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CAPITOLO 1
Monomi e polinomi
1. MONOMI E POLINOMI CON DERIVE
Qualunque espressione algebrica letterale puoÁ essere semplificata con Derive; come nel caso delle espressioni
numeriche occorre peroÁ prestare attenzione all'uso delle parentesi che, come sappiamo, devono essere tutte
parentesi tonde.
Spesso, poi, l'espressione digitata non corrisponde alla scrittura che trovi sul tuo libro perche il simbolo di divisione viene sostituito da una linea di frazione.
Se, per esempio, digiti l'espressione
8
92
2 < "
2 #3 =
4
1
1 3 6
2 4 3
1
2xy 2 ‡ xy 3 :
x y
x y :
xy
: 6x 3 y
:
;
2
4
3
3
nella finestra di Algebra trovi scritto
Per semplificare l'espressione devi poi usare l'icona di semplificazione con il simbolo di ˆ.
Se l'espressione contiene prodotti notevoli, come per esempio la seguente:
…2x
1†
2
…x
2†
3
si puoÁ vedere il suo sviluppo mediante l'esecuzione passo passo e l'esplicitazione delle regole applicate. Per attivare queste modalitaÁ devi aprire la finestra di dialogo del comando Opzioni/ModalitaÁ e nella finestra di Semplificazione spuntare la casella Visualizza regole (non eÁ necessario invece spuntare quella di Visualizza passaggi percheÁ sappiamo che lo si puoÁ fare con la corrispondente icona); usando due volte l'icona Visualizza passaggi, ottieni sia la regola (di solito scritta in blu) sia lo sviluppo dell'espressione. Per trovare il risultato finale devi alla fine
usare l'icona con il simbolo ˆ.
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Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
1
Un'altra opportunitaÁ offerta da Derive per la semplificazione delle espressioni eÁ quella che riguarda la modalitaÁ di
sviluppo di un prodotto quando compaiono due o piuÁ variabili; prova ad inserire l'espressione
…x
2a†… x ‡ 3b†…x
a ‡ b†
Se applichi ad essa il comando Semplifica/Base (corrispondente all'icona ˆ) non ottieni il calcolo del prodotto
perche occorre specificare rispetto a quali variabili tale prodotto deve essere sviluppato; devi in questo caso usare il comando Semplifica/Sviluppa che ti permette di indicare nella finestra di dialogo quali sono le lettere che hanno la funzione di variabile.
Per indicare le variabili rispetto alle quali fare lo sviluppo occorre selezionarle con il mouse (le variabili selezionate
hanno la striscia blu); di seguito puoi vedere lo sviluppo del prodotto quando viene selezionata come variabile
quella indicata:
l
…x
2a†… x ‡ 3b†…x
a ‡ b† ˆ x3
l
…x
2a†… x ‡ 3b†…x
a ‡ b† ˆ x3 ‡ x2 …4b
l
…x
2a†… x ‡ 3b†…x
a ‡ b† ˆ 2a …3b ‡ x†
l
…x
2a†… x ‡ 3b†…x
a ‡ b† ˆ 3b2 … x
11abx
2
6ab2 ‡ 6a2 b
3a† ‡ x…2a2
3ax2 ‡ 2a2 x ‡ 4bx 2 ‡ 3b2 x tutte le variabili selezionate
11ab ‡ 3b2 † ‡ 6ab…a
b†
a…3b ‡ x †…3x ‡ 2b† ‡ x … x ‡ b†… x ‡ 3b†
2a† ‡ b… x
2a†…4x
3a† ‡ x … x
a†… x
2a†
sviluppo rispetto a x
sviluppo rispetto ad a
sviluppo rispetto a b
Anche la determinazione del quoziente e del resto eÁ cosa semplice se si tiene presente la relazione
A… x †
R… x †
ˆ Q… x † ‡
B… x †
B… x †
Per esempio, la divisione
…2x 5 ‡ 2x 3
6x
1† : …x 3 ‡ 2x
4†
semplificata con il comando Semplifica/Sviluppa restituisce l'espressione
2
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
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2x 5 ‡ 2x 3 6x
x 3 ‡ 2x 4
1
ˆ 2x 2
2‡
8x 2
x 3 ‡ 2x
che va interpretata in questo modo:
4
Q… x † ˆ 2x 2
2x
x 3 ‡ 2x
4
9
x 3 ‡ 2x
4
2
R… x † eÁ il polinomio dato dalla somma dei monomi che si trovano al numeratore delle tre frazioni:
R… x † ˆ 8x 2
2x
9
Qualunque espressione algebrica, infine, si puoÁ interpretare come una funzione delle sue variabili; questo eÁ utile
per valutare un polinomio in corrispondenza di particolari valori delle sue lettere.
Per esempio, la scrittura:
P…a, b† :ˆ a2
3ab ‡ 5b2
interpreta il polinomio P come una funzione di a e di b e allora inserendo:
l
l
P…2, 3† ˆ
1
,2 ˆ
P
2
Derive restituisce
Derive restituisce
P…2, 3† ˆ 31
1
93
P
,2 ˆ
2
4
Una funzione di questo tipo eÁ utile anche per stabilire la divisibilitaÁ di un polinomio P… x † per il binomio … x a†; per
stabilire se il polinomio x 3 5x 2 ‡ 10x 8 eÁ divisibile per x ‡ 1 e per x 2 devi procedere in questo modo:
l
costruire la funzione P… x †:
P… x † :ˆ x 3
l
valutare P… 1†:
P… 1† ˆ
(Derive restituisce P… 1† ˆ
l
valutare P…2†:
P …2 † ˆ
(Derive restituisce P…2† ˆ 0)
5x 2 ‡ 10x
8
24)
E' anche possibile impostare un piccolo programma per stabilire la divisibilitaÁ usando il teorema di Ruffini; dobbiamo imparare ad usare la funzione di selezione If che eÁ l'equivalente della funzione SE di Excel e ha una sintassi
analoga:
If…proposizione logica, istruzione 1, istruzione 2)
In questo modo viene eseguita l'istruzione 1 se la proposizione eÁ vera, l'istruzione 2 se la proposizione eÁ falsa.
Progettiamo allora una funzione di nome Div, che dipende dalla variabile x del polinomio P, a cui assegniamo la
stringa "divisibile" se P…a† eÁ uguale a zero, "non divisibile" se P…a† non eÁ uguale a zero:
Div…x† :ˆ If…P…x† ˆ 0,}divisibile},}non divisibile}†
Basta adesso chiedere di valutare Div… 1† e Div…2† per avere la risposta sulla divisibilitaÁ.
2. I POLINOMI CON EXCEL
Esercitazione 1. I polinomi come funzioni
Sappiamo che il valore di un polinomio dipende da quello che viene attribuito alle sue lettere, eÁ cioeÁ funzione delle
sue lettere. Possiamo costruire una funzione polinomiale con Excel, per esempio considerando il polinomio
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Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
3
P…a, x † ˆ 3ax 2
5a3 x ‡ 4a
x, e calcolare il suo valore per assegnati valori delle variabili.
Prepara il foglio inserendo le parti descrittive come indicato nella figura al termine dell'esercitazione; per calcolare
il valore assunto da P devi inserire questa formula:
B8:
ˆ 3 B5 B6^2
5 B5^3 B6 ‡ 4 B5
B6
Se adesso modifichi il contenuto delle celle B5 e B6 che contengono rispettivamente i valori di a e di x, anche
quello del polinomio P cambia.
A
B
C
D
CALCOLO DEL VALORE DI UN POLINOMIO
1
2
3
4
5
6
7
8
E
F
G
H
P(a, x)=3ax^2-5a^3x+4a-x
Valore di a:
Valore di x:
3
-2
Valore di P:
320
Esercitazione 2. Il teorema del resto
Con le potenzialitaÁ di calcolo di Excel possiamo stabilire, servendoci del teorema del resto, se un polinomio P…x†
eÁ divisibile per un binomio della forma x a. Segui la preparazione del foglio di lavoro sulla figura al termine dell'esercitazione. La tabella di calcolo riporta:
n La riga del grado dei termini del polinomio; abbiamo previsto un polinomio al massimo di sesto grado, ma la
tabella si puoÁ ampliare.
Per inserire i numeri da 6 a 0 puoi usare la stessa procedura giaÁ vista in una delle precedenti unitaÁ:
l
scrivere 6 e 5 in due celle consecutive
l
selezionare le due celle
l
puntare il cursore nell'angolo inferiore di destra della selezione (il puntatore diventa una piccola croce nera)
l
trascinare la selezione fino ad arrivare a zero.
n La riga dei coefficienti del polinomio: i valori vanno inseriti manualmente.
n Il valore di a, da inserire nella cella B3.
n La riga dei prodotti calcolati sostituendo a x il valore di a, calcolando cioeÁ il prodotto del coefficiente del polinomio sulla colonna per il valore di a elevato al grado corrispondente.
n Il resto calcolato sommando gli elementi della riga dei prodotti.
Usiamo il foglio di Excel per stabilire se il polinomio x 6 x 5 ‡ 2x 4 5x 3 ‡ x 2 10x 8 eÁ divisibile per x 2.
I dati da inserire sono quelli presentati nella figura che segue alla riga dei coefficienti del polinomio e nella cella del
valore di a.
Le formule appropriate sono dunque quelle che trovi nella seguente tabella (lasciamo a te il compito di completare le piuÁ semplici):
B4:
= B2 $B$3^.............
(osserva il riferimento assoluto alla cella di a)
La formula va copiata ..............
B5:
= SOMMA(...............)
Per comunicare la divisibilitaÁ o meno dei due polinomi dobbiamo inserire la seguente funzione:
A7:
4
= SE(B5=0;"I POLINOMI SONO DIVISIBILI";"I POLINOMI NON SONO DIVISIBILI")
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
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che significa: se il resto eÁ zero scrivi che i polinomi sono divisibili, altrimenti scrivi che non sono divisibili.
Ad operazione di inserimento dati ultimata, Excel ci dice che, avendo trovato resto zero, il polinomio dato eÁ divisibile per x 2.
1
2
3
4
5
6
7
A
Grado dei termini
Coefficienti del polinomio
Valore di a
Prodotti
Resto
B
6
1
2
64
0
C
5
-1
D
4
2
E
3
-5
F
2
1
G
1
-10
H
0
-8
-32
32
-40
4
-20
-8
I POLINOMI SONO DIVISIBILI
Esercitazione 3. La divisione con il metodo di Ruffini
Calcoliamo i coefficienti del polinomio quoziente della divisione di un polinomio P di sesto grado della forma px 6 ‡ qx 5 ‡ rx 4 ‡ sx 3 ‡ tx 2 ‡ mx ‡ n per un binomio della forma x a mediante il metodo di Ruffini.
Prepariamo allora un foglio di lavoro come quello nella figura al termine dell'esercitazione (abbiamo eseguito la
divisione …x 4 4x 3 ‡ 7x 2 3x 1† : …x 1†† in cui:
n nella riga dei coefficienti, a partire dalla cella C2 inseriamo i coefficienti del polinomio P
n nella cella B1 inseriamo il valore di a e lo copiamo in B3
n nella riga 3, a partire dalla cella D3, inseriamo i prodotti delle celle della riga 4 per il valore di a nella cella B3
n nella riga 4, per ogni cella, inseriamo la somma dei due numeri che la sovrastano.
Ecco la procedura da seguire:
B3:
= B1
C4:
= C2 + C3
Copia la formula da ................. a .................
D3:
= C4 $B$3
Copia la formula da ................. a .................
Abbiamo cosõÁ costruito il prospetto della divisione con il metodo di Ruffini. Scriviamo adesso il polinomio quoziente ed il resto della divisione rispettivamente nelle celle B5 e B6. Per farlo dobbiamo concatenare, cioeÁ scrivere
vicini, ogni coefficiente ottenuto nell'ultima riga della tabella con l'appropriata potenza di x a partire dalla quinta.
Excel esegue le concatenazioni con l'operatore & ; per esempio
"oggi eÁ " & "domenica"
"oggi eÁ domenica"
restituisce
Teniamo poi presente che le stringhe non assegnate a qualche cella devono essere poste fra doppi apici; inseriamo dunque la seguente formula:
B5:
= C4 & " x^5 + " & D4 & " x^4 + " & E4 & " x^3 + " & F4 & " x^2 + " & G4 & " x + " & H4
concatenando in questo modo i coefficienti con le rispettive potenze di x (se il coefficiente eÁ negativo il risultato
verraÁ scritto con un doppio segno).
Nella cella B6 copia poi il resto calcolato alla cella I4. Alla fine del lavoro il foglio si presenta in questo modo:
A
1 Valore di a
2
3
4
5 Quoziente
6 Resto
B
1
C
0
D
0
1
0
0
0
0x^5+0x^4+1x^3+-3x^2+4x+1
0
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E
F
G
H
I
1
0
1
-4
1
-3
7
-3
4
-3
4
1
-1
1
0
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
J
5
Esercizi
Risolvi i seguenti esercizi con Derive.
1. Sviluppa l'espressione …2x 3a†…x2 ‡ 2a2 † :
a. rispetto alla variabile x
b. rispetto alla variabile a
c. rispetto a entrambe le variabili
e confronta i risultati ottenuti.
2.
1
b
a2
Semplifica l'espressione
2
cola poi il suo valore numerico per:
a. a ˆ
1
ebˆ
2
3
2
2
…3a
b. a ˆ
2b†…3a ‡ 2b† :
1ebˆ0
1
b
2
…2b
c. a ˆ
2
3a†…2b ‡ 3a† ; cal-
3
e b ˆ 1.
4
3. Trova quoziente e resto delle seguenti divisioni:
a.
b.
c.
…3x 4 2x 3 ‡ x 4† : …2x 2 ‡ 1†
…2a3 4a2 b ‡ ab2 6b3 † : …3a ‡ 5b†
…x 4 ‡ x 3 3x 3† : … x ‡ 1†
4. Interpreta ciascuno dei seguenti polinomi come funzione delle sue lettere e valuta quanto richiesto:
4xy ‡ 2y 2
a. P… x, y † ˆ x 3
b. P…a, b† ˆ 3ab
4ab ‡ b
2
c. P…a, x † ˆ 2a x ‡ a x
3
2 2
3
ab
2
4ax ‡ a
valuta
P…2, 0†
P…1,
valuta
P…1, 1†
P… 2, 3†
P…0, 1†
valuta
P…0, 4†
P… 1, 0†
P…2, 3†
1†
P…0,
3†
5. Servendoti della funzione Div costruita nell'esercitazione, stabilisci la divisibilitaÁ dei seguenti polinomi per i
binomi indicati a fianco:
a. x 2 4x 3 ‡ 5x 7
b. x 4 x 3 ‡ 5x 2 5x
c. 2x 4 x 2 ‡ 3x 3 8
divisibile per
divisibile per
divisibile per
x 2
x‡2
x 4
x‡3
x 1
x 2
x 1
x‡1
x 1
Risolvi i seguenti esercizi con Excel.
6. Modifica il foglio di lavoro preparato nella prima esercitazione e calcola il valore assunto dai seguenti polinomi per i valori indicati delle variabili:
P…0†, P…1†, P… 2†
a. P…x† ˆ x 3 4x 2 ‡ 5x 1
P…1,
1†, P… 2, 0†, P… 4, 1†
b. P…x, y† ˆ 3x 2 4xy ‡ y 2
1 3
1
2
3
,
2
c. P…a, b† ˆ a ‡ 2a b 4b
P…0, 0†, P… 1, 2†, P
2
2
7. Inserendo opportunamente i dati nel foglio di lavoro, stabilisci se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi indicati:
a. x 4 3x 3 ‡ 4x
b. x 5 6x 3 ‡ 6x
5
1
x
x
1
1
x‡1
x‡2
x
x
2
3
8. Inserendo opportunamente i dati nel foglio di lavoro, calcola quoziente e resto delle divisioni dei seguenti
polinomi per i binomi scritti a fianco:
x
a. x 4 2x 3 x 2 ‡ 2
5
4
2
4x ‡ 3
x
b. x ‡ x
6
1
1
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
x‡1
x‡2
x
x
2
3
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Matematica e storia
Gli sviluppi dell'algebra
E' assolutamente naturale oggi per qualsiasi studente lavorare con numeri, lettere, simboli di operazioni, valutare uguaglianze o disuguaglianze,
e questo modo di operare semplifica enormemente
la trasmissione di concetti. E' molto piuÁ facile infatti
esprimere una proprietaÁ con un simbolismo algebrico che non a parole; la semplice regola dello
sviluppo del quadrato di un binomio eÁ molto piuÁ
semplice ed immediata se la scriviamo cosõÁ:
2
…a ‡ b † ˆ a2 ‡ 2ab ‡ b 2
Ma il linguaggio algebrico eÁ una conquista relativamente recente e ci sono voluti secoli per giungere ai simboli e alle tecniche utilizzate oggi. Vale la
pena di ripercorrere brevemente questo cammino
per renderci conto di quanto difficili da conquistare siano state spesso conoscenze che a noi oggi
appaiono scontate.
Il metodo algebrico, ma non le rappresentazioni
simboliche usate oggi correntemente, era giaÁ utilizzato nell'antichitaÁ, nell'ambito di civiltaÁ quali la babilonese, l'indiana e la greca. In ognuna di esse,
tuttavia, l'algebra possedeva caratteristiche particolari.
Presso i Babilonesi la matematica era utilizzata da
commercianti, tecnici ed agricoltori per risolvere
problemi pratici, legati alla canalizzazione delle
acque, alla misurazione dei terreni e a questioni
di ereditaÁ. GiaÁ verso il 2000 a.C. in questa societaÁ, come risulta dalla lettura di tavolette di terracotta incise con caratteri cuneiformi, si puoÁ parlare di
procedimenti algebrici presentati sotto forma di
problemi concreti e di esempi numerici. PiuÁ tardi,
nella seconda metaÁ del quinto secolo d.C., anche
in India si comincioÁ ad usare l'algebra, come testimonia l'opera del matematico Arya-Bhata, nella
quale vengono risolte equazioni di primo e secondo grado ed i sistemi di primo grado. Anche presso questa societaÁ, peroÁ, i numeri ed i calcoli servivano soprattutto per le attivitaÁ commerciali.
Per quanto riguarda la Grecia, pur esistendo riferimenti algebrici in problemi di geometria databili al
quinto secolo a.C., eÁ soltanto con Diofanto nel 200
d.C. che si puoÁ parlare di algebra. Egli infatti, in
particolar modo nell'opera Arithmetica, al contrario di quelli che lo avevano preceduto, non risolse
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le equazioni algebriche per mezzo della geometria, ma operoÁ mediante un'incognita, che indicava con il simbolo (lettera greca sigma).
A Bagdad, a cavallo fra l'ottavo ed il nono secolo
dell'era cristiana, visse e lavoroÁ Muhammad Ibn
MusaÁ detto Al-Khuwarizmi dalla cittaÁ di cui era originario. Egli, tra l'800 e l'825, scrisse due importanti opere di matematica. Secondo alcuni storici
da una di queste, che nella traduzione latina comincia con le parole «Algoritmi dicit ...», deriva
la parola algoritmo, usata per la prima volta nel
Medio Evo; secondo altri, invece, essa deriva dalla
storpiatura del suo soprannome. Dal titolo del suo
trattato «Al-gebr we'l mukabala», che si puoÁ considerare l'atto di nascita di questa disciplina, deriva
invece la parola algebra. Di questo libro si eÁ conservato un manoscritto arabo del 1342, attualmente ad Oxford, e alcune versioni latine, di cui le piuÁ
famose sono quella di Robert of Chester, redatta
nel 1145 a Segovia e quella di Gherardo da Cremona (1114-1187) fatta a Toledo.
L'obiettivo che Al-Khuwarizmi si era prefisso in questa opera era quello di scrivere un manuale che
servisse alla risoluzione dei problemi della vita
quotidiana; in realtaÁ l'opera ebbe una diffusione
ben piuÁ ampia di quella che l'autore si aspettava.
Al-Khuwarizmi
Al-Khuwarizmi nelle sue opere si occupoÁ anche della risoluzione delle equazioni di primo e di seconTema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
7
8
do grado, e in esse indicoÁ l'incognita con la parola
«cosa» o «radice di una pianta», da cui deriva la
consuetudine di chiamare «radice» la soluzione di
un'equazione.
La parola «cosa» si ritrova anche in manoscritti cinesi precedenti, risalenti al primo e secondo secolo
d.C., per indicare l'incognita. Il fatto di ritrovare lo
stesso nome per indicare lo stesso elemento in due
civiltaÁ diverse e lontane nel tempo, ci fa comprendere che giaÁ in epoche remote i matematici avevano capito che l'incognita puoÁ indicare una «cosa»
qualsiasi, indipendentemente dalla sua natura.
Anche in Italia, quando dall'anno 1000 in poi si
risveglioÁ l'interesse per la matematica, l'incognita
si chiamoÁ «cosa», sulla scia dell'influenza araba,
diffusa nel nostro paese grazie al Liber Abaci di
Leonardo Pisano, detto Fibonacci. In tale opera
compare anche, per la prima volta, la parola di
origine latina «equazione».
Fra i vari matematici che operarono in epoca successiva, merita attenzione Luca Pacioli (14451514), che, pur non essendo un ricercatore originale (le sue opere attingono largamente ai lavori
di Fibonacci), ebbe peroÁ il merito di saper diffondere l'interesse per la matematica e soprattutto la
conoscenza dell'algebra, nonche di introdurre alcune felici abbreviazioni nella scrittura delle
espressioni algebriche.
Attorno alla seconda metaÁ del Quattrocento venne
inventata la stampa a caratteri mobili: il primo libro di matematica stampato, l'Aritmetica di Treviso, ad opera di un anonimo, eÁ un manuale didattico rivolto specialmente agli apprendisti del commercio. In questo secolo infatti si studiarono la ma-
tematica, e l'algebra in particolare, da un punto di
vista tecnico-pratico, in rapporto ai progressi e alle
innovazioni realizzati nei campi del commercio e
della produzione. Di qui la riscoperta dei testi antichi, quali Gli Elementi di Euclide e le opere di Archimede e di Erone, ma anche lo studio della natura teso ad analizzare ogni fenomeno per poterlo
riprodurre e controllare. Famosi a questo proposito
sono gli studi di Leonardo sul volo degli uccelli per
cercare di costruire una «macchina volante». La
matematica in questo periodo era quindi studiata
prevalentemente per potersene poi servire nelle varie applicazioni.
Nel secolo successivo, i matematici volsero la loro
attenzione al problema di trovare una soluzione
per le equazioni di terzo grado, che era stato lasciato irrisolto sia dai Greci che dagli Arabi.
NicoloÁ Tartaglia (1506-1557) riuscõÁ a scoprire una
regola, assai complicata, che risolveva il problema
delle equazioni di terzo grado in forma generale.
Bisogna tenere presente che in quell'epoca i matematici rendevano pubblici i loro studi in modo indiretto, lanciando i cosiddetti «cartelli di matematica
disfida» nei quali lo sfidante proponeva ai dotti del
tempo un problema di particolare difficoltaÁ, dopo
avere trovato per proprio conto il metodo di risoluzione. Fu proprio nel corso di una di queste disfide
che Tartaglia comunicoÁ a Girolamo Cardano
(1501-1571) la propria regola.
Quest'ultimo, intuita la portata della scoperta, vi
apportoÁ notevoli sviluppi e la pubblicoÁ nel 1545
nell'opera Ars Magna, senza peroÁ fare riferimento,
se non in misura minima, al contributo di Tartaglia
il quale, sdegnato, pubblicoÁ la sua Quesiti et inven-
Ritratto di Luca Pacioli
NicoloÁ Tartaglia
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
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zioni diverse dove, con parole offensive, denunciava Cardano.
Nacque cosõÁ una disputa che vide schierarsi chi da
una parte chi dall'altra i matematici del tempo; numerosi furono i cartelli lanciati dalle due parti in
causa e questo contribuõÁ non poco a rendere sempre piuÁ vivo l'interesse per i problemi algebrici.
La difficoltaÁ delle ricerche in campo algebrico a quel
tempo era in larga misura costituita dal linguaggio
usato, che era sostanzialmente quello comune, con
qualche abbreviazione introdotta da Pacioli.
Riportiamo di seguito la prima di un gruppo di terzine usate da Tartaglia proprio per esporre il metodo risolutivo delle equazioni di terzo grado:
"Quando che 'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso"
Nel linguaggio di oggi scriveremmo cosõÁ:
Quando che 'l cubo con le cose appresso x 3 ‡ px
Se agguaglia a qualche numero discreto
x 3 ‡ px ˆ q
Trovan dui altri differenti in esso
qˆu v
La serie di terzine prosegue indicando come procedere per trovare le radici dell'equazione in funzione di u e di v.
Ai tempi di Cardano e Tartaglia si usava la lettera
p per indicare il segno ‡, la lettera m per indicare
il segno
e la lettera R maiuscola per la radice
quadrata; le parentesi tonde si conoscevano giaÁ
dal 1544 ed il simbolo di uguale fu introdotto nel
1557 da Robert Recorde che diceva di non conoscere niente di piuÁ uguale di due linee parallele.
r
1
Per esempio, l'espressione 5 ‡ 7
veniva
2
scritta cosõÁ:
5p : R…7m : 1=2†
Nell'Ars Magna, Cardano chiama l'incognita rem
ignotam, x 2 viene indicata con qdratum ed il termine noto di un'equazione con numero; l'equazione
di secondo grado x 2 ˆ 3x 5 veniva scritta cosõÁ:
qdratum aequaetur 3 rebus m: 5
PiuÁ tardi, con l'introduzione di alcune abbreviazioni, x venne indicata con N, x 2 con Q, x 3 con C
(che sta per cubus) e si cominciarono ad usare i
simboli ‡ e ; con queste abbreviazioni l'espressione x 3 ‡ 4x 2 3x ‡ 5 si scriveva cosõÁ:
C ‡ 4Q
3N ‡ 5
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Fu solo verso la fine del Cinquecento che il linguaggio
algebrico venne interamente rielaborato ad opera del
matematico francese Francois VieÁte (1540-1603).
Nella sua opera, pubblicata nel 1591, egli introdusse il calcolo letterale, indicando con le lettere non
piuÁ solo le incognite, ma anche le quantitaÁ note. Egli
usava le vocali per indicare le incognite e le consonanti per indicare le quantitaÁ note. VieÁte scriveva lo
sviluppo del cubo di un binomio in questo modo:
a ‡ b cubo aequalia a cubis ‡ b in a quadr. 3
|‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚} |‚‚‚‚{z‚‚‚‚} |‚‚‚‚{z‚‚‚‚} |‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}
3
…a ‡ b †
ˆ
a3
‡3a2 b
‡ a in b quadr. 3 ‡ b cubo
|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚} |‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚}
‡b 3
‡3ab 2
Cartesio apportoÁ poi ulteriori miglioramenti al simbolismo algebrico, usando le prime lettere dell'alfabeto per i numeri noti: a, b, c,::: e le ultime per le
incognite: x, y, z. RappresentoÁ anche le potenze
con i numeri arabi posti in alto a destra della lettera, cosõÁ come facciamo noi oggi, tranne nel caso
del quadrato: a2 veniva indicato con aa; accostoÁ
i termini di un prodotto senza indicare il simbolo
p
di operazione, usoÁ il simbolo odierno
per la rap
dice quadrata ed il simbolo c per quella cubica.
E' da questo momento che ebbe inizio propriamente l'algebra come scienza del calcolo letterale, cioeÁ
quella parte della matematica che si serve di formule costruite anche con le lettere. Successivamente,
verso l'inizio dell'Ottocento, il problema primario
dell'algebra divenne quello di trovare metodi per
risolvere un'equazione di grado n in un'incognita.
In questo periodo algebra significava ancora e soprattutto teoria delle equazioni algebriche.
Intorno alla metaÁ dell'Ottocento, tuttavia, in varie
branche della fisica e nella stessa matematica si
cominciarono a studiare grandezze per le quali eÁ
possibile eseguire le operazioni che conosciamo
(addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), ma con regole diverse da quelle che valgono
per i numeri razionali (ad esempio il calcolo con
gli insiemi). Di conseguenza, gli studi si concentrarono piuÁ sulle operazioni in se stesse che sugli enti
su cui si opera, come dimostrano ad esempio le ricerche di G. Boole.
Oggi l'algebra eÁ uno strumento dinamico ed efficace per affrontare ricerche sempre piuÁ complesse e
diversificate.
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
9
1 Quale fra le seguenti espressioni rappresenta il quadrato del triplo del consecutivo del numero intero n?
a. ‰3…n ‡ 1†Š2
b. 3n2 ‡ 1
c. …3n ‡ 1†2
d. 3…n2 ‡ 1†
e. 3…n ‡ 1†2
‰a:Š
2 Se n e m sono due interi con n < m, quanti sono gli interi q tali che n < q < m?
a. m
n
1
b. m
n‡1
c. m
n
d. m
n
2
e. nessuno dei precedenti
‰a:Š
3 Se n eÁ un intero positivo, quale fra i seguenti eÁ certamente divisibile per 3?
a. …n ‡ 2†…n ‡ 3†…n ‡ 5†
b. n…n ‡ 2†…n ‡ 6†
d. n…n ‡ 3†…n
e. …n ‡ 1†…n ‡ 2†
3†
c. n…n ‡ 2†…n ‡ 4†
‰c:Š
4 Se y ˆ 2x e z ˆ 2y, a cosa eÁ uguale x ‡ y ‡ z?
a. 5x
b. 4y
c. 3z
d.
7
y
2
e.
7
<z
3
‰d:Š
5 Sia P…x† ˆ ax 2 ‡ bx ‡ c un polinomio di secondo grado con coefficienti reali (cioeÁ a, b, c sono numeri
reali e a 6ˆ 0). Se P…2000† ˆ 2000 e P…2001† ˆ 2001, allora P…2002† non puoÁ essere uguale a:
a. 2000
b. 2001
c. 2002
d. 2003
e. 2004
‰c:Š
6 a, b, c sono tre numeri naturali. Sappiamo che a eÁ divisibile per 15, b eÁ divisibile per 12, c eÁ divisibile per
21. Quale delle seguenti affermazioni eÁ certamente vera?
a. a2 ‡ b 2 ‡ c 2
c. a ‡ b ‡ c
e. a2 ‡ b 2 ‡ c 2
eÁ divisibile per 18
eÁ divisibile per 2
eÁ divisibile per 15
b. a ‡ b ‡ c
d. …a ‡ b ‡ c†2
eÁ divisibile per 9
eÁ divisibile per 9
‰d:Š
7 Comunque si prenda un numero naturale n, il numero …n ‡ 2†…n ‡ 3†…2n ‡ 5† eÁ divisibile per
a. 4
b. 6
c. 9
d. 10
e. 15
‰b:Š
8 Qual eÁ il valore massimo che puoÁ assumere il numero a…b ‡ c† b…a ‡ c† quando a, b e c sono numeri
interi distinti tra loro, maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 10?
a. 80
b. 81
c. 84
d. 100
e. 15
‰b:Š
b
9 Archimede eÁ nato nell'anno x avanti Cristo. Sapendo che a ˆ b, c ˆ , b ˆ e, d ˆ 49, e ˆ a, a ˆ 2001,
3
x ˆ c 380 quando eÁ nato Archimede?
a. 287 a.C.
b. 289 a.C.
c. 387 a.C.
d. 667 a.C.
e. 285 a.C.
‰a:Š
10 Se a e b sono due numeri interi positivi tali che 3a ˆ 2b, quale delle seguenti conclusioni eÁ corretta?
a. a ‡ b eÁ multiplo di 5
b. a ‡ b eÁ dispari
c. a b eÁ pari ma non eÁ multiplo di 4
d. a oppure b eÁ dispari
e. nessuna delle risposte precedenti eÁ corretta.
10
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
‰a.Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Attenzione agli imbrogli
Un'anziana signora vive sola in un appartamento dall'altra parte della cittaÁ; un giorno una persona dall'aria molto distinta suona alla sua porta e si presenta come promotore finanziario. La donna, che eÁ molto cortese ma forse
un po' ingenua, lo fa entrare in casa e lo ascolta.
Promotore:
"Signora sono qui per offrirle una grande e vantaggiosa proposta. La mia societaÁ si occupa di
investimenti in Borsa e garantisce un rendimento del 20% sul capitale da lei messo a disposizione; non troveraÁ mai nessuno disposto ad offrirle un interesse cosõÁ alto a rischio praticamente nullo".
La donna:
"Un interesse cosõÁ non l'ho mai visto; dov'eÁ l'imbroglio?".
Promotore:
"Nessun imbroglio, io stesso ho giaÁ impiegato i miei risparmi e li ho visti crescere in breve tempo. Le spiego meglio: noi richiediamo un investimento minimo di E 10000 e dopo un anno le
diamo E 2000 di interesse e le restituiamo i suoi E 10000. Per lei eÁ come avere una pensione
in piuÁ".
La donna accetta e dopo un anno si vede restituire E 2100.
Decisamente arrabbiata la signora mostra a uno dei suoi figli il prospetto di calcolo che l'agenzia finanziaria le
ha inviato e dal quale si rilevano queste valutazioni (E sta per Euro e c sta per centesimi di Euro):
Interesse su 10000E al 20%: 2000E
2
2
Capitale versato:
10000E ˆ 10000 100c ˆ 1000000c ˆ …1000c † ˆ …10E † ˆ 100E ˆ 10000c
Totale dovuto:
2100E
Apparentemente il contratto eÁ stato rispettato, la donna ha
ricevuto E 2000 di interesse come pattuito e le sono stati
restituiti i suoi E 10000 percheÂ, secondo l'equivalenza
evidenziata, 10000 Euro o 10000 centesimi sono la stessa
cosa. Ovviamente l'errore c'eÁ; sei in grado di trovarlo?
Conoscere bene l'algebra puoÁ evitare numerosi errori e
consente di interpretare correttamente molte valutazioni.
A te sciogliere l'inganno o scoprire il trucco nelle seguenti
situazioni.
1 Ogni giorno un tale mette il suo tavolino all'angolo di una strada o di una piazza e si guadagna da vivere
proponendo un gioco ai passanti.
"Venite signori, questo eÁ un gioco dove si puoÁ vincere! Funziona cosõÁ: si tiene il pugno chiuso, si conta
fino a tre e poi si apre il pugno mostrando un numero di dita a piacere, si moltiplicano i numeri della dita
che sono usciti. Se il prodotto eÁ pari vince il banco, se il prodotto eÁ dispari vincete voi. Coraggio puntate
e giocate".
Gli ingenui passanti sono convinti di poter vincere e puntano chi un Euro, chi due, chi dieci e ...........
perdono sempre. Sai spiegare la tattica di gioco sempre vincente del tale?
2 Gli esseri umani laureati sono davvero speciali. Prendiamo Anna, che eÁ nata nel 1960 e si eÁ laureata nel
1985; nel 2008, ha 48 anni ed eÁ laureata da 23 anni; se sommiamo tutti questi numeri, cioeÁ 1960, 1985,
48 e 23 troviamo 4016, che eÁ il doppio dell'anno considerato.
Ma anche Fabrizio, nato nel 1958 e laureato nel 1984, la Prof. di Inglese, nata nel 1954 e laureata nel
1978 e il Prof. di Disegno, nato nel 1961 e laureato nel 1987, sono soggetti alla stessa caratteristica.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
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PeroÁ anche gli esseri umani sposati, pure se non laureati, godono dello stesso privilegio. Lucia eÁ nata nel
1958 e si eÁ sposata nel 1986; nel 2008, ha 50 anni ed eÁ sposata da 22, e per lei
1958 ‡ 1986 ‡ 50 ‡ 22 ˆ 4016.
Gli esseri umani sono davvero speciali o si tratta di una coincidenza?
3 Negli anni successivi al 2008 i dati del poblema precedente vanno aggiornati, ma la somma risulteraÁ
sempre il doppio dell'anno in corso. Qual eÁ l'espressione che verifica il problema?
4 Dimostriamo adesso che 1 metro eÁ uguale a 1 centimetro.
2
1m ˆ 100cm ˆ …10cm† ˆ …0,1m†2 ˆ 0,01m ˆ 1cm
Se hai trovato l'errore nel caso dell'anziana signora non dovrebbe essere difficile trovarlo in questa dimostrazione alquanto strana.
4 passaggi corretti: 1m ˆ 100cm ˆ …10† cm
2
3 anno di nascita: x, anno di laurea: y, anno considerato: z; la somma eÁ sempre 2z
1 mostrare sempre un numero pari di dita
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Tema 2 - Cap. 1: MONOMI E POLINOMI
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