione è continua e p(x) : R → R , i valori che può assumere sono infiniti, e
quindi la probabilità che assuma un preciso valore è un evento nullo.
Ricordando l’equazione (1.7), ed effettuando il passaggio al limite, si possono dare le seguenti
definizioni:
Z ∞
µx =
xp(x) dx
(1.11)
Z
σx 2 =
−∞
∞
(x − µx )2 p(x) dx
(1.12)
−∞
Questi sono i veri valori statistici della media e della varianza.
ESEMPIO
Sia data la densità di probabilità di vita di un cuscinetto a sfera:
½
0,
se x < 10h;
p(x) =
200
, se x ≥ 10h.
x3
Si chiede di trovare la probabilità che la vita del cuscinetto sia x = 20h, x ≥ 20h, x ≤ 20h.
∗)P (x = 20) = 0, perché come già detto, la densità di probabilità non può assumere un
preciso valore.
R 20
R 10
R 20
p(x) dx = −∞ 0 dx + 10
£
¤20
Quindi P (x ≥ 20) = − 100
= 0.25 = 25%
2
x
10
∗)P (x ≥ 20) =
−∞
200
x3
dx
∗)P (x ≤ 20) = 1 − P (x ≥ 20) = 1 − 0.25 = 0.75 = 75%
Calcoliamo anche la vita media:
µx =
R 20
10
200
x3
dx = 20h
1.2.4 Distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss è definita dalla seguente densità di probabilità:
p(x) =
(x−µ)2
1
√ e− 2σ2
σ 2π
(1.13)
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
12
Per studiare la funzione, disegnare il grafico, e capire cosa rappresentano i parametri µ e σ,
risulta utile effettuare un cambio di variabili: z = x−µ
σ
Allora si osserva che:
p(z)
p(x)
−∞ ≤ z ≤ ∞
−∞ ≤ x ≤ ∞
p(z) > 0
p(x) > 0
p(-z) = p(z)
p(-x+µ) =p(x-µ)
limz→±∞ p(z) = 0
limx→±∞ p(x) = 0
1
1
p(0) = √
p(µ) = √
σ 2π
σ 2π
p’(z) = 0 in z = 0
p’(x) = 0 in x = µ
p”(z) = 0 in z = ±1 p”(x) = 0 in x = µ ± σ
µ−σ
µ
µ+σ
Figura 1.3: Distribuzione di Gauss
Ma cosa rappresentano i parametri µ e σ che compaiono? Per scoprirlo è necessario calcolare
il valore medio della distribuzione di Gauss. Ricordando la (1.11),
Z ∞
(x−µ)2
x
√ e− 2σ2
µz =
−∞ σ 2π
Effettuando il cambio di variabili: z = x−µ
che porta ad ottenere x = µ + σz e quindi
σ
dx = σdz, otteniamo
Z ∞
µ + σz − z2
√ e 2 σdz
µz =
−∞ σ 2π
¶
µZ ∞
Z ∞
2
2
1
2
− z2
− z2
µz = √
σ ze dz
σµe dz +
σ 2π
−∞
−∞
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
Il primo integrale si dimostra essere2 :
1
µz = √
σ 2π
13
R∞
z2
e− 2 dz =
−∞
√
2π. Allora
¶
µ
h
2 i∞
√
− z2
=µ
σµ 2π + −e
−∞
Quindi il parametro µ rappresenta proprio il valore medio della distribuzione di Gauss. Questo
implica che la funzione è centrata sul valor medio se non ci sono errori sistematici, ma solo
errori casuali.
Con un analoga trattazione si può dimostrare che il parametro σ rappresenta il valore della
deviazione standard.
1.2.5 Funzione normale di probabilità
Per calcolare la probabilità che x1 ≤ x ≤ x2 è necessario risolvere l’integrale:
Z x2
(x−µx )2
1
−
√ e 2σx 2 dx
P (x1 ≤ x ≤ x2 ) =
x1 σx 2π
x
Per farlo, effettuiamo il consueto cambio di variabili z = x−µ
ottenendo quindi
σx
Z z2
z2
1
√ e− 2 dz
P (z1 ≤ z ≤ z2 ) =
2π
z1
Definiamo densità normale di probabilità la
z2
1
p(z) = √ e− 2
2π
La (1.14) rappresenta una densità di probabilità, infatti è normalizzata:
Se calcoliamo il valore medio e la varianza, otteniamo che
Z ∞
µz =
z p(z)dz = 0
(1.14)
R∞
−∞
p(z)dz = 1.
−∞
Z
∞
σz =
(z − 0)2 p(z)dz = ±1
−∞
Si nota che la forma della densità normale di probabilità non dipende da parametri, è simmetrica rispetto l’asse z = 0 e ha flessi in z = ±1.
Si trova tabulato3 il valore di
Z z
I(z) =
p(z)dz
0
La (1.14) gode delle seguenti proprietà:
• P (−∞ < z ≤ 0) = P (0 ≤ z < ∞) =
1
2
perché è simmetrica rispetto l’asse z = 0
• P (−z̄ ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z < z̄) = I(z̄)
• P (−z̄ ≤ z ≤ z̄) = 2 P (0 ≤ z < z̄) = 2 I(z̄)
2
Questo è un’integrale molto importante nell’analisi matematica, per una dimostrazione dettagliata si veda tra
gli altri: Barozzi - Matarasso, Analisi Matematica I.
3
Tabulato poichè non è possibile calcolare tale integrale se non numericamente.
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
14
I (z)
z
Figura 1.4: Distribuzione di Gauss normalizzata
½
• P (z ≥ z̄) =
½
• P (z ≤ z̄) =
1
2
1
2
− I(z̄), se z̄ > 0;
+ I(z̄), se z̄ < 0.
1
2
1
2
+ I(z̄), se z̄ > 0;
− I(z̄), se z̄ < 0.
ESEMPIO
Sia data una serie di misure, la cui deviazione standard e media sono rispettivamente σx =
0.098, µ = 0.644
Calcolare le seguenti probabilità: P (0.5 ≤ x ≤ 0.7) e P (x ≥ 0.8), supponendo che la distribuzione sia di tipo gaussiano.
∗)Per non risolvere l’integrale della (1.13), si effettua il noto cambio di variabili, ottenendo
quindi:
0.5 − µx
= −1.47
z1 =
σx
0.8 − µx
z2 =
= 0.57
σx
Ora si deve trovare P (−1.47 ≤ z ≤ 0.57).
Grazie alle proprietà sopra elencate il calcolo diventa
P (−1.47 ≤ z ≤ 0) + P (0 ≤ z ≤ 0.57)
P (0 ≤ z ≤ 1.47) + P (0 ≤ z ≤ 0.57)
I(1.47) + I(0.57) = 0.4292 + 0.2157 = 0.64 = 64%
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
15
x
∗) Si effettua il cambio di variabili: z = 0.8−µ
= 1.5918.
σx
Si deve calcolare P (z ≥ 1.5918). Ricordando le proprietà sopra elencate, si calcola
P (z ≥ 1.5918) =
1
− I(1.59) = 0.5 − 0.441 = 0.056 = 5.6%
2
1.2.6 Livello di confidenza e fattore di copertura
Supponiamo di voler calcolare la probabilità che un certo valore differisca dal valore medio
della deviazione standard, ossia si cerca P (µx − σx ≤ x ≤ µx + σx ).
Per farlo si cambia variabile secondo la nota relazione, e si trova:
P (−1 ≤ z ≤ 1) = 2 P (0 ≤ z ≤ 1)
= 2 I(1) = 0.6826 = 68%
Quindi, se si esprime il valore della grandezza x come x = µx ± σx , c’è una probabilità del
68% che la misura cada all’interno di quell’intervallo. Si dice che il livello di confidenza della
misura effettuata è del 68%.
Ma come si può fare per aumentare il livello di confidenza?
Calcoliamo la probabilità che x stia in un intervallo che differisce dal valor medio di ±Kσx ,
ossia P (µx − Kσx ≤ x ≤ µx + Kσx ).
Questo si riconduce al calcolo di I(K), e si ottiene:

K = 1, il livello di confidenza è del 68%;



K = 2, il livello di confidenza è del 95%;
K = 3, il livello di confidenza è del 99.7%;



K = 4, il livello di confidenza è del 99.9%.
K è noto col nome di fattore di copertura.Indicando il livello di confidenza con 1 − α, il
fattore di copertura corrispondente è K = z α2 . Allora il valore di un campione di misure,
ricordando la (1.5) si esprime come:
σx
x = µx ± z α2 √
N
Si noti quindi che per far in modo che il livello di confidenza sia alto, l’incertezza sulla misura
aumenta.
ESEMPIO
Siano date le seguenti misure, e il numero di volte che sono state rilevate:
xk
Nk
75
2
76
3
77
0
78
0
79
2
80
1
Trovare il valore della misura x con un livello di confidenza al 90%, supponendo che la distribuzione sia di tipo gaussiano.
Prima di tutto calcoliamo la media e la deviazione standard:
µx =
q
σx =
1
N −1
P
P
xk Nk
N
= 77
Nk (xk − µx )2 = 2
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
16
1−α
α/2
−z
z
α/2
α/2
Figura 1.5: Fattore di confidenza
Poichè il livello di confidenza deve essere al 90%, 1 − α = 0.9.
Quindi α = 0.1.
Per trovare il valore di I(z α2 ) bisogna fare:
I(z α2 ) =
1 α
− = 0.45
2 2
Noto il valore di I(z α2 ), dalla tabella si può ricavare z α2 = 1.65. Allora la misura di x, espressa
con un fattore di confidenza del 90% è:
σx
2
x = µx ± z α2 √ = 77 ± 1.65 √ = 77 ± 1.2
8
N
1.2.7 Giustificazione di media come miglior stima
All’inizio avevamo scelto di prendere come miglior stima di un insieme di misure, il valore
medio.
Sia data una serie di misure x1 . . . xN .
La probabilità di ottenere una nuova misura x in un intorno di x1 , P (x1 ≤ x ≤ x1 + dx) risulta
proporzionale a:
2
1 −µx )
1 − (x2(σ
.
2
)
x
e
= P (x1 )
σx
Analogamente
1 − (x2 −µx )2
.
P (x2 ≤ x ≤ x2 + dx) = P (x2 ) ∝ e 2(σx )2
σx
..
.
2
N −µx )
1 − (x2(σ
2
)
x
P (xN ) ∝ e
σx
La probabilità di ottenere l’insieme delle misure x1 . . . xN è il prodotto di tutte le probabilità:
N
Y
2
i −µx )
1 − PNi=1 (x2(σ
2
)
x
P (x1 . . . xN ) =
P (xi ) ∝ e
σx
i=1
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
17
Supponendo incogniti i veri valori di media e deviazione standard, si costruiscono delle stime:
µx 0 e σx 0 , e si calcola
0 2
i −µx )
1 − PNi=1 (x2(σ
0
0 )2
x
P (x1 . . . xN ) ∝ 0 e
σx
Si prendono poi un’altra stima della media e deviazione standard µx 00 e σx 00 , e si calcola
P (x1 . . . xN )00 . Se si ottiene P (x1 . . . xN )00 ≥ P (x1 . . . xN )0 , significa che µx 00 e σx 00 sono
una stima migliore dei veri valori statistici. Devo far in modo di massimizzare P (x1 . . . xN ).
PN (xi −µx )2
Questo si ottiene minimizzando l’argomento dell’esponenziale:
i=1 2(σx )2 . Affinché sia
minimo, dev’essere
N
N
X
∂ X (xi − µx )2
=0⇒
(xi − µx ) = 0
∂µx i=1 2(σx )2
i=1
Da cui si ricava
N
X
xi =
i=1
N
X
µx = N µ x
i=1
Allora la miglior stima risulta proprio essere µx =
PN
i=1
xi
N
1.2.8 Distribuzione t di student
La funzione di probabilità Gaussiana rappresenta appieno la distribuzione delle misure intorno
al valor medio qualora gli errori siano casuali e la quantità di misure elevata. Se il numero di
misure N è minore di 30, ovvero N < 30, si definisce un’ulteriore densità di probabilità che
va meglio in questo caso, la t-student:
µ
¶
ν+1
Γ
2
p(t, ν) =
(1.15)
¶ ν+1
µ
³ν ´
√
t2 2
νπ Γ
1+
2
ν
in cui ν indica il numero di gradi di libertà, t è un parametro, e Γ è la funzione Gamma4 , e
sono:
ν =N −1
t = (µˆx − µx )
Γ(z) =
R∞
0
√
N
σˆx
tz−1 e−t dt
Si noti che la (1.15) tende alla densità di probabilità gaussiana se N → ∞.
Fissato il valore di ν, si definisce come per la distribuzione normale il livello di confidenza:
1 − α = P (−t α2 ≤ t ≤ t α2 )
e si esprime la misura x come
4
σˆx
x = µˆx ± t α2 √
N
Questa è una notevole e basilare funzione dell’analisi. Essa permette di generalizzare il fattoriale per numeri
non interi. In effetti per essa vale che Γ(z + 1) = z! . Si veda ad esempio: Rudin, Principi di analisi matematica.
1.2. ELEMENTI DI PROBABILITÀ
18
Si noti che t α2 → z α2 se N → ∞.
ESEMPIO
Da una popolazione di dati, è stato estratto un campione di 10 dati, con σx = 3 e µx = 25.
Calcolare l’intervallo corrispondente a un livello di confidenza del 99%.
= 0.99
= 0.495.
Si calcola 1−α
2
2
Dalla tabella si ricava il corrispondente t α2 = 2.58.
x
L’intervallo è allora ±t α2 √σˆN
= ±2.54
1.2.9 Rigetto dei dati
A volte è possibile trovare dei dati in apparente disaccordo con gli altri. Ad esempio : xi ={3.8;
3.5; 3.9; 3.4; 3.9; 1.8}.
Ci si può chiedere se il valore in contrasto con gli altri sia dovuto ad un errore di misurazione,
e se vada dunque incluso nell’analisi statistica oppure eliminato.
Ci sono due criteri che consentono di stabilire se un dato si può eliminare, però occorre farlo
con molta cautela, perché è possibile che quello che viene giudicato errore di misurazione,
potrebbe essere un aspetto del fenomeno che viene rilevato solo in determinate condizioni.
• criterio di Thompson: sia data una serie x1 . . . xN di misure. Il valore massimo e il
valore minimo di questa serie sono i 2 possibili dati che si possono eliminare. Sia xh il
valore più alto e xl quello più basso.
Si calcolano gli scarti
δh = |xh − µˆx |
δl = |xl − µˆx |
Si prende lo scarto più grande, poi si confronta questo valore con τ σˆx , dova il valore di
τ viene ricavato dalle tabelle.
½
δ > τ σˆx , il dato può essere rifiutato;
δ < τ σˆx , il dato va tenuto.
Poi si riprende la serie di misure e si ripete il procedimento in maniera iterativa, finchè
nessun dato potrà più essere rifiutato.
• criterio di Chauvenet: sia data una serie x1 . . . xN di misure. Viene individuata xs
come quella più lontana dal valore medio.
Si calcola la grandezza
R=
|xs −µˆx |
σˆx
e si calcola la probabilità di trovare dei dati al di fuori di Rσˆx . Questo si ottiene usando
le tabelle della funzione normale e calcolando il valore di
f = 1 − I(R)
A questo punto si calcola n = N f . n rappresenta il numero atteso di misure anomale.
Allora se
n < 0.5
il dato può essere rifiutato.
Il processo va poi ripetuto iterativamente finchè nessuna misura risulterà più eliminabile.
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
19
1.3 Propagazione delle incertezze
1.3.1 Regole provvisorie
Sia q una generica misura indiretta, q = q(x1 . . . xn ). Come le incertezze sulle xi possono
influenzare l’incertezza su q?
•)Somma: q = x + y
dove x = xm ± δx e y = ym ± δy . Il valore medio di q è la somma dei valori medi: qm =
xm + ym . Per valutare l’incertezza, dobbiamo vedere quali sono i massimi e minimi valori che
la q può assumere. Il valore massimo si ha quando le incertezze sulle x e y sono massime:
qmax = xm + δx + ym + δy
qmax = (xm + ym ) + (δx + δy )
Il valore minimo di q si ha quando incertezze sulle x e y sono minime:
qmin = xm − δx + ym − δy
qmin = (xm + ym ) − (δx + δy )
Allora se una misura deriva dalla somma di due o più misure affette da errore, la sua incertezza
è la somma delle singole incertezze:
q = (xm + ym ) ± (δx + δy )
•) Differenza Con ragionamento analogo al precedente, osserviamo i valori massimi e minimi
che la q può assumere. Il valore massimo si ha quando l’incertezza di x è positiva e quella di
y negativa:
qmax = xm + δx − (ym − δy )
qmax = (xm − ym ) + (δx + δy )
Il valore minimo di q si ha quando l’incertezza sulla x è negativa, e quella sulla y positiva:
qmin = xm − δx − (ym + δy )
qmin = (xm − ym ) − (δx + δy )
Allora se una misura deriva dalla differenza di due o più misure affette da errore, la sua
incertezza è la somma delle singole incertezze:
q = (xm − ym ) ± (δx + δy )
(1.16)
•) Prodotto: q = x · y
Il valore medio di q sarà il prodotto dei valori medi delle singole grandezze: qm = xm · · · ym .
Per calcolare l’incertezza si ricorda la definizione di incertezza relativa, secondo l’equazione
(1.1):ε = |Xδxm | . Allora possiamo esprimere le due grandezze come : x = xm (1 ± |xδmx | ). Quindi
qmax = xm (1 + |xδmx | ) · ym (1 + |yδmy | )
qmax = xm · ym (1 + |xδmx | + |yδmy | + |xδmx | |yδmy | )
L’ultimo termine si può trascurare, perché in genere le misure sono piuttosto precise.
Allo stesso modo si calcola il valore minimo della misura q:
qmin = xm (1 − |xδmx | ) · ym (1 − |yδmy | )
qmin = xm · ym (1 − |xδmx | − |yδmy | − |xδmx | |yδmy | )
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
20
E anche in questo caso si trascura il termine di secondo ordine.
Se ne deduce che se la grandezza q deriva dal prodotto di due o più grandezze affette da
incertezza, l’incertezza relativa è la somma delle singole incertezze relative:
q = (xm ym )(1 ± (
δx
δy
+
))
|xm | |ym |
(1.17)
•) Rapporto: q = xy
Con analoghi calcoli si vede che anche in questo caso l’incertezza relativa su q è la somma
delle incertezze relative:
xm
δx
δy
q = ( )(1 ± (
+
))
(1.18)
ym
|xm | |ym |
•) Prodotto per una costante: q = Bx
In cui si suppone che x = xm ± δx e la grandezza B sia una costante nota senza incertezza.
Questo è un caso particolare della (1.17), infatti
δq
δB
δx
δx
=
+
=
|q|
|B| |x|
|x|
Quindi
q = B(xm ± δx )
•) Elevamento a potenza: q = xN = x · x . . . x
Anche questo è un caso particolare della (1.17), infatti
δq
δx
δx
δx
δx
=
+
+ ... +
=N
|q|
|x| |x|
|x|
|x|
Quindi
q = xN (1 ± N
δx
)
|x|
•) Somma di potenze: q = xa1 + xb2 + xc3
Richiamando il risultato ottenuto al punto precedente
δx
δx
δx
δq
= 1 a+ 2 + 3
|q|
|x1 |
|x2 | |x3 |
•) Funzione generica: q = q(x)
I valori massimi e minimi di q si ottengono rispettivamente quando la x ha incertezza positiva
o negativa:
qmax = q(xm + δx )
qmin = q(xm − δx )
Supponiamo che l’incertezza sulla q sia simmetrica, ovvero che δqm ax = δqm in = δq . Se δx è
piccolo, e in genere lo è, si può approssimare la funzione con una retta, e quindi si può are il
differenziale della funzione:
δq = qmax − q(xm ) =
q(xm + δx ) − q(xm )
δx
δx
L’incertezza sulla grandezza q si ottiene quindi facendo:
µ ¶
dq
δq = ±
δx
dx x=xm
(1.19)
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
21
qmax
q
qmin
xm
Figura 1.6: Esempio
Dove il segno più si ha in caso di funzione crescente, e il segno meno in caso di funzione
decrescente.
•) Funzione di più variabili: q = q(x1 . . . xN )
Estendendo il ragionamento precedente in più dimensioni, si giunge alla conclusione che
¶
N µ
X
∂q
δq =
· δxi
(1.20)
∂xi xi =xim
i=1
Usando la notazione vettoriale, la relazione precedente si riscrive in maniera più compatta:
δq = ∇(q) · δx
Tutte le formule viste precedentemente si possono ricondurre a casi particolari della (1.20).
Ad esempio supponiamo che q = x − y.
∂q
∂q
δq = ∂x
δx − ∂y
δy
δq = δx − δy
q = xm − ym ± δx − δy
Che è proprio lo stesso risultato della (1.16)
1.3.2 Correzione alle formule precedenti
In realtà la (1.20) dà una sovrastima sull’incertezza della misura q. Questo perché non si è
tenuto conto della probabilità che ha x di cadere nell’intervallo ±δx . Il valore massimo di
incertezza si ha quando le misure xi sono indipendenti. Considerando questo caso si può
dimostrare che
v
u N µ
¶2
uX ∂q
t
(1.21)
· δxi
δq =
∂x
i
i=1
DIMOSTRAZIONE
É necessario introdurre il concetto di covarianza:
σxy
N
1 X
=
(xi − µx )(yi − µy )
N i=1
(1.22)
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
22
Essa indica il grado di correlazione che esiste tra x e y, e può assumere sia valori positivi che
negativi. La varianza risulta essere un caso particolare della covarianza. Se x e y sono misure
indipendenti, σxy = 0.
Supponiamo che siano state compiute N misure dirette per trovare la grandezza indiretta q,
la quale dipende da m grandezze. Allora
qk = qk (x1k . . . xmk )
k=1:N
Per evitare complicazioni con gli indici, per indicare il valor medio di xik , scriviamo x̄ik .
Si può sviluppare in serie di Taylor la qk , prendendo come punto di partenza i valori medi delle
xik . Fermandosi al prim’ordine si ottiene:
¸
¸
·
·
∂q
∂q
(x1k − x̄1 ) + · · · +
(xmk − x̄m )
qk = q(x̄1k . . . x̄mk ) +
∂x1 x̄1
∂xm x̄m
Il primo addendo è proprio il valore medio della grandezza q, per cui
q(x̄1k . . . x̄mk ) = q̄
Ora calcoliamo il valore della varianza della grandezza q
σq2 =
N
1 X
(qk − q̄)2
N k=1
Al posto di qk sostituisco l’espressione trovata precedentemente:
σq2
·
¸
·
¸
N
∂q
∂q
1 X
(q̄ +
(x1k − x̄1 ) + · · · +
(xmk − x̄m ) − q̄)2
=
N k=1
∂x1 x̄1
∂xm x̄m
Elevando poi al quadrato il secondo membro, e omettendo il punto di valutazione delle derivate
per semplicità di notazione,
"µ
#
¶2
¶2
µ
N
X
1
∂q
∂q
σq2 =
(x1k − x̄1 )2 + · · · +
(xmk − x̄m )2 + · · · +
N k=1
∂x1
∂xm
¸
N ·
∂q ∂q
1 X
(x1 − x̄1 )(xmk − x̄m )
··· + 2
+
N k=1
∂x1 ∂xm k
Portando
fuori dalla sommatoria le derivate, e ricordando che:
PN
2
2
(x
k=1 ik − x̄i ) = σi , si ottiene
µ
µ
¶2
¶2
∂q
∂q
∂q ∂q
2
2
2
+ ··· +
σ1m
σq =
σ1 + · · · +
σm
∂x1
∂xm
∂x1 ∂xm
Ma se le misure sono indipendenti, tutte le covarianze σik risultano nulle. Si ottiene quindi
¶2
m µ
X
∂q
2
σq =
σi
∂x
i
i=1
Facendone la radice si ottiene l’incertezza sulla q,che equivale alla (1.21) come si voleva dimostrare.
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
σx
√
N
23
Con questa formula si può dimostrare la formula (1.5) dell’incertezza sulla media: σx̄ =
Se infatti x̄ =
x1 +...+xN
N
allora
sµ
σx̄ =
∂ x̄
σx
∂x1 1
¶2
µ
+ ··· +
∂ x̄
σx
∂xN N
¶2
Tenendo poi conto che le σxi sono uguali perché la grandezza è la stessa, si ottiene
sµ
¶2
µ
¶2
1
1
1
σx̄ =
σx + · · · +
σx = √ σx
N
N
N
Si può generalizzare ulteriormente le formule di cui
rianza:
 2
σ1 σ12
2

[σxx ] = σ21 σ22
··· ···
sopra introducendo la matrice di cova
···
··· 
···
La quale, per misure indipendenti, è ovviamente diagonale. Allora l’espressione (1.21) diviene:
2
σq2 = {∇q}[σxx
]{∇q}T
(1.23)
Che vale sempre. In questo corso, in ogni modo, si avrà a che fare solo con grandezze
indipendenti tra loro, quindi si userà solo la (1.21).
1.3.3 Fattori di amplificazione delle incertezze
L’analisi delle incertezze è importante per capire quali grandezze è necessario modificare per
far in modo che l’incertezza su una misura indiretta sia minore di un certo valore.
Se q = q(x1 . . . xN ) si può scrivere la sua incertezza relativa
µ
δq
q
¶2
¶2
µ ¶2 N µ ¶2
¶2 µ
¶2
N µ
N µ
X
δxi
1 X ∂q
∂q xi
1 xi X ∂q
2
2
= 2
δxi = 2
δxi =
q i=1 xi
q
xi
xi
xi q
xi
i=1
i=1
Si può introdurre il fattore di amplificazione dell’incertezza
ci =
xi ∂q
q ∂xi
e sostituendolo nell’espressione dell’incertezza relativa di q,
µ
δq
q
¶2
=
N
X
i=1
µ
c2i
δxi
xi
¶2
Quindi conoscendo solo l’incertezza relativa sulle xi , si può vedere quale, a parità di incertezza,
influenza di più l’incertezza relativa di q.
³ ´2
Se dividiamo entrambi i membri per δqq e chiamiamo l’incertezza relativa con ε,
N
N
X
c2i (εxi )2 X 2
=
cirel
1=
(εq )2
i=1
i=1
1.3. PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE
24
I c2irel tengono conto non solo del peso dell’incertezza di ciascuna grandezza sul valore della
misura finale, ma anche del valore dell’incertezza stessa. Si può vedere quindi quale grandezza
è necessario misurare più precisamente affinché l’incertezza sulla misura finale sia minore di
un certo valore.
ESEMPIO
Si abbia una resistenza R = 100 ± 5Ω soggeta a una differenza di potenziale V = 28 ± 0.05V .
Si vuole calcolare la potenza dissipata dalla resistenza, e sapere quale incertezza delle due
grandezze influenza di più l’incertezza sulla potenza.
∗) La potenza si calcola come: P =
V2
.
R
Allora il valor medio della potenza risulta essere:
V̄ 2
= 7.84W
R̄
Per calcolare l’incertezza sulla potenza si ricorre alla formula (1.21), che in questo caso
diventa:
sµ
¶2 µ
¶2
2V̄
1
δP =
δV
+ − 2 V δR
R̄
R̄
P̄ =
Sostituendo i valori numerici si ottiene
p
δP = (0.56 · 0.05)2 + (−0.0784 · 5)2 = 0.39W
Il valore della potenza allora risulta : P = 7.84 ± 0.39W .
∗) É necessario calcolare i coefficienti di amplificazione delle incertezze, secondo la for∂q
mula ci = xqi ∂x
.
i
Essi risultano essere: cV = 2 e cR = −1, ossia osservando i moduli dei coefficienti saremmo
indotti a pensare che la maggior parte dell’errore sulla potenza sia dovuta all’incertezza sul
potenziale. In realtà se si calcola il coefficiente di amplificazione relativo, quindi
µ ¶2
εi
2
cirel = ci
εq
si trova che cVrel = 0.00507, mentre cRrel = 0.9949.
1.3.4 Normativa
E’ ora necessario puntualizzare le direttive della normativa vigente sul calcolo delle incertezze.
In primo luogo si dividono le stesse in due gruppi distinti:
• Incertezze di tipo A, tutte quelle che individuo facendo più misurazioni su una stessa
grandezza, {x1 , . . . , xN }.
• Incertezze di tipo B, tutte quelle di cui ho solo una misura.
Per approfondire il discorso si rimanda a Dozio.... In ogni modo, poniamo di voler calcolare
l’incertezza di una certa quantità che dipende da varie grandezze, la normativa impone:
1. Si calcola un σ per ogni grandezza misurata. Non importa che le densità di probabilità
ipotizzate siano le stesse, solo che il fattore di copertura sia per tutti unitario. In effetti
questa ipotesi può essere rilassata se e solo se le misure delle grandezze sono in numero
uguale, ovvero le grandezze hanno gli stessi gradi di libertà. In questo caso basta che il
fattore di copertura sia lo stesso per tutti.
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
2. Si calcola con:
25
v
u N µ
¶2
uX ∂q
t
δq =
· δxi
∂xi
i=1
L’incertezza sulla quantità di interesse. Il suo fattore di copertura sarà quello di partenza.
3. Si ipotizza ora una densità di probabilità t-student e si calcola il fattore di copertura
richiesto per avere un certo livello di confidenza. Qualora le grandezze non avessero lo
stesso numero di gradi di libertà, magari perché sia di tipo A che di tipo B, si calcola il
numero di gradi di libertà effettivi con la seguente formula, dovuta a Welch-Satterwhaite:
νef f =
Tenendo presente che:
½
Xµ
(σq )4
∂q
σx
∂xi i
¶4
(1.24)
1
νi
νi ≡ N − 1 per le incertezze di tipo A
νi ≡ ∞
per le incertezze di tipo B
Dove N è il numero di misure effettuate per una singola grandezza.
Si noti che tale normativa è successiva alla pubblicazione del Wheeler....
1.4 Regressione polinomiale
Si vuole cercare di capire se, date due grandezze x e y, esiste una relazione tra di esse, e che
tipo di relazione sia.
Per vedere se esiste una relazione, ci si può aiutare disegnando un grafico.
y
6
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
-
x
Figura 1.7: Regressione polinomiale
Si definisce la curva di regressione come la curva polinomiale che meglio approssima i dati
ottenuti. Essa sarà una funzione del tipo:
y = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . am−1 xm−1
Sia per la grandezza x, sia per la y vengono effettuate N misure, con N > m. Allora la
precedente equazione diventa:


y1 = a0 + a1 x1 + a2 x21 + . . . am−1 xm−1
1


 y2 = a0 + a1 x2 + a2 x2 + . . . am−1 xm−1
2
2
..

.


 y = a + a x + a x2 + . . . a
m−1
N
0
1 N
2 N
m−1 xN
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
26
Allora se si pone


y1
 .. 
y= . 
yN


a=


a0
..
.


X=



am−1
xm−1
1
xm−1
2
..
.
1 x1 x21 · · ·
1 x2 x22 · · ·
.. ..
..
..
.
. .
.
1 xN x2N · · ·





xm−1
N
di dimensione rispettivamente Nx1, mx1 e Nxm, si ottiene in sistema
y = Xa
Se N > m, il sistema è sovradeterminato. Per risolverlo è necessario imporre delle ulteriori
condizioni.
Quando si risolve il sistema imponendo nuove condizioni, non si ottiene più a, ma una stima
â. Si compie quindi un errore e = y - Xâ. Allora si impone una cifra di merito
1
J := eT e
2
Si vuole trovare â che minimizzi questa cifra di merito, quindi si pone
Si ottiene quindi
−XT y + XT Xâ = 0
XT Xâ = XT y
∂J
∂â
= 0.
Cosı̀ si ottiene un sistema di dimensioni NxN, che si può risolvere con il metodo di eliminazione di gauss, con la fattorizzazione LU,QR, oppure con SVD (decomposizione a valori
singolari) oppure ancora con metodi iterativi.
1.4.1 Regressione lineare
É un caso particolare della regressione polinomiale, in cui y = a0 + a1 x. In questo caso si può
y
6
×
×¡
¡
¡
×¡×
¡
¡
×
¡×
¡
¡
×
¡
×
×¡
¡
×
¡
-
x
Figura 1.8: Regressione lineare
definire il coefficiente di relazione
rxy
PN
(xi − x̄)(yi − ȳ)
σxy
=
= qPi=1
σx σy
N
2
2
i=1 (xi − x̄) (yi − ȳ)
(1.25)
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
27
y
6
@
@
@
¡
¡
¡
@
r = −1@
@
¡
@
¡
¡r =1
¡
@¡
-
x
Figura 1.9: coefficiente di relazione
−1 ≤ r ≤ 1. r = ±1 quando i punti stanno esattamente su di una retta.
r = 0 se le grandezze sono indipendenti. Però non è sempre vero che quando r = 0 le
grandezze sono indipendenti, infatti tra di loro potrebbe sussistere un legame non lineare.
Come è facile intuire, è impossibile ottenere esattamente i valori 1 oppure 0 se si effettua
un numero finito di misure. Si trova solo una stima rˆxy , che va legata al numero di misure
effettuate. Riportiamo la tabella che lega la stima di rxy al numero di misure, con un livello di
confidenza del 95%
N
r0
3
0.997
4
0.950
5
0.878
10 0.632
20 0.444
100 0.197
Se la stima rˆxy > r0 , si può dire con un livello di confidenza del 95% che tra le grandezze x e
y sussiste una relazione lineare.
Volendo calcolare i coefficienti della retta di regressione , si pone




y1
1 x1
·
¸
a0




a=
y =  ...  X =  ... ... 
a1
yN
1 xN
e si risolve il sistema 2x2
â = (XT X)−1 XT y
ottenendo i seguenti valori:
P
P
P
yi x2i − xi yi xi
P
P
a0 =
N x2i − ( xi )2
P
P P
N xi y i − xi y i
P
P
a1 =
N x2i − ( xi )2
P
i=1 : N
i=1 : N
1.4.2 Incertezza sui coefficienti
Ipotizziamo che i valori xi non siano affetti da incertezza, ossia σx = 0, mentre i valori yi
siano affetti da incertezza σyi . Inoltre supponiamo le σyi tutte uguali5 , che indicheremo sem5
Se fossero diverse, basterebbe fare un’interpolazione ai minimi quadrati pesati, introducendo una certa
matrice di peso W e definendo:
1
J := eT W e
2
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
28
plicemente con σy . Si calcola l’incertezza sulla grandezza y usando lo scarto dalla retta di
regressione:
v
u
N
u 1 X
t
(yi − (a0 + a1 xi ))2
(1.26)
σy =
N − 2 i=1
Si è usato N-2, perché essi sono i gradi di libertà del polinomio interpolante.
Però anche i coefficienti a0 e a1 hanno delle incertezze. Per calcolarle, si ponga per
semplicità di notazione:
³X ´2
X
2
A = a0
B = a1
∆=N
xi −
xi
L’incertezza sul coefficiente A si calcola ricordando la (1.20) e si ottiene
σA2
=
N µ
X
∂A
i=1
∂yi
¶2
σyi
La derivata parziale di A risulta essere
∂A
=
∂yi
PN
j=1
P
x2j − ( N
j=1 xj )xi
∆
Allora l’incertezza su A diventa
σA2 =
X
i
Ã PN
!2
PN
2
x
−
(
x
)x
j
i
j
j=1
j=1
σyi
∆
Ma per ipotesi tutte le σyi sono uguali, quindi possiamo portarle fuori dalla sommatoria. Inoltre
sviluppiamo il quadrato:
#
" P
P
P
P
X ( j x2j )2 + ( j xj )2 x2i − 2( j x2j )( j xj )xi
σA2 = σy2
∆2
i
Scomponiamo la frazione in
"
#
P
P
P
P
X ( j x2j )2 X ( j xj )2 x2i X −2( j x2j )( j xj )xi
σA2 = σy2
+
+
∆2
∆2
∆2
i
i
i
Consideriamo separatamente i singoli addendi.
•Nel primo termine gli elementi nella sommatoria non dipendono da i, quindi per svolgere la
sommatoria su i basta moltiplicare per N
P
P
P
P
X ( j x2j )2
( j x2j )2
( j x2j )( j x2j )
=N
=N
2
2
∆
∆
∆2
i
Ricordando poi l’espressione di ∆, questa espressione si può riscrivere come
P
[∆ + ( j xj )2 ]x2j
∆2
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
29
•Nel secondo termine si possono separare le due sommatorie
P
( j xj )2 X 2
xi
∆2
i
Poichè entrambi gli indici vanno da 1 a N, è indifferente usare i oppure j. Perciò la precedente
si riscrive:
P
( j xj )2 X 2
xj
∆2
j
•Anche per il terzo termine risulta possibile separare le sommatorie
P
P
( j x2j )( j xj ) X
xi
−2
∆2
i
e anche in questo caso è indifferente usare uno dei due indici, perché entrambi vanno da 1 a N
P
P
( j x2j )( j xj ) X
−2
xj
∆2
j
Sommando i tre addendi si ottiene
#
"
P
P 2 P
P
2 X
2 2
X
(
x
)
(
x
[∆
+
(
x
)
]x
)(
x
)
j
j
j
j
j
j
j
j
j
+
x2j − 2
xj
σA2 = σy2
∆2
∆2
∆2
j
j
Ricordando anche qui l’espressione di ∆, si ricava
P 2
x
2
2
σA = σy i i
∆
da cui si trova la deviazione standard, ossia l’incertezza:
s
P 2
x
P 2 i iP
σA = σy
N i xi − ( i xi )2
(1.27)
Con analogo procedimento si può ricavare l’incertezza sul coefficiente B, che risulta essere:
s
N
P 2
P
(1.28)
σB = σy
N i xi − ( i xi )2
All’inizio avevamo supposto che le grandezze x fossero prive di incertezza. In caso ciò non
risulti verificato, l’incertezza sulle x si ripercuote sulle y.
Dalla figura si vede che
dy
= B∆x
∆y =
x∆x
Supponendo quindi le incertezze sulle x tutte uguali, si ottiene
q
σytot = σy2 + (Bσx )2
1.4. REGRESSIONE POLINOMIALE
y
30
6
A+Bx
¡
¡
¡
¡
¡6
¡
¡
¡
¡
¾
¡
¡
∆y
¡
-?
∆x
¡
-
x
Figura 1.10: Incertezze
1.4.3 Relazione lineare per grandezze che non dipendono linearmente
• y = Cxa
Si può ottenere una relazione lineare tra le grandezze x e y se si applica a entrambi
membri il logaritmo:
ln y = ln(Cxa ) = ln C + a ln x
Per cui basta porre Y = ln y e X = ln x per ottenere una relazione lineare:
Y = ln C + aX
Allora i valori che andranno considerati per trovare i coefficienti della retta di regressione
saranno i punti (ln xi , ln yi )
• y = Ceax
Si può ottenere una relazione lineare tra le grandezze x e y se si applica a entrambi
membri il logaritmo:
ln y = ln(Ceax ) = ln C + ax
Per cui basta porre Y = ln y per ottenere una relazione lineare:
Y = ln C + ax
Allora i valori che andranno considerati per trovare i coefficienti della retta di regressione
saranno i punti (xi , ln yi )
Capitolo 2
Lo Strumento Generalizzato
2.1 La misura
2.1.1 Descrizione
Per avere una conoscenza quantitativa della realtà, specialmente dei fenomeni fisici che ci
circondano è necessario operare delle misurazioni. Come è chiaro dalle discussioni affrontate queste misure saranno affette da vari tipi di incertezze. Ci interessa, in questo momento,
affrontare il problema da un altro punto di vista, ovvero il modo di effettuare una misura. Discuteremo i vari tipi di strumenti di misura, come vengono modellizzati per esplicitare le loro
peculiari caratteristiche e in che modo è tenuto in conto l’errore sempre presente.
In primo luogo possiamo schematizzare il processo di misurazione come in figura (2.1.1), dove lo strumento di misura trasforma, per cosı̀ dire, il fenomeno fisico in un dato numerico.
Particolarizziamo meglio però il blocco che abbiamo chiamato strumento di misura: esso sarà
Fenomeno Fisico
- Strumento di misura
-
Misura
Figura 2.1: Processo di misura
sicuramente formato da un trasduttore, T, che legge la grandezza misurabile del fenomeno e
la trasforma in una grandezza in analogia, tipicamente una tensione. Questa, a sua volta viene
passata all’elaboratore E e poi ad un visualizzatore V che visualizza la misura. Si pensi per
-
T
-
E
-
V
-
Figura 2.2: Strumento di misura
fissare le idee ad un termometro. Il trasduttore è il mercurio che cambia il proprio volume a
seconda della temperatura. L’elaboratore è invece il cilindro che trasforma e amplifica la dilatazione in variazione di altezza della colonna, cosa che può essere direttamente visualizzata
31
2.1. LA MISURA
32
tramite una scala graduata.
Se si vuole essere più precisi nel caratterizzare le varie parti, allora bisogna sezionare ancora il
trasduttore in due blocchi: il sensore primario e il convertitore della variabile. Si osservi figura
(2.1.1): si vede che il sensore primario altera la grandezza stessa, questo effetto è detto invasività o meglio effetto di carico. Si faccia attenzione che questo effetto non è dato da una nostra
Fenomeno Fisico
- Sensore Primario
- Conversione della variabile
6
Effetto di carico
Figura 2.3: Effetto di carico
impossibilità di costruire strumenti di misura, ma perché è impossibile costruire strumenti che
misurino senza interagire con la grandezza da misurare. Questa, si legga attentamente, non
è solo un’impossibilità pratica ma anche teorica, ma una trattazione più ampia ci porterebbe
fuori dal contesto di queste note1 .

ÿ ÿ
ESEMPIO:
Si pensi di dover misurare la tensione ai capi di una resistenza con un voltmetro.
V
Rint
R
Esso è posto come in figura in parallelo ed ha una sua resistenza interna. La lettura che lo
strumento darà sarà:
R Rint
∆V =
i
R + Rint
che discosta da quella reale tanto più è piccola la resistenza interna. Per un amperometro si
mostra che succede l’opposto se lo si pone in serie.
E’ necessaria una piccola precisazione, quello che si sta facendo è schematizzare uno strumento generico, non è detto che ogni strumento abbia tutte le parti di cui si parla o che le parti
siano chiaramente distinguibili. Anche il precedente esempio del termometro, ripensandolo a
posteriori, è un po’ forzato.
I trasduttori possono essere attivi o passivi. Si chiamano passivi quando non necessitano dell’energia per dare l’uscita, attivi altrimenti. In questo caso è possibile pre-amplificare l’uscita.
Si noti figura (2.1.1).
Per concludere, un’ultima dicotomia: la misura dopo l’elaborazione, può essere visualizzata
per deviazione o azzeramento. Nel primo caso, si legge lo sbilanciamento come in una moderna bilancia a lancetta, nel secondo caso si cerca di riportare a riposo il sistema, si pensi ad
esempio ad una bilancia a pesi regolabile o ad una stadera, in cui la misura del peso è letta
facendo tornare in equilibrio i piatti.
1
Questo ha a che vedere con il principio di indeterminazione di Heisemberg, formulato negli anni ’20.
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
33
'$
-
EIN
@
@
¡
¡
&%
ET 6 ?EP
-
EOU T
Figura 2.4: Trasduttori attivi
2.2 Modello sistema dinamico
2.2.1 Caratteristiche dinamiche degli strumenti
In un mondo ideale lo strumento di misura, univocamente determinato dalla sua funzione di
trasferimento2 , è sensibile solo alla variabile misurata come in figura (2.2.1). Nella realtà è
-
-
H0
qi
q0
Figura 2.5: Sistema dinamico
ovvio che non è cosı̀. In effetti, quello che succede è più simile a figura (2.3.1), in cui si è
indicato con qI gli ingressi di interferenza, ovvero quelli che si sommano algebricamente al
segnale vero, e con qM gli ingressi di modifica, ovvero quelli che modificano la funzione di
trasferimento del sistema, da H a H̃.
-
qI
-6
?
qM
-
qi
H̃I
?
6
-
q0
H̃0
Figura 2.6: Sistema dinamico reale
In generale per ogni sistema dinamico si ha, indicando con qi , l’ingresso e q0 l’uscita:
dn−1
d
dn
an n q0 (t) + an−1 n−1 q0 (t) + · · · + a1 q0 (t) + a0 q0 (t) =
dt
dt
dt
dm
dm−1
d
= bm m qi (t) + bm−1 m−1 qi (t) + · · · + b1 qi (t) + b0 qi (t)
dt
dt
dt
2
Da qui in poi si daranno per scontate nozioni dei corsi di automatica, richiamando solo i concetti più
importanti. Si rimanda a Rocco, dispense.
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
34
Si farà l’ipotesi, peraltro ragionevole, che m < n. Passando nel dominio della frequenza con
Laplace:
(an sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 ) q0 (s) =
= (bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b1 s + b0 ) qi (s)
Dunque la funzione di trasferimento è:
q0 (s)
B(s)
= H(s) =
qi (s)
A(s)
(2.1)
Valutiamo, quindi la risposta in frequenza utilizzando il cambio di variabili:
s = jω
quindi la (2.1) diviene:
q0 (j ω)
= H(j ω)
qi (j ω)
Utilizzando il Teorema della risposta in frequenza, si può scrivere:
se:
allora:
(2.2)
qi (t) = A sin(ω̄ t)
q0 (t) = A H(j ω̄) sin(ω̄ t + ∠ H(j ω̄))
Questo risultato è di carattere generale. Il più degli strumenti di misura però è modellizzabile
come un sistema del primo ordine o del secondo ordine a poli complessi coniugati, pertanto
si può semplificare il risultato ottenuto, tenendo bene a mente tale ipotesi. Se si ricorda lo
sviluppo di Heaviside, allora risulta chiaro che:
X αi
X
βi s + γ i
H(s) =
+
2
s + pi
s + 2 σi s + σi2 + ωi2
i
i
Dove si è fatta come ulteriore ipotesi la non esistenza di poli multipli. Si riesce a semplificare
ulteriormente il modello, se si è nel caso in cui si ha un polo dominante, allora si ha uno
strumento del primo ordine:
α1
H̃1 (s) =
s + p1
Se invece i poli dominanti sono i due complessi e coniugati si ha uno strumento di misura del
secondo ordine:
β 1 s + γ1
+ 2 σ1 s + σ12 + ω12
Per i quali, solitamente β1 = 0. Tornando alla precedente notazione:
H̃2 (s) =
s2
H̃1 (s) =
b0
a1 s + a0
b0
a2 s2 + a1 s + a0
Facciamo qualche precisazione: prima di tutto si intende per approssimazione a poli dominanti, la modellizzazione vista sopra, in cui solo alcuni poli sono importanti rispetto agli altri, la
cui dinamica, se si vuole, è lenta in confronto a loro. Secondo, ci si potrebbe chiedere quanto
sia effettivamente ragionevole schematizzare la dinamica di uno strumento in questo modo e
quale errore si commette. In effetti si può dire che le caratteristiche elencate sono quelle che
deve avere un buono strumento, o meglio un buon strumento deve essere progettato con queste
caratteristiche, pertanto il modello è più che sensato (se gli strumenti sono ben progettati).
H̃2 (s) =
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
35
2.2.2 Approssimazione statica
Cominciamo ad approssimare i sistemi di misura in modo statico, ovvero supponiamo che la
dinamica dello strumento sia talmente veloce rispetto al fenomeno misurato che vada a regime
praticamente in modo istantaneo. Pertanto la risposta è:
a0 q0 (t) = b0 qi (t)
In figura è riportata la risposta allo scalino di ampiezza A. Il rapporto
b0
a0
= K prende il nome
6
KA
-
t
Figura 2.7: Risposta allo scalino
di sensibilità statica. Sono di seguito riportati i diagrammi della funzione di trasferimento del
sistema.
H(j ω) 6
K
-
ω
Figura 2.8: Ampiezza
∠H(j ω) 6
sfasamento nullo
0◦
-
ω
Figura 2.9: Fase
Si ricordi che il guadagno statico é K = H(0) e che la misura in decibel per i diagrammi di
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
36
bode è relativa, ovvero è riferita a H(0), pertanto:
H(j ω) dB = 20 log10
H(j ω)
H(0)
2.2.3 Approssimazione statica di un sistema dinamico
In questa sezione vedremo come i sistemi approssimati al primo ordine e al secondo ordine
vengono modellizzati per tener conto della sola risposta statica. Ciò è fatto per semplificare
i conti e anche per trattare in modo lineare i dati. Questa schematizzazione può ovviamente
avvenire solo in un determinato range di frequenze.
Sistemi al primo ordine
Sia l’equazione dinamica:
a1 q̇0 (t) + a0 q0 (t) = b0 qi (t)
Dividendo per a0 e definendo:
K :=
b0
a0
sensibilità statica,
τ :=
a1
a0
costante di tempo
si ottiene che:
τ q̇0 (t) + q0 (t) = K qi (t)
la cui risposta allo scalino di ampiezza A è:
q0 (t) = K A (1 − e−t/τ )
Si noti figura sotto. Si ricorda che dopo circa 5τ il sistema va a regime.
q0 6
KA
1
-
1
t/τ
4
Figura 2.10: Risposta a scalino sistema del primo ordine
La risposta in frequenza è invece:
H1 (j ω) =
K
1 + jωτ
ricordando K = H(0):
H1 (j ω)
1
=
H(0)
1 + jωτ
L’ampiezza:
A0
H(j ω)
=
Ai
H(0)
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
A0
Ai
37
6
1
0.7
-
ωτ
1
Figura 2.11: Ampiezza
Dalla figura si comprende che si ha risposta statica solo nel punto in cui ω τ = 0 perciò si
ha risposta statica per tutte le frequenze quando τ → 0 e quindi ω → ∞. Questo è il caso
trattato in precedenza, ovvero risposta istantanea. Se però τ 6= 0 si può cercare di approssimare
staticamente lo strumento a patto di considerare frequenze opportune. Si vede che nell’intorno
A0
Ai
6
1
-
0.95
ωτ
0.33
Figura 2.12: Zoom
del punto di ascissa 0 il comportamento è praticamente statico. Si noti inoltre la tabella sotto.
ωτ
0
0.14
0.2
0.33
A0 /Ai
1
0.99
0.98
0.95
Si vede che per una distorsione di ampiezza inferiore al 95% bisogna scegliere ω τ < 0.33.
Si capisce bene che più la costante di tempo cresce più la banda di frequenze risulta limitata.
Per quanto riguarda la fase, invece la figura è quella sotto. Si ha sfasamento nullo, quindi
comportamento statico, come prima per τ → 0 e ω → ∞. Questa volta, si può linearizzare
il primo tratto nell’intorno della posizione statica. Pertanto ho un segnale in ritardo, ma non
deformato. Questo è importante ai fini di una corretta raccolta di dati. Si può dimostrare
quanto affermato, infatti posto un ingresso del tipo:
X
qi = A1 sin(ω1 t) + · · · + An sin(ωn t) =
Ak sin(ωk t)
k
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
38
∠H(j ω) 6
0◦
-90◦
-
ω̄
ωτ
Figura 2.13: Fase
che non è per nulla una limitazione, infatti tramite una serie di Fourier tutti i segnali si possono
scrivere i questo modo. L’ uscita sarà, per il teorema di risposta in frequenza:
X
q0 =
Ak H(j ωk ) sin(ωk t + φ(ωk ))
k
inoltre essendo il legame tra φ e ω lineare si può sempre porre:
φ=βω
con β un opportuno coefficiente di proporzionalità. Quindi:
X
X
Ak H(j ωk ) sin(ωk t + βk ωk ) =
q0 =
Ak H(j ωk ) sin(ωk (t + βk ))
k
k
Si vede che il segnale è solo ritardato, ma la forma è la stessa.
Sistemi al secondo ordine
In questo caso vale:
a2 q̈0 (t) + a1 q̇0 (t) + a0 q0 (t) = b0 qi (t)
Dividendo per a0 e definendo:
r
ωn :=
a0
a2
pulsazione propria
1
a1
q̈0 (t) + q̇0 (t) + q0 (t) = K qi (t)
2
ωn
a0
poi:
a1
ξ := √
2 a0 a2
smorzamento
Quindi, passando nel dominio della frequenza:
2ξ
s2
q0 (s) +
q0 (s) + q0 (s) = K qi (s)
2
ωn
ωn
perciò:
K
= H2 (s)
s
2ξ s
+
+1
ωn2
ωn
2
2.2. MODELLO SISTEMA DINAMICO
39
per la risposta in frequenza:
K
H2 (j ω) =
2
−
ω
2ξ
+ jω
+1
2
ωn
ωn
il cui modulo è:
K
¶
2 2
| H2 (j ω) | = sµ
1−
ω
ωn2
+
e la fase:
∠ H2 (j ω) = − arctan
4 ξ 2 ω2
ωn2
ω
ωn
2
− ωω2
n
2ξ
1
I grafici sono riportati di seguito.
|H(jω)|
ξ=0.01
ξ=0.1
1
ξ=0.7
ξ=1
ξ=10
ω/ωn
Figura 2.14: Ampiezza
Si può notare che se ωωn → 0 e ξ ≈ 0.7 allora lo strumento per quanto riguarda il modulo si
comporta staticamente, per la fase linearmente. Qui la schematizzazione è più complessa dello
strumento al primo ordine, comunque si osservi tabella sotto.
ω/ωn
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ξ = 0.1
1.01
1.04
1.09
1.18
1.32
ξ = 0.7 ξ = 1
1.0002 0.99
1.0000 0.96
0.9978 0.92
0.9905 0.86
0.9747 0.80
Si vede che, ad esempio, con ξ = 0.7 si può utilizzare lo strumento, o meglio lo strumento
ha un comportamento statico-lineare, fino al 40% della pulsazione propria. Anche in questo
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
40
ω/ω
n
0°
ξ=0.1
ξ=0.01
ξ=0.7
ξ=1
ξ=10
−180°
Figura 2.15: Fase
caso la banda di utilizzo è legata ai vari parametri √
in gioco. Si noti inoltre che ξ = 0.7 è lo
smorzamento minimo per non aver risonanza ( ξ = 2/2 ≈ 0.707 ≈ 0.7 ).
ESEMPIO
Si approssimi il comportamento dinamico di una termocoppia con un sistema al primo ordine,
τ = 0.1s, K = 0.08mV /◦ C . Si calcoli (1) la massima frequenza del segnale in ingresso
affinche la distorsione d’ampiezza sia inferiore al 5%. (2)Calcolare lo sfasamento alla massima
frequenza e (3)il valore misurato dopo 0.5s con ∆ t istantaneo di 50 ◦ C.
(1) Posto:
1
A/Ai = √
< 0.95
1 + ω2 τ 2
si ha:
ωM
ωM = 3.29rad/s
fM =
= 0.52Hz
2π
(2) Lo sfasamento è:
φ = − arctan(ωM τ ) = −0.318rad = −18.2◦
(3)La risposta ad uno scalino, ovvero variazione istantanea a finita, è:
q0 (t) = K A (1 − e−t/τ )
sostituendo i dati numerici: q0 = 3.937mV
2.3 Linearizzazione risposta ingresso-uscita
2.3.1 Problema
Prima di procedere puntualizziamo alcuni concetti che sono importanti per gli ulteriori sviluppi. In ogni strumento di misura si distinguono:
• Sensibilità statica (guadagno). Molto probabilmente essa non sarà costante, ma subirà
lieve oscillazioni con la frequenza, pertanto fisso un riferimento, indipendentemente
dalla banda passante dello strumento, a 100 Hz.
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
41
• Risposta temporale. Si divide in:
1. Tempo di risposta al 90%, 95%, ... , 99%.
2. Tempo di salita
3. Tempo di assestamento, o setting time.
Si commette errore quando questi parametri sono grandi rispetto alla velocità di variazione dell’ingresso, ciò significa che lo strumento deve essere dinamicamente più rapido
dell’ingresso.
• Risposta in frequenza: non è altro che un modo diverso di intendere la risposta temporale.
1. Ampiezza di banda di utilizzo: è importante per limitare o valutare l’errore che
si commette. Si ricordi che il segnale è solo traslato temporalmente, non distorto.
Bisogna comunque tener presente che questo ritardo può essere problematico, per
esempio in controlli a catena. In questo ordine di idee è fondamentale tener presente la possibilità di insorgenza di instabilità in anello chiuso. Attenzione quindi
al margine di fase dello strumento.
2. Acquisizione multicanale: bisogna tener conto di un ritardo inevitabile e aggiuntivo
per la raccolta di più dati.
3. Frequenza di risonanza, smorzamento.
• Range dinamico: nella banda di utilizzo dello strumento si ha un valore minimo e massimo dell’ingresso. A volte può variare a seconda della frequenza, ad esempio un voltmetro con diverse regolazioni, per tale ragione è detto dinamico. Per un buon strumento dovrebbe essere
elevato
µ
¶ per consentire un’ ampia banda di utilizzo. Si ha che:
qi,M AX
RAN GE = 20 log
.
qi,M IN
Passiamo ora a caratterizzare meglio il comportamento statico di uno strumento. Ripetiamo
che in questo caso l’errore dinamico è nullo. Sia allora verificata:
q0 = K q i
Dove la dipendenza temporale non ha più alcun significato. Si vede che il legame è puramente
lineare (non si dimentichino, comunque, tutte le ipotesi fin qui addotte). Ovviamente qi ∈
[qi,M IN , qi,M AX ], che è appunto il range o portata, quindi q0 ∈ [q0,M IN , q0,M AX ] che è il valore
di fondo scala, o FSO (Full scale output). Teniamo a precisare che il valore di fondo scala è
FSO = q0,M AX − q0,M IN , si faccia attenzione.
Possiamo rappresentare il legame ingresso-uscita su una retta, come figura sotto.
Il valore in origine si chiama punto di zero o null point. In generale è comunque ovvio che
gli strumenti di misura hanno degli errori, derivanti in principal modo della loro costruzione,
si altro modo dalle condizioni in cui si trovano ad operare. Pertanto ad un q̄i assegnato non
corrisponderà in genere il suo valore teorico q̄0 . Questo nel grafico si traduce in una diversa
pendenza della retta o in un diverso punto di zero. Per utilizzare lo strumento devo quindi
togliere lo scostamento o quantificarlo, ovvero devo calibrare lo strumento. Si noti che tali
errori sono tutti da classificare come errori sistematici. Classifichiamoli:
• Errore di sensibilità: è diversa la pendenza della retta.
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
q0
6q
0,M AX
¡
¡
¡
¡
¡
¡
qi,M IN
¡
¡
- qi
qi,M AX
¡
¡
¡
¡
q0,M IN
Figura 2.16: Caratteristica ideale
q0
6q
0,M AX
¡
¡
¡©
© vera
©
¡
©
©
¡
©©
¡
- qi
©©¡
©
qi,M IN©
qi,M AX
¡
©
¡
¡
¡
¡
q0,M IN
Figura 2.17: Caratteristica reale
42
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
43
• Errore di zero: il punto di zero è diverso da zero.
• Errore di fondo scala.
Invece i tipi di calibrazione che si possono operare sono:
• Diretta: confronto con un campione di riferimento attraverso degli standard.
• Indiretta: confronto con uno strumento già calibrato, che sia caratterizzato da un’ incertezza almeno di un ordine di grandezza più piccolo rispetto allo strumento da calibrare.
2.3.2 Calibrazione
Il processo di calibrazione consiste nell’imporre al misurando dei valori noti con adeguata
precisione, e nel registrare quali valori vengono mostrati dallo strumento. L’imposizione dei
valori viene fatta in condizioni statiche. Solitamente al misurando viene imposta una serie
di valori ciclicamente. Ciò permette di individuare anche degli errori dovuti all’isteresi dello
strumento.
La calibrazione permette di individuare la sensibilità e il punto di zero reali dello strumento.
Tenendo conto di questi si possono quindi di eliminare gli errori sistematici. Rimangono però
degli errori residui, o errori di calibrazione. Ciò verrà chiarito da un esempio.
Supponiamo di avere un sensore piezometrico di pressione. Per calibrarlo viene imposta una
qi che va da 0Kpa a 10KPa. Le letture date dallo strumento non avranno un andamento
esattamente lineare. Viene quindi fatta una regressione lineare, cioè si trovano a0 e a1 tali
che
qo = a1 qi + a0
(2.3)
La precedente si chiama curva di calibrazione. Da essa si possono trovare la sensibilità e il
punto di zero. La stessa curva, espressa però in funzione di qo assume il nome di curva di
taratura:
qo − a0
qi =
(2.4)
a1
Essa permette di trovare il valore del misurando eliminando gli errori dovuti alla non linearità.
Si deve però ricordare che i coefficienti della retta di calibrazione hanno delle incertezze, e
anche le uscite hanno una certa varianza
N
σq2o
1 X
=
(qo − (a1 qi + a0 ))2
N − 2 i=1
Una stima dell’incertezza del misurando risulta quindi essere
σq2i =
σq2o
a21
Quindi con un livello di confidenza del 68% si può dire che il misurando è qi ± σqi .
Solitamente dai produttori degli strumenti non viene indicata l’incertezza su qi , ma vengono
forniti altri indici.
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
44
2.3.3 Accuratezza
L’accuratezza è un indice di qualità dello strumento, e viene tipicamente espressa come percentuale del fondo scala. Ma questo implica che se la misura è vicina al minimo del fondo
scala, l’errore relativo risulta essere elevato. Quindi l’accuratezza può venir anche espressa
come percentuale della singola misura.
L’accuratezza tiene conto di diversi tipi di errore dovuti alla non idealità dello strumento. Essi
sono:
• Errori di ripetibilità: imponendo al misurando lo stesso valore nel corso dei cicli di
calibrazione, le letture ottenute sono diverse.
• Errori di isteresi: Indica la massima distanza tra i valori di uscita ottenuti nella discesa
e salita di un ciclo, per un fissato qi .
• Errori di non linearità
– indipendente: Si valuta la distanza delle misure dalla retta di calibrazione. In caso
di più cicli si fa la media delle misure e si valuta la distanza tra le medie e la retta.
– terminale: Si valuta la distanza delle misure dalla retta che congiunge i valori
estremi. In caso di più cicli la retta si trova facendo la media degli estremi, e si
valuta la distanza delle medie delle letture dalla retta.
Vengono definite allora delle classi di accuratezza:
CLASSE
0.05
0.1
0.2
0.3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
In cui una classe di accuratezza dello 0.3 significa che gli errori dovuti alla non idealità sono
minori dello 0.3% del fondo scala.
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
45
ESEMPIO
Facciamo un esempio di calcolo delle caratteristiche appena menzionate. A questo proposito si consideri la seguente tabella in cui sono riportati varie misurazioni per calibrare una
bilancia.
Peso vero [ lb ] ciclo 1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2.62
3.0
3.15
3.5
3.90
4.0
4.59
4.5
5.41
5.0
6.24
4.5
5.71
4.0
4.96
3.5
4.22
3.0
3.57
2.5
2.98
2.0
2.22
1.5
1.57
1.0
1.07
0.5
0.52
0.0
0.02
ciclo 2
0.20
0.70
1.18
1.81
2.49
3.18
3.84
4.71
5.35
6.27
5.74
5.11
4.34
3.64
2.86
2.23
1.70
1.07
0.61
0.08
ciclo 3 ciclo 4
0.08
0.17
0.78
0.64
1.26
1.25
1.93
1.81
2.46
2.46
3.24
3.28
3.86
3.97
4.61
4.60
5.49
5.46
6.10
6.24
5.78
5.87
5.08
5.03
4.21
4.22
3.66
3.55
2.98
2.98
2.26
2.29
1.69
1.63
1.11
1.16
0.61
0.61
0.08
-0.03
ciclo 5
0.19
0.61
1.24
1.93
2.58
3.13
3.96
4.60
5.39
6.16
5.82
5.03
4.24
3.67
2.94
2.26
1.57
1.11
0.45
0.06
ciclo 6
0.11
0.70
1.23
1.88
2.53
Prima di tutto si calcola la retta di calibrazione, che altro non è che la retta di regressione
per i dati considerati. Per far ciò si può scrivere un programma in un qualsiasi linguaggio di
programmazione, si trova:
q0 = (1.290 ± 0.016)qi + (−0.374 ± 0.048)
Quindi:
qi = (0.775 ± 0.096)q0 + (0.290 ± 0.041) = f (q0 )
La cosa è rappresentabile su un grafico cartesiano. Da questo si vede subito l’errore di zero.
Si può poi costruire un ulteriore tabella nella quale viene indicato lo scostamento dei dati della
retta ai minimi quadrati. Inoltre anche in questo caso si può riportare il risultato ottenuto
in un grafico cartesiano. Calcoliamo l’errore di accuratezza: questo può essere individuato
dagli estremi della banda in cui sono contenute le misure. Dalla seconda figura si trova che il
massimo valore di scostamento positivo è 0.45 lb, mentre quello negativo è −0.40 lb. Il valore
di fondo scala è:
F SO = f (q0,M AX ) − f (q0,M IN ) = 6.45lb
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
P. v.
lb
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
c. 1
c. 2
c. 3
c. 4
c. 5
c. 6
-0.23
-0.35
-0.24
-0.20
-0.02
0.16
0.28
0.17
0.08
0.07
0.13
0.01
0.01
0.15
0.25
0.39
-0.07
-0.22
-0.38
-0.40
-0.36
-0.32
-0.30
-0.08
-0.08
0.19
0.31
0.32
0.20
0.14
0.01
0.02
0.14
0.15
0.34
0.45
-0.19
-0.14
-0.30
-0.28
-0.39
-0.26
-0.28
-0.18
0.06
0.02
0.35
0.29
0.07
0.16
0.13
0.05
0.13
0.19
0.34
0.45
-0.10
-0.28
-0.31
-0.40
-0.39
-0.22
-0.17
-0.19
0.03
0.16
0.44
0.24
0.08
0.05
0.13
0.08
0.07
0.24
0.34
0.34
-0.08
-0.31
-0.32
-0.28
-0.27
-0.37
-0.18
-0.19
-0.04
0.08
0.39
0.24
0.10
0.17
0.09
0.05
0.01
0.19
0.18
0.43
-0.16
-0.22
-0.33
-0.33
-0.32
46
media
media
ripetisui cicli up-down bilità
0.410
-0.12
0.085
0.12
-0.23
-0.025
0.17
-0.33
-0.130
0.08
-0.34
-0.150
0.12
-0.35
-0.125
0.16
-0.30
-0.090
0.15
-0.23
-0.060
0.13
-0.17
0.040
0.12
-0.01
0.170
0.14
0.12
0.120
0.17
0.35
0.16
0.25
0.15
0.11
0.13
0.12
0.12
0.10
0.12
0.04
0.07
0.07
0.13
0.18
0.09
0.29
0.16
0.41
0.11
7
6
5
Retta di regressione
Lettura [lb]
4
3
2
1
0
−1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Peso vero [lb]
3
Figura 2.18: Best fit
3.5
4
4.5
5
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
47
0.5
0.4
Limiti di accuratezza
0.3
Deviazione [lb]
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Peso vero [lb]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 2.19: Accuratezza
Pertanto l’errore di accuratezza sarà:
ε+
ac% =
0.45lb
· 100 ' 7%
6.45lb
−0.40lb
· 100 ' −6.2%
6.45lb
Si può dire perciò, essendo cauti, che l’errore di accuratezza è:
ε−
ac% =
εac% = ±7%
Tale errore consta, come già spiegato, di vari contributi vediamo di individuarli. Per prima cosa
concentriamoci sull’errore di ripetibilità: osserviamo dunque l’ ultima colonna della seconda
tabella. Qui è computato l’errore di ripetibilità per ogni valore del misurando. Per esempio per
la prima riga esso sarà:
|ε1rip | = |∆qi,M AX − ∆qi,M IN | = | − 0.07lb + 0.19lb| = 0.12lb
Si trova che, globalmente:
|εrip | = 0.17lb
ovvero:
|εrip% | =
0.17lb
· 100 ' 2.6%
6.45lb
Infine:
εrip% = ±1.3%
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
48
Calcoliamo ora l’errore di isteresi. Si può trovare, osservando sempre la seconda tabella che il
massimo valore di questo errore si ha per il ciclo 3 e per il ciclo 4, tra i valori di -0.39 lb e 0.13
lb. Pertanto:
0.52lb
|εist% | =
· 100 ' 8.1% (±4.05%)
6.45lb
L’errore di non linearità indipendente è dall’ ottava colonna della seconda tabella:
|εnli | = |0.41lb − (−0.35lb)| = 0.76lb
che significa:
0.76lb
· 100 ' 11.8% (±5.9%)
6.45lb
Si può infine calcolare e rappresentare la retta di linearità terminale e computare l’errore di
non linearità terminale. Lasciamo al lettore l’esercizio numerico.
|εnli% | =
7
6
5
Lettura [ lb ]
4
Retta terminale
3
2
1
0
−1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Peso vero [ lb ]
3.5
4
4.5
5
Figura 2.20: Retta terminale
2.3.4 Altre caratteristiche
• Soglia e risoluzione: L’andamento delle uscite non è continuo, anche se l’ingresso è
continuo. Le uscite presentano un andamento a scalini. Se ad esempio l’ingresso cresce
gradualmente da zero, ci sarà qualche valore minimo al di sotto del quale non si ha
cambiamento nell’uscita. Questo valore minimo si definisce soglia dello strumento.
Se l’ingresso cresce gradualmente da un qualunque valore non nullo, di nuovo non ci
sarà variazione nell’uscita finchè non viene raggiunto un certo incremento dell’ingresso.
2.3. LINEARIZZAZIONE RISPOSTA INGRESSO-USCITA
49
Questo incremento si chiama risoluzione.
Quindi la risoluzione definisce la più piccola variazione misurabile dell’ingresso, mentre
la soglia definisce il più piccolo valore dell’ingresso misurabile. In figura l’effettivo
andamento delle misurazioni; si vede che anche se qi è continua, q0 è a gradini.
q0 6
-
qi
Figura 2.21: Risoluzione
• Riproducibilità: Viene valutata la ripetibilità dello strumento, ma su una scala temporale più ampia. Inoltre ciò che viene variato non sono più solo i valori in ingresso, ma
anche le condizioni operative dello strumento
• Deriva dello zero: Quanto varia il punto di zero e la sensibilità al variare della situazione ambientale (temperatura, pressione...). La calibrazione viene effettuata a condizioni ambientali costanti, quindi la deriva dello zero non si può individuare solo con la
calibrazione.
• Sovraportata: Viene riportato il valore oltre la portata massima dello strumento per il
quale lo strumento funziona ancora correttamente. É però sconsigliabile perché a lungo
termine può causare danni allo strumento.
Capitolo 3
Elaborazione dei segnali
3.1 Introduzione
La maggior parte delle misure di carattere ingegneristico possono essere eseguite attraverso
trasduttori, o sensori, che hanno un’ uscita elettrica, tipicamente una tensione. Questo è un
vantaggio rispetto ai trasduttori meccanici perché:
• Il segnale viene facilmente trasmesso dal luogo delle misurazione al luogo dell’elaborazione.
• Il segnale è facilmente modificabile, quindi amplificabile, filtrabile e altro.
• Il segnale è facilmente memorizzabile.
Ricordiamo che, in generale, processo di misura avviene secondo vari passi, come è rappresentato in figura sotto. Dove T è il trasduttore, E l’elaboratore, V il visualizzatore.
-
-
T
E
-
V
-
Figura 3.1: Processo di misura.
Vediamo in questa sede come poter modificare il segnale in uscita dal trasduttore, ovvero
vediamo cosa avviene nel blocco E. In particolare vedremo come operare sul segnale per:
• Amplificarlo.
• Sommarlo con altri segnali.
• Integrarlo.
• Differenziarlo.
• Filtrarlo.
• Codificarlo in un linguaggio compatibile con il calcolatore.
50
3.2. AMPLIFICAZIONE
51
• Discretizzarlo.
• Analizzarlo in frequenza.
3.2 Amplificazione
Il termine amplificazione verrà qui usato sia per intendere l’amplificazione vera e propria, sia
l’attenuazione.
I trasduttori forniscono come uscita una grandezza elettrica, solitamente una tensione dell’ordine dei 10−3 V . Allora sorge l’esigenza di un’amplificazione del segnale
• Quando le linee di trasmissione sono soggette a rumore, perché si amplifica la tensione
che si vuole, mentre il rumore resta inalterato.
• Quando i sistemi di acquisizione dati operano con tensioni maggiori di quelle fornite dal
trasduttore, tipicamente 10 -15 V.
Gli amplificatori sono caratterizzati da diversi parametri, che ora andremo a descrivere.
3.2.1 Guadagno e CMMR
Idealmente la relazione che lega la tensione di ingresso e uscita di un amplificatore è la
seguente:
Vo = GVi

ÿ ÿ

ÿ ÿ
dove G rappresenta il guadagno, ossia di quanto viene amplificata (o attenuata) la tensione.
Vi
Vo
Figura 3.2: Amplificatore
In realtà un amplificatore opera su una tensione differenziale Vd = VA − VB , e il valore del
guadagno risulta diverso per ogni tensione:
Vo = GA VA − GB VB
Questo significa che l’amplificatore da un’uscita anche se le tensioni in ingresso sono uguali.
Se poi si introduce una grandezza chiamata tensione di modo comune:
VC =
VA + VB
2
e si esprimono le tensioni dei morsetti A e B usando le tensioni di modo comune e differenziale
si trova la relazione
½
VA = VC + V2d
VA = VC − V2d
3.2. AMPLIFICAZIONE

ÿ ÿ ÿ
ûý ÿýû
ÿ ÿ
52
+
Vi
VA
Vo
−
VB
Figura 3.3: Amplificatore
Quindi la tensione di uscita risulta essere
¡
Vo = GA VC +
Vo =
¡G
A +GB
2
Vd
2
¢
¡
− GB VC −
Vd
2
¢
¢
Vd + (GA − GB )VC
Definendo poi guadagno differenziale Gd il guadagno che moltiplica la tensione differenziale,
e guadagno di modo comune quello che moltiplica la tensione di modo comune si ottiene
Vo = Gd Vd + GC VC
Quindi la tensione di uscita è proporzionale sia alla tensione differenziale, che è quella che si
vuole amplificare, sia a quella di modo comune, che è una sorta di tensione parassita.
Si definisce rapporto di reiezione del modo comune (CMRR: common mode rejection
ratio):
Gd
CM M R = 20 log10
(3.1)
GC
Questo parametro deve essere elevato, di fatto è di norma nell’ordine dei 100 dB.
3.2.2 Risposta in frequenza
La maggior parte degli amplificatori non ha, comunque, lo stesso guadagno per ogni frequenza
del segnale entrante. In questo ordine di idee è essenziale considerare una tipica risposta in
frequenza di un amplificatore. In questo modo si può scegliere l’amplificatore più adeguato
per il fenomeno da osservare. Se si va a tracciare il diagramma del modulo della risposta in
frequenza di un amplificatore si nota una regione in cui il guadagno risulta essere costante.
6
|G|dB
ω1
ω2
-
Figura 3.4: Risposta in Frequenza
ω
3.2. AMPLIFICAZIONE
53
Si chiama banda passante o banda di utilizzo l’intervallo di frequenze corrispondente a
una diminuzione di 3db del valore di guadagno costante. Le ω1 e ω2 sono chiamate frequenze
di taglio superiore e inferiore. Solitamente gli amplificatori hanno solo la frequenza di taglio
superiore. Questo perché possono operare anche in continua, ovvero a frequenza nulla. Nota:
in inglese corrente continua si dice direct current.
Un amplificatore con una banda passante molto stretta rispetto a quella del fenomeno da
osservare causa una distorsione in frequenza. Si pensi ad un trasduttore che dia come uscita
un’onda quadra, ad esempio un encoder tachimetrico. Il segnale amplificato non sarà certo
un’onda quadra, ma le frequenze e quindi le armoniche della serie di Fourier del segnale saranno ridotte. Quello che uscirà sarà un segnale sinusoidale formato da più armoniche che
vagamente ricorda un’onda quadra. Si veda: Wheeler... .
Si noti infine anche la distorsione in fase e la necessità di avere, quindi, una fase lineare con la
frequenza.
ÿ

ÿû
ÿ ÿ
ÿ
ÿ ÿ-
ÿ
3.2.3 Impedenze di ingresso e di uscita
Lo schema ideale di un amplificatore è il seguente:
Vi
G Vi
Vo = G V i
Figura 3.5: Circuito ideale
In realtà ci sono dei problemi di carico dovuti e delle dissipazioni interne, Zo , e a delle
dissipazioni dovute alla lettura ZL , che esistono ogni volta che si vuole misurare qualcosa. Dal
momento che queste alterazioni dalla situazione iniziali sono inevitabili perché indispensabili
per la lettura, vediamo come ridurre il loro contributo in modo da rendere il comportamento
dell’amplificatore quanto più ideale possibile.

ú
ÿ

ÿ
ÿ

ÿ
ÿ -ÿ
ÿ

Io
Vi
Zi
G Vi
ZL
Zo
Figura 3.6: Circuito Reale
3.2. AMPLIFICAZIONE
54
Se si fa le leggi alle maglie e ai nodi, si ottiene:
½
Vo = ZL Io
GVi − Zo Io − ZL Io = 0
Dunque:
ZL
GVi
(3.2)
Zo + ZL
Per un amplificatore ideale l’impedenza di uscita Zo è nulla. Pertanto si deve cercare, nella
costruzione di un amplificatore di rendere tale impedenza più piccola possibile. Si noti che
non è possibile manipolare l’impedenza di carico in quanto essa è data e non fa parte dell’amplificatore.
Vo =
ûÿ ÿ
ÿ-
ÿ ÿ
ÿ
Esiste poi un ulteriore effetto di carico, infatti anche la tensione di ingresso è un generatore
reale con un’impedenza Zi , e esiste anche un’impedenza Zs dovuta alla sorgente.
Vs
Vi
Zi
Zs
Figura 3.7: Ingresso
Facendo ancora le equazioni alle maglie e ai nodi si trova la seguente relazione:
Vi =
Zi
1
Vs
Vs =
Zs + Zi
1 + ZZsi
(3.3)
Affinché la tensione di ingresso sia uguale alla tensione della sorgente deve essere Zi → ∞.
Ancora una volta non è modificabile l’impedenza di sorgente.
3.2.4 Tensione di alimentazione
E’ importante considerare che per trasformare la potenza di ingresso Pi nella potenza di uscita
Po , è necessario fornire una potenza di alimentazione Pa . Ci sarà poi, inevitabilmente, anche
una dissipazione termica PT .
La potenza di alimentazione che è necessario fornire all’ amplificatore risulta quindi essere:
Pa = Po − Pi + PT
(3.4)
Se tale alimentazione non è data, allora l’amplificatore va in saturazione. Tipicamente ciò avviene quando la potenza richiesta è inferiore di soli 2 V a quella di alimentazione. Tipicamente
15 V.
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
55
3.3 Amplificatori operazionali
Nel modo più pratico possibile, l’amplificazione dei segnali avviene attraverso l’uso di un
comune circuito integrato a basso costo. Questo componente viene chiamato amplificatore
operazionale, o op-amp. Un op-amp viene rappresentato schematicamente come sotto:
ÿû ÿÿÿ
û
ÿû
ý
ý ý
V−
Vo
V+
Figura 3.8: Amplificatore operazionale
ÿû úÿÿ
ÿ
ÿû
û
ý ý -ý
ý
Essi sono componenti a bassa potenza, la loro architettura interna sfrutta un collegamento
particolare di transistori.
Ib
−
Zi
V−
+
Zo
V+
Vo
Figura 3.9: Amplificatore operazionale reale
Vengono definiti alcuni parametri utili a caratterizzare meglio il comportamento degli opamp.
• Vd = V+ − V− si chiama tensione differenziale.
• g=
Vo
Vd
è detto guadagno in anello aperto.
g è il guadagno quando l’amplificatore non è ancora attaccato al circuito.
Nel comportamento ideale i terminali di ingresso non assorbono corrente, e rappresentano
un circuito aperto,quindi:
Ib = 0
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
56
Per di più, sempre idealmente, la tensione differenziale è nulla cosı̀ il guadagno in anello aperto è potenzialmente infinito.
Un tipico op-amp, ad esempio il µA741C, costa meno di un caffè, ha una impedenza in input,
che ricordiamo deve essere più grande possibile, nell’ordine dei 2M Ω, un’ impedenza di output di 75Ω, un guadagno g = 200000 e un CM RR = 70dB.
Rappresentiamo in una tabella le tipiche caratteristiche di un op-amp ideale e reale.
g
Zi
Zo
CM RR
Ib
Ideale
∞
∞
0
∞
0
Reale
80 − 100dB
105 − 1010 Ω
1 − 10Ω
90 − 100dB
10−6 − 10−14 A
Si capisce quindi che l’op-amp può essere assunto ideale senza commettere un errore ingegneristicamente grande. Pertanto, senza diverso avviso, gli op-amp saranno trattati in questo
modo.
Gli op-amp possono essere collegati al circuito per amplificare il segnale in vari modi
ottenendo svariati risultati possibili. Tra i circuiti di cui ci occupiamo sono:
• I circuiti in configurazione invertente.
• I circuiti in configurazione non invertente.
• I circuiti sommatori.
• I circuiti derivatori.
• I circuiti integratori.
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
57
3.3.1 Configurazione invertente

ù
úÿúÿÿ
ûÿ
ÿ ûÿ
ý
ý
Si consideri il circuito in figura.
ÿû

ý
R2
R1
Vi
I1
Ib
I2
Vd
Vo
Figura 3.10: Amplificatore operazionale invertente
La resistenza R2 che collega il terminale di uscita con un terminale di ingresso è detta resistenza di retroazione.
Tramite le leggi ai nodi si ottiene
I2 = I1
perché i terminali di ingresso non assorbono corrente: Ib = 0. Inoltre si ha che:
Vi
R1
Vo
= −
R2
I1 =
I2
in quanto Vd = 0.
Sostituendole nell’equazione precedente:
−
Vo
Vi
=
R2
R1
In definitiva si ottiene:
R2
Vi
(3.5)
R1
La rete esaminata realizza dunque la funzione di amplificazione con inversione del segnale di
2
ingresso, con un guadagno pari a R
.
R1
In caso ci siano delle impedenze, il discorso è analogo, semplicemente al posto delle R si
sostituiscono le Z.
Vo = −
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
58
3.3.2 Configurazione non invertente

ù
úÿúÿÿ
ûÿ
ÿ ûÿ
ûý
ý
Si consideri il circuito in figura.
ÿ

ý
R2
R1
I1
Ib
I2
Vd
Vi
Vo
Figura 3.11: Amplificatore operazionale non invertente
Si noti che la retroazione è fatta sempre sul morsetto negativo. Sempre utilizzando le
ipotesi di amplificatore ideale (Ib = 0 e Vd = 0) si vede che:
Vi = VR1
Vo = VR1 + VR2
Quindi si ottiene:
¶
µ
R1
Vo = Vi 1 +
R2
(3.6)
La rete esaminata realizza dunque la funzione di amplificazione senza inversione del segnale
1
di ingresso, con un guadagno pari a 1 + R
R2
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
59
ÿû ÿÿ ÿ

ÿ û
ý
ý
3.3.3 Configurazione a buffer unitario
Serve per disaccoppiare due elementi, affinché non ci siano effetti di carico.
Vi
Vo
Figura 3.12: Buffer unitario
La corrente assorbita dall’amplificatore è nulla e pertanto è nullo l’effetto di carico nei
riguardi della sorgente del segnale Vi . L’amplificatore ideale si comporta quindi come un
generatore ideale di tensione pilotato in tensione, che può erogare qualunque corrente. In
pratica esiste una corrente massima che può essere erogata, che definisce la potenza massima
dell’amplificatore.
3.3.4 Circuito sommatore invertente
ÿû ÿ
û ÿ
û
ý ý ý

ÿ ÿÿ ÿ
û
ÿ
ý
ý
Si consideri il circuito in figura.
V1
V2
R1
R2
R3
V3
R4
Figura 3.13: Amplificatore operazionale sommatore
Per semplicità si supponga che ci siano tre sorgenti di ingresso.
Vo
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
60
Imponendo l’equilibrio delle correnti al nodo negativo:
I = I1 + I2 + I3
Vo
V1
V2
V3
=
+
+
−
R4
R1 R2 R3
µ
¶
V1
V2
V3
Vo = −R4
+
+
R1 R2 R3
Il circuito realizza una combinazione lineare delle tensioni in ingresso. Se poi si pone:
R1 = R2 = R3 = R4 = R
si ottiene in uscita la somma delle tensioni in ingresso con segno cambiato. Per realizzare un
circuito sommatore non invertente basta collegare in cascata un amplificatore invertente.
3.3.5 Circuito derivatore

ÿû ÿÿ

ÿ
ÿ
û

ý
ý ý
É necessario usare un condensatore, poichè per esso la corrente è proporzionale alla derivata
della tensione.
R
C
Vi
Vo
Figura 3.14: Amplificatore operazionale derivatore ideale
Grazie alla (3.5) sappiamo che la tensione in uscita è:
Vo (s) = −
R
1
sC
Vi (s)
Vo (s) = −sRCVi (s)
Quindi passando nel dominio del tempo:
Vo (t) = −RC
dVi
dt
In realtà questa configurazione non è realizzabile: il guadagno aumenta all’aumentare della
frequenza, per cui si amplifica molto anche il rumore.
É necessario dunque mettere un polo ad una frequenza sufficientemente alta.
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
61
| VVoi | 6
©©
©©
©
©
©©
©
ÿû

ý
-
ω

ÿÿ ÿ
ÿ
û
ý
ý
ω̄
Figura 3.15: Risposta con polo in alta frequenza
R2
R1
Vi
C
Vo
Figura 3.16: Amplificatore operazionale derivatore reale
Dopo ω̄ il segnale non viene più derivato. Questo si ottiene ponendo una resistenza in cascata al condensatore.
In questo modo la risposta dell’op-amp è la seguente:
−
Vo
=
R2
1
sC
Vi
+ R1
La risposta in frequenza è quindi:
H(s) = −R2 C
s
1 + R1 C s
In cui si vuole un polo in alta frequenza. Per cui si ricorda che la costante di tempo è τ = R1 C,
dunque la frequenza del polo è:
1
f=
2π R1 C
Si noti comunque che tale resistenza è troppo piccola il guadagno in alta frequenza può essere più elevato di quanto consenta l’architettura dell’op-amp e si ricade nella situazione
precedente.
ÿ

ÿ
ÿ
û
ÿ
ý
ý
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
ÿû

ý
Vi
62
C
R
Vo
Figura 3.17: Amplificatore operazionale integratore
3.3.6 Circuito integratore
Sempre grazie alla (3.5) sappiamo che la tensione in uscita è:
1
Vo = − sC Vi
R
1
Vi
Vo = −
sRC
Passando nel dominio del tempo si ottiene:
1
Vo = −
RC
Z
t
Vi dt + Vo (0)
0
Si deve quindi tener conto anche della costante di integrazione. Questo avviene quando ci sono
delle componenti in corrente continua. Allora si rende necessario l’uso di un filtro passaalto.
Questo facendo passare tutte le frequenze sopra una certa soglia, elimina quelle a frequenza
nulla, ovvero proprio le componenti in continua.
Il circuito integratore tipicamente si realizza ponendo anche una resistenza in parallelo al
condensatore, in questo modo l’integrazione avviene solo da una certa frequenza in poi.
Si noti come risolvere op-amp invertenti si possa schematizzare facilmente nella:
−
Vo
Vi
=
Req1
Req2
Dove le due resistenze equivalenti non sono altro che, l’una quella del braccio di andata, l’altra
quella del braccio di feed-back.
3.3.7 Risposta in frequenza
Come detto l’amplificazione non avviene su tutta le banda di frequenze esiste una frequenza
massima, e al limite anche una minima, superata la quale si ha attenuazione sul guadagno
ideale. Tale attenuazione è stimabile a 20 dB per decade, ovvero il comportamento di un
3.3. AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
63
amplificatore è modellizzabile con un sistema del prim’ordine del tipo
1
g = g0
s
1+
ωb
db
La curva ha quindi una pendenza di −20 dec
.
|g|dB 6
∼ 100dB
(go )
HH
ωb
20dB/dec
HH
HH
ωH
t H
H
-
ω
Figura 3.18: Risposta in Frequenza
La risposta in frequenza nella banda compresa tra ωb e ωt sarà quindi quella di un integratore:
ωb
g(ω) = g0
ω
Se la pulsazione con cui il diagramma del modulo taglia l’asse di zero db è ωt , si avrà |g(ωt )| =
1. Si ricava dunque
ωt = g0 ωb
(3.7)
La precedente prende il nome di prodotto guadagno-banda e si indica di solito con l’acronimo GP B. Esso indica a quale pulsazione il guadagno di anello aperto g0 = 1.
6
G
HH
HH
H
ω̄
HH
H
HH -
ω
Figura 3.19: Risposta in Frequenza, G
Se si sovrappone il grafico del modulo del guadagno in anello aperto con quello in anello
chiuso, si nota che quest’ultimo risulta essere costante fino alla pulsazione ω̄. Allora il prodotto
guadagno-banda determina la massima pulsazione in cui il guadagno in anello chiuso rimane
costante. Infatti si può scrivere, anche per questo caso che:
ωt = G ω̄
(3.8)
Si può quindi notare che se si cerca di avere un alto valore del guadagno G, esso rimarrà costante per una banda ristretta.
Ad esempio se si fissa ωt = 1M Hz, la banda in cui G rimane costante risulta essere ω̄ = 1MGHz .
Chiaramente anche nel caso di op-amp bisogna stare attenti alla risposta in fase. Infatti
è cosa saggia rimanere nel campo in cui la fase varia linearmente con la frequenza per non
incorrere in distorsioni del segnale.
3.4. FILTRI
64
3.4 Filtri
In molte situazioni di misura il segnale è complicato, somma di più sinusoidi di frequenza differente. E’ spesso necessario rimuovere alcune di queste frequenze attraverso degli strumenti
chiamati filtri. Ci sono almeno due occasioni nelle quali l’uso di un filtro è basilare:
• Quando è presente del rumore di misura a frequenza definita o in un certo range.
• Quando si vuole limitare il contenuto in frequenza per evitare il fenomeno dell’aliasing,
che sarà discusso in seguito.
I filtri, quindi, operano una selezione sul contenuto in frequenza dell’ingresso. Possono
essere classificati in
• Analogici: operano su grandezze continue in ampiezza e nel tempo
• Digitali: operano su grandezze discrete in ampiezza e nel tempo
I filtri analogici possono essere ulteriormente divisi in
• Passivi: costituiti da elementi da elementi che non richiedono alimentazione, come
resistenze, condensatori e induttori.
• Attivi: costituiti da elementi che richiedono una tensione di alimentazione, come ad
esempio gli amplificatori.
3.4.1 Tipologie
• Filtri passabasso
Il grafico del modulo della risposta in frequenza di un filtro passabasso è il seguente:
| VVoi | 6
ω̄ - ω
Figura 3.20: Filtro low pass
Esso mantiene inalterate le componenti in frequenza del segnale in ingresso fino alla frequenza ω̄, mentre impedisce il passaggio delle altre. ω̄ si chiama frequenza di taglio. La banda
tra zero e ω̄ si chiama banda passante mentre la banda da ω̄ in poi si chiama banda attenuata. Il filtro passabasso è utile quando il rumore ha componenti a frequenza più alta di quella
interessata. Esso attenua infatti le componenti ad alta frequenza lasciando inalterate quelle a
bassa frequenza.
• Filtri passaalto
Il grafico del modulo della risposta in frequenza di un filtro passaalto è il seguente:
3.4. FILTRI
65
| VVoi | 6
ω̄
- ω
Figura 3.21: Filtro high pass
Esso impedisce il passaggio delle componenti in frequenza del segnale in ingresso da zero
fino a ω̄, mentre mantiene inalterate quelle da ω̄ in poi.
• Filtri passabanda
Il grafico del modulo della risposta in frequenza di un filtro passabanda è il seguente:
| VVoi | 6
ω1
ω2 - ω
Figura 3.22: Filtro band pass
Esso permette il passaggio delle componenti in frequenza del segnale in ingresso che si
trovano tra ω1 e ω2 . Si può ottenere come serie di un filtro passaalto e un passabasso.
• Filtri arrestabanda
Il grafico del modulo della risposta in frequenza di un filtro arrestabanda è il seguente:
| VVoi | 6
ω1
ω2 - ω
Figura 3.23: Filtro stop band
Esso impedisce il passaggio delle componenti in frequenza del segnale in ingresso che si
trovano tra ω1 e ω2 . Si può ottenere come parallelo di un filtro passaalto e un passabasso.
• Filtri a spillo (notch)
Il grafico del modulo della risposta in frequenza di un filtro a spillo è il seguente:
É un caso particolare di filtro arrestabanda, in cui ω1 = ω2 . Impedisce il passaggio di una
sola componente di frequenza del segnale in ingresso.
3.4. FILTRI
66
| VVoi | 6
ω̄
- ω
Figura 3.24: Filtro notch
3.4.2 Caratteristiche dei filtri reali
I grafici visti finora rappresentano dei filtri ideali. Nella realtà tra la banda attenuata e la banda
passante esiste anche una banda di transizione. La frequenza di taglio è quella che si ha con
una diminuzione del guadagno di -3db.
Prima di tutto è importante notare che non c’è una pendenza infinita, è allora fondamentale
ω
0
−2
− 3 dB
−4
−6
−8
Banda di transizione
−10
−12
−14
−16
−X
−18
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Figura 3.25: Banda di transizione
conoscere la pendenza della retta del modulo nella banda attenuata. La pendenza dipende
dall’ordine del filtro (l’ordine del denominatore della funzione di trasferimento).
db
db
• 1◦ ordine : pendenza di -20 dec
(−6 oct
)
db
db
(−12 oct
)
• 2◦ ordine : pendenza di -40 dec
Inoltre il guadagno non tende a zero con ω → ∞, ma tende ad un valore asintotico. Questo
perché è comunque presente un rumore di misura che limita verso il basso l’attenuazione
del filtro. Si chiama range dinamico l’attenuazione asintotica del filtro, ovvero il rapporto
rumore-misura dello stesso e si calcola come:
µ ¶
µ ¶
Ai
Af
= 20 log10
(3.9)
X = −20 log10
Ai
Af
3.4. FILTRI
67
Dove evidentemente Af è l’ampiezza del segnale finale, Ai quella iniziale.
E’ poi importante conoscere il valore della pendenza iniziale della curva, vicino alla pulsazione di taglio. Questo valore si chiama roll-off. Se il roll-off è grande, l’attenuazione a pari
pulsazione risulta maggiore rispetto a una curva con roll-off più basso.
ω
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
0
5
10
15
20
25
30
Figura 3.26: Roll-off
In figura (3.4.2) si vede un esempio di un filtro con basso roll-off, e un filtro con un roll-off
moderatamente elevato.
Un altro fenomeno che caratterizza i filtri reali è il ripple: l’oscillazione del valore del guadagno all’interno della banda passante. Solitamente vengono dati gli estremi di variazione del
guadagno.
Riassumendo, in un filtro è importante:
• L’ordine.
• Il roll-off.
• Il ripple.
I filtri possono essere divisi in ulteriori categorie, indipendentemente dall’ordine, delle
quali le più importanti sono:
• Filtri di Butterworth: Presentano la massima piattezza del modulo in banda passante,
e un roll-off moderatamente elevato. L’andamento della fase presenta oscillazioni.
3.4. FILTRI
68
• Filtri di Bessel: Presentano la massima linearità della fase all’interno della banda passante ma un roll-off minore di quello di un filtro di Butterworth. Questo implica che a pari
frequenza di taglio, il guadagno per un filtro di Butterworth rimane costante in una banda più
ampia rispetto a un filtro di Bessel.
• Filtri di Chebychev1 : Presentano un roll-off molto elevato, ma anche il ripple nella
banda passante.
ω
0
(a)
(b)
−1
−2
(c)
−3
−4
−5
−6
−7
0
5
10
15
20
25
30
Figura 3.27: Filtri di Butterworth (a), Bessel (b) e Chebychev (c)
1
A causa della traslitterazione dal cirillico esistono varianti allo spelling del nome. In alcuni testi si può
trovare Tchebychev o Chebyshev.
3.4. FILTRI
69
3.4.3 Realizzazione
La realizzazione circuitale dei filtri analogici può essere fatta con elementi attivi o passivi.
Quelli passivi non richiedono una tensione di alimentazione, possono essere usati a qualunque
frequenza, e sono intrinsecamente stabili. Però le loro impedenze di ingresso e uscita danno
luogo a effetti di carico.
I filtri attivi richiedono una tensione di alimentazione, ma possono essere usati solo in una
limitata banda di frequenze. Non danno luogo a effetti di carico. Non usano induttanze, ma
solo resistenze e condensatori.
ÿû
ý
• Passabasso passivo del 1◦ ordine
Vi
R

ûÿ
ý ý
C
Vo
Figura 3.28: Filtro LP passivo
Facendo le leggi alle maglie e ai nodi si trova
Vo = Vc
Vi = VR + Vc
VR = RI
1
Vc = I
ωC
Quindi si ottiene
Vi = (ωCR + 1)Vo
La funzione di trasferimento del filtro risulta quindi essere:
Vo
1
=
Vi
1 + RC
(3.10)
Un esempio reale di tale tipo di filtro è un normale cavo coassiale, come il cavo dell’antenna
televisiva o l’assone di una comune cellula nervosa. Tale architettura consente il taglio di rumore ad alta frequenza ottenendo una migliore ricezione del segnale.
• Passaalto passivo del 1◦ ordine
Facendo le leggi alle maglie e ai nodi si trova
Vo = VR
Vi = VR + Vc
VR = RI
1
Vc = I
ωC
ÿû
ûÿ
ý ý ý
3.4. FILTRI
C
Vi
70
Vo
R
Figura 3.29: Filtro HP passivo
Quindi si ottiene
Vi = (
1
+ 1)Vo
ωCR
La funzione di trasferimento del filtro risulta quindi essere:
Vo
ωRC
=
Vi
1 + RC
(3.11)
ÿ

ÿ
û
ý
ý
• Passabasso attivo del 1◦ ordine
Per filtrare attivamente un segnale si usano tipicamente degli op-amp. Tutti i filtri attivi
del prim’ordine hanno la seguente realizzazione, in cui cambiano solo le impedenze, come
mostrato in tabella
ÿû

ý
Z2
Z1
Vi
Vo
Figura 3.30: LP-HP, attivi
Z1
R1
LP
HP

Z2
R2
V0 /Vi
Z2
−
Z1
Z1
R1
Z2
−
R2
jωC
R2 +
C
R1
R2
−
Z2
Z1
R1 +
1
jωC
R2
1
jωC
3.4. FILTRI
71
Ricordando la(3.5) e trovando l’impedenza equivalente in retroazione si trova:
Vo
Z2
= −
Vi
Z1
Z1 = R1
Z2 =
R2
ωC
R2 +
1
ωC
Allora la funzione di trasferimento risulta essere:
Vo
R2
1
=−
Vi
R1 1 + ωR2 C
R2
Il filtro realizzato presenta un guadagno statico pari a − R
.
1
• Passaalto attivo del 1◦ ordine
Ricordando la(3.5) e trovando l’impedenza equivalente in linea d’andata si trova:
Z1 = R1 +
1
ωC
Z2 = R2
La funzione di trasferimento è quindi
Vo
R2
ωR2 C
= − ωR1 C+1 = −
Vi
1 + ωR1 C
ωC
Come si nota, il filtro passaalto non è altro che un derivatore, mentre il passabasso è fondamentalmente un integratore.
• Filtri del 2◦ ordine
Presentano una realizzazione circuitale piuttosto complessa. La loro funzione di trasferimento
è del tipo:
k
A= 2
2
s + 2ξωN + ωN
Il valore dello smorzamento risulta essere:
•
•
√
2
2
√
3
2
≈ 0.7 per un filtro di Butterworth.
per un filtro di Bessel.
• 0.522 per un filtro di Chebychev.
I filtri che normalmente si usano hanno ordine elevato. Tipicamente 4, 6, 8. Non è di norma
ragionevole avere filtri di ordine più elevato perché il ritardo di fase sarebbe troppo pronunciato.
• Filtri a spillo
E’ interessante presentare in questa sede una comune realizzazione di tale tipo di filtro. Esso
è utilizzato qualora si conosca con precisione la frequenza del rumore che si vuole attenuare.
3.5. TRASMISSIONE DEI DATI
72
In tale ordine di idee è particolarmente indicato se si vuole eliminare la tipica interferenza
elettrica a 50 Hz. La sua funzione di trasferimento si può scrivere come:
s2 + ωn2
H(s) =
(s + ωn )2
Che comporta una attenuazione potenzialmente infinita solo nella frequenza di interesse e
nessuno sfasamento.
3.5 Trasmissione dei dati
La trasmissione dei dati avviene tramite fili elettrici, quindi è necessario che siano schermati
da interferenze esterne. Inoltre in tutti i precedenti schemi si è fatto riferimento a una terra,
cioè a una massa a potenziale zero. In realtà ci possono essere diverse masse, che possono
avere diverso potenziale. Allora si ha un passaggio di corrente.
3.6 Visualizzazione e registrazione dei dati
Ci si occuperà di sistemi di acquisizione digitali. C’è quindi un’interfaccia dei dati attraverso
un computer.
3.6.1 Scheda di acquisizione dati
Possono essere inserite direttamente all’interno nell’elemento di elaborazione (solitamente un
PC), oppure possono essere separate dall’elemento di elaborazione. Il collegamento ad esso
verrà fatto tramite dei protocolli di acquisizione standard.
Le schede interne vengono inserite direttamente in uno slot della scheda madre del PC. Per
collegarla allo strumento di misura è presente un connettore a cui attaccare i vari cavi, o bus,
provenienti dallo strumento. Il vantaggio di questo tipo di schede è la velocità della trasmissione dei dati.
Il vantaggio delle schede esterne è invece la possibilità di effettuare misure remote: non è
necessario che l’operatore sia nello stesso ambiente in cui viene eseguita la misura. Questo
risulta utile nel caso in cui l’ambiente di misura sia pericoloso o presenti sostanze nocive.
La caratteristica fondamentale delle schede di acquisizione è che devono convertire un
segnale analogico in un segnale digitale, affinché il computer lo possa interpretare.
I vantaggi di un sistema digitale sono:
• una minor sensibilità ai rumori di misura: se il rumore è piuttosto basso, non fa scattare
una variazione del segnale discreto.
• una maggior facilità di elaborazione dei dati: per sommare dei dati analogici è necessario
un circuito sommatore realizzato con amplificatori. Per sommare dei dati digitali basta
semplicemente sommare i numeri.
• una maggior affidabilità dei supporti per la memorizzazione: per memorizzare i dati
analogici servono dei supporti ad altà fedeltà. I supporti per la memorizzazione di dati
digitali sono più affidabili e costano meno.
Le operazioni compiute da una scheda di acquisizione dati sono:
3.6. VISUALIZZAZIONE E REGISTRAZIONE DEI DATI
73
• il campionamento e mantenimento del segnale analogico (sample and hold)
• la conversione dall’analogico al digitale
• la codifica, ovvero la messa in relazione del dato digitale con la grandezza analogica
3.6.2 Conversione analogico-digitale
Lo svantaggio della conversione è la discretizzazione: si perdono informazioni. Questo perché
il segnale analogico è valutato solo in certi intervalli di campionamento. Si perdono quindi
informazioni sul contenuto in frequenza.
2
1
y 0
−1
−2
0
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
10
2
1
y 0
−1
−2
Figura 3.31: discretizzazione
La discretizzazione in ampiezza si chiama quantizzazione. Il campo di misura dell’ADC
(analog to digital converter) è un insieme discreto di valori. Il campo di misura si classifica in
• unipolare: le tensioni in ingresso sono tutte dello stesso segno: il minimo del fondo
scala è lo zero
• bipolare: le tensioni in ingresso possono essere sia positive che negative. Solitamente
l’intervallo è simmetrico
Siano ora m i valori che il segnale discretizzato può assumere. m può essere messo in relazione
col numero di bit dell’ADC, infatti se N indica il numero di bit del convertitore, il numero di
intervalli che il segnale può assumere sono 2N (da 0 a 2N − 1).
Si osserva però che la funzione che lega analogico e digitale non è biunivoca, infatti ci sono
diversi valori analogici che sono rappresentati da solo un numero digitale. Si definisce quanto
(Q) l’intervallo di dati analogici rappresentati da un singolo numero. L’errore che si compie
3.6. VISUALIZZAZIONE E REGISTRAZIONE DEI DATI
74
viene chiamato errore di quantizzazione.
Il più grande errore di quantizzazione che si compie è
eq =
Q
2
ricordando poi che il fondo scala è
F S = 2N Q
si può riscrivere l’errore di quantizzazione nel seguente modo
eq =
FS
2 · 2N
(3.12)
Questo però è l’errore massimo che si può compiere. Per rappresentare più realisticamente
l’errore si può assumere che esso sia dato da una densità di probabilità uniforme, di ampiezza
Q. Allora l’errore compiuto è la sua deviazione standard, ossia
Q
eq = √
2 3
La (3.12) mostra che per ridurre l’errore è necessario diminuire il fondo scala, o aumentare il
numero di bit del convertitore.
ESEMPIO
Sia dato un ADC con fondo scala FS=10V e numero di bit N=10. Trovare l’errore di quantizzazione.
Secondo la (3.12) l’errore risulta essere
eq =
10
= 0.00488 V
2 · 210
Rapportando poi l’errore rispetto al fondo scala
eq% =
eq
100 = 0.0488%
10
L’incertezza di quantizzazione dipende dalla risoluzione del convertitore. La risoluzione corrisponde al valore del quanto:
RIS = Q =
FS
= LSB
2N
dove LSB sta per bit meno significativo.
Per rilevare piccole variazioni dell’ingresso si deve aumentare il numero di bit, o ridurre il
fondo scala. Oppure le schede di acquisizione possono avere un elemento di guadagno programmabile: può amplificare il valore del segnale in ingresso in modo che posa essere rilevato
più facilmente. Questo ottimizza il problema della risoluzione.
Bisogna però porre particolare attenzione a non superare il fondo scala dello strumento. Se
infatti si amplifica troppo il segnale, esso può oltrepassare il FS dello strumento e dare problemi di saturazione. É bene prevedere quindi un po’ di margine, anche perché le misure non
sono note senza incertezze. Di solito quindi si amplifica il segnale solo fino all’ 80-90% del
FS.
Il segnale può poi essere caratterizzato da un offset: la sua linea media non corrisponde con
3.6. VISUALIZZAZIONE E REGISTRAZIONE DEI DATI
5
75
Non amplificato
Amplificato
4
3
2
1
V 0
−1
−2
−3
−4
−5
0
5
10
15
20
25
t
Figura 3.32: amplificazione
5
4
3
2
1
Offset
V 0
−1
−2
−3
−4
−5
0
5
10
15
t
Figura 3.33: offset
20
25
30
3.7. TIPI DI CONVERTITORI A/D
76
l’asse orizzontale nullo. Amplificando questo segnale, si raggiunge facilmente la saturazione.
Per poter usare un guadagno sufficientemente alto è necessario rimuovere l’offset, tramite un
filtro passaalto.
La codifica è l’operazione che permette di associare ai numeri digitali l’ampiezza della
tensione analogica, e quindi ottenere il corrispondente dato della misura.
La rappresentazione è fatta in aritmetica binaria.
Sia C il codice ricavato dalla misura, e portato in base 10. Il valore corrispondente della misura
è
C · FS
M ISU RA =
(3.13)
2N
se il campo di misura è unipolare, e
¡
¢ FS
M ISU RA = C − 2N −1 N
2
se il campo di misura è bipolare.
Bisogna fare subito alcune precisazioni:
1. Le formule precedenti sono ovvie se si considera la definizione di quanto. Si badi comunque che esistono formulazioni alternative. Infatti le relazioni sopra non permettono
di arrivare al fondo scala in quanto il massimo codice è 2N − 1.
2. La seconda è vera se e solo se il codice binario è utilizzato per rappresentare numeri
negativi in modalità offset. Questo non è in generale vero, anzi il più delle volte si
utilizza il metodo del complemento a due. Tra l’altro questo è vero qualora si abbia
a che fare con numeri interi, altrimenti si ricorda che si ha a che fare con mantissa
ed esponente. In questo corso, se non diversamente specificato, si potrà utilizzare senza
indugio alcuno la formula di cui sopra. In ogni caso si rimanda al Wheeler... per ulteriori
chiarimenti.
3.7 Tipi di convertitori A/D
Le caratteristiche principali degli ADC sono:
• velocità di conversione
• risoluzione
• fondo scala
Nella tabella sono riportati i quattro tipi principali di convertitori, insieme alle loro caratteristiche.
TIPO
Integratore
Rampa (conteggio)
Flash (parallelo)
Approssimazioni successive
VELOCITÁ
lento
lento
veloce
medio
RISOLUZIONE
12-20 bit
12-20 bit
4-8 bit
10-16 bit
Il fondo scala di tutti può essere di ±5V , ±10V , 0-5V, 0-10V.
COSTO
basso
basso
alto
medio

ÿ ÿÿ
ÿ
ÿ
ÿ
ÿ

ý
ÿ
3.7. TIPI DI CONVERTITORI A/D
77
S
C
Vref
R
comparatore
Vi
Figura 3.34: Convertitore a rampa
3.7.1 Convertitore a rampa
I convertitori a integratore e a rampa funzionano all’incirca allo stesso modo. Questi convertitori funzionano grazie a un orologio digitale fornisce un conteggio. Sia n il conteggio. Esso
va da 0 a 2N − 1, dove N indica il numero di bit.
Il funzionamento è il seguente: una tensione di riferimento costante viene mandata a un integratore. L’uscita dell’integratore è quindi una tensione che cresce linearmente nel tempo.
Quando l’ADC viene collegato, l’orologio viene attivato e inizia il conteggio. L’uscita dell’integratore è continuamente comparata con la tensione di ingresso analogica, tramite un
comparatore. Quando l’uscita dell’integratore diventa maggiore della tensione di ingresso,
il conteggio viene fermato, e questo valore del conteggio è l’uscita digitale data dal convertitore.
La tensione di riferimento viene scelta in modo tale che dopo 2N − 1 conteggi essa abbia raggiunto la tensione massima.
Il comparatore è un amplificatore che restituisce un valore positivo o negativo a seconda che
uno dei due ingressi sia maggiore dell’altro.
3.7.2 Convertitore flash
É formato da 2N − 1 comparatori, tutti in parallelo tra loro. Su un morsetto dell’ingresso c’è la
tensione che si vuole convertire, sull’altro morsetto c’è la tensione di riferimento. La tensione
di riferimento viene scalata attraverso delle resistenze successive, in modo tale che l’uscita dei
comparatori sarà negativa fino a un certo comparatore, poi sarà positiva, perché la tensione di
riferimento a quel punto risulterà essere minore di quella in ingresso.
Come si vede questi ADC sono molto veloci perché la comparazione è fatta pressoché contemporaneamente. L’unica cosa che può modificare la velocità è l’elemento di codifica.
3.7.3 Convertitore ad approssimazioni successive
Ha al suo interno un convertitore digitale analogico (DAC), e un elemento di controllo logico.
La comparazione viene effettuata tra le approssimazioni generate dal blocco logico e quella di
3.7. TIPI DI CONVERTITORI A/D
ÿ ÿ

ÿ
ÿ ÿ ÿ
ÿ

ÿÿ

ÿ
}|{ }||
{ÿ ÿ

ÿ ÿ
ûý ûý
ÿÿ

ÿ
ÿýýýÿÿÿ
78
2Nbit − 1
b3
b2
codifica
b1
b0
R
Vi
Vref
Figura 3.35: Convertitore flash
Vi
V ref
DAC
LOG
Cod
Figura 3.36: Convertitore ad approssimazioni successive
4bit
3.7. TIPI DI CONVERTITORI A/D
79
ingresso, vengono cioè create delle tensioni analogiche e comparate con l’ingresso. Al primo
tentativo viene creata una tensione pari a metà del fondo scala, e viene comparata con la tensione in ingresso. Questo serve per vedere se la tensione sta nella metà superiore o inferiore.
Se la tensione in ingresso è nella parte superiore, ossia se Vi > Vg , il bit più significativo del
codice viene messo a 1, altrimenti a zero. Questo processo è ripetuto con un intervallo la metà
del precedente, e cosı̀ via finchè tutti i bit risultano determinati.
ESEMPIO
Sia data una tensione di ingresso Vi = 8V , un convertitore a 4 bit e FS=10. Trovare l’uscita
digitale.
La tensione di prova Vg = 5V . Poichè Vi > Vg , il primo bit è portato a 1: il codice sarà 1000.
Per determinare il secondo bit si genera una tensione Vg = 5V + 52 V = 7.5V . Poichè Vi > Vg ,
il secondo bit è portato a 1: il codice sarà 1100.
Per determinare il terzo bit si genera una tensione Vg = 5V + 25 + 45 V = 8.75V . Poichè stavolta
Vi < Vg , il terzo bit verrà lasciato a zero: 1100.
Per determinare il quarto bit si genera una tensione Vg = 5V + 52 V + 54 V − 58 V = 8.125V .
Poichè anche in questo caso Vi < Vg , l’ultimo bit è lasciato a zero.
Il codice ottenuto è 1100, che corrisponde a 12 in decimale. Per risalire alla tensione si usa la
(3.13)
C · FS
12 · 10
M ISU RA =
=
= 7.5V
N
2
24
ÿ ÿ
ÿ ÿ
ÿ ÿ
ÿû ÿ
ý ý
!ÿ
!ÿ
!ÿ ÿ ÿ
!ÿ
û

ý
ý
3.7.4 Convertitore D/A a resistenze pesate
Vref
R
2R
R1
4R
8R
Vo
Figura 3.37: Convertitore D/A a resistenze pesate
Questo convertitore permette di passare da un numero digitale a una tensione analogica.
Supponiamo che il DAC sia a quattro bit.
La tensione di riferimento viene mandata a tutti i resistori, e la somma viene mandata a un
amplificatore invertente. Gli interruttori sono comandati dalla sequenza dei bit del numero che
si vuole convertire.
3.8. SAMPLE AND HOLD
80
Facendo le leggi ai nodi si trova
Vr
R
Vr
I3
=
=
2R
2
Vr
I3
=
=
4R
4
I3 =
I2
I1
dove Vr indica la tensione di riferimento. Se si indica con Si lo stato logico dell’interruttori
i-esimo (0=aperto, 1=chiuso), comandato dal bit ad esso associato, facendo le leggi alle maglie
si ottiene
Vo = −R1 I3 S3 − R1 I2 S2 − R1 I1 S1 − R1 I0 S0
¢
R1 Vr ¡ 3
2
1
0
Vo = −
2
S
+
2
S
+
2
S
+
2
S
3
2
1
0
R 23
In generale quindi
¢
R1 Vr ¡ N −1
2
SN −1 + · · · + 20 S0
N
−1
R 2
Essendo tutti i convertitori degli strumenti, essi saranno soggetti a degli errori e a degli indici
di qualità. Due tipi di errori comuni sono:
Vo = −
• Non linearità assoluta: la caratteristica dello strumento è in generale diversa dalla retta
ideale. Tale indice tiene conto dei margini massimi in cui varia la caratteristica.
• Non linearità differenziale: I punti della caratteristica di conversione adiacenti dovrebbero essere spaziati di AD (sull’ asse delle ampiezze). Nella caratteristica reale i punti
sono spaziati di un intervallo AD , diverso da AD .
• Codice mancante: In presenza di forte non-linearità differenziale un gradino può essere
totalmente assorbito da quelli adiacenti. Il codice corrispondente al gradino eliminato
non sarà mai presente nell’ uscita. (Missing Code).
3.8 Sample and Hold
3.8.1 Aliasing
Se si vuole ottenere una discretizzazione di un segnale analogico si deve usare un circuito di
sample & hold. Tale circuito consiste in un interruttore e un condensatore. A tempi fissati
l’interruttore scatta e il condensatore si carica. Dopo di che, l’interruttore si apre nuovamente
lasciando il condensatore carico. In questo modo il segnale viene discretizzato a gradini con
frequenza pari all’inverso del periodo di campionamento. Questo circuito ha comunque una
importante limitazione. Infatti se il condensatore è, per cosı̀ dire, lasciato aspettare troppo dissipa la sua carica e la tensione diminuisce. Pertanto il segnale discretizzato sarà, nel migliore
dei casi attenuato, nel peggiore distorto. Infatti se il tempo di acquisizione del segnale è lungo rispetto alla dissipazione del condensatore la tensione non è costante e il segnale solo una
brutta copia dell’originale.
A parte questi problemi, facilmente risolubili, c’è ne è un altro più gravoso. Infatti per una
corretta interpretazione del segnale bisogna almeno avere due campioni per ogni periodo del
3.8. SAMPLE AND HOLD
81
segnale, se periodico. In generale, comunque, anche se il segnale non è periodico, valendo lo
sviluppo in serie di Fourier, ci sono delle limitazioni sul tempo di campionamento. Vale cioè
il Teorema del campionamento di Shannon2 .
Teorema del campionamento di Shannon
Se il segnale soggetto al campionamento, v(t), è a banda limitata con estremo superiore della
banda fv inferiore alla metà della frequenza di campionamento fc , allora la conoscenza del
segnale campionato v† con periodo di campionamento Tc consente la ricostruzione esatta del
segnale.
Se non sono soddisfatte le ipotesi del teorema, quindi, si equivoca il segnale. Ovvero una
certa banda di frequenze, da una frequenza fissata, vengono lette come se fossero altre. Questo fenomeno è detto aliasing. Per non avere aliasing il teorema del campionamento impone
che la frequenza di campionamento deve essere almeno due volte della frequenza massima del
segnale. Ovvio è che se tale frequenza massima non è nota è ragionevole, se non obbligato,
utilizzare un filtro passabasso, che in tale circostanza assume la nomea di filtro anti-aliasing.
Pertanto assunta una frequenza massima, si chiede che tale valore sia minore della metà della
frequenza di campionamento, ovvero della frequenza di Nyquist.
Nel momento in cui ci fossero, comunque, delle frequenze che non sono interpretate adeguatamente, per capire che cosa succeda si ricorre al folding dello spettro. Ovvero quando una
frequenza supera il massimo valore ammissibile, essa è ribaltata all’indietro.
Si noti che:
• Anche se il Teorema di Shannon assicura la corretta ricostruzione del segnale, in verità
questo procedimento è non causale, ovvero occorrerebbe la conoscenza dell’intero segnale. Cosa improponibile nel caso di sistemi real time. Ecco perché sono importanti i
circuiti di sample & hold.
• I circuiti di S&H comportano un ritardo intrinseco di conversione pari alla metà del
periodo di campionamento.
3.8.2 Scelta della frequenza di campionamento
Dal teorema di Shannon deriva che:
fc > 2fm
(3.14)
Sebbene sia normalmente desiderabile scegliere tale frequenza di campionamento, è possibile
in qualche caso rendere meno stringente la richiesta. Infatti porre fc > 2fm è più del necessario
per eliminare le frequenze equivocate nella banda di interesse 0 − ft . Usando il folding dello
spettro possiamo dire che le frequenze tra fm e 2 fm se non venissero attenuate verrebbero
riconosciute come:
f = 2 fm − f = fc − f
se
f m < f < 2 fm
2
Questo teorema espresso nel 1948 da Shannon C., un matematico dei Bell Laboratories, è fondamentale nella
teoria dell’informazione. Shannon è uno dei padri della moderna teoria della comunicazione ed è ricordato anche
per il suo concetto dell’entropia come perdita di informazione, idea che si sta sviluppando molto nella fisica
avanzata.
3.8. SAMPLE AND HOLD
82
Se assumiamo che la minima frequenza equivocata sia proprio uguale al limite della banda
ovvero a ft e essendo fm la massima frequenza del segnale allora:
ft = fc − fm
Pertanto:
fc = ft + fm < 2 fm
Se si usa questo procedimento per scegliere la frequenza di campionamento ci saranno frequenze male interpretate nella banda ft − fm ma non nella banda 0 − ft . Questa tecnica è
appropriata se e solo se si è a disposizione di software che funge da filtro digitale in modo da
eliminare queste frequenze equivocate. Per ulteriori chiarimenti vedasi Wheeler... .
3.8.3 Uso dei filtri per limitare la frequenza di campionamento
Se il massimo valore in frequenza, fm , è molto più grande della massima frequenza di interesse, ft , potrebbe essere non ragionevole e costoso, in termini di strumenti, porre fc = 2fm . E’
quindi meglio usare un filtro anti-aliasing.
Quando si specifica fm è bene chiarire cosa si intende per ampiezza zero. Idealmente alla
frequenza massima l’ampiezza della risposta in frequenza del fenomeno in esame dovrebbe
essere zero. In verità non è cosı̀ e non serve nemmeno che lo sia. Infatti il segnale analogico
deve essere elaborato da una scheda digitale che ha uno specifico range dinamico. Si ricorda
che il range dinamico misura il rapporto segnale-rumore, pertanto segnali attenuati oltre tale
soglia vengono riconosciuti come rumore di misura e non interpretati. Chiaro è quindi che
fm deve essere scelta come quella frequenza alla quale si ha un’attenuazione pari al range
dinamico della scheda.
Questo parametro per una scheda unipolare a N bit è:
X = 20 log10 (2N )
Per una bipolare:
X = 20 log10 (2N −1 )
In questo modo si trova che il numero di ottave per attenuare fino al range dinamico con un
filtro di ordine specificato è:
X
Noct =
ordine · 6dB/oct
Infine, quindi:
fm = ft 2Noct
Tramite analisi in frequenza o altri accorgimenti è anche possibile abbassare ancora di più tale
frequenza massima, si veda per esempio Wheeler....
E’ ora fondamentale richiamare alcuni concetti propri dell’analisi in frequenza.
3.9. ANALISI IN FREQUENZA
83
3.9 Analisi in Frequenza
3.9.1 Trasformata di Fourier
Consideriamo un qualsiasi segnale periodico, ovvero tale che ∃ T : x(t) = x(t+T ), dove T è il
periodo del segnale. Sotto alcune ipotesi piuttosto ampie esso può essere espresso come somma di oscillazioni sinusoidali di ampiezza, frequenza e fase opportune. Questo avviene tramite
la scomposizione in serie di Fourier. Pertanto dato f = x(t) periodico, la sua espansione in
serie di Fourier è :
¸
∞ ·
a0 X
2π
2π
f=
+
an cos(n
t) + bn sin(n
t)
(3.15)
2
T
T
n=1
con i coefficienti da determinarsi con relazioni matematiche. Questa si chiama forma reale
rettangolare della serie di Fourier. In ogni caso si può scrivere tutto meglio se si introducono
i numeri complessi e la formula di Eulero. In questo caso:
f=
∞
X
cn ej n
2π
T
t
(3.16)
n=−∞
e:
1
cn =
T
Z
T /2
f e−j n
2π
T
t
dt
(3.17)
−T /2
Esse prendono il nome di forma complessa della serie di Fourier. Queste due equazioni
sono equazioni di analisi e di sintesi: la seconda è un equazione di analisi che permette di
stabilire qual’è il contenuto del segnale in termini di oscillazioni armoniche; la prima invece è
un equazione di sintesi che, note le ampiezze e fasi delle varie armoniche (cioè i coefficienti
della serie di Fourier) permette di ricostruire il segnale di partenza.
Naturalmente i coefficienti cn sono di natura complessa, per cui quando si rappresentano graficamente si usano due diversi grafici, che prendono il nome di spettro di ampiezza e spettro
di fase. Gli spettri sono a righe, cioè discreti, in quanto definiti solo in corrispondenza delle
frequenze armoniche. Si noti ad esempio figura sotto dove è rappresentato il segnale:
f (t) = sin(t) − 5 sin(5t) + 0.5 sin(12t) + 2 sin(20t), con la sua analisi in frequenza.
Qualora il segnale non risultasse periodico si ricorre ad un espediente matematico, ovvero
si fa tendere ad infinito il periodo. Se il periodo T0 aumenta, si riduce la frequenza fondamentale f0 , e quindi si riduce la differenza tra due generiche armoniche consecutive. Ciò determina
un infittimento dello spettro del segnale. Si nota poi che l’ampiezza dei coefficienti tende a
ridursi man mano che T0 cresce.
Cosı̀ i coefficienti si trasformano come:
Z ∞
F (ω) =
f e−j ω t dt
(3.18)
−∞
Questa è la trasformata di Fourier del segnale di partenza.
Per unitarietà con le notazioni in uso in questo corso si definiscono:
• g(t) il segnale.
• f la frequenza.
• G(f ) la trasformata di Fourier del segnale.
3.9. ANALISI IN FREQUENZA
84
8
6
Ampiezza [V]
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
1
2
3
tempo [s]
4
5
6
2
0
c
n
−2
−4
−6
0
5
10
15
20
25
Frequenze [Hz]
Figura 3.38: Analisi in frequenza
• T0 il periodo fondamentale.
Cosı̀ la trasformata di Fourier si riscrive come:
Z ∞
G(f ) =
g(t) e−j 2 π f t dt
(3.19)
−∞
L’antitrasformata è invece:
1
g(t) =
2π
Z
∞
G(f ) e j 2 π f t df
(3.20)
−∞
Per conoscenza si descrivono le principali proprietà della trasformata di Fourier. Per semplicità si indica l’operazione di trasformazione con . Nel senso che g(t)  G(f ). Questa
notazione intende dire che la conoscenza dell’andamento del segnale x(t) in ambito temporale
è di fatto equivalente alla conoscenza della successione dei coefficienti di Fourier in ambito
della frequenza, nel senso che il passaggio da uno all’altro è immediato tramite le equazioni di
analisi e sintesi.
Dunque la trasformata di Fourier gode delle seguenti proprietà:
• Dualità: G(t)  g(−f ).
• Scalatura temporale: g(at) 
1
|a|
G(f /a).
• Traslazione temporale: g(t − t0 )  e−j 2 π f t0 G(f ).
• Traslazione frequenze: ej 2 π f0 t g(t)  G(f − f0 ).
3.9. ANALISI IN FREQUENZA
• Convoluzione: g1 (t) g2 (t) 
85
R∞
−∞
G1 (λ) G2 (f − λ)dλ.
Ci proponiamo ora di cercare di descrivere la trasformata di Fourier di un segnale campionato. Questo ci serve per analizzarne lo spettro nel tentativo di capire le proprietà in frequenza.
Introduciamo la funzione delta di Dirac3 . Tale funzione andrebbe studiata nell’ordine di
idee delle distribuzioni, ma le proprietà che servono in questa sede non necessitano necessariamente di tali conoscenze. Si osserva che è infinitamente derivabile, dove la derivata è, appunto,
intesa nel senso delle distribuzioni. In ogni modo si ha che:
• δ(t − t0 ) = 0 se t 6= t0
• δ(t − t0 ) = 1 se t = t0
R∞
• −∞ δ dt = 1 come se fosse una densità di probabilità. Si può infatti dimostrare che
questa funzione è il limite per σ → 0 della densità di probabilità gaussiana.
• δ(t) = δ(−t)
Tramite queste proprietà è ovvio dimostrare che:
Z ∞
g(t) δ(t − t0 ) dt
g(t0 ) =
(3.21)
−∞
Questa è detta proprietà campionatrice della delta di Dirac. Per di più si può ricostruire tutto il
segnale tramite la:
Z
∞
g†(t) =
g(τ ) δ(t − τ ) dτ
(3.22)
g(n Ts ) δ(t − n Ts )
(3.23)
−∞
E passando al discreto:
g†(t) =
∞
X
n=−∞
dove Ts , è il tempo di campionamento e g† e la funzione campionata. Se si riguarda alla relazione sovra scritta come ad una somma di tanti numeri corrispondenti al valore della funzione
negli istanti di campionamento, risulta ovvia.
Ci proponiamo, quindi, di trovare la trasformata di Fourier di questo segnale discreto.
Riscriviamo la relazione scritta come:
g†(t) = g(t)
∞
X
δ(t − n Ts )
(3.24)
n=−∞
Basta ora ricordare che per la trasformata di Fourier della delta di Dirac sono valide:
• δ(t)  1
• 1  δ(f )
• ej 2 π f0 t  δ(f − f0 )
3
Paul Andrien Maurice Dirac, fisico inglese, è stato uno degli scienziati più importanti del secolo scorso. I
suoi contributi maggiori sono nella formulazione della meccanica quantistica relativistica.
3.9. ANALISI IN FREQUENZA
86
cosı̀ per l’ultima proprietà si ottiene:
∞
X
δ(t − n Ts ) 
n=−∞
1 j 2 π Tn t
s
e
Ts
(3.25)
E per la proprietà della traslazione delle frequenze:
∞
∞
X
1 X
n
G(f − n fs )
G(f − ) = fs
g†(t) 
Ts n=−∞
Ts
n=−∞
(3.26)
Si noti che:
• Un segnale periodico nel tempo da luogo ad una trasformata discretizzata nel campo
delle frequenze.
• Una trasformata periodica nella frequenza da luogo ad un segnale discretizzato nel
campo del tempo.
Da questa analisi si riesce a capire il fenomeno dell’aliasing, tradotto a volte come equivocazione in frequenza. Supponiamo infatti di avere un segnale il cui spettro si annulla perfettamente
da una determinata frequenza in poi. Per campionare questo segnale è necessario moltiplicarlo
per una serie di delta di Dirac (ciò che talvolta viene chiamato un pettine di delta). Nel dominio della frequenza questo pettine di delta equivale ad un delta per ogni multiplo intero della
frequenza di campionamento (±fs , ±2fs ...). Quindi la trasformata del segnale campionato
sarà la trasformata del segnale di partenza, ripetuta ogni fs . Allora è chiaro che se fs non è
sufficientemente grande, si ha che le componenti in frequenza del segnale si sovrappongono le
une alle altre. Per evitare ciò si prende la frequenza di campionamento fs ≥ 2fmax (teorema
di Shannon). Se non si sa quale sia la frequenza massima, oppure se il segnale non ha mai
componenti in frequenza perfettamente nulle, si deve introdurre un filtro anti-aliasing, che non
è altro che un filtro passabasso, usato per limitare in frequenza il segnale in ingresso. A volte
si possono sfruttare le proprietà passabasso dei trasduttori, stando attenti comunque che tali
sistemi sono al massimo del secondo ordine, e quindi hanno una attenuazione ridotta.
3.9.2 Trasformata discreta di Fourier
Anche l’elaboratore che codifica e valuta il valore della trasformata di Fourier è continuo,
ma discreto. Inoltre si ha a disposizione solo un numero di finito di campioni, non certo
infiniti, tra l’altro la trasformata di Fourier sarebbe improponibile in un sistema real time,
perché dovrebbe essere valutata su un tempo infinito futuro. Pertanto entra in gioco quella che
si chiama Trasformata Discreta di Fourier:
N −1
1 X
G(κ fr ) =
g(n Ts ) e−j 2 π κ n/N
N n=0
κ = 0, N − 1
(3.27)
Dove fr è la risoluzione in frequenza della trasformata. Essa è inversamente proporzionale alla
finestra di osservazione del segnale. Bisogna dire alcune cose:
• Se la finestra di osservazione è T allora la risoluzione in frequenza è fr = 1/T .
• I campioni acquisiti saranno pertanto nc = fs T , con fs frequenza di campionamento.
3.9. ANALISI IN FREQUENZA
87
• T = N Ts .
Si osserva che solo i coefficienti delle armoniche comprese tra la frequenza di 0 e (N/2 − 1)fr
sono usati nell’analisi del segnale. I rimanenti provvedono ad una informazione ridondante e
hanno un significato speciale. Non ci dilunghiamo però su questo punto.
Il segnale originale può venire ricostruito dalla Trasformata discreta di Fourier (DFT) usando la trasformata inversa, se ovviamente valgono le ipotesi del teorema di Shannon, ossia che
la frequenza di campionamento fs sia almeno il doppio della frequenza massima del segnale:
fs ≥ 2f .
Si badi che la DFT è ottenuta tramite integrazione numerica, il tempo richiesto dal calcolatore per l’elaborazione è circa proporzionale a N 2 . Esiste però un algoritmo molto efficiente,
chiamato Fast Fourier Transform o FFT, che permette il calcolo in un tempo proporzionale a
N log2 N . In ogni modo non è consigliabile avere N molto grandi.
Si osserva che la finestratura del segnale, ovvero l’osservazione dello stesso per un tempo
finito provoca un’alterazione dello spettro. In effetti si può dire che se si vuole svolgere un’analisi in frequenza di un segnale, che per il momento supponiamo periodico, si opera come
segue:
• Si sceglie una frequenza di campionamento e ua risoluzione minima per l’analisi.
• Si sceglie una finestra di osservazione che consente i requisiti sopra, ricordiamo che
fr = 1/T .
• Si sceglie una funzione di finestratura adeguata.
• Si moltiplica il segnale per la funzione finestra.
• Si esegue la FFT su questo nuovo segnale.
Le funzioni finestra più semplici sono quelle rettangolari, ovvero quelle che moltiplicate per
il segnale, lo lasciano invariato nella zona di osservazione e lo pongono uguale a zero fuori.
Anche se sembra ragionevole questa non è la strada migliore per i problemi che incorrono ai
bordi. Infatti si può osservare che lo spettro ridistribuisce l’energia associata ad ogni frequenza
anche sulle frequenze adiacenti. Questo fenomeno è detto leakage. Per fissare le idee si prenda
un segnale periodico g(t) e una finestratura rettangolare del tipo w(t) = rect(t/T ). Allora:
• Il segnale osservato sarà: gw (t) = g(t) · w(t).
• La
R ∞trasformata di Fourier è: Gw (t) = G(t) ? W (t) =
G(λ)W (f − λ) dλ.
−∞
½
¾
∞
X
n
n
T sin(πf T )
1
G( ) δ(f − )
• Passando al discreto:
.
T
T
T
πf
T
0
0
0
n=−∞
Se riscriviamo l’ultima relazione come:
∞
X
sin [πT (f − n/T0 )]
Gw =
cn T
πT (f − n/T0 )
n=−∞
(3.28)
Per la prima armonica otteniamo allora:
³ ´
´
³


πT
πT


sin
sin
−
T0
T0
1
f=
=⇒ Gw = T c0
+ c1 + c2
+ ...
πT


T0
− πT
T
T
0
0
(3.29)
3.10. TIPOLOGIE DELLE SCHEDE DI ACQUISIZIONE
88
Si capisce quindi che l’analisi in frequenza rispetta il segnale originario se e solo se Gw = c1 ,
ovvero se T = mT0 . Dunque il tempo di finestratura deve essere un multiplo intero del periodo
fondamentale.
Questo metodo per evitare il leakage non va bene però per segnali non periodici. In quel
caso si utilizzano finestre particolari che riescono a limitare la dispersione in frequenza. Tali
funzioni tipicamente sono della forma:
w(k) = a + (1 − a)
cos(2πk)
N
(3.30)
Che a seconda del parametro a si chiamano:
• Hanning.
• Hamming.
• Kaiser.
3.10 Tipologie delle schede di acquisizione
Esistono varie tipologie di schede di acquisizione dati che consentono di ottenere una vasta
scelta di implementazione. Tre sono le più importanti:
• A S&H e A/D multipli.
• A S&H e A/D singoli.
• A S&H multipli e A/D singolo.
3.10.1 S&H e A/D multipli
Questa è la soluzione più costosa. E’ costituita da un S&H e un A/D per ogni canale di
acquisizione. Consente quindi un tempo di acquisizione minimo e quindi una frequenza di
campionamento più elevata. Per essa vale:
tacq = tS&H + tAD
(3.31)
CH 1
- S&H
- A/D
-
CH 2
- S&H
- A/D
-
..
.
..
.
Figura 3.39: S&H e A/D multipli
3.10. TIPOLOGIE DELLE SCHEDE DI ACQUISIZIONE
89
3.10.2 S&H e A/D singoli
Questa è la soluzione meno costosa. E’ costituita da un multiplexer che collega ogni canale
ad un unico S&H e sequenzialmente ad un unico A/D. Ha un tempo di acquisizione elevato, e
quindi una frequenza di campionamento più bassa. Per essa vale:
tacq = n(tM U X + tS&H + tAD )
(3.32)
Dove n è il numero dei canali.
-
..
.
MUX
- S&H
- A/D
-
-
Figura 3.40: S&H e A/D singoli
In questo tipo di schede è importante tenere presente che l’intervallo tra il primo canale e
quello di mezzo può essere elevato e quindi si cerca di mettere vicini i canali che non devono
avere una grande differenza di fase. Se i canali da usare sono pochi, questa è la soluzione
migliore.
3.10.3 S&H multipli e A/D singolo
Questa è la soluzione intermedia fra le due. E’ costituita da un S&H per ogni canale collegato
ad un multiplexer che porta ad un unico A/D. Per essa vale:
tacq = tS&H + n(tM U X + tAD )
(3.33)
Dove n è il numero dei canali.
Si osserva che per ogni tipo di scheda di acquisizione sono possibili due modalità differenti:
• Modalità differenziale: servono due canali per ogni ingresso perché viene rilevata la
differenza tra i due segnali.
• Modalità single ended: ogni canale dà informazione.
Si capisce quindi che se una scheda è, per esempio a 32 canali, in modalità differenziale gli
ingressi saranno solo 16.
3.10. TIPOLOGIE DELLE SCHEDE DI ACQUISIZIONE
S&H
-
S&H
-
MUX
- A/D
90
-
..
.
S&H
-
Figura 3.41: S&H multipli e A/D singolo
Capitolo 4
Trasduttori
4.1 Introduzione
Si vede in questo capitolo come si possono eseguire le misurazioni utilizzando appositi sensori, o trasduttori. E’ importante notare che ogni trasduttore ha le sue caratteristiche che devono
essere comprese appieno prima di scegliere uno strumento piuttosto che un altro. Se si vogliono eseguire delle caratterizzazioni dinamiche, ad esempio, è fondamentale tener presente la
banda passante dello strumento, per restare in campo statico.
In questa sede è affrontato lo studio solo della misurazione di quantità puramente meccaniche.
4.2 Potenziometri
Il potenziometro (potentiometer) è un trasduttore a contatto basato sul principio di variazione
di resistenza per partizione. Permette di misurare degli spostamenti, dando come uscita una
tensione. Esso è costituito da una resistenza RL , e uno slider mobile. Il moto del contatto può
Figura 4.1: Potenziometro lineare
essere traslazionale (potenziometri lineari), rotazionale (angolari), o elicoidale (multi-giro).
Questo contatto è solidale con l’oggetto di cui si vuole misurare lo spostamento. L’oggetto
91
4.2. POTENZIOMETRI
92
quindi muovendo il contatto sulla resistenza, genera una caduta di tensione proporzionale alla
resistenza Rx : la corrente che circola è:
I=
Vs
RL
allora la tensione in uscita risulta essere
Vo = Rx I = Rx
Vs
RL
ricordando poi che l’espressione della resistenza si ricava dalla formula
R=%
l
A
dove % è la resistività del materiale, l è la lunghezza del cavo e A la sezione, la tensione in
uscita si mostra proporzionale allo spostamento:
Vo = Vs
x
L
(4.1)
In realtà questa è una relazione ideale, perché presuppone che il voltmetro con cui si misura
la tensione abbia impedenza infinita. Se invece esso possiede una resistenza Rv , si trova la
seguente relazione1 :
Vo
1
=
L RL ³
x´
Vs
+
1−
x
Rv
L
Affinché ci sia una relazione lineare, l’impedenza del voltmetro deve essere elevata, altrimenti
ci sono effetti di carico.
Si vede che la sensibilità dello strumento è direttamente proporzionale alla tensione di alimentazione, quindi si potrebbe pensare che aumentando molto la tensione, si possa ottenere una
sensibilità elevata. In realtà la tensione Vs è limitata dalla capacità dello strumento di dissipare
il calore prodotto dalla resistenza, tipicamente 5, 10, 15 V. La risoluzione del potenziometro è
influenzata dalla costruzione dell’elemento di resistenza:
• Spire: il potenziometro a spire è costituito da un filo conduttore avvolto intorno un
elemento non conduttore. In questo modo la variazione di resistenza non è continua, ma
varia con piccoli passi, perché il contatto si muove da un filo all’altro. La risoluzione
risulta essere
L
RIS =
Nspire
Inoltre questa costruzione presenta problemi di risonanza: se la frequenza con cui l’oggetto si muove è vicina alla frequenza di risonanza della linguetta che determina il contatto, si ha un rimbalzamento della linguetta stessa sul filo, creando cosı̀ un contatto a
intermittenza. Un modo per evitare questo è adottare un sistema con due linguette che
abbiano frequenze di risonanza diverse.
• Strati: il potenziometro a strati è realizzato con una resina di polveri conduttive. La
superficie di contatto risulta quindi essere continua, e la risoluzione infinita. In realtà
anche le polveri hanno una certa rugosità, per cui la risoluzione non sarà mai infinita. Questa configurazione risulta avere una vita più lunga di quella precedente, e non
presenta problemi di risonanza, però è più sensibile alle variazioni di temperatura.
1
Per ricavare questa relazione è sufficiente sfruttare il teorema di Thevenin.
4.3. ESTENSIMETRI
93
In generale la vita a fatica è circa 108 cicli, la velocità di variazione della resistenza non deve
mV
essere superiore a 1 ms , la sensibilità è nell’ordine dei 100 mm
, mentre la portata si aggira intorno
ai 300mm.
4.3 Estensimetri
Gli estensimetri (strain gages) sono dei trasduttori basati sul principio di variazione di resistenza per deformazione. Permettono di misurare delle deformazioni, dando come uscita una
tensione. Sono costituiti da una griglia di materiale conduttore, con dei terminali. La griglia è
posata su un foglio che viene incollato alla superficie di cui si vuole rilevare la deformazione.
Sono strumenti semplici, che possono essere usati per una misura diretta dello stato di defor-
Figura 4.2: Estensimetro
mazione, oppure possono essere utilizzati come elementi per altri trasduttori, come ad esempio
gli accelerometri piezoresistivi e le celle di carico estensimetriche.
L
, ma come la variazione di ciascuna di queste variabili influenza la
Sappiamo che R = % A
resistenza? Per scoprirlo è necessario differenziare questa relazione, ottenendo
dR = d%
e dividendo tutto per R
L
dL
dA
+%
− %L 2
A
A
A
dR
d% dL dA
=
+
−
R
%
L
A
= ε, la deformazione; dA
= 2 dD
, perché si è supposto che il
Possiamo osservare che dL
L
A
D
cavo dell’estensimetro abbia sezione cilindrica. Quindi si ottiene anche una variazione del
diametro della sezione, una strizione. Questa può essere legata alla deformazione ε tramite il
coefficiente ν di Poisson: dA
= −2ν dL
= −2νε. Allora la variazione di resistenza si scrive
A
L
nel seguente modo:
µ
¶
d%
d%
dR
=
+ ε + 2νε = ε 1 + 2ν +
R
%
%ε
dove l’ultimo termine indica una variazione di resistività causata da una deformazione meccanica. Questo termine si chiama piezoresistività.
4.3. ESTENSIMETRI
94
Tutto il termine racchiuso tra parentesi è circa costante, ed è una proprietà tipica di ogni
estensimetro; viene indicata col nome di gage factor:
µ
¶
d%
κ = 1 + 2ν +
%ε
Per gli estensimetri usati in misure di deformazioni, 2 ≤ κ ≤ 4.
Si deve tuttavia tenere conto che anche una variazione di temperatura può causare delle
deformazioni:
• deformazione del materiale che si vuole analizzare:
• deformazione dell’estensimetro:
dL
L
dL
L
= αM ∆T
= αG ∆T
• variazione di resistività dell’estensimetro: % = %0 (1 + α∆T )
Valori tipici di %0 e α per il rame sono:
• %0 = 1.67 · 10−8 Ωm
• α = 6.8 · 10−8 ◦ C −1
Mentre per gli altri parametri:
• αM = 11 · 10−6 ◦ C −1 per acciaio.
• αM = 17 · 10−6 ◦ C −1 per alluminio.
Quello che quindi si origina è una deformazione apparente ε = (αM − αG )∆T , e la variazione
finita di resistenza dovuta ad effetti termici risulta essere
¸
·
n
³α
´o
∆R
%
= α% ∆T + κ(αM − αG )∆T = κ ∆T
+ (αM − αG )
R termico
κ
Il termine racchiuso tra parentesi graffe rappresenta una deformazione termica, per cui si può
sinteticamente esprimere la variazione di resistenza totale come la somma di due contributi:
uno meccanico e uno termico
∆R
= κ(εmecc + εterm )
(4.2)
R
La deformazione termica risulta essere un disturbo alla nostra misura meccanica. Per compensarla, ossia per eliminarla, ci sono due diversi modi: si può ricorrere ad estensimetri speciali,
chiamati autocompensati in temperatura, ossia tali che
α%
+ αM − αG = 0
κ
Solitamente questa soluzione risulta essere costosa e non sempre possibile. Il secondo modo
è quello di ricorrere ad una particolare disposizione degli estensimetri sul provino, che verrà
mostrata in seguito.
4.3. ESTENSIMETRI
95
Figura 4.3: Ponte di Wheatstone.
4.3.1 Condizionamento
Nel caso di misure dirette, la deformazione meccanica solitamente è bassa. Per ottenere una
tensione rilevabile, il coefficiente di proporzionalità tra deformazione e variazione di resistenza
dovrebbe essere elevato. Poichè non è cosı̀, si usa un circuito di condizionamento per ottenere
una elevata sensibilità. Questo circuito è il ponte di Wheatstone.
Analizziamo ora il ponte, per trovare relazioni che saranno utili in seguito.
s
. La corrente che passa nel ramo ADC è
La corrente che passa nel ramo ABC è IABC = R1V+R
4
Vs
IADC = R2 +R3 . Se si suppone che il voltmetro abbia impedenza infinita, la tensione in uscita
sarà
Vo = IADC R3 − IABC R4
R1 R3 − R2 R4
Vo = Vs
(R1 + R4 )(R2 + R3 )
Si vede quindi che affinché l’uscita sia nulla, deve valere la relazione
R1 R3 = R2 R4
(4.3)
in questo caso si parla di ponte bilanciato. La lettura del ponte quindi viene fatta per sbilanciamento, o deviazione: facendo variare una resistenza, l’uscita sarà diversa da zero, e si legge il
valore ottenuto. Questo modo di lettura è quello più usato, tuttavia può essere effettuata anche
una lettura per azzeramento: in tal caso quando l’uscita risulta essere diversa da zero, si fa
variare un’altra resistenza per ripristinare nuovamente la condizione di equilibrio.
Supponiamo che le resistenze siano uguali: Ri = R. Facciamo variare una qualunque resistenza, ad esempio la 3. Si otterrà una tensione in uscita
∆V = Vo = VS
R1 (R3 + ∆R3 ) − R2 R4
(R1 + R4 )(R2 + (R3 + ∆R3 )
Considerando che le resistenze sono uguali, la relazione si semplifica in
Vo = Vs
4
∆R3
R
3
+ 2 ∆R
R
4.3. ESTENSIMETRI
96
se le deformazioni sono molto piccole, ossia se
Vo =
∆R3
R
¿ 1, la precedente diventa
Vs ∆R3
4 R
Se si fanno variare tutte e quattro le resistenze, è sufficiente ripetere i passaggi per ogni resistenza e applicare, una volta giunti all’equazione linearizzata, il principio di sovrapposizione
degli effetti. Si ottiene
µ
¶
Vs ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
Vo =
−
+
−
(4.4)
4
R
R
R
R
in cui i segni valgono solo se si usano tutte le convenzioni adottate.
Si parla di configurazione a 14 di ponte se una sola resistenza è variabile. In caso siano variabili
2 o tutte e quattro le resistenze, si parla rispettivamente di configurazione a mezzo ponte, o
intero. Si può facilmente intuire come le resistenze variabili rappresentino gli estensimetri. Si
può scrivere, come detto, che:
∆R
= κε
R
Dove ε è la deformazione del provino, mentre κ rappresenta il gage factor dell’estensimetro.
Dunque:
Vs
Vo =
κ(ε1 − ε2 + ε3 − ε4 )
4
Si ricorda che per linearizzare si può anche procedere in un altro modo. Avendo che:
Vo = Vs
R1 R3 − R2 R4
(R1 + R4 )(R2 + R3 )
Allora essendo il ponte bilanciato in posizione di equilibrio:
4
X
∂Vo
δVo =
δRk
∂Rk
k=1
In questo modo gli estensimetri sono sensibili ad un campo di deformazioni che va da 1 a
2000µε, con una precisione di circa 1%.
4.3.2 Disposizione
Ora che conosciamo la relazione che lega la deformazione all’uscita in tensione, possiamo occuparci di quale sia la migliore disposizione degli estensimetri.
Supponiamo di voler misurare lo sforzo assiale di un provino tramite misure di deformazione. Si potrebbe pensare di posizionare un solo estensimetro (ad esempio quello che nel
ponte di Wheatstone si trova dove c’è la resistenza 1) in direzione assiale, posto ad esempio
sulla faccia superiore del provino. Tuttavia questa soluzione non è adatta, perché ci sarebbe
una deformazione termica che viene rilevata e che non è utile ai fini dell’esperimento:
Vo =
Vs
κ(ε + εT )
4
É quindi necessario usare un secondo estensimetro (il numero 2), posto sempre sulla stessa
faccia, però in direzione trasversale. Questo consente di compensare la deformazione termica,
4.3. ESTENSIMETRI
97
Figura 4.4: Disposizione per misure assiali
infatti
Vs
Vs
κ(ε + εT − (−νε + εT )) = κ(1 + ν)ε
4
4
Vs
La sensibilità del ponte in questo caso risulta essere 4 κ(1 + ν). Per aumentare la sensibilità, si devono posizionare altri due estensimetri, realizzando un ponte intero. Si noti che per
ottenere compensazione termica e una misura corretta, è necessario mettere l’estensimetro 3
sulla faccia inferiore del provino, orientato come l’estensimetro 1, mentre il 4 va posizionato
sempre sulla faccia inferiore, ma orientato come il 2. Questa configurazione consente anche di
compensare eventuali deformazioni flessionali.
Vo =
Supponiamo ora di voler misurare lo sforzo flessionale di un provino tramite misure di
deformazione. Abbiamo visto che un solo estensimetro non risulta sufficiente a compensare
l’effetto termico, per cui si utilizzeranno due estensimetri, uno posto sulla faccia superiore
e disposto assialmente (il numero 1), e un altro posto anch’esso assialmente ma sulla faccia
superiore (il numero 2). Tramite questa configurazione si ottiene la seguente uscita in tensione:
Figura 4.5: Disposizione per misure flessionali
4.3. ESTENSIMETRI
98
Vo =
Vs
Vs
κ(ε + εT − (−ε + εT )) = κε
4
2
in cui si è tenuto conto che l’estensimetro posto sulla faccia superiore si allunga, mentre quello
sulla faccia inferiore si accorcia, per cui dà un contributo negativo, ma vista la sua posizione
nel ponte di Wheatstone questo contributo negativo viene sottratto.
Per aumentare ulteriormente la sensibilità si può utilizzare un ponte intero, mettendo l’estensimetro 3 disposto assialmente accanto all’1, e il 4 accanto al 2. In questo caso la tensione
risulta
Vo = Vs κ ε
4.3.3 Contributo dei cavi di collegamento
Dal momento che il ponte di Wheatstone dovrà essere collegato alla centralina di condizionamento più o meno distante dal luogo della misurazione, bisogna tener conto anche della
resistenza aggiunta dei cavi di collegamento. Nella configurazione a ponte intero, tramite la
legge alle maglie si può scrivere:
Vs − i(Rk1 + Rk2 ) − i? (R1 + R4 ) = 0
Figura 4.6: Ponte intero
Ma:
i? (R1 + R4 ) = Vs0
Ovvero la caduta di tensione è proprio uguale alla tensione del ponte senza considerare il
contributo dei cavi.
Inoltre la resistenza equivalente che si vede ai capi del generatore Vs è:
Re = Rk1 + Rk2 + (R1 + R4 ) k (R2 + R3 )
4.3. ESTENSIMETRI
99
E considerando tutte le resistenze sul ponte uguali e le resistenze dei cavi uguali, si ottiene:
Re = 2Rk + R
Si noti che non essendoci effetti di carico in uscita nei fili tratteggiati è come se non passasse
corrente, quindi non c’è caduta di tensione, pertanto non vanno considerati. Dunque si trova
che:
Vs
i=
2Rk + R
Perciò:
Vs
Vs −
2Rk − Vs0 = 0
2Rk + R
Svolgendo i calcoli:
R
Vs0 =
Vs
2Rk + R
Cosı̀ l’uscita del ponte è:
Vo =
R
Vs
κ(ε1 − ε2 + ε3 − ε4 )
2Rk + R 4
Che può essere interpretata a posteriori cone una variazione del gage factor degli estensimetri.
Ovvero:
Vs
Vo =
κ̃(ε1 − ε2 + ε3 − ε4 )
4
Con:
R
κ̃ =
κ
2Rk + R
Per quanto riguarda la configurazione a mezzo ponte il ragionamento è analogo.
Figura 4.7: Mezzo ponte
4.3. ESTENSIMETRI
100
Quindi la legge alle maglie è:
Vs − i(Rk2 + Rk3 ) − i(R1 + R4 ) = 0
Anche in questo caso non ci sono effetti di carico e il cavo Rk1 non è considerato. Poi:
i(R1 + R4 ) = Vs0
E la resistenza equivalente della maglia esterna è:
Re = R1 + Rk2 + R4 + Rk3 = 2Rk + 2R
Dunque si trova che:
i=
Quindi:
Vs −
Vs
2Rk + 2R
Vs
2Rk − Vs0 = 0
2Rk + 2R
Svolgendo i calcoli:
Vs0 =
Cosı̀ l’uscita del ponte è:
Vo =
R
Vs
Rk + R
Vs
R
κ(ε1 − ε4 )
Rk + R 4
Per la configurazione a 1/4 di ponte si procede allo stesso modo.
Figura 4.8: 1/4 di ponte
4.3. ESTENSIMETRI
101
Figura 4.9: Ponte di Wheatstone
4.3.4 Effetti di carico
Nel momento in cui ci fossero effetti di carico dovuti all’uscita, ovvero l’impedenza di uscita non fosse più infinita ma finita e uguale ad RV , si procede alla risoluzione del circuito
utilizzando il teorema di Thevenin.
Facciamo un esempio. Sia il circuito quello di figura, e sia RV la resistenza tra i morsetti
A e B. Per trovare la nuova tensione di uscita si procede utilizzando Thevenin come segue:
• Si stacca RV e la si pone nel circuito di Thevenin.
• In questo circuito è presente un generatore di tensione pari alla tensione del circuito
senza RV , ovvero Vo .

-
• In più è presente la resistenza equivalente vista da RV rendendo passivo il circuito.
Re
RV
Vo
Figura 4.10: Circuito di Thevenin
In questo caso Re :
Re = R1 k R4 + R2 k R3
Se tutte e quattro le resistenze sono uguali, allora:
Re = R
Infine la tensione in uscita, ovvero la tensione ai capi di RV è:
VRV =
RV
Vo
RV + Re
4.3. ESTENSIMETRI
102
4.3.5 Utilizzo per altri trasduttori
Come già anticipato, gli estensimetri possono anche essere usati come componente per altri
trasduttori.
• Cella di carico estensimetrica (strain gage load cell). La cella di carico è un trasduttore che misura la forza applicata. Solitamente viene usata per misurare forze assiali, sia di
trazione che di compressione, ma può anche misurare forze che agiscono flessionalmente.
Essenzialmente sono costituite da un cilindro cavo e con piccolo spessore, a cui sono applicati
Figura 4.11: Cella di carico
quattro estensimetri, due disposti assialmente per misurare la forza e compensare l’eventuale
flessione, mentre due sono disposti trasversalmente per compensare l’effetto termico.
Queste celle di carico possono anche essere usate per ottenere misure di pressione.
Non sono utilizzate, se non in casi limitati, per misure dinamiche perché la loro piccola rigidezza compromette la rigidezza complessiva del fenomeno in esame, pertanto varia le frequenze
proprie e quindi la risposta in frequenza.
Per mettere in relazione la deformazione con la forza applicata si deve utilizzare la legge di
Hooke:
σ = Eε
(4.5)
Dove E è il modulo di Young del materiale e vale:
• E = 70 M P a per alluminio.
• E = 200 M P a per acciaio.
• Accelerometro piezoresistivo(strain gage accelerometer). L’accelerometro è un trasduttore che permette di effettuare misure di accelerazione. Solitamente sono costituiti da un’asta
incastrata, all’estremo della quale è posta una massa sismica. Sull’asta sono posti quattro
estensimetri che servono per misurare la flessione. L’accelerazione del corpo su cui è posto
l’accelerometro infatti provoca una forza d’inerzia sulla massa sismica e quindi una flessione
sulla sbarra. Poichè si vuole che la sensibilità dello strumento sia alta, l’asta deve essere facilmente deformabile. Ma a causa di questo requisito la pulsazione naturale dello strumento
risulta essere quindi bassa. Allora si inserisce dell’olio smorzante all’interno di questo sistema, in modo tale che lo smorzamento adimensionale risulti essere circa ξ = 0.7. In questo
4.3. ESTENSIMETRI
103
Figura 4.12: Accelerometro
modo la banda di utilizzo risulta essere nell’ordine di 1KHz. La portata, tipicamente, è di circa
±1000g.
L’accelerometro può anche essere schematizzato come un sistema massa-molla-smorzatore.
In questo modo risulta facile trovare la funzione di trasferimento dello strumento.
Applicando l’equazione della dinamica alla massa sismica si ottiene
mẍ + rẋ + kx = mx¨b
da cui trasformando secondo Laplace ne risulta
ẍ
ωn2
= 2
x¨b
s + 2ξωn s + ωn2
Quindi lo strumento è stato modellizzato come uno strumento del secondo ordine.
Bisogna stare comunque attenti alla massa della trave a sbalzo. Se essa è confrontabile con la
massa sismica, tale modello va corretto. Per conoscenza:
• % = 7.8 g/cm3 per acciaio.
• % = 2.7 g/cm3 per alluminio.
Qui oltre a ricordare la già citata legge di Hooke per mettere in relazione momenti e deformazioni si deve utilizzare la legge delle Flesso-Tenso-Pressione Retta dovuta a De Saint
Venant:
M
y
(4.6)
σ=
Jx
Dove Jx è il momento d’inerzia della sezione e vale:
• Jx = b h3 /12 per sezione rettangolare.
• Jx = π R4 /4 per sezione cilindrica.
Si ricorda infine che le rigidezze assiali e flessionali sono:
• KA ∝ EA/l
• KF ∝ EJ/l3
4.4. TRASDUTTORI CAPACITIVI
104
4.4 Trasduttori capacitivi
Questi trasduttori sono basati sul principio di variazione della capacità di un condensatore.
Indicando con A l’area che le piastre del condensatore hanno in comune, e con x la
√ loro
distanza, l’espressione della capacità per condensatori a facce piane e parallele se x ¿ A è:
C = ε0 εr
A
x
(4.7)
, mentre εr indica la costante
dove ε0 indica la costante dielettrica del vuoto, e vale 8.854 pF
m
dielettrica relativa del materiale che è posto tra le piastre.
I modi in cui è possibile variare la capacità sono, supposto εr costante, variare l’area comune
tra le piastre o la loro distanza. Dalla (4.7) si nota che variando l’area si ha una variazione
lineare di capacità, mentre variando la distanza si ha una variazione non lineare. Per ottenere
una variazione lineare si utilizza un circuito di condizionamento. Una delle configurazioni
possibili è quella di usare un condensatore di riferimento a capacità fissa Cr e un condensatore
a capacità variabile Cs , che costituisce il sensore. Il rapporto tra uscita e ingresso risulta quindi,

ÿû ÿÿ ÿ
ÿ
û

ý
ý ý
Cs
Cr
Vi
Vo
Figura 4.13: Circuito di condizionamento
tenendo conto che l’impedenza di un condensatore è Z =
1
sC
Vo
Zs
Cr
xCr
=−
=−
=−
Vi
Zr
Cs
ε0 εr A
per cui si è ottenuta una variazione lineare della capacità al variare della distanza tra le piastre.
Un’altra configurazione di condizionamento è quella di usare un ponte di Wheatstone.
Il trasduttore capacitivo può essere sfruttato tipicamente in due modi:
• Per grandi spostamenti a scorrimento. In questa configurazione è l’area a cambiare, il
comportamento è in buona approssimazione lineare.
• Per piccoli spostamenti a trazione. In questo caso è la distanza a cambiare, il comportamento è non lineare, come detto. Bisogna anche tenere presente che la legge (4.7),
vale solo se la distanza fra le piastre è piccola rispetto alle dimensioni longitudinali del
condensatore, pertanto lo spostamento deve essere piccolo.
4.5. LVDT E RVDT
105
Figura 4.14: Ponte modificato
Si deve tener conto che il condensatore, se alimentato in corrente continua, risulta essere
un circuito aperto, per cui è necessario alimentarlo in corrente alternata. Questo tuttavia complica un poco le cose. Per capire il problema supponiamo di voler misurare uno spostamento
a frequenza fx , e di alimentare il condensatore con una tensione Vs avente frequenza fs . Per
il teorema della risposta in frequenza l’uscita Vo avrà la stessa frequenza della forzante fs , e
risulterà modulata in ampiezza con la frequenza della portante fx . Per risolvere il problema si
utilizza un circuito di demodulazione e filtraggio.
Valori tipici per un trasduttore capacitivo sono una portata che può variare da 0.05mm a
10mm, mentre una sensibilità di circa 1 − 200V /mm.
•Accelerometro capacitivo. Esso è costituito da tre armature e due condensatori aventi
una faccia in comune. Questa configurazione permette di ottenere delle misure differenziali.
Le armature esterne sono più rigide di quella interna. Allora quando lo strumento è sottoposto
ad un’accelerazione, la forza d’inerzia deforma la piastra centrale causando cosı̀ una variazione
di capacità. La banda passante di questi accelerometri è circa pari a quella deli accelerometri
piezoresistivi, quindi nell’ordine di 1KHz.
4.5 LVDT e RVDT
L’LVDT (Linear Variable Differential Transformer) e l’RVDT (Rotary Variable Differential
Transformer) sono dei trasduttori basati sul principio di induzione magnetica, e permettono
rispettivamente la misura di uno spostamento lineare, o rotazionale. Descriviamo ora in dettaglio il funzionamento dell’LVDT, quello del suo corrispettivo rotazionale sarà analogo.
Lo strumento è costituito da un involucro cavo su cui ci sono tre avvolgimenti, uno primario
e due secondari. All’interno dell’involucro scorre un nucleo costituito da materiale ferromagnetico, la cui estremità esterna all’involucro è solidale con l’oggetto di cui si vuole misurare
lo spostamento. Il circuito primario serve per l’alimentazione, che sarà a tensione sinusoidale.
Questa tensione variabile genera un campo magnetico variabile, e il materiale ferromagnetico
consente un accoppiamento tra i circuiti primario e secondari. Quindi in questi ci saranno delle
correnti e delle tensioni indotte. I circuiti secondari sono collegati in opposizione di serie in
4.5. LVDT E RVDT
106
Figura 4.15: LVDT
modo tale da ottenere una misura differenziale:
Vo = V1 − V2
allora esiste una posizione neutra in cui il materiale ferromagnetico è posto simmetricamente
tra i due circuiti secondari, e l’uscita risulta essere nulla. Se avviene uno spostamento, ad
esempio verso il circuito 1, la Vo risulterà in fase con la forzante Vs . Se invece lo spostamento
avviene verso il circuito 2, la Vo sarà in opposizione di fase con Vs .
Tuttavia se si utilizza un multimetro per misurare la tensione, esso tipicamente ne fornisce
il valore RMS (Root Mean Square):
s
Z
1 T 2
x (t) dt
(4.8)
T 0
facendo dunque perdere l’informazione sulla fase. Per averla è necessario utilizzare un oscilloscopio. E qui si ripresenta il problema già visto per i trasduttori capacitivi, infatti l’uscita
dell’oscilloscopio sarà una tensione con frequenza fs , modulata in ampiezza dalla portante di
frequenza fx . Per eliminare il problema si utilizza una demodulazione sensibile alla fase, e poi
un filtro passabasso.
La banda passante dello strumento dipende dalla frequenza della tensione di alimentazione.
Infatti se essa ha frequenza fs , la banda di utilizzo sarà circa 0.1fs , tipicamente 50Hz. Bisogna
prestare attenzione all’utilizzo di questo strumento in quanto la banda lineare è limitata da
1 · 10−3 cm a 10cm. La sensibilità, invece, è circa 100mV /V /mm.
L’RVDT funziona in modo analogo. L’unica cosa che cambia è che l’elemento ferromagnetico è sagomato in modo da garantire una variazione lineare della tensione a seguito di una rotazione imposta. Anche in questo caso la banda lineare è limitata, tipicamente il comportamento
è lineare se lo spostamento angolare è ±40◦ . La sensibilità è circa 2 − 3mV /V /◦ .
4.6. TRASDUTTORI PIEZOELETTRICI
107
Figura 4.16: RVDT
4.6 Trasduttori piezoelettrici
Quando un materiale piezoelettrico subisce una deformazione, essa provoca all’interno del
materiale una deformazione della struttura cristallina che porta alla separazione di cariche, e
quindi il materiale subisce una differenza di potenziale. Questo si chiama effetto piezoelettrico
diretto. L’effetto piezoelettrico inverso si ha quando si sottopone questo materiale a una differenza di potenziale, ed esso si deforma meccanicamente.
L’equazione costitutiva che governa l’effetto piezoelettrico è la seguente:
·
¸ · σ D ¸·
¸
D
e d
E
=
ε
dσ S E
σ
in cui D è il vettore spostamento elettrico, E il campo elettrico, ε la deformazione, σ lo sforzo,
eσ la permettività piezoelettrica a sforzo costante, dD una costante piezoelettrica che lega le
grandezze elettriche e meccaniche, a campo elettrico costante; dσ una costante piezoelettrica
che lega le grandezze elettriche e meccaniche, a sforzo costante; S E la matrice di flessibilità a
campo elettrico costante.
I materiali piezoelettrici esistenti possono essere cristalli naturali (quarzo), cristalli sintetici
(solfato di litio), ceramiche ferro-elettriche magnetizzate (titanato di bario), e certi film polimerici.
L’effetto piezoelettrico può essere causato da varie deformazioni, dovute a trazione, compressione, taglio. Degli elettrodi metallici sono montati sulle facce del materiale e collegate a dei
fili per leggere la carica elettrica. Poichè i materiali piezoelettrici sono degli isolanti, gli elettrodi si comportano come delle piastre di un condensatore in parallelo a un generatore di carica.
Questa carica è generalmente piccola, quindi c’è bisogno di un circuito di condizionamento in
grado di amplificare la carica. Tale circuito è rappresentato in figura sotto:
L’amplificatore di carica che è collegato al circuito di condizionamento tramite i morsetti
indicati a sinistra, ha un comportamento passaalto. Pertanto in uscita sono eliminate tutte le
componenti in continua, cosı̀ le misure che si possono effettuare sono solo quelle dinamiche e
non statiche.
Esiste anche l’effetto piezoelettrico inverso, dove ad una tensione imposta corrisponde una
deformazione meccanica. Diversi attuatori sono costruiti in questo modo.

ÿ ÿÿ ÿ
ÿ

ÿ
ÿ
ý
4.6. TRASDUTTORI PIEZOELETTRICI
Q
108
C
Figura 4.17: Circuito di condizionamento
C
R
Vo
Figura 4.18: Amplificatore di carica
I principali trasduttori piezoelettrici sono:
• Accelerometri piezoelettrici (piezoelectric accelerometer). Sono costituiti da una massa
piezoelettrica sormontata da una massa sismica. Quando il corpo su cui questo accelerometro
è posto subisce un’accelerazione, la massa sismica subisce una forza d’inerzia che deforma
la massa piezoelettrica, che genera quindi una differenza di potenziale. La massa piezoelettrica ha una rigidezza molto elevata, e dunque la pulsazione naturale risulta essere alta. Poco
importa quindi se lo smorzamento è basso, tant’è vero che la banda passante di questi accelerometri risulta essere molto più elevata di quella degli accelerometri piezoresistivi: nell’ordine
dei 100KHz. E’ però vero che l’amplificatore di carica può limitare la banda. La portata, tipicamente, è di circa ±1000g.
• Celle di carico piezoelettriche(piezoelectric load cells)
4.7. ENCODER
109
4.7 Encoder
Gli encoder sono dei trasduttori che in uscita forniscono un segnale digitale. Essi permettono
di misurare spostamenti e velocità lineari e angolari (encoder rotazionali). Di seguito ci occuperemo solo di questi ultimi. Esistono tre diversi tipi di encoder rotazionale.
• Encoder tachimetrico (tacheometric encoder). L’encoder tachimetrico2 permette di effettuare misure solo di velocità angolari. É costituito da un disco trasparente con delle zone
opache, che viene calettato sull’albero di cui si vuole misurare la velocità angolare. Vi è poi
Figura 4.19: Encoder
una sorgente luminosa che manda un raggio di luce in direzione dell’encoder. Questo raggio
viene rilevato da un sensore fotovoltaico, ossia un sensore che in funzione della luminosità
fornisce una tensione corrispondente. L’uscita dello strumento sarà quindi un treno di impulsi,
la cui frequenza è proporzionale alla velocità angolare dell’albero. Tramite un dispositivo di
conteggio di impulsi è possibili risalire a questa velocità.
Un problema di questi strumenti è che non riescono a rilevare il verso della rotazione, orario o
antiorario, e non si accorgono neppure se il verso si inverte nel corso della misurazione.
• Encoder incrementale (incremental encoder). L’encoder incrementale risolve questo
problema utilizzando tre sensori fotovoltaici, e tre sorgenti luminose. La struttura del disco
è uguale a quella di un encoder tachimetrico, tranne che ha un ulteriore zona scura, chiamata
tacca di zero. Uno dei tre sensori serve per leggere questo zero, e usarlo come riferimento. Gli
altri due sensori, A e B, sono sfasati in modo tale che la loro uscita risulti sfasata di un quarto
di passo. In tal modo è possibile capire se la rotazione è oraria o antioraria guardando quale
dei due segnali anticipa l’altro.
• Encoder assoluto (absolute encoder). L’encoder assoluto ha una struttura più complessa.
Infatti il disco è diviso in 2N settori circolari, dove N è il numero di bit dell’encoder, e in N
corone circolari. Le varie aree create dalle intersezioni dei settori con le corone sono oscurate
o rese trasparenti secondo il codice Gray. Questo codice è un tipo particolare di codice binario,
strutturato in modo tale che tra un numero e il successivo vari solo un bit. Questo accorgimento
2
I più ravviseranno nel funzionamento di questo strumento un analogo del metodo della determinazione della
velocità della luce dovuto al fisico francese A.H.L. Fizeau risalente al 1849.
4.7. ENCODER
110
Z
A
B
Figura 4.20: Rotazione antioraria: B in anticipo su A
Figura 4.21: Encoder assoluto
4.7. ENCODER
111
fa in modo che in caso di errori di lettura di un bit, i dati non subiscano delle brusche variazioni.
Si rende però necessario un sistema di codifica per passare dal codice Gray al codice binario
vero e proprio. Questo generalmente viene realizzato tramite gates logici come gli X-OR.
La risoluzione di un encoder assoluto risulta essere
RIS =
360◦
2N
L’encoder assoluto viene solitamente usato per compiere misure di spostamento angolare.