1
2
Fondamenti e didattica della matematica Geometria
Misura
3 marzo 2007
Marina Bertolini ([email protected])
Dipartimento di Matematica F.Enriques
Università degli Studi di Milano
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 1
3
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 2
4
A cosa serve misurare?
Misurare una grandezza è un procedimento che
permette di associare alla grandezza un numero e quindi
di operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso.
Come facciamo a misurare?
Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è
proporre una attività pratica di misurare.
Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezza
e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando
vari campioni
un metro
un pezzo di corda
una sciarpa
un foglio di carta
...
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 3
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 4
5
6
Piano pratico/concreto
Come facciamo a misurare?
Il procedimento ha sempre termine nella pratica
Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa
stanza, l’operazione di misura equivale a valutare il
rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la
lunghezza di un campione (quante volte il campione sta
nella stanza).
perché quando la misurazione ha una
approssimazione sufficiente ci si ferma;
perché lo strumento di misura non ci permettere di
suddividere ulteriormente il campione.
Questo procedimento è quello che si effettua sempre
quando si deve misurare una grandezza.
Se il campione non è contenuto un numero intero di volte
(avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti
uguali più piccole e procediamo con questo nuovo
campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che
non otteniamo un campione contenuto un numero intero
di volte.
Ma è sempre possibile?
Questa procedura ha un termine?
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 5
7
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 6
8
Piano teorico/astratto
Dal punto di vista teorico
il procedimento ha termine se e solo se la
grandezza da misurare e il campione hanno un
sottomultiplo comune;
per esempio se:
G = 3u
oppure anche se:
Piano teorico/astratto
Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le due
grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione)
sono dette commensurabili.
ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il
procedimento non ha termine, ad esempio
il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze
incommensurabili.
u
3
G = 3( ) = ( ) u
5
5
in altre parole, il procedimento ha termine se e solo
se la misura è espressa da un numero razionale.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 7
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 8
9
10
Diagonale del quadrato
Approssimazioni di numeri reali
Notiamo che l’espressione incommensurabili non
significa affatto che non si può misurare o non si può
determinare
con il compasso
disegniamo il
riportiamo la
1 quadrato con lato
3 lunghezza della
di lunghezza 1
diagonale sulla
retta
2
la diagonale ha
√
lunghezza 2
√
0
I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo
significa che ogni numero reale può essere approssimato
in maniera efficiente da un numero razionale.
Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una
misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la
procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo
comunque un livello in cui l’approssimazione è adeguata.
√
Vediamo proprio il caso di 2. Consideriamo una
approssimazione
con due cifre decimali: il numero reale
√
2 è compreso tra i numeri
√ razionali 1, 41 e 1, 42, quindi
il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi
tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto
corrispondente a 1, 42.
2
1
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 9
11
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 10
12
Approssimazioni di numeri reali
Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in
grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi
l’approssimazione a due cifre non è sufficiente a √
permetterci di individuare
√ il punto corrispondente a 2
2
1, 41
1, 42
2
1
Se il disegno è di dimensioni “normali” non siamo più in
grado
√ di percepire la differenza
1, 41 2 1, 42
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Misurazioni
Ma come possiamo valutare
l’approssimazione della misurazione?
Qual è un margine di errore “accettabile”?
Il margine di errore è principalmente determinato
dallo strumento utilizzato.
Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un
righello, possiamo ottenere una misura “a meno di
un millimetro”
La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò
21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di
altezza
Qui l’approssimazione
√a una cifra è più che sufficiente e
possiamo assumere 2 = 1, 4.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 11
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 12
13
14
Misurazioni
Misurazioni
In altre parole, scrivendo che la larghezza è
Se passiamo a considerare le aree, l’errore riportato
nelle misurazioni lineari si ripercuote sull’area
21, 0 ± 0, 1 cm
Si ha infatti
intendiamo che la misura “esatta” è un valore compreso
tra 20, 9 cm e 21, 1 cm
È anche possibile valutare l’errore percentuale, cioè
confrontare l’errore nella misurazione con la grandezza
che si vuole misurare.
la misura della larghezza è un valore compreso tra
20, 9 cm e 21, 1 cm
la misura dell’altezza è un valore compreso tra
29, 6 cm e 29, 8 cm
Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha
0, 1
= 0.0047619048 ≈ 0, 5%
21
Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che
la misura dell’area è un valore compreso tra
20, 9 × 29, 6 = 618, 64 cm2 e
21, 1 × 29, 8 = 628, 78 cm2
stiamo effettuando.
con un margine di errore di 10, 14 cm2
(ovvero ±5, 07 cm2 ).
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 13
15
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 14
16
Misurazioni
Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze
ci porta un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area
Una volta valutato l’errore della misurazione ci rendiamo
conto che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2 .
Il concetto di area
quindi non avrebbe senso esprimere l’area del foglio A4
con questi numeri:
623, 403
623, 7
619, 5
Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 15
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 16
17
18
Il concetto di area
Il concetto di area
L’area di questo triangolo si puo’ calcolare utilizzando la
formula dell’area del triangolo (e quindi misurando una
base e l’altezza relativa)
Non crediamo sia necessario soffermarci sull’importanza
di un corretto approccio al problema di area.
Consideriamo questo esempio:
oppure utilizzando il supporto della carta a quadretti....
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 17
19
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 18
20
Esercizi sulle aree
Rettangoli:
Esercizi sulle aree
Triangoli rettangoli
Utilizzando come unità di misura il quadretto, con
semplici operazioni di conteggio siamo in grado di
valutare le misure dei lati e dell’area
la base è di 3 quadretti,
l’altezza è di 2 quadretti
l’area del rettangolo è
4 · 3 = 12
quindi l’area del
triangolo è
(4 · 3)/2 = 6
l’area è 6 quadretti, cioè 2
file di 3 quadretti
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 19
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 20
21
22
Esercizi sulle aree
Esercizi sulle aree
Triangoli isosceli e rombi
Parallelogrammi
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 21
23
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 22
24
Esercizi sulle aree
Trapezi
Esercizi sulle aree
E per questi?
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 23
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 24
25
26
Figure più complesse
Non solo poligoni
A volte è sufficiente scomporre la figura in più parti e
sommare le aree di ogni parte. . .
Può essere necessario ricorrere a misure approssimate
l’area è compresa
tra l’area del
poligono
?
10
6
e l’area del
poligono
12
10
?
L’area della figura è compresa tra 2 e 5.
Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo
ricorrere ad una griglia a maglie più fini.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 25
27
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 26
28
Non solo poligoni
Esercizi sulle aree
Ritorniamo a questo triangolo
Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo
ricorrere ad una griglia a maglie più fini.
Oltre a sommare, possiamo calcolare le aree per
differenza
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 27
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 28
29
30
Saper leggere una formula
Qualche considerazione sulle “formule”:
È importante soffermarsi su due aspetti:
Formule
rendersi conto di quando può esistere una formula
che lega certi dati e quando no;
saper “leggere” la formula.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 29
31
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 30
32
Esiste una formula?
Esiste una formula?
Può esistere una formula che permette di calcolare l’area
di un rombo conoscendo solo la lunghezza del suo lato?
Esiste una formula che permette di ricavare l’area di un
triangolo conoscendo solo le lunghezze dei suoi tre lati?
La risposta in questo caso è certamente no. Infatti un
lato non individua un rombo e non ne individua l’area.
Anche se non conosciamo una formula siffatta, sappiamo
che la conoscenza della lunghezza dei tre lati individua
univocamente il triangolo.
Questo significa che è ragionevole pensare che una tale
formula si possa trovare.
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 31
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 32
33
34
Esempi
Usare la formula
Consideriamo i rettangoli con la base di 3 cm. Se h
indica la misura dell’altezza di uno di questi rettangoli, e
A indica la misura della sua area allora
È molto utile riconoscere in alcune formule particolari
legami tra le grandezze. Uno dei più importanti è la
relazione di proporzionalità tra grandezze.
A = 3·h
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se
dipendono l’una dall’altra con una legge del tipo
moltiplicazione per una costante.
se ho un rettangolo che ha altezza h area TOT, allora
per ottenere un rettangolo con area doppia
sappiamo che è sufficiente prendere un rettangolo
con altezza 2 · h.
Ad esempio se A e B sono due grandezze, esse sono
direttamente proporzionali se vale una legge di questo
tipo, dove k è una costante (positiva):
Il discorso è analogo se fisso l’altezza e faccio
variare la base.
A = k·B
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 33
35
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 34
36
Esempi
la formula che lega la lunghezza del perimetro p di
un quadrato alla lunghezzza del suo lato l (misurati
rispetto alla stessa unità di misura) è
p = 4·l
riconosciamo nella formula un legame di
proporzionalità diretta
se l raddoppia, allora anche p raddoppia
se voglio che p raddoppi, allora so che devo
raddoppiare l
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 35
Esempi
la formula che lega la misura A dell’area di un
quadrato alla lunghezza del suo lato l è
A = l2
il legame non è un legame di proporzionalità
diretta
se l raddoppia, allora A. . .
se voglio che A raddoppi, allora l . . .
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 36
