1 Integratore non invertente Per realizzare un integratore non

Integratore non invertente
Per realizzare un integratore non invertente si può utilizzare il seguente circuito:
Per lo studio del circuito si tiene conto dell'equipotenzialità degli ingressi, V+ = V− , e
che gli ingressi non assorbono corrente, I R = I C e I R 1 = I C1 .
I R1 = I C1 = C
d(Vo − V− )
dV
dVC1
dV
dV
dV
=C
= C o −C − = C o −C + ,
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dove V− è la tensione ai capi della resistenza R collegata tra l’ingresso invertente
dell’amplificatore operazionale e massa. Applicando la legge di Ohm ai suoi capi e
utilizzando la relazione precedente, si ha:
V− = RI R1 = RC
dVC
dV
dV
dV
− RC − = RC C − RC + .
dt
dt
dt
dt
V+ è la tensione ai capi della capacita collegata tra il morsetto non invertente
dell’amplificatore operazionale e massa. Poiché gli ingressi non assorbono corrente la
capacità risulta essere in serie alla resistenza R collegata tra l'ingresso non invertente
dell'amplificatore operazionale e la tensione d'ingresso Vi ; pertanto, la tensione V+ può
essere calcolata come la tensione applicata all’intera serie meno la tensione ai capi di
tale resistenza:
dV+
⎧
⎪I R = I C = C dt
⎪
⎨
⎪V = V − RI
i
R
⎪ +
⎩
⇒ V+ = Vi − RC
dV+
dt
Poiché V+ = V− , uguagliando le espressioni ottenute per V− e V+ , si ha:
1
RC
dVo
dV
dV
− RC − = Vi − RC +
dt
dt
dt
⇒ Vi = RC
dVo
dt
Esplicitando rispetto a dVo ed integrando membro a membro tra Vo (t ) e Vo (0 ) e tra
0 e t , si ha:
1
dVo =
Vi dt ⇒
RC
Vo ( t )
∫ dVo =
Vo (0 )
t
t
1
1
Vi dt ⇒ Vo (t ) − Vo (0) =
Vi dt ⇒
∫
RC 0
RC ∫0
t
⇒ Vo (t ) =
1
Vi dt + Vo (0 )
RC ∫0
Il segnale d'uscita è proporzionale all'integrale del segnale d'ingresso e, rispetto alla
funzione d'uscita dell'integratore invertente, manca il segno meno davanti al termine con
l'integrale, ossia è un integratore non invertente.
Se al tempo t = 0 le capacità sono scariche, per cui V+ (0 ) = V− (0) = Vo (0 ) = 0 , e la
funzione di uscita risulterà:
t
Vo (t ) =
1
Vi dt
RC ∫0
Se mettiamo in ingresso un segnale sinusoidale possiamo ricavare la funzione di uscita
in notazione simbolica. Essendo l'amplificatore operazionale in configurazione non
invertente, si ha:
R − jX C − jX C
− jX C
− jX C ⎞ − jX C
1
⎛
V o = ⎜1 +
⋅ Vi =
⋅
⋅ Vi =
⋅ Vi = −j
⋅ Vi
⎟
R ⎠ R − jX C
R
R − jX C
R
ωRC
⎝
La funzione di trasferimento G (jω) è:
G (jω) =
G (jω ) =
Vo
Vi
= −j
1
ωRC
1
ωRC
Im
Vi
π
ϕ=−
2
Re
Vo
In conclusione, la tensione d'uscita Vo è in ritardo di 90° su Vi e la sua ampiezza
aumenta con il diminuire della frequenza, pertanto l’integratore non invertente presenta
instabilità alle basse frequenze.
2
Derivatore non invertente
Per realizzare un derivatore non invertente si può utilizzare lo schema seguente:
Per lo studio del circuito si tiene conto dell'equipotenzialità degli ingressi, V+ = V− , e
che gli ingressi non assorbono corrente, I R = I C e I R 1 = I C1 .
Applicando la legge di Ohm, si ha:
I R1 = I C1 ⇒
IR = IC ⇒
Vo V−
dV
−
=C −
dt
R
R
⇒ Vo = V− + RC
dV
dV
V+
d(Vi − V+ )
=C
= C i −C +
R
dt
dt
dt
⇒ RC
dV−
dt
dVi
dV
= V+ + RC +
dt
dt
Per l'equipotenzialità degli ingressi, V+ = V− , e uguagliando le due equazioni ottenute,
si ha:
Vo = V− + RC
dV−
dV
dV
= V+ + RC + = RC i
dt
dt
dt
⇒ Vo = RC
dVi
dt
Il segnale d'uscita risulta proporzionale alla derivata del segnale d'ingresso, inoltre
manca il segno meno presente nella funzione d'uscita del derivatore invertente.
Utilizzando come segnale di ingresso un segnale sinusoidale, si calcola la funzione di
uscita in notazione simbolica. Essendo l’amplificatore operazionale in configurazione
non invertente, si ha:
⎛
R
V o = ⎜⎜ 1 +
− jX C
⎝
⎞
R − jX C
R
R
R
⎟⎟
⋅ Vi =
⋅
⋅ Vi =
⋅ V i = jωRC ⋅ V i
− jX C R − jX C
− jX C
⎠ R − jX C
La funzione di trasferimento G (jω) è:
3
G (jω ) =
Vo
Vi
G (jω) = ωRC
Im
Vo
= jωωR
ϕ=
π
2
Vi
Re
In conclusione, la tensione d'uscita Vo è in anticipo di 90° su Vi e la sua ampiezza
aumenta con l'aumentare della frequenza, pertanto il derivatore non invertente presenta
instabilità alle alte frequenze.
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