schede studenti con commenti
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Piano Lauree Scientifiche 2010-2011 Approfondimento del Laboratorio: “Nei dintorni della geometria euclidea” “Tassellazioni sulla sfera” SCHEDA 1 COGNOME e NOME DEI COMPONENTI DEL GRUPPO _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ Disegnate, sulla sfera, un triangolo equilatero con tre angoli retti. 1) Descrivete la costruzione 2) Quali osservazioni potete fare (Quanti ne avete trovati? Che misure possono avere i loro lati?...)? Dalla discussione e condivisione delle proposte dei gruppi si dovrebbe arrivare a condividere che: - Esiste solo un tipo di triangolo equilatero con angoli retti e lati pari a un quarto di circonferenza massima (a meno di isometrie) e lo si costruisce con tre rette, a due a due perpendicolari (in geometria sferica la similitudine... non c’è...) - Con 8 triangoli equilateri (ciascuno con tre angoli retti) si tassella la sfera, cioè si può parlare, in modo spontaneo, di tassellazione della superficie sferica, vale a dire un “ricoprimento” della sfera con poligoni uguali fra loro e regolari (cioè con lati uguali e angoli uguali) SCHEDA 2 1) Trovate i centri degli otto triangoli equilateri che ricoprono la sfera (con una costruzione geometrica adeguata...) Con un colore diverso segnate i punti trovati e unite con segmenti (segmenti sferici!) i centri di triangoli consecutivi (cioè con un lato in comune). Pensate di avere ottenuto una nuova tassellazione della superficie sferica? Giustificate la vostra risposta (ricordando che la tassellazione richiede poligoni regolari...) Si ottiene una nuova tassellazione, con 6 “quadrati” sferici, ciascuno con angoli di 120° 2) Pensate agli otto punti nello spazio usuale.... riuscite a vederli come vertici di una particolare figura dello spazio? 3) Fate lo stesso con i 6 vertici dei triangoli equilateri.... in questo caso riuscite a immaginarli come vertici di una particolare figura nello spazio? Dovrebbe risultare evidente che le figure di riferimento sono il cubo e l’ottaedro... In sede di discussione con gli studenti si può chiedere se ritengono possibile, con analogo passaggio dalla prima alla seconda tassellazione, un passaggio dall’ottaedro al cubo (o viceversa) con l’osservazione (che emerge anche dal conteggio-confronto fra numero di vertici, spigoli, facce) della loro dualità... SCHEDA 3 1) Scegliete un vertice sulla sfera tra quelli del “cubo” e osservate che sono tre i quadrati che si incontrano in quel vertice. Segnate poi, in ognuno di questi tre quadrati, il vertice opposto al primo che avete scelto: avete così ottenuto quattro punti. Unite ora i quattro punti, ciascuno con gli altri tre (con segmenti sferici). Descrivete la nuova tassellazione della superficie sferica che avete ottenuto: La terza tassellazione che si ottiene è con 4 triangoli equilateri, questa volta con angoli di 120° ciascuno 2) Se pensate ai quattro punti nello spazio usuale.... riuscite a vederli come vertici di una particolare figura dello spazio? Questa volta il poliedro di riferimento è il tetraedro. 3) Conoscete altri poliedri regolari? Nella discussione dovrebbero emergere gli altri due poliedri regolari, il dodecaedro e l’icosaedro (si possono portare già costruiti con il Geomag, così gli studenti possono pensare meglio al loro utilizzo ed eventualmente fare osservazioni sui poligoni corrispondenti alle facce sulla sfera, sulle misure degli angoli...) e allora si propone agli studenti di pensare se anche questi possano essere utilizzati per la tassellazione..... si accettano idee intuitive....tipo “si può pensare al poliedro di gomma che si gonfia fino ad aderire alla sfera...”Le due ultime tassellazioni sono dunque ottenute con 12 pentagoni sferici, ciascuno con angoli di 120° e con 20 triangoli equilateri sferici, ciascuno con angoli di 72°. I cinque poliedri regolari hanno così dato origine a cinque tassellazioni diverse della sfera. Se si accettano anche figure con due soli lati (i “bilateri”, forse già emersi durante l’esperienza in classe) ci sono altri casi.... anzi infiniti.... Si può concludere con un confronto fra la tassellazione nel piano (solo tre tipi, a meno di similitudini) e sulla sfera (cinque senza bilateri, a meno di isometrie, e infinite altrimenti).
