Composizione dell’asse
geometrie di transizione
Principali criteri di composizione dell’asse
La lunghezza massima dei rettifili è limitata dalla normativa ad un valore pari a 22 Vp max; le
ragioni di tale limitazione sono da individuare nei seguenti fatti:
Limitare le velocità dei veicoli
Ridurre la monotonia dei tracciati
Consentire una adeguata valutazione delle distanze
Contenere i fenomeni di abbagliamento
La lunghezza minima dei rettifili è limitata dalla normativa per valori variabili con la velocità;
tale limitazione deriva dalle esigenze di percezione della geometria che condizionano il
fenomeno della guida
La lunghezza minima delle curve circolari imposta dalla normativa per garantire che l’utente
possa percepire l’elemento geometrico è tale che il tempo minimo di percorrenza in curva
sia pari 2.5 secondi
La normativa inoltre, al fine di assicurare un livello minimo di omogeneità geometrica del
tracciato, impone un rapporto tra raggi planimetrici di curve consecutive e una relazione tra
lunghezza di un rettifilo e raggio della curva adiacente
Le geometrie di transizione 1
Nel passaggio tra un rettifilo e un arco di cerchio si determina una brusca variazione di curvatura che comporta:
per i veicoli a guida vincolata (ferrovia) significativi effetti dinamici (contraccolpo c=dat/dt),
per i veicoli stradali l’impossibilità di descrivere traiettorie coincidenti con la geometria dell’asse della corsia
Per contenere questi effetti è opportuno introdurre tra rettifilo e arco di cerchio una geometria a curvatura variabile
di opportuno sviluppo. Può utilizzarsi allo scopo una spirale clotoidica del tipo
r sn=An+1
ove s indica lo sviluppo generico della curva a partire dal punto ove 1/r = 0 (punto di flesso)
Essendo A>0, la clotoide in un sistema cartesiano si sviluppa nel I° e III° quadrante.
Poiché il punto finale della clotoide deve coincidere con il punto di inizio della traiettoria circolare risultando ad essa
tangente deve essere:
R Ln=An+1 da cui A = (R Ln)1/(n+1)
Inoltre la curvatura locale 1/r dipende dal valore assunto per l’esponente n:
1/r = 1/R (s/L)n
Le geometrie di transizione 2
Nota la legge di variazione delle velocità lungo un tratto clotoidico, la curvatura locale varierà in funzione del tempo
di percorrenza con la seguente legge:
1/r = 1/R [v(t) t / L]n
In funzione delle necessità che si intendono soddisfare (variazione delle curvature nel tempo e nello spazio) potrà
ricavarsi il parametro n che definisce il grado della clotoide.
L’angolo di deviazione di un arco clotoidico di sviluppo s può ricavarsi considerando uno sviluppo infinitesimo
nell’intorno dell’ascissa curvilinea s, approssimarlo ad un arco di cerchio per il quale
ds = r dα
Essendo r = An+1 / sn sostituendo ed integrando si ottiene
αs = s / [r(n+1)]
E nel punto finale
αf = L / [R(n+1)]
Pertanto, a parità di altre condizioni, tanto maggiore è n tanto minore risulterà la deviazione realizzata dalla clotoide
rispetto al rettilineo.
Le geometrie di transizione 3
In funzione delle esigenze progettuali, assunta una legge del moto v(t) e imposto un predeterminato andamento
delle curvature, può ricavarsi il grado n della clotoide.
Se si considera una variazione lineare della curvatura, per velocità costante si ha n=1
N.B. Predeterminato il grado della clotoide l’equazione gode di un solo grado di libertà. Imponendo quindi una
condizione tutte le altre variabili risultano univocamente determinate.
Trasformazione della clotoide in coordinate cartesiane
Approssimando l’arco infinitesimo alla corda sottesa possiamo scrivere
dx = ds cos α & dy = ds sin α
essendo rsn = An+1
dalla precedente si può ricavare ds = A dα / [(n+1) α ]
dx = A cosα / [(n+1)n αn]1/n+1 dα
&
n/(n+1)
si ricava
s = [(n+1) α]1/(n+1) A
per sostituzione si ha infine
dy = A sinα / [(n+1)n αn]1/n+1 dα
Il sistema di equazioni non è integrabile in forma chiusa, ma per via numerica (sviluppo in serie) è possibile definire
la soluzione del sistema generale per A=1 e per A diverso dall’unità sarà sufficiente moltiplicare la soluzione generale
per il valore assunto dal parametro A
Le geometrie di transizione in ferrovia
La necessità di introdurre una curva di transizione tra rettilineo e arco di cerchio nella geometria ferroviaria deriva
dal fatto che in assenza di essa si determina nel punto di raccordo l’insorgere istantaneo di un’accelerazione
centripeta ed il conseguente sviluppo impulsivo di una forza centrifuga, che può indurre sollecitazioni dinamiche non
compatibili al contatto ruota rotaia.
E’ pertanto indispensabile limitare la variazione nel tempo dell’accelerazione attraverso l’introduzione di una
geometria a curvatura variabile (1/ρ), alla quale corrisponda una variazione regolare della curvatura.
Definito come contraccolpo (C) la variazione nel tempo dell’accelerazione centripeta (ac) e limitandone
superiormente il valore ad un limite prefissato (Cmax), compatibile con le esigenze strutturali si può scrivere:
dac/dt = Cmax
dac/dt = d(v2/ρ)/dt
nell’ipotesi di v=costante
dac/dt = v2/ρ · 1/t
Cmax = v2/ρ · v/s = v3/(ρ s) da cui:
ρ s = cost = A2
Che rappresenta, in coordinate intrinseche, l’equazione della clotoide, spirale (ρ sn = An+1) di grado n=1
Le geometrie di transizione stradali 1
Nella geometria stradale l’opportunità di inserire una curva di transizione tra arco di cerchio e rettilineo deriva da
problematiche sostanzialmente differenti rispetto a quanto discusso per il caso ferroviario. Infatti essendo il veicolo
stradale non vincolato ad una specifica traiettoria imposta geometricamente, può percorrere ed in generale percorre
una propria traiettoria di transizione che è definita dalla sterzatura applicata dall’utente alla guida.
D’altra parte una geometria priva di transizione tra cerchio e rettilineo non può essere esattamente percorsa dal
veicolo stradale considerata l’impossibilità di ruotare istantaneamente lo sterzo nel punto di raccordo in modo da
passare dall’assetto delle ruote in rettilineo ad un assetto deviato di uno specifico angolo θR che consenta di
percorrere l’arco di cerchio di raggio R. Ciò sarebbe possibile in prima approssimazione solo se il veicolo si fermasse
in corrispondenza del punto di raccordo e, a veicolo fermo, l’assetto delle ruote passasse da θ=0 a θ=θR.
Pertanto allo scopo di disporre di una geometria dell’asse stradale teoricamente percorribile da un veicolo è
indispensabile inserire un arco di transizione tra il rettilineo ed il cerchio, tale per cui la curvatura vari lungo la
transizione regolarmente e l’utente possa articolare una manovra così che la traiettoria del veicolo non si discosti
dall’asse stradale.
Assunto che il passo tra il treno delle ruote anteriori e posteriori di un generico veicolo si pari a p, la curvatura nel
generico punto dell’arco di transizione sia 1/ρ e l’angolo al centro che sottende il passo p sia θ, si ha:
p = θ ρ = ρ (dθ/dt) dt = ρ (dθ/dt) (s/v)
da cui
ρ s = v p / (dθ/dt)
Assunta una velocità costante (v) e una velocità di sterzatura costante (dθ/dt) si ottiene l’equazione in coordinate
intrinseche della clotoide ρ s = cost = A2, spirale (ρ sn = An+1) di grado n=1
Le geometrie di transizione stradali 2
Il dimensionamento di una clotoide deve rispettare alcuni criteri al fine di garantire una configurazione idonea sotto il profilo
della sicurezza dell’esercizio viario.
In particolare:
per quanto attiene i criteri di natura ottica:
si deve garantire che la clotoide abbia uno scostamento dal rettilineo sufficiente da essere percepita dall’utente
L > 4.90 (R)1/2
si deve garantire che la clotoide abbia una deviazione per un angolo di ampiezza sufficiente ad essere percepita
A > R/3
per quanto attiene il contraccolpo:
si deve garantire che il contraccolpo sia inferiore ad un valore massimo accettabile
A > 0.021 V2
per quanto attiene le sovrapendenze:
si deve garantire che la rotazione della sagoma stradale non avvenga così velocemente da indurre accelerazioni di rollio eccessive
∆i
max
= 18 B/V
per quanto attiene le pendenze minime di piattaforma:
si deve garantire che la rotazione della sagoma non avvenga troppo lentamente per cui il tratto a pendenza trasversale < 2.5% sia troppo esteso
∆i
min
= 0.1 B
per quanto attiene gli aspetti strettamente geometrici:
si deve garantire che la lunghezza della clotoide non sia superiore ad una lunghezza massima legata alla necessità di inserire un arco di cerchio
L<Rω
Sistemazione planimetrica dei cigli 1
In curva circolare è necessario verificare la necessità di un eventuale allargamento della sezione. Tale allargamento
può essere dovuto ad alcune ragioni riconducibili a condizioni di carattere geometrico, dinamico e riconducibili alla
dinamica di guida.
1.Esigenze geometriche
Un veicolo in curva spazza un’area maggiore rispetto a quella spazzata in rettilineo: la dimensione dell’allargamento δ è facilmente
calcolabile considerando il veicolo in curva e assumendo il Centro Istantaneo di Rotazione dell’atto di moto rotatorio del veicolo
coincidente con il centro dell’arco di cerchi che definisce la curva stradale. In buona approssimazione, assunto CD il passo tra le
ruote anteriori e posteriori, l’allargamento d è pari a δ=CD2/(2R)
2.Esigenze dinamiche
Un veicolo in curva è sottoposto ad un sistema di forze trasversali diverso da zero (una componente della forza centrifuga e una
componente della forza peso). Tali forze determinano una deformazione dello pneumatico. Tale deformazione comporta la
deviazione della traiettoria del veicolo per effetto di deriva. L’angolo di deriva (ω) risulta dipendente dalla rigidezza dello
pneumatico e generalmente è inferiore ai 3°. Quando prevale la forza centrifuga sulla forza peso (in genere autoveicoli) si ha uno
spostamento in avanti del Centro Istantaneo di Rotazione rispetto al Centro della curva con conseguente deriva positiva, nel caso
in cui prevale la forza peso (in genere veicoli pesanti) si ha un arretramento del CIR con conseguente deriva negativa. E’ possibile
valutare d anche in questo caso: δ=(CD-ωR)2/(2R).
3.Esigenze connesse alla dinamica di guida
Il veicolo che percorre una curva ha in genere una traiettoria non coincidente con la geometria dell’asse stradale, e si evidenzia
una dispersione delle reali traiettorie funzione della velocità.
Sistemazione planimetrica dei cigli 2
Laddove non risulti necessario alcun allargamento in curva, nella zona di transizione la planimetria dei cigli è realizzata con una
curva geometrica detta equicentrica.
Infatti l’utilizzo di una clotoide di ciglio non è praticabile poiché:
• fissato il punto di inizio della curva di ciglio (inizio della transizione) e il punto di fine (inizio dell’arco di cerchio), determinato
•
•
•
•
a fronte della necessità di mantenere la sezione stradale di dimensione costante,
risultano due vincoli a fronte di un unico grado di libertà della clotoide (parametro A),
quindi è necessario verificare che l’equazione della clotoide possa soddisfare simultaneamente tali vincoli,
calcolando la lunghezza della eventuale clotoide di ciglio (Lciglio=Lasse[(R-b)/R] 0.5) e quindi l’angolo di deviazione finale, si
può verificare facilmente che l’angolo finale della clotoide di asse è diverso da quello della clotoide di ciglio
quindi non esiste una curva clotoidica che soddisfa i vincoli imposti.
La curva equicentrica è il luogo dei punti individuati lungo l’ortogonale alla tangente alla clotoide di asse nel punto generico P,
distanti dal punto P una lunghezza b pari alla dimensione della corsia. Il generico punto P’ dell’equicentrica risulta dalle
seguenti coordinate, avendo assunto un sistema di riferimento con origine coincidente con il punto di inizio della clotoide di
asse e gli assi coordinati ortogonale e tangente a detta clotoide:
xP’ = xP – b sin α
yP’ = yP + b cos α
essendo P un generico punto della clotoide di coordinate x,y e angolo di deviazione della clotoide in P pari a α
In caso di allargamento, la normativa descrive il metodo da applicare.
Sistemazione altimetrica dei cigli
La sagoma stradale in rettilineo ha una configurazione trasversale diversa da quella in curva, è pertanto necessario provvedere
ad un raccordo altimetrico dei cigli in modo da garantire che tale variazione avvenga con continuità.
In genere tale raccordo si sviluppa lungo il tratto di transizione provvedendo ad una rotazione della sagoma attorno all’asse
stradale in modo da sollevare con continuità il ciglio esterno sino alla quota prevista in curva. Nel tratto in cui avviene tale
rotazione, quando le due falde stradali risultano complanari (pendenza 2,5 % di entrambe nella medesima direzione) si
provvede a ruotare rigidamente l’intera sagoma a doppia falda.
Per gli schemi grafici si faccia riferimento a quanto riportato in normativa.
E’ opportuno sottolineare che nel tratto di raccordo altimetrico dei cigli la sezione stradale si mantiene per uno sviluppo con
pendenze trasversali inferiori al limite di norma del 2,5 %.
Per limitare tale sviluppo della strada ad estensioni contenute, la normativa impone una velocità minima di rotazione della
sagoma in modo che il tratto a pendenza inferiore al 2,5 % resta confinato in uno sviluppo assai modesto e il conseguente
rischio di formazione di un velo idrico conseguente a eventi di pioggia sia basso.
E’ opportuno notare che, laddove l’inizio del raccordo altimetrico dei cigli coincida con l’inizio dell’arco a curvatura variabile
(clotoide), per il tratto di strada compreso tra l’inizio della clotoide e la sezione in cui si ha una pendenza trasversale della falda
esterna nulla (falda orizzontale) si hanno condizioni sfavorevoli rispetto all’equilibrio dinamico del veicolo allo slittamento e al
ribaltamento. Infatti la componente della forza peso connessa alla pendenza trasversale della piattaforma gioca a sfavore di
sicurezza piuttosto che in favore come nel tratto susseguente. Ciò suggerisce di anticipare l’inizio del raccordo altimetrico dei
cigli già nel tratto in rettilineo, in modo da avere in clotoide una pendenza trasversale favorevole alla stabilità del veicolo.
