I TRIANGOLI SFERICI
Prendiamo sulla sfera tre punti non allineati, ossia non tutti sullo stesso cerchio massimo, e
uniamoli con tre archi di circonferenza massima, ciascuno di lunghezza minore di metà
circonferenza. Otteniamo in tal modo un triangolo sferico – o meglio, due triangoli complementari
che insieme compongono l’intera sfera (come quello giallo e quello azzurro in figura).
E’ chiaro che, note le misure degli angoli e dei lati di uno di essi, quelle dell’altro restano
determinate per differenza. Possiamo allora fissare l’attenzione su uno solo di questi due triangoli: è
consuetudine considerare il più piccolo dei due (quello azzurro in figura), che è contenuto in una
semisfera ed è talvolta chiamato triangolo di Eulero. I suoi lati
sono più corti della metà di un cerchio massimo e i suoi angoli
misurano meno di 180°.
Il triangolo mostrato in figura è un po’ speciale: è regolare
(cioè equilatero ed equiangolo), ha lati uguali a 1/4 di
circonferenza massima e angoli di 90°. La somma degli angoli
interni di questo triangolo trirettangolo è di 270°! In generale, la
somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo sferico è
maggiore di 180°: in questa nuova geometria viene quindi a cadere
un ben noto teorema euclideo.
Questo fatto, forse sorprendente, è una delle conseguenze della particolare curvatura della
superficie sferica. Possiamo trovarne una spiegazione anche osservando che la proprietà euclidea
della somma degli angoli di un triangolo piano è logicamente equivalente al postulato di Euclide
sull’esistenza delle parallele, tenendo presente che nella geometria sferica ogni coppia di “rette”
(ossia di cerchi massimi) ha intersezione non vuota.
Nei triangoli sferici regolari si nota che all’aumentare del lato aumenta anche l’angolo, e che
questo s’avvicina sempre più a 180°. Al limite, i vertici della figura cadono su un cerchio massimo
e gli angoli raggiungono i 180°: il triangolo coincide allora con una semisfera. Al contrario, più il
lato diminuisce e più l’angolo si avvicina a 60°: la figura si confonde con un triangolo piano e al
limite si restringe in un punto. S’intuisce che per ogni valore compreso fra 60 e 180 c’è un triangolo
equilatero con angoli di quella misura (al solito, espressa in gradi).
Sulla sfera continuano a valere i ben noti criteri di congruenza dei triangoli piani.
Precisamente, due triangoli sferici che hanno ordinatamente uguali (ossia della stessa misura):
•
un lato e i due angoli adiacenti (ALA), oppure
•
due lati e l’angolo compreso (LAL), oppure
•
tre lati (LLL)
hanno tutti gli altri elementi uguali. Da notare che due triangoli congruenti possono non essere
sovrapponibili, né con un movimento rigido sulla sfera, né con uno simile nello spazio! Basta
pensare ad un triangolo sferico scaleno ottenuto da un altro per “riflessione” in una “retta”,
attribuendo a questi termini il loro significato nell’ambito della geometria sferica.
Oltre ai precedenti criteri ne vale però un quarto (denotato con AAA):
•
due triangoli sferici sono congruenti se hanno angoli corrispondenti uguali.
In altre parole, sulla sfera non esistono triangoli simili differenti! Di un oggetto (figura) sulla
sfera non è quindi possibile realizzare, sulla stessa sfera, una rappresentazione in scala!
