II Simulazione – Seconda prova – Fisica

Marco Bolzon
II Simulazione –
Seconda prova – Fisica
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Marco Bolzon
II Simulazione – Seconda prova
Fisica
Channel-01 2412MHz
Channel-02 2417MHz
Channel-03 2422MHz
Channel-04 2427MHz
Channel-05 2432MHz
Channel-06 2437MHz
Channel-07 2442MHz
Channel-08 2447MHz
Channel-09 2452MHz
Channel-10 2457MHz
Channel-11 2462MHz
Channel-12 2467MHz
Channel-13 2472MHz
Stai installando il tuo nuovo modem router ADSL wireless, che permette la connessione a internet anche del tuo telefono mediante rete WiFi a 2,4 GHz. A un
certo punto il software per la configurazione ti chiede di scegliere uno dei 13 canali WiFi disponibili, che trasmettono a diversa frequenza: il canale 1 trasmette
a 2412 MHz e la frequenza di ogni canale successivo aumenta di 5 MHz, fino alla
frequenza massima di 2472 MHz del canale 13.
Selezioni il canale 7.
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Problema n. 1.
a) Dopo aver calcolato la lunghezza dell’onda elettromagnetica emessa dal canale 7 e classificato
il tipo di radiazione, esponi il ragionamento alla base della scelta del canale.
Il circuito oscillante collegato all’antenna del wifi ha una capacità di 2pF.
b) Calcola l’induttanza del circuito e spiega dal punto di vista fisico la relazione che esiste tra il
circuito oscillante e l’onda elettromagnetica emessa.
Il dispositivo può emettere onde di intensità massima 0,10 W/m2.
c) Determina i massimi valori efficaci del campo elettrico e del campo magnetico.
Considera che l’onda si propaghi lungo un asse orizzontale, l’asse x.
d) Scrivi la funzione E(x,t) che descrive la propagazione del campo elettrico lungo l’asse x e fai un
disegno indicando la posizione dell’antenna e i campi elettrico e magnetico, per almeno una
oscillazione completa.
Tutte le onde emesse colpiscono perpendicolarmente una superficie di 85 cm2 e vengono
completamente assorbite.
e) Calcola il valore medio della forza esercitata dalle onde sulla superficie, la pressione di radiazione e la densità di energia.
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Problema n. 2
Hai frequentato uno stage presso un laboratorio dell’INFN (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare) e
devi preparare una relazione sul lavoro svolto da presentare l’ultimo giorno di permanenza. Il tuo
tutor ti ha indicato la traccia da seguire: nell’introduzione devi, in primo luogo, spiegare come si
esprimono i valori di massa in eV.
a) Descrivi il significato fisico della massa espressa in elettron-Volt (eV) e verifica la massa del
protone mp = 938 MeV, sapendo che mp=1,007276 u, dove u=1,660 · 10–27 kg, c=2,998 · 108 m/s,
e=1,602 · 10–19 C.
Gli acceleratori vengono spesso identificati con la loro energia espressa in eV. Le particelle
vengono accelerate e aumentano, così, la loro energia cinetica. Nella tua relazione devi discutere
la differenza tra energia cinetica classica e relativistica.
b) Scrivi le due espressioni per l’energia cinetica, classica e relativistica, evidenziando le differenze tra le due dal punto di vista fisico.
Nella tua relazione devi spiegare come effettuare il calcolo della velocità di una particella
all’interno di un acceleratore.
d) Mostra che la velocità massima di una particella di massa a riposo m0 (espressa in eV/c2) all’interno di un acceleratore di energia EA (espressa in eV) è data dalla relazione:
v =
c
1 - c EA + 1m
m0
-2
e) Calcola la velocità massima e la variazione della massa di un protone all’uscita dell’acceleratore LINAC2 da 50 MeV che si trova presso il CERN di Ginevra.
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c) Ricava, sia nel caso classico sia in quello relativistico, l’espressione della velocità al quadrato
di una particella in funzione della sua energia cinetica v 2(K ), con K = energia dell’acceleratore.
Rappresenta le due funzioni su un grafico cartesiano e analizza quanto ottenuto.
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Quesiti
1. La bobina di un alternatore è costituita da 200 spire e ruota con velocità angolare costante
all’interno di un campo magnetico uniforme di 0,18 T, compiendo un giro ogni 2 decimi di secondo; l’area di ciascuna spira è di 12 cm2. Determina l’espressione e il valore della f.e.m. indotta
ai capi della bobina. Discuti questa affermazione: “l’alternatore è un dispositivo che utilizziamo
ogni giorno, anche se indirettamente”.
2. Una linea di distribuzione trasporta energia elettrica in corrente alternata con un valore efficace
10 kV e una frequenza di 50 Hz. In prossimità delle abitazioni, per usi domestici, la tensione
efficace viene portata a 230 V. La linea di distribuzione fornisce energia a 60 abitazioni, 3/4
delle quali utilizza una fornitura “standard” di 3,3 kW, mentre le restanti hanno a disposizione
5 kW. Supponendo una dispersione di energia complessiva del 2% nella trasformazione e, successivamente, lungo il percorso verso le abitazioni, determina l’intensità di corrente massima
nella linea a 10 kV. Determina quantitativamente i parametri necessari alla trasformazione della
tensione e illustra i vantaggi del trasporto dell’energia elettrica in corrente alternata rispetto alla
corrente continua.
4. Il fenomeno fisico rappresentato in figura è noto come creazione di coppia: un fotone ad alta
energia crea una coppia particella-antiparticella, elettrone-positrone.
e+
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3. Una radiazione luminosa monocromatica proveniente dall’aria penetra, con un angolo di incidenza di 63°, in una lastra di materiale vetroso avente indice di rifrazione 1,58 e uno spessore
di 2,0 cm e poi fuoriesce nuovamente nell’aria. Determina il valore della costante dielettrica
relativa del vetro, sapendo che la permeabilità magnetica del vuoto vale 4p · 10-7 N/A2, e calcola
il tempo impiegato dal raggio luminoso per percorrere la lastra di vetro.
g
e–
Sapendo che la massa dell’elettrone (e del positrone) è 9,11 · 10-31 kg, determina l’energia minima in MeV perché la reazione avvenga e classifica la radiazione. Spiega come sia possibile
evidenziare e distinguere le due particelle mediante un rivelatore.
5. Ti trovi nello spazio interstellare a bordo della base spaziale Genesis, che possiamo considerare
un sistema di riferimento inerziale, e controlli i dati dell’astronave Athesis, che si sta muovendo con velocità costante rispetto alla base. Il tuo collaboratore si mostra scettico rispetto alle
misure dei tempi che ottieni: afferma che il confronto tra gli orologi atomici della vostra base e
quelli dell’astronave, quando quest’ultima sarà rientrata alla vostra base, porterà a un evidente
paradosso. Tu invece lo rimproveri per non aver seguito e approfondito le lezioni di relatività: il
paradosso è già stato trattato esaurientemente anche da Einstein.
Di quale paradosso si tratta? Come lo spiegheresti al tuo collaboratore?
6. Un sincrotrone è un tipo di acceleratore in cui le particelle cariche seguono orbite circolari. Se
si vogliono accelerare elettroni, ci si imbatte in un problema, lo stesso che riscontrò Rutherford
nella costruzione del suo modello atomico, il cosiddetto modello atomico planetario.
Spiega di quale problema si tratta, evidenziando analogie e differenze tra i due casi proposti.
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7. Il pione carico è una particella avente una massa di 139,6 MeV/c2 e una vita media t = 2,6 · 10–8 s.
Se all’istante t = 0 s si ha un numero N0 di pioni, dopo un tempo t il loro numero sarà diminuito
esponenzialmente secondo la legge dei decadimenti radioattivi N(t) = N0 e–t/t. All’interno di un
acceleratore di particelle un fascio di pioni viaggia a una velocità di 0,996c: il loro numero misurato da un rivelatore è 1/4 rispetto al numero misurato dal rivelatore precedente.
Quanto sono distanti i due rivelatori?
8. All’elettrone dell’atomo di idrogeno, nel suo stato fondamentale, viene associata la funzione
densità di probabilità radiale P(r):
P ^ r h = ^4 r 3B h $ r 2 e - 2r
rB
dove rB indica il raggio di Bohr.
Analizza la funzione P(r) dal punto di vista fisico e matematico, spiegando la relazione esistente
con il modello atomico di Bohr.
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9. La figura schematizza una precisa ipotesi della fisica quantistica applicata alle orbite atomiche.
Spiega di quale ipotesi si tratta e descrivi la figura con considerazioni di tipo fisico. Quest’ipotesi
segna l’inizio di un nuovo tipo di meccanica: quale?
10.Viene misurata la velocità istantanea di una sferetta da 40 grammi in moto rettilineo e si trova
il valore di 10 m/s. Viene determinata la velocità di un protone (mp = 1,7 · 10-27 kg) e si ottiene
5,0 · 107 m/s. Supponi che entrambe le misure abbiano un’incertezza dell'1% e fai un confronto
discutendo, per entrambi i casi, l’incertezza sulla posizione lungo la direzione del moto.
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Soluzioni
Problema 1
a) La frequenza del canale 7 è:
f = 2412 + 5 $ 6 = 2442 MHz
e la lunghezza d’onda è:
La radiazione elettromagnetica si trova nella regione delle microonde.
Per una corretta selezione del canale bisogna evitare fenomeni di interferenza: è necessario
verificare la frequenza di trasmissione di altri dispositivi wireless eventualmente presenti (televisori, media center e alcuni sistemi audio possono trasmettere in WiFi). In questo caso bisogna
evitare di utilizzare la stessa frequenza, perché il circuito del router assorbirà (riceverà) tutte
le onde elettromagnetiche in risonanza, introducendo un disturbo nel segnale da elaborare.
Inoltre, se è già stato utilizzato un canale, il 3 per esempio, conviene evitare anche i canali immediatamente vicini. Il motivo è che ogni canale ha una certa larghezza di banda: se questa è di
20 MHz significa che la trasmissione avviene in un range di frequenze centrate su f (quella del
canale dove si ha la massima intensità), con una frequenza minima f – 10 MHz e una frequenza
massima f + 10 MHz. Queste frequenze vanno quindi a sovrapporsi ad altri canali, da un minimo
di due se si tratta dei canali agli estremi (1 e 13), fino a 4 per quelli centrali.
b) Per generare un’onda elettromagnetica di frequenza f si utilizza un’antenna collegata a un cir­cui­
to RLC avente una frequenza di risonanza uguale a f, alimentato da un generatore che produce
una f.e.m. alternata con la stessa frequenza. Dalla frequenza di risonanza del circuito possiamo
ricavare il valore dell’induttanza:
f=
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2, 998 $ 10 8 m s
m= c =
= 0, 123 m
f
2, 442 $ 10 9 s - 1
1
1
1
&L=
=
= 2, 12 nH
4r2 f 2 C
4r2 ^2, 442 2 $ 10 18 s - 1 h $ ^2 $ 10 - 9 pF h
2r LC
Come descritto dalle equazioni di Maxwell, cariche accelerate producono onde elettromagnetiche: gli elettroni, “pilotati” dal generatore tramite il circuito RLC, si muovono su e giù nell’antenna, con un movimento simile a quello di una mano che regge una corda e che vi produce un’onda
trasversale. L’analogia non deve far dimenticare che le onde elettromagnetiche non sono onde
meccaniche: non c’è spostamento di materia ma campi elettrici e magnetici oscillanti.
c) Il valore efficace del campo elettrico è:
I = cf0 E 2eff & E eff =
I =
cf0
0,10 W m 2
= 6,1 V m
^ 3,00 $ 108 m s h $ ^ 8,85 $ 10- 12 F m h
Mentre quello del campo magnetico:
B eff =
6,1 V m
E eff
=
= 2,0 $ 10- 8 T
c
3,00 $ 10 8 m s
6
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Va sottolineato che, mentre il valore del campo elettrico ha valori ordinari ed è misurabile, il
valore del campo magnetico è molto piccolo rispetto ai valori del campo magnetico terrestre (il
cui ordine di grandezza è 10-5 T) ed è molto difficile misurarlo.
d) Se consideriamo un’onda elettromagnetica armonica che si propaga lungo l’asse x (orizzontale),
polarizzata linearmente lungo la direzione verticale (la direzione dell’antenna), il suo campo
elettrico è:
E ^ x, t h = E 0 sen [2r ^ x m - ft h]
Per il campo magnetico basta sostituire E con B.
Si tratta di un’onda viaggiante, in cui il segnale si propaga con velocità costante v = l f (nel vuoto
v = c)
E ^ x, t h = E 0 sen [2 p l ^ x - vt h]
Trattandosi di onde sinusoidali vale la seguente relazione tra il valore massimo E0 e il suo valore
efficace:
E 0 = 2 E eff = 2 $ 6,1 V m = 8,6 V m
Analogamente per il campo magnetico:
Il vettore campo elettrico è sempre perpendicolare al vettore campo magnetico ed entrambi lo
sono rispetto alla direzione di propagazione.
antenna
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B 0 = 2 B eff = 2 $ 2,0 $ 10- 8 T = 2,8 $ 10- 8 T
l
E
direzione di
propagazione
B
e) La forza media esercitata sulla superficie è:
^ 0,10 W m 2 h $ 8,5 $ 10 - 3 m 2
F = IS =
= 2, 8 $ 10 - 12 N
c
3,00 $ 10 8 m s
La pressione di radiazione e la densità di energia hanno il medesimo valore:
0,10 W m 2
p= I =
= 3,3 $ 10- 10 Pa & u = 3,3 $ 10- 10 J m 3
c
3,00 $ 10 8 m s
7
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Problema 2
a) L’elettronvolt è un’unità di misura dell’energia: alla massa a riposo del protone mp corrisponde
infatti un’energia pari a mpc2, quindi, effettuando le dovute conversioni in kg e poi in eV:
E = m p c 2 = 1,007276 $ ^1,660 $ 10- 27 kg h $ ^2,998 2 $ 1016 m 2 s 2 h ^1,602 $ 10- 19 J eV h = 9,38 $ 10 6 eV
m p = E2 = 938 MeV c 2
c
Prendendo c come unità di misura (c = 1) si può scrivere semplicemente, come è consuetudine
tra i fisici:
m p = 938 MeV
b) Nella fisica classica l’energia cinetica è:
K = 1 mv 2
2
Einstein scoprì che tale relazione è un’approssimazione valida per velocità “piccole” rispetto a
quella della luce (l’approssimazione migliora al diminuire del rapporto v/c). La relazione relativistica è:
dove m0 è la massa a riposo, mentre E è l’energia totale della particella:
E = mc 2 =
m0 c2
2
1 - v2
c
Utilizzando i coefficienti relativistici
b = v e c =
c
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K = E - m0 c2
1
1 - b2
possiamo scrivere in forma compatta:
K = cm 0 c 2 - m 0 c 2 & K = ^ c - 1 h m 0 c 2
Classicamente l’aumento dell’energia cinetica della particella (per esempio a causa dell’azione
di una forza costante) è associato a un aumento di velocità che può assumere qualsiasi valore,
mentre il valore della massa viene considerato costante. In dinamica relativistica, invece, la
velocità non può aumentare illimitatamente, perché non può superare c. Nell’espressione relativistica troviamo quindi una correzione per la massa, che aumenta all’aumentare della velocità.
c) Nel caso della relatività ristretta, dobbiamo esplicitare il termine v2 a partire dalla relazione:
K = E - m0 c2 & K =
m0 c2 - m c2 & K =
0
2
m0 c2
1 - v2
c
1
2
1 - v2
c
-1 &
1
2
1 - v2
c
=
K +1
m0 c2
8
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Invertiamo ed eleviamo al quadrato:
2
2
-2
-2
1 - v2 = c K 2 + 1 m & v2 = 1 - c K 2 + 1 m
c
m0 c
c
m0 c
Segue:
-2
v 2 = ;1 - c K 2 + 1 m E c 2
m0 c
Ora analizziamo l’andamento di v2 in funzione dell’energia cinetica K>0.
Per K=0 si ha v=0, come previsto anche dalla fisica classica (particella ferma).
Calcolando il limite per K che tende a più infinito, il termine fra parentesi tonda tende a zero. Di
conseguenza la velocità tende asintoticamente a c:
K + 1 -2 c2 = c2
2
^
h
lim
v
K
=
lim
1
c
m E
;
K "+3
K "+3
m0 c2
La dipendenza di v da K è del tipo –1/K2 (a meno di costanti e traslazioni), quindi ci si aspetta
una curva il cui andamento è simile a quello della funzione quadratica inversa: sempre crescente
senza massimi né minimi. Facciamo una verifica calcolando anche la derivata prima:
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dv = c 2 d 1 - K + 1 - 2 =- c 2 d
K + 1 - 2 =- c 2 ^- 2 h K + 1 - 3 1
c
m E
c
m
c
m
2
dK
dK ;
dK
m0 c
m0 c2
m0 c2
m0 c2
Quindi:
dv = 2
K + 1 -3
c
m
dK
m0 m0 c2
La derivata prima trovata è sempre positiva (i termini sono tutti positivi) e quindi la velocità è
sempre crescente, come atteso, all’aumentare dell’energia cinetica K.
L’andamento previsto dalla fisica classica è invece di tipo lineare (in grafico è una retta uscente
dall’origine):
K = 1 mv
2
v 2 = 2K
m
Nel grafico si può notare come le due curve si sovrappongano per velocità piccole rispetto a c.
V2
c2
K
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Per bassi valori di velocità l’aumento di energia cinetica è associato quasi esclusivamente all’aumento lineare della velocità, con la massa che rimane praticamente costante. Invece, al crescere della velocità fino a valori prossimi a quello della luce, l’aumento di velocità tende asintoticamente a zero e l’aumento di energia cinetica comporta un progressivo aumento della massa.
d) La relazione v(K) trovata al punto precedente restituisce l’espressione per la velocità della particella:
v2 = 1 - K + 1 -2 & v =
c
m
c
c2
m0 c2
-2
1 - c K 2 + 1m
m0 c
Osservando che l’energia EA fornita dagli acceleratori viene trasferita alle particelle che hanno
velocità massima interamente come energia cinetica (K= EA), ed esprimendo la massa in eV/c2
si ottiene la relazione richiesta.
e) Sostituendo i valori, utilizzando per il protone il valore riportato al punto a), si trova:
v =
c
-2
1 - ` 50 MeV + 1 j = 0,31 = 31%
938 MeV
È comodo esprimere l’aumento della massa sempre in MeV, che corrisponde proprio all’energia EA:
Dm % = Dm = 50 MeV = 5,3%
m0
938 MeV
Verifichiamo il risultato con l’espressione relativistica per la massa:
mc 2 =
m 0 c 2 = 988 MeV & Dm = 988 - 938 = 50 MeV
2
1 - v2
c
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E = K + m 0 c 2 ed essendo E = mc 2 & Dm = m - m 0 = K c 2 = 50 MeV c 2
Osserviamo come sia impossibile che l’energia dell’acceleratore sia l’energia totale del protone,
che è sempre maggiore della sua massa a riposo (938 MeV).
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Quesito 1
La spira ruota con velocità angolare:
~ = 2r = 2r = 31,4 rad s
T
0,2
La f.e.m. indotta si calcola mediante la legge di Faraday-Neumann-Lenz:
fem =- dUB =- d 6B $ N $ S $ cos ^~t h@ = B $ N $ S $ ~ $ sen ^~t h
dt
dt
Ai capi della bobina è presente una tensione alternata che varia in modo sinusoidale, con periodo
0,2 s (frequenza 5 Hz). Il valore massimo si ha quando sen (w t) = 1:
f0 = B $ N $ S $ ~ = ^0,18 T h $ 200 $ ^12 $ 10 - 4 m 2 h $ ^31,4 s - 1 h = 1,36 V
Il valore efficace è:
f0
1,36
=
= 0,96 V
2
2
L’alternatore è presente nella maggior parte delle centrali elettriche (termoelettriche, idroelettriche, nucleari, eoliche) e permette, in modo molto efficace e relativamente semplice, la trasformazione in energia elettrica dell’energia cinetica di rotazione della bobina. Gran parte dell’energia
elettrica che utilizziamo ogni giorno viene prodotta tramite alternatori (non lo è, per esempio,
quella prodotta tramite pannelli fotovoltaici), aventi una frequenza di circa 50 Hz, dieci volte superiore a quella del quesito. Anche nei mezzi di locomozione (auto, pullman, …) generalmente è
presente.
Quesito 2
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DVeff =
La potenza complessiva che dev’essere disponibile per le abitazioni è:
P = 45 $ ^3,3 kW h + 15 $ ^5 kW h = 223,5 W
Nella linea da 10 kV la potenza necessaria, considerando che il 2% viene disperso, è
Plinea = 223,5 kW 0,98 = 228 kW
da cui segue che l’intensità di corrente efficace e quella massima sono:
i eff = P = 228 kW = 28 A
Veff
10 kV
i max = 2 i eff = 2 $ 28 A = 32 A
Per la trasformazione della tensione, da 10 kV a 230 V, deve essere:
V1 = N 1 = 10 kV = 43,5
V2
N2
230 V
Il numero di spire nel circuito primario del trasformatore deve essere 43,5 volte il numero di spire
nel circuito secondario.
11
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Il vantaggio dell’utilizzo della tensione alternata è principalmente legato alla possibilità di modificarne il valore di tensione. Per minimizzare la dissipazione per effetto Joule lungo il percorso è
preferibile, a parità di potenza, avere tensioni elevate e basse correnti.
La tensione continua, invece, non può essere accresciuta in modo altrettanto semplice ed efficace. Per esempio, trasportando la tensione a 230 V su tutta la linea la dissipazione aumenterebbe
di circa 1900 volte:
2
2
^ N 1 N 2 i 1 h2
PJ,2
= Ri 22 =
= c N 1 m = 43,5 2 . 1900
2
PJ,1
N2
Ri 1
i1
Quesito 3
Questo quesito di ottica può essere formalizzato e risolto come un problema di elettromagnetismo.
Rappresentiamo graficamente il percorso del raggio luminoso:
d
a1
a2
aria
a2
n1
vetro
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n2
La velocità delle onde elettromagnetiche nel vetro è
V2 = c
n2
ma anche:
V2 =
1
=
f0 fr n0 nr
c
fr nr
Da queste due relazioni segue:
n 2 = fr nr
Fatta eccezione per i materiali ferromagnetici, tutti gli altri possiedono permeabilità magnetica
relativa, con buona approssimazione, uguale a 1, quindi:
fr = n 22 = 1,58 2 = 2,5
Calcoliamo l’angolo di rifrazione nel vetro:
n 1 sena1 = n 2 sena2 & a2 = arcsen ` n 1 sena1 j = arcsen c 1 sen 63° m = 34,3°
n2
1,58
Poiché la velocità è V2=c/n2 e lo spazio da percorrere è s=d/cosa2 il tempo Dt vale:
d
^2 $ 10 - 2 m h $ 1,58
a2
cos
Dt =
= dn 2 =
= 1,3 $ 10 - 10 s
c
c cos a2
^3 $ 10 8 m s h $ cos 34,3°
n2
12
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Quesito 4
L’energia minima necessaria perché avvenga la creazione di coppia è quella corrispondente alla
massa delle due particelle create. In questo caso si tratta del doppio della massa a riposo dell’elettrone (uguale a quella del positrone):
E = 2 $ m e c 2 = 2 $ ^9,11 $ 10- 31 kg h $ ^2,998 2 $ 1016 m 2 s 2 h ^1,602 $ 10- 19 J eV h = 2 $ 5,11 $ 10 5 eV = 1,02 MeV
La frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione sono:
1,02 $ 10 6 eV
f= E =
= 2,47 $ 10- 20 Hz
h
4,136 $ 10- 15 eV $ s
3,00 $ 108 m s
m= c =
= 1,22 $ 10- 12 m = 1,22 pm
f
2,47 $ 10- 20 Hz
La radiazione è al confine tra i raggi X duri e i raggi g.
Per distinguere le due particelle della coppia creata si applica un campo magnetico perpendicolare alla velocità: le due particelle vengono deviate dalla forza di Lorentz e compiono traiettorie circolari con lo stesso raggio (massa uguale), ma in direzioni opposte a causa della loro carica opposta.
Il quesito ripropone, anche se in termini diversi, il famoso paradosso dei gemelli.
Quando due sistemi di riferimento, nel nostro caso la base spaziale e l’astronave, sono in moto
relativo con velocità costante, un osservatore “vede” rallentare l’orologio che si trova nell’altro
sistema di riferimento, in movimento rispetto al suo. Questa situazione è perfettamente simmetrica
in entrambi i sistemi di riferimento ed è proprio per questa simmetria che il collaboratore pensa a
un paradosso. Egli pensa che, riportando alla base l’orologio in movimento, sarà impossibile che
entrambi gli orologi siano in ritardo l’uno rispetto all’altro. In realtà si potrà verificare solo una di
queste due situazioni: o sarà l’orologio dell’astronave in ritardo rispetto a quello della base, oppure
sarà l’orologio della base in ritardo rispetto a quello dell’astronave!
In effetti il paradosso non esiste, perché per riportare l’orologio alla base bisogna rallentare
(decelerare) l’astronave, e poi accelerarla per farle invertire la rotta. In questi momenti il sistema
di riferimento dell’astronave non è più inerziale: qui si rompe la simmetria. Quando i due orologi
verranno messi a confronto nella base, che è rimasta ferma (sistema di riferimento inerziale),
l’orologio dell’astronave sarà in ritardo rispetto a quello della base.
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Quesito 5
Quesito 6
Il problema cui fa riferimento il quesito è l’emissione di radiazione (onde) elettromagnetica da parte di una carica accelerata, come previsto dalle equazioni di Maxwell. In entrambi i casi proposti,
elettrone in un sincrotrone oppure orbitante intorno al nucleo, per curvare la traiettoria occorre
una forza – e quindi un’accelerazione – centripeta. Gli elettroni in un sincrotrone, infatti, emettono
una radiazione nota come radiazione di sincrotrone (o luce di sincrotrone), nel range dei raggi X duri.
Questa radiazione più che un problema costituisce proprio il prodotto voluto, perché ha numerose
applicazioni nell’ambito della fisica della materia e della tecnologia dei materiali.
Rutherford non riusciva a spiegarsi come mai, invece, gli elettroni in orbita attorno al nucleo
(come i pianeti attorno al sole) fossero stabili e non perdessero energia “cadendo” sul nucleo.
Successivamente, l’esistenza di orbite stazionarie in numero discreto fu una delle ipotesi del
modello successivo elaborato da Bohr.
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II Simulazione – Seconda prova – Fisica
Quesito 7
Eseguiamo i calcoli nel sistema di riferimento del pione, nel quale il pione possiede il tempo di vita
indicato nel testo. Calcoliamo dopo quanto tempo il numero di particelle del fascio si riduce a un
quarto:
N = N 0 e - t x & t = ln c N m & t =- x ln c N m =-^2,6 $ 10- 8 s h ln ^0, 25 h = 3,60 $ 10 - 8 s
N0
x
N0
In questo intervallo di tempo percorre uno spazio pari a:
Ds = vt & Ds = 0,996 $ ^3,00 $ 10 8 m s h ^3,60 $ 10- 8 s h = 10,8 m
Rispetto al sistema di riferimento del laboratorio il pione misura la distanza contratta di un fattore:
c=
1
=
1 - b2
1
= 11,2
1 - 0,996 2
La distanza propria, misurata nel sistema del laboratorio, nel quale i rivelatori sono fermi, è dunque:
Ds' = cDs = 11,2 $ ^10,8 m h = 121 m
La funzione P(r) = (4/r3B ) r2e–2r/rB esprime la densità di probabilità radiale, cioè l’andamento, al variare
della distanza r dal nucleo, della probabilità di trovare l’elettrone. La funzione è definita in modo
tale che P(r) dr rappresenti la probabilità che l’elettrone si trovi nello spazio compreso tra le due
superfici sferiche di raggi r e r + dr.
P ^ r h = 43 r 2 e 2r
rB
rB
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Quesito 8
La funzione è nulla per r = 0 e tende a 0 per r che tende a più infinito. Ciò significa che l’elettrone
non può trovarsi in corrispondenza del nucleo e che è estremamente improbabile (praticamente
impossibile) trovarlo a grandi distanze dal nucleo. Infatti P(r) diventa estremamente piccola già a
distanze pari a dieci volte il raggio di Bohr.
Calcoliamo la derivata prima della funzione:
2
dP ^ r h
= 43 ;2re - 2r r - 2r e - 2r r E = 83r e - 2r r 81 - r B
dr
rB
rB
rB
rB
B
B
B
La funzione è dotata di un massimo in r = rB.
Questo risultato mette in evidenza la differenza tra il modello di Bohr e la meccanica ondulatoria.
L’elettrone nel modello atomico di Bohr compie un’orbita circolare attorno al nucleo alla distanza rB, mentre per la meccanica ondulatoria l’elettrone non è un corpuscolo ben definito e non si
può parlare di traiettoria: il raggio di Bohr è solo la distanza alla quale è più probabile che si trovi
l’elettrone.
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II Simulazione – Seconda prova – Fisica
La funzione ha un andamento del tipo:
P(r)
r
rB
Quesito 9
La figura rappresenta l’applicazione alle orbite atomiche dell’ipotesi di onda materiale, formulata dal
fisico francese Louis de Broglie tra il 1924 e il 1925.
Louis De Broglie ipotizzò che le orbite stabili del modello di Bohr fossero quelle associate a onde
materiali stazionarie, come quelle che si producono in uno strumento musicale.
La lunghezza d’onda dell’elettrone-onda va calcolata mediante la relazione proposta da de Broglie:
L’onda materiale su un’orbita di raggio r è stazionaria se dopo ogni giro riacquista la stessa fase,
richiudendosi. In caso contrario l’onda interferisce con sé stessa e si estingue. La condizione richiesta è che una circonferenza completa contenga un numero intero di lunghezze d’onda di de Broglie:
2rrn = nm
Combinando le due equazioni si ottiene proprio la condizione di quantizzazione delle orbite (quantizzazione del momento angolare) proposta da Bohr:
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m=h p
2rrn = n h & mvrn = n h
mv
2r
Il risultato ottenuto da de Broglie non introduce nulla di nuovo dal punto di vista fisico al modello
atomico di Bohr, ma dà una giustificazione all’impossibilità per l’elettrone di occupare altre orbite;
un aspetto, quest’ultimo, che Bohr non era riuscito a spiegare.
Si può affermare che con l’ipotesi di de Broglie nasce la meccanica ondulatoria, perfezionata
successivamente in particolare da Schröedinger.
Quesito 10
Applichiamo il principio di indeterminazione e calcoliamo, per le due particelle, le indeterminazioni
sulla posizione lungo la direzione del moto:
DxDp x $ ' & Dx $
sferetta: Dx $
protone: Dx $
'
Dv x $ m
^6,63 $ 10- 34 Js h 2r
= 2,6 $ 10- 32 m
^ 0,01 $ 10 m s h $ ^ 0,04 kg h
^6,63 $ 10- 34 Js h 2r
= 1,2 $ 10- 13 m
^0,01 $ 5 $ 10 7 m s h $ ^ 1,7 $ 10- 27 kg h
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Possiamo fare le seguenti considerazioni:
• l’indeterminazione sulla velocità del protone è 5 milioni di volte quella sulla velocità della sferetta ma, a causa dell’ingente differenza tra le masse (25 ordini di grandezza), l’indeterminazione
sulla posizione della sferetta è 19 ordini di grandezza più piccola rispetto a quella calcolata nel
caso del protone;
• l’indeterminazione sulla posizione della sferetta prevista dal principio di indeterminazione è
praticamente impossibile da misurare sperimentalmente;
• l’indeterminazione sulla posizione del protone è più grande di ben due ordini di grandezza rispetto alle dimensioni del protone (10-15m). Ciò significa che, se il protone avesse le dimensioni
del centimetro, l’incertezza sulla sua posizione sarebbe di circa un metro.
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