Esempi di Campi magnetici e calcolo di induttanze

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_5c_1
Esempi di campi magnetici e calcolo
di induttanze.
M. Usai
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1
Conduttore rettilineo indefinito
Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande
lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile
calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore B .
Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione
per r > ro (ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del
conduttore, risulta:
• il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente
proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del
conduttore e dipendente dalla natura del mezzo;
• la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal
punto considerato;
• il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira,
avanzante nel senso positivo della corrente.
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2
Convenzioni di segno: regola di Maxwell
Il verso positivo dell’asse dell’induttore é quello in cui avanza una
vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della
filo:
•
B
+B
I
•
+
I
•
+
I
B
B
M. Usai
I
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3
Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente
dalla seguente relazione:
I
B=µ
B
r
I
2 πr
P
Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla
grandezza µ, ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.
Il fattore 1/2π é utilizzato per ottenere formule semplificate dette
“razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:
H=
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B
µ
in modulo ⇒
H=
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B
µ
=
I
2πr
4
I
H=
La relazione trovata:
2πr che esprime la legge di Biot e
Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura
del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio.
Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro,
H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera.
All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente
uniforme, in ogni sezione generica di raggio r < ro sarà:
ro
r
Ir
I
J r = 2 = J ro = 2
πr
πro
⇒
r2
Ir = 2 I
ro
e il campo in un punto distante r sarà:
Ir
I
Hr =
=
r
2
2πr 2πro
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Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro ,
H(r) ha l’andamento di una retta.
I
Nella regione interna al conduttore, per r < ro: H r =
r
2
2πro
nella regione esterna al conduttore, per r > ro:
H=
I
2πr
H
ro
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r
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Autoinduttanza di un provino toroidale con N spire strettamente
avvolte intorno con sezione rettangolare.
Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate
cilindriche:
B = aφ Bφ dl = aφ rdφ
N
calcolando la circuitazione al vettore B
lungo un percorso circolare di raggio r con
a < r < b:
r
I
∫ B ⋅ d l = ∫ Baφ ⋅ aφ rdφ = µ NI
o
c
b
c
2π
h
dr
∫
Bφ rdφ = 2πrBφ = µ o NI ⇒ Bφ =
0
r
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µ o NI
2πr
a
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Il flusso sarà:
Φ=
∫
S
⎛ µ0 NI ⎞
B ⋅ d s = ⎜ aφ
⎟ ⋅ aφ hdr =
2πr ⎠
⎝
∫
(
)
S
b
µ0 NIh dr µ0 NIh b
ln
=
=
2πr
2πr
r
a
∫
a
il flusso concatenato e l’autoinduttanza saranno:
µo N 2 Ih b
µo N 2 h b
Φc = N Φ =
⇒ L=
ln
ln
a
a
2πr
2πr
L’autoinduttanza non dipende dalla corrente ( per un mezzo a
permeabilità costante)
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8
Induttanza per unità di lunghezza di un solenoide molto lungo in
aria
Per determinare B in funzione della corrente I, si applica la legge
della circuitazione lungo un percorso rettangolare C che si sviluppa
parzialmente all’interno e parzialmente all’esterno del conduttore si
ha: H l =NI Æ(B/µo) l = NI Æ B l = µoNI che
per l =1⇒ B = µoNI , costante all’interno del solenoide.
l
C
B
I
× B
II
I
B é parallelo all’asse del solenoide con il verso positivo dato da
una vite destrogira che ruota nel verso positivo di percorrenza della
corrente, secondo la regola di Maxwell.
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Il flusso sarà:
Φ = BS = µo NSI
dove S é sezione trasversale del solenoide.
Il flusso concatenato per unità di lunghezza sarà:
Φ c ' = N Φ = µo N 2 SI
Quindi l’induttanza per unità di lunghezza é:
Φ 'c
⎡H ⎤
2
L' =
= µo N S ⎢ ⎥
S
⎣m⎦
In realtà il valore effettivo della induttanza é minore di quello così
ottenuto, assumendo il solenoide di lunghezza infinita e
trascurando quindi l’effetto dei bordi alle due estremità del
solenoide.
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Negli esempi precedenti l’autoinduttanza risulta proporzionale al
quadrato del numero di spire N2.
Induttanza per unità di lunghezza di un linea di trasmissione
coassiale avente un conduttore interno di raggio a e un conduttore
esterno di spessore molto sottile di raggio b.
I
a
b
I
All’interno del conduttore
per 0 ≤ r ≤ a, l’induzione
in un punto P distante r è:
µ o rI
B 1 = aΦ BΦ 1 = aΦ
2πa 2
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Tra i due conduttori
per a ≤ r ≤ b, si ha:
in un punto P distante r è:
µo I
B 2 = aΦ BΦ 2 = aΦ
2πr
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Si assuma:
•che la corrente I fluisca nel conduttore interno e ritorni attraverso
il conduttore esterno e
•che sia uniformemente distribuita sulla sezione del conduttore
interno.
Se si considera un anello anulare nel conduttore interno con raggio
compreso tra r e r+dr, il flusso legato alla corrente nel conduttore
anulare di lunghezza unitaria può essere ottenuto integrando le
espressioni della induzione trovate per r che varia da r a b:
essendo :
⎧ BΦ1 per 0 < r < a
BΦ = ⎨
⇒
⎩ BΦ 2 per a < r < b
b
a
b
r
r
a
dΦ ' = ∫ BΦ dr = ∫ BΦ1dr + ∫ BΦ 2 dr =
µo I b dr
rdr +
=
=
∫
2 ∫r
a
r
2π
2πa
µ I
µ I b
= o 2 a 2 − r 2 + o ln
2π a
2πa
µo I
a
(
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)
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Poichè la corrente nell’anello anulare è pari a una frazione:
[π (r+dr)2- π r2]/ πa2 ≃πrdr/ πa2 = 2rdr/ a2 della corrente totale I,
il flusso concatenato con questo anello anulare é:
µo I b ⎞
2rdr
2 ⎛ µo I
2
2
dΛ ' = 2 ⋅ dΦ ' = 2 ⋅⎜
( a − r ) + ln ⎟ ⋅ rdr
2
2π a ⎠
a
a ⎝ 2πa
Il flusso concatenato totale per unità di lunghezza sarà:
r =a
Λ' =
∫ dΛ =
r =0
a
µo I ⎡ 1 a 2 2
⎤
⎛ b⎞
= 2 ⎢ 2 ( a − r ) rdr + ⎜ ln ⎟ rdr ⎥ =
πa ⎣ 2a 0
⎝ a⎠ 0
⎦
µ I ⎛1
b⎞
µ
µ
b
= o ⎜ + ln ⎟ . → Λ ' = I ⎛⎜ 0 + 0 ln ⎞⎟
a⎠
2π ⎝ 4
2π
a⎠
⎝ 8π
∫
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∫
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L’induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione
coassiale é:
µo µo b
Λ'
+ ln
L' = = Li + Le =
I
8π 2π a
⎡H⎤
⎢⎣ m ⎥⎦ .
Il primo termine della induttanza Li é dovuto al flusso concatenato
internamente al conduttore detto induttanza interna per unità di
lunghezza del conduttore interno.
Il secondo termine della induttanza Le é dovuto al flusso
concatenato che esiste tra il conduttore interno ed esterno detto
induttanza esterna per unità di lunghezza della linea coassiale.
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Nelle applicazioni in alta frequenza la corrente in un buon
conduttore tende a concentrarsi verso la superficie esterna del
conduttore (effetto pelle), dando luogo a una corrente nulla nella
sezione interna del conduttore interno e a una modifica del valore
della induttanza interna.
Al limite per frequenze elevate le linee di flusso della corrente si
concentrano sul bordo della superficie della sezione del
conduttore interno e l’induttanza interna diventa nulla.
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Induttanda interna ed esterna di una linea di trasmissione
realizzata con due conduttori paralleli con sezione circolare di
raggio a distanti d.
y
I
d
a
I
z
x
Si ipotizza che:
• il campo entro il conduttore sia trascurabile
• d sia grande rispetto al raggio dei conduttori,
ciò comporta la trascurabilità del campo dovuto al secondo
conduttore quando si valuta l’induttanza interna del primo.
M. Usai
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L’autoinduttanza interna per unità di lunghezza per i due fili sarà
doppia rispetto a quella relativa a ciascun filo:
L'i = 2
µo µo
=
8µ 4µ
Per determinare l’autoinduttanza esterna per unità di lunghezza, si
determina il flusso concatenato magnetico per unità di lunghezza
della linea di trasmissione per una corrente I.
Sul piano x-z dove giacciono i due conduttori, il contributo
all’induzione dovuto alle due correnti uguali e opposte nei due fili
presentano una sola componente nella direzione y:
By1 =
M. Usai
µ0 I
2πx
e
By2 =
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µ0 I
2π (d − x )
.
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Il flusso concatenato per unità di lunghezza é quindi:
µo I ⎛ 1
1 ⎞
+
Φc' = ∫ ( By1 + By 2 ) 1 ⋅ dx = ∫
dx =
⎜
⎟
a
a 2π ⎝ x
d − x⎠
µ0 I ⎛ d − a ⎞ µ0 I d
⎡Wb ⎤
=
ln ⎜
ln
⎟≅
π
a
⎝ a ⎠ π
⎣⎢ m ⎦⎥
d −a
d −a
Φc' µo d
= ln
Quindi: L =
I
π a
'
e
⎡H ⎤
⎢⎣ m ⎥⎦
e l’induttanza totale per unità di lunghezza della linea bifilare é:
µo ⎛ 1
d⎞
L' = L + L = ⎜ + ln ⎟
π ⎝4
a⎠
'
i
M. Usai
'
e
⎡H ⎤
⎣⎢ m ⎥⎦
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Due bobine con N1 e N2 spire avvolte concentricamente intorno ad
un supporto cilindrico di raggio a e permeabilità µ.
N2
N1
l2
l1
Si assume che la corrente I1 fluisca nella bobina interna. Dalla
relazione valida per un solenoide di lunghezza molto grande :
Φ = BS = µ o NSI1
quindi il flusso che si concatena con la spira esterna, nella ipotesi di
flusso disperso trascurabile sarà:
⎛ N1 ⎞
Φ12 = µ ⎜⎜ ⎟⎟ π a 2 I1
⎝ l1 ⎠
(
M. Usai
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)
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Il flusso concatenato con la bobina esterna é:
µ
Φ c12 = N 2Φ12 = N1 N 2 πa 2 I1 .
l1
Quindi la mutua induttanza é:
Φ c12 µ
L12 =
= N1 N 2 πa 2
I1
l1
M. Usai
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[H ]
20