sottrazione LM

SOTTRAZIONE
Significato
Significato della sottrazione
La sottrazione è l’operazione che permette di trovare, dati due numeri a e
b, con a ≥ b, un terzo numero c che addizionato al numero b dia come
risultato a.
c è definito quindi dalla relazione a = b + c: il significato della
sottrazione riversato sull’addizione.
Chiamiamo a minuendo e b sottraendo. Il risultato, c, si dice
differenza.
SOTTRAZIONE
Significato
Passiamo semplicemente in rassegna tre modi operativi che possono
essere descritti ai bambini della scuola primaria per comprendere la
sottrazione:
I
17 − 8 = . . . significa togliere 8 unità dalle 17 iniziali
I
17 − · · · = 8 significa trovare quante unità si devono togliere a 17
per ottenere 8
I
8 + · · · = 17 significa trovare quante unità si devono aggiungere ad 8
per ottenere 17
SOTTRAZIONE
Significato
Possiamo dire che per ogni addizione ci sono ‘due’ sottrazioni inverse.
Esempio:
3+4=7
7−4=3
Perché?
e
7−3=4
SOTTRAZIONE
Significato
Esempio
Seconda elementare. La maestra vuole riconoscere se la bambina è in
grado di mettere in relazione fatti aritmetici. L’insegnante scrive:
34 + 9 = 43
34 + 11 = . . .
Scenetra riscrive i due numeri in colonna ed esegue l’addizione e risponde
’45’.
Alla proposta della maestra di utilizzare il risultato della prima addizione
scritta, Scenetra risponde di no.
... la mestra chiede: “Secondo te, come avrebbe fatto Marva?” (Marva è
l’assistente presente alla lezione).
Scenetra risponde collegando senza difficoltà somme note e somme
incognite.
L’insegnante, incredula, scrive, sbagliando volutamente:
34 + 14 = 49
32 + 15 = . . .
chidendo poi a Scenetra ‘Come farebbe Marva?’
Scenetra risponde ‘...48. Lei ha tolto 2 e aggiunto 1’.
SOTTRAZIONE
Proprietà e tavola
Proprietà della sottrazione
1. La sottrazione non è sempre possibile su N × N.
2. Vale l’invariantiva: sommando o sottraendo ai due termini della
sottrazione lo stesso numero, la differenza resta invariata:
∀a, b, c ∈ N con b ≤ a : a − b = (a + c) − (b + c)
Se, inoltre, c ≤ b, allora a − b = (a − c) − (b − c).
3. Vale anche un’altra proprietà, che si può applicare quando il
minuendo è una somma di addendi:
∀a, b, c ∈ N con b + c ≤ a : a − (b + c) = a − b − c
SOTTRAZIONE
Proprietà e tavola
Tavola della sottrazione
-%
0
1
2
3
4
5
...
0
0
1
2
3
4
5
...
1
@
0
1
2
3
4
...
2
@
@
0
1
2
3
...
3
@
@
@
0
1
2
...
4
@
@
@
@
0
1
...
5
@
@
@
@
@
0
...
Quali sono le osservazioni deducibili dalla tavola?
...
...
...
...
...
...
...
...
SOTTRAZIONE
Algoritmo
Algoritmo tradizionale della sottrazione
Sottrazione senza riporto
345 − 123
notaz.polinomiale
=
= (3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 ) − (1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 ) =
= 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 − 1 × 102 − 2 × 101 − 3 × 100 =
= 3 × 102 − 1 × 102 + 4 × 101 − 2 × 101 + 5 × 100 − 3 × 100
=
pr .distr .×rispetto al−
= (3 − 1) × 102 + (4 − 2) × 101 + (5 − 3) × 100 =
= 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 100
= 222
notazione
=
SOTTRAZIONE
Algoritmo
In sintesi:
La barra orizzontale che è posta sotto al secondo addendo rappresenta il
simbolo di =.
SOTTRAZIONE
Algoritmo
Sottrazione con riporto/con cambio
927 − 235
notazione
=
= (9 × 102 + 2 × 101 + 7 × 100 ) − (2 × 102 + 3 × 101 + 5 × 100 ) =
= 9 × 102 + 2 × 101 + 7 × 100 − 2 × 102 − 3 × 101 − 5 × 100 =
9 × 102 − 2 × 102 + 2 × 101 − 3 × 101 + 7 × 100 − 5 × 100 =
= (8 + 1) × 102 − 2 × 102 + 2 × 101 − 3 × 101 + 7 × 100 − 5 × 100
pr .distr .×risp.−
=
= 8×102 + 1×102 −2×102 + 2×101 −3×101 + 7×100 −5×100
pr .commut
=
8 × 102 − 2 × 102 + 1 × 102 + 2 × 101 − 3 × 101 + 7 × 100 − 5 × 100
=
pr .distr .×risp.−
= (8 − 2) × 102 + (10 + 2 − 3) × 101 + (7 − 5) × 100
= 6 × 102 + 9 × 101 + 2 × 100 = 692
notaz.polinomiale
=
SOTTRAZIONE
Algoritmo
In sintesi si scrive:
9 × 102
2 × 102
...
+2 × 101
+3 × 101
+7 × 100
+5 × 100
−
8 × 102
2 × 102
6 × 102
+12 × 101
+3 × 101
+9 × 101
+7 × 100
+5 × 100
+2 × 100
−
che diventa:
SOTTRAZIONE
Algoritmo
8
69
2
6
1
2
3
9
7
5
2
−
Osservazione
Lavorare con l’abaco per motivare l’algoritmo della sottrazione è meno
incisivo rispetto all’uso dello stesso strumento fatto per l’addizione.
Attraverso i due esempi che seguono si può vedere come l’impatto visivo
e concettuale sia diverso.
SOTTRAZIONE
Algoritmo
SOTTRAZIONE
Algoritmo
SOTTRAZIONE
Tecniche alternative e calcolo mentale
Tecniche alternative e calcolo mentale
Sfruttare le proprietà...
37 − 9 = (37 + 1) − (9 + 1)
37 − 9 = 37 − 10 + 1
37 − 9 = 37 − 7 − 2
SOTTRAZIONE
Priorità delle operazioni
Priorità delle operazioni
Addizioni e sottrazioni hanno la stessa priorità e vanno eseguite
nell’ordine in cui sono scritte. Ad esempio:
3+5−4+1
va svolta calcolando prima il risultato di 3 + 5;
togliendo ad esso 4
e infine addizionando 1.
È sbagliato:
3+5−4+1=8−5=3
Il risutato è 3 se si utilizzano le parentesi:
3 + 5 − (4 + 1) = 8 − 5 = 3