Rete CarateBrianza
Aprile – Maggio
2014
Federica Ferretti – [email protected]
NRD – Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica
RSDDM - Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della
Matematica www.dm.unibo.it/rsddm
1
Concetti legati
- alla costruzione dei concetti
- alle difficoltà che gli studenti incontrano nel
raggiungimento di questo obiettivo
sollecitazioni interne o esterne
condizionata da tanti fattori, ma con
connotazioni comuni in diversi individui
elaborata più o meno coscientemente
è interna e, almeno in prima istanza,
involontaria
Tutte le immagini mentali relative ad uno
stesso concetto, costituiscono il
modello mentale del concetto.
costruisce immagine di un concetto C e la
crede stabile, definitiva;
riceve nuove informazioni di C (non
contemplate nell’immagine precedente);
adeguare la vecchia immagine con la nuova
(conservando le precedenti informazioni e
accogliendo le nuove).
La nuova costruzione è ovviamente “più
vicina ” al concetto.
Ma .. Si crea un conflitto tra la precedente
immagine e la nuova
Conflitto cognitivo interno causato dalla noncongruenza tra le due immagini.
Ciò accade molte volte durante il percorso
scolastico, si può pensare a una successione di
immagini che si avvicinano al concetto C.
Durante questa successioni di immagini succede
che l’immagine I a cui si è pervenuti “resiste” a
sollecitazioni diverse. E’ abbastanza forte.
Le nuove sollecitazioni, invece che distruggere
l’immagine precedente per costruirne una nuova,
finisco con il confermare la bontà del fatto che I sia
l’immagine corretta.
Un’immagine di questo tipo si può chiamare
modello M del concetto C.
“Farsi un modello”: rielaborare successivamente
immagini instabili e deboli fino a giungere a una di
esse definitiva, stabile.
il modello si forma al momento giusto
(l’azione didattica ha funzionato e lo studente si è
costruito il modello atteso del concetto)
il modello si forma troppo presto
(non è facile raggiungere il concetto perché la stabilità
del modello è di per sé stessa un ostacolo ai futuri
apprendimenti)
Es: IL CUBO
durante la Scuola Dell’Infanzia la maestra mostra agli
alunni una scatolina di legno rossa a forma di cubo e dice
agli studenti che quello è un cubo.
Quindi un cubo è di legno? E’ rosso???
vengono mostrati altri oggetti di diverso materiale e
diverso colore a forma di cubo
Quindi non è per forza né di legno, né rosso..
È la forma che lo definisce!
Es: IL CUBO
durante la Scuola Primaria vengono mostrati vari oggetti a forma
di cubo … dopo varie sollecitazioni e un susseguirsi di immagini la
maggior parte degli studenti creano il modello di cubo come un
solido con una data forma.
studi rivelano che per la maggior parte degli studenti di Scuola
Primaria,
non è un cubo!!!
modelli che rispondono
pienamente alle sollecitazioni
intuitive e che hanno dunque
un’accettazione immediata forte.
Efraim Fishbein
(1920-1998)
«Il livello intuitivo si riferisce alla
dinamica dell’accettazione soggettiva di
un enunciato matematico come cosa
evidente e certa»
(Fischbein , 1985)
conseguenza della proposta da parte
dell’insegnante di un’immagine forte e convincente di
un concetto,
che diventa persistente, confermata da continui
esempi ed esperienze;
hanno molta forza di persuasione e molta rilevanza
nelle competenze dell’allievo;
conducono ad un’accettazione immediata.
Ma non è detto che il modello rispecchi il concetto in
questione; molte volte si tratta di modelli creatisi con
la ripetizione e niente affatto auspicati!!
«L’esistenza di incompatibilità e di
contraddizione nelle relazioni tra
il livello concettuale e il fondamento
intuitivo rappresenta una delle
principali fonti di idee sbagliate e di
errori nell’attività matematica dei
bambini» (Fischbein , 1985)
Quando non c’è in gioco una competenza cognitiva
forte, emerge con energia il modello intuitivo. Anche
quando uno studente si è costruito un modello
corretto di un concetto, a volte, il modello intuitivo
ricompare.
«L’insistere eccessivamente nel fornire
suggerimenti intuitivi usando
rappresentazioni artificiali e troppo
elaborate può fare più male che
bene» (Fischbein , 1985)
La moltiplicazione accresce
• Accettato nei numeri naturali ed
erroneamente esteso a tutti i campi numerici.
• Quando si arriverà a dover moltiplicare per
0,5?
• Studenti evoluti (anche universitari) si
dichiarano meravigliati di fronte al fatto che
tra le due operazioni: 18 x 0,25 e 18 : 0,25 la
prima è quella che dà un risultato minore.
La moltiplicazione accresce
• Assimilare la nuova situazione per accomodare il
modello ad uno nuovo non è affatto facile
Necessità didattica di non rendere stabile
quell’immagine troppo presto, nel
tentativo di costruire un modello del
concetto di moltiplicazione in modo
ottimale (che tenga conto dei successivi
ampliamenti, per esempio ai numeri
razionali)
La divisione diminuisce
Nella situazione A : B, il numero B deve
essere minore del numero A
15 amici si
dividono 5
kg di biscotti.
Quanti ne
spettano a
ciascuno?
Ricerche dimostrano che
studenti, anche di scuole
superiori, vengano
spontaneamente spinti ad
eseguire 15 : 5!!
“Una misconcezione è un concetto errato e
genericamente costituisce un evento da evitare;
essa però non va vista sempre coma una
situazione del tutto o certamente negativa: non è
escluso che per poter raggiungere la costruzione
di un concetto, si renda necessario passare
attraverso una misconcezione momentanea, ma
in corso di sistemazione.” (D’Amore, 1999)
Possono rappresentare concezioni momentaneamente
non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva.
le immagini
che uno studente si fa dei concetti in
alcuni casi possono essere delle vere e proprie
misconcezioni, cioè interpretazioni errate delle
informazioni ricevute;
tali immagini-misconcezioni risultano di ostacolo
all’apprendimento futuro solo se diventano forti e
stabili modelli erronei di tale concetto.
Quando un’insegnante propone un’immagine forte,
convincente, persistente e in alcuni casi univoca di
un concetto, tale immagine si trasforma in un
modello intuitivo.
In questi casi le misconcezioni possono diventare
ostacoli per i futuri apprendimenti.
Quando le misconcezioni non sono da imputare ad
una cattiva trasposizione didattica, ma alla
necessaria gradualità di presentazione del sapere,
sono inevitabili e da considerare non negative,
in quanto fanno parte del normale sviluppo dei
concetti attraverso le immagini e i modelli.
Le misconcezioni “evitabili” derivano dalla
trasposizione didattica del sapere, in quanto sono,
appunto, una diretta conseguenza delle scelte degli
insegnanti
Queste misconcezioni dipendono da una diretta
conseguenza della prassi scolastica minata da
improprie consuetudini proposte dagli insegnanti ai
propri allievi
Nella formazione delle convinzioni ha una
notevole responsabilità il tipo di
insegnamento ricevuto.
Una convenzione, accettata da tutti i libri di
testo, è chiamare il seguente lato del trapezio con
il nome di lato obliquo.
27
Un uso improprio di questi termini, basato
esclusivamente sull’importanza data alla posizione
assunta dall’oggetto, piuttosto che alle
caratteristiche matematiche dell’oggetto stesso,
potrebbe generare misconcezioni “evitabili”.
28
La parola base nello spazio…
Nello spazio c’è chi definisce base la faccia
sulla quale “appoggia” il solido
29
30
Nell’insegnamento della
matematica vi sono
dei concetti considerati semplici da essere
appresi da parte degli allievi ma che, in
realtà, sono alla base di insidiose
misconcezioni, causate a volte dalle scelte
didattiche effettuate dagli insegnanti.
Esempio: l’altezza…maldestramente definita alla
scuola elementare e poi spesso lasciato semplicemente
all’intuizione, ma che è causa di diffuse difficoltà tra gli
studenti di qualsiasi età.
31
Di solito, nei libri di testo, si legge ad esempio che
ciascuna delle tre altezze di un triangolo è «il segmento
che “parte” da un vertice e “cade” perpendicolarmente
sul lato opposto o sul suo prolungamento».
È lecito domarsi: l’altezza è davvero un segmento o una
grandezza? Come può un segmento “partire” e
“cadere”? Supponendo che un segmento possa
“partire”, lo deve fare per forza da un vertice? Si parla
di altezza solo per determinate figure? Quante altezze
ha un poligono? L’altezza rappresenta quindi un
concetto all’apparenza semplice ma che nasconde al
suo interno notevoli complessità…
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Vertice o un qualsiasi punto?
«No, questa non è l’altezza, perché
non rispetta la regola che abbiamo
imparato. L’altezza deve partire dal
vertice e scendere fino a quando
incontra la base»
33
Interna o anche esterna?
«Non è un’altezza perché finisce fuori
dal triangolo»
34
Verticale o qualsiasi direzione?
Questo segmento rappresenta una
delle altezze del triangolo?
E così, l’altezza diventa
esclusivamente verticale dal
punto di vista del lettore...
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Un bambino di scuola primaria precisa… «In
questo momento non è un’altezza; se voglio che
diventi un’altezza, devo girare il foglio e
rimetterla in piedi»
e la dispone nel seguente modo:
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Quante altezze ha un poligono?
Ad esempio il trapezio, pur essendo costituito da
4 lati, ha per i libri di testo un’unica altezza: la
distanza tra i due lati paralleli; mentre si
potrebbe far notare che ciascun quadrilatero,
avendo 4 lati, ha 4 altezze, una relativa a ciascun
lato.
L’autista scolarizzato…
37
«L’altezza di un trapezio è
la distanza tra due lati
paralleli».
38
39
Risulta invece interessante parlare di altezza in
modo generalizzato per qualsiasi poligono e far sì
che ogni poligono abbia un numero di altezze pari al
numero di lati.
Ciò è possibile considerando un’altezza rispetto ad
un lato come «la distanza massima individuata
dai punti del poligono rispetto a quel lato o
al suo prolungamento o, se si preferisce,
rispetto alla retta che contiene quel lato» (nel
concetto di distanza è già implicita la
perpendicolarità).
40
Queste misconcezioni derivano dalla diversità tra lo
spazio dell’esperienza fisica che è anisotropo, ossia
possiede una direzione privilegiata rappresentata
dalla verticale, e lo spazio isotropo della geometria
euclidea, dove tutte le direzioni per un punto si
equivalgono.
41
A.: … non è un triangolo isoscele perché non
ha i due lati obliqui della stessa lunghezza.
Sul libro c’era scritto che il triangolo è isoscele
quando ha i lati obliqui della stessa lunghezza.
42
Base
Verticale
Appoggiato
Orizzontale
Altezza
Obliquo
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PROPRIETA’
TRIANGOLO
DUE LATI CONGRUENTI
UN ANGOLO OTTUSO
SOVRASTRUTTURE
ANGOLO AL VERTICE
BASE
APPOGGIATO
44
LIVELLO 02 2012/2013
LIVELLO 02 2011/2012
LIVELLO 05 2011/2012
LIVELLO 06 2011/2012
LIVELLO 06 2012/2013
L’alunno nel tempo costruisce un concetto riferendosi a proprie
immagini mentali.
L’immagine mentale, soprattutto all’inizio, è di carattere figurale.
Poi entrano in azione gli altri registri semiotici: numerico,
algebrico, schematico, grafico-funzionale, topologico, ecc.
Con il passare dei giorni, dei mesi (in taluni casi anche degli
anni), se convenientemente stimolato, l’allievo perfeziona le
proprie immagini mentali:
mediante rimozione degli elementi parassiti
mediante rafforzamento degli elementi invarianti.
51
Esempio: costruzione del concetto di rettangolo.
All’inizio, l’immagine mentale è di carattere figurale.
Può essere indotta da un foglio di carta colorata oppure da una
figura disegnata.
Nelle prime immagini il rettangolo “appoggia” sul suo lato
maggiore:
52
Nel tempo l’immagine evolve.
Per esempio il concetto di rettangolo si associa a due o più
immagini del tipo:
2
1
53
Attenzione: l’immagine figurale è forte e contiene
anche informazioni parassite.
Se un allievo ha solo l’immagine 1 di rettangolo,
non riconosce né 2 né 3 né 4 come rettangoli.
(La 1 contiene l’informazione parassita che la
dimensione maggiore è quella “orizzontale”.)
L’allievo che possiede solo le immagini 1 e 2 (quelle
di gran parte dei libri di testo, che contengono
l’informazione parassita: lati “orizzontali” e
“verticali”) non riconosce né 3 né 4 come
rettangolo.
2
1
54
L’allievo che possiede solo le immagini 1, 2, 3, 4 di rettangolo
(che contengono l’informazione parassita “lati di lunghezza
diversa”) non riconosce né 5 né 6 come rettangolo.
A questo punto l’allievo può arricchire la propria immagine di
rettangolo giungendo a una definizione verbale: quella di
quadrilatero con gli angoli retti.
5
55
I registri della Geometria
Registro del linguaggio naturale
Registro del linguaggio simbolico
Registro figurativo
Importanza del
ragionamento
geometrico proprio
perché si appoggia
su diversi registri.
VISUALIZZAZIONE
INTUIZIONE
DEDUZIONE
Costruzione di figure
ruolo cruciale
“Il disegno, inteso come costruzione della
figura geometrica, è una specificità della
geometria, importante come strumento di
apprendimento che catalizza
informazioni e abilità” (Furinghetti,
1996)
Quand’è che un disegno funziona
efficacemente da figura geometrica?
4 livelli di comprensione per una figura geometrica
(Duval, 1995, Duval, 1999)
Livello Percettivo: capacità di riconoscere le
figure (ad es. distinguere le forme) e di individuare
in una figura componenti e sotttofigure (ad es. lati)
Livello Sequenziale: fare o descrivere una
costruzione
Livello Discorsivo: riconoscere e individuare
proprietà matematiche che non sono determinate
direttamente dalla percezione
Livello operativo: essere in grado di modificare,
anche solo mentalmente, una figura per risolvere un
problema (ad es. scomporre)
4 livelli di comprensione per una figura geometrica
(Duval, 1995, Duval, 1999)
Funzioni epistemologiche
dei livelli percetttivi
Livello Percettivo: IDENTIFICAZIONE
Livello Sequenziale: MODELLO
Livello Discorsivo: DIMOSTRAZIONE
Livello operativo: EURISTICA
Un disegno funge da figura
geometrica quando attiva il livello
della comprensione percettiva e
almeno uno degli altri tre
Un disegno funge da figura
geometrica quando attiva il livello
della comprensione percettiva e
almeno uno degli altri tre
Le figure che i software di geometria
dinamica generano e permettono di
manipolare sono pregnanti in tutti i
livelli di comprensione, permettendo di
sviluppare operazioni sulle figure e sulle
operazioni .
Dal disegno di un triangolo
all’idea di triangolo
Il problema
della
generalità
Ogni volta che lavoriamo su una figura geometrica, abbiamo sotto
gli occhi un modello concreto (ad es. il triangolo rettangolo)
Insegnanti
Noi insegnanti sappiamo che ci
stiamo riferendo a una famiglia
infinita di figure che condividono
con quel particolare disegno di
triangolo alcune proprietà e non
altre.
Sappiamo distinguere quali sono le
proprietà accidentali, cioè che
appartengono a quel triangolo ma non
necessariamente a tutti gli altri
Studenti
Elementi particolari
possono essere considerati
fondamentali
Entrano nelle
caratteristiche generali
alimentando così il formarsi
di misconcezioni
Dal disegno di un triangolo
all’idea di triangolo
Il problema
della
generalità
Ogni volta che lavoriamo su una figura geometrica, abbiamo sotto
gli occhi un modello concreto (ad es. il triangolo rettangolo)
Caratteristiche molto forti
come impatto visivo
DISPOSIZIONE ASSUNTA (ANCHE
INCONSAPEVOLMENTE)
COME UNA CARATTERISTICA DI
OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO
Capacità minima di identificare
un triangolo rettangolo in questa
posizione
ASPETTI CONCETTUALI E FIGURALI
“l’integrazione di proprietà figurali e concettuali in
strutture mentali unitarie, con il predominio dei
vincoli concettuali su quelli figurali, non è un
processo naturale ”. (Fishbein, 1993)
Un concetto figurale è quindi una fusione, a livello mentale,
tra concetto e figura.
Quando uno studente risolve un
problema di geometria opera sul
concetto figurale
Che cosa vedi?
Ogni volta che lavoriamo su una figura geometrica, abbiamo sotto
gli occhi un modello concreto (ad es. il triangolo rettangolo)
MOLTO FREQUENTEMENTE QUINDI GLI STUDENTI
ASSUMONO COME RAPPRESENTATIVO DI UN
CONCETTO UN ESEMPIO PROTOTIPICO IN CUI SONO
PRESENTI ANCHE CARATTERISTICHE CHE IN REALTA’
NON APPARTENGONO ALL’IDEA GENERALE.
Tendono a riprodurre e a disegnare, ogniqualvolta un
problema o una consegna richiede di lavorare con quella
figura in generale, proprio il modello prototipico.
RAFFORZATO:
Libri di testo
Abitudini di disegno delle insegnanti
L’USO DI UN SOFTWARE DI GEOMETRIA DINAMICA E
DI UNA LIM OFFRE AGLI STUDENTI E AGLI
INSEGNANTI MOLTA PIU’ LIBERTA’ NEL REALIZZARE
E MANIPOLARE FIGURE GEOMETRICHE
Costruire figure geometriche anche seguendo percorsi nonstandard (ad esempio come risultati di costruzioni precedenti
oppure definendo analiticamente le coordinate dei punti)
Permette di muovere liberamente le figure
Consente di modificarle con diverse modalità
ASPETTI CONCETTUALI E FIGURALI
“l’integrazione di proprietà figurali e concettuali in
strutture mentali unitarie, con il predominio dei
vincoli concettuali su quelli figurali, non è un
processo naturale ”. (Fishbein, 1993)
Un concetto figurale è quindi una fusione, a livello mentale,
tra concetto e figura.
Quando uno studente risolve un
problema di geometria opera sul
concetto figurale
Che cosa vedi?
ASPETTI CONCETTUALI E FIGURALI
I software di geometria dinamica
sono considerati un nuovo tipo di
mediatore tra gli aspetti figurali e
concettuali
Un utilizzo strategico
delle nuove tecnologie
LA FIGURA E’ DINAMICA
Trascinamento
Il comportamento di una figura durante il
trascinamento dipende da come è stata
costruita
La costruzione di un oggetto in un ambiente
di geometria dinamica richiede
l’esplicitazione di aspetti concettuali e di
aspetti figurali (Mariotti, 1995)
IL TRASCINAMENTO LASCIA INVARIATE DETERMINATE
RELAZIONI GEOMETRICHE E QUESTO PERMETTE AGLI
ALLIEVI DI COMPRENDERE MEGLIO LA LOGICA INTERNA
DELLA COSTRUZIONE.
Dinamicità
Permette di spostare l’attenzione dagli oggetti
alle famiglie di oggetti (vedere una figura
come caso limite di una situazione più
generale, osservare la famiglia di quadrati
ottenuta ruotandone uno intorno al proprio
centro evidenziando l’invarianza delle misure
durante questa trasformazione)
Dinamicità
lavorare con famiglie di rettangoli
isoperimetrici osservandone il variare dell’area
lavorare con famiglie di rettangoli
equiestesi, osservando il variare del perimetro
costruire figure dipendenti da un parametro
e osservare come variano le loro caratteristiche
al variare del parametro (slider)
Tracciabilità, Reversibilità, Visibilità, …
COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Le figure vengono costruite definendo le relazioni fra gli
elementi che le compongono
C
• TRACCIARE UN SEGMENTO (AB)
• TRACCIARE LA RETTA PERPENDICOLARE
AD AB PER IL PUNTO B
• COSTRUIRE UN SEGMENTO BC SULLA
RETTA PERPENDICOLARE
• CONGIUNGERE A CON C
Trascinamento dei vertici
B
A
Sono consentiti tutti (e solo) i movimenti che mantengono la
perpendicolarità tra AB e BC (punto C si muoverà solo lungo
la direzione BC, punto B si muoverà nel piano ma BC
continuerà ad essere perpendicolare ad AB, )
LIV 06_2010
“Le figure
geometriche
sono regolari”
Risposte Corrette: 14,7%
PN_2010
“L’altezza è
verticale”
LIV 05_2012
“L’altezza è
verticale”
PN_2011
“L’altezza
cade”
