Progetto speciale per l’educazione scientifica e tecnologica
Corso di formazione Scienze e Tecnologie
CNR – Ufficio Scolastico Regionale del Lazio
Alla scoperta dello spazio e del tempo
Spunti per lavori multidisciplinari ad uso delle scuole
Seconda Parte
Da Copernico a Newton
Andrea Carusi, IASF-CNR, Roma, 2002-2003
Premessa............................................................................................................................ 4
Introduzione all’Unità Didattica Da Copernico a Newton......................................................... 7
Il Questionario d’ingresso .............................................................................................. 10
Analisi delle domande del questionario d’ingresso ..................................................... 13
Prima lezione. La situazione al tempo di Copernico .................................................... 16
Il cammino da compiere .............................................................................................................................16
Situazione dell’astronomia planetaria all’epoca di Copernico ...............................................................17
L’affermazione della teoria copernicana ..................................................................................................18
Seconda lezione. La soluzione del problema planetario.............................................. 20
Le nuove tecniche osservative: Tycho Brahe .........................................................................................20
Il sistema ticonico ......................................................................................................................................21
La “nova” e il crollo di alcune certezze ......................................................................................................22
Le leggi di Kepler ........................................................................................................................................23
L’energia di legame e le orbite ..................................................................................................................25
Prima esperienza. Il programma ISACCO e il moto delle comete ............................... 28
Il programma ISACCO ................................................................................................................................28
Le comete, instancabili viaggiatori ...........................................................................................................29
L’evoluzione orbitale di una cometa: il caso di P/Gehrels 3 ..................................................................30
Preparazione dell’esperienza ....................................................................................................................30
Conduzione dell’esperienza ......................................................................................................................33
Terza lezione: la soluzione del problema del moto ...................................................... 35
Le “sensate esperienze” e le “certe dimostrazioni” di Galileo Galilei .................................................35
Il metodo sperimentale ...............................................................................................................................35
Galileo e il copernicanesimo .....................................................................................................................37
La rivoluzione galileiana ............................................................................................................................38
Seconda esperienza. La massa dei pianeti ................................................................... 40
Primo caso: Giove pari a un decimo del Sole ..........................................................................................40
Secondo caso: Giove pari al Sole .............................................................................................................40
Terzo caso: sistema ternario con Nettuno pari a cinque volte il Sole ..................................................41
Quarta lezione. Le leggi della dinamica e la gravitazione universale ......................... 42
Il 1661: alla scoperta di un mondo nuovo ................................................................................................42
Il calcolo differenziale.................................................................................................................................43
Achille e la tartaruga..................................................................................................................................43
Nascono nuovi metodi matematici ............................................................................................................44
Nasce il calcolo differenziale .....................................................................................................................44
Le leggi della dinamica e la legge di gravità ............................................................................................45
Forza e massa...........................................................................................................................................45
Le leggi della dinamica ..............................................................................................................................46
1
La legge di gravità .....................................................................................................................................47
Massa inerziale e massa gravitazionale ...................................................................................................47
Azione a distanza ......................................................................................................................................48
Spazio e tempo assoluti ............................................................................................................................48
Terza esperienza. Il viaggio di Voyager 2 ...................................................................... 50
La missione Voyager ..................................................................................................................................50
La dinamica della missione Voyager 2 .....................................................................................................51
Schema di Unità Didattica Da Copernico a Newton ............................................................... 52
Obiettivi generali .........................................................................................................................................52
Finalità personali ........................................................................................................................................52
Prerequisiti ..................................................................................................................................................52
Contesto organizzativo ..............................................................................................................................53
Discipline coinvolte ....................................................................................................................................53
Sperimentazione .......................................................................................................................................53
Teoria ........................................................................................................................................................53
Struttura e modalità di lavoro ....................................................................................................................53
Attività preliminari ......................................................................................................................................53
Pianificazione del lavoro ...........................................................................................................................54
Esperienze ................................................................................................................................................54
Sviluppi e conclusioni ................................................................................................................................54
Tempi d’esecuzione ....................................................................................................................................54
Verifiche .......................................................................................................................................................54
Spunti per esperimenti ...............................................................................................................................54
Misura dell'accelerazione di gravità tramite piani inclinati ........................................................................55
Misura del mese lunare e della massa terrestre .......................................................................................56
Traiettoria di un pianeta.............................................................................................................................57
Esperimenti con un calcolatore ................................................................................................................57
Il campo gravitazionale della Terra ...........................................................................................................57
Il sistema Terra-Luna ................................................................................................................................58
Il sistema planetario e i sistemi di satelliti .................................................................................................58
Interazioni gravitazionali ............................................................................................................................58
Navigazione interplanetaria .......................................................................................................................59
Esempi di Unità Didattiche ............................................................................................. 60
1. Unità Didattica elaborata per gli alunni di una classe Quinta Elementare, dai docenti del 192°
Circolo “Santi Savarino”: Ernesto D’Aquino, Antonella Masetti, Patrizia Rossi .................................60
UNITA’ DIDATTICA
LA GRAVITA’ TI BUTTA GIU’ ..............................................................................60
2. Gruppo Docenti Scuola Media: Daniela Lazzarini, Anna Simonelli ...................................................63
3. Unità Didattica elaborata dalle corsiste Giuseppina Cotroneo, Michela Mero, Zelinda Di Battista
......................................................................................................................................................................67
Obiettivi Generali .......................................................................................................................................67
Obiettivi Specifici .......................................................................................................................................68
2
Prerequisiti ................................................................................................................................................69
Argomenti principali ...................................................................................................................................69
Metodologia di lavoro ................................................................................................................................78
Tempo complessivo ..................................................................................................................................79
Strumenti e risorse utilizzati ......................................................................................................................79
Percorso di valutazione .............................................................................................................................79
4. Unità Didattica Il Campo Gravitazionale. Enrico Giachè, insegnante di Matematica e Fisica nel
Liceo Scientifico Vito Volterra di Ciampino .............................................................................................80
UTENZA. L’unità didattica è rivolta agli alunni di un terzo anno del Liceo scientifico P.N.I. ....................80
5. Unità Didattica “Dal Sistema Tolemaico alle leggi di Keplero”. Laura Silvani. ..............................86
DAL SISTEMA TOLEMAICO ALLE LEGGI DI KEPLERO..................................................................87
6. Unità Didattica “Da Copernico a Newton”. Rosemaria Gulino...........................................................92
Finalità e obiettivi.......................................................................................................................................92
Prerequisiti ................................................................................................................................................92
Attività ........................................................................................................................................................92
Contenuti ...................................................................................................................................................92
Le prove fisiche del copernicanesimo .......................................................................................................93
3
Premessa
L’Unità Didattica Da Copernico a Newton è la seconda di una serie di tre UD che costituiscono un Modulo
dal titolo generale Alla scoperta dello spazio e del tempo. L'obiettivo principale di questo Modulo è di
condurre lo studente, attraverso un percorso complesso e fortemente multidisciplinare, all'acquisizione di un
modo di pensare e di lavorare che ricalca sostanzialmente il metodo scientifico; si tratta di un obiettivo
formativo che va ben al di là dell’utilizzazione del metodo di lavoro tipico dell’attività scientifica nel particolare
ambito prescelto. Abbiamo infatti l’ambizione di fornire uno strumento che, utilizzando un percorso storicoscientifico centrato sullo sviluppo della moderna astrofisica, possa fornire spunti per “incursioni ragionate” in
campi e in saperi che normalmente vengono tenuti separati dallo studio delle scienze. Una delle motivazioni
principali che ci hanno spinto a tentare questa impresa è infatti da ricercare nella perdurante e dannosa
separazione che continua a tenere disgiunte, nella scuola, le discipline umanistiche da quelle scientifiche.
Riteniamo che sia utile, per mostrare la sostanziale unità della cultura umana, utilizzare l'astronomia
partendo dalle vicende storiche che hanno caratterizzato il suo sviluppo nei secoli. Un tale approccio, che
ben si situa nell'attuale tendenza a "storicizzare" i processi di acquisizione culturale, anche scientifici, ha un
duplice vantaggio: da un canto permette di ripercorrere in maniera molto istruttiva le tappe del pensiero
umano, che vedono l'astronomia inscindibilmente legata a molte altre discipline ampiamente trattate in
ambito scolastico; d'altro canto consente di approfondire gradualmente una materia che, avulsa dal suo
contesto storico (come in genere avviene nei manuali), presenta non poche difficoltà di comprensione per la
gran quantità di nozioni fisico-matematiche che richiede.
Vi è però un’altra motivazione importante per questa iniziativa. Vale la pena di accennarvi con le parole
contenute in un importante e recente documento del Ministero della Pubblica Istruzione 1:
“Ogni cittadino si trova…quotidianamente di fronte a fenomeni e problemi in cui ha bisogno di dipanare il
complesso e ricorrente intreccio tra ricerca scientifica, innovazione tecnologica, etica, processi economici ed
atteggiamenti sociali, che richiedono scelte personali consapevoli e motivate, sapendo che la scienza non dà
soluzioni certe e definitive.”...
“La persona colta, per partecipare con consapevolezza ai processi sociali e culturali, non ha bisogno di un
voluminoso bagaglio di informazioni, ma deve saper dominare fenomenologie complesse2, che richiedono
complesse modalità di comprensione e controllo e deve saper utilizzare in modo consapevole le sue
informazioni per orientarsi nel mondo e continuare a farlo per tutto l’arco della vita.”
Per poter fare “scelte personali consapevoli e motivate” e “utilizzare in modo consapevole” le informazioni
che si acquisiscono, tenendo presente che “la scienza non dà soluzioni certe e definitive”, le persone devono
potersi rendere conto di quale sia l’importanza e di quali siano i limiti della ricerca scientifica, inquadrandola
sempre nel suo contesto storico e culturale. E’ dunque di grande importanza mostrare, fin dai primi anni di
scuola, che ognuno di noi ha in sé la capacità di comprendere gli eventi che la vita gli propone e di ragionare
su di essi in maniera autonoma e critica. L’essenza della scienza è in buona misura il “dubbio sistematico”,
in base al quale nulla si dà per scontato, ma tutto si sottopone a critica. Vogliamo dunque contribuire, con
questo lavoro, ad aiutare la formazione di questa coscienza critica.
Il percorso proposto prende le mosse dall'astronomia tolemaica, il primo sistema pienamente compiuto
elaborato a prescindere da valutazioni di natura non scientifica (nel senso moderno). La teoria descritta da
Tolomeo nell’Almagesto è fortemente intuitiva, anche se matematicamente non semplice. Per passare alla
concezione copernicana, l'antenata dell'attuale, è necessario percorrere un cammino abbastanza difficoltoso
che richiede di sviluppare un senso dello spazio e della geometria nient'affatto intuitivo. E’ d'altra parte
proprio per questo motivo che ci sono voluti quasi 14 secoli per effettuare questa transizione.
Si può affermare che il lungo processo di elaborazione dell'astronomia moderna ha avuto alla base due
grandi problemi, che con linguaggio attuale possiamo definire il problema del sistema di riferimento e il
problema del moto. La prima tappa del nostro cammino, rappresentata dall'UD Da Tolomeo a Copernico, ha
avuto come scopo principale l'acquisizione di una buona sensibilità spaziale, tale da permettere di lavorare
mentalmente con agilità sui cambiamenti di sistema di riferimento. Il problema del moto, problema principe
della ricerca scientifica da cui è in gran parte nata la fisica classica, viene ora affrontato nella seconda Unità
Didattica Da Copernico a Newton. Attrezzati quindi con tutti i "macchinari" mentali necessari, sarà infine
possibile investigare la visione attuale della storia ed evoluzione dell'universo, dal nostro sistema solare alle
1
Ministero della Pubblica Istruzione, Commissione di studio per il programma di riordino dei cicli di istruzione (L. n. 30 del 10/02/2000),
“Verso i nuovi curricoli”, Sintesi dei Gruppi di lavoro, Roma, 7 febbraio 2001. V. Cogliati Dezza, R. Habel, C. Todaro, Gruppo di lavoro
Aggregazione disciplinare scientifica, Documento conclusivo, p. 66 e sgg.
2
Sottolineatura nostra.
4
galassie lontane e ad altri più esotici componenti; questo sarà l'oggetto della terza UD,
Da Newton ad
Einstein.
Il cammino da percorrere richiederà un grande entusiasmo, sia da parte degli studenti che da parte degli
insegnanti; lo sforzo compiuto sarà però premiato dall'intima soddisfazione non solo di poter sollevare alcuni
veli di "mistero" che circondano questa affascinante materia di studio, ma anche di ripercorrere le tappe di
un'avventura intellettuale senza uguali, che affonda le sue radici in un'epoca anteriore all'invenzione della
scrittura. L'astronomia è certamente la più antica delle scienze ed ha avuto – e certamente ancora ha – una
profonda influenza sulla cultura in generale, in ogni angolo del mondo.
Nella sua formulazione originaria la serie di tre UD qui proposta aveva come destinatari i licei. Era una scelta
di "economia", perché il bagaglio di conoscenze matematiche di uno studente liceale è più consistente e
avrebbe reso il lavoro più semplice. Tuttavia i concetti base dell'astronomia, sfrondati dell'apparato
matematico, sono accessibili anche ad alunni di 9-10 anni, compresi la fisica nucleare e la relatività
generale. Naturalmente le metodologie e – in gran parte – i contenuti del lavoro differiranno a seconda del
tipo di classe a cui ci si rivolgerà. Daremo qui solo una traccia generale del percorso: sarà quindi compito
dell'insegnante individuare, caso per caso, la maniera migliore di rendere il lavoro utile ed interessante.
Il “metodo” che costituirà la struttura portante, anche se non sempre esplicita, di questo Modulo può essere
schematizzato in cinque passaggi:
1) Individuazione e osservazione di un "fenomeno" da indagare, esterno a chi lo indaga. Tale fenomeno può
consistere in un vero fenomeno naturale, come il sorgere del Sole, o in uno o più accadimenti sociali, politici
o culturali.
2) Percezione e interpretazione del fenomeno. La percezione coinvolge naturalmente gli organi di senso,
mentre l'interpretazione (che non è ancora spiegazione) consiste sostanzialmente nelle schematizzazioni
mentali necessarie a rendere il fenomeno riconoscibile in quanto tale.
3) Elaborazione dei dati ottenuti dall’osservazione. Questo passaggio consiste nel confezionare una
“giustificazione logica” del fenomeno in accordo con assegnate metodologie. Esso può quindi, ad esempio,
richiedere la costruzione di catene causali, o l’impiego di tecniche d’analisi già esistenti. Il fine ultimo
dell’elaborazione è di costruire una teoria esplicativa del fenomeno.
4) Previsione. La teoria elaborata
viene esplorata nelle sue implicazioni
logiche e nelle sue capacità predittive
in modo da studiare un insieme di
esperienze che possano convalidare
(o invalidare) la teoria. Una teoria che
non permetta di fare alcuna previsione
in merito a fenomeni o occorrenze non
ancora verificatesi non è da ritenersi
molto utile.
5) Controllo. Le previsioni della teoria
vengono messe alla prova attraverso
la conduzione di esperienze. Questo
implica non solo l’elaborazione teorica,
ma anche la realizzazione pratica
dell’esperienza, che in genere richiede
anche il progetto e la realizzazione di
un
apparato
strumentale,
la
conduzione
e
catalogazione
di
osservazioni e, infine, l’elaborazione
dei dati.
Figura 1 – Ciclo Osservazione-Elaborazione-Controllo
La figura 1 mostra questa struttura in
forma di schema a blocchi.
Quanto verrà esposto nel seguito è il risultato dell’interazione tra un gruppo di insegnanti, di tutti gli ordini di
scuola, e ricercatori dell’Istituto di Astrofisica Spaziale e Fisica Cosmica del CNR, Area della Ricerca di
Roma Tor Vergata. Il “corso” ha fatto parte dell’iniziativa Progetto speciale per l’educazione Scientifica e
Tecnologica proposta dal Ministero e attuata dall’Ufficio Scolastico Regionale del Lazio e dal CNR. Non si è
trattato di un vero corso d’aggiornamento, quanto piuttosto dell’occasione di mettere in comune competenze
diverse per uno scopo comune. Siamo infatti partiti da queste semplici constatazioni:
5
1. I ragazzi hanno bisogno di percorrere una strada che li porti ad amare ed apprezzare l’indagine
scientifica, anche se poi non vi parteciperanno direttamente.
2. La scuola ha un ruolo insostituibile in questo, ma è rimasta finora isolata dai luoghi dove la ricerca viene
fatta. Gli addetti alla ricerca hanno il dovere di riportare alla portata delle scuole i prodotti del loro lavoro.
3. E’ senz’altro tempo di smettere la pessima pratica di tenere separati i campi del sapere, in particolare
quelli umanistico e scientifico; l’arte, la storia, la letteratura, la filosofia sono parte dell’attività scientifica,
così come questa influenza quelle.
Si è scelta l’astronomia non solo per competenza del coordinatore del corso, ma anche per una serie di
motivi che rendono questa disciplina, come si è già detto, particolarmente adatta allo scopo propostoci. Tra
questi possiamo citare i seguenti:
L’astronomia è la più antica delle scienze e la sua separazione di fatto dalla filosofia è avvenuta solo nel
600.
La sua presenza in poemi, monumenti, scritti, musiche, credi religiosi, teorie filosofiche, movimenti
letterari e attività politiche è permanente.
Appartiene contemporaneamente alle scienze fisico-matematiche (le scienze “dure”) e a quelle
naturalistiche, all’analisi e all’immaginazione; richiede la matematica, ma può essere amata e praticata
anche se non la si conosce (entro certi limiti).
Parla del passato e del futuro dell’Universo e il suo studio ci interpella sul nostro posto nel mondo.
Passiamo a questo punto senz’altro all’esposizione della struttura e del contenuto dell’Unità Didattica
Da
Copernico a Newton.
Roma, marzo 2003
I seguenti insegnanti hanno partecipato a questo corso e questo documento finale è stato elaborato
e preparato con la collaborazione fattiva di tutti.
Patrizia Antonioni
Kant
Francesca Marasini
Majorana
Annarita Bagazzini
Democrito
Antonella Masetti
V. Savarino
Giuseppina Cotroneo
Spallanzani
Michela Mero
Spallanzani
Ernesto D’Aquino
V. Savarino
Agata Muré
Cutuli
Stefania Dalmaso
Russell
Rita Prestininzi
Diaz
Zelinda Di Battista
Spallanzani
Patrizia Rossi
V. Savarino
Rossella Ferri
Righi
Raffaele Serusi
Talotta
Enrico Giachè
Volterra
Laura Silvani
Europa
Rosemaria Gulino
Democrito
Anna Simonelli
V. Poseidone
Daniela Lazzarini
V. Rugantino
Laura Sopranzi
Tecnico agrario
Stefania Stefanelli
Donatello
Lidia Stelitano
Croce
Coordinatore: Andrea Carusi
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Introduzione all’Unità Didattica Da Copernico a Newton
L'Unità Didattica Da Copernico a Newton è la seconda della serie Alla scoperta dello spazio e del tempo.
Nonostante essa si inserisca nella serie, e quindi presupponga in qualche misura la prima ( Da Tolomeo a
Copernico ), nondimeno l'UD può essere utilizzata autonomamente, sempre che le condizioni della classe a
cui ci si rivolgerà lo permettano.
Come si è detto nella premessa, questa serie si propone di affrontare l'astronomia partendo dalle vicende
storiche che hanno caratterizzato il suo sviluppo nei secoli. Lo scopo della serie però non è di presentare un
corso in astronomia, bensì di utilizzare questa scienza – sia nel suo aspetto di vicenda umana sia per gli
aspetti più tecnici – per mostrare l'unità fondamentale della cultura. I concetti che sono stati sviluppati nei
secoli appartengono alla cultura in generale e non andrebbero mai circoscritti ad una porzione, importante
ma pur piccola, del sapere.
Se la prima Unità Didattica affrontava il travaglio che ha accompagnato il cambiamento di paradigma
astronomico (e non solo) nello spostamento di sistema di riferimento dalla Terra al Sole, questa UD vuole
entrare decisamente nel merito della cosiddetta rivoluzione copernicana. Il termine è ormai di uso così
comune che viene utilizzato per indicare l'importanza di ogni cambiamento culturale decisivo; noi vorremmo
cercare di capire perché si trattò di una rivoluzione e quali conseguenze a breve e lungo termine essa ha
comportato per la visione del mondo, sia fisico sia intellettuale.
Dal punto di vista scientifico l'UD Da Copernico a Newton rappresenta un ponte tra la visione astronomicocosmologica dell'antichità classica, riscoperta nel Medioevo e compiutamente compresa solo nel
Rinascimento, e quella moderna nata dalla rivoluzione innescata da Copernico. Sarà quindi compito della
terza parte di questa serie, l'UD Da Newton ad Einstein, mostrare come nei poco più di 200 anni successivi
si sia giunti a rivedere nel profondo il significato e la portata di concetti basilari per l'esperienza umana come
lo spazio, il tempo, la massa, la forza.
Sarà opportuno ripetere ancora che l'acquisizione di competenze tecniche e l'apprendimento dei formalismi
matematici non è lo scopo principale di questo percorso. Naturalmente ci si aspetta che gli studenti
apprendano qualcosa, ma questo qualcosa riguarda più la capacità di critica che la capacità tecnica o,
peggio, la memorizzazione acritica di nozioni. Il rivolgimento innescato nella cultura occidentale dalla
rivoluzione copernicana è stato di portata immensa; esso ha permesso la nascita della scienza moderna e
ha favorito in gran parte – con torti democraticamente distribuiti – quella separazione tra "due culture" di cui
così pesantemente ancora sopportiamo le conseguenze.
E' vicenda di questi ultimi anni il tentativo, ancora agli inizi, di riannodare il filo unitario che percorre la cultura
umanistica e quella scientifica. La prima sta scoprendo sempre più la potenza del metodo scientifico e sta
lentamente cercando di calarlo nella sua specificità; la seconda ha già riscoperto – e sta tentando di
formalizzare con i suoi propri metodi – l’importanza di una visione "storica" in cui le nuove scoperte non
rappresentano più soltanto "libere invenzioni dell'intelletto" (Einstein) avulse dal contesto, ma acquisizioni la
cui genesi e il cui sviluppo vanno letti in un percorso complesso che non può prescindere dagli antefatti e dal
contorno, di qualunque natura questi siano.
La rivoluzione copernicana ha preso le mosse da un fatto “scientifico”; anzi, da un problema squisitamente
tecnico come la previsione del moto dei pianeti. Tuttavia la sua portata è stata ben più ampia di un
riaggiustamento di tecniche per lo studio degli astri. In realtà, se vista solo da un punto di vista astronomico,
non si trattò di una gran rivoluzione, dato che – come abbiamo mostrato nella precedente UD – la differenza
“tecnica” tra il sistema tolemaico e quello copernicano consisteva sostanzialmente in una variazione di
sistema di riferimento. Va però inteso che questa variazione di sistema di riferimento oltrepassò di gran
lunga il significato tecnico dei termini, configurando piuttosto un cambiamento epocale nel modo di intendere
i rapporti tra l’uomo e la natura, i rapporti tra l’uomo e la divinità e, in ultima analisi, la consapevolezza del
posto che l’uomo occupa nell’universo e di come quest’ultimo sia strutturato.
La strada percorsa dai primi scienziati (nel significato moderno del termine) nel secolo e mezzo che
intercorre tra la pubblicazione del De Revolutionibus Orbium Coelestium di Copernico (1543) e dei
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica di Newton (1687, prima edizione) è stata molto accidentata e
sarebbe un errore pensare che il cammino sia stato guidato solo da motivazioni scientifiche. Certamente un
ruolo di primissimo piano venne giocato, come si vedrà nel seguito, da intelletti del calibro di Kepler, Galilei,
Newton; ma va riconosciuto a molti attori “di spalla” il merito di aver compreso, magari confusamente e
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persino controvoglia, che qualcosa di grosso era nell’aria e di aver cercato, malgrado le scarse conoscenze
scientifiche, di approfondire gli aspetti più propriamente filosofici della questione.
Non va infine trascurato – anzi, va tenuto sempre ben presente – il contesto storico in cui la rivoluzione si
realizzò. Era l’epoca della Riforma e della Controriforma, epoca di grandi tensioni politiche e di importanti
scoperte geografiche. All’inizio di questo pur breve lasso di tempo la cultura dominante era aristotelica e
scolastica, gli stati nazionali ancora agli inizi e l’economia globale ancora frammentaria. Alla fine del periodo,
agli inizi cioè del ‘700, il panorama europeo era profondamente mutato e decisamente indirizzato da un lato
verso i rivolgimenti politico-sociali che culminarono nelle rivoluzioni americana e francese e nella rivoluzione
industriale, dall’altro verso l’affermazione di un’economia moderna e di un’atmosfera culturale libertaria e
basata sulla ragione laica, cioè – in ultima analisi – della scienza così come l’intendiamo ora. Da un punto di
vista scientifico la forza delle argomentazioni e delle “prove sperimentali” a favore della concezione
copernicana non era poi così strepitosa da richiedere una immediata e totale adesione al nuovo paradigma;
queste argomentazioni avevano tuttavia una valenza non scientifica di grande peso e fu questa valenza,
infine, che ne decretò la vittoria.
Si fa normalmente coincidere con le scoperte e gli esperimenti di Galileo, e ancor più con la pubblicazione
nei Principia della teoria della gravitazione di Newton, l’inizio della fisica moderna. Da un punto di vista
storico e metodologico questo è corretto, perché tutta la scienza moderna, di cui la fisica ha sempre
rappresentato l’avanguardia, si basa sul metodo sperimentale inventato da Galileo e sulla dinamica
newtoniana. D’altra parte non si può negare che il prodotto forse fondamentale di quegli inizi, il concetto di
gravitazione (con i due pilastri su cui si fonda: massa e forza), è uno dei più intricati e complessi che
l’immaginazione dell’uomo abbia partorito e la sua gestazione è durata molti secoli. Massa e forza sono nati
dall’esperienza sensoriale (come del resto tutti i concetti della fisica classica), ma hanno ricevuto una chiara
definizione concettuale solo dopo il ‘700. Su di essi – e sulla gravitazione universale che ne deriva – si è
basata la fisica nel ‘700 e ‘800, producendo un enorme complesso di teorie fisico-matematiche che
testimoniano della bontà dei concetti stessi.
Tuttavia, durante la seconda metà dell’800 e all’inizio del ‘900 quegli stessi concetti sono stati sottoposti ad
una critica profonda che ne ha evidenziato la debolezza. Il travaglio intellettuale di quegli anni fu molto
difficile, perché gli uomini di scienza sono stati costretti a “spogliarsi” di un insieme di concezioni così
intuitive da sembrare indiscutibili. Ne è risultata una revisione profonda dell’intero edificio scientifico, a
cominciare dalla geometria dello spazio e dall’idea di tempo. Le acquisizioni principali della fisica nel primo
trentennio del ‘900, la meccanica quantistica e la teoria della relatività, sono profondamente antiintuitive e
solo con grande sforzo intellettuale (e con un duro tirocinio scolastico) i fisici di oggi sono in grado di operare
nel loro ambito.
La “trasfusione” di queste teorie nel bagaglio intellettuale degli studenti della scuola secondaria incontra
ancora ostacoli formidabili. Non è un caso che solo in rarissime occasioni quegli argomenti vengano
affrontati nelle ultime classi dei licei: la loro comprensione, anche superficiale, richiede una conoscenza non
marginale di metodi matematici al di fuori della portata dei ragazzi (e forse – sia detto senza malizia –
talvolta anche degli insegnanti). Se è vero che forse non si può sperare di “spiegare” più di tanto agli studenti
la relatività generale, è però anche vero che in generale non si fa nessuno sforzo per cercare di mostrare
che dai tempi di Newton sono passato più di 300 anni! La fisica che si insegna nei licei è vecchia e superata,
non tanto dal punto di vista formalistico (F = ma continua a valere anche ora), quanto da quello concettuale. I
giovani (quando va bene) crescono nella convinzione che la massa di un corpo rappresenti la quantità di
materia che contiene, o che la forza sia una specie di vis insita negli oggetti, senza mai domandarsi se in
natura esista veramente qualcosa che corrisponda a quell’immagine.
Ma questa è un’altra storia, che verrà affrontata nell’UD
Da Newton ad Einstein.
L’Unità Didattica Da Copernico a Newton rappresenta in certo qual modo una sfida. Essa cerca di mettere in
mano agli insegnanti uno strumento per affrontare in maniera critica tutto ciò che ha a che fare con il moto
dei corpi celesti (e non solo). Non è certamente pensabile, né forse necessario, che tutti gli aspetti di questa
intricata matassa vengano dipanati: lo schema di UD allegato è certamente molto più ampio di quanto sia
possibile affrontare in un singolo anno. In dipendenza dalle condizioni locali e personali, gli insegnanti
saranno in grado di identificare quegli aspetti che sono loro più congeniali, o che riterranno più utili allo
svolgimento in classe. E’ opportuno ribadire però che il percorso che viene qui proposto è soprattutto un
percorso di comprensione profonda, più che un’occasione di allargamento delle conoscenze.
L’UD può, in linea di principio, essere utilizzata sia dagli insegnanti di Fisica che da quelli di Scienze, a tutti i
livelli di scuola. Questi ultimi, tuttavia, potrebbero incontrare qualche difficoltà in più. Riteniamo che questo
potrebbe rappresentare un vantaggio, piuttosto che un handicap; da un punto di vista psicologico un lavoro
comune di chiarificazione dei concetti base, che coinvolga anche gli insegnanti, può tradursi per gli studenti
in uno stimolo in più. Inoltre, l’UD permette di effettuare un lavoro multidisciplinare, dove aspetti di materie
8
usualmente separate (come la filosofia, la storia, l’italiano e perché no anche la religione) possono
concorrere all’identificazione dei “percorsi storici” che hanno accompagnato la rivoluzione copernicana.
Usualmente, la storia dei concetti non entra affatto nei manuali di fisica. Anzi, un buon manuale deve
prescindere dalla storia, che mal si concilia con la matematica. Però, se questo è vero e giustificabile a
livello universitario, non lo è altrettanto ai livelli inferiori, dove la storia delle idee dovrebbe assumere un
importanza maggiore degli sviluppi matematici. Sarà comunque affidato alla sensibilità degli insegnanti il
criterio con cui verranno mescolati spunti provenienti da discipline diverse.
In questa raccolta viene presentato il materiale utilizzato durante il corso. Si è iniziato con un “Questionario
d’ingresso” allo scopo di verificare la padronanza di alcuni concetti base e di cominciare a fornire degli spunti
di riflessione. Il corso vero e proprio è consistito di quattro Lezioni e tre Esperienze, le cui tracce sono
riportate dopo il Questionario. Infine viene qui proposta una possibile traccia di Unità Didattica, assieme ad
alcune programmazioni specifiche proposte dai partecipanti. Non è invece inserito in quasta raccolta il
programma ISACCO, usato durante le esperienze.
9
Il Questionario d’ingresso
1. Ecco un'immagine del sistema Terra-Luna. Provate a tracciare con una freccia la direzione del moto
della Luna rispetto alla Terra.
2. Avete un pendolo che sta oscillando. Ad un estremo di una oscillazione tagliate il filo. Indicate con
una freccia il moto del peso subito dopo aver tagliato il filo.
3. Siete in grado di forare la Luna da parte a parte. Se spingete un peso nel tunnel così ricavato quale
sarà il suo moto nei due casi proposti? (se necessario aggiungete un breve commento)
4. Che definizione dareste della massa di un oggetto?
10
5. Perché un oggetto lasciato a se stesso da una certa altezza cade al suolo? cercate di essere il più
possibile precisi nella risposta.
6. Che definizione dareste di campo di forze?
È la capacità di muovere gli oggetti
È una proprietà dello spazio causata da qualche agente
È la combinazione di più forze
7. Il peso e la massa sono la stessa cosa? (potete scegliere anche più di una risposta)
Sono la stessa cosa
Indicano due diverse proprietà intrinseche di un corpo
La massa è una proprietà intrinseca, il peso dipende dalla gravità locale
La differenza consiste solo nel metodo di misura
Sono due grandezze fisiche diverse
Il peso è una forza
8. Se lanciate un oggetto, perché dopo il lancio questo segue una traiettoria curva?
Perché consuma gradatamente l’impulso dato dal braccio
Perché il suo moto è dovuto unicamente alla forza di gravità
Perché il suo moto è la combinazione del moto rettilineo uniforme impresso dal braccio e del
moto accelerato causato dalla gravità
Per la resistenza dell’aria
9. Siete davvero convinti che, in assenza di qualunque attrito, due pesi diversi (ma di uguale forma),
lasciati cadere insieme, arrivino al suolo contemporaneamente? perché? (rispondete al perché!)
Si
No
Perché…
10. Siete in ascensore, al centesimo piano di un grattacielo. La corda si rompe. Cosa succede nella
cabina prima che vi spiaccichiate al suolo?
Nulla
Io e le cose che mi circondano non abbiamo più peso
Mi viene un attacco di panico
Sento una sensazione di peso crescente
Io e le cose che mi circondano sbattiamo contro il soffitto
11. Secondo voi, gli astronauti che volteggiano in orbita sopra la Terra sono in assenza di gravità?
Si
No, in assenza di peso
No, il loro peso dipende dalla distanza dalla superficie terrestre
12. Pensate che nello spazio tra i pianeti sia possibile riprodurre la gravità terrestre?
11
No
Si, con un razzo con la spinta giusta
Si, aumentando la massa della navicella
13. Quale di queste definizioni della massa vi sembra più appropriata?
La quantità di materia contenuta in un corpo
Il rapporto tra la forza impressa ad un corpo e la conseguente accelerazione
La sorgente di un campo gravitazionale
14. Tracciate con delle frecce, esterne alla Terra, la direzione della forza di gravità.
15. Qual è il peso di un oggetto al culmine di una traiettoria parabolica?
Lo stesso che all’inizio
Nullo
Dipende dall’altezza della traiettoria
16. Cosa significa dire che un oggetto è in caduta libera?
Che si muove disordinatamente
Che non è soggetto a forze
Che non è soggetto ad accelerazioni
Che non oppone resistenza alle forze agenti
17. La gravitazione è una delle quattro interazioni fondamentali della natura. Secondo voi, essa si
trasmette istantaneamente?
Si
No, viaggia alla velocità del suono
No, viaggia alla velocità della luce
Non si trasmette, semplicemente c’è
12
Analisi delle domande del questionario d’ingresso
Esaminiamo ora le domande del questionario singolarmente. Naturalmente quello che si dirà costituisce solo
una valutazione schematica che non tiene conto della realtà della classe o dei singoli studenti cui il
questionario sia stato sottoposto. Nondimeno l'insegnante dovrebbe essere in grado, in base alle risposte, di
tracciare una "mappa" abbastanza precisa della situazione personale degli studenti.
1. La prima domanda è molto semplice, ma già consente di controllare una serie di informazioni che
dovrebbero essere nel bagaglio dello studente. Intanto la direzione del moto della Luna, che deve
essere antiorario se si suppone di osservare il sistema dal polo nord dell’orbita lunare. La risposta più
corretta, che supporrebbe una discreta conoscenza della fisica elementare, consisterebbe nel tracciare
una freccia tangente all’orbita della Luna.
2. Questa domanda è un classico nei questionari sulla comprensione della dinamica. Il peso del pendolo si
muove di moto armonico, oscillando attorno alla posizione di equilibrio stabile (verticale). La velocità è
massima ogni volta che il peso passa per il punto d’equilibrio (con differente segno) e si annulla agli
estremi dell’oscillazione. Se dunque il filo viene tagliato ad un estremo, dove la velocità è nulla, il moto
del peso subito dopo il taglio non può che essere quello di un peso inizialmente fermo e lasciato cadere,
cioè la verticale. Spesso la risposta indica un moto lungo la tangente alla curva d’oscillazione, ma questo
sarebbe vero (solo per un istante) in qualunque punto dell’oscillazione tranne che agli estremi.
3. Anche questa è una domanda classica, che ha lo scopo di indagare la percezione della struttura del
campo di gravità. Un peso spinto nel tunnel (quindi con velocità iniziale nulla in direzione verticale) è
sottoposto ad un'accelerazione decrescente con la profondità raggiunta, giacché solo la massa
compresa tra il centro della Luna e il peso contribuisce alla gravità. Nondimeno, la velocità del peso
aumenta (anche se non uniformemente) in continuazione finché il peso non giunge al centro. Qui la sua
velocità è massima (e non si vede come potrebbe fermarsi!), ma diminuisce in maniera inversa nel
risalire dall'altra parte del centro. Il moto quindi – in assenza di attriti – sarebbe armonico. In realtà
bisogna vedere come è stato fatto il buco: se esso è da polo a polo o se giace su un piano equatoriale
(come suggerito, ma non affermato, nelle due immagini). In questo secondo caso, infatti, vi sono “forze
apparenti” (come quella centrifuga) che distorcono il moto: se le pareti del tunnel producono attrito, il
peso prima o poi si ferma verso il centro della Luna.
4. La domanda è volutamente generica e non ammette risposte “giuste” o “sbagliate”. Il suo scopo è di
controllare cosa lo studente fa corrispondere al concetto di massa, uno tra i più difficili della fisica. Vi
sono almeno altre tre domande in questo questionario che insistono su questo punto (7, 13 e 17): le
risposte a quelle dovrebbero essere messe in relazione con la risposta a questa.
5. La risposta ovvia è: perché è attirato dalla Terra. Questa risposta presuppone che la nozione di gravità,
compresa la sua direzione, sia già posseduta. La richiesta di precisione ha soprattutto lo scopo di
verificare che lo studente sia in grado di esprimersi con proprietà di linguaggio.
6. La nozione di “campo” è abbastanza recente nella fisica ed è piuttosto complessa. La parola però è di
uso abbastanza comune, anche se viene spesso usata in maniera impropria. La domanda ha tre
possibili risposte, una sola delle quali è corretta (la seconda). Niente di male se la risposta scelta non è
giusta: il problema verrà affrontato nel corso della UD e nel questionario finale si potrà verificare
eventuali progressi nella comprensione di questo concetto che è di fondamentale importanza per
comprendere a fondo la gravità.
7. Il peso è una forza e come tale è il prodotto della massa per l’accelerazione di gravità. Lo scopo della
domanda (come di altre simili) è di controllare quanto sia chiara la distinzione tra massa, forza e
accelerazione. Naturalmente peso e massa non sono la stessa cosa, ma non sono neanche due
proprietà intrinseche dell’oggetto (solo la massa lo è). La quarta risposta possibile (la differenza consiste
nel metodo di misura) non sarebbe del tutto errata, anche se sottintenderebbe probabilmente una certa
confusione; nella vita di tutti i giorni massa e peso sono proporzionali attraverso l’accelerazione di
gravità e le bilance, misurando il peso, danno anche una diretta misura della massa (a meno
dell’accelerazione di gravità). Non tutti sanno che le unità di misura del peso e della massa sono uguali
ma diverse: il chilogrammo è l’unità di massa, ma viene usato anche per il peso. Per distinguerli si usano
le locuzioni chilogrammo-massa e chilogrammo-peso, che non fanno che accrescere la confusione.
Essendo una forza, il peso andrebbe misurato in Newton (Nw), pari alla forza esercitata da una massa di
un kg accelerata a un m/sec2.
13
8. La composizione dei moti è stato uno scoglio formidabile alla comprensione del problema. Per molto
tempo si è pensato che, scagliando un peso, si “imprimesse” ad esso una “virtù” di movimento in base
alla quale esso continuava la sua traiettoria. In realtà un sasso lanciato riceve un impulso dal braccio
che termina nel momento in cui viene lasciato. Subito dopo il sasso, in assenza di altre forze,
continuerebbe la sua corsa con moto rettilineo uniforme. Questo moto viene però continuamente deviato
verso il basso dalla gravità e il risultato è una traiettoria che si può dimostrare essere una parabola. La
risposta corretta è dunque la terza. Se agisse solo la gravità, l’oggetto cadrebbe lungo la verticale. La
resistenza dell’aria gioca un suo ruolo, ma in prima approssimazione questo è trascurabile a meno che
l’oggetto non sia molto leggero e di forma non aerodinamica, come una piuma o una foglia. Certamente
il moto non è dovuto al “consumo” di una forza insita nell’oggetto.
9. La contemporaneità della caduta di gravi di peso diverso è un fenomeno difficile da accettare.
Istintivamente si pensa che un oggetto più pesante cada più velocemente, anche se non c’è nessuna
esperienza diretta che lo dimostri. Il nodo del problema è qui il riconoscimento che gli oggetti, come
accennato anche nella risposta alla domanda 8, non sono “attivi”, ma passivi, cioè subiscono l’azione
delle forze agenti senza intervenire direttamente. Qualunque oggetto in prossimità della Terra (dalla
Luna ad una ghianda o una mela) è accelerato dalla forza di gravità con un’accelerazione uguale per
tutti, per cui tutti subiscono lo stesso aumento di velocità. Eventuali differenze nei tempi di caduta sono
da imputare unicamente alla resistenza dell’aria, che agisce maggiormente su un oggetto meno
massiccio.
10. Questo “esperimento ideale” è un’introduzione alla teoria della relatività dei moti (teoria galileiana, non
einsteiniana). La difficoltà qui consiste nella capacità di “sentire” quasi fisicamente cosa avviene. Anche
se la teoria non è nota, o non è chiara, un semplice ragionamento dovrebbe far concludere che tutto si
muove alla stessa velocità, per cui gli oggetti (compreso voi) sono “fermi” rispetto alle pareti della cabina.
Per ragazzi abituati a vedere gli astronauti fluttuare nell’aria non dovrebbe essere difficile questo
passaggio che richiede però un ragionamento piuttosto complesso. La risposta giusta è naturalmente la
seconda, anche se qualcuno può essere portato a pensare che, aumentando la velocità di caduta,
aumenti anche il peso: è di nuovo la confusione tra velocità e accelerazione.
11. Questa domanda è direttamente collegabile alla precedente. Una navicella in orbita è in “caduta libera”
così come l’ascensore nel grattacielo. Per caduta libera si intende (si veda la domanda 16) che un
oggetto segue la traiettoria imposta dalle forze agenti senza opporre resistenza. Così una stazione
spaziale (e tutto il suo contenuto) segue la traiettoria imposta dalla forza di gravità che è ben presente.
Un oggetto in caduta libera si comporta, localmente, come se non ci fossero forze agenti, in particolare
la forza peso: gli astronauti sono quindi in assenza di peso, non in assenza di gravità. La terza risposta è
un po’ cattivella: il peso dipende certamente dalla distanza dalla superficie terrestre, perché
l’accelerazione di gravità diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza (legge di gravità). Tuttavia
questo sarebbe vero se gli astronauti non fossero in caduta libera; tutti noi, in aereo, pesiamo di meno
che a terra.
12. La domanda 12 cerca di gettare un ponte verso la relatività generale, in base alla quale un campo
gravitazionale può essere “creato” o annullato localmente con un opportuno insieme di accelerazioni (ad
esempio un motore). Naturalmente quest’argomento non entra nel lavoro di questa UD, ma è
interessante cominciare a saggiare le idee dello studente in proposito.
13. La domanda 13 è probabilmente la più difficile di tutte. Sono tre definizioni normali della massa (che
com'è noto è “una e trina”). Il dibattito sulla loro validità va avanti da secoli. All'epoca attuale si
preferiscono la seconda e la terza alla prima, perché la massa viene intesa come una proprietà della
materia, ma non identificata con la materia (la quantità di materia viene meglio definita come il numero
totale di barioni, cioè protoni e neutroni, in un corpo). Poiché la massa è additiva, una volta definita la
massa di un barione è logico che la massa di un oggetto venga identificata (per ragioni pratiche) con la
quantità di materia dell'oggetto. Tuttavia questa operazione è concettualmente scorretta. La seconda
definizione è ineccepibile per definire la massa inerziale, mentre la terza per definire quella
gravitazionale. Se le due masse coincidono esse sono ugualmente valide.
14. Tanto per essere sicuri che sia chiaro come è diretta la gravità!
15. Un’altra domanda che cerca di far chiarezza tra massa e peso. La massa dell’oggetto è naturalmente
sempre la stessa, ma non il suo peso. L’accelerazione impressa inizialmente cessa immediatamente
dopo il lancio e la velocità comincia subito a diminuire per effetto della gravità. Al culmine della traiettoria
la velocità è nulla. Il “peso” iniziale è maggiore di quello a riposo, per effetto della spinta, ma appena
questa viene a mancare l’oggetto si muove in caduta libera e quindi è in assenza di peso (trascurando la
resistenza dell’aria). Al culmine della traiettoria, quindi, il peso è nullo come durante tutta la parabola; la
14
massa resta sempre costante; la velocità diminuisce con l’altezza. Sono tutte grandezze fisiche diverse
ed è importante riuscire a distinguerle chiaramente.
16. Per quello che si è detto nell’analisi delle domande precedenti la risposta corretta è evidentemente
l’ultima. Vediamo allora cosa ci dicono le altre risposte. La prima (si muove disordinatamente) potrebbe
anche essere corretta (il moto in caduta libera può non essere regolare), ma difetta di chiarezza e di
precisione. La seconda (non è soggetto a forze) è chiaramente sbagliata: la caduta libera non implica
l’assenza di forze (che si traduce in moto rettilineo uniforme), ma l’assenza di “resistenza” alla forza, cioè
l’assenza di vincoli. La terza risposta (non è soggetto ad accelerazioni) è ugualmente sbagliata, tant’è
che la velocità, in genere, cambia in continuazione.
17. Quest’ultima domanda è ancora uno sguardo al futuro. La nozione di gravità come interazione
fondamentale della natura è molto recente e l’idea che non si trasmetta istantaneamente non è certo
intuitiva. Certo la gravità non si trasmette con la velocità del suono!
15
Prima lezione. La situazione al tempo di Copernico
IL CAMMINO DA COMPIERE
Il “filo d’Arianna” che ha portato dalle profondità temporali della storia umana all’epoca della scienza è stato il
problema della comprensione dei moti planetari. Si è partiti da un “fatto”, come sempre accade nell’indagine
del mondo fisico; un fatto che si presentava in maniera naturale a chi osservava il cielo notturno, ma che non
avrebbe suggerito nulla se l’uomo non avesse imparato a riflettere sui “fatti” della natura.
Nella sua semplicità il fatto in questione è sorprendente: mentre tutti gli oggetti3 che vengono percepiti
dall’occhio umano sulla volta celeste non cambiano le loro posizioni relative da una notte all’altra, alcuni si
muovono rispetto agli altri. Questa semplice osservazione ha avuto il potere di far nascere un processo di
pensiero che ha dato origine nel tempo all’astrologia, a miti e credenze religiose, a dibattiti culturali e a
contese politiche, oltre naturalmente a porre le basi per lo sviluppo della scienza moderna.
La difficoltà principale a cui si trovarono di fronte i primi scrutatori critici delle cose celesti era la non
regolarità del moto di questi oggetti. Tutte le stelle si muovono infatti, rispetto ad un osservatore terrestre,
come se fossero agganciate ad una enorme sfera che circondi la Terra4; fanno eccezione il Sole, la Luna e i
pianeti. Tuttavia, il moto del Sole è abbastanza regolare, come del resto (anche se un po’ meno) quello della
Luna. I pianeti invece si muovono cambiando in continuazione la loro velocità e in certi casi anche la
direzione del moto. Fin dal tempo dei babilonesi, circa duemila cinquecento anni fa, si poteva predire con
grande precisione (quella naturalmente degli strumenti antichi) la posizione di una stella anche per molti anni
nel futuro; il calcolo analogo della posizione del Sole e della Luna era più complesso, ma ancora
accettabilmente fattibile, al punto che già i babilonesi erano in grado di predire le eclissi. Ma la predizione
esatta della posizione dei pianeti più luminosi sfidava qualsiasi modello geometrico e matematico e rimase
un problema insormontabile fino al XVII secolo.
Dal punto di vista tecnico una causa importante di tutte queste difficoltà va cercata in un’errata scelta del
sistema di riferimento. Poiché infatti la Terra si muove attorno al Sole come gli altri pianeti (cosa ignota agli
antichi), non rappresenta certamente un buon punto dove porre l’origine delle coordinate celesti. Tutti i
sistemi geocentrici (orizzontali, equatoriale, eclitticale) soffrono dello stesso problema e la matematica antica
non era assolutamente in grado di trattare condizioni di tale complessità. Per la verità già alcuni scienziati
greci (in particolare Aristarco) avevano formulato l’ipotesi che fosse la Terra a muoversi attorno al Sole e non
viceversa, ma questa ipotesi era fortemente controintuitiva e cozzava contro l’esperienza di assoluta
immobilità che il corpo umano “sente” quando è fermo rispetto al terreno, né fu possibile elaborare una teoria
matematica che la provasse. Per di più (e questa è una causa non tecnica) bisogna tener conto che alcuni
grandi filosofi, da Eudosso ad Aristotele, avevano costruito sull’ipotesi geocentrica una grande teoria
cosmologica perfettamente verosimile; le piccole discrepanze che pur si osservavano dovevano quindi
essere risolte nel quadro teorico esistente e non venivano ritenute sufficienti a cambiare la visione del
mondo. A queste motivazioni “scientifiche” si aggiungevano poi quelle di natura religiosa, filosofica e politica.
Un eventuale moto della Terra era ritenuto “innaturale” e contrario all’esigenza di perfezione della volta
celeste.
Ma il vero equivoco culturale di fondo che ha impedito l’elaborazione di una teoria coerente e completa fino
al ‘600 è stato di ritenere che gli oggetti celesti seguissero, per il loro moto, regole diverse da quelli terrestri.
Nessuno avrebbe osato sostenere che non esiste differenza tra le cose del cielo (regno degli dei e della
perfezione) e quelle terrene (regno degli uomini e della corruzione). Bisogna considerare che la concezione
della Natura come un tutto unico soggetto alle stesse regole sempre e dovunque è concezione molto
moderna, che in astrofisica va sotto il nome di principio cosmologico. E’ un’assunzione, non una
dimostrazione teorica, un assioma ragionevole desunto dall’esperienza5.
3
Naturalmente la constatazione che si trattasse di “oggetti” è molto tarda.
L’Unità Didattica Da Tolomeo a Copernico tratta estesamente proprio questo argomento. Daremo qui solo un breve sommario di quanto
è svolto nell’altra Unità.
4
Il principio cosmologico è stato, ed è, ripetutamente messo in dubbio. Non c’è di fatto nessuna garanzia che esso sia valido, come non
c’è nessuna prova che non lo sia. Ad esempio, le condizioni dell’universo subito dopo il Big Bang (posto che ci sia stato) potevano
basarsi su una fisica diversa dall’attuale; le stesse “leggi” della fisica potrebbero (ma non lo sappiamo) variare nel tempo.
5
16
Nel nostro percorso attraverso gli sconvolgimenti della rivoluzione copernicana prenderemo dunque le
mosse dalla situazione dell’astronomia planetaria alla vigilia della pubblicazione del De Revolutionibus
Orbium Coelestium (1543), esamineremo velocemente il contributo fornito da Copernico e dai suoi
successori e lo confronteremo alla fine con l’immagine del mondo contenuta nei Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica di Newton (1687). Come si vedrà la differenza è abissale e segna un vero
rivolgimento di concezioni, su cui è stata costruita la scienza moderna6.
Nel corso del cammino affronteremo, assieme a Johannes Kepler, il problema della previsione del moto dei
pianeti e della definizione dei due concetti basilari di massa e forza. Affronteremo il travaglio che portò
Galileo Galilei a “inventare” il metodo sperimentale e a formulare, anche se in maniera imprecisa, le prime
leggi del moto. Affronteremo, infine, il percorso a volte tortuoso che portò Isaac Newton a formulare le basi
del calcolo differenziale, lo strumento che gli permise di trattare il problema del moto in maniera uniforme.
Troveremo alla fine la “scienza nuova” corredata di tutte le attrezzature fondamentali per partire nell’impresa
di descrivere il mondo solo con l’ausilio della ragione e delle “sensate esperienze”.
SITUAZIONE DELL’ASTRONOMIA PLANETARIA ALL’EPOCA DI COPERNICO
Quando Copernico si accinse a scrivere la sua opera più importante lo stato dell’astronomia planetaria in
Europa non era molto dissimile da quello del tempo di Tolomeo. E’ importante ricordare che Copernico era in
fin dei conti un tolemaico. Lo era perché era stato educato in tal senso nella prassi astronomica, ma lo era
anche da un punto di vista più intimo, di convinzione personale. I concetti moderni di massa e forza, su cui si
basa la dinamica newtoniana, gli erano del tutto estranei e la sua matematica non molto diversa da quella
dei suoi predecessori.
Il suo grande merito, in base al quale è giustamente considerato l’artefice della rivoluzione, è stato di riuscire
a distaccarsi dalle considerazioni non scientifiche e basare i suoi ragionamenti sulla più profonda onestà
intellettuale. Questa posizione è chiarita molto esplicitamente nella lettera di prefazione che Copernico
pubblicò assieme al De Revolutionibus, indirizzata “Al Santissimo Signore Paolo III, Pontefice Massimo”.
“Mi è facile, Santissimo Padre, prevedere che taluni, non appena avranno appreso come in questi miei libri,
scritti sulle rivoluzioni delle sfere dell’universo, io attribuisca al globo terrestre certi movimenti, subito
chiederanno a gran voce che, avendo tale opinione, io sia messo al bando…
Pensando quindi fra me stesso quanto assurda avrebbero giudicata la mia affermazione che la Terra si
muove coloro i quali sanno che l’idea della Terra immobile nel mezzo dei cieli e centro degli stessi ha trovato
conferma nel giudizio di molti secoli, ho avuto a lungo il dubbio se rendere pubblici i miei commentari scritti
per dimostrare il moto della Terra… Ma poi la mia lunga esitazione ed anche la mia resistenza furono vinte
da persone amiche…
Ma non tanto la Santità Vostra si meraviglierà del fatto che io abbia avuto l’ardire di dare alla luce questi miei
pensieri… quanto piuttosto vorrà sentire da me come mi sia venuto in mente di concepire un qualche moto
della Terra, osando andare contro l’opinione acquisita dei matematici e lo stesso senso comune. Così non
voglio nascondere alla Santità Vostra che io sono stato indotto a pensare ad un altro metodo di calcolo per il
moto delle sfere, soltanto dall’aver raggiunto la consapevolezza che i matematici non hanno idee chiare
attorno a questi moti…
Infatti coloro che ritennero che si possono comporre con questi [artifici 7] alcuni moti differenti, non furono
tuttavia in grado di stabilire con certezza nessun sistema che rispondesse sicuramente ai fenomeni 8… Né
furono in grado di scoprire oppure di dedurre da tali mezzi la cosa più importante: vale a dire la forma
dell’universo e l’immutabile simmetria delle sue parti.”
Il punto fondamentale di Copernico, sottolineato nel brano precedente, è che l’astronomia tolemaica non
aveva risolto né avrebbe potuto mai risolvere il problema del moto dei pianeti. Ne deriva che l’impostazione
di base deve essere sbagliata. Questa conclusione apparentemente drastica è basata sulla constatazione
6
Tra i due lavori citati passano 144 anni. Si può allora confrontare la scienza del 2003 a quella del1859, e il paragone mostra
ovviamente che 144 anni non sono pochi. Tuttavia è bene tener presente che, mentre la scienza del 1859, pur se meno elaborata, era
pur sempre la stessa scienza di oggi, nell’altro caso la Scienza (in senso moderno) era presente alla fine del periodo e assente all’inizio.
7
Qui Copernico si riferisce ai tanti accorgimenti utilizzati fino allora: cerchi omocentrici, eccentrici, epicicli e deferenti, eccetera.
La sottolineatura è nostra. E’ questo il principio deontologico fondamentale per tutti gli scienziati moderni: se le teorie esplicative non
sono in accordo con i fenomeni vuol dire che le teorie, per quanto belle e apparentemente solide, sono sbagliate. Riconoscerlo e
dichiararlo apertamente è un preciso dovere, ma può essere faticoso, doloroso, o addirittura pericoloso, come la storia ha mostrato in
varie occasioni. Sta all’onestà e al coraggio dello scienziato fare la sua scelta.
8
17
che i molti modelli astronomici che si successero da Tolomeo in poi (attraverso la tradizione araba prima e
medievale poi), tutti basati sull’ipotesi geocentrica, avevano prodotto un “mostro”, così descritto dallo stesso
Copernico:
“Accadde invece ad essi [i “matematici” antichi] quel che accade ad un pittore che prenda mani, piedi, testa
e le altre membra da modelli differenti, e che le disegni in maniera eccellente ma non in funzione di un
singolo corpo e, poiché tutte queste parti non armonizzano assolutamente fra loro, ne vien fuori un essere
mostruoso invece di un uomo.”
Dunque, Copernico era ben cosciente, a differenza di molti suoi contemporanei, che la teoria tolemaica e le
sue numerose modificazioni successive avevano alla base qualcosa di profondamente sbagliato. Ma fu una
coscienza, diciamo così, “di principio”. Infatti, i dati astronomici su cui Copernico si basò per la sua riforma
erano tutt’altro che soddisfacenti dal punto di vista dell’accuratezza. Come fa notare Thomas S. Kuhn:
“Molti degli elementi d’informazione ereditati da Copernico e dai suoi colleghi erano dati sbagliati che
attribuivano ai pianeti ed alle stelle posizioni mai occupate. Alcune delle registrazioni sbagliate erano state
effettuate da osservatori di scarso valore; altre si erano un tempo basate su osservazioni corrette, ma erano
state malamente copiate o interpretate nel processo di trasmissione. Nessun sistema planetario semplice,
né quello di Tolomeo né quello di Copernico o di Kepler o di Newton, avrebbe potuto inquadrare
sistematicamente gli elementi d’informazione che gli astronomi della Rinascenza ritennero di dover
spiegare.”9
L’AFFERMAZIONE DELLA TEORIA COPERNICANA
Si racconta che Copernico ricevette la prima copia del De Revolutionibus sul letto di morte, nel 1543. Il libro
dunque uscì e cominciò a diffondersi quando il suo autore era già scomparso, e fu una diffusione lenta. Ma
quello che più sorprende non è tanto questa lentezza iniziale, quanto il ritardo con cui si sollevò la reazione
alle idee in esso contenute. La critica storica ha individuato numerosi motivi che hanno ritardato la reazione;
eccone alcuni.
1. Il De Revolutionibus è un libro tecnico scritto per tecnici. Non era certo alla portata delle persone
colte dell’epoca che non avessero anche una precisa formazione matematica ed astronomica.
2. Anche nell’ambiente dei tecnici i “manuali” utilizzati per la formazione erano invariabilmente stati
scritti ben prima di Copernico. Non stupisce che Copernico stesso e i suoi contemporanei fossero
tolemaici.
Le idee di Copernico quindi si fecero strada lentamente ed in un ambiente professionale piuttosto ristretto.
La reazione esplose, in un crescendo impressionante, solo all’inizio del ‘600, più di 60 anni dopo la
pubblicazione. Ma perché ci fu questa reazione? Perché fu così aspra? E in ultimo, perché il
copernicanesimo vinse? E’ opportuno soffermarci su queste questioni ora, perché è nella loro ottica che
esamineremo i contributi successivi.
A dire il vero la reazione in ambiente protestante fu molto rapida, al punto che già nel 1539 Lutero criticò
aspramente un “astrologo da quattro soldi, il quale s’è dato da fare per dimostrare che è la Terra che gira, e
non i cieli e il firmamento, il Sole e la Luna…”. E Melantone, suo primo allievo, gli fece prontamente eco:
“…certi uomini, per amor di cose nuove o per dar prova d’ingegno, hanno stabilito che la Terra si muova; e
sostengono che tanto l’ottava sfera quanto il Sole non ruotano…”, affermando quindi: “Orbene: è una
mancanza d’onestà e di dignità sostenere pubblicamente tali concetti, e l’esempio è pericoloso.”
Certamente le idee copernicane ebbero fin dall’inizio vita difficile anche in ambiente scientifico. I colleghi di
Copernico, tutti formati alle idee tolemaiche, raramente seppero cogliere il grande spunto di novità,
soprattutto perché, come già accennato, questo spunto non era in realtà sostenuto da prove convincenti.
L’inerzia del mondo scientifico verso le innovazioni è sempre stata molto forte perché cambiare opinione
richiede, oltre ad una confessione pubblica di aver sostenuto ed insegnato dottrine sbagliate (o almeno
superate), uno sforzo personale di aggiornamento che è piuttosto faticoso, specie se effettuato in età non più
giovanile.
Ma l’ambiente astronomico si rese conto abbastanza presto che la teoria copernicana in effetti era molto
vantaggiosa, se non altro perché permetteva di calcolare la posizione dei pianeti in maniera ben più accurata
del passato e in modo abbastanza semplice. Ne sono prova le Prutenicae tabulae pubblicate da Erasmus
T.S. Kuhn, “La rivoluzione copernicana”, Einaudi, Torino, 1972. Questo è il libro fondamentale su cui ci basiamo per descrivere gli
avvenimenti storici legati a Copernico: tutte le citazioni riportate sono estratte da esso, se non diversamente indicato.
9
18
Reinhold nel 1551 e basate sui metodi copernicani. Queste tavole, tra l’altro, furono utilizzate
estensivamente durante la riforma del calendario sotto papa Gregorio XIII, nel 1582: il mondo cattolico
ancora non aveva ritenuto Copernico pericoloso.
La reazione più violenta quindi non derivò tanto da motivi scientifici. Per dirla ancora con Kuhn “…se la
scelta tra l’universo tradizionale e l’universo copernicano fosse stata una questione concernente soltanto gli
astronomi, con ogni probabilità la soluzione copernicana avrebbe tranquillamente e gradualmente
conseguito la vittoria. Tale scelta, invece, non era esclusivamente, e neppure principalmente, di competenza
degli astronomi; e quando la disputa si estese al di fuori dei circoli astronomici, essa divenne in sommo
grado tempestosa.” I dotti dell’epoca, senza una particolare preparazione scientifica, trovarono le idee
copernicane ridicole e contrarie al buon senso, cosa su cui non si può dar loro troppo torto. Appoggiata con
cautela e sempre con distacco dai professionisti, avversata e ridicolizzata dagli altri dotti, la teoria trovò però
il suo scoglio maggiore nella religione e nella politica.
Abbiamo già notato che le prime reazioni di natura religiosa vennero dai protestanti. Essi contrapposero alle
affermazioni copernicane la “verità” delle Sacre Scritture, in particolare alcuni versetti del Qoèlet 10. Al giorno
d’oggi risulta (o dovrebbe risultare) chiaro a tutti, credenti o no, che le affermazioni della Bibbia vanno prese
con cautela se non riferite direttamente a fatti di fede; a quell’epoca questo non era vero e questo fu lo
scoglio principale su cui s’infranse la difesa di Galileo. I copernicani furono tacciati di essere “infedeli” e
“atei”, con impressionanti paralleli a talune posizioni integraliste che ancora esistono. Va tuttavia notato che
la Chiesa cattolica non si unì subito alla lotta a Copernico; questo avvenne solo dopo il 1610, dopo il primo
processo a Galileo. Nel 1616 Copernico e i suoi seguaci furono accusati di eresia e il De Revolutionibus fu
posto all’Indice dei libri proibiti11. Ma a quel punto la battaglia era già persa: le idee copernicane, soprattutto
grazie all’opera di Tycho Brahe, Johannes Kepler e Galileo Galilei, erano oramai saldamente entrate nelle
grazie dei professionisti più avveduti e l’avventura della scienza era già cominciata.
E’ impressionante osservare come tante persone di grande cultura e certamente non amanti delle
contrapposizioni nette, come il cardinale Roberto Bellarmino12, siano rimaste invischiate in questa
deprimente vicenda, e ancora sorge la domanda: ma, alla fine, perché era così drammatico far muovere la
Terra? Rispondiamo a questa domanda ancora dando la parola a Kuhn.
“…[quanto riportato prima] pone in evidenza le armi più popolari e potenti dell’arsenale apprestato contro
Copernico e i suoi seguaci; ma è ben poco indicativo delle effettive ragioni della guerra. La maggior parte dei
personaggi menzionati sono così decisi nel respingere il moto della Terra in quanto assurdo o in contrasto
con l’autorità, che dimenticano di rilevare, e forse senza rendersene pienamente conto in un primo tempo,
che il copernicanesimo era in realtà il potenziale demolitore di un’intera costruzione di pensiero. Il loro stesso
dogmatismo maschera i loro motivi: ma non li elimina. Era in gioco ben più che una rappresentazione
dell’universo o qualche versetto della Scrittura. La visione cristiana della vita e le leggi morali che erano state
stabilite in funzione di essa non avrebbero potuto essere rapidamente adattate a un universo in cui la Terra
fosse soltanto uno fra diversi pianeti. Nella tradizionale costruzione del pensiero cristiano descritta da Dante
all’inizio del secolo XIV, cosmologia, morale e teologia erano state profondamente intrecciate. L’energia e
l’animosità manifestatesi quando, tre secoli più tardi, la controversia copernicana toccò il suo acme
testimoniano della forza e della vitalità della tradizione... Il copernicanesimo esigeva una trasformazione
della prospettiva in cui l’uomo vedeva il suo rapporto con Dio e i fondamenti della legge morale. Una tale
trasformazione non poteva essere condotta a termine in un breve arco di tempo e non fu quasi neppure
iniziata finché le prove a sostegno della dottrina copernicana rimasero incerte come nel De Revolutionibus.
Finché non si giunse a questa trasformazione, gli osservatori sensibili poterono ben trovare i valori
tradizionali incompatibili con la nuova cosmologia, e la frequenza con cui l’accusa di ateismo venne lanciata
contro i copernicani è la prova della minaccia dell’ordine stabilito che, secondo molti osservatori, il concetto
di una Terra planetaria veniva a costituire.”
10
Proprio all’inizio del Qoèlet (Ecclesiaste) si legge:
Una generazione va, una generazione viene
ma la terra resta sempre la stessa.
Il sole sorge e il sole tramonta,
si affretta verso il luogo da cui risorgerà.
11
La Chiesa proibì la stampa di libri che consideravano una realtà fisica il moto della Terra fino al 1822. Giusto in tempo per cominciare
un’altra battaglia assurda contro l’evoluzionismo di Darwin.
In una lettera al copernicano Foscarini, Bellarmino scriveva: “Se ci fosse una prova reale che il Sole è al centro dell’universo, che la
Terra è nel terzo cielo, e che non è il Sole a girare attorno alla Terra ma la Terra attorno al Sole, noi dovremmo procedere allora con
grande cautela nello spiegare brani della Scrittura che sembrano insegnare il contrario ed ammettere che non li abbiamo capiti piuttosto
che dichiarare falsa un’opinione provata vera.” Aggiungeva però Bellarmino, subito dopo, ”Ma, per quanto mi riguarda, non crederò che
esistano tali prove fino a quando non mi siano mostrate.” E affermava ciò ben sapendo delle sensazionali scoperte di Galilei al
telescopio.
12
19
Seconda lezione. La soluzione del problema planetario
LE NUOVE TECNICHE OSSERVATIVE: TYCHO BRAHE
Un personaggio chiave nella nostra vicenda è Tycho Brahe (1546-1601). Brahe nacque tre anni dopo la
pubblicazione del De Revolutionibus e ci si potrebbe quindi aspettare che abbia abbracciato con entusiasmo
la nuova dottrina. In realtà non fu affatto così; anzi, Brahe rimase per tutta la vita un avversario della teoria
copernicana ma, per ironia della sorte, contribuì in maniera decisiva alla sua vittoria13.
Abbiamo già accennato nella precedente lezione al fatto che il corpus di dati astronomici su cui si era basato
Copernico, raccolti in un paio di migliaia di anni, era piuttosto carente, sia come precisione che come
accuratezza14. Brahe si rese ben conto di ciò e dedicò la sua vita alla costruzione di un’impressionante
complesso di strumenti per l’osservazione ad occhio nudo che gli consentirono di raccogliere un’enorme
quantità di dati di altissimo valore e, soprattutto, autoconsistenti. Per avere un’idea della precisione dei dati
di Brahe basti pensare che egli fu in grado di determinare la posizione di alcune stelle con
un’approssimazione di un primo d’arco e quella dei pianeti a meno di 4 primi: le misure precedenti avevano
errori dell’ordine di 10 primi15.
Inoltre, Brahe pianificò le sue osservazioni in maniera molto “moderna”, osservando sistematicamente i
pianeti – in particolare Marte – durante tutto l’arco di tempo in cui questi erano visibili, e non solo in
determinate occasioni. In sostanza (e questo è il suo merito principale) Brahe rivoluzionò le tecniche
osservative e ruppe definitivamente con la pratica di affidarsi acriticamente a misure riportate da secoli e di
cui era assolutamente ignota, né conoscibile, la bontà.
Prima di addentrarci nei risultati di Brahe, e soprattutto prima di parlare del suo “sistema ticonico”, sarà però
Figura 1. L’effetto della parallasse sulla posizione della Luna. L’immagine di sinistra si riferisce alla visibilità del
satellite da Nelson (Nuova Zelanda) e quella di destra da Porto (Portogallo) nello stesso istante.
opportuno soffermarci su una grandezza astronomica che giocò un ruolo importante nella vicenda. Questa
grandezza è la parallasse. Con questo termine si indica, come mostrato in figura 1, l’angolo sotto il quale
uno stesso oggetto è visto da due osservatori diversi rispetto allo sfondo.
Nella figura è riportata la posizione della Luna nel cielo il 15 febbraio 2003. Nel riquadro di sinistra vi è la
Luna (il cerchietto giallo) come viene vista da Nelson, in Nuova Zelanda, mentre nel riquadro di destra vi è la
E’ interessante qui un parallelo con Albert Einstein. Pur essendo stato uno dei fondatori della meccanica quantistica, se non altro per
la sua scoperta del fotone, Einstein avversò la teoria dei quanti per tutta la vita, sostenendo che “Dio non gioca a dadi”.
13
14
Sarà bene ricordare che questi due concetti non coincidono affatto, anche se talvolta sono usati indifferentemente. La precisione
indica la “finezza” di una misura (un calibro è più preciso di un metro a nastro) e la sua ripetitibilità (cioè varie misure danno sempre lo
stesso valore). L’accuratezza, invece, indica quanto la misura si avvicina al valore “reale”, indipendentemente dalla sua precisione. Uno
strumento può essere estremamente preciso ma poco accurato, in genere a causa di errori sistematici che possono dipendere dalla sua
costruzione, dalle condizioni osservative, da taratura insufficiente.
15
Per confronto, la Luna piena sottende un arco di 48 primi.
20
stessa immagine vista da Porto, in Portogallo, due città praticamente agli antipodi. A Nelson sono le 6 di
mattina, mentre a Porto le 6 di sera. Come si può facilmente notare la posizione relativa delle stelle non
cambia, mentre la posizione della Luna è vistosamente diversa. Un esame delle coordinate riportate nelle
due finestre mostra che la distanza angolare tra le due posizioni è di poco meno di 2 gradi. Abbiamo quindi
(si veda la figura 2) un triangolo con base uguale al diametro terrestre e angolo alla Luna di due gradi;
poiché il diametro della Terra è di
circa 12750 km, un semplice
calcolo dà la distanza della Luna
dal centro della Terra, di circa
377000 km in quel momento.
La parallasse, quindi, permette di
calcolare la distanza di un oggetto
conoscendo la linea di base.
Questo era ben noto agli antichi,
maestri
in
geometria
e
trigonometria, ed era ben noto
anche
agli
astronomi
della
Rinascenza. Anzi, era uno dei
motivi principali per cui il sistema
copernicano era così indigeribile
per gli esperti. Infatti, il moto della
Terra implicava che osservando
una stessa stella a distanza di sei
mesi (ai capi opposti del percorso
Figura 2. L’angolo di parallasse con cui è vista la Luna da due punti terrestri agli
della Terra attorno al Sole) e
antipodi fornisce la distanza del satellite, noto il diametro della Terra.
prendendo come linea di base il
diametro della supposta orbita
terrestre, la parallasse stellare misurata avrebbe permesso di calcolare la distanza della stella, cioè della
“sfera delle stelle fisse”. Nessuna misura, neanche quelle accuratissime di Brahe, aveva mostrato alcuna
parallasse stellare, il che era spiegabile solo in due modi:
1. la Terra non si muoveva affatto, e quindi la parallasse non esisteva,
2. la distanza delle stelle dalla Terra era spaventosamente grande, così da rendere la parallasse
minuscola.
La seconda spiegazione venne per lungo tempo ritenuta impossibile, perché implicava che tra la sfera di
Saturno e quella delle stelle vi fosse una sterminata distesa di nulla, qualcosa che il pensiero antico odiava
quanto l’infinito. Dunque, la spiegazione giusta era la prima, e Copernico in errore.
Ora noi sappiamo che né Brahe né i suoi successori fino all‘800 avrebbero potuto determinare la parallasse
di alcuna stella. Tycho Brahe fu costretto a rigettare l’ipotesi di Copernico perché questa implicava una
distanza tra Saturno e le stelle pari a più di 700 volte la supposta distanza tra Saturno e il Sole. Tale
rapporto, in realtà, è maggiore di 25.000 per la stella più vicina! La prima parallasse stellare fu determinata
da Friedrich W. Bessel nel 1838 per la stella 61 Cygni, e risultò pari a 0.33 secondi d’arco (il valore moderno
è 0.289). Le stelle sono davvero lontanissime da noi, al punto che si dovettero adottare per loro nuove
misure di distanza16. Solo raffinate tecnologie fotografiche sono in grado di fornire buone misure di
parallasse, che certamente sono impossibili ad occhio nudo.
Il sistema ticonico
Tycho Brahe, dunque, cercò in tutti i modi di far luce sul problema del moto planetario, soprattutto
raccogliendo un’enorme messe di dati accurati. Questa attività lo portò a rigettare l’ipotesi copernicana,
perché non in accordo con i suoi dati, ma lo rese sempre più insoddisfatto dell’ipotesi tolemaica. Per questo
motivo egli propose un sistema, da lui detto “ticonico”, che rappresentava una sorta di compromesso tra le
due concezioni.
Nel sistema ticonico la Terra è sempre al centro dell’universo e la Luna, il Sole e le stelle continuano a
girarle intorno come nel sistema tolemaico. Gli altri pianeti però ruotano intorno al Sole. Inoltre, la sfera delle
stelle ruota verso ovest, mentre la Luna e il Sole verso est. I pianeti ruotano attorno al Sole verso ovest, ma
All’interno del sistema solare si usa l’Unità Astronomica (UA) pari a circa 150 milioni di km. Le distanze stellari sono misurate con due
altre unità: l’anno-luce, cioè la distanza percorsa dalla luce (a 300.000 km/sec) in un anno, e il parsec, cioè la distanza di un oggetto che
ha una parallasse di un secondo d’arco. Si calcola facilmente che 1 parsec equivale a 3.4 anni-luce.
16
21
sono trascinati dal Sole, il cui moto è verso est. Complicato? Senz’altro, ma il sistema ticonico ha tre
caratteristiche che lo rendono molto interessante nel processo di affermazione della teoria copernicana.
Per prima cosa bisogna notare che per la prima volta non tutto il creato gira attorno alla Terra: i pianeti sono
“satelliti” del Sole. E’ un passo importante, che va confrontato con la scoperta dei satelliti “medicei” di Giove
da parte di Galileo qualche tempo dopo. In secondo luogo, come si può vedere nella figura 3, le “sfere” di
Mercurio, Venere e Marte intersecano quella
del Sole. Se i corpi celesti sono trasportati da
“purissime sfere cristalline” è ben difficile
immaginare che possano infilarsi l’una
nell’altra. Ma la terza e più importante
caratteristica del sistema ticonico è che esso è
perfettamente
equivalente
al
sistema
copernicano. Infatti, le modifiche apportate da
Brahe al sistema tolemaico riguardano
soprattutto il moto dei pianeti. Il moto delle
stelle dipende dalla rotazione terrestre, e se
nel sistema ticonico mettiamo in rotazione (ma
non in rivoluzione) la Terra, la sfera delle stelle
si ferma, come nel sistema copernicano. La
Luna ruota effettivamente attorno alla Terra e il
moto diurno della Terra non cambia la
situazione. Quanto al Sole, che sia la Terra a
girargli attorno, o il Sole a girare attorno a
questa, si ottiene comunque un moto in senso
antiorario, moti assolutamente equivalenti da
un punto di vista geometrico. E i pianeti ora
ruotano attorno al Sole, come nel sistema
copernicano.
Naturalmente, però, questo sistema non
Figura 3. Il sistema ticonico
risolveva le irregolarità del moto dei pianeti,
soprattutto le retrogradazioni. Brahe fu quindi
costretto a inserire di nuovo epicicli, deferenti, equanti ed eccentrici.
Ma anche se consideriamo il sistema ticonico come un disperato tentativo di una persona professionalmente
corretta di comporre la controversia generata dalla teoria di Copernico resta il fatto che esso scardinò per
sempre numerose certezze consolidate, aprendo definitivamente la strada al copernicanesimo.
La “nova” e il crollo di alcune certezze
Nel 1572 Tycho Brahe, allora poco meno che trentenne, osservò assieme a molti colleghi un fenomeno
stupefacente: una stella “nuova” era comparsa nella costellazione di Cassiopea 17. Questa stella raggiunse
rapidamente lo splendore di Venere per divenire poi sempre meno luminosa e scomparire all’inizio del 1574.
Di cosa si trattava? Era o no una stella? Domanda non banale, perché le stelle godevano dello status
speciale di esseri incorruttibili: se potevano mutare allora non c’era gran differenza tra il mondo superlunare
e quello sublunare; allora la Terra poteva benissimo essere un pianeta, visto che i cieli non differivano
sostanzialmente dal mondo transeunte terrestre.
Ebbene, sia Brahe che i suoi colleghi conclusero che non poteva che essere una stella, visto che non era
possibile misurarne una parallasse. Il mondo delle stelle non era più così perfetto come si pensava.
Sono numerose le incrinature che si cominciano a manifestare nel sistema tolemaico: i pianeti si muovono in
modo irregolare; forse le sfere cristalline non ci sono; le stelle possono accendersi e spegnersi come
lanterne, e quindi non essere eterne; le comete, di cui molti esemplari vennero avvistati e studiati dallo
stesso Brahe, non sono stelle, ma non si trovano neppure vicino alla Terra, data l’assenza di parallasse
giornaliera18. Il mondo astronomico è in piena confusione, la confusione che precede, e quasi invoca,
17
Non fu il primo e neppure il più notevole caso del genere. Già nel 1054 gli astronomi cinesi avevano osservato una stella
luminosissima sorgere dal nulla nella odierna costellazione del Cancro. Pare che questo fenomeno sia stato registrato anche in Europa,
ma i dati sono confusi. Si trattava della supernova i cui resti possiamo oggi ammirare come Nebulosa del Granchio (Crab Nebula).
18
La natura delle comete costituì un argomento di aspra disputa tra Galileo Galilei e Johannes Kepler. Il primo sosteneva che si trattava
di fenomeni atmosferici, mentre il secondo – forte anche delle osservazioni di Brahe di cui era discepolo – sosteneva che fossero
22
l’avvento di un’idea geniale che sistemi le cose e aiuti a fare chiarezza: la strada è pronta per Kepler. Vale
però la pena di dar ancora una volta la parola a Kuhn per illustrare il clima in cui Kepler si trovò a lavorare.
“In un modo o nell’altro, nel secolo successivo alla morte di Copernico, tutte le novità dell’osservazione e
della teoria astronomica, fossero o meno fornite dai copernicani, si trasformarono in prove a favore della
teoria copernicana. Si può dire che questa teoria stava quindi dimostrando la sua efficacia. Tuttavia, almeno
per quanto concerne le comete e le stelle nuove, la dimostrazione è alquanto strana, poiché le osservazioni
di comete e stelle nuove non hanno assolutamente nulla a che vedere con il moto della Terra. Esse
avrebbero potuto essere fatte e spiegate senza difficoltà tanto da un astronomo tolemaico quanto da un
copernicano. Non sono, in alcun senso diretto, prodotti secondari del De Revolutionibus, come lo era stato il
sistema ticonico.
Tuttavia esse non possono neppure essere considerate del tutto indipendenti dal De Revolutionibus o
almeno dal clima ideale in cui l’opera era nata. Di comete ne erano state viste parecchie prima delle ultime
decadi del secolo XVI. Qualche Nova, sebbene ne apparissero meno frequentemente delle comete a chi
osservava i cieli ad occhio nudo, deve pur essere stata di tanto in tanto visibile dagli osservatori prima
dell’epoca di Brahe: ne apparve una seconda nell’anno antecedente la sua morte e una terza nel 1604. Non
era neppur necessario usare gli strumenti perfezionati di Brahe per scoprir l’appartenenza delle Novae e
delle comete alle regioni superlunari: una deviazione parallattica di 1° poteva essere misurata senza tali
strumenti ed un certo numero di contemporanei di Brahe giunsero in effetti separatamente alla conclusione
che le comete appartenevano alle regioni superlunari facendo uso di strumenti noti da secoli… Per due
millenni prima della nascita di Brahe, i fenomeni e gli strumenti necessari per osservarli erano stati a
disposizione degli astronomi; ma le osservazioni non vennero fatte oppure, quando vennero fatte, non
furono interpretate adeguatamente. Durante l’ultima metà del secolo XVI, fenomeni di antica data mutarono
rapidamente di significato e importanza. Tali cambiamenti sembrano incomprensibili se non si inquadrano
nel nuovo clima del pensiero scientifico, uno dei cui più eminenti rappresentanti è Copernico... il De
Revolutionibus segnò una svolta e non ci doveva essere nessun ritorno all’antico.”
LE LEGGI DI KEPLER
Johannes Kepler era un sincero neoplatonico. Era anche un convinto copernicano e lavorò per tutta la vita
con lo scopo preciso di dimostrare l’esattezza dell’ipotesi di Copernico. Da bravo neoplatonico ammirava la
simmetria e la semplicità dello schema a Sole centrale ma non ammirava, anzi criticava apertamente, lo
scarso coraggio dimostrato da Copernico nel distaccarsi dallo schema di Tolomeo. In particolare Kepler si
rese conto che la matematica utilizzata da Copernico era insufficiente, al punto da richiedere l’introduzione di
molti artifici geometrici di derivazione tolemaica.
Kepler era nato nel 1571, 28 anni dopo la pubblicazione del De Revolutionibus, ed era stato assistente di
Tycho Brahe negli ultimi anni della sua attività. Si impegnò dunque a cercare di migliorare la teoria
copernicana in modo da dimostrarne la
validità al di là di ogni dubbio e per far ciò
utilizzò estesamente gli ottimi dati raccolti da
Brahe, in particolare riguardo al moto di
Marte. Nell’arco di dieci anni Kepler affrontò
il difficile compito di calcolare due orbite:
quella di Marte attorno al Sole e quella della
Terra, da cui Brahe aveva osservato Marte.
Tentò un gran numero di schemi diversi,
impiegando circoli di varia grandezza, ma
nessuno di questi tentativi portò a nulla; nei
casi migliori risultava ancora uno scarto
troppo grande dalle osservazioni di Brahe e
con grande scrupolo Kepler sostenne che le
sue
soluzioni,
che
pure
avrebbero
soddisfatto gli altri astronomi, non potevano
essere corrette.
Alla fine scartò l’ipotesi che le orbite dei
pianeti fossero circolari. Fu un altro grosso
Figura 4. Variazione della distanza di Marte dal Sole lungo l’orbita in
UA. La retta orizzontale mostra la distanza media.
oggetti superlunari. Anche i grandi ingegni possono inciampare su piccole e insostenibili posizioni di comodo che non vogliono
ammettere.
23
passo avanti che richiese l’abbandono di un’altra convinzione consolidata. Dopo varie prove con diversi tipi
di curve ovali si rese conto che gli scarti da lui calcolati non erano casuali, ma seguivano un andamento
regolare (figura 4). Fu in base a questa osservazione che infine giunse ad enunciare la sua prima “legge”: i
pianeti si muovono attorno al Sole lungo delle ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Inoltre, Kepler
dovette abbattere un’ulteriore certezza: i pianeti non solo non si muovevano lungo cerchi (ma lungo ellissi),
essi non avevano neppure velocità costante, ma acceleravano quando erano più vicini al Sole e
deceleravano quando ne erano più lontani. Kepler fu in grado di quantificare questa diversità di moto e
scoprì che anch’essa seguiva una “legge” semplice; non era la velocità pura e semplice ad essere costante,
ma il prodotto della velocità per l’angolo descritto, o velocità angolare. Unendo il Sole e il pianeta con un
segmento, e calcolando l’area del settore ellittico che questo segmento copriva in un certo tempo, Kepler si
accorse che l’area del settore coperta in tempi uguali era sempre la stessa, cioè che la velocità del pianeta
variava in modo tale da mantenerla costante. Ne deriva che i pianeti vanno più veloci quando sono al
perielio e più lenti quando sono in afelio19.
Con l’enunciazione di queste due “leggi” all’improvviso il problema del moto dei pianeti scomparve del tutto.
Le osservazioni risultarono in perfetto accordo con i dati e questo risultato eccezionale si era ottenuto
semplicemente con l’introduzione di una curva diversa dal cerchio e di una nuova legge del moto. Un
rompicapo che durava da migliaia di anni era stato definitivamente risolto. C’è però un aspetto di questa
impresa che vale la pena di sottolineare. Kepler riuscì dove tanti avevano fallito per una serie di motivi;
intanto perché era copernicano, e quindi profondamente attaccato all’ipotesi del Sole centrale. Inoltre,
perché aveva i dati di Brahe, più precisi di qualsiasi insieme di dati precedenti. Ma riuscì anche perché era
un neoplatonico, intimamente convinto che la Natura funzionasse in base a regole matematiche semplici e
che il Sole fosse all’origine di tutti i moti celesti.
Bisogna fare un cenno alla “fisica” che sta dietro le scoperte di Kepler. Chi, si chiese questi, muove i pianeti
sulle loro orbite, visto che le sfere cristalline di dantesca memoria non sembrano esserci? Il Sole, beninteso.
Il Sole sprigiona una anima motrix, una forza motrice che tiene i pianeti legati. E’ una formulazione un po’
bizzarra, ma vale la pena di riportarla. Dal Sole escono dei raggi che vanno in tutte le direzioni sul piano
dell’eclittica; un pianeta intercetta un certo numero di tali raggi e la sua velocità è proporzionale al numero di
raggi intercettati. Se il pianeta è più lontano, il numero di raggi che lo incontrano è minore, ed ecco che il
pianeta si muove più lentamente. Una spiegazione curiosa, ma efficace. Peccato che sia sbagliata. Infatti, se
il pianeta viene posto ad una distanza doppia, il ragionamento di prima dovrebbe produrre una velocità pari
alla metà, cosa che non è in accordo con i dati osservativi. Riconoscendo questo errore Kepler alla fine
arrivò alla seconda legge, che è invece corretta e non coincide con una semplice proporzionalità 20.
Le prime due leggi di Kepler furono pubblicate nel 1609, la terza dieci anni dopo. L’origine della terza legge
va di nuovo cercata nella fiducia di Kepler in un mondo fisico armonico e basato sulla matematica. Essa, per
la prima volta nella storia, mise in relazione il moto di due pianeti. Nessuno, prima di Kepler, aveva mai
considerato la possibilità che i moti planetari fossero in accordo tra loro, ma Kepler era a volte quasi mistico
nelle sue idee e per tutta la vita cercò armonie nascoste nei cieli. Dunque, la terza legge afferma che i moti
di due pianeti non sono casuali, ma dipendono dalla distanza media dal Sole. In particolare, il rapporto del
quadrato dei periodi orbitali (che ovviamente dipendono dalla velocità media) è uguale al rapporto dei cubi
dei semiassi maggiori.
Bisognerà attendere Newton per una spiegazione matematica di questa relazione, ma con la sua terza legge
Kepler fece un nuovo balzo in avanti: per la prima volta era possibile calcolare il periodo (e quindi la velocità
media) di un pianeta semplicemente conoscendo la sua distanza dal Sole o inversamente, cosa ancor più
interessante, era possibile calcolare la distanza conoscendo il periodo. Naturalmente, trattandosi di rapporti,
per sapere i valori assoluti bisogna conoscere almeno una coppia di valori: i periodi sono tutti noti, ma le
distanze no.
Per chiudere questo capitolo importante della nostra storia è opportuno fare alcune riflessioni. Kepler
formulò tre leggi che Newton dimostrò matematicamente consistenti, le tre leggi che ancora oggi vengono
utilizzate per il calcolo delle orbite, ma non formulò una “dinamica”; non dette, cioè, una spiegazione
esauriente e controllabile del perché i pianeti seguissero proprio quelle leggi e non altre. Questa non è
un’osservazione di poco conto, perché è proprio l’assenza nel pensiero kepleriano di una solida concezione
Il perielio e l’afelio sono i punti di un’orbita rispettivamente più vicino e più lontano dal Sole. Questa legge di Kepler non esprime altro,
in termini moderni, che la conservazione del momento angolare, o momento della quantità di moto.
19
20
Il ragionamento di cui si parla è molto semplice. Se un oggetto emette ad esempio luce in tutte le direzioni, la quantità di luce che
cade su uno schermo di area fissata dipende direttamente dalla distanza dello schermo dalla sorgente. La dipendenza è una
proporzionalità inversa (maggiore la distanza, minore la luce raccolta), spiegabile facilmente con il teorema di Talete in base al quale il
rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo di angoli assegnati è costante. Questo rapporto è la quantità che in trigonometria si chiama
tangente. La velocità e la distanza dal Sole non sono invece inversamente proporzionali, poiché la velocità dipende dall’inverso della
radice quadrata della distanza.
24
della fisica che fa di lui un “innovatore”, ma non un “fondatore”. Questo titolo (di padre fondatore della fisica)
va riservato a Galileo Galilei e, in misura ancor maggiore, a Isaac Newton.
D’altra parte non è del tutto vero che Kepler non abbia cercato di immaginare come il Sole agisse sui pianeti.
Anzi, egli fu di fatto il primo scienziato che dette una immagine non animistica del concetto che in seguito
venne definito “forza”. La storia di questo concetto, come di quello ad esso intimamente legato di “massa”, è
affascinante per se stessa, ma ci porterebbe troppo lontano. Nondimeno vale la pena di spendervi qualche
parola perché è su questi concetti che i “padri” fondarono la fisica.
La forza ( in greco, da cui dinamica) è sempre stata associata con un essere, con una capacità
attiva di agire21, ma è solo nel ‘600 che assume un significato meccanico, e quindi quantificabile. E Kepler ha
avuto una parte rilevante nel mostrarlo. Naturalmente Kepler non aveva nessun precedente a cui appigliarsi,
gli mancava persino il termine con cui esprimere quello che pensava. Dapprima, come abbiamo visto, definì
la capacità del Sole di tener legati e muovere i pianeti come “anima motrix”, come qualcosa in qualche modo
spirituale; ma in seguito anche la sua terminologia si precisò. Nelle note alla seconda edizione del Mysterium
Cosmographicum (1621), egli scrisse:
“Se sostituisci la parola “anima” con la parola “forza” ottieni il vero principio su cui la fisica celeste è
costituita nei Commentari su Marte ecc. e praticata nel IV libro dell’Epitome22. Un tempo avevo creduto che
la causa del moto planetario fosse un’anima,… Ma quando capii che queste cause motrici si indebolivano
con la distanza dal Sole, venni alla conclusione che questa forza è un qualcosa di corporeo, se non a rigor di
termini, almeno in un certo senso.”23
Riprenderemo ancora questo argomento, che è fondamentale nell’opera di Galilei e di Newton.
Avendo visto come Johannes Kepler abbia definitivamente risolto il problema del moto dei pianeti è ora
opportuno che si prenda un po’ di dimestichezza con la terminologia, le grandezze fisiche e matematiche e i
metodi del calcolo del percorso di un oggetto nel cielo. Per far ciò utilizzeremo nelle prossime lezioni un
programma di calcolo scritto apposta per scopi didattici, il programma ISACCO. Un manuale che spiega in
dettaglio il funzionamento di ISACCO è allegato a queste lezioni; tuttavia è necessario spendere qualche
parola sui termini che useremo e di questo si incarica il
paragrafo seguente.
L’ENERGIA DI LEGAME E LE ORBITE
Il campo gravitazionale associato ad una massa, ad
esempio il Sole, può essere descritto come una rete
deformata dalla presenza della stella, in modo da dare
l’immagine di un pozzo. Cosa succede ad un oggetto
che da distanza infinita si avvicini al Sole (figura 5)?
Finché è lontano, la deformazione dello spazio è
impercettibile, e l’oggetto sembra muoversi in modo
uniforme (ma una misura precisa mostrerebbe che sta
Figura 5. Un oggetto che, da distanza infinita, si avvicina
lentamente accelerando). Man mano che si avvicina
al Sole subisce una deviazione che dipende dalla
alla sorgente del campo, però, la sua velocità aumenta
distanza e dalla velocità di avvicinamento. La linea
24
sempre più, e l’oggetto “cade” nella buca . Seguendo
tratteggiata indica il percorso che si sarebbe avuto in
quindi una traiettoria curva, l’oggetto si porterà ad una
assenza della massa perturbatrice del Sole. La visione
dall’alto, nella parte destra della figura, mostra la forma
distanza minima dal Sole, dove la sua velocità sarà
iperbolica della curva.
massima, per poi cominciare di nuovo ad allontanarsi.
Ora però l’oggetto dovrà “risalire” le pareti della buca, il
che produrrà una diminuzione anziché un aumento di velocità e il corpo rallenterà sempre più seguendo una
traiettoria sempre meno incurvata; a grande distanza sembrerà di nuovo muoversi di moto rettilineo ed
uniforme.
In geometria la curva descritta da un tale oggetto viene detta iperbole ed è uno dei quattro tipi di sezioni
coniche (cioè una delle quattro curve che si ottengono tagliando un cono con un piano ad angoli diversi
21
Si pensi all’espressione “la forza sia con voi” della saga cinematografica Star Wars.
22
Si tratta dei due libri Astronomia nova e Epitome Astronomiae Copernicanae.
23
La citazione è tratta da M. Jammer, “Storia del concetto di forza”, Feltrinelli, Milano, 1979.
Attenzione, non c’è nessuna buca “fisica”: è un’immagine utile per ragionare e basta. La “buca” riguarda una grandezza (anch’essa
piuttosto complicata da spiegare) che si chiama potenziale.
24
25
rispetto all’asse del cono). Le altre tre coniche sono, com’è noto, la parabola, l’ellisse e il cerchio. Newton
dimostrò, impiegando il calcolo differenziale, che un oggetto immerso in un campo gravitazionale si muove
sempre lungo una conica. La sua traiettoria viene detta orbita. Ma cosa distingue un’orbita dall’altra o in
altre parole quali parametri ci informano sul tipo di orbita descritta da un corpo?
Per rispondere a questo interrogativo dobbiamo esaminare un concetto fisico della massima importanza:
l’energia di legame. Pur essendo sfuggente e difficile da definire, il concetto di energia è nondimeno
abbastanza familiare; possiamo dire che essa è la “moneta” che viene spesa (o guadagnata) in qualunque
processo fisico. Non esiste evento, dal riscaldamento di una casa al camminare per strada, che non richieda
un “lavoro”, cioè uno dispendio di energia.
La “moneta energia” esiste in differenti “valute” (tanto per continuare la metafora) e può essere cambiata
dall’una all’altra. Così si può impiegare dell’energia atomica, cioè proveniente dalla fissione dell’atomo, per
produrre energia elettrica, la quale può trasformarsi – ad esempio nel motore di un treno – in energia
cinetica, e così via.
L’energia di legame indica quanto un oggetto è “legato” ad un altro: essa corrisponde al lavoro necessario a
portare i due oggetti a distanza infinita l’uno dall’altro, cioè a slegarli. Un pianeta che gira attorno al Sole è
legato ad esso, cioè non può sfuggire, a meno che non gli si fornisca energia sufficiente a slegarsi. Così un
razzo che parte dalla Terra necessita di un motore che fornisca energia per vincere il campo gravitazionale
terrestre (per “risalire la buca”); solo un motore abbastanza potente e costoso può spezzare il legame tra
Terra e razzo e permettere a quest’ultimo di vagare per il sistema solare. L’energia di legame può essere
negativa o positiva: nel primo caso gli oggetti sono legati, nel secondo slegati. Un’energia di legame nulla
indica il punto di transizione tra stati legati e stati slegati.
Un’analisi dei vari tipi di conica mostra che un oggetto su orbita circolare o ellittica ha un’energia di legame
rispetto al Sole negativa: queste orbite sono caratteristiche di oggetti legati. Viceversa, un oggetto su orbita
iperbolica ha un’energia di legame positiva, e quindi è slegato. Un’orbita parabolica, con energia di legame
nulla, rappresenta la transizione tra stati legati (ellissi) e stati slegati (iperboli). Effettivamente, possiamo
pensare a un’ellisse come a un cerchio deformato e a una parabola come il limite che si ottiene “stirando”
un’ellisse, fino ad aprirla.
La parabola e l’iperbole sono curve aperte, mentre cerchio ed ellisse sono curve chiuse. Un oggetto su
orbita iperbolica o parabolica viene da distanza infinita e va a distanza infinita, senza mai passare due volte
per lo stesso punto. Invece un oggetto su
orbita circolare od ellittica ripercorre
periodicamente lo stesso cammino: queste
orbite si dicono allora periodiche, e il tempo
necessario a “fare un giro” si dice periodo
orbitale. Quanto detto finora si applica a un
sistema di soli due oggetti, come Sole e
pianeta o pianeta e satellite. Nel caso che i
corpi siano più di due (il cosiddetto
“problema a n corpi”) le cose si complicano
notevolmente.
L’orbita di un oggetto attorno al Sole è
univocamente determinata quando si
conosca lo stato di moto dell’oggetto, cioè
siano noti ad un dato istante la sua
posizione e la sua velocità in un dato
sistema di riferimento spaziale. E’ quindi
necessario conoscere, oltre al tempo, altre
sei quantità: le tre coordinate spaziali (x, y, z)
e le tre componenti della velocità lungo gli
assi coordinati (vx, vy, vz). Purtroppo però sia
la posizione sia la velocità cambiano
continuamente e la loro determinazione in
funzione del tempo è possibile, ma non
esattamente banale. Invece l’orbita e la sua
orientazione nello spazio non variano nel
tempo (in un sistema a due corpi). Le sei
quantità necessarie a descrivere il moto di
Figura 6. Un’orbita ellittica giace sul suo piano orbitale, con
inclinazione i rispetto al piano di riferimento xy. Il semiasse
maggiore a è naturalmente la metà dell’asse maggiore.
L’eccentricità e è fornita dalla distanza tra il fuoco (origine delle
coordinate) e il centro dell’ellisse (non indicato), essendo questa
pari ad ae. L’angolo (sul piano xy) tra l’asse x e la linea dei nodi è
la longitudine del nodo , mentre quello (sul piano orbitale) tra la
linea dei nodi e l’asse maggiore è l’argomento del perielio .
26
un oggetto sono quindi state trasformate in sei parametri orbitali molto più agevoli da maneggiare e
costanti (tranne uno) nel tempo. Esamineremo qui brevemente il loro significato (figura 6).
1) Il semiasse maggiore, a: è pari – come dice il nome – alla metà dell’asse maggiore di un’orbita ellittica.
Se l’orbita è circolare il semiasse è naturalmente uguale al raggio. Spingendo il ragionamento al limite si
vede che nel caso della parabola (pensata come un’ellisse allungata all’infinito) il semiasse tende all’infinito.
Il semiasse orbitale è estremamente importante, perché si dimostra essere inversamente proporzionale, e di
segno opposto, all’energia di legame. Un semiasse piccolo corrisponde quindi ad un’energia fortemente
negativa, cioè ad un’orbita molto legata. Il semiasse infinito della parabola corrisponde ad energia nulla,
come detto, mentre per un’iperbole il semiasse assume convenzionalmente segno negativo (ma è chiaro
che, per curve aperte, il semiasse non ha più il senso comune di una lunghezza).
2) L’eccentricità, e: indica lo “schiacciamento” di un’ellisse. L’eccentricità è nulla per il cerchio; varia tra 0 e
1 per l’ellisse (indicando appunto quanto è schiacciata); è uguale a 1 per la parabola e maggiore di 1 per
l’iperbole.
Semiasse ed eccentricità assieme indicano quindi il tipo e la forma della conica. Il Sole si trova in un fuoco
della conica (che coincide col centro nel caso del cerchio). Da a ed e è possibile calcolare le distanze minima
e massima dal Sole, nel caso di un’orbita periodica. Queste distanze – rispettivamente la distanza
perieliaca e la distanza afeliaca - sono uguali ad a(1-e) ed a(1+e). E’ chiaro quindi che a parità di
semiasse, cioè di energia, più l’eccentricità si avvicina a 1, più la distanza perieliaca è piccola (cioè il corpo
passa molto vicino al Sole).
3) L’inclinazione, i. Supponiamo di aver stabilito una terna di riferimento spaziale (x, y, z) con origine nel
Sole (cioè nel fuoco dell’orbita). L’orbita del nostro oggetto giacerà su un piano (piano orbitale) in genere
non coincidente con nessuno dei piani coordinati. L’inclinazione è l’angolo tra il piano orbitale e il piano xy.
Nel sistema solare si assume quasi sempre come piano xy quello che contiene l’orbita terrestre in un istante
fissato: dal 1991, per decisione dell’Unione Astronomica Internazionale (IAU), si è assunto come piano xy di
riferimento il piano orbitale della Terra alle ore 00:00 del primo gennaio 2000 (riferimento J2000).
Semiasse, eccentricità e inclinazione sono i tre parametri orbitali più importanti che forniscono tipo, forma e
inclinazione dell’orbita. Altri due parametri, l’argomento del perielio , e la longitudine del nodo , ci
dicono come è orientata l’orbita sul piano orbitale. Il sesto parametro è il tempo del passaggio al perielio T
che fornisce la posizione dell’oggetto lungo l’orbita in un dato istante, collegando quindi l’orbita dell’oggetto
alla sua “storia”.
Gli elementi orbitali non sono fissi nel tempo a causa delle perturbazioni esercitate dai corpi presenti.
Proviamo ad immaginare cosa accade ad un oggetto piccolo (per esempio una sonda spaziale) che vaghi
per il sistema solare. Esso sentirà soprattutto l’influsso del Sole, ma la sua orbita non sarà costante nel
tempo come nel problema a due corpi (Sole e sonda). Il campo gravitazionale di Giove, pur essendo
originato da una massa pari solo a un millesimo di quella solare, è notevole e disturba l’orbita dell’oggetto in
maniera significativa. I parametri orbitali non saranno quindi costanti nel tempo, ma varieranno in modo
molto complesso e – in linea di massima – imprevedibile. Tutto quello che possiamo dire è che “ad un dato
istante” (normalmente detto l’epoca) l’orbita sarà descritta da un insieme di sei quantità che prendono il
nome di parametri orbitali osculanti. La dinamica è il regno della variabilità e il cielo che ci sovrasta è
tutt’altro che immoto.
Esistono naturalmente formule di trasformazione tra coordinate e velocità da un lato e parametri orbitali
dall’altro (e viceversa, si veda il manuale d’uso di ISACCO). Con esse abbiamo tutti i mezzi necessari per
predire il moto di un qualunque oggetto del sistema solare e quindi, proiettando questo moto sulla sfera
celeste come è vista dalla Terra, per predirne il suo percorso apparente (cioè tracciarne le effemeridi).
Questa ricerca, cominciata con i primi sacerdoti-astronomi molte migliaia di anni fa, è ora definitivamente
conclusa per quanto riguarda la comprensione generale dei moti celesti. Tuttavia, molti aspetti sottili di
questa problematica sono ancora oggetto di studi.
27
Prima esperienza. Il programma ISACCO e il moto delle
comete
IL PROGRAMMA ISACCO
Questo programma – o meglio, insieme di programmi – deve la sua nascita ad una constatazione molto
semplice, maturata durante numerosi anni di divulgazione nelle scuole: l'unico modo per comprendere
appieno la natura e le proprietà di un campo gravitazionale è di sperimentare cosa accade ad un oggetto
sottoposto all'azione gravitazionale di altri corpi.
Forse la definizione migliore di ISACCO è quella di un “laboratorio elettronico” per effettuare esperimenti
sulla gravitazione. Un normale laboratorio di fisica è dotato di apparecchiature adatte a riprodurre qualche
fenomeno che in natura si presenta spontaneamente, nonché di strumenti di misura necessari per
controllare lo svolgersi del fenomeno e i risultati dell'esperimento. E’ proprio la capacità di un laboratorio di
effettuare esperimenti in “condizioni controllate” che lo rende un ausilio fondamentale della ricerca; anzi, si
può a buon diritto affermare che la ricerca in fisica, come viene intesa oggi, non può esistere senza
laboratori.
Tuttavia, se è relativamente semplice riprodurre in laboratorio fenomeni legati al campo elettromagnetico
(elettricità, ottica); alla termodinamica (scambi di calore, transizioni di fase); alla meccanica (urti,
composizione dei moti), non è altrettanto semplice ricreare in piccolo un ambiente dove studiare fenomeni
che – per loro natura – richiedono grandi spazi e tempi lunghi (e alte energie).
La gravitazione è la più debole delle “forze” della natura. Questa proprietà fa sì che le sorgenti della forza (le
masse) debbano essere molto grandi perché la forza stessa possa essere misurata. Le misure legate alla
gravitazione sfruttano, in un laboratorio normale, la presenza del campo gravitazionale terrestre (pendoli,
piani inclinati) e ne mettono in evidenza le proprietà e le costanti. Non è tuttavia possibile ricreare in
laboratorio un ambiente extraterrestre: non è possibile annullare, sulla superficie della Terra, il campo
gravitazionale se non per brevi istanti e con tecniche sofisticate.
Per far ciò occorre allontanarsi dalla Terra, e possibilmente anche dal Sole. Le missioni spaziali possono
anche essere viste come altrettanti “esperimenti” gravitazionali, che hanno mostrato al di là di ogni possibile
dubbio la validità delle nostre interpretazioni di questo fenomeno basilare della natura. Almeno localmente.
ISACCO ha lo scopo – e l'ambizione – di fornire il laboratorio che non possiamo costruire realmente.
Come in un qualunque laboratorio, in ISACCO sono presenti “apparecchiature” per effettuare esperimenti,
corpi “di prova”, “strumenti” di misura. Le misure possono venir registrate in “quaderni di laboratorio” per una
successiva analisi.
Vi è però una sostanziale differenza rispetto ad un laboratorio vero, e questa differenza va tenuta ben
presente fin dall'inizio. Lo studio di un fenomeno naturale procede normalmente per varie tappe:
l'osservazione del fenomeno e la sua caratterizzazione (ricorrenze, proprietà, grandezze, effetti);
l'elaborazione di una “teoria” che spieghi il fenomeno;
la preparazione di uno o più esperimenti cruciali, che consistono nel provare se la teoria è corretta
attraverso la conferma (o smentita) delle sue previsioni.
La “teoria” e il “fenomeno” non sono certamente la stessa cosa, anche se la teoria è confermata
dall'esperimento. Nel nostro caso, invece, il fenomeno è “simulato” in ISACCO attraverso la teoria
gravitazionale di Isaac Newton (è per questo che ISACCO ha questo nome). Se vogliamo verificare la teoria
gravitazionale di Newton con ISACCO, non possiamo aspettarci altro che una totale conferma: un
calcolatore dà sostanzialmente quello che gli è stato già fornito, non può ancora inventare! D'altra parte, se
volessimo indagare i fenomeni gravitazionali legati alla teoria einsteiniana della relatività generale, non
potremmo certamente farlo usando ISACCO: il programma usa la fisica “classica”, non quella “relativistica”.
ISACCO dunque non può essere utilizzato per provare la teoria newtoniana: la sua utilità va cercata altrove.
Con esso possiamo uscire “virtualmente” dal campo gravitazionale terrestre, esaminare gli effetti combinati
di vari campi gravitazionali, e anche sperimentare combinazioni di masse e posizioni diverse da quelle che si
presentano in natura. Serve dunque ad indagare le pieghe e le implicazioni di una teoria solida e
sperimentata.
28
LE COMETE, INSTANCABILI VIAGGIATORI
Non è il caso di addentrarsi troppo sulla natura fisica e l’evoluzione delle comete. Basterà sapere che esse
sono oggetti molto primitivi del Sistema Solare, formatisi più di 4 miliardi di anni fa contemporaneamente ai
pianeti. Anzi, almeno nei casi dei pianeti esterni (da Giove a Nettuno) si può senz’altro sostenere che essi
siano formati dall’aggregazione di molti miliardi di comete. Il nono “pianeta” scoperto dall’uomo, Plutone, può
per molti aspetti essere considerato la più grande delle comete esistenti, se non altro per le sue
caratteristiche orbitali.
Le comete vengono normalmente
suddivise in due grandi classi: quelle
di corto periodo (SP) e quelle di lungo
periodo (LP). Le comete SP (mostrate
in figura 7) hanno convenzionalmente
un periodo orbitale minore di 200 anni
(P/Encke ha un periodo di 3.3 anni) e
quindi sono state osservate spesso
molte volte nella storia dell’uomo; per
questo motivo sono dette anche
comete periodiche e il loro nome è
preceduto da P/. Le comete LP invece
hanno periodi molto lunghi, spesso
dell’ordine dei milioni di anni, e quindi,
pur essendo comunque oggetti
periodici perché legati al Sole, sono
state osservate una volta sola.
Le comete sono localizzate in
maggioranza in due grandi serbatoi: la
Cintura di Edgeworth-Kuiper, tra le 30
e le 100 UA dal Sole, e la Nube di
Oort, ad una distanza di decine di
migliaia di unità astronomiche dal
Sole. Sono oggetti con orbite molto
instabili, nel senso che sentono
fortemente le perturbazioni operate da
Figura 7. Le orbite delle comete di corto periodo (SP). L’orbita di Giove e della
vari agenti. Le comete della Cintura di
Terra è mostrata con tratto più grande. Le tacche del grafico corrispondono ad
E-K sentono gli effetti gravitazionali
una UA.
dei pianeti esterni, specialmente
Nettuno, mentre quelle della Nube di Oort sono sottoposte alle perturbazioni delle altre stelle e del campo
gravitazionale galattico. Il risultato di queste perturbazioni è che di tanto in tanto una cometa abbandona la
zona d’origine e vaga in maniera caotica e sostanzialmente imprevedibile nella regione planetaria; le comete
SP provengono soprattutto dalla Cintura di E-K, mentre quelle di lungo periodo vengono tutte dalla Nube di
Oort25. Quando si avvicinano al Sole a meno di 2 UA i ghiacci di cui sono composte le comete cominciano a
sublimare, lasciando un’inconfondibile “coda”. A quel punto la cometa, pur essendo generalmente un
oggetto piccolo (spesso meno di 100 km), può divenire molto brillante ed essere osservata talvolta anche ad
occhio nudo.
E’ proprio l’apparire improvvisamente che ha reso le comete così interessanti per l’uomo. Nei tempi antichi
questo interesse era volto a cercare nelle apparizioni delle comete segnali premonitori sulle vicende umane,
al giorno d’oggi esse rappresentano preziosissimi “messaggeri” celesti che ci informano sulla storia del
sistema solare. Non è un caso che la missione planetaria più importante che l’agenzia spaziale europea ha
in programma, una missione alla cometa P/Wirtanen26, sia stata chiamata “Rosetta”, come la famosa stele
che permise di decifrare la lingua geroglifica egiziana.
La distinzione sul luogo d’origine è molto ben compresa. Mentre tutte le comete LP vengono dalle regioni più esterne del sistema, non
è vero che tutte le SP vengano dalla Cintura. In alcuni casi si possono avere comete di corto periodo la cui provenienza va posta nella
Nube. E’ il caso della cometa P/Halley.
25
26
La missione Rosetta verso P/Wirtanen doveva partire a fine gennaio 2003. A causa di problemi tecnici al razzo Ariane 5, tuttavia, è
stato necessario rimandare la partenza, per un tempo non determinato. Questo significherà molto probabilmente che Rosetta non potrà
più incontrare P/Wirtanen e sarà quindi necessario cercare un altro obiettivo. Ma le comete non mancano…
29
Quando una cometa SP si trova a vagare tra i pianeti il suo destino è segnato. Essa interagisce fortemente
con uno o più dei pianeti giganti, in genere Giove, ed è sottoposta a fortissime variazioni orbitali che possono
portarla a collidere con un pianeta, o a consumarsi al calore solare, o addirittura ad essere espulsa dal
sistema per perdersi tra le stelle della Galassia. Sono proprio queste interazioni, che tecnicamente si
chiamano incontri ravvicinati (close encounters in inglese) l’oggetto della nostra esperienza che esaminerà le
“evoluzioni” della cometa P/Gehrels 3.
L’EVOLUZIONE ORBITALE DI UNA COMETA: IL CASO DI P/GEHRELS 3
La cometa 82P/Gehrels 3 fu scoperta da Tom Gehrels nel 1975. Il numero 82 subito prima di P/ indica che è
l’82° cometa periodica scoperta e catalogata. Contrariamente agli asteroidi, il cui nome viene assegnato
dallo scopritore, le comete prendono il nome dello scopritore. Quindi, P/Gehrels 3 è stata la terza cometa di
corto periodo scoperta da Gehrels.
La cometa è risultata subito molto interessante. All’epoca (1978) alcuni colleghi ed io studiavamo la
dinamica delle comete, e in particolare gli incontri ravvicinati di queste con i pianeti giganti, per cercare di
capire qualcosa su questi fenomeni di cui si sapeva ancora ben poco. Integrammo quindi il moto di alcune
comete promettenti, tra cui P/Oterma e P/Gehrels 3, per accorgerci che ambedue avevano avuto nel
passato una storia travagliata. Allora ancora non si sapeva nulla della Cintura di E-K, la cui esistenza era
stata solo ipotizzata (ma non confermata da scoperte) indipendentemente da Edgeworth e da Kuiper; si
pensava che tutte le comete provenissero dalla Nube di Oort, ma i “meccanismi” che governavano questo
trasporto erano piuttosto nebulosi. Negli anni ’60 un’astronoma russa, Kazimirchak-Polonskaya, aveva
utilizzato le prime macchine elettroniche per simulare l’evoluzione delle comete all’indietro e si era resa
conto che questa evoluzione era dominata dagli incontri ravvicinati.
Forti di alcuni programmi appena scritti (tra cui la routine RADAU di Edgar Everhart, attorno a cui è costruito
ISACCO) e di calcolatori più efficienti, ci mettemmo all’opera e scoprimmo che P/Gehrels 3 era appena
uscita da un lungo incontro con Giove. La sua orbita prima di questo evento era completamente esterna
all’orbita del pianeta e quindi la cometa era invisibile perché troppo lontana; dopo l’incontro l’orbita di
P/Gehrels 3 è divenuta tutta interna a quella di Giove ed è stata scoperta.
In questa esperienza cercheremo di capire come funziona un incontro ravvicinato e come può accadere che
un’orbita possa variare così drasticamente. Nel preparare l’esperimento seguiremo lo schema consigliato nel
manuale di ISACCO, e cioè:
obiettivo
dati di partenza
modalità d’esecuzione
dati in uscita
Alla fine dell’esperienza ne faremo una breve relazione, in modo da evidenziare anche questo aspetto –
certamente non secondario – di un esperimento reale. Servirà ad avvicinarci ancor di più alla normale
pratica scientifica.
Preparazione dell’esperienza
Obiettivo
Lo scopo dell’esperienza è duplice. Da un lato si vuole mostrare come differisca il moto di un oggetto legato
al Sole quando non vi sono perturbazioni (problema a 2-corpi, il problema di Kepler) e quando sono presenti
n oggetti perturbanti (problema a n-corpi); dall’altro si vuole studiare le modalità dell’incontro con Giove
precedente alla scoperta e analizzare le variazioni orbitali che ne sono risultate. Per finire cercheremo di
capire, con un’evoluzione a medio termine (30000 anni), quale sia la tipica dinamica di una cometa di questo
genere.
Dati di partenza
I dati di partenza sono di due tipi: gli elementi osculanti della cometa ad una data epoca e le posizioni dei
pianeti alla stessa epoca. Queste ultime quantità sono generate automaticamente da ISACCO una volta
nota la data di partenza, per cui ci dobbiamo sostanzialmente preoccupare solo degli elementi orbitali di
P/Gehrels 3. Il modo più semplice per ottenerli è di consultare il catalogo ufficiale delle orbite cometarie che
30
viene continuamente aggiornato dall’Unione Astronomica Internazionale. Facendo ciò incontriamo una riga
del catalogo che appare così:
1977 VII 77 Apr. 23.1845 3.424352 0.151898 8.11 231.1626 243.5611 1.0988 77 Apr. 7 48 1975 - 1987 9 5o P/Gehrels 3
I numerosi “campi” nel catalogo meritano una spiegazione.
1977 VII
è la denominazione ufficiale dell’apparizione della cometa. In questo caso si tratta
della settima cometa apparsa nel 1977.
77 Apr. 23.1845
è il tempo del passaggio al perielio, T. La cometa passò in perielio il 23 aprile 1977
alle ore 4 25 minuti e 40.8 secondi (questa è la parte frazionaria del giorno). Il catalogo ufficiale non è più
preciso di un decimo di secondo, ma spesso il tempo del passaggio al perielio è conosciuto anche
meglio.
3.424352
0.151898
è l’eccentricità e all’epoca. Dividendo la distanza perieliaca per (1-e) si ottiene il
semiasse orbitale a.
8.11
è la distanza perieliaca q all’epoca, in Unità Astronomiche.
è il periodo orbitale P, calcolabile anche dal semiasse poiché
P
2a 3 / 2
, dove k è
k M
la costante di Gauss, pari a 0.01720209895, e M la massa del Sole (1 nelle nostre unità). La formula del
periodo orbitale dà il risultato in giorni: per passare ad anni bisogna dividere per 365.2425, durata
dell’anno medio.
231.1626
è l’argomento del perielio in gradi.
243.5611
è la longitudine del nodo ascendente in gradi.
1.0899
è l’inclinazione del piano orbitale i, rispetto all’eclittica, in gradi.
77 Apr. 7
è l’epoca. Questo è un dato fondamentale, perché è in questo istante che l’orbita
della cometa ha assunto i valori che stiamo riportando. Ne riparleremo tra poco.
48
1975 – 1987
è l’arco d’osservazione, cioè il periodo di tempo coperto dalle 48 osservazioni
precedentemente descritte.
9
dell’orbita.
è il numero di pianeti del sistema solare di cui si è tenuto conto nel calcolo
5o
è un parametro il cui significato non ha qui nessun interesse.
P/Gehrels 3
è il nome della cometa.
è il numero di osservazioni su cui si basa il calcolo dell’orbita osculante all’epoca.
Nella nostra simulazione useremo tutti i parametri orbitali fornitici dal catalogo, tenendo presente che si
riferiscono all’epoca 7 aprile 1977. Questa sarà quindi la nostra data di partenza. Il programma ISACCO
accetta i dati riportati più sopra con l’eccezione del tempo del passaggio al perielio T. In sua vece bisogna
fornire l’anomalia vera all’epoca, ed è questo valore che ora cercheremo di trovare.
La posizione di un oggetto lungo la sua orbita ad una data epoca può essere fornita in tre modi:
1. dando il tempo del passaggio al perielio e l’epoca (è il nostro caso);
2. dando l’anomalia media;
3. dando l’anomalia vera.
Le tre grandezze naturalmente sono legate l’una all’altra e una qualunque è sufficiente a determinare la
posizione se si conosce l’orbita. Abbiamo già visto cosa sia il tempo del passaggio al perielio, vediamo ora
cosa sono le anomalie. Con questo termine si indica l’angolo formato dal raggio vettore Sole-oggetto con
una direzione fissata, normalmente quella che coincide con il perielio. Quando l’oggetto si trova al perielio la
sua anomalia è 0°, quando si trova in afelio è 180°. Sappiamo però che la velocità dell’oggetto non è
costante, e quindi l’anomalia pure non sarà normalmente costante nel tempo. Questa anomalia non costante
viene chiamata anomalia vera ed è il “vero” angolo formato dal raggio vettore e dalla direzione di riferimento.
E’ una grandezza fondamentale, perché è da essa che si calcola la distanza dell’oggetto dal sole all’epoca
data, attraverso la formula:
31
a(1 e 2 )
r
1 e cos f
dove r è la distanza dal Sole all’epoca, a è il semiasse orbitale, e l’eccentricità e f l’anomalia vera.
Ma l’anomalia vera, come si è detto, varia nel tempo in maniera non uniforme. Per legare la posizione al
tempo si usa allora l’anomalia media M, definita dall’anomalia che avrebbe l’oggetto se la sua orbita fosse
circolare e di raggio pari al semiasse. In un simile caso, naturalmente, la velocità angolare sarebbe costante,
come pure l’anomalia. E’ una formulazione di comodo che coincide con quella con cui viene definito il “Sole
medio” rispetto al “Sole vero”.
L’anomalia media è direttamente legata al tempo attraverso il moto medio n, definito dal rapporto tra 2 e il
periodo orbitale P: n 2 P . Infatti è abbastanza intuitivo che
M nt
dove t è l’intervallo di tempo tra il tempo del passaggio al perielio e l’epoca.
Facciamo un attimo il punto. Se conosciamo l’anomalia vera all’epoca non abbiamo altri problemi, perché
quella è la grandezza che ci serve. Se invece conosciamo l’anomalia media dobbiamo calcolare quella vera,
con un metodo che vedremo subito. Se poi conosciamo il tempo del passaggio al perielio (è il caso di
P/Gehrels 3 riportato sopra) dobbiamo prima trovare l’anomalia media col metodo appena mostrato.
Per trovare l’anomalia vera da quella media dobbiamo passare attraverso una terza “anomalia”, l’anomalia
eccentrica E. Questa è definita in maniera grafica in figura 8. L’ellisse mostrata è concentrica ad un cerchio il
cui raggio è uguale al semiasse maggiore dell’ellisse. L’ellisse rappresenta l’orbita dell’oggetto (il Sole
naturalmente non è al centro, ma in un
fuoco). Se l’oggetto ha anomalia media
M, l’anomalia eccentrica E viene
individuata dal metodo grafico indicato.
Kepler dimostrò che tra questi due angoli
vige la relazione seguente, nota come
equazione di Kepler:
M E e sin E
Questa equazione in matematica si
chiama trascendente (l’incognita E
compare mischiata ad una sua funzione
trigonometrica) e non è risolubile
direttamente. Naturalmente esistono
numerose vie per risolvere l’equazione
con metodi approssimati, la cui
precisione può essere spinta a valori
elevati quanto permesso dal metodo di
calcolo.
Una volta calcolata l’anomalia eccentrica
si ottiene quella vera dalla seguente
relazione:
Dove f è l’anomalia vera ed e è sempre
l’eccentricità orbitale.
Figura 8. Definizione delle anomalie. M è l’anomalia media, E quella
eccentrica (definite rispetto al centro del cerchio e dell’ellisse). f è l’anomalia
vera (definita rispetto al fuoco dell’ellisse).
Si capisce da tutto questo complicato procedimento che il calcolo della posizione di un oggetto nel cielo non
è una faccenda immediata. La mole di calcoli è notevole, specialmente se non si dispone altro che di carta e
penna! Tuttavia il calcolo è possibile, mentre col sistema tolemaico non lo era.
Completiamo quindi la lista dei nostri dati di partenza per l’analisi del moto di P/Gehrels 3. Dai dati del
catalogo abbiamo il tempo del passaggio al perielio (23.1845 aprile 1977) all’epoca (7 aprile 1977). Da qui
calcoliamo l’anomalia media, quindi quella eccentrica e infine quella vera. Il risultato è f = 357.298529 gradi.
32
A questo punto abbiamo l’”innesco”, costituito dall’epoca (da cui il programma calcolerà le posizioni dei
pianeti) e dai dati iniziali della cometa.
Modalità d’esecuzione
Con i dati di partenza così calcolati si prepara un file .cfg, come spiegato nel manuale di ISACCO. Si deve
ora decidere cosa farne. Il primo passo della nostra esperienza consiste nel mostrare la “storia” orbitale di
P/Gehrels 3 nei dintorni (temporali) dell’epoca: 7 aprile 1977. Abbiamo preparato due diversi files di
configurazione: geh3unp.cfg e geh3per.cfg. Il primo ci servirà a vedere l’orbita imperturbata della
cometa (cioè in esso è “attivo” solo il Sole: problema a 2-corpi) e il secondo ci mostrerà l’effetto perturbativo
dei pianeti, ottenuto “accendendo” tutti i pianeti dalla Terra a Nettuno (7 pianeti, quindi un problema a 9corpi). L’evoluzione si estenderà all’indietro dall’epoca iniziale fino alle 15 del 19 febbraio 1946.
Dati in uscita
Prima di procedere dobbiamo ancora decidere se vogliamo dati in uscita, cioè se vogliamo tenere dei
“quaderni di laboratorio”. Questi possono consistere nella registrazione dell’intera integrazione oppure nella
preparazione di un file di configurazione “finale”, come spiegato nel manuale di ISACCO. Nel secondo caso
avremo un nuovo file .cfg che ci potrà eventualmente servire per continuare il calcolo. Poiché la seconda
parte dell’esperienza consiste in un’integrazione a medio termine di P/Gehrels 3, prepariamo un altro file di
configurazione (dimostrativo) che ci conduca dall’epoca di partenza (7 aprile 1977) alla data di oggi (13
febbraio 2003). Da qui partiremo in avanti o indietro per 30000 anni con altri due files: geh3ind.cfg e
geh3ava.cfg.
Conduzione dell’esperienza
Abbiamo finora preparato 5 files di innesco:
geh3unp.cfg
per esaminare il comportamento imperturbato di P/Gehrels 3
geh3per.cfg
per vederne l’evoluzione perturbata
geh32003.cfg
per arrivare alla data di oggi
geh3ind.cfg
per arrivare al 30000 a.C.
geh3ava.cfg
per arrivare al 30000 d.C.
Evoluzione imperturbata
Non resta che far “girare” il programma e guardare quello che succede. Al prompt del DOS (c:\) digitiamo
dunque l’istruzione:
c:\isacco geh3unp.cfg
Comparirà la schermata iniziale in cui sono riassunti i dati di partenza e le modalità d’esecuzione. Premendo
un tasto qualsiasi comincia il calcolo vero e proprio. Lo schermo è ora occupato da quattro elementi
importanti: le “righe di stato” in alto, il “grafico principale” a sinistra, il “grafico secondario” in basso a destra e
la “finestra dei parametri” in alto a destra. Col procedere dell’evoluzione questi campi vengono
continuamente aggiornati in modo da poterne seguire gli sviluppi.
Esaminiamo dapprima il contenuto del grafico principale. Come si può vedere l’orbita della cometa (in
bianco) è vista in pianta, nel piano xy che coincide con il piano dell’eclittica. I pianeti dalla Terra a Nettuno
sono mostrati, ma non sono “attivi”. Questo è stato ottenuto imponendo per essi una massa ridicolmente
piccola: è una tecnica che vedremo meglio nella seconda esperienza. Agli effetti del calcolo la loro
minuscola massa non influisce affatto, per cui il problema è a tutti gli effetti a 2-corpi. Che i pianeti non
influiscono sulla cometa si può anche vedere dalla finestra dei parametri: solo l’anomalia vera e le distanze
dai centri dei grafici (ultime tre righe) variano nel tempo.
Bisogna ora spendere qualche parola sul grafico secondario. In questo caso esso è centrato su Giove, come
indicato nel grafico, e si tratta di un sistema “rotante”. Un tale sistema è utilissimo per esaminare le influenze
di un pianeta su un oggetto, ma non è affatto intuitivo. Esso ha sempre l’origine in un pianeta e il suo asse x
è orientato in modo che il Sole sia sempre a sinistra, lungo l’asse x negativo. In pratica è come se l’asse x
fosse “fissato rigidamente” in modo da congiungere il pianeta al Sole e ruotasse con il pianeta attorno alla
stella (per questo si chiama “rotante”). Questo tipo di sistema di riferimento si chiama anche “sinodico”. Per
fare una similitudine con eventi quotidiani e dare la possibilità di “sentire” il grafico rotante, si pensi ad
un’auto che percorre un’ampia curva. Il “sistema rotante” dell’auto ha l’asse x diretto verso il centro di
curvatura e l’asse y diretto lungo il senso di marcia. Tutti sappiamo che in queste condizioni avvertiamo una
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spinta verso l’asse x positivo, quella che comunemente chiamiamo “forza centrifuga”, una forza apparente
generata dalla resistenza che le pareti dell’auto esercitano su di noi. Nel nostro caso è lo stesso: il grafico
rotante è come un’auto in curva e in esso gli oggetti sono “spinti” verso destra da una “forza centrifuga”.
Il percorso della cometa nel grafico rotante ha un andamento molto peculiare: non è più un’ellisse regolare,
ma presenta delle “cuspidi” quando la cometa passa più vicino al pianeta (Giove in questo caso). Questo
avviene perché man mano che la cometa si avvicina a Giove la sua velocità relativa al pianeta diminuisce
(aumenta la distanza dal Sole) e i punti che ne indicano la posizione si addensano. Passato l’incontro la
velocità relativa aumenta di nuovo (diminuisce la distanza dal Sole) e i punti si diradano. Questo fenomeno
avviene due volte nel nostro intervallo d’integrazione.
Evoluzione perturbata
Passiamo ora ad esaminare cosa succede se i pianeti sono “attivi”. Per far ciò digitiamo l’istruzione
c:/isacco geh3per.cfg
Converrà ripetere questo calcolo diverse volte, tenendo d’occhio ora una ora l’altra delle finestre. I fenomeni
principali da osservare sono la variazione dei parametri orbitali, le variazioni dell’orbita rispetto al Sole
(grafico grande) e le vicende della cometa nei dintorni di Giove (grafico piccolo). Come si può controllare
direttamente, i parametri variano rapidamente e in maniera non lineare, a seconda delle perturbazioni
istantanee dei pianeti (ricordiamo che ISACCO lavora in fisica classica, dove le perturbazioni si trasmettono
istantaneamente). La cometa incontra Giove tra il 1975 e il 1970 e la sua orbita ne risulta profondamente
mutata: all’inizio era tutta interna al pianeta e alla fine ne è tutta esterna. Questo tipo di trasporto è
normalmente chiamato “transizione” ed è uno dei più potenti meccanismi per spostare materiale nel sistema
solare.
Prima di passare ad una evoluzione lunga bisogna fare un’altra osservazione. Se durante l’incontro con
Giove visualizziamo nella finestra apposita i parametri orbitali rispetto al pianeta ci accorgiamo che per un
certo periodo di tempo essi sono ellittici, cioè P/Gehrels 3 è legata a Giove come se fosse un suo satellite.
Questo fenomeno si chiama, naturalmente, “cattura satellitaria” ed è molto comune con le comete come
P/Gehrels 3. In realtà è un fenomeno sempre temporaneo, perché si può dimostrare che una cattura
satellitaria non è mai stabile nel tempo. In altre parole, un oggetto si può legare temporaneamente ad un
altro, magari per un periodo molto lungo, ma prima o poi le perturbazioni degli altri corpi portano alla rottura
del legame.
Questa osservazione ha una grande importanza. Quando nel 1993 si scoprì che la cometa P/ShoemakerLevy 9 era in procinto di cadere su Giove, calcolammo la sua evoluzione nel passato e ci accorgemmo che
la cattura satellitaria in cui si trovava la cometa durava da 40 anni. Abbiamo cioè visto direttamente uno dei
fenomeni più interessanti della storia del sistema solare: un pianeta che cattura una cometa e questa, dopo
avergli girato attorno per un po’, va a contribuire alla sua massa. Se Giove fosse stato solido avremmo visto
formarsi un cratere.
Evoluzione a medio termine
Può sembrare strano che 30.000 anni siano considerati un “medio” termine. In realtà andrebbe considerato
“corto”, su scala astronomica s’intende. Il fatto è che al giorno d’oggi sono piuttosto comuni integrazioni
anche di molti corpi su periodi dell’ordine del miliardo di anni.
Vi sono tre files per l’integrazione a medio termine. Il primo (geh32003.cfg) è un file dimostrativo, che
serve a mostrare come si può “spezzare” un’integrazione. Il file infatti serve per portare la cometa dall’epoca
di partenza (7/4/77) alla data della lezione odierna (13/2/03). Da qui si potrà partire sia in avanti
(geh3ava.cfg) che indietro nel tempo (geh3ind.cfg).
Lasciamo agli “sperimentatori” il compito di descrivere quanto accade.
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Terza lezione: la soluzione del problema del moto
LE “SENSATE ESPERIENZE” E LE “CERTE DIMOSTRAZIONI”
DI GALILEO GALILEI
Galileo Galilei (1564- 1642) è unanimemente ritenuto il più grande “fisico” del ‘600 e il fondatore della
scienza moderna. Il suo contributo alla polemica attorno all’ipotesi copernicana e alla vittoria di quest’ultima
è stato determinante, ma il suo maggior contributo, nell’ottica del discorso che stiamo sviluppando, non fu di
natura astronomica. Galileo rivoluzionò il modo d’intendere la natura e i suoi fenomeni, i metodi di ricerca e
analisi. La sua battaglia fiera, disperata e infine perdente contro il dogmatismo e il principio d’autorità ha
permesso la nascita di un nuovo modo di procedere, sia nella pratica della scienza (il metodo sperimentale),
sia nell’analisi filosofica ed epistemologica dei fondamenti della conoscenza del mondo.
Questa rivoluzione è ben illustrata da Galileo all’inizio del Saggiatore, pubblicato nel 1623 quando il suo
autore aveva già ricevuto la prima condanna (1616) e gli era stato vietato di professare le idee copernicane.
Polemizzando con Lottario Sarsi (pseudonimo del padre gesuita Orazio Grassi), Galileo scrive:
“Parmi…di scorgere nel Sarsi ferma credenza che nel filosofare sia necessario appoggiarsi all’opinioni di
qualche celebre autore,…e forse stima [il Sarsi] che la filosofia sia un libro e un fantasma d’un uomo, come
l’Iliade e l’Orlando Furioso…Sig. Sarsi, la cosa non istà così. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo) ma non si può intendere se prima non
s’impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”
Dunque la natura e i suoi fenomeni sono intelligibili, basta che si sappia come intenderli; e il modo
d’intenderli consiste nel fare un esteso uso della matematica con la convinzione che i fenomeni naturali
siano matematizzabili. Ma non è solo la matematica a giocare un ruolo fondamentale in questa impresa; c’è
la necessità di integrare strettamente le “sensate esperienze” con le “certe dimostrazioni”. Le prime
metteranno lo studioso in grado di “interrogare” la natura (secondo una espressione baconiana) e le
seconde forniranno le risposte. E’ una doppia prova di fiducia nella ragione, in qualche modo precorritrice
dello spirito illuministico del secolo successivo. E’ anche una professione di fede nelle capacità dell’uomo, di
qualunque uomo. Scrivendo a Paolo Gualdo, Galileo afferma: “Io l’ho scritto vulgare [il trattato Istoria intorno
alle macchie solari] perché ho bisogno che ogni persona la possi leggere, e per questo medesimo rispetto
ho scritto nel medesimo idioma questo mio ultimo trattato [il Discorso intorno alle cose che stanno in su
l’acqua]…e io voglio ch’e’ vegghino che la natura, si come gl’ha dato gli occhi per veder l’opera sua…gli ha
anco dato il cervello da poterla intendere e capire.”
La scienza, quindi, non è più solo per i dotti, ma per chiunque sia mosso dal desiderio di “leggere il libro
della natura”. Ma con quale metodo?
IL METODO SPERIMENTALE
La coniugazione di “sensate esperienze” e “certe dimostrazioni” è la base del metodo sperimentale. Galileo,
oltre che acuto osservatore e scrupoloso pensatore, era anche un bravo “fisico sperimentale”, che non solo
non disdegnava di ricorrere ad esperimenti, ma costruiva lui stesso i suoi strumenti in un laboratorio annesso
alla sua casa. Infatti, un’altra caratteristica innovativa del procedere di Galileo consiste nell’unificare scienza
e tecnica. Gli artigiani dell’epoca erano spesso provetti costruttori, “peritissimi e di finissimo discorso”
(Discorso intorno a due nuove scienze) e Galileo stesso lo era. In sostanza, macchine, strumenti e
osservazioni dei tecnici meritano di avere una parte importante nella ricerca scientifica; questa è guidata
dalla ragione, ma la ragione si deve adeguare ai fatti e non imporre le leggi secondo cui la natura si deve
comportare.
Abbiamo appena detto che il contributo maggiore di Galileo alla nascita della scienza non fu di natura
astronomica. Vedremo oltre quest’ultimo contributo, che comunque fu fondamentale per l’affermarsi della
teoria di Copernico; ora invece vogliamo soffermarci di più sui suoi studi di meccanica e dinamica, che
posero le basi all’opera di Newton.
Si è detto talvolta che Galileo in fondo non scoprì nulla di nuovo né di eccezionale al di fuori della
meccanica: non fu lui ad inventare il telescopio (non aveva, sembra, profonde cognizioni di ottica), e il suo
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“termoscopio” non fu che un abbozzo del vero “termometro” inventato più tardi dai suoi discepoli. Persino nel
campo della dinamica si potrebbe sostenere che in fondo molte delle tesi di Galileo “erano nell’aria”, se non
esplicitamente già dichiarate da altri, compreso l’isocronismo.
Tuttavia va notato che la grandezza di Galileo non sta soltanto nella quantità ed esattezza delle sue
scoperte, ma anche nell’innovazione che egli portò nel metodo d’indagine.
Quanto alle scoperte, esaminiamo solo i contributi dati alla comprensione della dinamica. Galileo cominciò
fin da giovane ad interessarsi dei problemi legati in qualche modo alla gravità, scontrandosi subito con
l’insegnamento di Aristotele. Questi sosteneva che i corpi si muovevano verso il basso (ad esempio una
pietra) o verso l’alto (ad esempio il fumo) a seconda della loro gravitas o levitas, qualità intrinseche dei corpi.
Il loro moto era dotato di velocità costante proporzionale alla gravitas e inversamente proporzionale alla
resistenza del mezzo (ad esempio aria o acqua), svolgendosi sempre nella direzione dettata dal loro
carattere (pesanti o leggeri); questa teoria è nota come “teoria dei moti e dei luoghi naturali”. Inoltre,
Aristotele e la scuola peripatetica sostenevano che un oggetto sottoposto ad una spinta (“teoria dei moti
violenti”) si muoveva con una velocità direttamente proporzionale alla spinta applicata e si fermava se
questa spinta veniva a mancare. Ambedue queste interpretazioni dei fatti sono sostanzialmente in accordo
(se non si fanno misure precise) con l’esperienza.
Dunque, secondo le teorie aristoteliche un sasso lasciato cadere scendeva giù a velocità costante perché
era “grave” e non perché qualcosa lo facesse muovere: era un moto attivo, non passivo. Il sasso poi non
poteva che cadere verso il basso, suo luogo naturale. Galileo, rifacendosi in questo alla tradizione risalente
ad Archimede, sostenne che in realtà la velocità di caduta non era proporzionale al rapporto tra peso e
densità del mezzo, ma alla differenza dei rispettivi pesi specifici. In altre parole, un oggetto che nell’aria cade
verso il basso può non cadere affatto, anzi essere spinto verso l’alto, se posto nell’acqua. Questa “rottura”
con la tradizione, oltre a far giustizia dei luoghi naturali, ha almeno una conseguenza importante: la possibile
esistenza, anzi la necessità d’esistenza del vuoto. Questo concetto (così come quelli di zero ed infinito) era
totalmente estraneo all’aristotelismo che vedeva in esso un’assurdità. Al contrario, secondo Galileo il vuoto
non solo è concettualmente necessario, ma è l’unica condizione in cui il moto di un oggetto si rivela per
quello che è, libero dall’azione perturbante del mezzo.
In questo studio Galileo dapprima non si trovò in disaccordo con Aristotele, ma ben presto si rese conto che
la descrizione peripatetica non reggeva alla prova sperimentale: un grave lasciato cadere non aveva velocità
di caduta costante, almeno all’inizio della sua traiettoria, ma era sottoposto ad un’accelerazione. In realtà, la
presenza del mezzo fa in modo che alla lunga il moto di caduta sia veramente a velocità costante (velocità
asintotica), come è più evidente nell’acqua che nell’aria. Osservando e studiando il comportamento dei
pendoli, Galileo si avvide che l’accelerazione era un costituente fondamentale del moto, non un accidente e
che, al contrario, era proprio la resistenza del mezzo a rappresentare una perturbazione accidentale. Solo
un moto nel vuoto può essere considerato allo “stato puro”.
Figura 1. L’esperienza del piano inclinato. La palla P viene fatta rotolare partendo da diversi punti. Misurando il tempo che
impiega a giungere nel punto A si ottiene la legge che lega spazi percorsi e tempi di percorrenza attraverso l’accelerazione, che è
proporzionale alla componente ft della forza di gravità agente lungo il piano.
Per studiare più agevolmente questi fenomeni, Galileo fece ampio uso di un accorgimento in apparenza
banale: il piano inclinato (figura 1). Il suo esperimento più noto consistette nel far rotolare una palla di bronzo
lungo un piano inclinato partendo da diversi punti lungo il piano e misurando i tempi di percorrenza. Così
facendo scoprì due cose importanti: gli spazi percorsi sono proporzionali ai quadrati dei tempi di percorrenza
e i tempo di discesa lungo piani di uguale altezza e differente lunghezza (cioè con inclinazioni diverse) sono
proporzionali alla lunghezza dei piani. Applicando queste osservazioni al moto verticale (cioè alla caduta
libera) si ha così la legge oraria del moto dei gravi, a noi nota nella forma
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x
1 2
gt
2
dove x è lo spazio percorso, t il tempo impiegato e g l’accelerazione di gravità.
E’ importante notare che gli studi condotti da Galileo sul moto dei gravi, specie in caduta libera, non sono da
lui presentati nella forma a noi nota. Anzi, spesso sono infarciti di argomentazioni nebulose quanto scorrette,
soprattutto perché Galileo si trovò nel suo studio a combattere con un concetto mai elaborato prima: quello
di velocità istantanea. Vedremo oltre che solo con Newton fu possibile dirimere la questione della velocità di
un oggetto in un istante temporale senza estensione. Galileo non fece il passo verso gli infinitesimi e la sua
teoria del moto pose sì le basi della dinamica newtoniana ma non realizzò appieno il programma di
matematizzazione che egli perseguiva.
Nondimeno, Galileo giunse infine a due traguardi di enorme importanza: il principio di relatività dei moti e il
principio d’inerzia. Nel primo caso possiamo dare di nuovo direttamente la parola Galileo:
“Nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio rinserratevi con qualche amico, e quivi
fate di aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; pigliatevi anco un gran vaso con acqua e dentrovi de’
pescetti; accomodate ancora qualche vaso alto che vada gocciolando in un altro basso e di angusta gola: e
stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso
tutte le parti della stanza; i pesci, gli vedrete andar vagando indifferentemente verso qualsivoglia parte delle
sponde del vaso; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto…Osservate che avrete tutte queste
cose, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in
qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutte le nominate cose, né meno da cosa che sia
in voi stesso, potreste assicurarvi se la nave cammina o sta ferma…”
E’ il brano famosissimo che afferma, in termini moderni, l’equivalenza per le leggi di natura di tutti i sistemi di
riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme. Principio basilare della fisica, di cui la relatività ristretta di
Einstein rappresenta l’estensione a tutti i fenomeni naturali, compresa l’elettrodinamica e l’ottica. Il principio
di relatività galileiana vale per tutti i sistemi di riferimento. Questo significa che nessun sistema è “più giusto”
di altri. Con questa affermazione si fa di colpo piazza pulita di qualunque pretesa di privilegio non solo per la
posizione della Terra, ma anche dell’uomo sulla Terra. E’ già un segno premonitore delle difficoltà che
incontrerà Darwin a demolire la posizione di privilegio dell’uomo anche dal mondo biologico.
Il secondo traguardo, il principio d’inerzia, è implicito in quello appena formulato. In realtà Galileo non ebbe
mai coscienza piena della portata di questo principio, né lo formulò esplicitamente; tuttavia la prontezza e la
sicurezza con cui ne maneggiò le conseguenze (in particolare il principio di relatività dei moti) dimostrano
che aveva ben compreso la sua importanza. Questo principio verrà esplicitato da Newton e diverrà la sua
prima legge della dinamica: un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.
Lo studio della dinamica portò Galileo a risolvere molti dei problemi sul tappeto. Dimostrò che il moto era
uno stato passivo e che esso veniva modificato solo in presenza di forze agenti. Dimostrò anche che era
possibile (anche se lui di fatto non lo fece) descrivere il moto di un insieme di oggetti facendo ricorso alla
matematica. Il problema erroneamente impostato da Aristotele, e che aveva resistito ad ogni attacco per
duemila anni, era ora risolto in linea di principio. Galileo pose le basi della soluzione, Newton inventò le
tecniche matematiche per trattarlo completamente e ne formulò le leggi.
GALILEO E IL COPERNICANESIMO
Galileo non fu perseguitato per le sue ricerche di fisica, ma per il suo copernicanesimo. In realtà i due aspetti
non sono scindibili e, come dice Sebastiano Timpanaro (Opere di Galileo, Rizzoli, Milano, 1936-38): “i
Discorsi delle nuove scienze non sono meno copernicani del Dialogo dei massimi sistemi. I teologi non li
condannarono perché non li avevano capiti”.
L’attività astronomica di Galileo è ben nota. Noi sottolineeremo solo alcune delle scoperte principali senza
addentrarci nella controversa vicenda dei processi cui Galileo fu sottoposto. Le sue scoperte principali sono:
l’esistenza di satelliti attorno a Giove
la natura della Via Lattea
le caratteristiche della superficie lunare
l’esistenza delle macchie e della rotazione solari
le fasi di Venere
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In realtà nessuna di queste scoperte era decisiva per far pendere la bilancia in favore di Copernico; persino
le fasi di Venere, chiaramente inconciliabili con lo schema tolemaico, erano perfettamente compatibili con lo
schema di Tycho Brahe. Tuttavia le conseguenze di queste osservazioni furono di enorme portata. Proviamo
ad esaminarle brevemente.
La scoperta dei “pianeti medicei”, ora detti satelliti galileiani (Io, Europa, Ganimede e Callisto) mostrò, a chi
voleva intendere, che la Terra non era il centro di tutti i moti. Mostrò anche che ci sono delle cose nel cielo
che non sono visibili ad occhio nudo e, cosa ancor più importante, mostrò che le facoltà umane potevano
essere ampliate con l’uso di appropriati strumenti.
La spiegazione della Via Lattea come una sterminata distesa di stelle aggiunse ancora valore alla scoperta
precedente. L’universo si svelava per quello che è: di dimensioni enormi sia come grandezza che come
numero di oggetti. Questa scoperta fu in realtà molto male accolta, perché richiamava alla mente la “pretesa”
di Giordano Bruno che l’universo fosse infinito e popolato di mondi e, forse, esseri intelligenti. E questa
posizione era costata la vita a Bruno.
La natura della superficie lunare, costellata di monti e valli (che ora sappiamo essere crateri d’impatto),
mostrò che la superficie degli oggetti celesti non differiva poi molto da quella della Terra. Il regno
dell’incorruttibilità era per sempre distrutto. E questo venne subito confermato dall’esistenza di macchie sul
Sole, la cui osservazione priva di protezioni efficaci costò la vista a Galileo.
Infine, le fasi di Venere. Se il pianeta fosse stato davvero in rotazione attorno alla Terra non si sarebbe mai
trovato tra questa e il Sole. Quindi, la superficie di Venere non avrebbe mai dovuto apparire come una sottile
falce, come la Luna subito prima o dopo la luna nuova. Questa era una prova diretta che lo schema
tolemaico era errato ma, come si è detto, non inficiava lo schema ticonico che, come abbiamo visto nella
precedente lezione, era geometricamente identico a quello di Copernico.
LA RIVOLUZIONE GALILEIANA
L’importanza fondamentale dell’opera di Galileo sta nel suo contributo dato alla razionalità scientifica. E il
primo contributo è stato di mostrare la stretta connessione esistente tra il lavoro dello scienziato e quello del
tecnico. Non era più tempo, durante il Rinascimento, di arroccarsi su posizioni di principio, di discutere
attorno alle cause ultime dei fenomeni, di speculare sull’essenza della natura; i tecnici del Rinascimento
chiedevano di sapere concretamente come si comportavano i fenomeni naturali e come affrontarli e,
possibilmente, trarne vantaggio. Era quindi necessario per la scienza allearsi con la tecnica e, così facendo,
trasformarsi profondamente da disciplina filosofica astratta a molto concreta indagine sui fenomeni e le loro
cause naturali.
La rivoluzione di Galileo consiste dunque in questo: la “nuova scienza” non farà a meno della teoria (anzi,
Galileo stesso spingeva per una completa matematizzazione della filosofia naturale), ma respingerà quelle
teorie che non siano in accordo con le “sensate esperienze”. Le teorie saranno accettabili solo se saranno in
grado di formulare leggi verificabili o falsificabili.
La scienza è stata così liberata da ogni ipotesi metafisica. Non ha ora nessun bisogno di garanzie filosofiche
sui propri metodi d’indagine, ma tali garanzie verranno solo dalla verifica pratica della bontà dei risultati. E’
un distacco profondo, all’origine della separazione tra filosofia e scienze naturali e quindi tra discipline
scientifiche e discipline umanistiche. In realtà un vero distacco non c’è mai stato: la scienza è divenuta il
punto di partenza per nuove elaborazioni filosofiche che hanno tentato di portare in tutti i campi la stessa
razionalità rivelatasi così utile nello studio della natura.
Una seconda conseguenza importante della concezione di Galileo è stata una nuova interpretazione del
concetto di verità. La Verità non è più data né dall’autorità di chi la pronuncia né dalla sicurezza dogmatica
dei principi. Essa deve accettare di essere provvisoria, di subire controlli e verifiche, di essere soggetta a
mutamenti e spesso a rivolgimenti. Diventa una verità temporanea che ha però la capacità di produrre
sviluppi rapidissimi che talvolta finiranno per mettere in crisi gli stessi principi di partenza. E’ quindi una verità
dialettica che si autoalimenta e si adatta alle circostanze. Questa nuova verità era ben presente a Galileo,
che affermava: “…io mi rendo sicuro che, se Aristotele tornasse al mondo, egli riceverebbe me tra i suoi
seguaci…molto più che moltissimi altri. E quando Aristotele vedesse le novità scoperte nuovamente in cielo,
dove egli affermò quello essere inalterabile ed immutabile, perché niuna alterazione vi si era sino allora
veduta, indubbiamente egli direbbe ora il contrario…”. E ad esso fa eco il Galileo di Brecht: ”Non mi importa
di mostrare di aver avuto ragione, ma di stabilire se l’ho avuta…Sì! rimetteremo tutto, tutto in dubbio…E
quello che troviamo oggi, domani lo cancelleremo dalla lavagna…”
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Questa concezione di provvisorietà della verità scientifica ha un significato profondo che è spesso molto mal
compreso: la scienza non dà mai “risposte certe”. Recentemente, dopo il disastro dello shuttle Columbia, un
notissimo (e coltissimo) giornalista scrisse, su un notissimo (e diffusissimo) giornale, che quell’evento aveva
scardinato le “certezze della scienza” e distrutto il sogno di infallibilità dei procedimenti scientifici. Orbene,
solo una persona profondamente e colpevolmente ignorante in campo scientifico può uscirsene con una
frase così ridicola. Nel caso particolare, poi, tutti hanno sempre saputo, compresi gli astronauti e la NASA,
che una non trascurabile probabilità di incidente, valutabile attorno al 4-5%, è sempre stata presente nei
lanci degli shuttle: il Columbia è stato distrutto alla sua 28° missione. E’ profondamente sbagliato e
fuorviante per l’acquisizione di una sana coscienza civica insegnare che la scienza sia infallibile. Il “dubbio
sistematico” è invece il suo alimento e qualsiasi “trionfo” della scienza non può che essere provvisorio.
Infine, nel lavoro di Galileo c’è un’altra conseguenza degna di nota. Se quello che è accettato per vero oggi
non lo sarà più domani, se potremo “cancellarlo dalla lavagna”, vuol dire che la costruzione della scienza
non può essere opera di un solo scienziato. Non ci saranno più pensatori di cui si potrà dire “ipse dixit”, ma
schiere di “lavoratori della ricerca” che collettivamente porteranno avanti le indagini. La scienza dunque
diviene additiva: ogni generazione costruisce sulle precedenti ritoccando quello che va ritoccato e
rovesciando quello che va rovesciato. Nelle parole di Laplace: “le scienze si accrescono all’infinito mediante i
lavori delle generazioni successive: la più perfetta opera genera nuove scoperte e così prepara delle opere
che dovranno eclissarla.”
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Seconda esperienza. La massa dei pianeti
Lo scopo di questa seconda esperienza è di mostrare come un sistema composto di un certo numero di
corpi evolva al variare delle masse dei corpi. Faremo ancora uso del programma ISACCO, ma sarà
necessario esaminare con una certa attenzione le procedure utilizzate.
Nella corrente versione di ISACCO, infatti, è possibile solo simulare il sistema solare con l’aggiunta di un
“corpo di prova”. Nella configurazione base le posizioni dei pianeti sono lette direttamente dalle effemeridi,
per cui i pianeti stessi (ma non il corpo di prova) sono insensibili a qualunque variazione di massa. Per poter
esaminare come queste influiscano sulla storia evolutiva dei pianeti avremo bisogno della configurazione
estesa in cui tutti i corpi presenti vengono integrati senza distinzione. Il corpo di prova (che si chiama “Test
probe” in questa simulazione) verrà posto su orbita molto lontana in modo che non compaia nei grafici.
La nostra esperienza procederà in tre fasi. Nella prima si aumenterà la massa del pianeta Giove fino a circa
un decimo della massa solare, realizzando così un sistema di due “stelle” di massa comparabile. Lo scopo di
questa prima esperienza è di osservare cosa succede agli altri pianeti, cioè di indagare la stabilità dei pianeti
di un sistema doppio. Nella seconda fase si aumenterà ancora la massa di Giove fino a renderla quasi
uguale a quella del Sole. Nella terza fase si aumenterà anche la massa di Nettuno fino a cinque volte quella
del Sole. E’ chiaro che le prime due fasi simulano una stella doppia molto stretta, con le componenti stellari a
sole 5 UA di distanza. La terza fase simula un sistema triplo, con una binaria stretta (Sole e Giove) e un’altra
stella, molto più massiccia, a una distanza maggiore. Porremo l’accento sul comportamento degli altri
pianeti, la cui massa non è cambiata. E’ infatti ben noto che i sistemi stellari multipli difficilmente possono
trattenere dei pianeti, perché le loro orbite sarebbero fortemente perturbate dalle componenti stellari. Di
nuovo bisognerà preparare tre files di configurazione, che chiameremo biggio.cfg, biggio1.cfg e
biggio2.cfg.
PRIMO CASO: GIOVE PARI A UN DECIMO DEL SOLE
Il sistema in esame comprende il Sole e tutti i pianeti da Venere a Nettuno. La massa di Giove è aumentata
di 100 volte. Si noterà che i pianeti interni (Venere, Terra e Marte) vengono perturbati ma non in maniera
drammatica. Essi continuano a ruotare intorno al Sole più o meno alla stessa distanza originaria. Ben
diverso è il caso di Saturno, la cui orbita viene fortemente perturbata e diviene molto irregolare. Dopo circa
170 anni d’integrazione Saturno subisce due incontri ravvicinati con Giove e viene da questo espulso dal
sistema. Urano e Nettuno hanno anch’essi orbite molto perturbate, ma la loro maggiore distanza li pone
abbastanza al sicuro: il loro cammino è ondulato, se visto nel sistema centrato sul Sole, perché il loro moto,
in realtà, si svolge attorno al baricentro del sistema Sole-Giove. Sarebbe interessante proseguire questa
integrazione per alcune decine di migliaia di anni per verificare che la situazione non cambi di molto, o per
constatare eventuali variazioni. Sul breve periodo si può affermare che una binaria come quella riprodotta
può mantenere dei pianeti, a patto che essi orbitino vicino ad una delle componenti o siano lontani da
ambedue.
SECONDO CASO: GIOVE PARI AL SOLE
L’evoluzione del sistema nel secondo caso è completamente diversa. I pianeti interni sono sottoposti a
fortissime variazioni e vengono ripetutamente “scambiati” tra il Sole e Giove. Dopo un periodo di circa 50
anni tutti e tre i pianeti interni vengono espulsi dal sistema. La stessa sorte tocca anche ai pianeti esterni, da
Saturno a Nettuno. Dopo un centinaio di anni è rimasta solo la binaria Sole-Giove, senza nessun pianeta
intorno. Sembra quindi chiaro che un sistema come questo, con le componenti di pari massa, non tolleri
pianeti attorno alle componenti, come non tolleri pianeti in orbite abbastanza vicine alla binaria. Non è stata
tentato, ma andrebbe provato, di porre il “corpo di prova” in orbita molto stretta attorno al Sole o in orbita
molto lontana attorno alla binaria. Si potrebbe “giocare” col corpo di prova per trovare sperimentalmente
eventuali zone di stabilità.
40
TERZO CASO: SISTEMA TERNARIO CON NETTUNO PARI A CINQUE VOLTE IL SOLE
Questo caso è molto interessante. I pianeti interni vengono ripetutamente scambiati tra tutti e tre i corpi,
finché vengono espulsi. Saturno subisce una sorte analoga, mentre Urano dapprima orbita attorno a Nettuno
e, in seguito, viene anch’esso espulso. Tuttavia alcuni pianeti, in particolare Venere, ogni tanto si fanno
vedere di nuovo, segno che la loro espulsione, almeno all’inizio, non è definitiva.
Dopo un paio di centinaia d’anni il sistema è abbastanza stabile, con una binaria stretta (Sole-Giove) e una
terza stella (Nettuno). La binaria orbita abbastanza regolarmente attorno alla terza. Probabilmente questo
sistema è stabile per un periodo di tempo abbastanza lungo, ma questa ipotesi andrebbe verificata.
In conclusione, questa esperienza mostra che un sistema a molti corpi è molto sensibile ai rapporti di massa.
Il sistema “vero” ha avuto quasi 5 miliardi di anni di tempo per organizzarsi nel modo attuale e qualunque
perturbazione lo rende instabile. Le simulazioni effettuate sono troppo brevi per mostrare un aggiustamento
nelle nuove situazioni imposte, ma non è escluso che un tale aggiustamento sia possibile.
Facciamo notare, però, che il nostro modello ha avuto un “vizio d’origine” dovuto alla necessità di partire con
una configurazione speciale: quella del nostro sistema solare. Un “vero” sistema stellare multiplo non può
essere simulato con l’attuale configurazione di ISACCO.
41
Quarta lezione. Le leggi della dinamica e la gravitazione
universale
IL 1661: ALLA SCOPERTA DI UN MONDO NUOVO
Il 1661 non fu un anno particolare se non per un unico evento: Isaac Newton fu immatricolato nel luglio di
quell’anno all’Università di Cambridge (Trinity College). Per un ragazzo di provincia (aveva 18 anni e mezzo)
fu certamente un evento importante, e per la scienza ancora di più 27. A Cambridge, infatti, Newton scoprì un
mondo nuovo non solo perché lontano dalla sua esperienza precedente, ma soprattutto perché in quegli
anni, come abbiamo visto, la più fondamentale rivoluzione del pensiero moderno si era praticamente
conclusa e il nuovo mondo che essa presentava era tutto da scoprire. Nelle parole di Richard S. Westfall28:
“…Cambridge era un luogo dove si vendevano libri e dove esistevano biblioteche che li raccoglievano. Chi lo
avesse voluto avrebbe potuto incontrarsi con quella cultura…Newton lo volle, e questa sua scelta fu
determinante per quanto riguarda il posto che egli occupa nella storia.”
Sono ormai passati circa 50 anni dalle scoperte astronomiche di Galileo e dalla pubblicazione delle leggi di
Kepler. L’astronomia copernicana è finalmente saldamente acquisita, almeno da coloro che contano nel
dibattito scientifico. Tuttavia le pur eleganti e in qualche modo convincenti argomentazioni di Galileo e Kepler
non hanno ancora risolto il problema principale, che non è stato appianato – anzi è stato acuito – dalla
rivoluzione copernicana: qual è la “dinamica” che permette ai pianeti di girare attorno al Sole? Come si
concilia un’elegante teoria matematica con una fisica ormai inadeguata? E quale nuova fisica bisogna
sostituire a questa?
Come abbiamo visto Galileo aveva cominciato a dare delle risposte, seppur in maniera ancora confusa e
ambigua. Il mondo però era grazie a lui divenuto conoscibile attraverso l’esperimento e questo implicava che
tutti gli oggetti, terreni o celesti che fossero, dovevano far parte della stessa Natura e avere le stesse leggi, e
leggi formulabili rigorosamente con i metodi matematici (e indipendenti dall’autorità di chicchessia). Kepler,
d’altro canto, aveva tentato – senza molto successo – di proporre un’interpretazione dinamica delle sue
leggi. Restava però sempre una profonda frattura tra la teoria matematica astronomica sviluppatasi dopo
Copernico e la sua interpretazione fisica. Newton si incaricò di risolverla, ma non costruì sul nulla.
Il punto fondamentale di partenza per una nuova “meccanica dei cieli”29, a parte la visione unitaria della
natura, fu la concezione galileiana del principio d’inerzia, in base al quale il movimento necessita di un
motore per essere iniziato, ma non per essere mantenuto (a meno che non sia presente qualche forma di
dissipazione come l’attrito). Tuttavia la formulazione del principio d’inerzia contenuta nel Dialogo sopra i
massimi sistemi non è né esplicita né rigorosa: essa forma il nucleo concettuale di qualcosa che è ancora
tutta da costruire.
Nella fisica aristotelica il problema del moto era considerato in senso ontologico. Era movimento tutto ciò che
trasformava in atto la potenzialità di un ente, cosicché era movimento la crescita di un albero come la caduta
di un sasso o l’educazione di un fanciullo. Ed ogni movimento esigeva un motore, spesso ritenuto interno
all’ente stesso, come nel caso del “moto naturale” di un grave; al contrario, un “moto violento” aveva una
causa esterna. Galileo fece chiarezza su questo punto sostenendo che non esisteva differenza tra moti
naturali e violenti, ma che lo “stato” di moto di un corpo era una situazione a cui il corpo stesso era
completamente indifferente. Se si fa rotolare una palla su un piano orizzontale, notava Galileo, il moto dura
tanto più a lungo quanto più levigati sono il piano e la palla. Con gli occhi della mente Galileo vedeva
chiaramente, in quello che oggi chiamiamo un “passaggio al limite”, che una palla perfettamente liscia fatta
rotolare su un piano perfettamente levigato non si sarebbe fermata mai. La palla non può mettersi in moto da
sola, così come non si può fermare da sola. Descartes sosteneva, a questo proposito, che i filosofi si erano
posti una domanda sbagliata: non dovevano chiedersi cosa manteneva in moto un oggetto, ma cosa lo
costringeva a fermarsi.
27
E’ interessante notare che Newton nacque il giorno di Natale del 1642, quando Galileo era morto da pochi mesi.
28
Richard S. Westfall, Newton, Einaudi, Torino, 1989. Si tratta di una delle più complete opere su Newton, la sua storia e il suo tempo.
29
La disciplina fisico-matematica che studia il moto dei corpi celesti si chiama tuttora Meccanica Celeste.
42
Ma Galileo aveva fatto molto di più. Aveva sostenuto la necessità di rifondare completamente, e su base
matematica, l’intera scienza del moto. Archimede (il “divino Archimede” nelle parole di Galileo) aveva
mostrato che questo era possibile per i fenomeni che noi includiamo nella scienza della “statica”, Galileo
ritenne che si sarebbe dovuto fare la stessa cosa per la “dinamica”. E aveva dato un primo, fondamentale
contributo risolvendo il problema dei corpi in caduta libera. Se il moto della palla sul piano perfettamente
liscio è un “moto uniforme”, in cui il corpo percorre spazi uguali in tempi uguali, la caduta di un grave
rappresenta un “moto uniformemente accelerato”, in cui sono gli incrementi di velocità ad essere costanti nel
tempo. Così, per la prima volta, vediamo prendere in considerazione come importante argomento di studio la
variazione di una grandezza in dipendenza da un’altra: è quello che oggi chiamiamo derivata e che Newton
e Leibnitz formalizzarono nella seconda metà del ‘600. Da qui nacque il calcolo differenziale, senza il quale
non si può formulare compiutamente una teoria matematica della dinamica e della gravità.
Nel prossimo paragrafo esamineremo velocemente lo sviluppo del calcolo differenziale, rimandando al
paragrafo seguente un accenno alla dinamica newtoniana.
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
Achille e la tartaruga
Per affrontare il problema dobbiamo fare un salto indietro di 2100 anni, all’epoca di Zenone di Elea (nato nel
490 a.C.). E’ a tutti noto il famosissimo paradosso di Achille e la tartaruga, ma vale la pena di riesaminarlo
perché è al cuore di questo paradosso che si trova la soluzione di come descrivere i moti celesti (e anche
quelli terrestri).
Dunque il paradosso si presenta così. Achille Pié Veloce è in gara con una tartaruga, che parte con un
piccolo vantaggio. Achille per superare la tartaruga deve prima raggiungerla, ma nel frattempo questa ha
percorso un sia pur piccolo pezzo di strada. Allora Achille deve di nuovo raggiungerla, ma ancora la
tartaruga è andata oltre. I filosofi greci ritennero, in base a questo ragionamento, che Achille non avrebbe
raggiunto mai la tartaruga, anche se le distanze da questa percorse divenivano sempre più piccole, perché
avrebbe dovuto compiere un numero infinito di passi e in base alla filosofia greca la somma di un numero
infinito di termini non poteva che essere infinita.
Il paradosso di Achille (così come quello molto simile della freccia) porta ad una situazione sconcertante ed
ha naturalmente un vizio di fondo. Tuttavia né i Greci né i filosofi (e matematici) posteriori riuscirono in più di
duemila anni a risolvere l’enigma. Il motivo è molto semplice: la filosofia greca aveva ripudiato lo zero e
l’infinito, che sono facce di una stessa medaglia, sono uno l’inverso dell’altro. Essi fecero il loro ingresso nel
mondo occidentale solo grazie agli arabi (che li mutuarono dagli indiani) nel medioevo.
Ammettiamo che Achille corra ad un metro al secondo (i centometristi odierni vanno solo leggermente più
veloci) e la tartaruga a mezzo metro al secondo, partendo però con un vantaggio di un metro. In un secondo
Achille è arrivato dove si trovava la tartaruga, che nel frattempo però avrà percorso mezzo metro. Dopo un
altro mezzo secondo Achille ha coperto anche questa distanza, ma la tartaruga è ancora in vantaggio di un
quarto di metro. Si vede subito che le distanze coperte da Achille seguono la successione
1 1 1 1
1, , , , ,...
2 4 8 16
e così pure i tempi di percorrenza relativi. I Greci non disponevano dello zero, ma noi si. La successione
precedente, in linguaggio moderno, “tende a zero”, oppure “ha limite zero”. Ma neppure il concetto di limite
apparteneva ai filosofi Greci, così come non apparteneva agli studiosi del ‘600. Galileo ne ebbe una vaga
intuizione, ma nulla più. Ora, se sommiamo i termini della successione precedente vediamo che noi
dobbiamo addizionare un numero infinito di addendi, ma che questi addendi sono sempre più piccoli e
tendono a zero. Si dimostra facilmente che la somma della serie costruita sulla successione è due30: ad
Achille bastano 2 metri (e quindi 2 secondi) per raggiungere e poi superare la tartaruga.
Per dimostrarlo procediamo all’inverso, sottraendo all’ipotetica somma 2 i vari addendi: se 2 è veramente la somma, allora il risultato
deve essere zero. Ora, 2-1=1, poi 1-1/2=1/2, eccetera. Si vede che il resto della sottrazione è sempre uguale all’ultimo termine sottratto.
Ma la successione ha limite zero, quindi alla fine il resto sarà zero, come dovevasi dimostrare.
30
43
Nascono nuovi metodi matematici
Si è detto alla fine della lezione precedente che la scienza diventò nel ‘600 un fatto comunitario. Nel nostro
percorso verso la dinamica newtoniana incontriamo quindi un numero enorme di scienziati e di opere che nel
complesso hanno contribuito ad ottenere quel risultato. Anche solo nominarli tutti sarebbe fuori luogo, ma
vale la pena di esaminare alcuni contributi che risultarono determinanti.
Il primo di questi fu fornito da René Descartes (Cartesio). Nel 1661 solo due pensatori avevano fatto proprio
il principio d’inerzia di Galileo, Cartesio e Christiaan Huygens. Anzi, fu proprio il primo di essi che dette al
principio la formulazione che conosciamo oggi. Ma Cartesio aveva fatto molto di più, aveva rifondato la più
antica scienza matematica, la geometria, descrivendola con i metodi propri dell’algebra, ignota ai Greci
(anch’essa venne introdotta dagli arabi). Ne era venuta fuori la disciplina oggi nota come “geometria
analitica”; la Géométrie di Cartesio venne pubblicata, nella forma finale, proprio nel 1661. La grande novità
della Géométrie consisteva nella possibilità di ridurre i problemi geometrici, come il calcolo delle tangenti ad
una curva, a problemi algebrici, descrivibili con semplici equazioni. Altri matematici, come Fermat (quello del
famoso “terzo teorema”), Cavalieri, Wallis, avevano indagato le proprietà delle successioni e delle “serie”
(somme di termini di una successione), mostrando la potenza dei metodi matematici che oggi chiamiamo
“analisi”. Rimaneva tuttavia problematico il modo di trattare le quantità infinitesime.
Nasce il calcolo differenziale
Nel 1664 Newton si dedicò allo studio dell’analisi. Divorò in pochissimo tempo (sembra saltando i pasti) tutto
quello che era stato pubblicato sull’argomento e nel giro di poco, a 22 anni, era in grado di cominciare da
solo l’esplorazione del “nuovo mondo”.
In particolare si dedicò allo studio delle radici delle equazioni delle coniche e alla costruzione delle tangenti a
queste curve, scoprendo sempre più il grande vantaggio offerto dalle coordinate che ora chiamiamo
“cartesiane”. Si applicò ripetutamente ai problemi di “quadratura”, cioè alla ricerca di aree comprese in una
curva come somma di tante aree di grandezza decrescente, un procedimento che noi ora chiamiamo
“integrazione”. Con questo metodo fu in grado di effettuare operazioni che nessuno prima di lui aveva fatto,
fino a giungere alla sua definizione del metodo delle “flussioni”, in pratica al calcolo differenziale 31.
Quello che stupisce nella costruzione di Newton è l’intrusione del “movimento” nella matematica. Le sue
costruzioni geometriche e i metodi per calcolare le tangenti alle curve che andava esaminando facevano
ampio ricorso ad immagini come “il segmento og che descrive la curva a velocità costante” o “al muoversi di
ap anche dt si muove con la stessa velocità”. In sostanza, Newton aveva una visione “dinamica” delle sue
costruzioni geometriche, visione che noi conserviamo ora in locuzioni come “al tendere di x a zero”.
Newton dimostrò che la tangente ad una curva in ogni suo punto è uguale alla derivata della curva in quel
punto (teorema fondamentale del calcolo infinitesimale). Naturalmente non usava la parola “derivata” né
“integrale”, ma aveva una chiara idea del fatto che le due operazioni erano l’una l’inversa dell’altra. Aveva
anche capito bene che le “velocità” di due punti nel descrivere due curve erano intimamente legate alle
distanze (o meglio archi di curva) che essi stavano descrivendo; in altre parole aveva ben compreso che la
velocità di un punto lungo una linea non è altro che la “derivata” dello spazio percorso rispetto al tempo. In
notazione moderna (e leibnitziana)
v
dx
dt
L’operazione di derivazione è di fatto un rapporto. Ma un rapporto tra quantità infinitesime. Poiché prima di
allora l’infinitesimo, come lo zero e l’infinito, erano concetti evitati accuratamente a causa dei problemi
notevoli che ponevano, nessuno aveva cercato di immaginare quale fosse il risultato della divisione tra due
quantità piccole a piacere. Il senso comune diceva che, qualunque fosse il divisore, se il dividendo era
praticamente nullo anche il rapporto sarebbe stato tale. Ma non è così. Se, seguendo il metodo di procedere
di Newton, facciamo decrescere numeratore e denominatore di un rapporto “alla stessa velocità”, il rapporto
non può che rimanere costante. Immaginiamo di avere il rapporto ½ e di dividere sistematicamente per 2 sia
il numeratore (1) che il denominatore (2): è chiaro che il valore del rapporto resterà costante, anche se le
E’ notissima la disputa tra Newton e Leibnitz sulla “primogenitura” del calcolo. Il primo ad inventarla fu Newton (metodo delle
flussioni), ma il primo a pubblicarla fu Leibnitz. E’ prassi mai messa in discussione nel mondo scientifico che la priorità di una scoperta
spetta al primo che la rende pubblica, cioè la pubblica. E’ interessante notare che la comunità dei matematici è sempre stata fedele a
31
questa prassi e che quindi nei trattati di matematica si usa sempre la notazione di Leibnitz (
specie se anglosassoni, usa spesso la notazione newtoniana (
f ' df dt ) mentre la comunità dei fisici,
f ' f ). Un po’ di campanilismo…
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due quantità tenderanno a zero come la successione vista in precedenza. Dunque, ha senso chiedersi quale
sarà il rapporto tra una distanza infinitesima e l’intervallo di tempo – ugualmente infinitesimo – richiesto a
percorrerla. E’ proprio questo rapporto che, al tendere dell’intervallo di tempo a zero, dà il valore della
velocità istantanea.
Con questo fondamentale passo avanti Newton inserì nel suo percorso un concetto del tutto nuovo e gravido
di conseguenze: quello di “tempo assoluto” come vedremo più oltre. Vale la pena di dare a questo punto di
nuovo la parola a Westfall:
“Nell’idea intuitiva del moto o flusso continuo, gli infinitesimi venivano sostituiti dalle velocità istantanee. Ma
l’unico mezzo che Newton aveva a disposizione per esprimere la velocità all’istante era il rapporto tra la
distanza percorsa e l’unità infinitesima di tempo impiegata a percorrerla. L’idea di moto occultava la sua
componente infinitesimale trasferendola all’inespressa variabile tempo. Per designare l’unità di tempo egli
aveva a disposizione un solo termine, quello di “momento”. Le “linee infinitamente piccole” che i corpi
descrivono in ciascun momento sono le velocità con cui le descrivono. Le sue equazioni trattavano gli
incrementi come entità algebriche da adoperare come le altre entità…Il concetto di moto uniformemente
vario, che sembra intuitivamente superare la discontinuità degli indivisibili, non cessò mai di fare appello
all’immaginazione di Newton; egli, tuttavia, avrebbe finito col cercare un altro, e più rigoroso, fondamento al
proprio calcolo infinitesimale.”
LE LEGGI DELLA DINAMICA E LA LEGGE DI GRAVITÀ
Forza e massa
Bisogna fare adesso un salto avanti di vent’anni. Non è che Newton sia stato inattivo tra il 1664 e il 1684,
tutt’altro, ma sarebbe troppo lungo illustrare il cammino a volte tortuoso che le sue ricerche assunsero. Il
cammino portò Newton in molti territori inesplorati, alcuni dei quali, come l’alchimia, francamente
sorprendenti. In ogni sua attività, tuttavia, Newton profuse un impegno impressionante. L’argomento oggetto
del suo interesse lo assorbiva completamente, facendogli trascurare tutto ciò che non fosse ad esso
direttamente collegato. Egli tuttavia non dimenticava nulla di quello che aveva già realizzato e fu sui suoi
studi di matematica, svolti principalmente tra il 1664 e il 1666, che egli infine costruì la dinamica. Nel
ventennio tra il 1664 e il 1684, tuttavia, produsse alcune teorie e anche innovazioni tecniche assolutamente
stupefacenti. E’ fondamentale la sua teoria sui colori, teoria corpuscolare che formò la base dello sviluppo di
Einstein sui fotoni e sulle basi della fisica quantistica; sulle sue teorie di ottica egli fu in grado di “costruire”
nel vero senso della parola, disegnando e fabbricando il primo telescopio “riflettore”, molto più compatto e
facile da costruire dei rifrattori di Galileo. Newton inventò anche una speciale montatura per il telescopio,
montatura da lui detta newtoniana. Gran parte dei telescopi odierni sono riflettori di derivazione newtoniana
e con montatura newtoniana.
La maggior opera di Newton, i Philosophiae naturalis principia mathematica, fu sottoposta nel 1686 alla
Royal Society, di cui Newton era divenuto membro, e pubblicata l’anno successivo. Secondo quanto dice il
titolo si tratta di un’opera matematica, non fisica. Newton espose in essa le sue concezioni di dinamica come
un sistema ipotetico-deduttivo tipicamente matematico. Dapprima definì i termini, quindi formulò degli
assiomi e infine trasse da essi le logiche (e matematiche) conseguenze. Tuttavia i Principia contengono una
“summa” del pensiero fisico newtoniano che vale la pena di esaminare, a cominciare dalla ridefinizione dei
concetti di forza e massa. Ambedue i concetti sono fondamentali per la comprensione della gravitazione ed
essi furono precisati da Newton proprio allo scopo di descrivere con chiarezza la gravità: la loro concezione
è quindi inscindibilmente legata allo sviluppo della teoria gravitazionale.
Il dibattito sulle cause del moto dei pianeti era andato molto avanti dal tempo di Kepler. Tutti i maggiori
astronomi concordavano sul fatto che essi si muovessero attorno al Sole (Copernico aveva definitivamente
vinto), ma non tutti erano d’accordo su come questo moto fosse generato e mantenuto. Abbiamo visto che
Kepler aveva tentato un abbozzo di teoria senza un grande successo. La sua “anima motrix” decresceva
d’intensità al crescere della distanza dal Sole in maniera inversamente proporzionale, poiché Kepler
pensava che la sua azione si svolgesse solo lungo la congiungente Sole-pianeta e solo nel piano orbitale.
Già nel 1645 Boulliau aveva respinto questa teoria, facendo semplicemente notare che una tale forza si
sarebbe dovuta propagare in tutto lo spazio, non solo in un piano, e quindi avrebbe dovuto variare con
l’inverso del quadrato della distanza32. Tra i contemporanei di Newton che stavano studiando attivamente il
Boulliau non fu un precursore della teoria newtoniana. La sua critica non si rivolgeva tanto all’aspetto tecnico, quanto
all’interpretazione della forza. Secondo Boulliau la variazione di velocità era semplicemente un fatto naturale deciso dal Divino
Architetto, che non richiedeva spiegazione.
32
45
problema vi erano Robert Hooke, Edmond Halley, John Wallis, Christopher Wren e altri. Hooke aveva
sostenuto con Halley e Wren di essere in possesso di una prova matematica del fatto che i moti planetari
potessero essere dedotti da una legge sull’inverso del quadrato della distanza, ma non fu mai in grado di
produrla.
Fu Newton a compiere il gran passo. Fu lui a ritenere che l’attrazione astronomica e la gravità terrestre
fossero alla fine la stessa cosa (è la famosa quanto fantasiosa storia della mela). Newton suppose che
alcune proprietà dei corpi non variassero al variare della loro posizione e così facendo operò per la prima
volta una chiara distinzione tra il peso (che dipende dalla distanza dalla sorgente d’attrazione) e la massa.
Non usò però quest’ultimo termine quanto quello, usatissimo ancora oggi, di “quantità di materia”. Che la
massa e il peso non fossero la stessa cosa era per la verità già stato notato da Kepler e Galileo, ma Newton
ne dette una giustificazione esplicita e rese quello di massa uno dei concetti cardine della dinamica.
Dalla definizione di massa come “quantità di materia” alla definizione del momento (il prodotto della massa
per la velocità) come “quantità di moto” il passo fu breve, finché si giunse alla definizione di forza come tasso
di variazione nel tempo del momento, in breve la sua derivata. Tutto sembrava semplice e naturale, ma va
tenuto presente che questo risultato così elegante e convincente non sarebbe stato possibile senza il
principio d’inerzia di Galileo, come vedremo subito.
Le leggi della dinamica
Il termine forza (vis) compare per la prima volta nella Definizione III dei Principia:
“La vis insita [ovvero la forza innata] della materia è una potenza di resistere grazie a cui ciascun corpo, per
quanto è in sé [quantum in se est], persevera nel proprio stato di quiete o di moto uniforme in linea retta”
Questa definizione si riferisce naturalmente all’inerzia, che viene qui concepita come una “forza” interna al
corpo, grazie alla quale il corpo si oppone alle variazioni del suo stato di moto. Questa stessa forza che qui
viene vista come resistenza passiva può però essere anche attiva qualora l’oggetto sia in moto e venga in
contatto con un altro corpo: in questo secondo caso diviene un “impulso”. D’altra parte lo stesso Newton
ammetteva che i due casi non erano distinguibili a causa del principio di relatività galileiana.
La Definizione III andrebbe confrontata con un’analoga definizione data da Descartes: ”Prima legge della
natura: che ogni cosa, per quanto è in sé [quantum in se est], perseveri sempre nello stesso stato.” Come si
vede Newton e Descartes usano la stessa espressione latina (quantum in se est), ma con un significato
profondamente diverso; per Descartes si tratta dell’estensione del corpo, dello spazio occupato (che
coincideva con la materia), mentre per Newton si tratta della materia stessa: l’inerzia newtoniana è
proporzionale alla quantità di materia, cioè alla massa, del corpo.
Un secondo tipo di forza, la “forza impressa”, è illustrata nella Definizione IV come “un’azione esercitata su
un corpo al fine di modificare il suo stato”. Non è la stessa cosa della “forza innata”, perché cessata l’azione
cessa anche la forza, mentre l’inerzia resta.
Un terzo, e ultimo, tipo di forza è mostrato nella Definizione V: “E’ una forza centripeta quella da cui i corpi
sono trascinati o forzati o comunque spinti a tendere verso un punto come verso un centro.” Perché
Newton, che esplicitamente indicava la forza centripeta come origine della forza impressa, dedicò a questa
uno status particolare? Perché lo fece per la forza centripeta e non, ad esempio, per la pressione o la
percussione, che pure erano origine di forza impressa? La risposta ce la dà lo stesso Newton in maniera
semplice e chiara: egli afferma, dopo aver definito la forza centripeta, “di questa sorta è la gravità”.
E’ giunto allora il momento di riportare gli enunciati delle famose tre “leggi” di Newton:
Legge I: Ogni corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che non sia
costretto da forze impresse a mutare questo stato.
Legge II: La variazione del moto è proporzionale alla forza motrice impressa, e si verifica lungo la linea retta
lungo cui questa forza viene impressa.
Legge III: Ad ogni azione corrisponde sempre una reazione opposta ed uguale; ovvero le azioni mutue tra
due corpi sono sempre uguali e dirette in senso contrario.
Le tre leggi vengono normalmente anche chiamate: Principio d’inerzia, Legge fondamentale, e Principio
d’azione e reazione; le prime due sono attribuite dallo stesso Newton a Galileo e a Huygens.
E’ bene ricordare che nei Principia queste leggi sono date come assiomi, cioè come proposizioni assunte
vere e non dimostrate. Da esse, però, è possibile dedurre per via matematica, usando il calcolo differenziale,
l’intero edificio della dinamica e giustificare quantitativamente tutti i moti possibili. E’ il trionfo del programma
galileiano di matematizzazione della descrizione della natura, è l’inizio del meccanicismo e del sogno di
46
Laplace di giustificare tutto l’esistente in forma di meccanica e dinamica newtoniane. E’ infine il vero atto di
consacrazione della scienza moderna.
La legge di gravità
La legge di gravitazione universale contenuta nei Principia è solo il punto d’arrivo di un lunghissimo
cammino. Alla sua costruzione presero parte in misura ugualmente importante molti studi che Newton aveva
intrapreso (e mai finito) in più di vent’anni. Ma forse non sarebbe mai stata pubblicata se non fosse
intervenuto Edmond Halley. Nel 1684 questi andò a trovare Newton a Cambridge e gli chiese quale forma
avrebbe avuto la traiettoria dei pianeti se la forza di attrazione del Sole fosse stata inversamente
proporzionale al quadrato della distanza. Come abbiamo visto il problema era sul tappeto e molti, tra cui
Hooke e Wren, sostenevano che questa era la soluzione, ma non erano in grado di dimostrarlo. Alla
richiesta di Halley Newton rispose senza esitazione che la curva risultante sarebbe stata un’ellisse. Come
faceva a saperlo, gli chiese Halley sorpreso? “Beh, l’ho calcolato” fu la risposta.
Newton l’aveva effettivamente calcolato, come risulta dai suoi appunti, ma non l’aveva mai pubblicato. Nel
novembre del 1684 Halley ricevette da Newton un piccolo trattato di sole nove pagine. In esso si dimostrava
che un’orbita ellittica comporta l’esistenza di una forza inversamente proporzionale al quadrato della
distanza e agente in uno dei fuochi, ma estendeva questa proprietà in maniera molto generale: data una
forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza l’orbita risultante doveva essere una conica,
un’ellisse se la velocità era inferiore ad una data quantità (che noi oggi chiamiamo velocità parabolica).
Newton aveva di colpo dimostrato tutte le leggi di Kepler, basandosi su principi di dinamica e su metodi
matematici che non erano mai stati pubblicati.
E’ nota la lentezza con cui Newton rispose ai ripetuti appelli di Halley di scrivere un trattato completo sulla
dinamica e sulla gravitazione, trattato che vide la luce solo nel 1687. Eppure la rivoluzione contenuta in quel
trattato non era meno profonda di quella contenuta nel libro di Copernico di 144 anni prima. Ma Newton era
una persona abbastanza peculiare e non era mai veramente soddisfatto di quello che faceva perché ne
vedeva gli sviluppi possibili ed era preso dall’ansia di procedere oltre. E’ una tentazione abbastanza comune
nel mondo scientifico, che porta molti brillanti ricercatori a pubblicare poco e raramente; la curiosità di vedere
“come va a finire” è più forte della soddisfazione di mostrare ai colleghi i propri risultati, anche se
temporanei.
La legge di gravitazione fornita da Newton, espressa in forma moderna, è:
F k
mM
r2
dove k è una costante (costante di gravità), m e M sono le masse dei due oggetti e r è la distanza reciproca.
Non insisteremo oltre sulla formulazione matematica, che è molto semplice, né sui processi di pensiero che
portarono Newton a questa formulazione. Ci soffermeremo invece su alcune conseguenze e su alcuni
problemi che la legge di gravità pone, e pose allo stesso Newton.
Massa inerziale e massa gravitazionale
Kepler aveva affermato nel De causis planetarum: “L’inerzia, che si oppone al moto, è una caratteristica
della materia, ed è tanto più forte quanto maggiore è la quantità di materia in un certo volume.” E’ questa, in
sostanza, la definizione di massa inerziale, la stessa che darà poi Newton. La massa inerziale è una misura
della “vis insita”, o almeno le è proporzionale. E’ la capacità, insita in tutti gli oggetti e dipendente dalla loro
quantità di materia, di opporsi al moto. E’ la quantità che compare nel principio d’inerzia.
Ma è la stessa “massa” che compare nella legge di gravità? La risposta è: No.
Certo, l’inerzia è una caratteristica della materia e così è anche la capacità di generare una forza
d’attrazione. Ma la materia ha tante proprietà: ha un colore, ha una densità, ha un’estensione… chi ci
garantisce che la qualità che noi chiamiamo “inerzia” sia la stessa qualità che chiamiamo “gravità”? Come
facciamo ad essere sicuri che la m che compare in
F ma sia “la stessa” che compare in F kmM r 2 ?
La soluzione, nello schema newtoniano, non c’è. Bisognerà aspettare più di 200 anni perché questa
questione venga risolta da Einstein.
47
Azione a distanza
C’è un aspetto della teoria della gravitazione che lo stesso Newton guardava con sospetto. La forza
d’attrazione generata da una massa (gravitazionale) agiva in tutto lo spazio circostante, con raggio d’azione
infinito, indipendentemente dal fatto che quello spazio fosse “pieno” o “vuoto”. Era una conclusione
sorprendente, perché nessuna azione conosciuta si trasmetteva a distanza senza un mezzo frapposto. Si è
già detto che questo era proprio il motivo della grande avversione di Aristotele verso il vuoto, una situazione
in cui sarebbe stato impossibile trasmettere qualunque azione.
Newton, come molti suoi contemporanei (e parecchi successori) fu tentato dall’idea di un “etere” che
veicolasse l’attrazione gravitazionale. Tuttavia dovette arrendersi all’impossibilità di trattare un simile mezzo
con le tecniche matematiche di cui disponeva. Rimase quindi il problema, e tanto da lui sentito da portarlo
alla celebre conclusione contenuta alla fine del libro III, nello Scolio generale:
“Fino ad ora abbiamo spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante il potere della gravità, ma
non abbiamo ancora assegnato una causa a questo potere…Non sono ancora stato capace di scoprire la
causa di queste proprietà della gravità a partire dai fenomeni, e non intendo escogitare ipotesi [hypotheses
non fingo]; infatti tutto ciò che non è dedotto dai fenomeni dev’essere chiamato ipotesi; e le ipotesi non
hanno posto nella filosofia sperimentale, siano esse metafisiche oppure fisiche, si riferiscano a qualità
occulte o a qualità meccaniche. In questa filosofia proposizioni particolari vengono inferite dai fenomeni, e
sono poi generalizzate per induzione…Ed è per noi sufficiente che la gravità esista realmente, e che agisca
secondo le leggi che noi abbiamo spiegato, e che serva ampiamente a rendere ragione di tutti i moti celesti e
del nostro mare.”
Anche questo problema, di una forza miracolosa che si trasmette nel vuoto istantaneamente, deve aspettare
parecchio per essere affrontato in maniera completa, e infine risolto. Bisognerà aspettare le teorie dei campi
che trasferiscono allo stesso spazio le proprietà “miracolose” dei corpi.
Spazio e tempo assoluti
Lo spazio. Un concetto strano eppure così familiare. E il tempo, altro concetto difficile da definire in termini
sperimentali. Avete mai riflettuto su come vengano misurati lo spazio e il tempo? Per il primo si usano regoli,
squadre o altri strumenti che, ripetutamente giustapposti, diano una “misura” dello spazio (ma certo non
dicono cos’è). Quando, durante la rivoluzione francese, Delambre e Méchain vennero incaricati di misurare il
meridiano terrestre, per fornire la base di misura da cui sarebbe derivato il “metro” e il sistema metrico
decimale, si impiegò proprio questo metodo. Il 24 aprile 1798, alle 11 del mattino, una squadra posò il primo
dei regoli ad alta precisione sulla linea base scelta per le triangolazioni, un tratto rettilineo della strada
maestra del re nei pressi di Melun, oggi conosciuta come autostrada N6. I regoli erano quattro, ognuno della
dimensione di due tese di lunghezza (pari a 3.6 metri). Erano fatti di platino puro, erano stati tarati uno per
uno ed erano posti in un manicotto di legno accanto ad una lista di rame, cosicché la relativa espansione
potesse essere letta con precisione micrometrica. Le esigenze della rivoluzione hanno il loro costo! I regoli
venivano messi in posto da Bellet e venivano allineati e livellati da Tranchot. Delambre leggeva la
temperatura per poter calcolare la dilatazione termica e tutti e tre riportavano i dati sui loro quaderni. Una
volta che tutti e quattro i regoli fossero stati sistemati si toglieva il primo, che veniva giustapposto al quarto, e
la procedura ricominciava. Il meridiano terrestre è stato davvero misurato con dei regoli!
Quanto al tempo ci si potrebbe chiedere quale misura mai si riferisca davvero al “tempo”. Gli orologi antichi
facevano affidamento sulle ombre del Sole (misuravano quindi delle posizioni), oppure contavano sull’acqua
raccolta in una bacinella (misure di volume, se non di peso) o sulla sabbia raccolta in una bacinella (ancora
misure di volume). Poi vennero gli orologi meccanici, che misuravano in realtà angoli, distanze, ed altre
quantità che potevano indicare il tempo, ma non misurarlo. La realtà è che il tempo è un concetto astratto e
non una grandezza fisica. E’ la nostra soggettiva percezione del cambiamento che genera il tempo.
Naturalmente ben presto si giunse a formalizzare questa “esperienza soggettiva” in una “grandezza
oggettiva”, che scorreva uniformemente per tutti. Ma “il tempo” in quanto tale non esiste.
Purtroppo, però, Newton si accorse, come altri prima di lui, che non poteva fare a meno dello spazio e ancor
meno del tempo. Abbiamo visto che la necessità di descrivere la velocità istantanea come il rapporto
(infinitesimale) tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo avesse di fatto promosso la “variabile
tempo” a chiave di volta della dinamica. Tutto dipende dal tempo: la velocità è la derivata dello spazio
rispetto al tempo, così come l’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo. Ma uno spazio e un
tempo aleatori non potevano essere di grande utilità ed è per questo che Newton pervenne alla sua
concezione di Tempo Assoluto e Spazio Assoluto. Essi sono il Tempo (Spazio) Vero, Matematico, che
uniformemente scorre e non dipende affatto da quello che contiene. Sono un “frame”, una cornice in cui
avvengono le vicende oggetto dell’esperienza, ma non partecipano a queste vicende.
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Il concetto di Spazio (e Tempo) come “scatola vuota” che contiene i fenomeni ha dato molto alla scienza,
perché ha permesso di descrivere i fenomeni in un riferimento – diciamo così – uniforme per tutti e in ogni
luogo e tempo. Ma ha dei difetti e questi alla fine sono venuti al pettine. Ma questa è un’altra storia…
49
Terza esperienza. Il viaggio di Voyager 2
LA MISSIONE VOYAGER
La missione Voyager (NASA) è ritenuta a buon diritto il più grande successo mai ottenuto in campo spaziale.
Pochi in realtà se ne rendono conto, ma la complessità tecnica, dinamica e gestionale della missione
Voyager ha superato di gran lunga quella di tutte le missioni precedenti e di quasi tutte le missioni seguenti,
con la possibile eccezione delle missioni del programma Apollo. Ma quest’ultima eccezione è dovuta
solamente al fatto che gli Apollo imbarcavano degli esseri umani per i quali la sopravvivenza e il ritorno a
terra erano ovviamente una priorità assoluta.
La missione si componeva di due sonde gemelle: Voyager 1 e Voyager 2. Il loro compito era ambizioso
quanto difficile: raggiungere i sistemi dei pianeti esterni, da Giove a Nettuno, e raccogliere dati sui pianeti
stessi, sui loro (possibili) anelli e sui loro satelliti. Voyager 2 fu lanciato per primo, nell’agosto del 1977, e fu
seguito da Voyager 1, lanciato nel settembre dello stesso anno. Tuttavia la spinta che fu impartita a Voyager
1 era maggiore di quella della sonda gemella, per cui Voyager 1 raggiunse e poi superò Voyager 2.
La missione si divideva in tre fasi, ognuna delle quali sarebbe stata definita completamente solo al
compimento della fase precedente. La prima fase, comune ad ambedue le sonde, consisteva nel visitare il
sistema di Giove e poi quello di Saturno. Se Voyager 1 avesse fallito il suo compito Voyager 2 sarebbe stato
riprogrammato per completare questa prima fase che era ritenuta irrinunciabile. Poiché invece tutto filò liscio
per Voyager 1, la fase successiva venne così definita: Voyager 1 fu immesso in un’orbita di elevata
inclinazione, così da visitare per la prima volta nella storia le regioni del sistema solare lontane dal piano
dell’eclittica; Voyager 2 invece ha continuato la sua corsa fino ad Urano. Se quest’ultima impresa fosse
riuscita Voyager 2 sarebbe stato indirizzato verso Nettuno, come effettivamente avvenne, per poi uscire
definitivamente dal sistema solare.
L’incontro di Voyager 2 con Nettuno avvenne nell’agosto 1989, esattamente 12 anni dopo il lancio. Contando
che gli strumenti a bordo dei Voyager erano stati progettati ben prima del lancio, possiamo quindi affermare
che la missione Voyager riuscì, con tecnologia di fine anni ’60, a sopravvivere ad un periodo nello spazio più
lungo di quello di qualunque altra sonda, visitando regioni del sistema solare dove l’energia emessa dal Sole
per unità di superficie è dirca un millesimo di quella alla distanza della Terra. Per questo motivo non si
poteva fare affidamento sulla luce solare per generare energia: le sonde avrebbero dovuto portare con sé i
loro generatori. Si tratta dei famosi RTG (Radio Thermal Generator), che generavano energia elettrica
sfruttando la radioattività naturale di una discreta quantità di torio.
La missione non fu tutta rose e fiori. Durante l’incontro con Saturno infatti Voyager 2 fu danneggiato,
probabilmente passando nel piano degli anelli, e la piattaforma girevole che portava le telecamere si
inceppò. Poiché la disposizione spaziale della sonda (il cosiddetto “assetto”) era dettata dalla possibilità di
trasmettere i dati a terra, la piattaforma inceppata rappresentava un bel problema che rischiava di mandare
a monte la missione. Il problema fu risolto brillantemente: invece di ruotare la piattaforma (che non poteva
più ruotare) fu fatta ruotare l’intera sonda, sfruttando a questo scopo i piccoli razzi direzionali di cui era
dotata. Si trattava di manovre estremamente delicate che richiedevano una precisione molto elevata sia mei
tempi di esecuzione che nella intensità delle spinte. Inoltre Voyager 2 aveva uno dei due generatori molto
deteriorato e fu necessario, per usare meno energia, riprogrammare completamente i computer di bordo
(computer degli anni ’60!) con programmi più recenti, che consentissero una migliore gestione delle risorse.
Nell’86 Voyager 2 raggiunse Urano e di nuovo fu sottoposto ad un’operazione di chirurgia informatica. Nel
1989 infine la sonda raggiunse il sistema di Nettuno, a 12 anni dal lancio, con un solo generatore
funzionante e con i problemi appena detti alla piattaforma. Eppure fu in grado di inviare a terra, da 4,5
miliardi di chilometri, immagini di una chiarezza eccezionale, grazie ad un segnale radio di potenza inferiore
a 10-11 Watt. Fu a causa di questo strabiliante successo che Bob Lockart, il progettista della telecamera
vidicon dei Voyager, ricevette il “premio Nobel” degli ingegneri.
Durante l’incontro con Nettuno Voyager 2 è stato immesso su un’orbita fortemente iperbolica che lo ha fatto
uscire dal sistema solare. Non è la prima sonda che lascia il sistema: prima di lei la sonda Pioneer 11 ha
seguito la stessa strada. Il Voyager 2 si trova ora a 78 unità astronomiche di distanza dal Sole ed è ancora in
grado di rispondere ai segnali da terra.
50
LA DINAMICA DELLA MISSIONE VOYAGER 2
Naturalmente una delle maggiori difficoltà della missione era di farle seguire la strada voluta. Si trattava
infatti di scegliere le modalità degli incontri ravvicinati con i pianeti in modo che fossero questi a fornire alla
sonda l’energia necessaria a proseguire verso il pianeta successivo. Inoltre, gli incontri dovevano avvenire
con una geometria tale da permettere agli strumenti di bordo di raccogliere le informazioni volute non solo
dal pianeta, ma anche dai suoi satelliti. Era quindi necessaria, innanzitutto, una perfetta conoscenza delle
orbite di quest’ultimi oltre che delle orbite dei pianeti. Il “tracking” della sonda veniva effettuato utilizzando le
grandi antenne della Deep Space Network della NASA in California, Spagna e Australia. Era però
necessaria anche la conoscenza perfetta della disposizione di queste antenne sulla superficie terrestre.
Per poter seguire la sonda con sufficiente accuratezza fu necessario simulare il sistema solare. Non si usò
però la legge di gravità di Newton, come invece fa la nostra esperienza, ma la formulazione ben più precisa
fornita da Einstein con la relatività generale. Si tenne anche conto dell’influenza gravitazionale dei quattro
asteroidi maggiori (Ceres, Pallas, Juno e Vesta) e degli effetti sulle antenne dovuti alla deriva dei continenti.
La trasmissione dei segnali radio naturalmente teneva conto del fatto che le onde radio viaggiano alla
velocità della luce, per cui era necessario conoscere con grande precisione il tempo-luce necessario al
segnale per raggiungere il suo obiettivo.
La nostra esperienza è basata sul viaggio del Voyager 2. Ripercorreremo questa missione in 8 tappe, per
ognuna delle quali è necessario costruire un file di configurazione per il programma ISACCO. Nella nostra
simulazione le “manovre” saranno istantanee e pertanto l’orbita contenuta in ciascun file di configurazione,
cioè l’orbita da cui parte ciascuna integrazione, in genere non corrisponde all’orbita finale dell’integrazione
precedente. La simulazione naturalmente è poco precisa, ma ha il suo valore non nella precisione quanto
nella possibilità di mostrare come sia possibile usare i pianeti come “fionde” per scagliare sonde spaziali un
po’ dovunque. E’ cioè una dimostrazione pratica della tecnica, ora molto usata in astronautica,
dell’assistenza gravitazionale, o “gravity assist”.
I file di configurazione hanno nomi abbastanza comprensibili:
1earjup.cfg
riproduce il viaggio dalla Terra a Giove.
2jupcen.cfg
mostra l’incontro con Giove.
3jupsat.cfg
porta da Giove a Starurno.
4satcen.cfg
mostra l’incontro con Saturno
5satura.cfg
porta da Saturno ad Urano.
6uracen.cfg
riproduce l’incontro con Urano.
7uranet.cfg
è la tratta da Urano a Nettuno.
8netesc.cfg
mostra come il Voyager 2 sia uscito dal sistema solare.
Ogni configurazione, tranne la prima, produce una integrazione a passo variabile. I pianeti sono integrati
così come la sonda: sono presenti tutti i pianeti tranne Plutone. La prima configurazione è comunque
un’integrazione completa, ma a passo fisso di un giorno. La scelta ha il solo scopo di rendere più “lenta”
l’integrazione, per permettere una migliore comprensione. Alla fine della prima integrazione l’orbita del
Voyager 2 è ancora abbastanza simile a quella iniziale. Un attento esame della finestra dei parametri mostra
però che i parametri orbitali eliocentrici stanno cambiando rapidamente a causa della vicinaza con Giove,
che si trova a 0.16 UA. Basta confrontare questi parametri con quelli che si ottengono alla fine della seconda
integrazione per verificare l’effetto dell’incontro con Giove.
I nuovi parametri orbitali sono già iperbolici: durante l’incontro Giove ha fornito una quantità d’energia
sufficiente a slegare Voyager 2 dal Sole. Questo è lo stesso “fato” che ha colpito un numero enorme di corpi
minori del sistema solare, specialmente nelle fasi iniziali della storia del sistema solare. E’ per questo motivo
che la parte interna del sistema solare è relativamente pulito, a parte la fascia asteroidale che comunque è
confinata tra Marte e Giove. Dopo l’incontro con Giove, Voyager 2 si dirige direttamente verso Saturno. E’ la
via più “breve”, ottenuta grazie al contributo gravitazionale di Giove. Ma la scelta dei tempi deve essere
molto precisa. A questo punto la tecnica dovrebbe essere chiara: ogni incontro è scelto in modo tale che il
pianeta fornisca l’energia (e la direzione) per raggiungere il pianeta successivo. Per dare un’idea della
potenza di questa tecnica, basti pensare che la sonda Cassini, che raggiungerà il sistema di Saturno nel
2004, sfrutterà un gran numero di incontri ravvicinati con Titano, il satellite maggiore, per cambiare in
continuazione la sua orbita e visitare a turno tutti i satelliti più importanti. L’ultimo incontro, quello con
Nettuno, fa uscire definitivamente Voyager 2 dal sistema solare.
51
Schema di Unità Didattica Da Copernico a Newton
(Andrea Carusi)
OBIETTIVI GENERALI
Gli obiettivi che ci proponiamo con questa UD sono molteplici. Come avvertenza generale valga quanto
detto precedentemente, cioè che non tutti questi obiettivi sono da ritenere vitali, ma solo altamente
auspicabili. L’insegnante sceglierà in base a suoi criteri un opportuno sottoinsieme.
Attraverso la teoria della gravitazionale universale la spiegazione dei moti celesti diviene – in linea generale
– piuttosto semplice, almeno da un punto di vista qualitativo. Altro discorso va fatto se si vuole “quantificare”
questi moti, perché si rende allora necessario un apparato matematico di una certa complessità. In un
discorso allargato alla genesi delle idee, rientrano tra questi obiettivi il mostrare come una teoria fisica vari
nel tempo, come muti per incorporare nuovi elementi o nuovi concetti, come risenta del clima culturale
dell’epoca in cui sorge. Né va dimenticato che gli stessi fenomeni possono essere descritti – come è di fatto
avvenuto, almeno in certe fasi della loro spiegazione – in vari modi, con risultati ugualmente dignitosi.
In sintesi, gli obiettivi che riteniamo vadano raggiunti sono allora i seguenti:
comprensione della gravitazione come “interazione” originata da un oggetto dotato di massa e
raggio d’azione infinito,
conoscenza elementare della dinamica dei corpi celesti: interpretazione delle leggi di Kepler,
comprensione, a livello elementare, delle problematiche relative ai moti,
consapevolezza del fatto che ogni teoria scientifica ha un suo sviluppo storico e che vi è pluralità
nella descrizione possibile di fenomeni fisici.
FINALITÀ PERSONALI
Attraverso questi obiettivi ci si propone di aiutare il discente a collocare correttamente la sua persona verso il
mondo esterno. Sono queste le finalità personali elencate più avanti. Rientrano tra queste la capacità di
darsi una corretta collocazione spazio-temporale; la capacità di distinguere tra la realtà “oggettiva”, la propria
descrizione soggettiva e l’apparato matematico che sostiene quest’ultima; l’abilità di sentire quasi in modo
fisico, dentro di sé, i movimenti e le loro variazioni, identificandone le cause. Inoltre rientrano in un discorso
formativo gli aspetti culturali, legati anche a campi notevolmente distanti, che formano inevitabilmente le basi
di ogni teoria fisica: pregiudizi, correnti di pensiero, rivoluzioni culturali.
PREREQUISITI
I prerequisiti di base dipenderanno, come si notò nella precedente Unità Didattica, dal grado di scuola in cui
si vuol proporre il lavoro. Per le superiori, i prerequisiti da cui non si può assolutamente prescindere, se si
vuole affrontare l'argomento con una certa profondità, consistono in poche nozioni matematiche elementari:
piano cartesiano e cambiamenti di riferimento, equazioni di primo grado e - se possibile - vettori. Su un piano
fisico sarà necessario che gli studenti abbiano già affrontato i problemi base della dinamica, magari con lo
scopo di sottoporli a critica. Per le medie e le elementari non si potrà disporre di alcun apparato matematico,
tranne forse le frazioni e le proporzioni. Già la formulazione della legge di gravità (dipendenza dall’inverso
del quadrato della distanza) risulterà incomprensibile a questi livelli. Tuttavia le leggi matematiche possono
essere illustrate in forma geometrica, con l’aiuto di un po’ d’intuizione.
Su un piano più propriamente personale sarà necessario utilizzare le capacità di visualizzazione astratta
(rotazioni e traslazioni mentali), che richiedono un discreto senso dell'orientamento. L’affinamento di tali
capacità è stato l’obiettivo principale della UD precedente.
Ci rendiamo conto che può non essere frequente anche per una classe di scuola superiore il trovarsi nella
situazione descritta sopra, quanto a conoscenze e abilità acquisite. D'altra parte quella che si tenta di fare
qui è un'operazione piuttosto complessa e non si può partire dal nulla. Riteniamo, insomma, che l'utilizzo di
52
questa UD in tutte le sue potenzialità rappresenti la fine di un lungo cammino che attraversa l’intero corso di
studi, piuttosto che un modo diverso di impostare la problematica fin dall'inizio.
CONTESTO ORGANIZZATIVO
In gran parte questo sarà affidato al buon senso dell'insegnante ed all'ambiente in cui si troverà a lavorare.
Poiché, come diceva Leonardo, “la conoscenza è figliuola della isperienza”, sarà di primaria importanza
approfondire i discorsi che si faranno con esperienze pratiche: si possono costruire esperienze (come quelle
sul piano inclinato) anche con materiali piuttosto rudimentali, però sarà sempre necessaria una grande cura
nella progettazione, esecuzione ed interpretazione. Poiché oramai tutte le scuole dispongono di calcolatori
personali, si possono anche individuare delle esperienze da condurre, simulate, su un PC; se ben condotte
ed illustrate, esse sono altrettanto utili di quelle reali. A questo scopo questa UD è corredata da un
programma per PC (ISACCO) realizzato da A. Carusi, che potrebbe rivelarsi molto utile per illustrare le
problematiche dinamiche.
Discipline coinvolte
Fisica e Matematica
Scienze
Storia e/o Filosofia
Sperimentazione
Strumenti
o
Pendolo
o
Piano inclinato
o
Bilancia
o
Riduttori d’attrito
o
Squadre, righe, temporizzatori
o
Palle di ferro o piombo
Esperienze
o
Misura dell’accelerazione di gravità
o
Traiettoria di un grave in caduta, relazione con l’angolo di caduta
o
Misura del mese lunare e della massa terrestre
Teoria
Parametri di un’orbita ellittica
Calcolo di un’orbita sincrona
Verifica delle leggi di Kepler
STRUTTURA E MODALITÀ DI LAVORO
Attività preliminari
Posizione del problema: obiettivi
Letture e relazioni preliminari
Cenni storici e filosofici
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Pianificazione del lavoro
Individuazione delle esperienze da condurre
Divisione dei compiti: formazione di eventuali gruppi
Reperimento del materiale necessario
Esperienze
Brevi cenni sugli errori di misura
Conduzione delle esperienze
Relazione sulle esperienze - discussione
Sviluppi e conclusioni
Verifica dei risultati delle esperienze
Cenni su campi complessi: il sistema Terra-Luna e il sistema solare
Relazioni finali - discussione
TEMPI D’ESECUZIONE
Attività preliminari:
8 ore
Pianificazione del lavoro:
3 ore
Esperienze:
8 ore
Sviluppi e conclusioni:
6 ore
VERIFICHE
Questionario d'ingresso. Sul concetto di campo in generale e gravità in particolare (vedi schema
allegato). Questo questionario ha lo scopo di verificare l'esistenza dei prerequisiti, di individuare il
grado di comprensione del problema prima dell'inizio dell'UD e di aiutare il docente nel tracciare i
confini dell'argomento da trattare.
Relazioni preliminari. Comprensione del problema. Comprensione del percorso storico-filosofico (se
trattato). Aspettative del gruppo-classe. Queste relazioni dovrebbero permettere di verificare che il
problema sia stato ben compreso nella sua formulazione, che il contesto culturale (se vi è stato
accennato) sia chiaro e cosa i ragazzi si aspettano dall'esperienza che stanno per compiere.
Quest'ultimo punto permetterà di giudicare con quanto entusiasmo il lavoro viene affrontato.
Relazioni sulle esperienze. Correttezza dello svolgimento. Chiarezza e correttezza di grafici e
tabelle. Riproducibilità. Queste relazioni dovrebbero permettere di verificare che la “tecnica” della
conduzione di un esperimento sia stata compresa e utilizzata correttamente.
Relazioni finali. Le relazioni finali, oltre a permettere di giudicare se è stato compreso l'argomento
trattato e quali degli obiettivi proposti sono stati raggiunti, permetterà di verificare che lo studente sia
in grado di stendere una relazione strutturata sul lavoro svolto. La struttura di una relazione
scientifica dovrebbe essere stata illustrata precedentemente, possibilmente in collaborazione con
l'insegnante di Italiano.
SPUNTI PER ESPERIMENTI
Il contenuto di questo paragrafo e del seguente non ha nessuna pretesa di reale fattibilità, non essendo mai
stato direttamente provato in una classe. Lo scopo di questi “spunti” è proprio di presentare alcune
possibilità che possono essere ampliate e sviluppate nel modo che si riterrà più opportuno. Non tutto ciò che
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viene presentato qui può essere svolto a tutti i livelli di scuola, ma versioni opportunamente modificate
possono essere realizzate su misura della classe con cui si sta lavorando.
Misura dell'accelerazione di gravità tramite piani inclinati
L'accelerazione di gravità g può essere ricavata dalla misura dell'accelerazione cui è sottoposto un grave
lungo un piano inclinato (v. figura 1).
Scomponendo g lungo la perpendicolare al piano c (fp) e lungo la direzione del moto (ft), si vede che il
triangolo PGQ (rettangolo in P) è simile a ABC (rettangolo in C). Conoscendo i lati di quest'ultimo e/o
l'angolo , la misura di ft conduce o alla proporzione f t a g c o alla f t g tan . Il problema si riduce
quindi alla misura di ft.
Supponiamo di lasciare il peso P nella posizione B (punto 0), e di segnare i tempi in cui questo passa nelle
posizioni da 1 a 7. Si può costruire un grafico che dà la relazione tra le distanze e i tempi. La velocità nei
punti intermedi di ogni intervallo possono essere approssimate dalla
vk
xk xk 1
t k t k 1
(k=1,…,7)
Figura 1
Escludiamo il primo punto, sicuramente alquanto sbagliato. Dal grafico possiamo ricavare i tempi (approssimati) corrispondenti ai valori
v 2 ...v7 , chiamiamoli t 2* ...t 7* . Le accelerazioni ad essi corrispondenti saranno
allora
ak
vk vk 1
t k* t k*1
(k=3,…,7)
La loro media darà un'approssimazione dell'accelerazione ft. Naturalmente, maggiore sarà il numero di punti
e migliore sarà l'approssimazione.
L'inclinazione del piano deve essere molto piccola per permettere di effettuare le misure dei tempi, se queste
sono fatte manualmente (non dimentichiamo che Galileo fece questi esperimenti con la tecnologia e i metodi
di misura del tempo nel 1600!). Altri metodi possono consistere in:
chiusura di contatti elettrici e suono di un campanello ad ogni punto. Si potrà allora ripetere tante
volte l'esperimento prendendo ogni volta il tempo di un punto successivo;
posizionamento del peso partendo dal penultimo punto e andando indietro. Si possono prendere
così i tempi corrispondenti a 1,2,…,n intervalli.
Si possono anche sostituire ai campanelli dei temporizzatori automatici.
La difficoltà maggiore dell'esperimento consiste nel prendere bene i dati e nel valutare gli errori (di misura e
di approssimazione) che si compiono. L'accelerazione di gravità così ottenuta potrà essere impiegata nel
secondo esperimento.
55
Misura del mese lunare e della massa terrestre
La massa della Terra può essere ricavata, come esempio, in due modi: a) conoscendo l'accelerazione di
gravità (vedi esperimento precedente) e b) misurando il periodo orbitale della Luna. Si suggerisce di seguire
ambedue i metodi e confrontare i risultati.
Conoscendo l'accelerazione di gravità
La forza peso di un oggetto, P=mg, è uguale alla forza di gravità alla superficie terrestre, F G
mM
, dove
r2
G è la costante di gravità (6.68 x 10-8 cm3 g-1 s-2), m la massa dell'oggetto, M quella della Terra (incognita) e
r il raggio terrestre (6370 km).
Conoscendo g, si ha:
mg G
mM
r2g
M
r2
G
La difficoltà qui sta nel maneggiare le unità di misura: g sarà nota (presumibilmente) in m/s, G in cm3 g-1 s-2, r
in km. Questo metodo è quindi utile per far prendere confidenza con le formule dimensionali e i fattori di
ragguaglio.
Misurando il periodo lunare
Il periodo orbitale della Luna può essere misurato direttamente osservando il satellite (meglio se con un
buon binocolo). Si consiglia di cominciare con la Luna al primo o ultimo quarto, quando le ombre sui crateri
al centro della faccia visibile sono più nette. Si osserverà quindi la Luna nelle notti successive finché si
rivedranno le ombre nella stessa posizione.
E’ necessario fare attenzione al fatto che il periodo così trovato (in giorni) non è il vero periodo lunare,
poiché nel frattempo la Terra si sarà mossa di un angolo attorno al Sole (vedi figura 2).
Se
TL* è il periodo lunare misurato, l'angolo è dato da
TL*
360 365.25
L'angolo rappresenterà il “cammino in più” effettuato dal
particolare sulla superficie della Luna scelto come riferimento, per
cui il vero periodo lunare TL sarà dato da
TL
TL*
360 360
Com'è noto dalla terza legge di Kepler, vale la relazione
TL
2
a
Figura 2
3
GM
dove a è ora il semiasse dell'orbita lunare (384.000 km), M la massa della Terra (incognita) e G la costante
di gravità. Per avere la massa M in grammi TL deve essere espresso in secondi (1 giorno = 86400 secondi) e
a in centimetri.
Vi è una certa difficoltà nell'esperimento, legata all'osservazione della Luna. Esprimendo il periodo in giorni
(quindi con un errore presunto di mezza giornata) si commette un errore di circa il 2%. Si può tentare – se il
binocolo lo consente – di valutare con più precisione il periodo TL, magari ricorrendo ad una carta della Luna.
Ricordiamo che i periodi di rotazione e rivoluzione della Luna sono uguali, per cui un grado di spostamento
in longitudine del limite tra luce ed ombra sulla superficie lunare (il “terminatore”) equivale ad un grado di
moto della Luna sulla sua orbita.
TL* può essere valutato con maggiore approssimazione calcolando quanto
56
tempo sarebbe passato dall'ultima osservazione prima che il terminatore tornasse alla posizione di partenza.
Così facendo si dovrebbe arrivare ad una approssimazione migliore dell'1%.
Traiettoria di un pianeta
Se il periodo dell'anno è favorevole, si può seguire il moto di un pianeta per un certo tempo e confrontarlo
con la posizione prevista. Questo significa effettuare una “effemeride” del pianeta. Si può scegliere Marte, se
visibile, perché è abbastanza veloce, o Venere. Tuttavia, su un arco di tempo di qualche mese, anche Giove
o Saturno vanno bene.
La prima cosa da fare è di munirsi di un buon binocolo (meglio un piccolo telescopio) e di una buona carta
stellare. L'effemeride del pianeta prescelto può essere ottenuta da una rivista specializzata, o richiesta ad
uno dei centri astrofili di Roma, o all'Osservatorio di Monte Mario, o ancora ricavata da un buon programma
di planetario per personal computer (ad esempio SkyMap). Sulla carta stellare si può riportare la posizione
prevista del pianeta a intervalli di qualche notte e poi verificare con l'osservazione diretta che il pianeta sia
proprio là.
Questa esperienza permette di prendere qualche confidenza con l'osservazione del cielo, di imparare ad
orientarsi con le costellazioni e di riconoscere la posizione dell'eclittica, lungo la quale si muovono (più o
meno) tutti i pianeti.
ESPERIMENTI CON UN CALCOLATORE
Il campo gravitazionale della Terra
Lancio di un grave sulla superficie della Terra. La balistica
Traiettorie chiuse e aperte. La velocità di fuga
Come mettere un satellite in orbita
Cambio di orbita
Riscontri sperimentali
Lo studio del campo gravitazionale terrestre è certamente facilitato dal poter disporre “direttamente” della
sorgente del campo. Nondimeno, l'operazione di astrazione dalle esperienze quotidiane al concetto di
campo è tutt'altro che banale. Si comincerà senz'altro da qualche discorso e qualche esperimento di
balistica: valutazione qualitativa dello sforzo per lanciare un oggetto in orizzontale e in verticale alla stessa
distanza; differenza nello sforzo per lanciare due pesi diversi; forma della traiettoria per varie velocità e
inclinazioni al momento del lancio.
Il campo terrestre sarebbe pressoché uguale se la massa della Terra fosse racchiusa in una palla di pochi
centimetri. Se noi potessimo rendere “trasparente” la Terra, condensandone la massa al suo centro, ci
accorgeremmo che le traiettorie seguite dai gravi altro non sono che archi di un'orbita quasi parabolica: è la
presenza della superficie terrestre che bloccando il moto degli oggetti non ci permette di riconoscere la
natura orbitale del moto dei gravi (che in assenza di forze d’attrito è in caduta libera).
Pensando di aumentare a volontà la velocità di lancio arriviamo alla conclusione che, prima o poi, il grave
lanciato non ricadrà più a terra, ma comincerà a girare attorno al pianeta: abbiamo posto un oggetto in orbita
terrestre! Inoltre, aumentando ancora la velocità, riusciremo a trasformare l'orbita da ellittica in parabolica e
poi iperbolica: la velocità necessaria per sfuggire all'attrazione terrestre (orbita parabolica) è la velocità di
fuga. Per variare l'orbita di un oggetto occorre variare la sua velocità. Questo significa imprimergli
un'accelerazione (cioè una forza che agisca sulla sua massa inerziale). Il modo più semplice per fare questo
è di impiegare un motore: ma in che direzione il motore dovrà spingere?
Questi argomenti possono essere affrontati sia teoricamente (con scarsa probabilità di un vero successo) sia
praticamente. Bisognerà probabilmente fare l'uno e l'altro, cercando di far fare il passaggio tra la
consapevolezza fisica dello sforzo personale alla visione del fenomeno nel suo insieme. Un calcolatore può
aiutare molto in questa fase, perché permette di “visualizzare” gli effetti di una variazione delle condizioni
iniziali. Un programma per mostrare la traiettoria di un oggetto in varie condizioni di partenza è piuttosto
semplice, e potrebbe essere realizzato come ausilio ad un lavoro in classe.
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Il sistema Terra-Luna
L'orbita della Luna attorno alla Terra
Orbite di trasferimento Terra-Luna
Immissione in orbita lunare
Riscontri osservativi
Lo studio della dinamica orbitale è senz'altro il metodo più diretto per affrontare i fenomeni legati al campo
gravitazionale. Poiché però la dinamica di sistemi a molti corpi, come il sistema solare, è piuttosto complicata
(vedi la prossima sezione), si propone qui un passo intermedio, dove i corpi presi in esame sono solo due.
Si può partire da una campagna osservativa per analizzare il moto della Luna. Elementi per una serie siffatta
di osservazioni sono già stati forniti nel paragrafo precedente (Spunti per esperimenti) e possono essere
ulteriormente arricchiti. Una volta compresi bene i movimenti della Luna, ci si può chiedere cosa
succederebbe alla sua orbita se la massa della Terra diminuisse o aumentasse: questo può essere fatto
molto semplicemente con un piccolo programma che calcoli l'orbita non perturbata di un oggetto attorno ad
un altro. La visualizzazione dei fenomeni darà la possibilità di acquisire una “sensibilità” alla funzione della
massa del corpo centrale.
Si potrebbe poi affrontare il problema di inviare una sonda verso la Luna. Vi sono varie fasi in questa
operazione: immissione della sonda in orbita terrestre (orbita di “parcheggio”); calcolo della spinta
necessaria per immettere la sonda in un'orbita di trasferimento; calcolo della manovra necessaria a
immettere la sonda in un'orbita di “parcheggio” attorno alla Luna. Queste manovre sono state effettuate (e
sono ampiamente pubblicate) per mandare gli astronauti delle missioni Apollo sul satellite: lo studio si
potrebbe qui avvalere di qualche video o diapositiva sulle missioni Apollo.
Il sistema planetario e i sistemi di satelliti
Sistemi a molti corpi
Le orbite planetarie
Variando la massa…
Satelliti con orbite stabili e no
Riscontri osservativi
Questo studio può basarsi sull'osservazione diretta (con binocolo o telescopio) dei satelliti galileiani e dei
loro moti, nonché sul confronto tra le orbite dei pianeti attorno al Sole e quello che di essi noi possiamo
vedere dalla Terra. E’ particolarmente utile questo approccio per facilitare il lavoro di astrazione da una
posizione geocentrica, e facilitare il cambio mentale di sistema di riferimento.
La dinamica dei sistemi a molti corpi è però molto complessa e non è possibile studiarla con poche e
semplici formule. Per rendersi conto dei fenomeni connessi con l'interazione di vari campi gravitazionali è
senz'altro necessario ricorrere a programmi (ormai difficili, da prendere a scatola chiusa) che visualizzino
l'evoluzione temporale del sistema solare. Tali programmi possono essere utilizzati per esaminare, ad
esempio, cosa succede al variare delle masse dei singoli corpi, o al variare della distanza dei satelliti dai
rispettivi pianeti: è un lavoro che porta dritto al grosso (e ancora in parte irrisolto) problema della stabilità
orbitale.
Interazioni gravitazionali
Il piano energia-eccentricità
Gli incontri ravvicinati
Salti di orbita e catture satellitarie. Il caso delle comete
Risonanze e librazioni. Il caso degli asteroidi
Sistemi senza campo centrale
Riscontri in letteratura
Un metodo sofisticato di affrontare i problemi connessi con la dinamica in un campo gravitazionale è quello
di indagare le interazioni gravitazionali. Per far ciò si deve disporre di un programma, come il precedente,
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che calcoli l'evoluzione di un sistema per un certo intervallo di tempo. Si potrà allora immettere in questo
sistema un oggetto di piccola massa, come una cometa, e costringerlo a passare vicino ad un pianeta
(incontro ravvicinato): l'effetto sarà sorprendente.
La descrizione degli effetti di incontri gravitazionali richiede di ricorrere a grafici non esattamente intuitivi, che
necessitano di una certa spiegazione. Una volta afferrato il meccanismo, tuttavia, queste rappresentazioni
hanno una grande potenza illustrativa (e anche predittiva).
L'evoluzione dell'orbita di una cometa o di un asteroide porterà anche ad affrontare discorsi più “esotici”,
come quelli connessi con le risonanze e le librazioni. Questi fenomeni sono di grande importanza, ad
esempio, per spiegare l'attuale struttura della fascia asteroidale, o degli anelli di Saturno.
Un discorso a parte meritano quei sistemi dove non esiste un grosso corpo centrale, come gli ammassi di
stelle e le galassie. Anche questi sistemi possono essere indagati con lo stesso programma (in una
versione più complessa, che richiede una discreta potenza del calcolatore usato). Si possono creare “miniammassi di una decina o ventina di stelle e studiare la loro dinamica.
Navigazione interplanetaria
Vettori e motori
Viaggio su Marte. Le “finestre di lancio”
Il “gravity assist”
La missione Voyager
Riscontri in letteratura
La navigazione interplanetaria pone delicati problemi che coinvolgono tutti i gruppi di esperienze appena
presentati. La sua trattazione può cominciare da un excursus storico sulle tappe dell'esplorazione spaziale
dallo Sputnik alla missione Cassini. Col passare degli anni e il migliorare delle tecnologie le missioni spaziali
hanno visto un aumento e quindi un declino di popolarità. Non è tuttavia noto al grande pubblico quanto si
sta facendo per migliorare non le tecniche (che richiedono grandi investimenti in un periodo di forti
contrazioni della spesa spaziale), ma lo “sfruttamento” del campo gravitazionale. L'individuazione di
“finestre” di lancio opportune, la pianificazione degli incontri ravvicinati che forniscono energia (i “gravity
assist”) e la stesura di piani di volo complessi richiedono una potenza di calcolo notevole, che in taluni casi
deve tener conto di minime influenze come gli effetti relativistici e la deriva dei continenti (che allontana, sia
pur di pochissimo, le antenne riceventi a terra).
Non si pretende certo di poter riprodurre o utilizzare queste tecniche sofisticate (anche se un buon PC
sarebbe in grado di farlo), ma si possono individuare alcuni problemi semplici da un punto di vista dinamico
che possono dare un’idea di quanto fanno le agenzie spaziali di tutto il mondo.
Una prima prova da fare è di inviare una sonda su Marte. Questo richiede di determinare la finestra di lancio
più favorevole mediante prova ed errore (ce n’è una ogni paio d’anni). Una seconda prova potrebbe essere
quella di utilizzare il campo gravitazionale di Giove per spedire una sonda fuori del sistema solare, come è
stato effettivamente fatto nel caso della missione Voyager. Lo studio delle fasi di questa missione, che può
essere abbastanza facilmente riprodotta con un calcolatore, è molto illuminante sulle possibilità che
abbiamo, all'interno del sistema, di andare in giro con relativamente poca spesa.
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Esempi di Unità Didattiche
1. UNITÀ DIDATTICA ELABORATA PER GLI ALUNNI DI UNA CLASSE QUINTA
ELEMENTARE, DAI DOCENTI DEL 192° CIRCOLO “SANTI SAVARINO”: ERNESTO
D’AQUINO, ANTONELLA MASETTI, PATRIZIA ROSSI
UNITA’ DIDATTICA
LA GRAVITA’ TI BUTTA GIU’
OBIETTIVI
Alla fine del percorso gli studenti dovrebbero aver compreso:
Senza la resistenza dell’aria, tutti gli oggetti cadrebbero con la stessa accelerazione, indipendentemente
dalla massa.
La gravità è la forza che determina la caduta degli oggetti.
La resistenza dell’aria, un tipo di attrito, agisce contro la gravità per diminuire l’accelerazione di un corpo
in caduta.
STANDARDS ACCADEMICI
Conoscere i concetti essenziali riguardanti la composizione e la struttura dell’universo e il posto che la terra
occupa al suo interno.
Conoscere le caratteristiche e i modelli di movimento dei nove pianeti all’interno del nostro sistema
solare ( ad esempio, i pianeti differiscono in misura, composizione e superficie terrestre; i pianeti si
muovono intorno al sole descrivendo delle orbite ellittiche; alcune pianeti hanno lune, anelli di particelle e
altri satelliti orbitano intorno a loro).
Sapere che la forza gravitazionale mantiene i pianeti in orbita intorno al sole e le lune in orbita intorno ai
pianeti.
Sapere che, sebbene l’origine dell’universo rimane una delle più grandi questioni della scienza, la prova
scientifica corrente supporta la teoria del “big bang”, che cita che tra i 10 e i 20 bilioni di anni fa, l’intero
universo si espanse in un’esplosione nell’esistenza da una singola, calda, densa massa caotica; il nostro
sistema solare si formò da una nuvola di polvere e gas circa 4,6 bilioni di anni fa.
Conoscere i modi nei quali la tecnologia si è evoluta nel nostro comprendere l’universo (ad esempio
raggi x telescopici collezionano informazioni sull’universo da onde elettromagnetiche; i computers
interpretano vasti ammontare di dati dallo spazio; le sonde spaziali collezionano informazioni da punti
distanti del sistema solare; gli acceleratori ci permettono di simulare condizioni nel sistema stellare e
nelle prime storie dell’universo).
Conoscere i tipi di forze che esistono tra gli oggetti e i tipi di atomi.
Comprendere i concetti generali relativi alla forza gravitazionale ( per esempio, ogni oggetto esercita una
forza gravitazionale su ogni altro oggetto; questa forza dipende dalla massa degli oggetti e dalla distanza
dell’uno con l’altro; la forza gravitazionale è difficile da percepire, a meno che uno degli oggetti, ha una
quantità di massa considerevole).
Sapere che la forza gravitazionale tra le due masse è proporzionale alle masse e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza fra loro.
Capire i modi in cui la scienza e la società si influenzano l’una con l’altra (ad esempio, la conoscenza
scientifica e le procedure usate dagli scienziati influenzano la maniera in cui molti individui pensano di
loro stessi, degli altri e dell’ambiente; le sfide della società spesso ispirano domande per ricerche
scientifiche; priorità sociali spesso influenzano le priorità della ricerca attraverso la disponibilità di fondi di
ricerca.
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Capire che la creatività, l’immaginazione e una buona conoscenza sono i requisiti di base nel lavoro di
scienza e di ingegneria.
Comprendere come la vita si sia adattata alle condizioni sulla Terra (ad esempio, la forza di gravità che
permette al pianeta di ritenere una adeguata atmosfera, un’intensità di radiazione dal sole che permette
all’acqua di ciclizzarsi tra liquido e vapore).
MATERIALI
Un’ enciclopedia o un computer con accesso ad Internet dovrebbe essere a disposizione di ogni studente. I
seguenti materiali dovrebbero essere forniti ad ogni gruppo:
Una varietà di coppie di oggetti, come palle di differente grandezza e peso, o un libro e un foglio di
cartoncino della stessa lunghezza e peso del libro.
Oggetti come una piuma o un foglio di carta, che rispetto ad altri oggetti incontrino maggior resistenza
dell’aria quando vengono lasciati cadere.
PROCEDIMENTO
Chiedere agli studenti se ipotizzano che un oggetto più largo o più pesante, se lasciato cadere da
un’altezza, cadrà più velocemente a terra rispetto ad un oggetto più piccolo o più leggero. Informateli che
Galileo attuò un famoso esperimento e che loro lo ripeteranno al fine di confermare o confutare le loro
previsioni.
Fare in modo che gli studenti usino Internet o un’enciclopedia per ricercare l’esperimento di Galileo nel
quale egli lasciò cadere gli oggetti dalla Torre di Pisa in Italia.
Dividere la classe in gruppi, fornendo ogni gruppo di una varietà di oggetti con cui sperimentare.
Coinvolgere e indirizzare ragazzi in modo tale che progettino loro stessi i propri esperimenti. Ricordar
loro che un buon esperimento dovrebbe presupporre il controllo ed introdurre solamente una variabile
alla volta. Ogni progetto sperimentale di gruppo dovrebbe includere un grafico sul quale registrare i
risultati di ogni test rappresentato.
Fare in modo che gli studenti esperimentino con coppie di oggetti, lasciandoli cadere uno alla volta
mentre si sta su una sedia o su una cattedra. Gli altri studenti del gruppo dovrebbero osservare da vicino
mentre un oggetto raggiunge il pavimento prima di un altro o se entrambi gli oggetti raggiungano il
pavimento contemporaneamente. Gli altri studenti dovrebbero registrare attentamente i risultati sui loro
grafici. Gli studenti, inoltre, dovrebbero scoprire che palle di peso e grandezza differente cadono alla
stessa velocità, come fa un libro o un foglio di cartone della stessa grandezza di un libro.
Quando gli studenti provano a lasciar cadere una piuma o un foglio di carta dalla stessa altezza dalla
quale hanno lasciato cadere gli altri oggetti, essi scopriranno che la piuma e il foglio di carta cadranno
più lentamente. Suggerite che appallottolino un foglio di carta e lo lascino cadere dalla stessa altezza.
Scopriranno che la palla di carta cade sul pavimento in minor tempo che il foglio lasciato steso.
Fare in modo che gli studenti si incontrino nei loro gruppi per discutere le possibili ragioni di questi
risultati. Essi dovrebbero saper concludere che la resistenza dell’aria è un tipo di attrito, fa rallentare la
piuma e un foglio di carta.
Chiedere agli studenti cosa pensano che accadrebbe se rappresentassero lo stesso esperimento in un
tubo sottovuoto, che non contenga aria. ( La piuma cadrebbe nello stesso spazio di tempo di una palla).
Ogni studente dovrebbe scrivere una relazione spiegando i risultati dell’esperimento e disegnando
conclusioni riguardanti gli effetti sia della gravità che della resistenza sull’accelerazione della caduta
degli oggetti. Incoraggiare gli studenti ad accompagnare i loro paragrafi con disegni e diagrammi..
ADATTAMENTI PER STUDENTI DI MAGGIORE ETA’
Fare in modo che gli studenti conducano ricerche sulle tre leggi del moto di Newton. Essi dovrebbero
identificare la legge che si costruisce sugli esperimenti di Galileo sulla gravità.
Temi di discussione.
Descrivere come il corpo umano si sia adattato alla forza di gravità sulla terra lungo gli anni e come potrebbe
essersi evoluto se la gravità non fosse stata presente.
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Paragonare la forza di gravità sulla Terra con la forza di gravità su uno degli altri pianeti nel nostro sistema
solare. Quali pianeti esercitano una maggiore forza di gravità? Quali potrebbero essere gli effetti sul fisico
degli astronauti se dovessero visitare questo pianeta per un periodo di tempo prolungato?
Descrivere quali aspetti fisici sulla superficie della Terra furono influenzati dalla gravità durante la loro
formazione o che sono tuttora influenzati . Questi aspetti cambierebbero se la forza gravitazionale della
Terra fosse significativamente più forte o più leggera?
Discussione sulle tre leggi del moto di Newton. Quale legge o leggi comprendono la forza di gravità? Dare
esempi di ogni legge di moto che accadono nella vita di tutti i giorni.
Le montagne russe sono di solito progettate per dare a chi le prova il senso di sfida alle leggi di gravità.
Alcune volte la macchina più indietro si muove relativamente più veloce delle altre grazie all’accelerazione
dovuta alla gravità ed altre volte la prima macchina va leggermente più veloce. Avendo questo in mente,
quale sedia di una serie di macchina da montagne russe fa più spavento? Come potrebbero i progettisti
delle montagne russe fare una serie di macchine che diano la più grande sensazione di spavento ai
passeggeri?
Descrivere gli esperimenti di gravità condotti da Galileo, Newton e Cavendish. Cosa avevano di simile questi
esperimenti? Come questi scienziati hanno costruito sulle loro ricerche e osservazioni vicendevoli le loro
scoperte?
ESTENSIONI
Il pendolo che oscilla
Uno degli esperimenti-chiave di Galileo comprese l’osservazione del pendolo: usando una varietà di
lunghezze differenti e di pesi differenti, egli annotò attentamente ogni periodo del pendolo ( il tempo che
impiega un pendolo per fare una completa oscillazione). Le osservazioni di Galileo gli hanno permesso di
determinare che il periodo di oscillazione di un pendolo dipende dalla sua lunghezza, ma non dal suo peso.
Un’osservazione che può andar contro a ciò che gli studenti intuitivamente si aspettano. Per cominciare
quest’ attività, iniziare una discussione in classe sul fatto che gli scienziati non possono contare sulle
intuizioni soltanto, ma devono rappresentare gli esperimenti per provare le loro ipotesi. Chiedete ai vostri
studenti di riprodurre gli esperimenti del pendolo di Galileo, usando varie lunghezze, con differenti rondelle
attaccate su di esse. Gli studenti dovrebbero misurare ogni lunghezza di pendolo, peso e periodo,
assicurandosi che essi tengano stabili l’ampiezza o l’angolo al quale il pendolo è compatibile. Quando le loro
osservazioni sono complete, raccoglietele in un grafico per garantire un riferimento utile e facile.
SFIDARE LA GRAVITA’ NELLA VOSTRA CASA
Considerati i recenti sviluppi nei programmi spaziali intorno al mondo, non ci vorrà molto tempo prima che gli
uomini possano vivere per un lungo tempo nello spazio esterno, non solo astronauti, ma famiglie intere. Fate
in modo che i vostri studenti immaginino che le loro case siano per essere trasportate in un’orbita intorno alla
Terra; poi, chiedetegli di progettare una stanza che potrebbe esistere in uno spazio microgravitazionale nello
spazio. Le descrizioni degli studenti dovrebbero essere dettagliate: come, per esempio, essi possono
prevenire che il cibo fluttui, galleggi sopra i piatti delle cucine? Come potrebbero rimanere sdraiati sul letto,
mentre dormono? Si potrebbe iniziare con l’elencare una lista di attività comuni che sono rappresentate in
ogni stanza in una casa standard; poi, assicuratevi che gli studenti prendano in considerazione tutti i loro
bisogni. Se il tempo lo consente, gli studenti possono costruire un modello della loro stanza nuovamente
progettata. Si può anche suddividere gli studenti in gruppi e fare in modo che ogni gruppo lavori insieme per
progettare un modello di casa nello spazio esterno.
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2. GRUPPO DOCENTI SCUOLA MEDIA: DANIELA LAZZARINI, ANNA SIMONELLI
L’unità di lavoro è pensata per una seconda media e ha lo scopo di realizzare un’attività di laboratorio che,
attraverso lo svolgimento di un’esperienza pratica, contribuisca a fare maggiore chiarezza sul
comportamento degli oggetti in caduta libera.
La caduta dei gravi risulta, tra i vari tipi di moto, uno dei più “graditi” agli alunni, forse perché lasciare cadere
oggetti è, probabilmente, una delle prime esperienze divertenti e “interessanti” per i bambini fin dalla
primissima infanzia: è tipico il lancio degli oggetti dal seggiolone, quindi la gravità è una delle loro prime
scoperte.
Ma la caduta è un fenomeno complesso, se non altro per il fatto che non tutti i corpi cadono allo stesso
modo e che, nell’aria, la caduta è in qualche modo legata al peso dell’oggetto.
Per questo il concetto più naturale che i ragazzi posseggono è quello che “il corpo più pesante arriva al
suolo prima di quello più leggero”.
Ma cosa si intende per caduta libera, ovvero, quando un corpo può essere considerato in caduta libera?
Sarà interessante collocare storicamente lo sviluppo dei concetti che si incontrano, coinvolgendo in questo
anche gli altri docenti del consiglio di classe.
Descrizione dell’unità di lavoro
Titolo dell’unità
In caduta libera…
Docenti coinvolti
Consiglio di classe
Discipline/ ambiti
Ambito
scientifico
–
matematico, ambito storico
Fascia scolare a cui è rivolta l’unità
Seconda media
Prerequisiti
tecnologico,
ambito
Concetti di spazio, tempo, velocità, accelerazione e relative
unità di misura
Concetti di massa e peso
Media aritmetica
Concetto di proporzionalità diretta e inversa
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Obiettivi educativi
Obiettivi cognitivi
Saper argomentare e motivare le proprie opinioni
Acquisire consapevolezza dell’errore intrinseco al fare
Saper discutere su fatti, fenomeni, dati, risultati di una
esperienza
Saper procedere applicando il metodo scientifico
Comprendere che il tempo di caduta libera di un grave è, in
determinate condizioni, indipendente dalla massa
Comprendere come la resistenza dell’aria influisca sulla
caduta libera di un grave
Comprendere che le misurazioni effettuate sono soggette
ad errori
Saper effettuare misure di tempo
Saper ordinare dati in una tabella
Saper riportare i dati su un grafico e saperlo leggere
Saper formulare ipotesi
Saper controllare sperimentalmente le proprie ipotesi.
L’attività inizia con l’accertamento del possesso dei prerequisiti e
delle conoscenze.
Aristotele sostiene che i corpi cadono con
diretta con il proprio peso, cioè che un corpo
cade velocemente, mentre Galileo dice che
niente: la velocità di caduta è proporzionale
tempo trascorso nella caduta.
una proporzionalità
più è pesante e più
il peso non c’entra
non al peso, ma la
Si parte, allora, da una semplice domanda, intenzionalmente vaga:
”Se si lasciano cadere due oggetti contemporaneamente, quale
arriva prima a terra?”
Descrizione dell’unità
La domanda sicuramente stimolerà una discussione sui concetti di
forma, peso, resistenza dell’aria…, che ci permetterà di passare
alla fase sperimentale. Prima di fare questo si potranno effettuare
alcune esperienze preliminari indirizzate a sondare l’effetto della
massa e della forma sulla caduta dei gravi, utilizzando:
oggetti con stessa forma ma di diversa massa (due
bottigliette di plastica di forma sufficientemente
aerodinamica, uguali, ma una riempita di acqua e l’altra
semivuota; una pallina di metallo e un batuffolo di cotone
delle stesse dimensioni);
oggetti di stessa massa ma di forma diversa (un foglio
aperto e un altro uguale ma appallottolato).
Se facciamo cadere una pallina di metallo e un batuffolo di cotone è
evidente che non cadono con la stessa velocità e allora sembra
aver ragione Aristotele; ma se usiamo le due bottigliette uguali, una
piena di acqua e l’altra semivuota, comincia a insinuarsi qualche
dubbio che induce a riprendere in considerazione la tesi galileiana:
infatti, poiché esse “tagliano” l’aria piuttosto bene, cadono a terra
pressoché nello stesso istante, se lanciate contemporaneamente.
Lasciando, infine, cadere i due fogli uguali nella massa e diversi
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nella forma rendiamo più evidente che la resistenza dell’aria gioca
la sua parte.
La forma degli oggetti è, dunque, fondamentale quando c’è l’aria.
In realtà l’esperienza di Galileo è “verificabile” solo nel vuoto:
avendo a disposizione un tubo di Newton si può ben vedere che
due oggetti molto diversi come una piuma e una sferetta di piombo
cadono nello stesso istante.
Si farà notare che gli oggetti utilizzati nelle esperienze sono in
caduta libera perché non oppongono alcuna resistenza alle forze
che agiscono su di essi.
Con l’attività di laboratorio, che seguirà questa fase di discussioni e
di considerazioni, si calcoleranno i tempi di caduta.
Si lascerà cadere più volte la boccetta piena e si calcoleranno i
tempi di caduta, poi su ripeterà l’esperienza con quella semivuota..
I ragazzi verranno divisi in gruppi e ogni gruppo sarà munito di un
cronometro.
Ad ogni caduta uno dei ragazzi prenderà il tempo con il cronometro
e un altro registrerà il valore su una tabella.
Il problema di calcolare con esattezza i tempi di caduta non è di
scarso rilievo: il suono ha una sua velocità di propagazione, quindi,
se
si registra l’istante di atterraggio basandosi sul rumore
dell’oggetto che arriva a terra, si farà certamente un “errore” di
misura….Questa ed altre considerazioni sicuramente nasceranno
nel corso dell’esperienza: sarà compito dell’insegnante,
evidenziarle e sollecitare la discussione.
Al termine della fase sperimentale si procederà al confronto dei
tempi di caduta e si calcoleranno le medie.
Per ottenere valori significativi sarà opportuno lasciar cadere
l’oggetto da un’altezza adeguata, ad esempio da un primo piano
della scuola, con in insegnante in aula a controllare il gruppo di
lavoro in classe, ed un altro nel cortile con l’altro gruppo.
Si sottolinea la necessità di ripetere più volte ( almeno 10) la prova
per il problema degli errori nella misurazione dei tempi.
I dati raccolti verranno sistemati in una tabella e si procederà ad
una analisi quantitativa tramite la realizzazione di un grafico.
L’attività potrà esser completata con l’elaborazione dei dati nel
laboratorio di informatica.
Possibili estensioni dell’attività:
Anche i corpi celesti sono in caduta libera
Osservazione diretta del cielo per scoprire che, oltre al Sole
e alla Luna, ci sono altri corpi visibili ad occhio nudo, che si
spostano secondo un proprio ritmo lungo percorsi simili fra
loro
Le orbite dei Pianeti e lo studio delle coniche
Costruzione di un modello che permetta di visualizzare il
moto dei Pianeti e che mostri e giustifichi le anomalie del
loro percorso, osservato dalla Terra
La crisi del sistema Tolemaico e la necessità del passaggio
al modello Copernicano per spiegare il moto dei Pianeti
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L’intervento si baserà sulla partecipazione attiva degli alunni, sia
durante la progettazione e la realizzazione dell’esperienza, che
nella fase successiva di elaborazione dei dati raccolti.
Si procederà attraverso:
Metodologia di lavoro
Tempo complessivo
Strumenti e risorse
Percorso di valutazione
Analisi dei prerequisiti
Sistemazione delle conoscenze attraverso discussione
Attività di laboratorio
Lezione dialogata
Verifica finale
10 ore
Quaderni e fogli di carta
Bottigliette di plastica resistenti
Plastilina
Cronometri
Carta millimetrata
Lavagna, gesso
Laboratorio multimediale
La valutazione si può fare in itinere, attraverso considerazioni,
discussioni e riflessioni sul lavoro che si sta svolgendo.
Al termine dell’attività si possono proporre questionari con domande
a risposta chiusa, domande a risposta aperta e frasi da completare.
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3. UNITÀ DIDATTICA ELABORATA DALLE
MICHELA MERO, ZELINDA DI BATTISTA
CORSISTE
GIUSEPPINA COTRONEO,
TITOLO
I moti celesti e i moti terrestri
DOCENTI COINVOLTI
Zelinda Di Battista (Italiano – Latino)
Giuseppina Cotroneo (Matematica – Fisica)
Michelina Mero (Matematica – Fisica)
DISCIPLINE/AMBITI
Italiano, Latino, Filosofia, Matematica, Fisica
FASCIA SCOLARE
Classe IV Liceo Scientifico
Obiettivi Generali
I Criteri di selezione adottati dai docenti delle Materie coinvolte per la scelta dei contenuti disciplinari hanno
tenuto presente i seguenti criteri:
motivare le scelte didattiche in funzione del significato che possono assumere oggi per i giovani in
generale e per studenti di Liceo Scientifico in particolare
dare la priorità ai testi ed alle esperienze scientifiche, “montandoli” in funzione delle scoperte da
compiere
tenere fissi i moduli storico-culturali e su di essi innestare il Tema scelto
scegliere i contenuti disciplinari e le forme di fruizione (dal testo al Film al CD) di tipologie diverse,
per dare agli studenti un’idea della pluralità di approcci possibili al tema affrontato.
Area Umanistica:
Storicizzare il tema, comprendendone la funzione nell’immaginario collettivo e nei modelli culturali di
un’epoca;
Comprendere analogie e differenze tra opere, fatti, fenomeni tematicamente confrontabili;
Riconoscere la continuità di elementi tematici e culturali attraverso il tempo e la loro persistenza nei
prodotti della cultura recente, anche di massa.
Area Scientifica:
Migliorare le proprie capacità di astrazione, attraverso l’uso di modelli matematici sempre più generali;
saper vagliare le informazioni ricevute e distinguere quelle essenziali da quelle superflue, attraverso
l’analisi dei dati di un problema;
comprendere che la scienza si costruisce poco a poco sulla base delle conoscenze precedenti, nel
tentativo di correggere le incongruenze che inevitabilmente si presentano e che pertanto anche gli errori
sono costruttivi , a patto di non avere”certezze” e di essere pronti a mettere in discussione le proprie
idee.
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Finalità educative
Favorire la formazione di quelle mentalità aperte che sappiano guardare il mondo nella sua complessità
di fattori non solo scientifici e sappiano cogliere le profonde interrelazioni che corrono tra i tanti aspetti
del presente, attraverso uno studio interdisciplinare in cui si trovi ad esser superato la contrapposizione
tra umanesimo e scienza e da cui l’alunno impari a cogliere i nessi tra le varie discipline;
sviluppare quel processo di formazione umana potenziando le capacità di socializzazione e di
integrazione dell’individuo nell’ambiente attraverso una conoscenza “materiale” e “formale2 della realtà,
cipoè del valore umano, morale, personale che tali realtàincludonoe nella quale la persona può
esprimersi.
Di qui, la condivisione degli obiettivi didattici, delle finalità, del metodo di analisi utilizzati dagli insegnanti
coinvolti, condivisione che dovrà portare la classe a realizzare come risultato concreto un Lavoro di Ricerca.
Obiettivi Specifici
Area Umanistica:
riconoscere analogie tematiche tra i Fenomeni del passato ed i prodotti della cultura attuale;
comprendere l’intreccio di fattori individuali e sociali nella formazione di uno scrittore, un periodo
letterario, un fenomeno culturale e riconoscerne le eventuali fasi evolutive;
stabilire un rapporto fra opera e intenzioni di poetica attraverso la lettura diretta e critica dei Testi;
orientarsi nel rapporto tra influenze della tradizione e originalità;
sviluppare il gusto della lettura;
applicare analisi tematiche, stilistiche e narratologiche;
collocare un’opera nel contesto storico-culturale;
saper formulare un giudizio motivato in base al gusto personale o a un’interpretazione storico-critica.
In particolare:
elaborare una procedura valida che guidi gli studenti alla interpretazione del testo scientifico;
abituare gli studenti allo studio del lessico per:
o
individuare il valore semantico generale delle parole
o
individuare le parole – chiave della Cultura Scientifica Latina ed Italiana
o
istituire relazioni tra la dimensione letteraria di un fenomeno e altre espressioni artistiche e
culturali
Area Scientifica:
consapevolezza che la fisica costruisce modelli capaci di descrivere al meglio la realtà, ma che ogni
modello ha dei limiti di cui è necessario tener conto;
capacità di utilizzare conoscenze matematiche per risolvere problemi di fisica;
organicità nell’acquisizione dei contenuti;
consapevolezza dello stretto legame tra fisica e astronomia , con particolare riguardo al moto dei pianeti
nel sistema solare;
consapevolezzadello stretto legame tra fisica e cosmologia , con particolare riguardo alle previsioni del
futuro dell’universo;
saper operare correttamente con gli strumenti concettuali e con le grandezze fisiche adatte alla
descrizione del moto di un corpo;
68
acquisire i passi fondamentali che condussero dalla visione di un Universo geocentrico ad un Universo
eliocentrico;
saper descrivere i contributi di Brahe, Galileo nell’affermazione del sistema copernicano;
comprendere il significato della legge di gravitazione universale di Newton;
saper applicare la legge di gravitazione universale alla soluzione di alcuni problemi relativi ai pianeti e ai
satelliti;Acquisire nuove tecniche di laboratorio, sfruttando le potenzialità dei mezi informatici;
informazioni sulle attuali prospettive di ricerca.
Prerequisiti
Per poter sviluppare l’Unità Didattica, la classe deve essere in possesso dei seguenti pre-requisiti:
Area Umanistica:
saper stabilire il rapporto tra caratteri del genere e attese del pubblico;
saper riconoscere persistenze e variazioni , tematiche e formali, del tema attraverso il tempo e lo spazio;
saper inquadrare cronologicamente Autori e Correnti principali;
saper cogliere le linee fondamentali della Storia letteraria nella sua prospettiva storica;
saper usare le regole morfo-sintattiche latine per la comprensione e traduzione di un Testo.
Area Scientifica:
conoscere le tecniche di soluzione di equazioni e sistemi di primo, secondo e di grado superiore;
saper rappresentare ,leggere ed interpretare un grafico di funzioni che esprimono la dipendenza di
grandezze fisiche;
possedere il concetto di vettore, saper operare con le operazioni, scomposizioni di vettori;
possedere anche se a livello intuitivo il concetto di “passaggio al limite” e di “istantaneo”;
conoscere le tre leggi della dinamica;
conoscere il concetto do momento angolare;
conoscere le leggi del moto circolare uniforme.
Argomenti principali
LATINO
Il latino come Lingua universale della Comunicazione Scientifica: dal significato delle parole all’elaborazione
dei concetti.
La terminologia scientifica desunta dal Lessico latino; la Storia delle parole come: habitat, video, audio,
missile, automobile, legge gravitazionale, ecc.
Perché nel mondo della Scienza e della Tecnica si preferisce coniare parole dalle Lingue “morte”, come
il Greco ed il Latino?
Storia Letteraria ed Antologia di Autori Classici:
Breve storia della Scienza antica.
o
L’Epistème e la Techne come sinonimi nell’attività dello scienziato-filosofo.
o
L’Età Ellenistica e la progressiva separazione tra le Scienze esatte e la Filosofia.
o
La Nascita del Museo e della Biblioteca di Alessandria.
Caratteristiche della Cultura scientifica latina e sua dipendenza da quella greca.
69
o
o
Valutazione oggettiva e razionale dei dati dell’esperienza e costruzione di modelli in grado di
spiegare i fenomeni. ( De rerum Natura I, vv. 265 – 279 e 298 – 328)
o
Nulla si crea e nulla si distrugge ( De rerum Natura I, vv. 146 – 214 e 215 – 264) Confronto
con il Principio di Conservazione della materia.
o
Il tempo di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa (De Rerum Natura, II, vv. 230
– 239) Confronto con la Teoria di Galileo.
Seneca: la consapevolezza dell’esistenza di forze di attrazione reciproca dei corpi celesti
Naturales Quaestiones, VII, 1, 3,; 2,3; 25,1,2, 6. Confronto con la Legge di Gravitazione
Universale.
Vitruvio: descrizione di uno strumento: il Contachilometri
o
De Architectura, X, 9, 1-5
Il Medioevo: il modo di pensare “segnico” della Scienza medioevale
Bernardo da Chiaravalle ed il comportamento “Scientifico” nel Medioevo
o
Varrone
Un primo esempio di atteggiamento (pre) scientifico: Lucrezio
o
Aspetto “pratico” della cultura scientifica latina. Due esempi: Catone il Censore
Reatino.
Sententiae, I, 19
Bonaventura da Bagnoregio: per operare “scientificamente” è necessario un corretto atteggiamento
mentale
o
Itinerarium mentis in Deum. Prologo
o
Lo Scienziato deve riflettere sui meccanicismi che gli permettono di operare
o
Itinerarium mentis in deum, cap. III
Niccolò Copernico e la Scienza Moderna
o
“De Revolutionibus Orbium Caelestium”. Analisi linguistica e tematica del Titolo e dei termini
Revolutio – Orbis - Caelestis . Loro significato nel Presente.
o
Sulla sfericità del mondo e della terra, Op. Cit., I, 1; II
Galileo Galilei e la Rivoluzione Scientifica
o
Sidereus Nuncius: Il Cannocchiale.
ITALIANO
Dante astronomo e cosmologo
Passi del Convivio e della Divina Commedia.
Galileo Galilei: il Metodo scientifico applicato alla Letteratura
Due Lezioni all’Accademia fiorentina circa la figura, sito e grandezza dell’Inferno di Dante (1588).
Il Nuovo linguaggio della Scienza: la scelta del volgare.
Le lettere copernicane.
MATEMATICA E FISICA
I moti terrestri e i moti celesti da Galileo a Newton
“..la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto inanzi agli occi ( io
dico l’universo) ma non si può intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscere i caratteri,
70
nei qiuali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure
geometriche , senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un
aggirarsi vanamente in un oscuro labirinto” (Galileo – Il Saggiatore )
Il Metodo scientifico: “La via delle certe dimostrazioni”
Galileo capi l’importanza dello strumento come mezzo di potenziamento della propria capacità osservativa,
per questo accostò allo strumento matematico lo strumento scientifico. Da questo accostamento nacque in
G. lo studio razionale di fenomeni e problemi particolari che lo strumento matematico elaborava nella mente
e lo strumento scientifico verificava nella officina.Egli mutò la scelta degli obiettivi : la ricerca scientifica
consiste essenzialmente nella definizione e nella descrizione quantitativa di fenomeni particolari,
prescindendo dalla soluzione di problemi troppo ampi e dalla ricerca delle cause. A differenza di Aristotele
che aveva tentato di spiegare il “perché” dell’avvenimento fenomenico, G. abbandonò l’aspirazione alla
conoscenza causale proponendo di sostituirla con una descrizione quantitativa.Scopo del “metodo” diventa
quello di collegare la definizione astratta con le proprietà naturali: bisogna conoscere le leggi naturali e
prevederne i comportamenti sulla base di una corrispondenza tra legge e dato sperimentale. Il metodo
galileiano può essere sintetizzato nei seguenti punti:
osservazione dei fenomeni naturali , dalla quale si può formulare un’ipotesi universale; l’osservazione (la
"sensata esperienza" di Galileo);
la descrizione del fenomeno;
la formulazione di un’ipotesi che si riferisce alle osservazioni (che Galileo chiama "Assioma tal modo è
possibile eliminare le ipotesi false o dare consistenza a quelle vere;
l’esperimento che dovrebbe convalidare o confutare l’ipotesi (il "cimento sperimentale")
la tesi, legge che esprime i risultati ottenuti.
Nel primo passo il fisico coglie gli aspetti salienti del fenomeno che permettono di descriverlo
schematizzandolo. Ovviamente non e' possibile descrivere qualsiasi processo senza riferirsi all’intuito,
all’esperienza e alla sensibilita' dello sperimentatore.La seconda fase consiste generalmente nel formulare
una legge matematica che si accordi il piu' possibile con le osservazioni sperimentali.Il passaggio dalla prima
alla seconda fase e' un'inferenza induttiva, per cui da un’insieme di osservazioni particolari si giunge ad una
affermazione generale.Il passo successivo e' quello che consiste nel ricavare il maggior numero di
conseguenze, e percio' di previsioni, a partire dalle ipotesi. Questa fase, che consiste in una inferenza
deduttiva, si avvale del supporto della matematica. Lo sforzo di deduzione si accompagna anche a quello di
sistemazione. La quarta fase e' quella della verifica sperimentale , in quanto si accetta il principio che, se
una legge fisica e' vera, tutte le conseguenze che da essa si possono dedurre matematicamente devono
essere confermate dall’esperienza entro i limiti dell’incertezza delle misure.Il presupposto che sottende la
fase dell’esperimento e' che questo, se ripetuto nelle stesse condizioni, fornira' gli stessi risultati. Cio'
permette di confrontare i risultati in laboratori diversi, di ripetere quante volte si vuole l’esperimento per
migliorare la precisione dei risultati. La fisica “ideale” di Galileo è una forma di conoscenza , che trascura
volutamente certi aspetti del mondo particolare –empirico per valorizzare acquisizioni e traguardi di ordine
universale,astratto,suscettibili di essere formalizzati e tali da consentire a loro riguardo l’enunciazione di
leggi rigorose.
I moti terrestri : Un esempio di fisica ideale è l’indagine sulla caduta dei gravi
…”i mobili grandi e i piccoli ancora , essendo della medesima gravità in spezie, si muovono con pari
velocità”.
Galileo non fu il primo a studiare il moto dei corpi, infatti Aristotele fu il primo a studiare i moti terrestri in
modo sistematico.Secondo Questi “tutto ciò che si muove è mosso da qualcos’altro”. Egli distingueva tra
“moti violenti” e” moti naturali”e per qualunque tipo di moti diede una spiegazione generale : la legge di
Aristotele che si può così esprimere “La velocità di un corpo è direttamente proporzionale alla forza che lo fa
muovere e inversamente proporzionale alla resistenza del mezzo in cui ha luogo il movimento”. Non stupisce
che queste conclusioni determinarono il successo della fisica aristotelica in quanto riportando ciò che scrisse
il Duhem “questa dinamica sembra adattarsi così bene alle osservazioni comuni che non poteva mancare di
imporsi immediatamente a coloro che per primi avessero riflettuto sulle forze e sui moti.”Solo intorno alla
metà del XIVsecolo Buridano criticò le ipotesi di Aristotele sul ruolo dell’aria nel moto violento di un corpo
pesante .Egli propose una nuova teoria secondo la quale un corpo può eseguire un moto violento in quanto
riceve dal suo lanciatore una “virtù motrice” interna chiamata impetus. Questa non rimaneva però
perennemente legata al corpo ma veniva consumata via via dalla resistenza del mezzo in cui il corpo si
71
muoveva. Anche nella teoria di Buridano rimanevano il carattere qualitativo della descrizione aristotelica e
termini e concetti che esprimevano uno stretto legame tra l’osservazione dei fenomeni e principi filosofici Il
primo Galileo affronta la teoria dell’impetus. Secondo G. quando una pietra sale verso l’alto , insieme al suo
peso , che le è proprio, ha acquisito anche una leggerezza , che inizialmente prevale sulla pesantezza è tale
“leggerezza accidentale” che rende possibile il moto.Ma è nelle opere della maturità che Galileo assume un
atteggiamento antiaristotelico dovuto alla scoperta dell’assoluta infondatezza delle teorie peripatetiche sul
moto , che ricercavano la causa fisica del movimento nella tendenza a raggiungere i “loci naturali”.
“…..moto eguale o uniforme intendo quello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi uguali, comunque
presi, risultano tra loro uguali…” (da le Nuove scienze )
Nel brano tratto da Le Due Nuove Scienze, G. parla del moto dei corpi in caduta libera. Egli comincia con
l’esaminare da un punto di vista matematico le caratteristiche di un moto possibile e particolarmente
semplice (quello che oggi chiamiamo moto uniformemente accelerato), e quindi avanza l’ipotesi che in realtà
il moto di caduta dei corpi pesanti sia proprio di questo tipo. Utilizza poi questa ipotesi per prevedere il
comportamento di una sfera che rotola lungo un piano inclinato e infine dimostra che gli esperimenti
confermano queste previsioni . Galileo ha introdotto due distinte affermazioni:
si ha un’accelerazione costante quando si verificano uguali incrementi di velocità v in uguali intervalli di
tempo t ;
nella realtà gli oggetti cadono proprio secondo questa legge.
Osserviamo più attentamente la definizione proposta da Galileo. Quello che abbiamo appena esposto non è
affatto l’unico modo possibile per definire un’accelerazione costante: Galileo stesso afferma di avere, in un
primo tempo, ritenuto opportuno l’uso del termine "accelerazione costante" nel caso di un moto in cui la
variazione di velocità è proporzionale allo spazio percorso, s, invece che al tempo percorso t. Entrambe le
definizioni possedevano quella semplicità che Galileo riteneva necessaria (e in realtà entrambe erano state
discusse fin dagli inizi del XIV sec.); inoltre, entrambe corrispondono abbastanza bene alla nostra idea
intuitiva di accelerazione. Nel linguaggio comune, affermare che un corpo sta "accelerando", può significare
sia che "la velocità cresce quando aumenta lo spazio percorso", sia che "la velocità cresce col passare del
tempo". Come possiamo scegliere una di queste definizioni e decidere quale sarà più utile nella descrizione
della natura? Il dilemma può essere risolto solo da una verifica sperimentale. Galileo scelse di dare il nome
di moto uniformemente accelerato a quello in cui la variazione di velocità v è proporzionale al tempo
trascorso t, per poi dimostrare che gli oggetti reali, sia in laboratorio sia nell’ esperienza quotidiana, non
"manipolata", si comportano in questo modo. Galileo aveva definito la accelerazione costante in modo che
corrispondesse alla sua ipotesi sul moto degli oggetti in caduta libera; doveva ora trovare un modo per
dimostrare che da essa era possibile ricavare una descrizione del moto dei corpi che effettivamente
osserviamo.
Supponiamo di far cadere un oggetto pesante da altezze diverse e di voler controllare se la velocità finale è
proporzionale al tempo di caduta, cioè se v t o, in altre parole, se v/t è costante. In ogni esperimento
dovremo misurare il tempo impiegato e determinare la velocità dell’oggetto immediatamente prima che
tocchi il suolo.Ci si potrebbe chiedere quale misura si riferisca davvero al tempo. Gli orologi antichi facevano
affidamento sulle ombre del sole (misuravano quindi delle posizioni),oppure contavano sull’acqua raccolta in
una bacinella (misure di volume o di peso)o l’uso delle clessidre (ancora misure di volume relative alla
sabbia).Gli orologi meccanici misuravano in realtà angoli ,distanze,ed altre quantità che potevano indicare il
tempo,ma non misurarlo.La realtà è che il tempo è un concetto astratto e non una grandezza fisica.E’ la
nostra soggettiva percezione del cambiamento che genera il tempo.Naturalmente si è giunti a formalizzare
questa “esperienza soggettiva” in una grandezza oggettiva. Purtroppo, ancora oggi sarebbe molto difficile
misurare direttamente la velocità di un oggetto che sta per toccare terra; non solo, ma anche i tempi di
caduta erano troppo piccoli perchè Galileo potesse misurarli accuratamente con gli orologi a sua
disposizione.Egli quindi non era in grado di controllare in maniera diretta se v/t fosse costante.
L’impossibilità di verificare con esperienze dirette la sua ipotesi cioè che v/ t è costante durante una
caduta libera, non fermò Galileo: egli cercò allora, con l’aiuto di metodi matematici, di ricavare dalla sua
ipotesi qualche altra relazione che potesse essere controllata con gli strumenti a sua disposizione. E' chiaro
che è più semplice misurare il tempo e lo spazio relativi a tutta la caduta che non i piccoli intervalli s e t,
necessari per calcolare la velocità finale. Quindi Galileo cercò di dedurre logicamente dalla sua ipotesi, cioè
che l’accelerazione fosse costante, una relazione tra l’altezza totale di caduta e il tempo impiegato.
Conosciamo già una relazione tra queste due quantità per un moto con velocità costante. Prima di tutto
ricordiamo che la velocità media è stata definita come il rapporto tra lo spazio percorso s e il tempo t
impiegato a percorrerlo:
Vm =s/t
72
Questa è una definizione generale, e non ha importanza che s e t siano grandi o piccoli. Possiamo
riscriverla in questo modo:
s = vmt
Se la velocità fosse costante, la velocità media sarebbe uguale a v e quindi s = v t; conoscendo v
potremmo calcolare lo spazio percorso in un dato intervallo di tempo. Ma in un moto uniformemente
accelerato la velocità cambia continuamente: che valore possiamo usare per la velocità media? Galileo
arrivò a concludere che, se una quantità varia uniformemente il suo valore medio è a metà tra il valore
iniziale e quello finale. Per un corpo inizialmente fermo che si muove di moto uniformemente accelerato fino
a raggiungere una velocità v, la velocità media sarà ½ v . Se questo ragionamento è giusto, per un moto
uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla si avrà :
s= ½ v t
Nemmeno questa relazione può essere controllata direttamente, perché contiene la velocità : dobbiamo
ottenere una relazione tra il tempo totale e la distanza totale, in cui non sia necessario misurare la velocità .
Consideriamo la definizione di accelerazione data da Galileo : a =v/t, che può essere riscritta come v =
a t. Ma v non è altro che v se il moto inizia dalla quiete. Possiamo quindi scrivere:
s=1/2 vt = ½a(t)2
Questa è proprio la relazione cercata da Galileo: infatti esprime lo spazio totale s in funzione del tempo t e
non contiene la velocità .Se misuriamo spazi e tempi iniziando dalla posizione e dall’istante in cui comincia il
moto (s e t iniziali uguali a 0), allora s = s .
L’equazione precedente diventa:
s = 1/2at2
si tratta di un'equazione ricavata in un caso molto particolare: essa dà lo spazio totale percorso in funzione
del tempo totale di caduta solo se il moto inizia dalla quiete, se l’accelerazione è costante e se tempo e
spazio vengono misurati dall’inizio del moto . La stessa relazione si può anche esprimere dicendo che il
rapporto tra s (spazio percorso) e t (tempo impiegato) al quadrato è costante.Dalla definizione scelta da
Galileo per l’accelerazione costante segue quindi, logicamente, che in un moto uniformemente accelerato
che inizi dalla quiete il rapporto spazio su tempo al quadrato rimane costante per diversi valori degli spazi e
dei tempi corrispondenti.Naturalmente, non abbiamo ancora verificato l’ipotesi che i corpi in caduta libera si
muovono effettivamente secondo questa legge. Non era possibile controllare direttamente se v/t si
manteneva costante; avrebbe dovuto essere più facile misurare la distanza totale e il tempo di caduta e
verificare se il rapporto spazio su tempo al quadrato rimane costante. Ai tempi di Galileo era però molto
difficile misurare il tempo di caduta; quindi, invece di fare una verifica diretta, egli dovette compiere ancora
un ulteriore passo ed escogitare un ingegnosa verifica indiretta.Infatti , studiò la possibilità di compiere
l’esperimento su un oggetto meno veloce. Dovette però introdurre un’ulteriore ipotesi: se un corpo in caduta
libera si muove con accelerazione costante, allora una palla perfettamente sferica, che rotola lungo un piano
inclinato perfettamente liscio, avrà anch’essa un’accelerazione costante anche se minore.
1) Prima di tutto, egli trovò che se l’angolo d’inclinazione è costante il rapporto tra lo spazio percorso e il
quadrato del tempo corrispondente è costante.
s1/t12=s2/t22=s3/t32
2) In secondo luogo, Galileo studiò l’effetto che si ottiene variando l’angolo inclinazione. Egli trovò che, se
l’angolo cambia, cambia anche il valore di s/t.2 Galileo controllò questo risultato ripetendo l’esperimento "ben
100 volte" per ogni diverso angolo. Alla fine concluse che, se esso valeva per tutte le inclinazioni per cui gli
era stato possibile misurare t, era ammissibile un’estrapolazione al caso di angoli più grandi, cioè quando la
sfera è tanto veloce da non permettere misure precise.Infine, Galileo affermò che nel caso particolare in cui
l’inclinazione è di 90, la sfera scende lungo la verticale e la situazione ottenuta coincide con quella di un
oggetto in caduta libera. Secondo il suo ragionamento, il rapporto spazio su tempo al quadrato rimane
costante anche in questo caso limite ( non era però possibile calcolarne il valore). Dato che aveva in
precedenza dimostrato che il rapporto resta costante nel moto uniformemente accelerato, pot caduta libera
l’accelerazione è costante.Per queste sue misurazioni Galileo usò un orologio ad acqua .L’orologio ad acqua
descritto da Galileo non era una sua invenzione: si ha notizia dell'esistenza di orologi ad acqua in Cina fin
dal VI secolo a. C. e probabilmente essi furono usati ancor prima in Babilonia e in India. Nei primi anni
del’600 un buon orologio ad acqua era lo strumento più preciso allora disponibile per la misura di piccoli
intervalli di tempo, e tale rimase fino a poco dopo la morte di Galileo, quando i lavori di Christiaan Huygens e
di altri permisero di costruire orologi a pendolo utilizzabili praticamente. Con questi orologi, più precisi, fu
possibile confermare i risultati ottenuti da Galileo per il moto su un piano inclinato.
73
Un’ obiezione che si può rivolgere al lavoro di Galileo riguarda la grande differenza che passa tra il moto di
caduta libera e quello di una sfera che rotola per una leggera discesa.. Galileo non ci dice quali angoli
d’inclinazione fossero usati nel suo esperimento, ma, eseguendone uno analogo, si vede che essi devono
essere abbastanza piccoli, perché per angoli più grandi la velocità della sfera aumenta tanto da rendere
difficile la misura dei tempi . Da una recente ripetizione dell'esperienza di Galileo risulta che il massimo
angolo utilizzabile è solo di 6, e non sembra che Galileo abbia lavorato con angoli molto più grandi. Questo
vuol dire che l'estrapolazione al caso della caduta libera (inclinazione di 90 ) può apparire eccessiva a una
persona prudente, o a chi non sia convinto in partenza delle tesi di Galileo. Vi è ancora un altro motivo per
mettere in dubbio i risultati di Galileo: se si aumenta l’angolo di inclinazione, a un certo punto la sfera
comincia a scivolare oltre che a rotolare e in questo caso la legge del moto potrebbe cambiare
completamente. Galileo non esamina questa possibilità ed è strano che (per quanto ne sappiamo) egli non
abbia mai ripetuto i suoi esperimenti con blocchi che scivolassero lungo un piano inclinato, invece di
rotolare. Avrebbe trovato che, anche in questo caso, il rapporto s/t rimane costante, pur avendo un valore
diverso da quello che si ottiene per oggetti che rotolano, con lo stesso angolo d’inclinazione.
Galileo non tentò di calcolare il valore numerico dell’accelerazione di un corpo in caduta libera,
probabilmente perché si rendeva conto che non avrebbe potuto ottenerne uno attendibile semplicemente
estrapolando i risultati già ottenuti. Per i suoi scopi era sufficiente aver confermato l’ipotesi che
l’accelerazione di un corpo che scende, cadendo o rotolando, è costante. Questa è la prima conclusione
raggiunta dal lavoro di Galileo, confermata poi da tutti i controlli successivi. Essa concorda anche con i suoi
"esperimenti ideali ", che dimostravano come corpi di peso diverso dovessero cadere in tempi eguali. I suoi
risultati confutarono in maniera decisiva la teoria del moto di Aristotele.In terzo luogo, Galileo sviluppò una
teoria matematica del moto da cui si possono ricavare altre previsioni. E’ possibile dimostrare, senza fare
nuove ipotesi, che, per un corpo inizialmente fermo che si muove con accelerazione costante, il quadrato
della velocità subisce incrementi uguali su distante uguali.
I moti celesti
Ii dire che supposto che la terra si muova et il Sole stia fermo si salvano tutte l’apparenzemeglio che con
porre gli eccentrici et epicicli, è benissimo detto ,non ha pericolo nessuno [….]. A VOLER AFFERMARE CHE
REALMENTE IL SOLE STIA AL CENTRO DEL MONDO [……] È COSA MOLTO PERICOLOSA NON SOLO D’IRRITARE TUTTI I
FILOSOFI E THEOLOGHI SCOLASTICI, MA ANCHE DI NUOCERE ALLA SANTA FEDE CON RENDERE FALSE LE SCRITTURE
SANTE (CARDINALE R. BELLARMINO)
Queste conclusioni raggiunte da Galileo, pur essendo molto importanti per lo sviluppo della fisica, non erano
certo sufficienti da sole a provare una rivoluzione scientifica: nessuno studioso di buon senso, nel ‘600,
avrebbe abbandonato la cosmologia aristotelica solo perché alcune delle asserzioni in essa contenute erano
state smentite nel caso dei corpi che cadono. Il lavoro di Galileo sul moto dei corpi in caduta libera contribuì
però ad aprire la strada verso una nuova fisica e una nuova cosmologia, insinuando il dubbio sulle ipotesi
che stavano alla base della fisica aristotelica. Sin dal V secolo a.C. , a partire dalla scuola pitagorica, forse
ispirata da motivi di bellezza geometrica L’universo , secondo tale concezione sarebbe un immenso globo
che, sorreggendo le stelle, ruota su se stesso; all’interno , sette sfere concentriche sorreggono i corpi celesti
conosciuti: la Luna, Mercurio, Venere, il Sole, Marte, Giove e Saturno; al centro dell’intero sistema sta la
Terra. La richiesta che i corpi celesti dovessero muoversi di moto circolare e uniforme intorno alla terra ,
derivava dalla convinzione che solo la circonferenza fosse un orbita “perfetta “ adatta agli oggetti in moto
nello spazio translunare
La prima teoria che e' stata proposta per spiegare la struttura dell'Universo e il moto degli astri e' stata
formulata da Aristotele nel IV secolo a.C. Secondo questa teoria, tutti i corpi celesti allora conosciuti (la
Luna, Mercurio, Venere, il Sole, Marte, Giove, Saturno e le cosiddette "stelle fisse") erano incastonati in
sfere rigide concentriche rotanti in modo uniforme attorno alla Terra.Le diverse irregolarità che presentavano
i moti dei pianeti erano giustificate con un ulteriore moto oltre a un moto regolare verso est sullo sfondo delle
stelle fisse, questo secondo era denominato moto retrogrado, da est verso ovest.Per spiegare però dunque
questi moti, , che non erano semplici da comprendere furono elaborati vari modelli di Universo che erano
acccomunati tutti dalle stesse caratteristiche.
Erano modelli geocentrici, in cui la terra era considerata al centro dell’universo;
Erano modelli in cui l’universo veniva considerato finito e delimitato dalla sfera delle stelle fisse;
Utilizzavano opportuni “meccanismi correttivi,” che potessero spiegare in accordo coi dettami platonici, le
irregolarità del motodi corpi celesti , attraverso opportune combinazioni di moti circolari e uniformi Le
varie peculiarita' dei moti planetari venivano spiegate attraverso complicati moti su circonferenze
centrate su queste sfere.
74
Le sfere celesti avevano la proprieta' di essere perfette ed immutabili.
“la nostra opinione è che i cieli sono sferici e che si muovono in maniera sferica; che la terra per quanto
riguarda la forma è sensibilmente sferica……; per ciò che riguarda la sua posizione è posta nel giusto
mezzo dei cieli, a guisa di centro geometrico; per ciò che riguarda le dimensioni e la distanza, la Terraè
come un punto rispetto alla sfera delle stelle fisse, e non è animata da alcun moto locale……( Almagesto Tolomeo )
Tolomeo per spiegare le fasi di moto retrogrado, introdusse una serie opportuna di combinazione di cerchi,
chiamati rispettivamente deferente ed epiciclo, che permettevano di capire perché un pianeta potesse
invertire la direzione del suo moto , pur muovendosi di moto circolare uniforme.
All’interno del sistema tolemaico non ci si occuoa affatto di trovare una spiegazione del perché i pianeti si
muovano di moto circolare.La teoria geocentrica rimase in voga fino al secolo XVI, quando l'astronomo
polacco Niccolo' Copernico (1473-1543) formulo' l'ipotesi che fosse il Sole, e non la Terra, il centro
dell'universo.
”Contro l’opinione accolta dagli scienziati , e perfino contro il senso comune , oso immaginare che la terra
sia dotata di movimento….” (Copernico-De Revolutionibus )Nel sistema copernicano il ruolo speciale del
sole derivava dal considerarlo un centro di rotazione “molto eccentrico” rispetto alla terra. La vera novità non
consisteva tanto nel fatto che i pianeti non ruotassero più intorno alla terra, quanto nel fatto che anche la
Terra , al pari degli altri pianeti , veniva considerata in rotazione attorno a un centro extraterrestre. Non
essendo ben chiaro il concetto di relatività del moto , la scelta tra Terra o Sole come centri di rotazione
coincideva con la scelta tra due punti ritenuti assolutamente fermi nello spazio. Qusta teoria prende quindi il
nome di eliocentrica. L'ipotesi di Copernico era accompagnata da un accurato studio per spiegare il moto dei
pianeti, ma incontro' notevoli resistenze nel mondo scientifico dell'epoca. La sua definitiva affermazione fu
dovuta agli studi di Galileo…….. più volte con incredibile godimento dell’animo le stelle, tanto fisse rova … E
poi scrive: " […] ma io lasciando le cose terrene mi rivolsi alla speculazione delle celesti; […] dopo questa
osservai che erranti […]".
Infatti Galileo fornì la prima prova diretta contro la teoria tolemaica ; dimostrò che l’oggettto luminoso
apparso improvvisamente nella Costellazione di Ofiuco provenendo dallo spazio esterno ,era penetrato
all’interno della sfera lunare: cadeva in tal modo il principio aristotelico dell’immutabilità ed impenetrabilità
delle sfere celesti, già messo in dubbio da Tycho Brahe nel 1572. Con la costruzione del cannocchiale e
puntandolo verso il cielo scrutò Giove che fornì a Galileo “l’argomento più importante”; In qualsiasi parte del
cielo puntasse il suo strumento, comparivano molte più stelle di quante se ne potevano vedere a occhio
nudo; e ciò era in contraddizione con la vecchia idea che le stelle erano state create per fornir luce, in modo
che l’uomo potesse vedere anche di notte.Ma L’osservazione di Giove fu un successo, intorno al pianeta
osservò quattro punti luminosi che nelle sere successive avevano cambiato posizione, Giove era un sistema
copernicano in miniatura… In quanto già da molti anni sono anche io dell’idea di Copernico; e da questo
punto di vista sono state da me scoperte anche le cause di molti fenomeni naturali, che senza dubbio nella
comune ipotesi sono inspiegabili….( Galileo - lettera sul copernicanesimo) .Ma la dimostrazione che le orbite
di tutti i pianeti sono ellissi, delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi fu fornita da Giovanni Keplero
(1571-1630), sulla base delle osservazioni condotte dall'astronomo danese Thyco Brahe. Oggi noi sappiamo
che a sua volta il Sole non e' al centro dell'universo, ma e' solo una delle tante stelle della nostra galassia, e
questa, a sua volta, e' solo una delle tante galassie che lo popolano.
Keplero enuncio' tre leggi che regolano il moto dei pianeti attorno al Sole; questo moto prende il nome di
"rivoluzione". Il tempo impiegato dal pianeta tra due passaggi consecutivi per lo stesso punto dell'orbita si
dice "periodo" della rivoluzione. Le tre leggi di Keplero sono dedotte dall'osservazione senza alcuna base
teorica. Isacco Newton (1642-1727) rivelo' in seguito come queste leggi non siano altro che casi particolari
della legge di gravitazione universale, che descrive l'interazione tra tutti i corpi.
PRIMA LEGGE DI KEPLERO
la legge delle orbite
Tutti i pianeti descrivono attorno al Sole delle orbite di forma ellittica. Il Sole occupa uno dei due fuochi,
comune a tutte le ellissi.
L'ellisse e'una figura piana ottenuta sezionando un cono con un piano non perpendicolare al suo asse; ha la
proprieta' che la somma delle distanze da due punti detti fuochi e' la stessa per tutti i suoi punti. Dato che i
pianeti percorrono un'orbita ellittica, della quale il Sole occupa uno dei due fuochi, risulta che la distanza
Sole-pianeta varia nel tempo, ed ha un valore massimo in un punto detto "afelio" ed un valore minimo in un
punto detto "perielio". Si dice "eccentricita'" dell'ellisse il rapporto tra la misura della distanza di un suo fuoco
dal centro e la misura del semiasse maggiore. Una circonferenza puo' essere vista come un caso particolare
di ellisse, con eccentricita' nulla.
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SECONDA LEGGE DI KEPLERO la legge delle aree
Il raggio vettore copre aree uguali in tempi uguali.
Si intende per raggio vettore il segmento che congiunge il centro del Sole con quello del pianeta. La sua
lunghezza varia lungo l'orbita, variando la distanza del pianeta dal Sole. Prese due aree uguali definite dal
raggio vettore, dalla seconda legge di Keplero risulta che la rivoluzione del pianeta non avviene con velocita'
uniforme, ma e' piu' rapida al perielio e piu' lenta all'afelio.
Supponiamo di avere un pianeta che gira intorno al sole. Nel tempo t la linea congiungente i due corpi
descrive un angolo ( t) L’area A del triangolino è approssimata da 1/2r *r essendo rla base ed r
approssimando l’altezza. Questa espressione perA diventa esattamente nel limite t 0. La velocità areale
istantanea con la quale l’area è spazzata è dA/dt = lim(1/2r2) /t =1/2 r2 d/dt = ½ r2
(*)
Se consideriamo la scomposizione del vettore quantità di moto p del pianeta nelle due componenti P r=mvr e
p =mv si avrà che il momento angolare l del pianeta rispetto al sole è l = p r = (mv) r = (mr)r = mr2
andando a sostituire in (*) otteniamo dA/dt = l/2m . Ma nel sistema terra- sole non vi sono momenti
esterni e quindi l deve rimanere costante; ne segue che anche dA/dt deve essere costante e questo è il
contenuto della seconda legge di Keplero.
TERZA LEGGE DI KEPLERO legge dei periodi
Il quadrato dei periodi di rivoluzione dei pianeti e' proporzionale ai cubi dei semiassi maggiori delle loro
orbite.
Questa legge implica che, tanto maggiore e' la distanza del pianeta dal Sole, tanto piu' lenta sara' la sua
rivoluzione. Infatti, piu' il pianeta e' vicino al Sole e piu' risente della sua attrazione, percio' esso deve
muoversi a maggior velocita' per sfuggirle. In realta', sia il Sole che il pianeta ruotano attorno al baricentro
comune, ma poiche' il primo e' molto piu' massiccio del secondo, il baricentro coincide quasi con il centro del
Sole, e quindi la sola rivoluzione evidente e' quella del pianeta attorno al Sole. Questo avviene ogni volta che
un corpo ruota attorno ad un altro molto piu' massiccio. Queste leggi, infatti, non sono valide solo per i
pianeti del Sistema Solare, bensi' per tutti i corpi celesti.
Se i due corpi hanno masse confrontabili, il loro baricentro non coincide con nessuno dei due e diventano
evidenti le orbite che essi descrivono attorno a questo punto. Questo avviene per esempio nel caso delle
stelle doppie.
Se invece ci sono tre o piu' corpi di masse confrontabili, le loro orbite relative non possono essere predette
da nessuna legge della meccanica, perche' la loro descrizione diventa troppo complessa.
Da Keplero alla sintesi newtoniana
….ho esposto un esempio di ciò al fine di spiegare il mondo. Ivi infatti , dai fenomeni celesti, mediante
le poposizioni dimostrate matematicamente nei libri precedenti , vengono descritte le forze della gravità per
effetto delle quali i corpi tendono verso il sole e i singoli pianeti. In seguito , da queste forze, sempre
mediante proposizioni matematiche , vvengono dedotti i moti dei pianeti, delle comete ,della luna e del
mare……..(Newton- principia )
Le tre leggi di Keplero resero più urgente l’esigenza di formulare una spiegazione del perché i pianeti
si muovessero nel modo descritto e quale “forza li trattiene” lungo le loro orbite.Fu Newtonche nei principia
risolse il quesito enunciando la legge di gravitazione universale, enunciata nel 1688.Nella visione
Newtoniana la Terra attrae la luna con lo stesso tipo di forza , chiamata gravitazionale con cui attrae un
corpo in caduta liberae con cui il sole attrae la Terra , la Luna e tutti gli altri corpi celesti.Non occorre pensare
a qualche altra forza cosmica o “primo mobile” e la gravità assume il ruolo di principio universale unificatore
Per formulare la legge di gravitazione universale N. constatò che mentre fino ad allora si credeva che un
moto curvilineo derivasse dall’azione di una “ centrifuga” che contrastava la tendenza dei corpi a muoversi
verso il centro, seguendo le ipotesi di Hooke, un moto curvilineo poteva essere considerato come la
combinazione di un moto diretto per la tangente e un moto di attrazione verso il corpo centrale. La
componente “tangenziale” da sola avrebbe fatto muovere il corpo lungo una traiettoria rettilinea, ma la
presenza contemporaneamente della forza centripeta, lo deviava continuamente verso il centro
costringendolo a descrivere una traiettori curva.Riuscì infatti a dimostrare che un corpo sottoposto a forza
centripeta e inversamente proporzionale al quadrato della distanza avrebbe descritto un orbita ellittica, e che
anche un corpo in moto rettilineo uniforme si muove in accordo con la legge delle aree di Keplero.Per
dimostrare la legge di gravitazione Newton sostitu’ l’affermazione che i pianeti descrivono orbite ellittiche con
il Sole in uno dei fuochi, con quella “…i pianeti non si muovono esattamente su ellissi , né ripercorrono due
volte la stessa orbita…. Questao afferma che N aveva già compreso che tutti i pianeti interagiscono
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gravitazionalmente tra loro e che le leggi di Keplero si applicano a un sistema di masse puntiformi ,che
senza agire tra di loro orbitano attorno ad un corpo immobile che esercita su di esse una forza di attrazione.
Egli riscrisse le leggi di Keplero immaginando che le orbite dei pianeti fossero circolari invece che ellittiche.
Le tre leggi diventano cosi':
1°) I pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi tutte al centro il Sole;
2°) Il moto dei pianeti e' uniforme;
3°) I quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a descrivere le orbite sono proporzionali ai cubi dei raggi delle
orbite.
Dalla 2a legge si deduce che i pianeti hanno accelerazione centripeta e quindi soggetti a una forza centripeta
diretta verso il sole
Siano m la massa,r, e T il raggio dell’orbita e il periodo, la f
Fc = (42/T2) m r
Per la 3a legge è T2 = Kr3 K costante per tutti i pianeti
Fc = ( 42/K) (m/r2 ) = C m/r2
Con C costante pari a 42 /K. La forza di attrazione del sole è proporzionale alla massa del pianeta. er il
principio di azione e reazione anche il pianeta attrae il sole con una forza che dovrà avere la stessa intensità
ed essere proporzionale alla massa M del Sole: C= GM la forza di attrazione reciproca diventa F = G M
m/r2.
Ogni corpo esercita su ogni altro corpo una forza attrattiva che ha per direzione la retta che congiunge i due
corpi e la cui intensita' e' direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente
proporzionale al quadrato delle loro distanze.
K e' detta costante di gravitazione universale, ed e' indipendente dalla forma dalle dimensioni e dalla
composizione chimica dei corpi in questione. Sulla base della legge di gravitazione universale, e' ovvio che
non soltanto il Sole, ma anche ogni pianeta esercita un'attrazione sugli altri, sebbene molto minore di quella
solare. Questo fa si' che le orbite dei pianeti non siano delle ellissi perfette, ma risentano delle perturbazioni
gravitazionali degli altri pianeti. La legge di gravitazione apre due questioni: una riguarda il concetto di
massa, l’altra è che si da per scontato che la gravità esista. In merito alla prima il concetto di massa come
quantità di materia è proprio di Newton e presuppone la costituzione atomica della materia. Per Galileo la
massa coincide con il concetto di una materia qualitativamente indifferente, portatrice della cosiddette qualità
primarie. Sia Descartes e poi Huygens accettano la distinzione delle qualità della materia, ma aggiungono la
nozione di corpuscolo. La massa di N. presuppone una costituzione atomica della materia, egli la concepiva
non soltanto come somma dei volumi dei punti materiali che offrono una resistenza al moto (massa inerziale)
ma anche come massa attraente, cioè come somma di punti che esercitano una forza sui corpi circostanti.
Con questo concetto N. spogliava i corpi di tutte le qualità estranee alla fisica. La massa fa pensare ad un
corpo la cui materia è qualitivamente indifferente. Il che comportava l’invalidazione dello strumento di studio
impiegato fino ad allora e, in pari tempo, la necessità di apprezzarne uno nuovo, atto a fornire conoscenze di
una materia che si sottrae alle deformazioni della soggettività. Newton porta a compimento l’operazione di
liberazione della disica da proprietà soggettive e incontrollabili iniziata da Galileo. Nella fisica classica
l’equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale fu considerato un fatto accidentale finchè Einstein
ha fatto di questa equivalenza un principio da cui dipende la struttura geometrica dello spazio fisico. Per
quanto concerne la seconda questione, Newton così si esprime” … è inconcepibile che materia bruta e
inanimata possa, senza la mediazione di qualcos’altro che non è materiale, operare ed influire su altra
materia senza reciproco contatto…Che la gravità possa essere innata, intrinseca ed essenziale alla materia
cosicchè un corpo possa agire su un altro a distanza attraverso il vuoto, senza la mediazione di
qualcos’altro, in virtù del quale e mediante il quale la loro azione e forza possa essere trasmessa dall’uno
all’altro, è per me una tale assurdità che io credo che nessun uomo capace di pensar in modo coerente in
materia di filosofia possa accettarla….” (Newton Lettera a Bentley).
Newton non si dichiarò ostile al concetto di azione a distanza ma si impegnò per la ricerca di un possibile
meccanismo di azione sotteso dalla gravitazione. Presuppose l’esistenza di un “etere” ma non riuscendo a
verificare l’ipotesi dell’esistenza dell’etere… Ipotesi non fingo.
Dalla forza gravitazionale al… futuro dell’universo.
Le masse, qualunque esse siano, dovunque si trovino, qualunque struttura fisica o chimica possiedano,
esercitano fra loro una forza di mutua attrazione espressa con la relazione F= (Km 1m2)/r2. La mela di
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Newton cade perchè è una massa attratta dalla Terra, che è un'altra massa. Ma se c'è in vista laLuna, la
mela cade più lentamente... Oppure: la mela è ferma e la Terra "sale" per raggiungerla.
Naturalmente quest'ultima ipotesi è "vera" solo tendenzialmente. La legge fondamentale della dinamica
F=ma si applica sia alla Terra intera che alla mela, ma le accelerazioni che nascono nei due oggetti sono
infinitamente diverse. Ricaviamole: rispettivamente sono aT = F / mT e am = F / mm. Poichè mT >> mm,
risulta aT << am e quindi accade che ben prima che la Terra si muova per raggiungere la mela, questa è già
arrivata da un pezzo!
E se la mela fosse molto grande? Basta vedere l'azione della Luna: essa non riesce a "muovere" la Terra
intera, ma almeno le acque tende a strapparle (le maree). Noi chiamiamo “peso" l'attrazione gravitazionale
del nostro pianeta sugli oggetti che stanno su di esso. Possiamo però estendere arditamente il significato di
peso a tutte le attrazioni gravitazionali e quindi parlare di peso rispetto al Sole, alla Luna, alla galassia di
Andromeda,ecc.
Esiste una situazione di assenza di peso? In modo assoluto no, ma è possibile in modo relativo a qualcosa:
immaginiamo di muoverci su una traiettoria rettilinea verso la Luna: durante il viaggio diminuisce la
attrazione verso la Terra (poichè cresce la distanza da essa) e aumenta quella verso la Luna (poichè
diminuisce la distanza da essa): c'è un punto nel quale le due attrazioni sono uguali e quindi il peso relativo
ai due oggetti è zero. Attenzione però: resta il peso rispetto al Sole a Giove, a Sirio, ecc.
La forza di gravitazione probabilmente condiziona il futuro (lontano!) del nostro Universo. Questo è ora in
espansione, " creando". La creazione di sempre nuovo spazio discende anche dalla necessità di sempre
nuovi scambi di energia, dal luogo di produzione (le stelle, le supernovae, ecc.) ad un altro luogo. E' regola
generale della termodinamica che il calore (rappresentato dai fotoni) si "muove" da temperature superiori a
temperature inferiori. Se l'universo fosse limitato, i fotoni, nei 15 miliardi di anni della loro vita, si sarebbero
accumulati al confine producendo un aumento di temperatura all'interno del contenitore-universo, oppure
sarebbero rimbalzati indietro mostrando che il calore proviene da due direzioni opposte. Poichè queste due
possibilità non si sono ancora verificate possiamo concludere che o l'universo è per natura illimitato, oppure
esso si espande proprio per effetto dell'azione della massa-energia che conosciamo.
Immaginare un confine significa anche domandarsi come e di cosa è fatto e cosa c'è aldilà. Io preferisco
pensare che tale confine non esiste e che lo spazio oltre i punti raggiunti da qualcosa non è vuoto ma "non
esiste".
Secondo una certa ipotesi, a lungo andare i corpi celesti perderanno l'energia cinetica iniziale dovuta al Bigbanga causa della mutua attrazione gravitazionale fra legalassie. A quel punto rimarrebbe solo quella forza,
la quale costringerebbe tutte le masse a riunirsi in un unico punto producendo una implosione (Big-Crash)
da cui potrebbe nascere un nuovo Universo, cominciando un nuovo ciclo.
Metodologia di lavoro
AREA UMANISTICA
Lezione frontale
Lezione interattiva
Lavoro di gruppo
Cooperative learning per l’attività di ricerca
Dibattiti in aula
Relazioni scritte
Visite culturali
Conferenze
AREA SCIENTIFICA:
Allo scopo di agganciare il più possibile la fisica alla realtà quotidiana, di coinvolgere gli studenti in prima
persona, di stimolarne la curiosità e l’interesse e di evitare lo studio mnemonico, l’argomento è affrontato nei
limiti del possibile, partendo dall’osservazione del reale e suggerendo piccoli esperimenti facilmente
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eseguibili. Ogni situazione sarà debitamente matematizzata anche se si semplifica l’uso di alcuni concetti
matematici, come il calcolo differenziale, anche a costo di una minor precisione.
Tempo complessivo
Area Umanistica: 20 ore (Latino); 10 ore (italiano); matematica – Fisica: 25 ore
Strumenti e risorse utilizzati
Manuali, Biblioteca scolastica e Comunale, Internet, computer PC, videocamera e fotocamera digitali,
registratore, postazione multimediale.
Strumenti e risorse utilizzabili:
Lezioni frontali; uso del laboratorio di fisica; audiovisivi; letture; uso del computer per esperienze simulate.
Percorso di valutazione
Questionario di ingresso;
Prima verifica sulla capacità di interpretare e formalizzare i risultati sperimentali delle esperienze
eseguite;
Seconda verifica sulle competenze acquisite: conoscenza del fenomeno,conoscenza della terminologia
scientifica, conoscenza delle leggi;
Relazione finale sul lavoro svolto.
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4. UNITÀ DIDATTICA IL CAMPO GRAVITAZIONALE. ENRICO GIACHÈ, INSEGNANTE
MATEMATICA E FISICA NEL LICEO SCIENTIFICO VITO VOLTERRA DI CIAMPINO
DI
UTENZA. L’unità didattica è rivolta agli alunni di un terzo anno del Liceo scientifico
P.N.I.
PREREQUISITI
CONOSCENZE
Principali sistemi di unità di misura
Calcolo vettoriale
Forza centripeta e forza centrifuga
Moto circolare uniforme
Leggi della dinamica
Lavoro ed energia
Energia cinetica ed energia potenziale
Le coniche
Concetto di errore di misura
Teoria degli errori
COMPETENZE
Saper sommare e sottrarre grandezze vettoriali
Saper applicare la teoria della propagazione degli errori
Saper applicare le leggi del moto circolare uniforme
Saper applicare le leggi della dinamica
CAPACITA’
Saper lavorare in gruppo
Possedere una discreta manualità
TEST D’INGRESSO
Ex 1
Qual è la velocità angolare della Terra nel suo moto di rotazione?
Ex 2
La velocità angolare di una ruota è di 10,472 rad/s. Quanti giri al minuto fa questa ruota?
Ex 3
Un’automobile avente massa m=1000 kg viaggia alla velocità v=50 km/h. Calcolare la sua energia
cinetica e da quale altezza dovrebbe cadere (nel vuoto e partendo da fermo) un corpo della stessa massa
per acquisire la stessa velocità.
Ex 4
La misura di tre grandezze ha dato il seguente risultato; A=10 2, B=7 2, C=12 3 determinare la
grandezza (A+B) x C con l’errore assoluto.
80
OBIETTIVI
CONOSCENZE
Il sistema planetario
Le tre leggi di Keplero
Legge della gravitazione universale
Campo gravitazionale
Il valore della costante G0
Differenza tra massa e peso
Massa e densità della Terra
La velocità di fuga
COMPETENZE
Saper risolvere problemi inerenti le tre leggi di Keplero
Saper applicare la legge della gravitazione universale
Saper utilizzare l’equazione delle coniche per risolvere il problema delle orbite
CAPACITA’
Saper applicare le nozioni studiate a problemi di fisica
Raccolta ed elaborazione dati
Stilare tabelle e disegnare grafici
Precisione e sicurezza nel condurre gli esperimenti
OBIETTIVI MINIMI
La sufficienza corrisponde ad una:
conoscenza dei contenuti essenziali
corretta interpretazione dei testi e dei quesiti
utilizzazione corretta degli strumenti di calcolo fondamentali
risoluzione corretta di quesiti a struttura semplice.
Valutazioni più elevate implicano conoscenze, competenze e capacità progressivamente più strutturate.
In particolare per questa unità didattica si intendono raggiunti gli obiettivi minimi con il conseguimento delle
suddette conoscenze unite al saper risolvere semplici problemi.
CONTENUTI
La struttura dell’universo
Il sistema planetario
La prima legge di Keplero
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L’equazione dell’ellisse
La seconda legge di Keplero
Velocità lineare e velocità angolare
Accelerazione centripeta e forza centrifuga
Prima legge di Keplero: le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno
dei fuochi.
Seconda legge di Keplero: il raggio vettore che dal Sole va a un pianeta spazza aree uguali in tempi
uguali
Terza legge di Keplero: il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del tempo di
3
rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti R
/T2=costante.
Periodo e frequenza
Legge della gravitazione universale: due masse si attraggono con una forza che è proporzionale al
2
prodotto delle masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza F=G0m1m2/r
Il valore della costante G0
La velocità di fuga v0=2G0M/R
Differenza tra massa e peso
Massa e densità della Terra
= 2gR
METODOLOGIA
La metodologia per affrontare i suddetti contenuti si avvarrà di lezioni frontali e interattive intervallate da
momenti di riflessione e di lavori individuali e/o collettivi a seconda della realtà del gruppo classe.
Nel primo incontro verrà sottoposto agli alunni il test di ingresso e qualora risultassero gravi lacune nei
prerequisiti richiesti si attueranno delle lezioni di recupero individualizzate (tramite azione di tutorato) o
individualizzate.
Il secondo incontro sarà dedicato ad una analisi della struttura dell’Universo fino al Sistema Solare
elencando anche gli scienziati che più hanno contribuito alla sua conoscenza. Quindi si introdurrà la prima
legge di Keplero richiamando anche l’equazione dell’ellisse e dei suoi parametri.
Nel terzo incontro si utilizzerà l’equazione dell’ellisse per problemi di astronomia per poi analizzare la
seconda e terza legge di Keplero richiamando anche i concetti già studiati come la velocità angolare, il
periodo, la forza centripeta e centrifuga. Si soffermerà l’attenzione sulle distanze planetarie richiamando
anche la legge empirica di Titius-Bode.
Nel quarto incontro dopo aver discusso in merito agli esercizi dati per casa sulla terza legge di Keplero si
affronterà il problema della gravitazione universale, e partendo dalla accelerazione centripeta, e dalla terza
legge di Keplero si arriverà alla sua formula. Quindi si affronterà il problema di come ricavare la costante
gravitazionale G0 e della bilancia a torsione di Cavendish.
Nel quinto incontro si parlerà della velocità di fuga e di come ricavarla per poi passare ad analizzare la
differenza tra massa e peso. Quindi dopo aver ricordato l’equazione del pendolo per poter ricavare il valore
dell’accelerazione di gravità terrestre si ricaverà la massa e la densità terrestre.
Nel sesto incontro esperienza di laboratorio sulla determinazione della accelerazione di gravità locale con il
pendolo (2 ore)
Nel settimo incontro verifica finale (1 ora)
STRUMENTI DIDATTICI
Lavagna, libro di testo e computer
82
DURATA DELL’UNITA’ DIDATTICA
Si prevede che l’unità didattica venga svolta in 12 ore di lezione compresa la prova di laboratori e la verifica
finale.
DESCRITTORI PER LA VALUTAZIONE DELLA VERIFICA FINALE
Sa ricavare l’equazione dell’ellisse passante per più punti
Sa utilizzare le leggi di Keplero
Sa utilizzare la legge della gravitazione universale
Sa calcolare la velocità di fuga di un corpo dal proprio pianeta
GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLA VERIFICA FINALE
Per ogni descrittore sopra elencato verrà dato un punteggio massimo:
Punti 2
Punti 2
Punti 2
Punti 3
PROVA DI VERIFICA FINALE
1. Scrivere l’equazione dell’ellisse passante per i punti P(2, 20/9), Q(1, 32/9), e R(3, 0).
2. Per mezzo della terza legge di Keplero ricavare la formula che permette di ricavare la distanza di un
pianeta dal Sole, assumendo come unità la distanza Terra-Sole (cioè esprimendola in unità
astronomiche)
3. Calcolare la forza dovuta alla attrazione universale che si esercita fra due sfere di piombo di 10cm di
raggio poste alla distanza di un metro l’una dall’altra. (Densità del piombo=11,34 g/cm 3).
4. Calcolare quale sarebbe, sul pianeta Giove, il peso di un corpo di massa m=100 kg. Tenere presente
che Giove ha una massa di 337 volte maggiore della massa della Terra e un raggio che è 11,2 volte
maggiore del raggio della Terra.
5. Calcolare la massa del Sole, supponendo che la Terra percorra intorno ad esso un’orbita circolare e
sapendo che il raggio terrestre è r = 149,5x106 Km.
ESPERIENZA DI LABORATORIO
ARGOMENTO DELL’ESPERIENZA:
Determinazione dell’accelerazione di gravità locale utilizzando il pendolo.
MATERIALE OCCORRENTE:
Un filo di seta, un sostegno a treppiedi, un’asta metallica lunga ed una corta, un disco metallico omogeneo
con un piccolo foro al centro e di diametro di un paio di centimetri, un’asta millimetrata, un calibro, un
cronometro.
CONDUZIONE DELL’ESPERIENZA:
Si monta la struttura e si misura la lunghezza del pendolo dal punto di sospensione al centro del disco.
Questa lunghezza per le difficoltà di allineamento dell’asta di misura con il pendolo, sarà affetta da un
grande errore a priori per cui risulta conveniente procedere alla ripetizione della misura per poter calcolare
un errore a posteriori (semidifferenza o scarto quadratico medio).
83
Una volta misurata la lunghezza del pendolo lo si mette in oscillazione spostandolo di una decina di gradi
dalla posizione di equilibrio e si misura il periodo di oscillazione con il cronometro.
L’incertezza sulla misura di tempo dipende essenzialmente dall’abilità dell’operatore nel far coincidere l’avvio
e lo stop del cronometro con l’istante in cui il pendolo si trova nella stessa posizione di massima elongazione
e può essere stimata nell’ordine del decimo di secondo.
Per diminuire l’incidenza di tale errore sulle misure effettuate è opportuno far compiere al pendolo diverse
oscillazioni (almeno una decina) e di dividere poi il tempo trascorso per il loro numero: per la legge di
isocronia delle piccole oscillazioni si misura ugualmente il periodo del pendolo ma in questo modo anche
l’errore commesso è diviso per il numero di oscillazioni contate.
Resta in questo modo trascurabile l’influenza dell’operatore sulla misura e si può assumere come errore a
priori l’errore di lettura sulla scala del cronometro.
Lunghezza del pendolo
Errore di
l
1°
2°
Valore
misura
misura
medio
Numero delle oscillazioni n=
lunghezza
l
Tempo t
Periodo
T
T=t/n
l1
l2
l3
: errore a priori dovuto alla somma dell’errore di lettura + l’errore strumentale (da utilizzare unicamente
quando viene effettuata una sola misura)
= scarto (valore misurato meno la media dei valori misurati)
= (mmax-mmin)/2 semidispersione (da utilizzare quando vengono effettuate da 2 a 5 misure)
= (i 2)/(n-1) scarto quadratico medio (da utilizzare quando vengono effettuate un numero di
misure maggiore di 5).
Per ogni coppia “lunghezza del pendolo-periodo” si può quindi ricavare g dalla formula
Ciascun valore ottenuto avrà un errore assoluto
g=42l/T2.
g=(l/l+2T/T)g.
IPOTESI DI UNA ESPERIENZA PRATICA
Vengono effettuate quattro misure della lunghezza del pendolo, ne viene fatta la media e si quantizza
l’errore utilizzando la formula della semidispersione massima.
Per quanto riguarda la misura del tempo viene preso con un cronometro con scala analogica e si misura il
tempo che il pendolo impiega ad effettuare trenta oscillazioni complete e poi si divide il tempo totale per
trenta.
L’errore viene valutato dividendo per 30 l’errore commesso sul totale delle oscillazioni che si ipotizza essere
pari alla metà della più piccola divisione del cronometro.
84
Lunghezza del pendolo
1°mis
2°mis
3°mis
Numero delle oscillazioni n=30
4°mis
Valore
t(s)
T=t/n
T=t/n
g
g
0,1
72
2,4
0,0017
980,7
2,35
medio
143,2
143,1
143,0
143,0
143,08
Quindi la misura della accelerazione di gravità è g = 981 3 con un errore abbastanza elevato in quanto
la misura del tempo è stata fatta con un cronometro analogico con divisione pari a 1/10 di secondo.
85
5. UNITÀ DIDATTICA “DAL SISTEMA TOLEMAICO
SILVANI.
ALLE LEGGI DI
KEPLERO”. LAURA
CLASSE: Terza classe del Liceo Scientifico
LIVELLO DEL MODULO : sviluppo.
TEMPO: 15 h ( 10+5 )
INTRODUZIONE
Obiettivo principale è quello di aiutare il discente a collocare correttamente la sua persona verso il mondo
esterno. Ci si propone di evidenziare la capacità di darsi una corretta collocazione spazio- temporale; di
distinguere tra le conoscenze “oggettive”, quelle soggettive e l’apparato matematico che le sostiene .
Rientrano inoltre in un discorso formativo gli aspetti culturali, legati anche a campi notevolmente distanti, che
formano le basi di una teoria fisica: pregiudizi, correnti di pensiero, rivoluzione culturale.
L’unità è strutturata in quattro segmenti sequenziali.
PREREQUISITI
Numeri reali.
Piano Cartesiano
Cambiamento di riferimento
Equazioni
Luoghi geometrici
Vettori.
L’errore di misura
CONTENUTI E TEMPI DELL’UNITA’ DIDATTICA
Segmenti
a
b
c
ORE
CONTENUTI
2h
Scienza e dogma
Concetto di punto materiale
Verso nuova concezioni della Dinamica
Carattere puramente cinematico degli
antichi sistemi astronomici
2h
2h
Copernico riscopre il sistema di Aristarco
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Strumenti e mezzi
Lezione frontale
Lezione dialogata
Lavagna
Libri di testo
Riviste
Lavori di gruppo
Personal computer
Programma Isacco
(realizzato da
A. Carusi )
d
L’opera di Keplero
Prima legge di Keplero
Seconda legge di Keplero
Terza legge di Keplero
4h
Si effettueranno 5 ore di
esperienza
in
Laboratorio.
METODOLOGIA E STRUMENTI
Si tenterà di mettere in atto un apprendimento significativo per scoperta, dove il docente, stimolando e
indirizzando la discussione cercherà di attivare negli allievi l'assimilazione dei concetti, evitando il più
possibile memorizzazioni sterili ed applicazioni meccaniche. La teoria sarà esposta in modo schematico ed
essenziale, con un linguaggio semplice , corredata di brevi esempi che chiariscano i passi della spiegazione
e di immagini che forniscano una sintesi visiva dei concetti; questo per aiutare gli studenti a raggiungere gli
obiettivi minimi di apprendimento. Verranno proposti problemi con difficoltà progressiva da risolvere con
lavoro individuale e di gruppo. Verrà utilizzato il mezzo informatico per permettere agli allievi un riscontro
immediato e talvolta fornire motivo di riflessione sugli argomenti trattati. Si forniranno così allo studente più
mezzi, possibilità ed occasioni per capire e verificare il grado di comprensione raggiunto.
DAL SISTEMA TOLEMAICO ALLE LEGGI DI KEPLERO
Scienza e dogma
Il primo a guardare i cieli con uno strumento più potente dell’occhio umano fu Galileo Galilei con il
telescopio da lui stesso costruito.
A quell’epoca molti si rifiutarono di guardare: quanto asseriva Galileo non poteva essere vero perché
contrario agli insegnamenti di Aristotele, quindi perché occuparsene?
Meditiamo insieme
Coloro che si comportavano in quel modo erano uomini di vasta cultura e non certo privi di intelletto;sarà
necessario un secolo prima di mettere in discussione le vecchie teorie e cominciare ad accettare le nuove.
D’altronde perché ci stupiamo? Come ci comportiamo oggi con gli inventori di congegni che notoriamente
non possono funzionare perché contraddicenti i principi elementari di Fisica?
La storia del pensiero scientifico da Aristotele a Newton è uno dei capitoli più affascinanti dell’intera storia
dell’uomo.
Vedremo come il progresso quantitativo della conoscenza trasforma anche la qualità del nostro modo di
pensare; così che, pure a parità di intelligenza, i nostri schemi mentali nell’affrontare i problemi della scienza
e della vita stessa sono diversi da quelli dei nostri predecessori.
E’ una epopea che ha proseguito con ritmo sempre più incalzante da Newton ai nostri giorni, ed è tuttora in
atto; che ha investito il progresso scientifico e la vita di tutti gli uomini, i quali anche se non ne sono
protagonisti, non possono più restare solo disinteressati spettatori, perché rischierebbero di non
comprendere il mondo in cui vivono ed essere travolti da esso.
Concetto di punto materiale
La Meccanica studia il moto dei corpi.
Consideriamo i solidi; questi venivano idealizzati come corpi rigidi e considerati come solidi nella geometria
Euclidea ( in essi due punti si trovano sempre alla stessa distanza l’uno dall’altro).
Introducendo il concetto di punto materiale si possono ottenere notevoli semplificazioni concettuali e di
calcolo.
Si passa dallo studio di un corpo reale ( che ha quindi, una certa estensione spaziale, cioè un certo volume)
e quello di un punto materiale ( che per definizione è privo di estensione).
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Un punto materiale può essere inteso come un punto geometrico cui vengono attribuite certe proprietà
fisiche, da definirsi opportunamente, in modo tale che lo studio del suo comportamento possa sostituire
quello del corpo reale in una conveniente approssimazione.
Scopo di qualsiasi scienza naturale esatta è studiare con una approssimazione nota i fenomeni di cui si
occupa. La prima approssimazione viene compiuta nell’atto stesso in cui si sceglie un determinato modello
per lo studio di un particolare fenomeno.
Consideriamo un corpo esteso, sia che lo si pensi come rigido, sia come un solido reale; lo studio del suo
moto equivale a determinare in qual modo si muove ciascuna delle “ particelle che lo costituiscono “ .Ciò si
può fare solo dividendo idealmente il corpo in porzioni sufficientemente piccole perché ciascuna di esse si
possa assimilare ad un punto materiale; questa decomposizione può farsi ad << infinitum >> introducendo
tecniche matematiche appropriate ( la cosiddetta Analisi Infinitesimale inventata da Newton e Leibnitz per
trattare, appunto, problemi di questo tipo).
In questo caso lo studio di tutte le proprietà fisiche della materia, e non solo quindi del moto, avviene in
ultima analisi mediante la sua riduzione a punti materiali come costituenti ultimi.
E’ inoltre interessante osservare che il concetto di punto materiale è una necessaria base di partenza per le
moderne teorie quantistiche e relativistiche.
Verso nuove concezioni della Dinamica
Consideriamo quei corpi con i quali la nostra quotidiana esperienza ci pone in contatto.
Qualsiasi uomo ha sempre saputo distinguere un corpo “pesante“ da uno “leggero”: il concetto di peso di un
corpo come attributo fisico è antico quanto l’uomo. Lo stesso vale per il concetto di forza: l’atleta più forte è
quello che riesce a sollevare un peso più grande.
La connessione tra peso, forza e movimento c’è sempre stata nella mente umana, anche le misure
quantitative sono state eseguite fin dall’antichità: il lancio del disco misurava la forza del discobolo; le
monete più antiche avevano il valore determinato dal loro peso. Vi è, tuttavia, una radicale differenza tra le
misurazioni antiche dei pesi e le odierne: il peso veniva concepito come una qualità dei corpi ( come odore,
colore, fragilità); così come ciascuno dei frammenti di un blocco di marmo bianco ha lo stesso colore bianco
del blocco, secondo Aristotele esso aveva anche lo stesso “peso“ di cui faceva parte. Non vi era
contraddizione interna nella dottrina Aristotelica secondo la quale la velocità di caduta dei gravi è
proporzionale al loro peso (Galileo dimostrò che ciò era in contraddizione con l’esperienza): due corpi uguali,
che separatamente hanno uguale velocità di caduta perché di peso uguale, se riuniti dovevano cadere con
velocità doppia, essendo ora il loro peso quello dell’intero blocco ( come il colore bianco nel caso del
marmo) .
Questo è un esempio didatticamente utile in quanto mostra un modello dell’Universo interamente coerente,
ma da rigettare perché in disaccordo con l’esperienza.
Il peso veniva quindi considerato dagli Aristotelici come una grandezza ( quantità intensiva ) non
proporzionale al volume del corpo ( quantità estensiva ); questo era naturale in una filosofia che assieme ai
gravi “che tendono a cadere” si consideravano elementi, come il fuoco, che “tendono ad ascendere”. Non
era possibile il collegamento tra il peso e quantità di materia posseduta da un corpo, che è una grandezza
di tipo estensivo ( mentalità post-Newtoniana ).
Quest’ultimo concetto, che noi chiamiamo massa, è emerso solo dopo un secolare travaglio.
Esso è l’unico concetto che bisogna aggiungere ai concetti di spazio e tempo perché si possa intuire una
completa scienza della Dinamica, ossia del moto dei corpi in quanto determinato dalle cause che lo
producono le “forze “.
Carattere puramente cinematico degli antichi sistemi astronomici
Nella scienza moderna l’estrema attenzione a descrivere l’opera dello scienziato come l’invenzione e lo
studio di modelli che descrivano l’Universo, è indice di una rivoluzione concettuale avenuta solo in epoca
relativamente recente. Per gli antichi Greci, come per Galileo, la scienza descriveva “la Natura in sé“, non un
certo modello di essa.
I modelli a cui si è accennato devono potersi controllare attraverso sperimentazioni ed essere sostituiti,
all’occorrenza, con altri più ampi e profondi che contengano quelli precedenti entro i riconosciuti limiti di
precisione, ma predicano anche un più grande numero di fenomeni conmaggiore esattezza.
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L’Astronomia che sin dai tempi più remoti studiava i moti degli astri nella volta celeste, offriva una evidente
constatazione: le costellazioni mantengono costante la propria forma e, più in generale, tutte le “ stelle fisse “
mantengono invariate le loro posizioni relative; esse ruotano “in blocco“, come rigidamente connesse ad una
grande sfera, la volta del cielo, che compie una rivoluzione completa intorno alla Terra nell’arco di un giorno.
Sette corpi celesti soltanto, visibili ad occhio nudo, apparivano in moto rispetto alla volta celeste: il Sole, la
Luna, Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno: i pianeti ( “viandanti “ in greco ).
Cose come le comete erano considerate “prodigi“, forieri di speciali avvenimenti riguardanti l’umanità.
Si trattava di descrivere il moto osservato di questi astri e di calcolarlo con metodi adeguati ai bisogni
concreti.
Varie concezioni furono enunciate.
Platone ben conosceva l’osservazione di Pitagora, che il moto del Sole rispetto alla Terra può interpretarsi
come dovuto alla composizione del moto circolare lungo l’eclittica ( nome del cammino apparente descritto
dal Sole durante l’anno, riportato sulla sfera celeste); questo moto veniva allora ritenuto erroneamente
uniforme a causa dell’imprecisione delle misure.
Platone propose agli astronomi di analizzare tutti i moti dei pianeti come dovuti alla composizione di moti
circolari; questa sua proposta, che determinò il futuro dell’Astronomia per duemila anni, ha un sorprendente
aspetto di modernità matematica, salvo il fatto che ciò che per noi è mera finzione di calcolo era per i
Platonici realtà incontestabile.
Diverse soluzioni furono trovate al problema di Platone.
Eudosso ideò uno schema, ingegnoso e abbastanza soddisfacente, secondo il quale ogni pianeta era
rigidamente connesso ad un involucro sferico ruotante attorno ad un asse, infisso nell’involucro
immediatamente esterno; questo schema fu accolto da Aristotele: è quello che si ritrova magistralmente
rappresentato nel Paradiso di Dante.
Apollonio, Ipparco e soprattutto Tolomeo risolsero il problema immaginando che i pianeti descrivessero
piccole orbite circolari intorno a centri descriventi a loro volta circonferenze attorno alla Terra. Questo è il
famoso sistema Tolemaico che rendeva conto, in modo eccellente, di tutti i dati disponibili nel II secolo dopo
Cristo.
Una dottrina di diretta ispirazione pitagorica affermava che anziché la volta celeste, fosse la Terra a ruotare
intorno ad un suo asse.
Questo insegnamento spinse Eraclide, contemporaneo di Aristotele, ad anticipare parzialmente, e quindi
Aristarco di Sano ad enunciare in modo completo ed esauriente la teoria che la Terra gira intorno a se
stessa, la Luna gira intorno alla Terra e questa e gli altri pianeti ruotano intorno al Sole, il quale è fisso come
le stelle: era la nascita del sistema “ eliocentrico “ ( Teoria che fu poi ritrovata da Copernico ) che risultava
però troppo diverso da tutte le concezioni allora prevalenti perché potesse venire ragionevolmente accettato
dalla scienza antica. La conoscenza di quanto Eraclito e Aristarco avevano ordinatamente asserito
incoraggiò Copernico a compiere la sua opera.
Ciò che è essenziale osservare è che dal nostro punto di vista i modelli (puramente cinematici) di Eudosso,
Tolomeo e Aristotele sono interamente equivalenti l’uno all’altro; è solo questione di preferenza adottarne
uno piuttosto che l’altro.
Una differenziazione nasce solo dopo l’opera di Keplero che, pur dando anch’ essa una descrizione di tipo
solo lineare, va ben oltre quelle offerte da questi modelli in modo per noi equivalente.
Per gli antichi, come anche per Galileo, la situazione era diversa; non si trattava di modelli, ma della Natura
stessa:la validità di un sistema escludeva necessariamente quella degli altri.
Copernico riscopre il sistema di Aristarco
Possiamo riassumere la situazione, al principio della rivoluzione legata soprattutto ai nomi di Copernico,
Galileo, Keplero e Newton.
Il sistema geocentrico era “evidentemente“ vero, che si parlasse di sfere celesti o di circonferenze varie;
l’astronomia trattava dei corpi celesti, dunque di natura perfetta e incorruttibile, trascendendo la vile sostanza
delle cose terrene fatiscenti e più o meno corrotte; essa era concepita solo in termini cinematici.
Mantenere i corpi celesti in moti così armoniosamente ed eternamente equilibrati poteva essere un compito
per angeli, che l’uomo poteva al più ammirare.
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La Fisica Aristotelica (cui ci si riferiva quale sommo espositore di ogni conoscenza scientifica, come a San
Tommaso per la dottrina cristiana) trattava i gravi ed il peso alla maniera che abbiamo descritto all’inizio: era
ovvio che i corpi cadessero al centro della Terra, se questo era anche il centro dell’Universo.
Per ciò che riguarda la relazione tra forza e movimento, il principio sostenuto dai peripatetici era che per
spingere o tirare un carico su una strada a velocità costante, occorre applicargli costantemente una forza
che cresce con la velocità voluta:
“ La velocità acquistata da un corpo sotto l’azione di una forza è proporzionale alla forza stessa”.
Moto dei corpi, caduta dei gravi, rivoluzione degli astri appartengono dunque a ordini concettuali non
estranei l’uno all’altro.
A questo punto ha inizio il romanzo forse più affascinante che sia stato mai vissuto dall’ “ homo sapiens “.
Esso si innesta in uno sfondo di credenze millenarie, di dogmi assoluti e di superstizioni ciecamente
accettate; ne sono prova il rogo di Giordano Bruno ( osservatore del sistema Copernicano e dichiarato
eretico ) ed il processo di Galileo.
L’iniziatore fu un ecclesiastico polacco, Nicola Copernico, che dedicò la sua vita ad una paziente ricerca di
una rappresentazione cinematica del moto degli astri e dei pianeti, sempre basata sul principio di orbite
circolari percorse con velocità uniforme, che riuscisse più semplice e di più agevole uso di quelle offerte dal
sistema Tolemaico.
La scoperta di Copernico fu la risposta al sistema eliocentrico di Aristarco, dimenticato dalla scienza ufficiale;
essa veniva ora, in ben altri tempi; il generale fervore intellettuale del Rinascimento italiano aveva
nuovamente aperto la mente all’uomo, alla curiosità e all’indagine.
Più tardi Copernico si trovò in difficoltà nel far quadrare la sua teoria con i dati astronomici, solo con Keplero
si apprese che le orbite dei pianeti non sono circolari né vengono percorse con velocità uniformi.
La nostra attenzione deve volgersi ora a Galileo e keplero; Galileo iniziatore della moderna scienza del moto
e del metodo sperimentale ( cui l’Umanità deve tanto ) sostenitore delle idee di Copernico e della ragione
umana contro il cieco dogma. ( A quell’epoca se Copernico aveva ragione, Tolomeo doveva aver torto).
Keplero, spirito teorico per eccellenza, trovò infine le “vere“ leggi del moto dei pianeti.
Il genio di Newton poté così rifulgere; dopo di lui il moto degli astri, la caduta dei gravi e qualsiasi altro moto
apparvero essere cose della stessa natura, in una formulazione così semplice e perfetta della Meccanica,
che fino ad Einstein nulla sembrava potersi ad essa aggiungere.
Newton disse: <<Se ho potuto vedere più lontano di altri, è perché mi sono poggiato “sulle spalle di
Giganti”>>.
L’opera di Keplero
Le leggi di Keplero (salvo modifiche di lieve entità, introdotte dalla relatività Generale) sono tuttora la base
indiscussa della nostra conoscenza del moto dei pianeti.
Giovanni Keplero è tra i primi scienziati che, anziché limitarsi all’esposizione dei risultati definitivi, hanno nei
loro scritti raccontato, passo per passo, anche i numerosissimi tentativi fatti (e dimostrati spesso erronei),
mostrando in tal modo come dalla ricerca delle cause degli errori emergessero nuove vie, che gradualmente
modificavano le opinioni iniziali, fino al raggiungimento della meta cercata.
Animato da profondo spirito mistico pitagorico e platonico, certissimo però della necessità di un metodo
razionale e del potere della matematica, Keplero si guadagnò dapprima risonanza con una teoria
pubblicata nel 1596, che rendeva conto in modo soddisfacente dei valori dei raggi delle varie orbite dei
pianeti. Questi valori, che potevano essere calcolati agevolmente con il sistema copernicano, dovevano pur
corrispondere a qualche perfetta armonia della Natura!
Gli venne l’ispirazione di ricollegare il fatto che esistevano solo sei pianeti ( Mercurio, Venere, Terra, Marte,
Giove e Saturno – Urano, Nettuno e Plutone erano a quel tempo ignoti per mancanza di adeguati strumenti
ottici –) all’altro fatto che esistono solo cinque poliedri regolari.
Per tentativi trovò che, se si inscrive un esaedro nella sfera di Saturno ( quella con centro il Sole, in cui giace
l’orbita di Saturno), nell’esaedro si inscrive poi un’altra sfera, in questa un tetraedro, nel tetraedro ancora una
sfera e così via, i raggi di tutte le sfere così ottenute sono nello stesso rapporto dei raggi delle orbite di
Saturno, Giove, Marte, Terra, Venere e Mercurio.
Keplero si sentì in obbligo di verificare con ogni possibile accuratezza la sua scoperta. Mancandogli dati
sufficientemente esatti si recò, come allievo da Tycho Brahe, massimo astronomo del tempo. Tycho aveva
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raggiunto, in un osservatorio costruitogli dal governo danese su di una isola, tale precisione nelle sue
osservazioni che esse sono utilizzate ancora oggi.
Tycho aveva un sistema celeste personale: tutti i pianeti, salvo la Terra, giravano intorno al Sole, questo
girava con il suo corteo di pianeti intorno alla Terra.
Keplero aspirava a trovare una causa del moto dei pianeti, che per motivi soprattutto mistici, credeva essere
il Sole; cercava quella dinamica del sistema solare che solo Newton, cinquant’anni dopo, poté edificare
traendola dalle sue leggi.
Nel corso dei suoi studi passò poco a poco dal concetto di “anima “ di un pianeta a quello di << vis >> cioè
“forza “: anche se non era chiaro cosa dovesse essere questa forza; è importante però il passaggio da una
concezione mistica ad una concezione meccanica della Natura.
L’orbita di Marte era la più interessante da studiare: i risultati che Keplero ottenne, dopo anni di lavoro con i
dati di Tycho, diedero una differenza tra la sua teoria e le osservazioni sperimentali di 8/60 di grado (
angolo descritto dalla lancetta dei secondi in 0,02 sec.); i dati di Tycho erano precisi entro 1/60 di grado:
Keplero a differenza di molti antichi rigettò tutta intera la sua teoria e ricominciò da capo.
Per tentativi arrivò alla conclusione che non è vero che il moto dei pianeti nelle loro orbite è uniforme, poi alla
esatta formulazione quantitativa di questa affermazione che oggi è nota come seconda legge di Keplero:
“Il raggio vettore che congiunge il Sole al pianeta descrive aree uguali in tempi uguali”.
Poiché le aree tratteggiate sono uguali, esse vengono descritte dal pianeta
durante il suo moto in tempi eguali.
E’ chiaro che la velocità del pianeta non è in modulo costante durante il moto:
essa è massima nell’orbita più vicina al Sole (perielio), minima in
corrispondenza del punto più lontano (afelio).
Bisogna sottolineare che, secondo Copernico e Tolomeo, i moti effettivi erano composizione di un numero
finito e molto piccolo di moti circolari uniformi, tale composizione non poteva andare d’accordo con la
seconda legge di Keplero.
Questa legge sancisce dunque l’abbandono definitivo dei concetti mistico-filosofici riguardanti la perfezione
del cerchio, la perfezione non va quindi ricercata nella forma geometrica delle orbite.
La legge impone la ricerca di altre forme di orbite che siano con essa compatibili.
Dopo un penosissimo lungo lavoro, provando ovali di varia forma, Keplero giunse finalmente, anche aiutato
un po’ dalla fortuna ( due errori di calcolo si compensarono l’un l’altro ) a quella che oggi si chiama: la prima
legge di Keplero:
“Un pianeta descrive un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi”.
L’orbita descritta dal pianeta P intorno al Sole è un'ellisse, ossia una
curva piana individuata come luogo geometrico dei punti aventi
costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi (F 1 e
F2).
Con queste due leggi la cinematica del moto planetario è
definitivamente formulata: con esse si calcola oggi l’orbita di un
pianeta o di una navicella spaziale.
Dopo dieci anni di lavoro Keplero trovò finalmente la risposta alla
domanda che si era posto inizialmente: quale fosse il principio che determina la distribuzione osservata dei
raggi delle orbite planetarie.
La terza legge di Keplero afferma che: Il rapporto tra il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato del periodo è
lo stesso per tutti i pianeti cioè R3 T2 costante.
E’ chiamato raggio R dell’orbita la semisomma della minima e della massima distanza del pianeta dal Sole,
periodo T di rivoluzione il tempo impiegato dal pianeta per percorrere l’intera orbita.
Questa legge, in particolare, doveva servire a Newton per trovare la forma esatta della legge dinamica che
regola tutti i fenomeni di gravitazione.
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6. UNITÀ DIDATTICA “DA COPERNICO A NEWTON”. ROSEMARIA GULINO
DAL COSMO CHIUSO ALL’UNIVERSO INFINITO
DISCIPLINE COINVOLTE: Storia e Filosofia, Matematica e Fisica, Scienze
Finalità e obiettivi
Saper inquadrare storicamente la rivoluzione scientifica chiarendo le implicazioni: religiose, culturali
(rapporti con le tradizioni neoplatoniche, magiche...), filosofiche (separazione scienza/filosofia).
Saper descrivere i contributi di Ticho Brahe, Klepero e Galilei nell’affermazione del sistema copernicano.
Comprendere il significato della legge di gravitazione universale di Newton.
Saper applicare la legge di gravitazione alla soluzione di alcuni problemi relativi ai pianeti e ai satelliti.
Prerequisiti
Conoscere la concezione fisico-cosmologica di Aristotele.
Conoscere le leggi del moto rettilineo e del moto circolare uniforme.
Conoscere le leggi della dinamica
Attività
Discussione e questionario di ingresso per la verifica del possesso dei seguenti concetti
,conoscenze e competenze:
2h
Geocentrismo/eliocentrismo
Meccanica aristotelica
Modello tolemaico
Meccanicismo
Legge scientifica sperimentale
Modello a-priori/a-posteriori
Tecnologia /scienza
Invenzione scoperta
Risoluzione di semplici esercizi sul moto dei corpi, caduta di un grave, moto parabolico.
Lezioni frontali e relative discussioni
6h
Visione filmati
2h
Esperienze di laboratorio e simulazioni al computer
4h
Verifica finale sulle conoscenze e comprensione acquisite
2h
Contenuti
L’attività didattica è specificatamente interdisciplinare e realizzata con la copresenza,per quanto possibile,
dei docenti delle discipline coinvolte.
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Lettura e commento brano tratto dal De revolutionibus orbium coelestium di Copernico per individuare:
Punti di rottura e di continuità con il cosmo aristotelico.
Elementi che hanno determinato la svolta eliocentrica.
Analisi del modello copernicano e spiegazione del moto retrogrado dei pianeti.
Il contributo di Ticho Brahe e il modello ticonico.
Lettura di passi scelti dal Dialogo sopra i due massimi sistemi di Galilei per mettere in evidenza:
I problemi fisici aperti dalla teoria del movimento terrestre.
Il richiamo della chiesa al principio di autorità.
Il rifiuto dell’omogeneità tra cielo e terra (implicazioni teologiche).
Lettura della lettera di Galilei e B. Castelli, lettura condanna a Galilei, lettura della ritrattazione di Galilei per
chiarire:
L’avversione della Chiesa (motivazioni).
La distinzione tra linguaggio scientifico e sacre scritture.
Conseguenze del processo a Galilei.
Le prove fisiche del copernicanesimo
Letture tratte dal Sidereus Nuncius, Dialogo sopra i due massimi sistemi di Galilei, Astronomia Nova di
Keplero, Philosophiae naturalis di Newton, per chiarire:
L’impostazione sperimentale della nuova ricerca (ruolo del cannocchiale).
Le scoperte fatte da G.con il cannocchiale.
Le risposte di G.per dimostrare il moto terrestre (esperimento mentale della nave e principio della
relatività del moto (visione film su inerzia e moto).
Misura dell’accelerazione di gravità (esperienza di laboratorio).
Traiettoria dei gravi in caduta (esperienza di laboratorio).
La cinematica celeste: le leggi di Keplero (influenza del neoplatonismo)
La deduzione newtoniana della legge di gravitazione universale a partire dalle leggi di Keplero e dalle leggi
della dinamica definite per i moti terrestri, legge che unifica la descrizione dei fenomeni naturali. La
dimostrazione viene condotta utilizzando orbite circolari.
La natura della forza gravitazionale, il problema dell’azione a distanza.
Determinazione di G (visione film su esperienza di Cavendish)
Moto dei satelliti artificiali (programma Isacco)
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