LA GRANDE SINTESI DI MAXWELL Abbiamo incontrato

LA GRANDE SINTESI DI MAXWELL
Abbiamo incontrato Maxwell in termodinamica (teoria Teoria Cinetica dei Gas )
Nella distribuzione maxwelliana dei gas.
Il maggior contributo alla fisica lo ha dato alla straordinaria sintesi che egli compì di un
secolo di studi e ricerche sui fenomeni elettrici e magnetici, che avevano fatto in un secolo
di studi e ricerche: Michael Faraday, Gauss, Ampére, Oersted, Ohm e molti altri.
Vediamo di cosa stiamo parlando
IL PENSIERO DI FARADAY
Faraday E Oersted, erano convinti che tutte le forze della natura fossero tra loro connesse
in qualche modo. Di conseguenza riteneva che l'elettricità ed il magnetismo non fossero
due realtà separate ma fossero invece due diverse manifestazioni dello stesso fenomeno
fondamentale (derivava dal dei Filosofi della Natura tedeschi ).
Oersted e Faraday cerca e trova il collegamento tra elettricità e magnetismo.
Faraday aveva intuito che le onde si possono propagare lungo le linee di forza elettriche o
magnetiche, ma non possiede gli strumenti matematici per approfondire ciò.
Altri fisici contemporanei sarebbero stati in grado di sviluppare una teoria matematica
delle onde elettromagnetiche, ma essi non capirono il concetto di linee di forza e di csmpo
proposto da Faraday, o perlomeno non lo considerarono sufficientemente valido per
costruire una teoria matematica.
Circa dieci anni dopo, appena completati gli studi, James Clerk Maxwell, il fisico
matematico scozzese, comprese il valore del concetto di linee di forza e riuscì a esprimerlo
in forma matematica. Ed il risultato fu una delle più geniali costruzioni teoriche che la
storia della Fisica ricordi.
LE EQUAZIONI DI GAUSS
I lavori di Oersted, Ampère, Henry e Faraday avevano stabilito due principi fondamentali
dell'elettromagnetismo, poi sintetizzati da Carl Fredrich Gauss nei seguenti due teoremi:
1) Un corpo carico produce nello spazio circostante delle linee di forza elettriche, il cui
flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla somma delle cariche poste al suo
interno divisa per la costante dielettrica.
Il teorema ha il seguente significato fisico: esiste il monopolo elettrico, cioè la carica
elettrica singola, ed essa è sorgente o pozzo di campo elettrico a seconda che sia positiva o
negativa.
2) Una corrente elettrica che circola in un conduttore produce delle linee di forza
magnetiche attorno al conduttore, il cui flusso attraverso una superficie chiusa è sempre
nullo.
Il teorema ci dice invece che il campo magnetico è solenoidale, ovvero che le linee di forza
sono sempre chiuse, e NON esiste il monopolo magnetico. Spezzando un magnete in due,
trovo sempre due magneti dotati entrambi di polo Nord e polo Sud.
Maxwell negli anni tra il 1860 ed il 1870, sviluppò una teoria matematica
dell'elettromagnetismo nella quale partì da questi due teoremi, che oggi chiamiamo
PRIMA e SECONDA EQUAZIONE DI MAXWELL, in modo da poter determinare i
campi elettrici e magnetici presenti nei conduttori, negli isolanti e anche nello spazio privo
di materia.
LA CORRENTE DI SPOSTAMENTO
Durante il decennio successivo, Maxwell elabora una teoria per l'induzione elettrica e
magnetica proponendo inizialmente un modello meccanico per visualizzare le relazioni
esistenti tra le grandezze elettriche e magnetiche osservate sperimentalmente da Faraday e
soci.
Successivamente riesce a descrivere il funzionamento del modello con un sistema di
quattro equazioni ( Equazioni di Maxwell) dalle quali si possono ottenere tutte le proprietà
dei campi elettrici e magnetici, molto più efficaci del modello meccanico che fu
abbandonato dallo stesso M.
Il lavoro di Maxwell contiene alcune idee completamente nuove e ricche di conseguenze:
a) un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico.
b) non solo le correnti nei conduttori producono dei campi attorno ad essi, ma anche i
campi elettrici variabili negli isolanti come il vetro o l'aria producono dei campi
magnetici.
Anche se si accetta facilmente l'esistenza di questo nuovo legame tra i campi elettrici e
magnetici, così come è stato formulato, è ben più difficile accettare un nuovo ed
importantissimo fenomeno previsto dalle equazioni di Maxwell, ma che ai tempi dello
scienziato scozzese non solo non era ancora noto, ma non risultava neppure lontanamente
immaginabile.
Consideriamo un isolante elettricamente neutro (per esempio un pezzo di vetro o di
legno): esso contiene lo stesso numero di cariche positive e negative. Di solito queste
cariche sono distribuite uniformemente, cosicché la carica totale è zero in ogni regione del
materiale.
Ma quando un isolante è posto in un campo elettrico, queste cariche sono soggette a forze:
le cariche positive sono spinte in una direzione e quelle negative nella direzione opposta.(
polarizzazione)
Al contrario di quanto avviene in un conduttore, le cariche presenti in un isolante non
possono allontanarsi sensibilmente dalle loro posizioni di equilibrio perché, non appena
subiscono un piccolo spostamento, nasce una forza di richiamo, dovuta alla struttura
interna dell'isolante stesso, che equilibra la forza prodotta dal campo elettrico.
Aumentando l'intensità del campo elettrico, anche le cariche si sposteranno in misura
maggiore. In particolare, se si applica a un isolante un campo elettrico variabile, le cariche
si spostano generando una corrente variabile che Maxwell chiamò Corrente di
Spostamento.
Maxwell formulò l'ipotesi che questa corrente di spostamento momentanea in un isolante
sia in grado di indurre nello spazio che la circonda un campo magnetico, proprio come
farebbe una corrente di conduzione.
Inoltre ipotizzò che questo modello, sviluppato per la materia, fosse valido anche per lo
spazio privo di materia (un'idea che a prima vista può sembrare assurda), quindi un
campo elettrico variabile nel tempo sia circondato da un campo magnetico anche nello
spazio vuoto.
Questa idea rappresentava un'ulteriore previsione di Maxwell, perché come sappiamo fino
a quel momento si pensava che solo le correnti in un conduttore potessero produrre un
campo magnetico.
L'ulteriore campo magnetico che, secondo Maxwell, sarebbe stato generato da un campo elettrico
variabile, anche nello spazio vuoto, è così debole rispetto a quello prodotto da una corrente in un
conduttore che, a quei tempi, non era possibile misurarlo direttamente. Ma Maxwell previde
anche delle conseguenze che poterono ben presto essere verificate.
L'esistenza della corrente di spostamento anche nello spazio privo di materia è giustificata
dalla situazione illustrata nella figura.
Consideriamo un circuito RC in corrente continua è
come se il circuito fosse aperto, non passa alcuna
carica elettrica, e la circuitazione del campo elettrico
calcolata lungo il percorso chiuso 1 è nulla sia
prendendo in considerazione la superficie piana a che
quella curva b, essendo nulla la corrente concatenata
con le due superfici, cioè che le "buca" entrambe.
Diverso è il discorso se la corrente i è variabile nel
tempo ( ad esempio corrente di transizione).
La circuitazione del campo B lungo la linea l è pari,
per il teorema della circuitazione di Ampére
𝐶𝑙 ( 𝐵) = 𝜇0 ∙ 𝑖
Ma tale circuitazione è pari a zero se si prende in
considerazione la superficie b passante fra le armature
del condensatore, perché non c’è nessuna corrente che
"buca" la superficie.
Questo paradosso può essere risolto solo ammettendo l'esistenza, nello spazio vuoto tra le
due armature, di una corrente che non è di conduzione, non essendoci cariche da spostare
materialmente, ma che agli effetti del teorema della circuitazione di Ampére è equivalente
ad una corrente di conduzione.
Maxwell identificò tale corrente con la suddetta Corrente di Spostamento e, siccome
essa dipende dalla rapidità con cui varia la posizione delle cariche, concluse che essa deve
essere direttamente proporzionale alla rapidità con cui il campo elettrico varia nel tempo,
o meglio dalla rapidità con la quale varia nel tempo il flusso del campo elettrico attraverso
una superficie che ha come contorno il percorso l. E così il genio di Edimburgo attribuì ad
essa la seguente espressione:
Di conseguenza la legge di Ampére-Maxwell sull'induzione magnetica, fino ad ora scritta
nella forma C(B) = µ0 i, deve essere così modificata:
perché alla corrente di conduzione i va aggiunta quella di spostamento is.
Essa costituisce la TERZA EQUAZIONE DI MAXWELL.
E GENERA B, B GENERA E
Certamente questa ipotesi potrà apparire come un escamotage matematico volto a
salvaguardare la veridicità del teorema di Ampére; la corrente è sempre stata intesa come
un moto di cariche elettriche; non si capisce dunque, a prima vista, come la formula che
esprime is possa essere definita una corrente.
Ma il significato più profondo che emerge dalla terza equazione: essa ci dice che il campo
magnetico che circonda la corrente di spostamento può essere considerato una
conseguenza della variazione nel tempo del campo elettrico.
Secondo la teoria elaborata da Maxwell, insomma, i due principi fondamentali
dell'elettromagnetismo, che abbiamo già ricordato poco sopra e che erano già stati stabiliti
da altri scienziati, dovevano essere integrati da un terzo:
3) un campo elettrico variabile nello spazio produce un campo magnetico.
Il vettore B del campo magnetico indotto sta in
un piano perpendicolare al vettore E del
campo elettrico variabile e l'intensità di B
dipende dalla rapidità con cui varia E.
Consideriamo dunque una coppia di
conduttori piani collegati a un generatore di
corrente, come nella figura a sinistra. Mentre le
cariche si avvicinano o si allontanano dai piatti
attraverso i conduttori collegati alla corrente,
l'intensità E del campo elettrico nello spazio
tra i piatti varia nel tempo. Come si è già visto,
questo campo elettrico variabile produce un
campo magnetico nel quale l'intensità del
vettore in un dato istante varia con la distanza
dai piatti (naturalmente nella figura sono
riportate solo alcune tra le infinite linee di
forza di E e B). Cambiando segno alla carica
sulle armature, e quindi il verso del campo
elettrico da a) a b), anche le linee di forza del
campo magnetico indotto cambiano verso.
Questo è il significato fisico della Terza
Equazione di Maxwell.
Un'altra proprietà dei campi elettrici e magnetici,
già nota prima di Maxwell, acquista un nuovo
significato alla luce del suo lavoro, poiché risulta
simmetrica alla formulazione, enunciata poc'anzi,
del terzo principio:
4) un campo magnetico variabile nello spazio
produce un campo elettrico.
Il vettore E del campo elettrico indotto sta in un
piano perpendicolare al vettore B del campo
magnetico variabile, e l'intensità di E dipende dalla
rapidità con cui varia B. Osserviamo il campo
magnetico variabile prodotto, per esempio, dal
momentaneo aumento della corrente in un
elettromagnete, come quello nella figura a destra.
Questo campo magnetico variabile induce un campo elettrico nella regione attorno al
magnete. Se un conduttore è allineato con la direzione del campo elettrico indotto, le
cariche elettriche libere nel conduttore si muoveranno per effetto del campo, producendo
una corrente nella stessa direzione del campo indotto. Anche in questo caso, invertendo
(da a) a b) in figura) le linee di forza del campo magnetico, anche quelle del campo
elettrico mutano verso.
Questo fenomeno di induzione elettromagnetica era stato scoperto sperimentalmente
(manco a dirlo!) dal solito Faraday, ed infatti la legge matematica che la esprime è nota
come equazione di Faraday-Neumann-Lenz:
Essa significa che la circuitazione del campo elettrico indotto dal campo magnetico
variabile nel tempo è pari alla variazione nel tempo del flusso di tale campo magnetico
induttore. Il segno meno indica che la corrente indotta ha segno opposto alla variazione di
flusso che la produce, ed è nota come legge di Lenz.
L'equazione di Faraday-Neumann-Lenz, costituisce la QUARTA EQUAZIONE DI
MAXWELL.
A partire dalle quattro equazioni di Maxwell, è possibile ricavare in ogni punto il valore
del campo elettrico e del campo magnetico, a patto di conoscere:
i) la distribuzione delle cariche nello spazio;
ii) la distribuzione delle correnti nei mezzi materiali o nel vuoto.
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
L'insieme completo di relazioni tra i campi elettrici e magnetici proposto da Maxwell non
fu subito direttamente verificabile. Egli, però, aveva previsto anche un fenomeno affatto
nuovo che avrebbe dovuto insorgere per effetto delle reciproche interazioni tra campi
elettrici e magnetici variabili. Per capire di cosa si tratta, supponiamo che in una certa
regione di spazio ad un certo istante si determini una variazione del campo elettrico,
originato, per esempio, da un moto accelerato di cariche elettriche. Nei punti
immediatamente vicini si produce allora, per la terza equazione di Maxwell, un campo
magnetico anch'esso variabile nel tempo. La variazione del campo magnetico, per la
quarta equazione di Maxwell, origina nei punti immediatamente vicini un campo elettrico
anch'esso variabile, e così via. Nasce in tal modo una perturbazione elettromagnetica che si
propaga nello spazio.
La perturbazione elettromagnetica può avere origine anche dalla variazione di un campo
magnetico, causata, per esempio, da una variazione di corrente.
Supponiamo, per esempio, che l'intensità di corrente che percorre un filo, passi
bruscamente da un certo valore i a zero; diminuisce di conseguenza il campo magnetico di
questa corrente dal valore B, corrispondente al massimo valore della corrente, a zero. La
variazione di B (quarta equazione di Maxwell) produce nei punti immediatamente vicini
un campo elettrico variabile, che a sua volta genera nella regione circostante un campo
magnetico variabile nel tempo e così via.
Il fatto che una variazione del campo magnetico in un punto produce un campo elettrico
variabile era noto già prima di Maxwell, in quanto era previsto dalla legge di FaradayNeumann; si pensava però che, allorché un campo magnetico bruscamente diminuiva da
un valore massimo a zero, altrettanto doveva fare il campo elettrico e il tutto cessava dopo
un piccolo intervallo di tempo dall'istante in cui si era annullato il campo magnetico. Il
fatto nuovo previsto da Maxwell è proprio questo: i campi elettrico e magnetico generati
dalla variazione nel tempo di uno dei due sono in grado di autosostenersi, cioè di
propagarsi anche se la variazione iniziale che li ha prodotti p venuta meno!
Se ne conclude che, da una brusca variazione di un campo elettrico o magnetico nel
tempo, ha origine la propagazione di un impulso elettromagnetico, così come da un
rapido spostamento di un'estremità di una molla ha origine la propagazione di
un impulso elastico che si propaga lungo tutta la molla. In altri termini la configurazione
dei campi non è immobile, ma si propaga nello spazio, in modo che il valore del campo
elettrico e del campo magnetico in un punto e ad un certo istante si ritrovano dopo un
intervallo di tempo in altri punti vicini ad opportuna distanza.
Se si produce invece una variazione che dura nel tempo, eventualmente periodica, di un
campo elettrico o magnetico in un punto, si origina conseguentemente la propagazione di
una successione continua d'impulsi elettromagnetici, cioè un'ONDA che noi chiameremo
per l'appunto onda elettromagnetica, nello stesso modo in cui, muovendo con continuità
un'estremità di una molla tesa, si genera un'onda elastica che si propaga lungo tutta la
molla.
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali: il campo elettrico ed il campo magnetico,
infatti, oltre ad essere sempre ortogonali tra loro, sono sempre perpendicolari anche alla
direzione di propagazione, come illustra la figura seguente:
I vettori E e B misurati in un punto e ad un determinato istante formano, insieme con la
direzione di propagazione, una terna destrorsa, ossia una terna di vettori tale che un
osservatore disposto lungo la direzione di propagazione che riceve frontalmente i campi
vede sempre E alla sua destra e B alla sua sinistra. In altri termini, le direzioni di E, di B e
quella di propagazione sono tali che una vite destrorsa, disposta perpendicolarmente al
piano di E e di B, mentre ruota nello stesso verso secondo cui deve ruotare E per
sovrapporsi a B, avanza nella direzione di propagazione dell'onda elettromagnetica.
La direzione del campo elettrico E in un punto, e conseguentemente anche quella del
campo magnetico, in generale può variare col tempo, mantenendosi però sempre
ortogonale alla direzione di propagazione; se invece la direzione di E non varia, l'onda
elettromagnetica è polarizzata rettilineamente. Una proprietà notevole delle onde
elettromagnetica, che consegue direttamente dalle equazioni di Maxwell, è la seguente: il
campo elettrico e quello magnetico sono sempre in fase fra loro. Inoltre, assieme all'onda
elettromagnetica si ha anche una propagazione di energia con la stessa velocità dell'onda.
Lo stesso Maxwell dedusse teoricamente dalle sue celebri equazioni che le onde
elettromagnetiche si propagano nel vuoto con velocità c, data dalla formula:
dove ε0 = 8,859 · 10-12 F m-1 rappresenta la costante dielettrica del vuoto, e µ0 = 12,56 · 107 H m-1 è la permeabilità magnetica del vuoto. Sostituendo nella formula precedente i
valori delle due costanti ho:
c = 2,9979 · 108 m s-1 ≈ 300.000 Km s-1
Il valore della velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto coincideva
dunque con buona approssimazione con quello della velocità della luce, già noto dalle
esperienze di Fizeau e Foucault. Questo fu un risultato clamoroso che mise in evidenza lo
straordinario potere unificante delle equazioni di Maxwell.
Egli, avendo notato che le onde elettromagnetiche e la luce, oltre ad essere caratterizzate
entrambe da vibrazioni trasversali, si propagano con la stessa velocità, avanzò l'ipotesi
della natura elettromagnetica della luce, e così l'ottica divenne un capitolo
dell'elettromagnetismo.