Campo magnetico
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A Scimone
CAMPO MAGNETICO STATICO
Il campo magnetico è una forma di interazione fra particelle esistenti in natura.
Effetti magnetici sulla materia sono noti fin dall'antichità a causa del fatto che esistono
determinati materiali che nel loro intorno producono una forza in grado di attirare altri
materiali.
La scienza magnetismo ebbe origine dalla osservazione che certe pietre (magnetite)
attraggono pezzetti di ferro. La parola magnetismo ha origine nella zona di Magnesia
nell'Asia Minore, località nella quale furono trovate tali pietre.
Un magnete naturale è la terra la cui azione orientatrice su un ago magnetico è nota fin dai
tempi remoti.
Tuttavia la conoscenza degli effetti magnetici e delle sorgenti del campo magnetico rimase
oscura fino alla prima metà del secolo scorso. Nel 1820 Oersted scoprì che una corrente in
un filo produce effetti magnetici e collegò le scienze, fino al momento separate, del
magnetismo e dell'elettricità.
Diciamo che lo spazio attorno ad un magnete è sede di un campo magnetico, così come
abbiamo detto che lo spazio nelle vicinanze di una bacchetta carica è sede di un campo
elettrico.
G
Il vettore fondamentale B del campo magnetico è chiamato induzione magnetica e viene
rappresentato mediante linee di induzione, così come il campo elettrico è stato
rappresentato con linee di forza.
G
Vogliamo ora definire
G il campo magnetico B dal punto di vista operativo. Come abbiamo
fatto nel definire E , prendiamo una piccola carica positiva come corpo di prova e la
immergiamo in un campo magnetico uniforme. Se la carica è in quiete non si nota alcun
fenomeno e la carica rimane nel suo stato in cui si trovava.
Se la carica viene introdotta con una velocità iniziale, si instaurano delle forze legate alla
intensità del campo magnetico presente nella regione considerata.
Legge di Lorentz.
F
B
q
φ
v
G
Sia B un campo magnetico uniforme e sia q una carica elettrica che si muove con velocità
r
v nel
magnetico. La forza di Lorentz assume la forma
G campo
G G
F = qv ∧ B
il modulo sarà:
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G
F = qvBsin α
G
G
dove α è l'angolo fra Gv e B .
L'unità di misura di B è il (newton/coulomb) (metro / secondo)-1 alla quale si dà, nel S.I. il
nome di Tesla (simbolo T). Ricordando che un coulomb/secondo è un ampere si ha:
1 tesla = 1 newton/(ampere
. metro)
G
G
G
La direzione di F è perpendicolare al piano di B e v (e quindi perpendicolare al piano
del disegno) ed il verso è dato dalla regola della mano destra (uscente dal foglio).
Nell'ipotesi
che la carica q sia positiva:
G
G G
F = qv ∧ B
G G
inoltre F⊥v per cui il lavoro elementare sarà:
G G
G G
G
dL = F ⋅ dl = FG ⋅ vdt dove G dl = vdt
G
G
per cui essendo F⊥v avremo F ⋅ v = 0 e quindi dL = 0. Si ha:
Il lavoro di una forza di tipo magnetico su di una particella carica che si muove nel campo
magnetico è nullo.
Questo ci porta a concludere che l'energia cinetica di un corpo immerso in un campo
G
magnetico non viene modificata, per cui cambia il vettore velocità v ma non il modulo ( v 2
rimane invariato). Si ha quindi una forza centripeta e quindi il corpo si muoverà di moto
circolare uniforme.
Nel caso di un elettrone che viene immesso in un campo magnetico uniforme con una
G
velocità v
xxxxx
xx xxx
-q
v
Fx x x
xxx
xxx
xxx r xxxxxx xx
xxxxxxxxxxxxxx
B
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
esso percorrerà una traiettoria circolare con velocità angolare costante. Dalla legge di
Lorentz avremo:
F = evBsin
π
2
Essendo F una forza centripeta si ha anche:
mv 2
F=
r
per cui avremo:
mv 2
F = evB =
e quindi
r
mv
r=
eB
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essendo inoltre v = ω r otteniamo
eB
ω=
m
In generale se abbiamo una carica q si ha:
qB
ω=
m
G
Supponiamo
che
il
campo
magnetico
B
sia uniforme in una certa regione dello spazio
G
G che
G
v e B non siano ortogonali e che la velocità della particella formi un angolo α con B
G.
Scomponiamo la velocità in due componenti, una perpendicolare ed una parallela a B .
Ricordiamo
che la forza di Lorentz è data da:
G
G G
F = qv ∧ B
G G
G G
G
per cui se v / / B v ∧ B = 0 e la forza agisce solo sulla componente ortogonale v ⊥ ed il
raggio della circonferenza descritta dalla particella sarà.
mv⊥
r=
qB
La velocità angolare sarà
v
ω= ⊥
r
Il periodo di rotazione sarà quindi:
2 π 2 πr
=
T=
ω
v⊥
G
G
Poiché la v / / e B rimangono invariati la traiettoria non sarà una circonferenza piana ,
perché mentre la particella descrive una circonferenza si sposterà anche verso l'alto con
velocità costante, si avrà quindi un'elica cilindrica (il cui asse è la direzione di B) avente un
passo p
2π
p = v/ / T = v/ /
r
v⊥
mv⊥
essendo r =
avremo:
qB
2 π mv⊥ 2 πmv / /
p = v/ /
=
v⊥ qB
qB
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Forza magnetica su una corrente.
Una corrente è un insieme di cariche in moto. Poiché un campo magnetico esercita una
forza trasversale su una carica in movimento, ci aspettiamo che eserciti una forza anche sul
filo percorso da corrente.
G
supponiamo di introdurre un conduttore percorso da corrente in un campo magnetico B .
Si ha:
G
G G
f 1 = − ev ∧ B
ut
G
G
Sia u t il versore che è tangente al conduttore in ogni suo punto , f vol la forza per unità di
volume ed n il numero di elettroni. Si ha:
G
G G
f vol = n f 1 = − nev ∧ B
essendo G
G
− nev = J
avremo: G G
f vol = J ∧ B .
La forza
che si esercita
G
G G su un volume del conduttore dV = S dl sarà
dF = f vol dV = J ∧ B S dl
essendo
G
G
J = J ut
avremo
G
G
G
J dl = J dlut = J dl
sostituendo avremo
G G
G
dF = J S dl ∧ B
Se la densità di corrente è uniforme e perpendicolare al conduttore si ha J S = I e quindi:
G G
G
dF = I dl ∧ B
G
G
G
e dF dipende dalla direzione di dl e da B.
Per trovare la forza agente sul circuito, basta calcolare l'integrale di linea. Si ha:
G G
G
F = I ⋅ ∫ dl ∧ B
l
