proprietà dei
numeri naturaLi
operazioni
per esercitarti
… e la poesia
… e la musica
L’insieme dei numeri naturali
Prova a raccontare la tua “giornata tipo” ad un amico: ti renderai conto di quante
volte facciamo ricorso ai numeri.
la mattina mi alzo alle …,
per andare a scuola
Probabilmente conoscerai molto su di essi ma è
prendo l’autobus numero
opportuno riorganizzare le tue conoscenze e riflettere
…, ho … di lezione,
su di esse ..
Un numero naturale esprime quanti sono gli elementi di un insieme
finito e di ogni altro ente equipotente ad esso.
L’insieme N dei numeri naturali è:
N = 0, 1, 2, 3, …, n, …).
Essi :
•sono infiniti
Per quanto tu possa pensare un numero
grande, basta aggiungere 1 e ne ottieni un
altro ancora più grande …
•si scrivono utilizzando la notazione posizionale
•sono ordinati
Presi comunque due numeri naturali a
e b, si possono sempre confrontare e,
oa<bo a=boa>b
Per esempio, nel
numero 2546,
6 indica le unità
4
le decine
5
le centinaia
2
le migliaia
254662544625
Perché, pur utilizzando
le stesse cifre cambia
la “posizione” nel
numero
I nummeri
Conterò poco, è vero:- diceva l'Uno ar
Zero -ma tu che vali? Gnente: propio
gnente. sia ne l'azzione come ner
pensiero rimani un coso vôto e
inconcrudente. Io, invece, se me metto a
capofila de cinque zeri tale e quale a
te,lo sai quanto divento? Centomila. È
questione de nummeri. A un dipresso è
quello che succede ar dittatore che
cresce de potenza e de valore più so' li
zeri che je vanno appresso. Trilussa
Quarantaquattro gatti,
44 gatti
in fila per sei col resto di due,
si unirono compatti,
in fila per sei col resto di due,
1968 di G. Cesarini
coi baffi allineati,
in fila per sei col resto di due,
le code attorcigliate,
in fila per sei col resto di due.
Nella cantina di un palazzone
tutti i gattini senza padrone
organizzarono una riunione
per precisare la situazione.
Quarantaquattro gatti,
in fila per sei col resto di due,
si unirono compatti,
in fila per sei col resto di due,
coi baffi allineati,
in fila per sei col resto di due,
le code attorcigliate,
in fila per sei col resto di due.
Sei per sette quarantadue,
più due quarantaquattro!
Loro chiedevano a tutti i bambini,
che sono amici di tutti i gattini,
un pasto al giorno e all'occasione, poter dormire sulle poltrone!
Sei per sette quarantadue,
più due quarantaquattro!
Naturalmente tutti i bambini
tutte le code potevan tirare
ogni momento e a loro piacere,
con tutti quanti giocherellare.
Quarantaquattro gatti,
in fila per sei col resto di due,
si unirono compatti,
in fila per sei col resto di due,
coi baffi allineati,
in fila per sei col resto di due,
le code attorcigliate,
in fila per sei col resto di due.
Sei per sette quarantadue,
più due quarantaquattro!
Quando alla fine della riunione
fu definita la situazione
andò in giardino tutto il plotone
di quei gattini senza padrone.
Quarantaquattro gatti,
in fila per sei col resto di due,
si unirono compatti,
in fila per sei col resto di due,
coi baffi allineati,
in fila per sei col resto di due,
le code attorcigliate,
in fila per sei col resto di due.
Sei per sette quarantadue,
più due quarantaquattro!
V.N. donne: La fattoria, ognuno lo sa
è molto meglio di un tetto in città
V.N. uomini: e nonno gatto racconta al micetto
di quando viveva là sopra il tetto
V.N. donne: senza più verde, solo cemento
senza la musica del firmamento.
V.N. uomini: Quando il gattino guarda all'insù
la luna sorride e fa cucù.
44 Gatti (quarant'anni dopo)
Parlato: Volete sapere che cosa ne è stato
di quei 44 gatti in fila per sei
col resto di due, in tutti questi anni?
Verdi Note donne: Nella cantina del palazzone
che fu allagata da un acquazzone
V.N. uomini: tutti quei gatti decisero in coro
che la città non faceva per loro:
V.N. donne: quando la notte vuoi miagolare
fra i grattacieli è dura trovare
V.N. uomini: un fazzoletto di cielo blu
e anche la luna non scorgi più...
Piccolo Coro: 44 gatti di un tempo assai lontano
V.N. uomini: il babbo vi cantava se si sentiva giù.
V.N. donne+P.C.: la mamma vi cantò
tenendovi per mano ed io vi canto oggi
che siete assai di più.
Vi canto e vi conto uno per uno,
Tutti: siete arrivati a 201!
Piccolo Coro: 44 gatti, fecero un censimento
di tutti gli altri gatti dei vicoli e dei tetti
V.N. donne+ P.C.: decisero all'istante, senza
ripensamento
di andarsene in campagna
Tutti: 200 e uno gatti
per stare meno stretti
in fila per dieci col resto di uno
e quando fecero il primo raduno
dissero: "A conti fatti,
Tutti: si ritrovarono in... 201!
in fila per dieci col resto di uno
la vita di campagna,
in fila per dieci col resto di uno
è proprio una cuccagna,
in fila per dieci col resto di uno."
E poi accade un fatto strano:
aria pulita e cibo sano
niente fastidi da nessuno
i gatti divennero... 2001!
Tutti: 200 e uno gatti
in fila per dieci col resto di uno
dissero: "A conti fatti,
in fila per dieci col resto di uno
la vita di campagna,
in fila per dieci col resto di uno
è proprio una cuccagna,
in fila per dieci col resto di uno."
E poi accade un fatto strano:
aria pulita e cibo sano
niente fastidi da nessuno
i gatti divennero... 2001!
2001!
2001!
potenza
divisione
addizione
Operazioni con i
numeri naturali
moltiplicazione
sottrazione
per
esercitarti…
Addizione
Marco ha 3
cioccolatini al
latte
…possiamo
contarli …
Entrambi li
regalano a
Silvia
Luca ha 2
cioccolatini
fondenti
Quanti
cioccolatini
ha Silvia?
L’addizione è l’operazione che permette di esprimere il
numero complessivo di due o più gruppi; viene indicata
con il simbolo + ed associa a due numeri naturali, detti
addendi la loro somma.
1° addendo
a
2° addendo
b
Operazioni con i
numeri naturali
+
10 + 0 = 10
per
esercitarti
c-
somma
Proprietà
dell’addizion
e
…possiamo
conoscerne il
numero anche senza
contarli eseguendo
un calcolo a partire
dal numero di
cioccolatini di Marco
e Luca. Tale calcolo
prende il nome di
addizione.
2+3=5
Sottrazione
Silvia ha 18
cioccolatini
Andrea ne
mangia 3
Quanti
cioccolatini ha
adesso Silvia?
E’ l’operazione che a due numeri naturali, tali che il
primo sia maggiore o uguale del secondo e detti,
rispettivamente, minuendo e sottraendo, associa la loro
differenza.
minuendo
5–0=5
sottraendo
a
b
-c
18 – 3 = 15
differenza
3 – 12
= ???
È l’operazione inversa dell’addizione infatti:
Operazioni con i
numeri naturali
6+2=8
per
esercitarti
8–2=6
…possiamo
contarli …
…possiamo conoscerne
il numero anche senza
contarli eseguendo un
calcolo all’indietro di 3
unità a partire da 18.
Tale calcolo prende il
nome di sottrazione.
Proprietà
della
sottrazione
Moltiplicazione
Silvia regala 3
cioccolatini ad ognuno
dei suoi 5 nipoti.
Quanti cioccolatini
regala in tutto
Silvia?
È l’operazione che a due numeri naturali, detti
fattori, associa il loro prodotto.
1° fattore
Operazioni con i
numeri naturali
3 + 3+ 3+ 3 + 3 = 15
in cui vi sono 5 addendi tutti
uguali. Tale calcolo si può
indicare più brevemente con
il simbolo 3 5 e prende il
nome di moltiplicazione.
a
2° fattore
…dobbiamo eseguire una
“particolare” somma:
b
c-
prodotto
71=7
10 0 = 0
per
esercitarti
…
3 5 = 15
Proprietà
della
moltiplicazion
e
Divisione
Silvia ha 15
cioccolatini
Li vuole
suddividere
in parti
uguali tra i
suoi 5 nipoti
…possiamo mettere i 5
ragazzi in cerchio e
distribuire un
cioccolatino ad ognuno di
essi … faremo 3 giri …
Quanti
cioccolatini darà
ad ognuno di
essi?
La divisione è l’operazione che a due naturali, detti
dividendo e divisore associa il loro quoto (che indica il
numero massimo di volte in cui possiamo sottrarre dal
dividendo il divisore).
dividendo
divisore
a
: c
b
È l’operazione inversa della
moltiplicazione infatti:
Operazioni con i
numeri naturali
6:2=3
32=6
per
esercitarti
quoto
…possiamo contare il
numero di sottrazioni
effettuate togliendo
di volta in volta 5
cioccolatini (che
avremmo distribuito in
un giro nel cerchio).
Tale calcolo prende il
nome di divisione e si
indica con 15 : 5 = 3.
Proprietà
della divisione
Potenza
Si dice potenza un prodotto di fattori uguali tra loro. Il fattore che si ripete si
chiama base, il numero dei fattori è indicato dall’esponente della potenza.
Se a è un qualunque numero naturale e nN, n 0, allora
an a
a ...
a
n _ volte
a 0 1,
00
a0
privo di significato
a è detta base
n è detto esponente
a n è detta potenza
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
…
Proprietà
delle potenze
23 2 2 2 8
Proprietà dell’addizione
E’ un’operazione interna ossia la somma di due numeri naturali è ancora
un numero naturale.
naturale Essa gode della proprietà:
Commutativa: scambiando l’ordine
degli addendi la somma non cambia.
a, b N
ab ba
2+3=3+2
Associativa: comunque si associno gli
addendi si perviene alla stessa somma.
(5+2) + 3 = 5 + (3 + 2) = 10
Elemento neutro 0: lo zero
addizionato a qualsiasi altro numero
dà come somma quel numero.
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
a, b, c N
(a b) c a (b c)
a N a 0 0 a a
2+0=0+2=2
Proprietà della moltiplicazione
E’ un’operazione interna ossia il prodotto di due numeri naturali è
ancora un numero naturale.
naturale Essa gode della proprietà:
Commutativa: scambiando l’ordine
dei fattori il prodotto non cambia.
a, b N
ab b a
23=32=6
Associativa: comunque si associno i
fattori si perviene allo stesso
prodotto.
(5 2) 3 = 5 (3 2) = 30
Elemento neutro 1: 1 moltiplicato
per un qualsiasi altro numero dà come
prodotto quel numero.
Operazioni con i
numeri naturali
21=12=2
per
esercitarti
a, b, c N
(a b) c a (b c)
a N a 1 1 a a
Proprietà della moltiplicazione
Legge di annullamento del prodotto:
• in una moltiplicazione, se almeno uno
dei fattori è zero, il prodotto è zero.
se
•Se un prodotto è zero, almeno uno dei
fattori è zero.
23 0 5=0
oa=0
a b c = 0 allora
ob=0
oc=0
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione :
a, b, c N
a (b c) (a b) (a c)
5 ( 2 + 3) = (5 2) + (5 3)
infatti,
5 ( 2 + 3) = 5 5 = 25 e (5 2) + (5 3) = 10 + 15 = 25
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
Proprietà della sottrazione
Non è un’operazione interna in quanto la differenza di due numeri naturali è
un numero naturale solo se il minuendo è maggiore o uguale del sottraendo.
sottraendo
Essa gode della proprietà:
Invariantiva: aggiungendo o togliendo
(qualora sia possibile) uno stesso
numero al minuendo e al sottraendo, la
differenza non cambia.
a b (a c) (b c)
a b, c N
a b (a c) (b c)
a b, a c, b c
197 - 27 = (197 + 3) – (27 + 3) = 200 – 30 = 170
197 - 27 = (197 - 7) – (27 - 7) = 190 – 20 = 170
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione :
b c, a N
a (b c) (a b) (a c)
5 ( 3 - 2) = (5 3) - (5 2)
infatti
5 ( 3 - 2) = 5 1 = 5 e (5 3) - (5 2) = 15 - 10 = 5
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
Proprietà della divisione
Non è un’operazione interna in quanto la divisione tra due numeri naturali
restituisce un numero naturale solo se il dividendo è un multiplo del divisore.
Essa gode della proprietà:
Invariantiva: moltiplicando o dividendo
a : b (a c) : (b c)
(qualora sia possibile) per uno stesso
numero diverso da zero il dividendo e il
divisore, il quoto non cambia.
a : b (a : c) : (b : c)
28 : 14 = (28 2) : (14 2) = 56 : 28 = 2
28 : 14 = (28 : 2) : (14 : 2) = 14 : 7 = 2
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
…
a multiplo di b, c N , c 0
a multiplo di b e c,
b multiplo di c, c 0
Proprietà delle potenze
Il prodotto di potenze che hanno la
stessa base … è una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente la
somma degli esponenti.
23 2 2 23 2 25 32
a n : a m a nm
a, n, m N , a 0, n m
(2 ) 2
Operazioni con i
numeri naturali
2 64
6
per
a e n, o m, non contemporaneamente
nulli.
stessa base e per esponente la differenza
degli esponenti.
potenza che ha per base la stessa base e
per esponente il prodotto degli degli
esponenti.
3 2
a, n, m N ,
Il quoto di potenze che hanno la stessa
base … è una potenza che ha per base la
La potenza di una potenza … è una
3 2
a n a m a nm
315 : 312 31512 33 27
(a n ) m a nm
a, n, m N ,
a e n, o m, non contemporaneamente
nulli.
Proprietà delle potenze
La potenza di un prodotto … è uguale
al prodotto di tante potenze quanti sono
i fattori, aventi ciascuno lo stesso
esponente.
(2 3) 4 2 4 34
( a b) n a n b n
a, b, n N ,
a o b e n non contemporaneamente
nulli.
La potenza di un quoto … è uguale al
(a : b) n a n : b n
a, b, n N , b 0,
a e n non contemporaneamente nulli.
Operazioni con i
numeri naturali
per
esercitarti
…
quoto di due potenze aventi lo stesso
esponente.
63 : 23 (6 : 2)3 33 27
… l’addizione e
la sottrazione
la moltiplicazione
e la divisione
per esercitarti
con …
le potenze
test
Addizione e sottrazione in N
Calcolare il valore della seguente espressione :
32 – {12 + [12 – (9 – 3)]} + [14 – (9 – 6 – 2) – 12]
Si ha
32 – {12 + [12 – (9 – 3)]} + [14 – (9 – 6 – 2) – 12] =
= 32 – {12 + [ 12 – 6 ]} + [ 14 – 1 – 12] =
= 32 – { 12 + 6 }
= 32 –
18
+
1
+
1
=
= 15
E ora a te!
Calcola il valore della seguente espressione :
17 + 31 – [4 + 8 + 3 – (10-3)] + {8 + [4 + 5 + 15 – 23] – 9 } – 39
… il risultato è 1
Moltiplicazione e divisione in N
Calcolare il valore della seguente espressione :
20 - 2 x {6 x [8 + (6 x 2 - 9) – 2 x 5] + 3}
Si ha
20 - 2 x {6 x [8 + (6 x 2 - 9) – 2 x 5] + 3} =
= 20 – 2 x {6 x [8 + ( 12 - 9) – 2 x 5] + 3} =
= 20 – 2 x {6 x [8 + 3 – 2 x 5] + 3} =
= 20 – 2 x {6 x [8 + 3 – 10 ] + 3} =
= 20 – 2 x {6 x 1
+ 3} =
= 20 – 2 x { 6 + 3} =
= 20 – 2 x
9=
= 20 – 18 = 2
E ora a te!
Calcola il valore della seguente espressione :
{ 6 + [18 + 4 x 7 – (6 x 9 – 5 x 7) - 3] – (8 x 7 – 7 x 6) } + 8 – (7 x 8 – 5 – 49)
… il risultato è 22
Moltiplicazione e divisione in N
Calcolare il valore della seguente espressione :
4 x {(15 x 3 – 20) : 5 } : {5 x [35 – 3 x (5 + 6)] }
Si ha
4 x {(15 x 3 – 20) : 5 } : {5 x [35 – 3 x (5 + 6)] } =
= 4 x {(45 – 20) : 5 } : {5 x [35 – 3 x 11 ] } =
= 4 x { 25 : 5 } : {5 x [35 – 33] } =
= 4 x 5 : {5
x
2} =
= 20
:
10 = 2
E ora a te!
Calcola il valore della seguente espressione :
48 - { 8 + [10 x (21 x 2 : 6 – 3) – (30 + 5)] } + 12 x 3 – 56 : 7
… il risultato è 63
Potenze in N
Calcolare il valore della seguente espressione :
(50 85 : 83 3) 3 (43 : 23 205 : 20 4 ) (23 2 32 2 2 )
Si ha
3) 3 (2
(50 85 : 83 3) 3 (43 : 23 205 : 20 4 ) (23 2 32 2 2 )
(1 82
3
20) (2 4 9 4)
(1 64 3) 3 (8 20) (16 9 4)
62 31 11 62 20 42
E ora a te!
Calcola il valore della seguente espressione :
23 2 32 (7 2 7) : 7 50 2 (2 2 32 13) : 7 : 7 23
… il risultato è 20
