Piano Lauree Scientifiche 2010-2011
Approfondimento del Laboratorio: “Nei dintorni della geometria euclidea”
“Tassellazioni sulla sfera”
SCHEDA 1
COGNOME e NOME DEI COMPONENTI DEL GRUPPO
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Disegnate, sulla sfera, un triangolo equilatero con tre angoli retti.
1) Descrivete la costruzione
2) Quali osservazioni potete fare (Quanti ne avete trovati? Che misure possono avere
i loro lati?...)?
Dalla discussione e condivisione delle proposte dei gruppi si dovrebbe arrivare a
condividere che:
- Esiste solo un tipo di triangolo equilatero con angoli retti e lati pari a un quarto di
circonferenza massima (a meno di isometrie) e lo si costruisce con tre rette, a due a
due perpendicolari (in geometria sferica la similitudine... non c’è...)
- Con 8 triangoli equilateri (ciascuno con tre angoli retti) si tassella la sfera, cioè si
può parlare, in modo spontaneo, di tassellazione della superficie sferica, vale a dire
un “ricoprimento” della sfera con poligoni uguali fra loro e regolari (cioè con lati
uguali e angoli uguali)
SCHEDA 2
1) Trovate i centri degli otto triangoli equilateri che ricoprono la sfera (con una
costruzione geometrica adeguata...)
Con un colore diverso segnate i punti trovati e unite con segmenti (segmenti sferici!)
i centri di triangoli consecutivi (cioè con un lato in comune).
Pensate di avere ottenuto una nuova tassellazione della superficie sferica?
Giustificate la vostra risposta (ricordando che la tassellazione richiede poligoni
regolari...)
Si ottiene una nuova tassellazione, con 6 “quadrati” sferici, ciascuno con angoli di
120°
2) Pensate agli otto punti nello spazio usuale.... riuscite a vederli come vertici di una
particolare figura dello spazio?
3) Fate lo stesso con i 6 vertici dei triangoli equilateri.... in questo caso riuscite a
immaginarli come vertici di una particolare figura nello spazio?
Dovrebbe risultare evidente che le figure di riferimento sono il cubo e l’ottaedro...
In sede di discussione con gli studenti si può chiedere se ritengono possibile, con
analogo passaggio dalla prima alla seconda tassellazione, un passaggio
dall’ottaedro al cubo (o viceversa) con l’osservazione (che emerge anche dal
conteggio-confronto fra numero di vertici, spigoli, facce) della loro dualità...
SCHEDA 3
1) Scegliete un vertice sulla sfera tra quelli del “cubo” e osservate che sono tre i
quadrati che si incontrano in quel vertice.
Segnate poi, in ognuno di questi tre quadrati, il vertice opposto al primo che avete
scelto: avete così ottenuto quattro punti.
Unite ora i quattro punti, ciascuno con gli altri tre (con segmenti sferici).
Descrivete la nuova tassellazione della superficie sferica che avete ottenuto:
La terza tassellazione che si ottiene è con 4 triangoli equilateri, questa volta con
angoli di 120° ciascuno
2) Se pensate ai quattro punti nello spazio usuale.... riuscite a vederli come vertici di
una particolare figura dello spazio?
Questa volta il poliedro di riferimento è il tetraedro.
3) Conoscete altri poliedri regolari?
Nella discussione dovrebbero emergere gli altri due poliedri regolari, il dodecaedro
e l’icosaedro (si possono portare già costruiti con il Geomag, così gli studenti
possono pensare meglio al loro utilizzo ed eventualmente fare osservazioni sui
poligoni corrispondenti alle facce sulla sfera, sulle misure degli angoli...) e allora si
propone agli studenti di pensare se anche questi possano essere utilizzati per la
tassellazione..... si accettano idee intuitive....tipo “si può pensare al poliedro di
gomma che si gonfia fino ad aderire alla sfera...”Le due ultime tassellazioni sono
dunque ottenute con 12 pentagoni sferici, ciascuno con angoli di 120° e con 20
triangoli equilateri sferici, ciascuno con angoli di 72°.
I cinque poliedri regolari hanno così dato origine a cinque tassellazioni diverse della
sfera.
Se si accettano anche figure con due soli lati (i “bilateri”, forse già emersi durante
l’esperienza in classe) ci sono altri casi.... anzi infiniti....
Si può concludere con un confronto fra la tassellazione nel piano (solo tre tipi, a
meno di similitudini) e sulla sfera (cinque senza bilateri, a meno di isometrie, e
infinite altrimenti).
