Geometria
SINTESI
Unità 10
Superfici equivalenti. Area dei poligoni
Due superfici piane si dicono equiestese o equivalenti se hanno la stessa estensione o area.
Due superfici congruenti sono equivalenti.
Due superfici equivalenti non sono in generale congruenti.
Superfici che sono somme di superfici rispettivamente congruenti sono equivalenti.
Superfici scomponibili in superfici rispettivamente congruenti sono equivalenti.
FIGURE
AREA
FORMULE INVERSE
Rettangolo
h
b=
A
h
h=
A
b
A=b#h
b
Quadrato
l
A=l2
l= A
l
h
b=
A
h
h=
A
b
A=b#h
b
Nuovo Aritmetica, Geometria, Algebra Oggi – Petrini © 2010 De Agostini Scuola SpA – Novara
Parallelogrammo
Rombo
d1
A=
d2
Trapezio
d1 # d2
2
d1 =
2#A
d2
d2 =
2#A
d1
h=
2A
b1 + b2
b1
(b + b2) # h
A= 1
2
h
b1 + b2 =
b2
Triangolo
a
h
c
A=
b
A=
Triangolo
rettangolo
c
b
h
a
2#A
h
2#A
h=
b
b=
b#h
2
p
p
p
p
#c
- am # c
- bm # c
- cm
2
2
2
2
Formula di Erone
a#h
2
b#c
A=
2
A=
2A
h
2#A
h
2#A
b=
c
a=
2#A
a
2#A
c=
b
h=
1
Geometria
Poligono circoscritto
a una circonferenza
p#r
A=
2
r
Poligono regolare
a
l
p=
2#A
r
r=
2#A
p
n: numero dei lati
p#a
2#A
2#A
A=
p=
a=
a
p
2
La misura a dell’apotema di un poligono regolare si ottiene moltiplicando la misura l del lato per una costante c che dipende dal numero
n dei lati del poligono regolare. Abbiamo:
a=l#c
l=
a
c
I valori di c per i poligoni regolari indicati, riportati nella seguente tabella, sono arrotondati alla terza cifra
decimale, fatta eccezione per quello relativo al quadrato che è esatto.
equilatero
regolare
regolare
regolare
regolare
regolare
regolare
regolare
regolare
a = l # 0,289
a = l # 0,5
a = l # 0,688
a = l # 0,866
a = l # 1,038
a = l # 1,207
a = l # 1,374
a = l # 1,539
a = l # 1,866
a = l # 2,352
(3 lati)
(4 lati)
(5 lati)
(6 lati)
(7 lati)
(8 lati)
(9 lati)
(10 lati)
(12 lati)
(15 lati)
Nuovo Aritmetica, Geometria, Algebra Oggi – Petrini © 2010 De Agostini Scuola SpA – Novara
Triangolo
Quadrato
Pentagono
Esagono
Ettagono
Ottagono
Ennagono
Decagono
Dodecagono
Pentadecagono
L’area di un poligono regolare si può ottenere con la formula:
n # l2 # c
2
da cui si ricava:
A=
n: numero dei lati; l: lunghezza del lato; c: costante relativa al poligono
2#A
n#c
l#h
Per il triangolo equilatero si usa frequentemente la formula A =
, essendo l il lato,
2
A
.
cioè la base, e h = l # 0,866 l’altezza. Quindi A = l 2 # 0,433 da cui si ricava l =
0,433
l=
l
l
h
l
SEMPLICI QUESTIONI DI ISOPERIMETRIA
Due o più poligoni si dicono isoperimetrici quando hanno i perimetri congruenti.
Poligoni isoperimetrici non sono in generale equivalenti.
Poligoni equivalenti non sono in generale isoperimetrici.
Ogni poligono regolare ha la massima area rispetto a tutti i poligoni isoperimetrici con lo stesso numero di
lati.
Le aree dei poligoni regolari isoperimetrici aumentano con l’aumentare del numero dei lati.
2
