L ' ACCELERAZIONE
Tutti pensiamo di sapere intuitivamente cosa sia l'accelerazione, ma non sempre abbiamo le idee sufficientemente
chiare. Per comprendere meglio facciamo un esempio : due dragsters, come quelli in figura, partecipano ad una
gara di accelerazione con partenza da fermo. Entrambi, dopo la partenza, vedono aumentare la propria velocità.
Vince chi riesce a sviluppare la maggiore accelerazione ovvero a far aumentare più rapidamente la propria velocità.
Grande accelerazione
Piccola accelerazione
Accelerazione nulla
Accelerazione negativa
Accelerazione = Variazione di velocità nell'unità di tempo
=
=
=
=
la velocità cresce molto rapidamente
la velocità cresce lentamente
la velocità non cambia ( moto uniforme)
la velocità diminuisce al passare del tempo
Nel S.I. il valore della accelerazione indica quindi di quanto cambia la velocità in ogni secondo.
Può essere considerata "la velocità con cui varia la velocità" .
E' una grandezza vettoriale perchè ha una direzione ed un verso. Può essere quindi rappresentata con un vettore
COME SI CALCOLA L'ACCELERAZIONE DI UN CORPO IN MOVIMENTO
Vogliamo calcolare l'accelerazione della nuova auto di Giangi , ansioso di mostrare la potenza del bolide agli amici che hanno predisposto la strumentazione di misura
necessaria. Dopo la partenza l'auto , quando il cronometro segna 15s , passa dalla postazione n.1 in cui un primo autovelox, chiesto in prestito alla Polizia Stradale, indica
che la velocità vale V1 = 20 m/s, poi transita davanti ad un secondo autovelox che indica una velocità di 39 m/s quando il cronometro segna 20s .
t0 = 0
V0 = 0
t1 = 15 s
V1 = 24 m/s
t2 = 20 s
V2 = 39 m/s
a = costante
0
A-B = tratto di percorso per il quale si
vuole calcolare il valore della accelerazione
1
1- calcolo la variazione totale di velocità ∆V nel tratto 1-2 come differenza tra V2 e V1
2 - calcolo il tempo ∆t inpiegato dall'auto per andare dalla posizione 1 alla posizione 2 , in secondi, come differenza tra i valori t2e t1 segnati dal cronometro
3 - ora sapendo quanto vale l'aumento di velocità ed in quanto tempo è avvenuto è sufficiente eseguire la divisione : variazione di velocità/ secondi impiegati
2
Anche ΔV ovvero la variazione di
velocità può essere rappresentata con
un vettore come differenza tra V2 e V1
-V1
a=
Δv v2 - v1
=
Δt
t2 - t1
Unità di misura del S.I. =
(
m
m 1
m
s
=
= 2
s
s s
s
)
( metri al secondo quadrato )
Nel nostro caso :
a=
v2 - v1 39 - 24
Δv
=
=
Δt
20 - 15
t2 - t1
=
15
m
= 3,0 2
s
5
Questo significa che la velocità dell'auto
aumenta di 3 m/s per ogni secondo che passa
V2
Δv = 39 - 24 = 15 m/s
Quindi anche l'accelerazione a, come
variazione di velocità nell'unità di tempo,
può essere rappresentata con un vettore
avente direzione e verso di Δv
a = 15/5 = 3 m/s
2
Accelerazione negativa
a = - 5,0
m
s2
Questo significa che la velocità diminusce (segno -) di 5 m/s per ogni secondo che passa.
Il mobile quindi sta rallentando.
In questo caso il vettore che rappresenta l'accelerazione avrà verso opposto al movimento
ESEMPIO 10
a = - 5 m/s 2
Un'automobile di F1 partendo da ferma raggiunge la velocità di 100 Km/h in un tempo di 2,5 s .
Calcola il valore dell'accelerazione media della vettura.
Innanzitutto , prima di eseguire il calcolo, dobbiamo verificare che le unità di misura siano coerenti.
Nel nostro caso le riporteremo a quelle del S.I. trasformando quindi i Km/h in m/s.
100 Km/h = 100/3,6 m/s = 27,78 m/s
a questa punto possiamo calcolare il valore dell'accelerazione :
a = Δv/Δt = 27,78 / 2,5 = 11,1
m
s2
NB : Un Dragster (circa 8000 CV , gomme posteriori di dimensioni generose e carburanti particolari) percorre 1/4 di miglio (402 m) in circa 5 s , raggiungendo
velocità vicine ai 500 Km/h. L'accelerazione media si attesta intorno ai 28-30 m/s^2 . Per fermarlo sono poi necessari i paracadute.
ESEMPIO 11
CIRCUITO DI MONZA
Prima Variante (01)
Una delle frenate più dure del campionato. Le monoposto passano
da 341 Km/h a circa 85 Km/h per affrontare la prima curva in 2,50 s .
Calcolare il valore della decelerazione media.
(Dati Ufficiali BREMBO 2014)
Innanzitutto , prima di eseguire il calcolo, trasformiamo le unità di misura delle
velocità da Km/h a m/s.
341 Km/h = 3413,6 m/s = 94,72 m/s
85 Km/h = 85/3,6 m/s = 23,61 m/s
a=
-71,11
Δv v2 - v1 23,61 - 94,72
m
=
=
= - 28,44 2
=
s
2,5
Δt
2,5
t2 - t1
NB : la velocità diminuisce di 28,44 m/s ovvero 103 Km/h in un secondo.
Questo valore è pari a circa 3 volte l'accelerazione di gravità (accelerazione di caduta libera) e per
questo viene indicata normalmente con il valore 3g (g=9,8 m/s^2 = accelerazione di gravità )
Le F1 attuali sono molto più efficienti in fase di frenata che in fase di accelerazione , dove è difficile
riuscire a scaricare a terra tutta la potenza.
In realtà la decelerazione non è uniforme e raggiunge il massimo valore in prossimità della curva
dove, secondo i dati BREMBO 2014 riportati in figura, si attesta attorno a 5,5 g .
ESEMPIO 12
Un'automobile si muove alla velocità di 90 Km/h . Ad un certo punto viene impressa una accelerazione costante di 0,50 m/s^2
Dopo quanto tempo l'auto avrà raggiunto la velocità di 108 Km/h ?
Innanzitutto , prima di eseguire il calcolo, dobbiamo verificare che le unità di misura siano coerenti.
Nel nostro caso le riporteremo a quelle del S.I. trasformando quindi i Km/h in m/s.
90 Km/h = 90/3,6 m/s = 25,00 m/s
108 Km/h = 108/3,6 m/s = 30,00 m/s
A questa punto possiamo calcolare l'aumento totale della velocità :
Δv = 30,0 - 25,0 = 5,0 m
s
Procedendo all'inversione della formula di calcolo della accelerazione si ottiene il valore del tempo impiegato per effettuare questo aumento di velocità :
a=
Δv
Δt
Δt * a =
Δv
* Δt
Δt
Δt * a = Δv
Δt * a = Δv
a
a
Δt =
Δv
a
Δt =
5,0
= 10,0 s
0,5
ESEMPIO 13
Un'automobile si muove alla velocità di 108 Km/h . Azionando i freni decelera uniformemente di 5 m/s^2 fino a fermarsi.
In quanto tempo si arresta ?
Trasformiamo innanzitutto i Km/h in m/s.
108 Km/h = 108/3,6 m/s = 30,00 m/s
Ovviamente la velocità finale dell'auto vale 0,00 m/s. La variazione di velocità vale quindi :
Δv = 30,0 - 0,00 = 30,0 m
s
Procedendo all'inversione della formula di calcolo dell'accelerazione si ottiene il valore del tempo impiegato per arrestarsi :
Δt =
Δv
a
Δt =
0,0 - 30,0
-5
=
-30,0
-5
= 6s
N.B. : Il valore della accelerazione deve essere inserito con il segno negativo trattandosi di decelerazione . Dimenticare il segno negativo significa ottenere un
valore negativo del tempo impiegato che ovviamente non ha alcun senso fisico.
IL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO =
Moto che avviene mantenendo l'accelerazione costante
a = cost
Le grandezze che descrivono questo tipo di moto sono quattro : Spazio , tempo , velocità , accelerazione (cost.)
Queste grandezze sono legate tra loro. Vediamo come determinare la velocità di un corpo in movimento in funzione del tempo trascorso :
Un'auto si muove con accelerazione
costante. Nel momento in cui facciamo
scattare il cronometro la velocità avrà
un valore iniziale V0. Trascorso il
tempo t la velocità avrà raggiunto un
valore indicato con v.
Δv = a * Δt = a * (t-0) = a * t
V0
V
a = costante
t=0
Il valore della velocità finale nel tratto
esaminato può essere ottenuto
sommando alla velocità iniziale v0
l'aumento di velocità avvenuto nel
tempo t, come indicato qui a fianco.
accelerazione nel tratto
di percorso esaminato
(costante)
v = v0 + a * t
velocità finale nel tratto
di percorso esaminato
(variabile)
t
tempo impiegato a percorrere il
tratto di percorso esaminato
(variabile)
1° LEGGE ORARIA
DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Formula che descrive il legame tra le grandezze
fisiche V e t che descrivono il movimento e
permette di prevedere quale sarà il valore della
velocità in qualunque istante.
aumento della velocità
nel tempo t
velocità iniziale nel tratto
di percorso esaminato
(valore fisso)
NB : - E' il legame tipico di correlazione lineare tra due grandezze variabili
V(m/s)
- Nel Moto Uniformemente Accelerato Velocità e Tempo trascorso sono linearmente dipendenti
- Il grafico v -t nel Moto Uniformemente Accelerato sarà quindi rappresentato da una retta
- Un tratto rettilineo del grafico v-t (segmento) rappresenta un tratto di moto uniformemente accelerato
- Nel Moto Uniformemente Accelerato la velocità varia di quantità uguali in tempi uguali
V0
O
t(s)
ESEMPIO 14
La nuova Panda a metano del prof. sfreccia davanti alla pattuglia della Polizia Stradale,
dotata di autovelox, alla velocità di 20 m/s accelerando in modo costante di 2 m/s^2 .
Scrivere la legge oraria della velocità dell'auto.
Disegnare il grafico v-t che descrive il moto della Panda.
Che velocità raggiungerebbe il bolide continuando ad accelerare nello stesso modo per
2 minuti supponendo che ne sia capace e non esploda nulla ?
per rappresentare sul grafico questa funzione
dobbiamo attribuire a t alcuni valori (arbitrari)
e calcolare i corrispondenti valori di V
V = 20 + 2 * t
1° Legge Oraria :
t(s) V(m/s)
V(m/s)
50
0
20
2
24
4
28
6
32
20
8
36
10
10
40
40
30
O
Per rispondere alla domanda successiva bisogna prima di
tutto trasformare l'intervallo di tempo di 5 min. in secondi
quindi applicare la legge oraria
2 min = 2 * 60 = 120 s
V = 20 + 2 * 120 = 260 m/s
5
10
t(s)
Ovvero 936 Km/h
(La velocità di un Jet di linea !!!!)
SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA ACCELERAZIONE - Diagramma V-t
Valore elevato della
accelerazione
ΔtAB = lunghezza del segmento AH in figura
Piccola
pendenza (AB)
Valore basso della
accelerazione
Quindi il valore della accelerazione è dato dal rapporto BH/AH tra i due
segmenti rappresentati in figura.
Come sappiamo questo rapporto rappresenta la pendenza del segmento AB
Pendenza
nulla (BC)
Valore nullo della
accelerazione ( V = cost)
ΔVAB = lunghezza del segmento BH in figura
V(m/s)
B
C
ΔVAB
Grande
pendenza (OA)
Il valore della accelerazione nel tratto generico A-B è dato dal rapporto
ΔtAB
10
ΔVAB
A
8
H
ΔtAB
Il valore della Accelerazione nel diagramma V-t coincide con la pendenza
del segmento che rappresenta la 1° legge oraria
O
2
5
7
t(s)
Il segmento OA presenta una pendenza molto superiore a quella del segmento AB, infatti nel tratto OA la velocità aumenta
molto più rapidamente che nel tratto AB.
E' il caso di notare che il segmento BC presenta pendenza nulla; questo significa che la velocità non cambia . La velocità è
costante quindi l'accelerazione è nulla.
Ogni tratto di percorso effettuato con accelerazione costante è rappresentato sul grafico V-t da un segmento, in quanto la
pendenza (che coincide con il valore della accelerazione) non può variare.
Pendenza negativa
V(m/s)
B
Dopo il punto C il movimento prosegue con l'andamento della velocità
rappresentato nella figura a fianco, fino al punto D.
C
10
p
C en
a urv den
= a za
po cr p
sit esc os
iva e iti
nt va
e
pendenza = 0
a=0
tiva
ga e
ne ent
za sc
en re
nd ec a
pe rva d gativ
cu = ne
a
A
8
D
O
2
5
7
Possiamo notare che, in questo tratto, al trascorrere del tempo la velocità
diminuisce ; possiamo quindi concludere che il corpo sta rallentando.
Calcoliamo il valore della accelerazione :
Tratto C-D
aCD
=
11
ΔVCD
ΔtCD
=
VD - Vc
tD - tC
=
0 - 10
11 - 7
=
-10
4
= - 2,5 m/s^2
Il segno meno indica che la velocità diminuisce di 2,5 m/s per ogni secondo che passa. Il corpo sta quindi rallentando.
La accelerazione ha verso opposto a quello (positivo) dei due tratti precedenti.
Il tratto DC ha pendenza negativa ovvero è decrescente.
NB : quando il cronometro segna 11s il corpo ha raggiunto v = 0 , ovvero si è fermato.
CALCOLO DELLO SPAZIO PERCORSO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO - Diagramma S-t
Un'auto si muove con accelerazione costante. Nel momento in cui facciamo scattare il cronometro la velocità avrà un valore iniziale V0. Trascorso il tempo t la velocità avrà
raggiunto un valore indicato con v.
S
V0
V
a = costante
t=0
2° LEGGE ORARIA
DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Formula che descrive il legame tra le grandezze fisiche S e t che
descrivono il movimento e permette di prevedere la distanza a cui
si troverà l'auto in qualsiasi istante.
S
= V0 t +
Spazio che l'auto
t
percorrerebbe se si muovesse
con la velocità iniziale
Incremento dello Spazio
percorso per effetto della
accelerazione ( quindi del fatto
1 2
che la velocità cambia)
at
2
S(m)
N.B. : -
E' un legame di secondo grado tra due grandezze variabili ("proporzionalità quadratica" )
Nel Moto Uniformemente Accelerato Spazio e Tempo sono legati da una funzione di secondo grado
Il grafico S - t nel Moto Uniformemente Accelerato sarà quindi rappresentato da un ramo di parabola
Un tratto parabolico del grafico S - t rappresenta un tratto di moto uniformemente accelerato
O
t(s)
- Un tratto parabolico del grafico S - t rappresenta un tratto di moto uniformemente accelerato
PARTENZA DA FERMO
Nel caso in cui un corpo parta da fermo ed acceleri in modo costante le due leggi orarie del moto si semplificano diventando :
v = a*t
V0
=0
S
=
1
2
2
at
ESEMPIO 15
Scrivere la seconda legge oraria del moto per la Panda a metano dell'esercizio precedente quando,
partendo da ferma accelera con accelerazione costante a = 4 m/s^2 .
Disegnare il grafico S-t che descrive il moto della Panda.
Che distanza percorrerebbe il bolide continuando ad accelerare nello stesso modo per 1 minuto,
supponendo che ne sia capace e non esploda nulla ?
E che velocità raggiungerebbe ?
2° Legge Oraria :
S =
1
4
2
2
t = 2t
2
per rappresentare sul grafico questa funzione
dobbiamo attribuire a t alcuni valori (arbitrari)
e calcolare i corrispondenti valori di V
Per rispondere alla seconda domanda si può utilizzare direttamente la 2° legge oraria del moto della Panda
trasformando prima l'intervallo di tempo da minuti a secondi
1 min = 1 * 60 = 60
s
2
S = 2 . 60 = 7200 m
(circa 7 Km)
Per rispondere alla seconda domanda si può utilizzare direttamente la 1° legge oraria del moto della Panda
v = a . t = 4 . 60 = 240 m/ s
(ovvero 240 * 3,6 = 864 Km/h !!!!! )
S(m)
t(s) S(m)
120
110
100
90
0
0
1
2
2
3
8
18
4
32
5
6
50
40
30
72
98
20
10
7
80
70
60
50
O
1
2
3
4
5
6
7
8
t(s)
ESEMPIO 16
La Panda a metano del prof. , dopo essere stata alimentata con il
nitrometano normalmente utilizzato dai dragsters , ha raggiunto la
velocità di 60 m/s .
Il prof. allora esegue una prova di frenata. Il potente impianto
frenante riesce a produrre una decelerazione di - 5 m/s^2 .
Disegnare i grafici V-t ed S-t che descrivono il moto della Panda dal
momento in cui sono stati azionati i freni fino a quando si ferma..
Quale è stata la lunghezza della frenata ?
1° Legge Oraria :
V = 60 - 5 * t
Calcoliamo la durata della frenata ponendo nella formula V=0 (velocità finale) e ricavando il valore di t :
0 = 60 - 5 * t
t = 60 = 12 s
5
+ 5 * t = 60
t(s)
V(m/s)
V(m/s)
60
0
60
1
55
2
3
50
45
40
4
40
30
5
6
35
8
10
12
30
20
10
0
50
20
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t(s)
NB : Notiamo come la pendenza del grafico sia negativa, come lo è il valore dell'accelerazione .
Dopo 12s la velocità si annulla (auto ferma).
S(m)
2° Legge Oraria :
S = 60 t +
2
1
(- 5 ) t
2
t(s) S(m)
= 60 t - 2,5 t
2
NB : Notiamo come la concavità della parabola sia rivolta verso il basso .
Questo accade quando il moto è uniformemente decelerato .
Per rispondere all'ultima domanda basta osservare che quando il cronometro segna 12s (auto ferma) la
distanza percorsa S vale 360 m.
In caso non sia stato costruito il diagramma S-t si può utilizzare direttamente la 2° legge oraria del moto.
2
S = 60 * 12 - 2,5 * 12 = 360 m
0
0
1
57,5
2
3
110
157,5
4
200
5
237,5
6
8
270
320
350
10
12
360
380
360
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
O
