Nessun titolo diapositiva

Fisica Generale
Polo di Spezia
Scuola Politecnica
a.a. 2016-17
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
1
Programma del corso
0. Ripasso e introduzione di concetti matematici necessari al corso
MEccanica
1. Metodo sperimentale, grandezze fisiche, analisi dimensionale, unità di misura, errori di
misura e cifre significative. Cinematica del punto materiale. Vettori posizione, velocità ed
accelerazione. Accelerazione radiale e tangenziale. Moto uniformemente accelerato,
circolare, armonico. Moti relativi.
2. Relatività galileana, sistemi di riferimento inerziali. Leggi di Newton e loro applicazioni.
Forze di contatto: attrito e viscosità. Sistemi di riferimento non inerziali.
3. Quantità di moto. Momento torcente e momento angolare. Forze centrali: gravitazione,
forza elastica, forza di Coulomb.
4. Lavoro di una forza, energia cinetica, teorema lavoro-energia, potenza. Forze
conservative, energia potenziale, conservazione energia meccanica. Oscillazioni meccaniche
e onde. Proprietà delle onde.
5.Dinamica dei sistemi di punti materiali. Cenni al primo principio della termodinamica
partendo dal teorema lavoro-energia per un sistema. Corpo rigido.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
2
ElettroMagnetismo
6. Descrizione dei fluidi per introdurre il flusso. Cariche. Campo elettrico, Lavoro e
potenziale elettrico. Legge di Gauss
7.Condensatori e capacità, energia. Correnti e resistenza, circuiti in corrente continua e loro
bilancio energetico.
8. Campo magnetico, moto delle cariche in campi magnetici ed elettrici, legge di Biot-Savart,
legge di Ampere.
9. Induzione elettromagnetica, campi elettrici indotti, autoinduzione, circuiti RL.
10. Campi magnetici indotti e corrente di spostamento. Equazioni di Maxwell in forma
integrale e differenziale. Oscillazioni elettriche e circuiti LC (RLC).
Il programma dettagliato verrà fornito alla fine del corso
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
3
Testi di riferimento consigliati:
1) C. Mencuccini,V. Silvestrini, Fisica (Meccanica e Termodinamica)Casa Editrice Ambrosiana, Milano
2) R. Mazzoldi, M.Nigro, C. Voci, Elementi di Fisica-Elettromagnetismo
Altri testi di consultazione e per problemi
W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove: Fisica classica e moderna, Mc
Graw Hill, Italia
- R. Resnick, D. Halliday, K.S. Krane ( o anche Walker) Fondamenti di
Fisica, Casa Editrice Ambrosiana, Milano
- Serway & Jewett, Principi di Fisica, EdiSES
Per spiegazioni: al termine di ogni lezione,
O concordando l’incontro con il docente di riferimento o inviando un
email “[email protected]”
Scaricare Materiale: Aulaweb,
www.fisica.unige.it/~bracco al link studenti
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
4
Corso:
Al termine del corso (giugno) lo studente affronterà uno scritto che consta di due prove
parziali (meccanica (ME) e elettromagnetismo (EM)).
Le prove consistono di problemi su argomenti svolti e conosciuti dagli studenti. Le soluzioni
degli esercizi verranno forniti con le votazioni della prova.
Le due prove parziali (ciascuna di durata 2 ore) possono essere sostenute anche in due appelli
successivi della sessione estiva (giugno-settembre) oppure in quella invernale (gennaiofebbraio) oppure in una singola prova (di durata 4 ore).
A settembre e a febbraio si sostiene solo la prova complessiva se non si e’ gia’ superata una
prova parziale.
I voti delle prove parziali valgono solo per la sessione di riferimento (estiva o invernale)
Ogni prova parziale e’ superata se il voto e’ uguale o superiore a 14.
Il voto finale sarà la media dei voti delle due prove parziali (se la prova e’ complessiva, in
quel caso il voto deve essere almeno 13 per ciascuna prova parziale).
Ricordarsi di iscriversi alle prove scritte sul web per poter prenotare le aule con la capienza
opportuna!
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
5
Se uno studente ripete una prova parziale (consegna l’elaborato per la correzione) il nuovo
voto sostituisce il precedente anche se inferiore.
Gli elaborati consegnati verranno valutati e gli studenti possono, nel giorno di convocazione
dell'orale, prenderne visione.
Alla prova scritta si potrà tenere solo l’occorrente per scrivere e la calcolatrice. Inoltre si potrà
consultare il formulario che può essere scaricato dal sito.
L’orale vertera’ su tutto il programma svolto e dovra’ essere sostenuto nella sessione in cui si
superano le prove scritte (eccezionalmente nella sessione estiva si potrà sostenere nell’appello
successivo).
L’orale è superato con almeno 18/30.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
6
Prerequisiti
Alcuni di questi concetti verranno ripresi nell’introduzione
regole dell’algebra, potenze, equazioni, disequazioni
trigonometria, esponenziali e logaritmi
geometria piana e nello spazio
spazi vettoriali in 3 dimensioni, assi cartesiani e
componenti di vettori, matrici
prodotto scalare e vettoriale
concetti di geometria analitica, equazione della retta,
retta tangente e retta perpendicolare, equazione delle
coniche (in particolare la circonferenza)
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
7
Ripasso di concetti matematici
Regole dell’algebra, potenze, equazioni, disequazioni trigonometria,
esponenziali e logaritmi
geometria piana e nello spazio, spazi vettoriali in 3 dimensioni, assi
cartesiani e componenti di vettori, matrici
prodotto scalare e vettoriale
concetti di geometria analitica, equazione della retta,
retta tangente e retta perpendicolare, equazione delle
coniche (in particolare la circonferenza)
Numeri reali e complessi
Vettori e versori, Vettori applicati, componenti sugli assi, somma di vettori
prodotto tra scalari e vettori
modulo di un vettore (distanza), prodotto scalare, prodotto vettoriale
Sistemi lineari, matrici, inversa di una matrice
Prodotto di una matrice per un vettore
Diagonalizzazione
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
Derivate e integrali
8
Vengono definiti vari insiemi numerici che permettono di effettuare operazioni: ogni
insieme numerico contiene quello precedente come sottoinsieme (o esiste una
corrispondenza biunivoca, p.es NZ+ che contiene i razionali pari) e quindi le
operazioni possibili nel precedente vengono conservate nel successivo.
•Naturali N ={0,1,2,…,n,…} servono per contare oggetti e in essi si può sempre
effettuare la somma ma non le altre operazioni
•Relativi Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…..} sono un’estensione di N (N ne è un sottoinsieme
o meglio un sottoinsieme di Z è in relazione biunivoca con N) e oltre alla somma si
può sempre effettuare la differenza
•Razionali Q={q=n/m, n,mZ} estensione di Z per poter effettuare sempre le
operazioni di moltiplicazione e divisione (m0)
•Reali  ={Q I} dove I è l’insieme degli irrazionali. Permette di esprimere sempre il
risultato di operazioni di limite e di poter effettuare misure di grandezze. I numeri 
possono essere messi in relazione biunivoca con i punti di una retta, questo ad.es
permette di definire le coordinate dei sistemi di riferimento.
In  però non è possibile poter effettuare sempre operazioni come ad esempio
l’estrazione di radice o trovare la soluzione di equazioni algebriche.
Esempi: X2+1=0 ovvero x=±-1, trovare tutte le soluzioni di x5+1=0
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
9
•Numeri complessi C
Nel XIX secolo furono introdotte coppie ordinate di numeri reali (a,b) rappresentabili come un
punto del piano (complesso) o in modo equivalente dal modulo  e dalla fase o anomalia .
L’asse x viene detto asse reale e y asse immaginario e le due unità (1,0) e (0,1) vengono detti
unità reale e immaginaria e a e b parte reale e immaginaria del numero. Normalmente (0,1)i
oppure j.
E quindi si può scrivere z=(a,b) = a+ib
Uguaglianza: a+ib=c+id se a=c e b=d
y
Somma: (a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(b+d) (come i vettori del piano)
Prodotto: definiamo i2= -1 da cui (a+ib)*(c+id)= (ac-bd)+i(bc+da)
In forma polare z= cos  + i  sin 

b

a
x
Calcoliamo ei  = (i )n/n! =  in n/n!= separando la parte reale da
quella immaginaria ei  = cos  + i sin  quindi un numero
complesso z= ei  =  (cos  + i sin ) .
La moltiplicazione tra due numeri 1 ei 1 2 ei 2= 1 2 ei (1+ 2).
In questa forma un numero viene ruotato della fase del secondo, es. moltiplicare per i= ei /2
corrisponde a ruotare di /2 in senso antiorario l’altro fattore.
Due numeri a+ib e a-ib vengono detti complessi coniugati.
Con tale estensione dei numeri reali, x2 = -1 ha soluzioni x=±i.
Es. soluzioni eq.differenziali, moti periodici.
Esistono altri insiemi numerici che estendono ulteriormente gli insiemi numerici: quaternioni
ad esempio per trattare problemi di meccanica e di relatività speciale.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
10
Esercizio: calcolare le espressioni
[(2+i)-6]*(1-i)
[(3-6i)*(4-i)]*exp(i /2)
5exp(i 30°)+3-i
Radice quadrata di i
Calcolare il modulo e la fase di [3+2i*(4-i)]
Provare a rappresentare graficamente il numero (funzione)
a=5exp(i 2t) che dipende da t, con t che varia con continuità
da 0 a 
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
11
Matrici e sistemi lineari
Un sistema di n equazioni lineari a11x1+ a12x2+… + a1nxn =b1 etc. in n
incognite (x1,x2,…,xn)T determina la matrice dei coefficienti
 a11 a12 … a1n ed il termine noto (b1,b2,…,bn) T
A=  a21 a22 … a2n in forma compatta Ax=b (prodotto righe per
………………. .colonne tra A e x) ovvero j Aijxj=bi
 an1 an2 … ann  (con (.,.)T si indica il trasposto di una matrice
cioè lo scambio delle righe con le colonne A cioè (A T) ij=Aji) (a volte
si usa la notazione di Einstein dove l’indice ripetuto si intende
sommato senza mettere la sommatoria Aijxj=bi)
Se det(A)0 allora esiste l’inversa di A (A-1) tale che AA-1=A-1A=I
matrice identità quindi A-1Ax= A-1b, Ix= A-1b, x= A-1b.
Per A=  a b si ha che det(A)=|a b|= ad-bc,
cd
|c d|
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
12
per una matrice 3x3
 a11 a12 a13 det(B)=a11(-1)1+1| a22 a23|+a12(-1) 1+2 |a21 a23|+a13(-1) 1+3 | a21 a22 |
B=  a21 a22 a23
| a32 a33 |
| a31a33|
| a31 a32 |
 a31 a32 a33 
Diagonalizzazione di una matrice
Data l’equazione matriciale A v= v, i vettori v non nulli che risolvono l’equazione
sono detti autovettori e gli scalari  autovalori della matrice. Nella base degli
autovettori la matrice è diagonale.
Equazioni di secondo grado
Data l’eq. ax2+bx+c=0, scriviamola portando il termine noto a secondo membro e
moltiplicando per 4a nel seguente modo 4 a2x2+4abx=-4ac, aggiungiamo il
quadrato di b affinché il primo membro sia un quadrato perfetto
4 a2x2+4abx+b2=b2-4ac , (2 ax+b)2=b2-4ac da cui
2ax +b=±(b2-4ac), in questa forma le due soluzioni sono facilmente calcolate
x1,2=(-b ±(b2-4ac ) )/2a
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
13
Introduzione su derivate e integrali di funzioni
Sia f(x) una funzione, se esiste il seguente limite
f
lim --------- (rapporto incrementale in x0)
x0 x
esso è chiamato derivata della funzione nel punto x0
ed è indicata da
df
--dx
f
f
x0
x
e ciò deve valere sia per incrementi positivi che negativi
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
14
Derivate di alcune funzioni utilizzate nel corso
f=costante
f=ax2
f=ex
f=cos(x)
df/dx=0
f= ax
df/dx=2ax
f=axn
df/dx=ex
f=ln(x)
df/dx=-sin(x) f=sin(x)
Proprietà delle derivate
d(f+g)/dx=df/dx+dg/dx
d(f g)/dx=df/dx g + f dg/dx
f(g(x))= df/dg dg/dx
df/dx=a
df/dx=na xn-1
df/dx=1/x
df/dx=cos(x)
Esercizio: calcolare la derivata
rispetto a t di
y=exp(x+t2)
y= cos(x+sen(t))
q= t3-x2t4
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
15
Integrale di una funzione
Consideriamo la seguente sommatoria
f
i f(xi) x
se per x0 tende ad un valore definito
esso è detto integrale di f (definito tra due
estremi di integrazione a e b)
x
E’ evidente che la somma delle aree di
a
b
ciascun rettangolo approssima sempre meglio
x
x
l’area fra la curva e l’asse x diminuendo il valore
i
di x, quindi l’integrale è geometricamente quest’area e si indica
f(x) dx . Se il punto b vien fatto variare, l’integrale è funzione
b
a
dell’estremo superiore b e questo sarà utilizzato nel seguito.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
16
In modo intuitivo e non rigoroso si può trovare il legame fra integrale
e derivata. Consideriamo il rapporto incrementale della sommatoria
nel punto x0
f
(’i f(xi) x) - (i f(xi) x)
------------------------------------x
la seconda sommatoria è calcolata fino
a x0 mentre la prima fino a x0 + x
quindi il rapporto vale
f(x0 ) x
------------ = f(x0 ) anche per x 0
x
x
x0 x0 +x
si intuisce perciò che l’integrale è l’operazione ‘inversa’ della derivata
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
17
D’altra parte se aggiungiamo una costante ad un integrale, questa
non cambia il valore della derivata
d
---- (f dx + cost)=f
dx
quindi nel caso di un integrale indefinito
(senza limiti di integrazione) esiste l’arbitrarietà di una costante
sulla funzione ottenuta da un’integrazione, che vien detta primitiva
F= f dx + cost
Questa costante sarà determinata ad esempio dalle condizioni
iniziali del moto che si sta considerando.
Si definisce differenziale di una primitiva dF=f(x0)dx la variazione
infinitesima di F a causa di una variazione infinitesima di x nel punto
x0.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
18
Calcolare l’integrale (indefinito) di sen(t), exp(x) e y2
Calcolare l’area sottesa dalla curva 2-t2 tra –1 e +1
Calcolare l’area sottesa della curva 2t tra –1 e 1
Trovare la primitiva della funzione ln(z)
Calcolare il differenziale, rispetto a t, rispetto a x e rispetto a y,
della funzione
z=exp(x)t2cos(xt)
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
19
Vettori e versori
Geometricamente un vettore è un segmento orientato che ha
bisogno di tre quantità per essere definito
•modulo (lunghezza del vettore)
•direzione (retta su cui giace il vettore, esteso anche alle parallele)
•verso (una delle due possibilità di orientazione della direzione)
V
Modi alternativi di scrittura

( V, grassetto V)
Un versore di un vettore è il vettore con
uguale direzione e verso ma modulo unitario Nota i vettori  al piano
si indicano con
^v
se uscenti
Indicheremo il modulo di v con v (senza
v= |v| , il versore di V sarà
se entranti
^
^
indicato da v con |v|=1. G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
barra)

20
Definito un sistema di assi cartesiano ortogonale, il vettore può
essere individuato da numeri, le sue componenti.
Nello spazio 3D occorrono tre numeri per definire un vettore (3)
z
v=(vx,vy,vz)
v
vz
vx
x
vy
O
Dal teorema di Pitagora (essendo il
sistema di assi ortogonale!) il modulo è
________________
v= vx2+ vy2 + vz2
Con proprietà V0, =0 se V vettore nullo.
Si può scrivere anche come V I VT.
Le componenti cambiano usando
y un altro sistema di assi (ma il modulo non
cambia).
Fisicamente il vettore viene definito
in base alle proprietà di
trasformazione delle componenti
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
21
I versori degli assi si indicano di solito con î ĵ k^
è bene osservare che si possono definire due terne tra loro differenti
che sono l’immagine speculare uno dell’altro come la mano destra
z
e sinistra. Si usa in genere quella destrorsa anche
per la definizione del prodotto vettoriale che
vedremo in seguito. La scelta corrisponde a scegliere
un’orientazione dello spazio.
y
y
x
x
Terna sinistrorsa
Terna destrorsa
z
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
22
Un vettore può essere applicato in un punto o libero.
Un vettore libero può essere spostato parallelamente a se stesso
o se vogliamo tutti i vettori paralleli e di uguale modulo applicati
in tutti i punti dello spazio sono equivalenti e quindi basta prenderne
uno a piacere che rappresenta il vettore {classe di equivalenza}
Per essi la direzione è la O
stessa (rette parallele)
P
I vettori liberi sono
individuati solo dalle
componenti (uguali per tutti)
mentre quelli applicati
richiedono in più la conoscenza del
punto di applicazione. Due vettori sono uguali se possono essere resi
coincidenti (utilizzando un rappresentante opportuno delle classe di eq.)
Ovviamente vettori uguali hanno le stesse componenti
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
23
La somma di vettori è definita dalla regola del parallelogramma
Spostiamo i vettori parallelamente a
se stessi in modo che la punta di a
coincida con la coda di b.
Il vettore somma s è il vettore che
inizia dalla coda da a e termina sulla
punta di b.
+
a
b
s=a+b
In termini di componenti
a
b
s=(ax+bx, ay+by, az+bz)
Vale la proprietà commutativa e quella associativa
a+b= b+a
(a+b)+c= a+(b+c)= a+b+c
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
24
Il prodotto di un vettore per uno scalare genera un vettore il cui
modulo risultante è il prodotto del modulo per lo scalare
(se negativo, cambia il verso). In termini di componenti
a s=(a sx, a sy, a sz)
se a= -1 si ottiene il vettore opposto
-------------------------------------------------------------------------------Esercizi:
Disegnare i punti P=(2,5) e Q=(3,4) e mostrare che il vettore r=Q-P
è uguale al vettore (1,-1) applicato nell’origine
Calcolare il modulo dei seguenti vettori e trovarne il versore corrispondente (1,2,3)
(1,1,0) (2,0,1)
Sommare i seguenti vettori: vettore 3D lungo la bisettrice del piano xy con x,y>0 e
modulo 3, vettore 3D nella direzione z e lunghezza 2.
Commentare la seguente affermazione: dato un vettore, il suo versore è sempre più
corto.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
25
Sono definiti tre prodotti tra vettori.
|b| cos 
1) Il prodotto scalare genera uno scalare
s = a • b = |a||b| cos 
a
 angolo più
valgono la proprietà commutativa

piccolo
a • b = |a||b| cos = |b||a| cos = b • a e
fra i vettori
b
e quella distributiva rispetto alla somma
a • (b + c)= a • b + a • c
|a|cos  (oppure |b| cos ) rappresenta la proiezione di a su b
(o di b su a). Da questa osservazione si ricava che le
le componenti lungo gli assi si calcolano come ax= a • î ay= a • ĵ
Dovendo calcolare la componente vw di un vettore v lungo la direzione
^
^ cos =|v| cos 
di un altro w in modo analogo si calcola vw=v•w=|v|
|w|
Se si usa una terna ortonormale qualunque, {e1,e2,e3} (potrebbero essere
^
anche {î,ĵ,k}) e1•e1=1 e1•e2=0 e1•e3=0 e2•e2=1 e3•e3=1 (in notazione
compatta con il simbolo di Kronecker ij che è 1 se i=j e 0 altrimenti,
matrice identità, ei•ej= ij) a • b =(a1e1+a2 e2+a3e3) •(b1e1+b2 e2+b3e3)=
(a1b1+a2b2+a3b3)
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
26
Da osservare che s • s = sxsx + sysy + szsz= |s|2
Quindi la distanza fra due punti P e Q è calcolabile come
______________
P
(P - Q ) • (P - Q )
Es.: Dalla definizione di circonferenza
di raggio r nel piano xy
Q
P0
(P - P0 ) • (P - P0 ) = r 2
(x-x0)2 + (y-y0)2=r 2
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
27
2) Il prodotto vettoriale genera un vettore
c = a  b il cui modulo è |a||b| sin 
la direzione è perpendicolare al piano
individuato da a e b ed il verso è definito
dalla regola della mano destra
(a b e a  b formano una terna destrorsa)
il prodotto è anticommutativo
a  b = -b  a
in termini di componenti si calcola il
determinante (in modo però improprio)
|î ĵ
| ax ay
| bx by
^
k|
^
az|= (aybz- azby) î+ (azbx- axbz) ĵ+(axby- aybx) k
bz|
^
^ ĵ = k^  î
k=î
ĵ , î= ĵ  k,
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
28
Geometricamente il modulo del
prodotto vettoriale equivale all’area
del parallelogramma con lati a e b
|a||b| sin 
b

|b|sin 
a
ab
c
b
Il prisma di spigoli
a, b e c ha volume
|a•b c|
(prodotto misto di vettori)
che è invariante per
permutazione ciclica
a•bc=c•ab=b•c a

a
È da osservare che il prodotto misto per i versori degli assi è positivo se
la terna è di tipo destrorso, negativo se sinistrorsa, quindi tale prodotto
può essere usato per stabilire l’orientazione dello spazio definita dal
sistema di assi cartesiani
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
29
Se due vettori sono perpendicolari a • b = 0
se 3 vettori sono complanari a • b  c = 0
una retta passante per P di direzione v
z
P
r
v
n
r’
y
x
r= vt + P
Retta perpendicolare
alla precedente in P
r’= nt + P
con n • v = 0
Definizione di piano
passante per P0=(x0,y0,z0) e
perpendicolare a v=(a,b,c)
v•(P-P0)=0 cioè
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
30
Esercizi: calcolare un vettore 2D perpendicolare a (2,3)
Calcolare in 3D il vettore perpendicolare al piano individuato dai
punti (5,2,1), (2,2,1) e (0,1,2)
Trovare un vettore complanare a (1,2,0) (2,1,0)
Scrivere in forma parametrica la retta che passa per i punti (2,0,2) e
(3,1,0)
calcolare le rette che passano per (1,1,2) e siano parallela o
perpendicolare alla retta x=2 t+1 y=4 t-2 z=5 (sia t il parametro)
Dati i due vettori (1,1,0) e (1,0,1), determinare il terzo vettore che
completi la terna in modo che formino un sistema di riferimento
sinistrorso. Il sistema è ortogonale?
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
31
3) Esiste un terzo prodotto fra vettori (a e b) che è il prodotto tensoriale
che genera un tensore di ordine due (es. momenti di inerzia)
e si indica s= a  b ed in termini di componenti
axbx axby axbz 

s = aybx ayby aybz 
azbx azby azbz
Cioè ogni elemento ha due indici Sij=aibj
È possibile definire anche tensori di ordine superiore a due (quindi con
più indici) per rappresentare
proprietà fisiche particolari (p.es.

piezoelettricità dei cristalli Pijk) ma nel corso utilizzeremo
principalmente quantità scalari e vettoriali e ci limiteremo al caso del
tensore di inerzia di ordine 2
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
32
Piezoelettricità
E' la capacità di un cristallo di sviluppare separazione di cariche su facce
opposte per deformazione lungo certe direzioni cristallografiche
(Piezo significa pressione). Il tensore Pijk lega il tensore di deformazione cjk
col vettore campo elettrico Ei: Ei=Pijk cjk
Usi: accendini
piezoelettrici,
oscillatori al
quarzo (orologi),
sonar, cicalini
piezoelettrici,
microfoni,
attuatori micro e
nanometrici
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
33
Cambiando il sistema di assi (per rotazione) da Oxyz a
Ox’y’z’ i valori delle grandezze fisiche possono
•non cambiare (quantità scalari o tensori di ordine zero)
•cambiare come
v’x 
 vx  con A matrice
v’y = A  vy  di trasformazione
v’z 
 vz 
(quantità vettoriali o tensori di ordine uno)
•cambiare come Q’ = A Q A-1
(tensore di ordine due) Q può essere pensata come una matrice
di elementi Qij e ogni indice si trasforma come una coordinata
Eccetera.
Le proprietà di trasformazione definiscono la loro natura di scalari,
vettori, tensori. Per capire questo consideriamo un esempio.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
34
Esempio in 2D: rotazione di un angolo  degli assi di riferimento
O
y
r
P
y’
O
r

P
x
x’
Le coordinate di P cambiano da (x,y) a (x’,y’) (vettore r che individua P)
Scriviamole come vettori colonna (x,y)T e (x’,y’)T
(x’,y’)T =A (x,y)T, con matrice che rappresenta la rotazione di .
cos() sen()
A= -sen() cos() quindi x’=cos()x+sen()y
y’=-sen()x +cos()y
Da osservare che la distanza di P da O rimane costante (|r| costante) e
questo deriva dal fatto che det(A)= cos2()+sen2()=1 (proprietà generale
delle matrici di rotazione pura anche in 3D)
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
35
Nel caso il det sia –1 la matrice rappresenta una rotazione con
inversione degli assi
x’
O
y
r
P
y’
O
O
r

r
P
P
x
-cos() -sen()
A= -sen() cos() quindi x’=-cos()x-sen()y=-(cos()x+sen()y)
y’=-sen()x +cos()y
det(A)=- cos2()-sen2()=-1, questa operazione ha cambiato
l’orientamento del piano xy (uscente dal foglio entrante nel foglio)
Nel caso 3D una tal matrice fa passare da una terna destrorsa a una
sinistrorsa. Le matrici di rotazione si chiamano anche ortogonali.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
36
Tutte le quantità fisiche che si trasformano come il vettore r,
posizione del punto P, sono quantità vettoriali. Non basta cioè
prendere 3 numeri a, b e c e formare una terna ordinata (a,b,c)
perché questo sia un vettore dello spazio.
Le quantità che non cambiano per trasformazioni di coordinate
sono gli scalari. Però non basta prendere un numero. Infatti se
prendiamo un valore che corrisponde ad una componente di un
vettore (p.es. componente x) e lo supponiamo uno scalare, per
rotazione esso si trasformerà come x’=A11x+A12y+A13z.
Nel caso 1D, la coordinata x dipende dall’orientazione dell’asse e
quindi se l’asse x diventa –x anche la coordinata x cambia in –x
P
O
O
P
x
x
Quindi dal punto di vista dei tensori, la coordinata x anche nel caso
unidimensionale non può essere considerata uno scalare nel senso
stretto.
G. Bracco.Appunti di Fisica Generale
37
Metodo Sperimentale
1) Consiste nel basare lo studio dei fenomeni naturali sulla loro OSSERVAZIONE
(descrizione del fenomeno senza intervento da parte dello sperimentatore)
2) sull’ESPERIMENTO (riproduzione di un fenomeno in condizioni
accuratamente controllate)
3) sulla MISURA (associazione mediante un procedimento univoco e
riproducibile di un numero alle Grandezze Fisiche (GF) che intervengono nel
fenomeno).
Il procedimento di misura permette di ottenere relazioni quantitative fra le GF
espresse da
Definizioni (DEF)
Leggi Fisiche (LF)
a cui obbedisce il fenomeno.
Ogni GF è definita in modo oggettivo dal suo procedimento
di misura;
due GF si dicono omogenee se si possono confrontare (ovvero stabilire se una è
maggiore, minore o uguale all’altra) ed è definita tra loro un’operazione di somma
Risulta chiaro che GF che vengono definite dallo stesso procedimento di misura sono
omogenee.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
38
Presa una GF come unità U è quindi possibile, suddividendo opportunamente
U e sommando eventualmente più copie di U, stabilire quante volte U è
contenuta nella GF omogenea ad U.
Questa operazione permette di trovare la misura della GF rispetto ad U.
Poiché le LF (o le DEF) collegano fra loro GF in genere non omogenee,
vengono scelte un numero ristretto di GF dette Grandezze Fisiche
Fondamentali
(il numero è dettato sia dal vincolo di poter rappresentare
tutte le GF Derivate, sia dalla convenienza)
e tramite LF o DEF si definiscono le GF Derivate.
La GF scelta come unità definisce un campione (realizzazione della GF
unità) e tale campione dell’unità di misura deve essere
•invariabile (la sua definizione è indipendente dal tempo e dalla
posizione nello spazio)
• accessibile (lo si deve poter usare facilmente)
• riproducibile (si possono fare copie da utilizzare in altri luoghi)
queste caratteristiche permettono di non avere arbitrarietà nei campioni.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
39
Esempi
Se un metro è definito differentemente tra Italia e Svizzera
sarebbe impossibile fare scambi commerciali fra i due
Paesi.
Ogni volta che compro un chilogrammo di pane voglio avere
sempre la stessa quantità di pane.
Se gli autobus partono ogni 10 minuti, posso fare previsioni su
quando arriverò alla fermata voluta se la mia definizione di
minuto e’ uguale a quella dell’orario.
Un orologio che anticipa o ritarda (rispetto a cosa?) non lo
permetterebbe.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
40
Sistema Internazionale (S.I.):
sistema adottato internazionalmente in cui le GF Fondamentali
sono (tra parentesi le unità di misura col rispettivo simbolo):
Lunghezza (metro, m), L
Tempo (secondo, s), T
Massa (chilogrammo, kg), M
Intensità di corrente (ampere, A), I
Temperatura termodinamica (kelvin, K), 
Quantità di sostanza (mole, mol)
Intensità luminosa (candela, cd)
e quelle supplementari di
 angolo piano (radiante, rad)
 angolo solido (steradiante, sr).
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
41
GRANDEZZE FONDAMENTALI E LORO UNITA’ di MISURA
metro è l’unità di lunghezza ed è la lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un
intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di un secondo si indica con m
chilogrammo è l’unità di massa ed è uguale alla massa del campione internazionale
del chilogrammo si indica kg (!!!!!!!!!!!!!!!!)
secondo unità di tempo di durata pari a 9 192 631 770 periodi di oscillazione della
radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dello stato
fondamentale del cesio 133, si indica con s
ampere è l’unità della corrente elettrica e corrisponde a quella corrente costante che
scorrendo in due fili di lunghezza infinita e di dimensione trascurabile posti a
distanza di 1 m nel vuoto, produrrebbe una forza tra di essi pari a 2 x 10-7 newton per
metro di lunghezza, si indica con A
------------------------------------------------------------------------------------------------------kelvin è l’unità di temperatura termodinamica corrispondente a 1/273.16 della
temperatura termodinamica del punto punto triplo dell’acqua, si indica con K
mole è l’unità della quantità di sostanza di un sistema che contiene tante particelle
quanto sono gli atomi in 0.012 kg di carbonio 12, quando si usa devono essere
specificati il tipo di entità (atomi, molecole, ioni, elettroni,…) si indica con mol
candela è l’unità di intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette
radiazione monocromatica di frequenza 540 x 1012 hertz pari a 1/683 di watt per
steradiante, si indica con cd
G. Bracco - Appunti di Fisica
42
Generale
Grandezze supplementari
angolo piano
rapporto fra lunghezza dell’arco e il raggio della circonferenza
l
=l/r unità radiante

O r
O centro
angolo solido unità steradiante
rapporto fra l’area della calotta sferica (generata dall’intersezione del
cono con vertice nel centro e la sfera) ed il raggio al quadrato della
A
sfera

=A/R2
O
R
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
O centro
43
Esercizi: convertire in radianti i seguenti angoli 10°, 12°
35’1”=12°+35/60°+1/3600°12.5836°, 30°
Dato un triangolo isoscele con i lati di 1.2 m, 1.2 m e 0.10 m
calcolare l’angolo fra i lati uguali in rad
Calcolare il valore dell’angolo solido che comprende tutto lo spazio
Una sorgente emette acqua uniformemente entro un cono di apertura
approssimativamente di 180°. Se dalla sorgente escono 100 l/s,
quanta acqua entrerà ogni s in un foro di 1 cm di raggio distante 1.50
m dalla sorgente?
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
44
Il SI è un sistema coerente cioè utilizzando i valori numerici
delle GF espresse in unità del SI, si ottengono risultati
finali corretti
esempio: se voglio che la velocità sia espressa in km/h e
misuro un tratto di strada in metri e il tempo per la percorrenza
in minuti l’insieme di unità (metro, minuto,km/h) non formano
un sistema coerente
infatti se l=1000 m e t=60 min v=l/t=1000/60= 16,666….
in unità m/min e non km/h.
Quindi per i calcoli, si deve sempre utilizzare un
sistema coerente altrimenti si sbagliano i risultati numerici
e non solo …..
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
45
http://mars3.jpl.nasa.gov:80/msp98/news/mco990930.html
Mission Launch
The lander was launched from Cape Canaveral Air Force
Station (CCAFS) Space Launch Complex 17 (SLC-17) on
January 3, 1999.
Spacecraft Dimensions :1.06 meters (3.5 feet) tall by 3.6 meters (12 feet) wide.
Spacecraft Weight
Total: 576 kg (1,270 pounds)
Lander: 290 kg (639 pounds) Project Cost:$110 million for spacecraft development,
Propellant: 64 kg (141 pounds)
Cruise Stage: 82 kg (181 pounds)
$10 million mission operations;
Aeroshell & Heat Shield: 140 kg (309 pounds)
total $120 million (not including launch
vehicle or Deep Space 2 microprobes).
Mission Timeline: January 3, 1999: Launch, December 3, 1999: Mars Landing, March 1, 2000: End Of Primary Mission
Douglas Isbell
Mary Hardin
Joan Underwood
Headquarters,
Jet Propulsion Laboratory, Lockheed Martin Astronautics
Washington, DC
Pasadena, CA
Denver, CO
RELEASE 99-113
MARS CLIMATE ORBITER TEAM FINDS LIKELY CAUSE OF LOSS
A failure to recognize and correct an error in a transfer of information between the Mars Climate Orbiter spacecraft team in Colorado and
the mission navigation team in California led to the loss of the spacecraft last week, preliminary findings by NASA's Jet Propulsion
Laboratory internal peer review indicate. The peer review preliminary findings indicate that one team used English units (e.g., inches,
feet and pounds) while the other used metric units for a key spacecraft operation. This information was critical to the maneuvers required
to place the spacecraft in the proper Mars orbit.
…...
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
46
Analisi dimensionale
consiste nel trovare quali GF Fondamentali entrano nella definizione
di una GF a partire dalla definizione della GF (in particolare con che
esponente)
tale operazione si indica con parentesi quadre [ ].
Grandezze adimensionali sono quelle che, come i numeri puri, non
hanno dimensioni: ad esempio la misura degli angoli in radianti
viene definita come rapporto tra due lunghezze (lunghezza dell’arco
rispetto al raggio della circonferenza) e perciò è adimensionale
ovvero tutte le GF Fondamentali vi compaiono con esponente zero.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
47
Vediamo alcuni esempi limitandoci a GF meccaniche in cui compaiono Lunghezza,
Massa e Tempo: velocità scalare v=ds/dt, analisi dimensionale
[v]=[ds/dt]=[ds]/[dt]=LT-1
volume di un cilindro di raggio r e altezza h
V=r2h, [V]=[r2h]=[][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3
da notare che  è un numero puro e quindi non ha dimensioni []=1
Nota: si ottiene lo stesso risultato anche per qualunque altro volume trattandosi di
grandezze omogenee.
Chiaramente le GF Fondamentali che non compaiono si sottintendono elevate a zero
e quindi una scrittura più corretta sarebbe [v]= LT-1M0
Vediamo ora come trovare le unità di misura utilizzando gli stessi esempi
velocità scalare v=ds/dt, dall’analisi dimensionale
[v]=[ds/dt]=[ds]/[dt]=LT-1
poiché l’unità per L è il metro mentre per T è il secondo quindi l’unità per v risulta
m/s. Indicheremo con {} l’operazione di trovare le unità di misura di
una GF. P.es. {L}=m {T}=s {M}=kg {v}=m/s
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
48
volume di un cilindro di raggio r e altezza h
V=r2h, [V]=[r2h]=[][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3
L’ operazione [ ] dipende dalla
scelta delle GF fondamentali del
sistema, scelto il sistema di unità,
da notare che  è un numero puro []=1 {}=1 l’operazione { } dipende dalle
unità di misura di quel sistema.
Se anziché il SI si fosse usato il sistema cgs
l’analisi dimensionale darebbe lo stesso risultato Ciò mostra che le operazioni
[ ] e { } non sono equivalenti
V=r2h, [V]=[r2h]=[][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3
dipendendo dal sistema scelto e
ma non per le unità
dalle unità di misura. Questa
{V}={r2h}={}{r2 }{h}={r}2 {h}={L}3=cm3
differenza in genere viene
confusa.
Se anziché il SI si fosse usato il sistema Inglese
l’analisi dimensionale darebbe lo stesso risultato
V=r2h, [V]=[r2h]=[][r2 ][h]=[r]2 [h]=L3
invece
{V}={r2h}={}{r2 }{h}={r}2 {h}={L}3=in3
{V}={r2h}={}{r2 }{h}={r}2 {h}={L}3=m3
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
49
Prima del SI vi erano due sistemi mksa e pratico nel sistema
pratico la forza era la GF al posto della massa quindi indicata
con F la grandezza forza e con fa la forza di attrito
[fa]=F
{fa}=kgf
chilogrammo forza
mentre nel SI vedremo che
[fa]=MLT-2
{fa}=N (newton)
Definiamo un sistema (inventato) in cui le grandezze fondamentali
sono V (velocità),T,M con unità di misura r (rapido),s,kg
[h]=? {h}=? Con h altezza
------------------------------------------------------------------------------
Dalla definizione una lunghezza l=v t
quindi [h]=[l]=[v t]=V T = V T M0
{h}={v t}=r s
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
50
Valori misurati e precisione
Ogni misura viene effettuata utilizzando un’opportuno strumento e
procedimento di misura (che definisce la GF). Questo implica che
esiste un valore minimo che si può apprezzare con lo strumento al di
sotto del quale i valori di due GF sono indistinguibili (sensibilità dello
strumento).
Questo vuol dire che il valore misurato si conosce entro un intervallo
di indeterminazione pari alla sensibilità dello strumento.
Ciò limita il numero di cifre che rappresenta il valore numerico
della GF misurata.
La semiampiezza di questo intervallo è chiamato Errore assoluto E
(con le stesse unità della GF a cui si riferisce, cioè omogeneo ad
essa, inoltre il valore è sempre positivo).
L’errore assoluto fornisce un modo di valutare la precisione di una
misura.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
51
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
52
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
53
Scrittura del valore di una GF
È da osservare che la misura di una GF A si indica correttamente e
in modo completo nel seguente modo:
A= (AoA) udm dove Ao è il valore misurato, A il suo errore,
e udm l’unità di misura della GF,
mancando l’errore e/o l’udm il valore misurato è incompleto.
Es. “Comprami 5 di pane” non specifica esattamente cosa voglio
(5 panini, 5 chilogrammi)
Mentre è possibile sottointendere l’errore (vedere la parte di
cifre significative), l’udm va sempre esplicitata.
Per alcune unità di misura di GF Derivate si utilizzano anche nomi
particolari (p.es. per la carica elettrica C (coulomb), per la forza N
(newton)). In tal caso anche se l’udm è indicata con lettera maiuscola,
il nome per intero (anche se di persona) viene scritto minuscolo.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
54
Si definisce Errore relativo  (o percentuale % se si moltiplica
quello relativo per 100) il rapporto fra l’errore assoluto e la misura
della GF (se quest’ultima è diverso da zero).
Tale errore è adimensionale ed è utile per conoscere la precisione
relativa di una misura: p.es.
a)misura della larghezza di una porta di circa 1 m viene
effettuata con metro a nastro (sensibilità di 1 mm)
b)la distanza fra due incroci di una strada vale 5 km ed è
conosciuta a meno di 1 m
la misura a) ha =5 10-4, la misura b) ha =2 10-4 quindi la seconda
ha una precisione relativa migliore nonostante l’errore assoluto
sia maggiore.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
55
Cifre significative
Poiché i valori misurati sono affetti da errore, il numero di cifre con
cui il valore può essere scritto dipende dall’errore assoluto stesso.
Valori inferiori all’errore assoluto sono privi di significato (poiché
ricadono entro l’intervallo di indeterminazione), questo vuol dire che
il valore della GF comunque ottenuto deve essere arrotondato al
numero di cifre che sono non inferiori a quelle dell’errore (cifre
significative).
P.es. se si ottiene da un calcolo il seguente valore Ao =1.58254 e si
conosce che A=0.2 allora il valore di A va scritto tenendo le cifre
fino ai decimi ovvero A=(1.6 0.2)udm (poiché la prima cifra
trascurata è maggiore di 4 si aumenta di uno) mentre se A=0.03
allora A=(1.58 0.03) udm.
La cifra più a sinistra è detta cifra più significativa, quella più a
destra meno significativa
(nel valore 1.58 la cifra 1 è quella più significativa , 8 quella meno).
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
56
È anche possibile non esplicitare l’errore e scrivere direttamente
il numero di cifre corretto sottintendendo che
l’errore è 1 sulla cifra meno significativa
questo metodo fornisce grossolanamente l’ordine di grandezza
dell’errore e viene utilizzato di frequente nel testo dei
problemi per non far calcolare esplicitamente anche l’errore sul
valore finale
ovvero A=1.58 udm si deve intendere A=(1.580.01)udm.
Una scrittura A=2.00 udm non va perciò semplificata in A=2 udm
o scritta 2.00000
poiché ciò significherebbe nel primo caso A=(2.000.01) udm
nel secondo A=(21)udm, nel terzo A=(2.000000.00001)udm.
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
57
Per valutare quante cifre significative compongono un valore
è opportuno
- scrivere il valore utilizzando le potenze di dieci in modo
che esso contenga una sola cifra (unità) diversa da zero prima della
virgola
- contare tutte le cifre (compresi gli zeri finali) se con notazione decimale.
P.es. 0.0020 diviene 2.0 10-3 quindi ha 2 cifre significative
(gli zeri prima del 2 non contano),
3000. (notare il punto alla fine) diviene 3.000 103 ovvero 4 cifre significative,
invece 3000 (senza punto finale) diviene 3 103 ovvero con 1 cifra significativa.
Da notare che gli errori vengono solitamente forniti con una cifra significativa,
due nel caso di misure di notevole precisione.
(Nota: nel caso di numeri superiori all’unità con zeri finali come 3000 alcuni testi
riportano che hanno 1 sola cifra significativa poiché gli zeri successivi non
contano, poiché ciò dà luogo a fraintendimenti, nel presente corso non useremo
questo modo di procedere.)
NOTA: a volte per indicare gli errori si usa anche la notazione con parentesi
ovvero 17.640.03=17.64(3) dove il 3 indica l’errore sulla cifra meno
significativa 4.
G. Bracco - Appunti di Fisica
58
Generale
Nelle operazioni è bene tener presente le seguenti regole pratiche:
a) nella somma di numeri conta sempre l’errore assoluto maggiore
che limita il numero di cifre significative del risultato,
b) nel prodotto, il numero di cifre significative è uguale al numero
minimo di cifre significative presenti nei fattori.
Quindi nella soluzione di problemi il numero di cifre del risultato
non può essere superiore a quello minimo dei dati.
Ordini di grandezza
per esprimere ordini di grandezza si arrotonda il valore
esprimendolo con opportune potenze di dieci. P.es. l’ordine di
grandezza di 3580 è 103, quindi l'ordine di grandezza è una stima
arrotondata alla potenza di dieci più vicina (per 6450 è 104). Le
unità SI vengono usate assieme ai prefissi SI, che tengono conto
degli ordini di grandezza
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
59
Unità di misura e conversione fra differenti unità
Dall’analisi dimensionale si conosce il contenuto delle GF
Fondamentali per le quali viene definito l’unità campione U
(nel S.I. metro m, secondo s, …) e quindi le unità di misura delle
GF Derivate.
Utilizzando gli esempi precedenti poiché [v]=[L][T]-1 l’unità di
misura di v sarà il m/s (o ms-1) e per i volumi il m3 .
Abbiamo già visto che per alcune unità di misura di GF Derivate si
utilizzano anche nomi particolari (carica elettrica C (coulomb),
forza N (newton), frequenza hertz (Hz), capacità elettrica farad (F), ...)
ma queste sono riconducibili sempre alle udm delle GF fondamentali.
Scegliendo diverse unità U per le GF Fondamentali si ottengono
diverse unità di misura per le GF Derivate con valori numerici
differenti. È necessario perciò poter passare da una unità ad un’altra
per effettuare calcoli in unità coerenti (ovvero di uno stesso sistema
di unità come quello Internazionale).
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
60
Infatti, anche se matematicamente 1=1 (uno=uno) è un’ovvia uguaglianza tra
le grandezze adimensionali, le seguenti sono chiaramente errate (anche se le misure
ai due membri si riferiscono a grandezze omogenee come è necessario per poterle
confrontare): 1m =1 cm, 1 cm = 1 in (inch), 1 m3=1 l (litro)
mentre sono corrette le seguenti 1m= 100 cm, 2.54 cm=1 in, 1 m3=103 l.
Per passare da un’unità ad un’altra si può utilizzare il procedimento che si basa sul
moltiplicare il membro di un’eguaglianza per il rapporto unitario fra le diverse
unità in modo che l’uguaglianza non cambi. Vediamo alcuni esempi.
Velocità: 60 km/h = x m/s dove x è il valore da trovare.
Poiché 1 km= 103 m il rapporto 1km/103 m è unitario e quindi
(103 m /1km) 60 km/h= 60 103 m/h semplificando le unità di misura come se
fossero monomi, d’altra parte 1 h=3600 s quindi il rapporto 1h/3600s è unitario da
cui (1h/3600s) 60 103 m/h=60 (10/36) m/s
infine 60 km/h= 60 (10/36) m/s= 16.6666.. m/s 17 m/s arrotondato alle opportune
cifre significative
Densità (rapporto tra massa e volume): 5 g/l= 5 (1kg/103 g) g/l= 5 10-3 kg/l=
5 10-3 (1 l/10-3 m3) kg/l=5 kg/m3
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
61
Multipli e sottomultipli vengono utilizzati perché le unità di misura di un sistema
non sempre sono le più convenienti in tutti fenomeni. Basti pensare alle misure di
lunghezza: se 1 m è utile in molte circostanze su scala umana, ciò non è più vero su
scala atomica o su scala galattica. Per limitare il numero di zeri da utilizzare (il
raggio della prima orbita di Bohr dell’atomo di idrogeno vale circa 0.00000000005
m) e per ragioni legate anche alle cifre significative si utilizzano i prefissi che
moltiplicano l’unità per potenze di dieci con esponenti multipli di 3 o -3.
Multipli: chilo k =103 , mega M=106, giga G=109 , tera T=1012 , peta P=1015 , exa
E=1018 zetta Z=1021, yotta Y=1024
Sottomultipli: milli m=10-3, micro =10-6, nano n=10-9 , pico p=10-12, femto f=10-15,
atto a=10-18, zepto z=10-21, yocto y=10-24
• Da osservare che per il kg i multipli e sottomultipli si formano a partire dal g e
non dal kg quindi si scrive Mg e non kkg oppure mg e non kg
Esempi: le trasmissioni a modulazione di frequenza si trasmettono tra 88 e 108 MHz (mega
hertz=106 Hz, con hertz unità di misura della frequenza), mentre i telefonini funzionano a 900 MHz
e 1.8 GHz
le dimensioni atomiche sono inferiori a 1 nm (nano metro= 10-9 m),
i condensatori più piccoli sono quelli da 1pF (pico farad= 10-12F, con farad unità di misura delle
capacità elettrica)
Problema: 1 anno luce=distanza percorsa dalla luce in un anno a quanti metri corrisponde con 2
G. Bracco - Appunti di Fisica
62
cifre significative?
Generale
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
63
Esempi di
sottomultipli di unità
di misura
G. Bracco - Appunti di Fisica
Generale
64