MATEMATICA CLASSE SECONDA – A.S. 2013/2014
PROGRAMMA SVOLTO
In riferimento ai testi
Leonardo Sasso: "Matematica a colori - edizione blu”, Algebra vol.1 e2, ed.Petrini
Ascari, Morzenti, Valsecchi: “ La geometria del piano e le trasformazioni”, vol.1 e 2 ed.San Marco
1) Ripasso argomenti del 1° anno:
Equazioni letterali intere e fratte. Simmetria assiale.
2) Disequazioni :
Le disuguaglianze numeriche e le disequazioni. I princìpi di equivalenza. Disequazioni sempre verificate e
disequazioni impossibili. I sistemi di disequazioni. Disequazioni fratte. Risoluzione grafica delle
disequazioni.
3) Funzioni:
L’equazione di retta e parabola. Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni. Intersezioni delle curve
con gli assi cartesiani e fra curve in casi semplici.
4) Radicali
L’insieme numerico R. Definizione di radicale e proprietà invariantiva. Radicali simili. Le operazioni e le
espressioni con i radicali. Le potenze con esponente razionale. Semplificare un radicale e trasportare un
fattore fuori o dentro il segno di radice. Analisi delle situazioni critiche nell’applicazione della proprietà
invariantiva. Razionalizzazione del denominatore di una frazione. Radicali doppi. Equazioni, disequazioni e
sistemi di equazioni a coefficienti irrazionali.
5) Equazioni di secondo grado:
Le equazioni di secondo grado incomplete e complete. La formula risolutiva di un’equazione di secondo
grado e la formula ridotta. Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di secondo grado. La
scomposizione di un trinomio di secondo grado. Le equazioni parametriche. Ulteriore analisi della
funzione parabola (vertice, asse e zeri, segno). Problemi di secondo grado.
6) Equazioni di grado superiore:
Le equazioni risolubili con la scomposizione in fattori o con artifici. Le equazioni binomie, trinomie,
biquadratiche e reciproche.
7) Sistemi di equazioni:
Sistemi di equazioni a due incognite, loro grado, loro soluzione con il metodo di sostituzione confronto e
riduzione. Sistemi determinati, impossibili, indeterminati con anche interpretazione grafica.
Metodo di Cramer per i sistemi lineari. Applicazione alla discussione dei sistemi.
Sistemi simmetrici di secondo grado e di grado superiore.
Risolvere problemi mediante i sistemi.
8) Le altre isometrie:
Definizione di vettore e relative proprietà. Relazione di equipollenza. Traslazione, rotazione, simmetria
centrale, antitraslazione come composizioni di simmetrie assiali. Rette tagliate da una trasversale. Teoremi
su angoli interni ed esterni di triangoli e poligoni in generale. Proprietà dei lati di un triangolo in relazione
agli angoli.
9) Congruenza di poligoni:
I poligoni congruenti. Condizioni sufficienti per la congruenza. Criteri di congruenza per i triangoli. Criterio
di congruenza per i triangoli rettangoli. Criterio di congruenza per i poligoni.
10) I quadrilateri e il piccolo teorema di Talete:
Trapezio, trapezio isoscele, trapezio rettangolo e scaleno e relative proprietà. Parallelogramma e proprietà.
La corrispondenza di Talete e il piccolo teorema di Talete. L’ ortocentro e il baricentro di un triangolo.
Rombo e proprietà. Rettangolo e proprietà. Quadrato e proprietà.
11) La circonferenza e le sue proprietà:
La circonferenza. Le isometrie che trasformano in sé una circonferenza. Circonferenza per n punti. Archi
e corde in una circonferenza. Posizioni reciproche di retta e circonferenza. Rette tangenti e relative
proprietà. Posizioni reciproche di due circonferenze. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Poligoni
inscritti e circoscritti ad una circonferenza.
12) Le grandezze e la loro misura:
Le classi di grandezze geometriche. Le grandezze commensurabili e incommensurabili. La misura di una
grandezza. Le proporzioni tra grandezze. Il teorema di Talete e le sue applicazioni. Teorema della
bisettrice. Perimetri e aree dei poligoni. Teoremi di Euclide e teorema di Pitagora in forma metrica.
Problemi di algebra applicati alla geometria.
13) Omotetia e similitudine:
Definizione di omotetia e proprietà. Definizione di similitudine e proprietà. Criteri di similitudine.
Applicazioni della similitudine al triangolo rettangolo: teoremi di Euclide. Applicazione della similitudine alla
circonferenza. Sezione aurea.
LAVORO ESTIVO
Il presente file contiene
1. Indicazioni di lavoro suddivise per fasce di profitto
2. Schede di lavoro, di algebra numerate da 1 a 4 e di geometria numerate da 1 a 5, che costituiscono
il materiale che verrà utilizzato nei corsi di recupero estivi
3. L’ Allegato1 contenente esercizi sia di algebra che di geometria
Il lavoro è obbligatorio per tutti, secondo le indicazioni. Se qualche esercizio creasse qualche problema,
riportare il testo e lasciare lo spazio vuoto per lo svolgimento segnalando in breve perché non si riesce a
risolverlo. Riportare un eventuale svolgimento, anche se errato.
1] Studenti con sospensione del giudizio
Si ricorda che tali studenti, per essere ammessi alla classe successiva, dovranno sostenere prima
dell’inizio del prossimo anno scolastico una prova d’esame (secondo il calendario che verrà comunicato
sul sito) consistente in una prova scritta e una orale, in cui verranno verificate sia le conoscenze che le
abilità operative.
Per la preparazione all’esame si raccomanda di seguire il corso di recupero organizzato dalla scuola o un
equivalente intervento guidato individuale.
Le schede di lavoro di algebra e geometria (punto2) vanno stampate e portate al corso di recupero. Gli
esercizi svolti al corso stesso e i relativi compiti svolti andranno poi portati in sede di esame a settembre.
Questo vale anche per chi non si avvalesse dei corsi.
Per eventuali ulteriori esercitazioni si possono utilizzare anche gli esercizi indicati nell’allegato.
2] Studenti promossi, ai quali però sia stato comunicato il permanere di lacune in matematica
Le schede di lavoro di algebra e geometria (punto2) costituiscono, anche per costoro, un percorso
guidato per colmare le lacune residue. Le prove di ingresso alla classe successiva, che saranno
somministrate anche al resto della classe e valutate come verifiche del quadrimestre, permetteranno di
accertare l’avvenuto recupero di tali lacune.
3] Studenti promossi con voto 6 e senza comunicazione di aiuto
Dovranno ripassare con cura le parti indicate ed eseguire gli esercizi dell’allegato1.
A titolo facoltativo potranno poi avvalersi delle schede di lavoro per gli argomenti sui quali ritengano di
doversi meglio consolidare.
4] Studenti promossi con voto 7
Dovranno ripassare con cura le parti indicate ed eseguire gli esercizi dispari per ognuna delle sezioni
riportate nell’allegato1, tranne che per i problemi, che andranno svolti tutti.
5] Studenti promossi con voto maggiore o uguale a 8
Dovranno ripassare con cura le parti indicate ed eseguire un numero a piacere per ognuna delle sezioni
riportate nell’allegato1, tranne che per i problemi, che andranno svolti tutti, e per i teoremi, di cui dovranno
svolgere quelli dispari.
Scheda n°1
di algebra
Tempo 90’
Data
Classe
Nome
Contenuti: Disequazioni e sistemi di disequazioni
RICORDA CHE PER RISOLVERE CORRETTAMENTE UNA DISEQUAZIONE:
1. devi scriverla in forma normale, cioè scriverla in modo che il secondo membro sia zero e
tutti gli eventuali termini simili al primo membro siano ridotti
2. se il primo membro è un polinomio di primo grado, devi risolvere subito applicando i due
criteri di equivalenza
3. se il primo membro è un polinomio di grado superiore al primo o se si tratta di una
disequazione fratta, devi
- scomporre in fattori sia il numeratore che il denominatore
- determinare per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo ( o positivo o
nullo se richiesto)
- rappresentare graficamente, con un grafico di segno, il segno di ogni fattore
- determinare il segno risultante e scegliere l’intervallo soluzione
- scrivere l’insieme soluzione.
ESEMPI
A) Per risolvere la seguente disequazione x(x − 2) + 8 > (x − 2)2 + 5 x
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e tutti gli eventuali
termini simili al primo membro siano ridotti
2
x (x − 2) + 8 − (x − 2) − 5x > 0
x 2 − 2x + 8 − x 2 + 4 x − 4 − 5 x > 0
− 3x + 4 > 0
2. siccome il primo membro è un polinomio di primo grado, risolvo subito applicando i due
criteri di equivalenza
Applico il 1° criterio di equivalenza − 3 x > −4
4
Applico il 2° criterio di equivalenza x <
3
NB: applicando il 2° criterio di equivalenza ho cambiato il verso della disequazione perché ho
diviso per un numero negativo
3. scrivo l’insieme soluzione
4
S = x x <
3
B) Per risolvere la seguente disequazione x 3 − 5x 2 ≤ x − 5
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e tutti gli eventuali
termini simili al primo membro siano ridotti termini
x 3 − 5x 2 − x + 5 ≤ 0
2. siccome il primo membro è un polinomio di grado superiore al primo, scompongo in fattori
x 2 (x − 5) − (x − 5) ≤ 0
(x - 5)(x 2 − 1) ≤ 0
(x − 5)(x + 1)(x − 1) ≤ 0
3. determino per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo o nullo
S.P. (Studio positività)
x−5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5
x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
x −1≥ 0 ⇔ x ≥ 1
4. rappresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e determino il
segno risultante in ogni intervallo
-
5
1
-1
+
-
+
5. scelgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno (perché la
disequazione nella forma normale presenta il segno ≤, altrimenti avrei scelto gli intervalli
segnati con il segno più)
6. scrivo l’insieme soluzione
S = {x x ≤ −1 ∨ 1 ≤ x ≤ 5}
5x − 2
1
2
+
<
2
x + 3x x + 3 x
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e tutti gli eventuali
termini simili al primo membro siano ridotti
5x − 2
1
2
+
− <0
x 2 + 3x x + 3 x
5 x − 2 + x − 2x − 6
<0
x(x + 3 )
4x − 8
<0
x(x + 3 )
2. siccome si tratta di una disequazione fratta, scompongo in fattori sia il numeratore che il
denominatore
4(x − 2 )
<0
x (x + 3 )
3. determino per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo o nullo
S.P. (Studio positività)
C) Per risolvere la seguente disequazione
x−2 >0 ⇔ x > 2
x>0
x + 3 > 0 ⇔ x > -3
4. rappresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e determino il
segno risultante in ogni intervallo
-
2
0
-3
+
-
+
5. scelgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno (perché la
disequazione nella forma normale presenta il segno <, altrimenti avrei scelto gli intervalli
segnati con il segno più)
6. scrivo l’insieme soluzione
S = {x x < −3 ∨ 0 < x < 2}
RICORDA CHE PER RISOLVERE CORRETTAMENTE UN SISTEMA DI DISEQUAZIONI
devi:
1. risolvere separatamente ciascuna disequazione presente nel sistema, determinando tanti
insiemi soluzione quante sono le disequazioni
2. rappresentare graficamente con un grafico di intersezione i vari insiemi trovati.
3. determinare l’insieme intersezione degli insiemi dati.
ESEMPIO
Dato il sistema
(x + 2)(x − 4) − 8 < (x − 3 )2
1. risolvo separatamente le due disequazioni
2x − 6
<
0
x (4 − x )
A) Risolvo la prima disequazione
x 2 − 4 x + 2x − 8 − 8 < x 2 − 6 x + 9 ⇔ −2 x + 6 x < 16 + 9 ⇔ 4 x < 25 ⇔ x <
25
4
NB: si tratta di una disequazione di primo grado, per risolverla è sufficiente applicare i due criteri
di equivalenza.
Scrivo l’insieme soluzione S1 = x x < 25
4
B) Risolvo la seconda disequazione (che è già scritta in forma normale)
1. S.P.( studio positività)
2x-6>0 ⇔ 2x>6 ⇔ x>3
x>0
4-x>0 ⇔ -x>-4 ⇔ x<4
2. rappresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e determino il
segno risultante in ogni intervallo
0
-
4
3
+
-
+
3. scelgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno (perché la
disequazione nella forma normale presenta il segno <, altrimenti avrei scelto gli intervalli
segnati con il segno più) e scrivo l’insieme soluzione
S 2 = {x x < 0 ∨ 3 < x < 4}
2. Determino l’intersezione dei due insiemi soluzione con un grafico di intersezione
0
3
4
3. Scrivo l’insieme soluzione S=S1∩ S2= {x x < 0 ∨ 3 < x < 4}
25/4
ESERCIZIO 1. Risolvi le seguenti disequazioni già scritte in forma normale:
1) x − 2 < 0
2) x − 4 > 0
3) 3 − x ≥ 0
5) − 4 x + 5 ≤ 0
3x + 1
6) − x < 0
x+2
x−1
x−6
x−3
4) − 6 > 0
x−1
2x − 8
7)
( x − 4)2
8)
≥0
3 − 4x
(2 − 7x)2
>0
ESERCIZIO 2. Risolvi evitando passaggi inutili
1) (6x + 2) 3 < 0
2) ( x 2 − 4) > 0
3) ( x 2 + 4) ≥ 0
5) ( x 2 − 4) ≤ 0
6) x 8 > −5
7) 3 x 8 + 2 > 0
2
2
4) x 2 + 4 < 0
3
4
8) x 4 + x 2 + 8 ≤ 0
5
ESERCIZIO 3. Risolvi le seguenti disequazioni dopo averle scritte in forma normale:
1) 2x − 2 > 1
2) x − 3 ≤ 1
2
(
)
3) 4 x − 2x + 1
4) 1 −
5) 3 x −
6) x − 2 − x − 4 ≥ 0
11) x2 < 25
1
3
9)
− ≥1
2−x 4
12) x2 +6 < 5x
14) x2 + 3x + 5 ≥ 3
17) 3x 3 + 2x 2 < 19 x − 6
15) x2 ≤ 3x
18) x 6 + 7 x 4 > 5 x 5 + 5 x 3 − 6 x 2
x−3
16) 2x + 3 x ≥ 8 x − 3
3
3 − [ 2 x − ( x − 3 )]
x −1
1
<0
x−3 x−2
7) 2x − 1 ≥ x + 1
x−3
x−4
5
3
6
10)
−
+
−1< 0
2 − x 4 − 2x 6 − 3 x
13) x3 - 2x2 ≥ 2-x
2
2
1
1
≥−
x − 4 2x − 8
4 x − 16
2
8) 1 − x − 1 ≤ x − 3 − x + 4
2
x − 2 2x − 4
x−3
<0
x−6
OSSERVAZIONE: Per la risoluzione dell’esercizio seguente fai riferimento alla teoria sul tuo libro
alle pagine 180 e 181 per la rappresentazione di rette, alle pagine 282 e 283 per la
rappresentazione di parabole.
ESERCIZIO 4. Risolvi utilizzando il metodo grafico le disequazioni 11, 12, 14,15
dell’esercizio precedente e le seguenti:
1) − x 2 < 2x
4) − 6 x 2 + 5 x − 1 > 0
2) x 2 + x + 6 < 0
5) − x 2 < 5
3) − x 2 + 6 x − 9 ≥ 0
6) − x 2 ≥ −5
ESERCIZIO 5. Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni:
x 2 ( x − 3 ) − ( x − 1 ) 3 ≥ 4( x + 2)
1)
2 − x
<0
x + 4
( x − 2 ) 2 − 3 < ( x + 3 ) 2 − 1
4)
2 − x
≥0
3 − x
x( x − 2) + 8 > ( x − 2) 2 + 2x
7) (
2
x + 3 )( x − 3 ) − ( x − 2) < 0
2
5 x − 125 ≤ 0
x 2 − x ≥ 4 − x
10)
( x 2 − 25)( x + 5) > 0
x2 − 1
≥0
13) x 3
2
x + 1 + 2x > 0
x
( x − 4 ) ⋅ ( x − 3) < 0
x−2 x+3
3 + 2 > 1
( x + 2) 2 x − 1 ( x − 2) 2 x
−
5) 8 − 2 ≤
8
8
(2x − 1)(4 x − 5) ≤ 0
( x + 1)( x − 3)
+ x −
8)
2
3
x
−
1
x
−
3
2 > 2 + 1
x−1
≤0
11) x 2 − 3 x + 2
3
2
x − 3x > 0
2
x − 9
3) ( x − 2) − ( x − 3) ≤ 8
2
2)
2
1
6x 2 − 1
<
2
4
2
x 2 − 8 x + 7 ≤ 0
( x + 2)( x − 4) − 8 < ( x − 3) 2
6)
2x − 3
<0
4−x
x 2 + 6 x − 27 < 0
9) 2
x − 14 x + 48
≥0
4−x
x3 − 3x2 + x − 3
<0
12)
x
x 2 − 3 x + 2 ≥ 0
RISULTATI ESERCIZIO 1.
1) 2<x<3 ; 2) x<4 ∨ x>6 ; 3) 3≤ x < 4; 4) x < 1; 5) x<- 1/3 ∨ x≥5/4; 6) x < -2 ∨ x>0 ; 7) 1≤ x <4
∨ x > 4; 8) x < 2/7 ∨ 2/7 < x< ¾
RISULTATI ESERCIZIO 2.
1) x<-1/3 ; 2) x≠±2; 3) ∀x; 4) ∅; 5) x=±2; 6) ∀x; 7) ∀x; 8) ∅
RISULTATI ESERCIZIO 3.
1) x< -1∨ x>3 ; 2) x >1 ; 3) -1/4 < x < 0 ; 4) 2 < x < 3 ; 5) x ≤ 1/12 ∨ x >4; 6) x ≤ 0 ∨ 3 < x < 6 ;
7) 3 < x < 4 ∨ x ≥ 8 ; 8) –4/3≤x<2 ; 9) 10/7 ≤ x < 2 ; 10 ) x < -7/2 ∨ x > 2 ; 11) -5 < x < 5 ;
12) 2 < x < 3 ; 13) x ≥ 2; 14) x ≤ -2 ∨ x ≥ -1 ; 15) 0 ≤ x ≤ 3; 16) -3≤ x ≤ ½ ∨ x ≥ 1;
17) x<-3 ∨ 1/3 < x <2; 18) x<0 ∨ 0< x <2 ∨ x >3
RISULTATI ESERCIZIO 4.
1) x<-2 ∨ x>0;
2) ∃/x ∈ R ;
3) x=3;
4)
1
1
<x< ;
3
2
5) ∀x ∈ R ;
6) − 5 ≤ x ≤ 5
RISULTATI ESERCIZIO 5.
3 < x < 4
2)
⇒ 3 < x < 4 ; 3)
1
x > 5
7
x ≤ −1
x > −
4)
⇒ -7/10 < x ≤ 2 ∨ x > 3 ; 5) 1
10
5 ⇒ S=∅
x ≤ 2 ∨ x > 3
2 ≤ x ≤ 4
x ≤ −1
1)
⇒ x < -4 ;
x < −4 ∨ x > 2
x <
6)
x <
25
4
⇒ x < 3/2 ∨ 4 < x < 25/4 ;
3
∨x>4
2
13
x ≤
2 ⇒ 1 ≤ x ≤ 13/2 ;
1 ≤ x ≤ 7
;
∀x ∈ R
13
7) x <
⇒ -5 ≤ x <13/4 ;
4
− 5 ≤ x ≤ 5
1
− 9 < x < 3
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
x > −
8)
9)
⇒ -9 < x < 3 ; 10)
⇒x > 5 ;
2 ⇒x > 0 ;
x
<
4
∨
6
≤
x
≤
8
x
>
5
x > 0
x < 2 ∧ x ≠ 1
11)
⇒ -3 < x < 0 ∨ 0 < x < 1 ∨ 1 < x < 2 ;
x > −3 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 3
0 < x < 3
⇒ 0<x≤1 ∨ 2≤x<3;
x ≤ 1 ∨ x ≥ 2
12)
− 1 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1
⇒x ≥ 1
x > 0
13)
Scheda n°2 Data
Classe
di algebra
Tempo 120’ Contenuti: Calcolo con i radicali
Nome
Le soluzioni degli esercizi di questa scheda sono riportate su un file a parte
ESERCIZIO1 Semplifica i seguenti radicali, controllando che si abbia identità di segno e di
dominio (specifica ogni volta)
radicale
semplificato
dominio
si
mantiene
l’identità
di segno
(3a − 5 )2
(x - 5)2
5
(x - 5)5
6
(3a − 2)2
4
x2 + 1
4
(3 − x )6
6
(x
4
9
6
+ 2 +1
4
x
x
4
4
2
(x
)
− 4 (x − 2) (x + 2)
2
− 8 x 2 + 16
2
16(x − 2)
4
2
)
2
(x - 2)(x 2 − 5 x + 6 )
(x − 5)(x 2 − 8x + 15 )
ESERCIZIO2 Indica in quale sottoinsieme di R sono vere le seguenti uguaglianze
risposta
risposta
a)
( x − 1)
2
= x−1
g) x =
b)
( x − 1) 2
= 1− x
h)x3 x6 = x3
c)
(x − 1) 2
= x−1
i)
5
2
10
( x + 1)2
x
4
= 3 ( x + 1)
d)5 x = 10 x 2
l) 5 x = −10 x 2
e)5 x = −10 x 2
m) 4 x 12 = − x 3
f) x + 2 =
4
(x + 2)2
n) x + 1 = 3 (x + 1)
3
3
si
mantiene
il
dominio
ESERCIZIO3 Trasforma ogni radicale in modo che abbia l’indice indicato
dominio
nuovo
nuovo radicale
indice
2x 2 − 2x
12
7(x + 1)
3
5
3
4
2x 2 − 2x
15
7(x + 1)
3
3 x 2 − 12
18
(x + 1)2
3 x 2 − 12
16
(x + 1)2
ESERCIZIO4 Porta sotto radice i fattori esterni:
a) 3x
5
x
b) - 2a
a−5
a−2
x+2
e) x - 5
5−x
d) ( a - 2)
2
5
a3
2
c) - x ⋅ 4 2
x
f ) (2a - 1) −
1
(2a − 1)3
)
ESERCIZIO5 Porta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili:
a)
3 6
x − x3
b)
( x - 2)( x2 − 4)
c)
x4 + 4 x3 + 4 x2
d)
3
27a4 − 81a3 + 81a2 − 27a
1
x+ + 2
x
e)
(a3 + 1)(a2 − a + 1)
(a2 − 1)
f)
ESERCIZIO 6 Scomponi in fattori le seguenti espressioni :
a) 5 3 − 6 + 2 15
f ) 2x - 5x 2 + 6 − 5 3
b) 5x − 1
g) 5x3 − 1
c) x2 − 2x 3 + 3
h)
d) 7 - 4 3
i) x2 ⋅ 3 4 + 2x + 3 0.25
e) 5x2 + 2x 5 + 1
l) a2 + 2a 3 + 3 − 2b2
2
3
4 − 3 25
RICORDA: si dice radicale doppio una scrittura del tipo
a± b =
allora
a ± b . Se a2-b è un quadrato perfetto,
a + a2 − b
a − a2 − b
±
2
2
ESERCIZIO7 Trasforma, se possibile, i seguenti radicali doppi
Radicale doppio
7 − 2 10
2
Osservazioni
a -b
Attenzione: il radicale deve essere
trasformato portando sotto radice
il fattore 2
49 − 40
7 − 40
Radicale trasformato
=9=3
7+3
7−3
−
=
2
2
3
= 5− 2
3+ 5
14 − 4 6
10 − 4 6
3+ 4
9+4 5
N.B.: In molti casi è possibile trasformare il radicale doppio riconoscendo nel radicando il quadrato di
binomio. Es.
14 − 4 6 =
(2
3− 2
)
2
=2 3− 2
In questo caso è importante controllare il segno del risultato (che deve essere non negativo).
ESERCIZIO8 Rendi razionali i denominatori delle frazioni
5
5 +1
10
5 −1
10
3
3− 2
5
6
4
1
12
3
3
4
6
5
72
4x
3 2
x
27 x
3
10
1
12
7 −1
5
6ab
7 +1
2− 3
3 2 −2 3
4
5 2− 3
3ab 2
3
ESERCIZIO9 Esegui le seguenti operazioni tra radicali:
( )
a) a a
e)
i)
(
3
( )
2
b) - 4 2
2⋅4 3
x-2
x+2
)
(
6
( )
4
f) 3 3 − 2 2
c) - 5 6
5
(
)
2
g) 3 2 − 3
2 125
d) − 3
4
5
)
3
h) 26 + 4 12
2
x−2 6 2
⋅ x −4
: 3
x+2
l) x (x - 1) ⋅ 12 x − 1 ⋅ 3
2
x
x 2 (x − 1)
:4 2
x−5
x + 2x + 1
3
a
3 9a 2 (a + 3 )
n) 3 − 2 + ⋅ 6
3
a
a−3
4 1
1 6
m) 3 4 + + 2 : 1 +
⋅ 16 x 6 + 8x 5
x
2
x
x
(
6
)
5 +1
2
a2 − 9
:
3a 2
x2 3 − 2
x
>
2
3x − 2
x 3+ 2
2−x 3
x+ 3 −3 x− 3 +3
4 3 −6
r)
+
=
x − 3 + 3 x + 3 − 3 12 − 6 3 − x 2
1
p)
q) 4 20 − 4 ⋅ 4 20 + 4 + 6 325 − 5 ⋅ 6 5 13 + 5 −
5
−
(
)
ESERCIZIO10 Risolvi i seguenti problemi
1) Calcola il reciproco di 44 27
2) Calcola il prodotto dei reciproci di
4
8 e
6
243
2
3) Calcola la misura dell’altezza di un trapezio la cui area misura 3 3 + 5 2 (cm ), mentre
la base minore e la base maggiore misurano rispettivamente 2 3 (cm) e 3 2 (cm).
2
4) Calcola la misura dell’altezza del triangolo la cui area misura 3 3 + 5 2 (cm ) e la
base misura 2(2 6 − 1) (cm).
2
5) Calcola la misura dell’altezza del triangolo la cui area misura 19(cm ) e la base
misura 2 5 + 1 (cm).
6) Data la funzione f(x)= 2x 2 - 2x 2 + 1verifica che f 2 + 1 = f 2 − 2
2
7) Verifica che
3
2 e − 3 4 sono zeri del polinomio p(x ) = x 2
2
3
2 + 2 x − x 3 4 − 23 2
Scheda n°3
di algebra
Tempo
Data
Classe
Nome
Contenuti: Equazioni di secondo grado
ESERCIZIO1 Risolvi le seguenti equazioni:
1)
x2 + 3
3 −1
x
2)
(
−
2
+
)
3 − x (1 − x )
(
3 +1
29−4 2
=
x 2 − 2x + 3
2
) = (5
)
2 − 11 x
6)
2 2 −2
2
2 −2
5
x
5
3)
−
= 2+ 2
x
5+x
x +x 5
4)
x− 2
x− 3
+
3−x
2−x
x+2 3
x+ 3
−
2 5+x
5+x
=
(
)
3 5 + 3 − 2x 2
x + 15 + x 3 + x 5
2
(
)
x + 3 + 1 1+ 3 − x
4 + 12 x + 8
−
= 2
x − 3 − 1 1+ 3 + x
x −4−2 3
2x 2
7)
+
7x − 2 3
= 2−
3 3
x +3+x 3 3 3 −x
3−x
8 −x x+2 2
4 2
: 2x = 8 − 1 −
8)
+
2
x − 2x 2
x+ 8 2 2 −x x+ 8
5
=
5)
6
2
3
ESERCIZIO2 Risolvi discutendo se necessario:
(
) (
2
)
2
(
)
1) x - a + x - a + 1 = 2 a − a 2 + a + 1
a
x − a + 1 2x − a
2)
+
=
x + 1 1− x2
x −1
2
a
1
x + ax + 2a
3)
+
−
=0
x-a a+x
a2 − x2
2+b 2−b 2
4)
−
=
x + 1 1− x b
x 2 − 4a 2 − 9
x − 2a − 3 3(x − 2a − 1)
−
=
3−x
x − 2a
x − 3 x − 2ax + 6a
2
a −1 x + 2
6) 2
+
+ a2 = 0
x − 2x 2 − x
x
3a
12 + x − 12a(a − 1)
7)
+
= 2
x - 4 4a − x x − 4(a + 1)x + 16a
5)
8)
2
a 5 5−a
3a 3
− =
− 2
x a a + x a x + ax 2
ESERCIZIO3 Semplifica le seguenti frazioni, se è possibile, calcola poi quando sono
positive le frazioni degli esercizi pari e quando sono negative quelle degli esercizi dispari:
1)
3x 2 + 5 2 x − 4
3 x − 4 2x + 2
2
6x − x 2 − 2
2)
2
3)
2x − x 2 − 2
2
4)
(
)
x2 2 + 2 − 3 x − 6
x
2
x2
2x 2
(
)
6 − ( 3 − 2 )x − 1
+ (2 3 − 2 )x − 6
2 + 3 2 −1x − 3
ESERCIZIO4 In ciascuna delle seguenti equazioni parametriche
1.
(k − 3)x 2 − (2k − 3)x + k = 0
2. x 2 + (2k + 1)x + k 2 − 1 = 0
determina per quali valori del parametro reale k risulta che:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
l’equazione è di 1° grado
le soluzioni sono reali coincidenti
le soluzioni sono reali distinte
le soluzioni sono reali opposte
le soluzioni sono reali reciproche
le soluzioni sono reali antireciproche
le soluzioni sono reali discordi
le soluzioni sono reali ed entrambe
positive
I) le soluzioni sono reali e tali che la somma degli
inversi è 5
L) le soluzioni sono reali e tali che la somma dei
quadrati è 3
M) le soluzioni sono reali e tali che la somma dei
quadrati degli inversi è -2
N) una delle soluzioni è nulla
O) una delle soluzioni è 2 + 1
ESERCIZIO5 Risolvi i seguenti problemi di massimo e di minimo:
1. Al quadrato ABCD di lato 2 cm vengono tolti i due triangoli
rettangoli isosceli FGD come in figura. Indica con x la misura
del lato DF e rispondi ai seguenti quesiti:
a. determina l’area A(x) della regione colorata e tracciane il
grafico mettendo in evidenza l’arco che si riferisce al
problema;
b. calcola il valore massimo e il valore minimo dell’area,
indicando anche per quali valori di x si ottengono;
c. calcola per quali valori di x risulta 2 ≤ A (x ) ≤
12
5
2. Nel triangolo ABC è costante e uguale a 6 la somma della base AB e dell’altezza CH a essa
relativa. Poni AB = x e costruisci la funzione A(x) area del triangolo ABC e rispondi:
a. traccia il grafico di A(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. determina il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando anche per quali valori
di x si ottengono;
c. calcola per quali valori di x risulta
5
≤ A( x ) ≤ 4
2
3. Detto C un punto del segmento AB di lunghezza 3 cm e indicato con x la misura di AC, scrivi
la funzione f (x ) = AC − AB ⋅ CB e rispondi alle seguenti domande:
a. traccia il grafico di f(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. determina il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x), indicando anche per
quali valori di x si ottengono;
2
2
c. calcola per quali valori di x risulta AC = AB ⋅ CB
Osservazione: il segmento AC che gode di questa proprietà si chiama sezione aurea di AB
2
d. determina per quali valori di x risulta AC ≥ AB ⋅ CB
SOLUZIONI ESERCIZIO1
(
1) − 3 ; 3 − 4
(
)
5) 3 + 5
6)
2
(
))
2) 9 2 − 8; 2 2 − 1
(
3; 2
SOLUZIONI ESERCIZIO2
1) a ≥ 0 ⇒ S={ a ; a + 1 }
4)
7) − 3; - 3
15
8) 1; 2 2 − 1
)
(
3) − 5
3
3 + 2; 0
( (
)
))
5) a≠0 ∧ a≠3 ⇒ S={2a+3 ; 6}
a=0⇒ S={ 6 }
a=3⇒ S={ 9 }
6) a=±1⇒ S = ∅
a=±3⇒ S ={ ½ }
2) a≠0 ∧ a≠2 ⇒ S={a-1 ; -1/2 }
a=0 ∨ a=2 ⇒S ={ -1/2}
a + 1 a - 1
a ≠ ±1 ∧ a ≠ ±3 ⇒ S =
;
a - 1 a + 1
3) a≠ -1/2 ⇒ S={-1 –a}
a= -1/2 ⇒ S =∅
7) a≠0 ∧ a≠7/3∧ a≠-3 ⇒S={4(a+1) ;3(a-1)}
a=0 ⇒ S= { -3 }
a= 7/3 ⇒ S={ 40/3 }
a= -3 ⇒ S={ -8 }
8) a=0 ⇒eq priva di significato
a= -5/2 ⇒S={ 5 }
a= -5 due soluzioni coincidenti ⇒S={ 10 }
4) b=0 eq priva di significato
b≠0 ∧ b≠±2 ⇒S={b+1 ; b-1}
b= -2 ⇒ S={ - 3 }
b= 2 ⇒ S={ 3 }
a≠0 ∧ a≠-5 ∧a≠-5/2 ⇒S= 2a ; - 2a
2
5
SOLUZIONI ESERCIZIO3
(
1) − 2 2 < x < 2 ∧ x ≠ 2 3
3) -
)
2) x < - 3 ∨ x > − 2 ∧ x ≠
2
2
2
<x< ∨
< x< 2
2
3
2
6
2
3
2
4 ) x < − 3 ∨ x > −
∧x≠
3
2
SOLUZIONI ESERCIZIO4
RICHIESTA SOLUZIONI SOLUZIONI
Equazione1 Equazione2
∆≥0
∀k
a=0
k=3
∅
B
x1 = x 2
∅
5
k=−
4
C
x1 ≠ x 2
∀k ≠ 3
k≥−
RICHIESTA SOLUZIONI SOLUZIONI
Equazione1 Equazione2
5
4
A
D
E
F
x1 = −x 2
x1 =
1
x2
x1 = −
1
x2
k=
3
2
k=−
3
2
x1 x2 < 0 ∧ ∆ > 0
H
x 1 x 2 > 0
x 1 + x 2 > 0
∆ ≥ 0
5
4
I
1
1
+
=5
x1 x 2
1
2
L
x1 + x 2 = 3
k= 2
∅
k=
k>−
G
k =0
2
1
M x 12
+
2
1
x2
2
0<k <3
k <0∨k >3
k = −1
x1 = 0
O
x1 = 1 + 2
−
5
≤ k < −1
4
k=
1± 21
5
6± 3 2
k =0
∅
∅
k =0
k = ±1
= −2
N
−1< k < 1
k=
6+3 2
2
∅
SOLUZIONI ESERCIZIO5
1.a. A (x ) = − x 2 + 2x + 2 con 0 ≤ x ≤ 2
vedi grafico a lato
b. A MAX = 3 per x=1; A min = 2 per x=0 o x=2
c. 0 ≤ x ≤
5 − 15 5 + 15
∨
≤x≤2
5
5
2.a. A (x ) = −
1 2
x + 3 x con 0 ≤ x ≤ 6
2
vedi grafico a lato
b. A MAX =
9
per x=3; A min = 0 per x=0 o x=6
2
c. 1 ≤ x ≤ 2 ∨ 4 ≤ x ≤ 5
3.a. f (x ) = x 2 + 3 x − 9 con 0 ≤ x ≤ 3
vedi grafico a lato
b. fMAX = 9 per x=3; fmin = −9 per x=0
c. x = 3 ⋅
…d. 3 ⋅
− 1+ 5
2
− 1+ 5
≤x≤3
2
Scheda n°4
di algebra
Tempo
Data
Classe
Nome
Contenuti: Equazioni di grado superiore al secondo e sistemi di equazioni
ESERCIZIO1 Risolvi le seguenti equazioni:
2x + 1 x 2 + 1
+
= 5x
2x - 1
x
2
5
4
3
2)
+
= −
x + 3 x − 3 x 1+ x
8
9x
3) 2 =
8
3x
3x
25
+
=0
4)
5 9x 2
(
(
)(
)
(
5) x 2 − 7 x 2 + 7 + 20 + x 2 − 7
)(
)
8 ) x 8 − 82 x 4 + 81 ⋅ x 10 − 31x 5 − 32 = 0
1)
)
2
x 4 − 1 1- x 2
1
9)
:
=
25 x
2
5
13x + 6
3
10 )
=x
6x + 13
3x 3
12 x 4 − 25 x 3 + 22 x − 39
12
11)
+
=
x+2
3−x
x2 − x − 6
4 - x2
2 − x2
12 ) 4
− 2
=2
2
x + 2x + 1 x + 1
4
2
x − 1
x − 1
13 )
− 17
+ 16 = 0
x + 1
x + 1
=0
x2 + 1
2 − x2
−3 =
6) 2
x −1
x2
2
2
3x + 1 x + 2 3
−
=
7) 2
x − 2 x2 −1 2
2
1
1
14 ) 4 2x +
− 17 2x +
+4=0
2x
2x
ESERCIZIO2 Risolvi i seguenti sistemi di equazioni:
1
3
x+y=
4
2
1)
3
1
x=y−
2
4
3x − y
y + 3 = 2
2)
1 x = 2 − 1 y
5
3
x + y 3 = −1
3) 3 x + 2y
=3− 3
2
x − y = 2
4) 2
x − y + 1 = 0
3 x + y = 8
5) 2
2
x + y − 4 x + 6 y + 8 = 0
2 + 1 x + 2 − 1 y = 2
6)
x 2 − xy = 2 1 − 2
5 x + 2y − 4
3
= 1+
1− y
7) x − 1
3 x − y = 2
(
) (
(
)
)
3 xy = −4
8)
3 x + 3 y = 5 2
6 xy = 1
9) 1 1
x + y = 5
x + y = 4
10 ) 2
2
x + y = 14
xy − 1
7
=
2 −
xy
6
11)
x + y = 5
OSSERVAZIONE: Per la risoluzione dell’esercizio seguente fai riferimento alla teoria sul tuo libro
alle pagine 180 e 181 per la rappresentazione di rette, alla pagina 106 per la risoluzione grafica di
sistemi lineari, alle pagine 282 e 283 per la rappresentazione di parabole, alla pagina 439 per la
risoluzione grafica di sistemi non lineari.
ESERCIZIO3 Risolvi e interpreta graficamente i seguenti sistemi:
6 = 6 y − 3 x
x = 2y − 2
1)
y = 5
4)
2
y = x − 2x − 3
x 2 + y 2 = 4
x − y = 0
7)
2y = x + 2
x = 6 − 2y
2)
2x 2 + y = 2x + 4
2x + y = 6
5)
xy = 4
x + 2y = 3
8)
y = x − 2
3)
y = x − 2x + 1
x 2 = y
6)
2
x + y = 1
x 2 + y 2 = 2
9)
xy − 1 = 0
2
SOLUZIONI ESERCIZIO1
1
1
∨x = ∨x =1
2
4
2) x = -2
8 ) x = ±1 ∨ x = 2 ∨ x = ±3
4
3
5
4) x = 3
3
2
∨ x = −1 ∨ x = − ∨ x = 1
2
3
3
5
11) x = -1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x =
5
3
12) x = 0
5
3
13) x = 0 ∨ x = - ∨ x = −
3
5
1) x = -
9)x = −2 ∨ x = −
1
2
10) x = −
3) x =
5) x = − 2 ∨ x = 2 ∨ x = − 5 ∨ x = 5
6) x = - 2 ∨ x = 2
7) x = 0
14) x =
2- 3
2+ 3
∨x=
2
2
SOLUZIONI ESERCIZIO2
1 5
1) ;
9 12
5) (3; - 1); (4; - 4 )
1 1 1 1
9) ; ; ;
2 3 3 2
(
2) (5; 3 )
6)
3) 2; − 3
2- 2 3 2 + 2
2 − 1; 2 + -1 ;
;
2
2
(
)
(
)(
10) 2 + 3; 2 - 3 ; 2 − 3; 2 + 3
)
)
1 7
7) − ;−
2 2
4) ∅
2
2
8) −
; 2 2 ; 2 2; 3
3
11) (2; 3 ); (3;2)
SOLUZIONI ESERCIZIO3
2) (2;2)
1) sistema indeterminato
con soluzione tutte le coppie
(2k + 2,k ) con k∈R
Graficamente sono due rette incidenti
Graficamente sono rette
in A. La soluzione del sistema è
coincidenti:
rappresentata dalle coordinate del
punto comune alle curve: A.
3) sistema impossibile
Graficamente sono una retta e
una parabola che non hanno
alcun punto in comune.
4) (-2;5); (4;5)
5) (1;4) (soluzione doppia)
Graficamente sono una
retta parallela all’asse x e
una parabola che hanno
due punti in comune. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
Graficamente sono una retta e una
parabola che hanno un unico punto
d’intersezione. La soluzione del
sistema è rappresentata dalle
coordinate del punto comune alle
curve: A (con molteplicità doppia)
(
)(
)
7) 2; 2 ; − 2;− 2
Graficamente sono una
circonferenza con centro
nell’origine degli assi e
raggio 2 e una retta. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
8) Nessuna soluzione reale
6) −
2 1 2 1
; ;
;
2 2 2 2
Graficamente sono due
parabole che hanno due punti
di intersezione. La soluzione
del sistema è rappresentata
dalle coordinate dei punti
comuni alle curve: A e B.
9) (1;1); (− 1;−1) (con
molteplicità doppia)
Graficamente sono una iperbole e una
retta che non hanno alcun punto in
Graficamente sono una
comune.
circonferenza con centro
nell’origine degli assi e raggio
2 e una iperbole. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle coordinate
dei punti comuni alle curve: A e
B (con molteplicità doppia).
Scheda n°1 Data
Classe
Nome
di geometria
Tempo
Contenuti: ripasso unità 5,6,7 (isometrie e criteri di congruenza)
Dimostra i seguenti teoremi:
1. Sia dato l’angolo acuto aÔb di cui r è la bisettrice. Da un punto A della semiretta a traccia la
perpendicolare alla semiretta a stessa che interseca la semiretta b in B. La semiretta c, simmetrica di b
rispetto ad AB interseca a in C. Chiama R il punto di intersezione di AB con r, E il punto di intersezione
di r con BC e F il punto di intersezione di OB con la retta CR; siano poi M e Q i punti medi di OR e di CR.
Dimostra che:
a) il triangolo OBC è isoscele
b) R è l’incentro del triangolo OBC
c) OF ≅ CE e FB ≅ BE
d) Gli angoli CR̂E e OR̂F e gli angoli OĈR e RĈB sono congruenti
e) OMQC è un trapezio isoscele
f) FE e MQ sono paralleli.
2. In un triangolo ABC isoscele sulla base AB, prendi sul prolungamento di AB dalla parte di A un punto D
tale che AD ≅ AC e sul prolungamento di AB dalla parte di B un punto E tale che BE ≅ BC.
2.1 Dimostra che:
a) il triangolo DCE è isoscele
b) il triangolo CHK è isoscele, essendo H la proiezione ortogonale di A su DC e K la proiezione
ortogonale di B su EC
c) HK // AB
d) DF ≅ FE essendo F il punto di intersezione delle rette AH e BK
e) CF è la bisettrice dell’angolo AĈB
f) Il triangolo CRS è isoscele, essendo R e S i punti di intersezione tra i lati AC e BC e la retta HK.
2.2
Completa le seguenti proposizioni:
a) gli angoli HÂR e RĤA sono ……………………… perché ………………………………………⇒
AHR è ………….
b) gli angoli CĤR e HĈR sono ……………………… perché ………………………………………⇒
CHR è ………….
⇒ R è …………………………. nel triangolo ACH perché …………………………………………..
Essendo R e S punti medi di AC e BC, RS è ………………………………………di AB e interseca
l’altezza CM relativa ad AB nel suo ……………………
c) gli angoli DĈA e BĈE sono ……………………… perché ………………………………………
d) gli angoli CĤR e CK̂S sono ……………………… perché ………………………………………
e) gli angoli CR̂H e AR̂S sono ……………………… perché ………………………………………
f) la bisettrice dell’angolo CÂB è …………………..ad AH perché ………………………………..
g) i triangoli ABC e CRS hanno gli angoli ordinatamente congruenti perché
……………………………………………………
h) altre coppie di triangoli con gli angoli ordinatamente congruenti sono ………………….
…………………………………………
i) gli angoli AB̂C e BŜR sono …………………………………………….
perchè…………………………………..
j) il quadrilatero CHFK è sia inscrittibile in una circonferenza che circoscrittibile ad una
circonferenza perché…………………………………………………………
……………………………………………………..
k) la circonferenza che ha AC come diametro passa per il punto medio di AB perché
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………….
l) indicato con α l’angolo DÂH , esprimi in funzione di α gli angoli AD̂H , AF̂B , CÂB , AĈB ,
AR̂S , DĈE , CÂF , AF̂C e AĈF .
3. Nel triangolo acutangolo ABC conduci le bisettrici degli angoli AB̂C e AĈB che si incontrano nel punto P
e che incontrano la parallela a BC condotta da A in D ed E rispettivamente. Dimostra che:
a) i triangoli BAD e ACE sono isosceli;
b) i triangoli PBC e PED hanno gli angoli ordinatamente congruenti;
c) DE≅AB+AC;
d) rAP è bisettrice dell’angolo BÂC ; quale punto notevole è P per il triangolo ABC e quale è la sua
proprietà?
e) BP̂C > BÂC; precisamente BP̂C supera di un angolo retto la metà dell’angolo BÂC .
4. Sia ABC un triangolo con l’angolo di vertice B doppio dell’angolo di vertice C. La bisettrice dell’angolo B
interseca il lato opposto in L, la parallela a BC per L interseca AB in M e la parallela a BL per M
interseca AC in N. Dimostra che :
a) i triangoli MNL, BLC, BML sono isosceli;
b) ML è bisettrice dell’angolo BL̂A e MN è bisettrice dell’angolo AM̂L ;
c) i triangoli ABL e ABC hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
5. Sia ABC un triangolo acutangolo in cui il lato AB è maggiore di AC; dimostra che la bisettrice AL (L∈BC)
dell’angolo di vertice A forma con BC due angoli tali che la loro differenza è congruente alla differenza
degli angoli di vertici C e B.
6. Sia ABC un triangolo equilatero e siano N il punto medio di AB e M il punto medio di BC; prolunga il lato
BC dalla parte di C di un segmento CD≅CB, unisci poi D con A e traccia la bisettrice dell’angolo ACD che
interseca AD in H. Dimostra che :
a) ABD è un triangolo rettangolo in A con un angolo acuto doppio dell’altro;
b) MNB è un triangolo equilatero;
c) ANMC è un trapezio isoscele con la base minore congruente ai lati obliqui e congruente a metà della
base maggiore;
d) la retta rCH è parallela al lato AB e perpendicolare ad AD;
e) MC≅CH e MA≅AH;
f) in quale isometria si corrispondono i triangoli AMC e CHD? ACH e ACM? ACH e AMB? ABM e CHD?
7. Dato un triangolo ABC, le rette passanti per i suoi vertici e parallele ai lati opposti a tali vertici
determinano un nuovo triangolo con i lati doppi di quelli del triangolo dato e dei quali A,B,C sono i punti
medi.
Scheda n°2 Data
Classe
Nome
di geometria
Tempo
Contenuti: ripasso unità 8 (i parallelogrammi e il piccolo teorema di Talete)
ESERCIZIO1
1.1] M, N e P sono i punti medi dei lati del triangolo ABC
a)
b)
c)
d)
e)
f)
scrivi le relazioni tra i segmenti della figura ……………………………….
Indica le coppie di angoli congruenti ……………..
Indica le coppie di angoli supplementari ……………….
I triangoli AMN e ABC sono triangoli ……
Indica le coppie di triangoli congruenti e in quali isometrie si corrispondono
2p(MNP)=…..2p(ABC) e area(MNP)=…..area(ABC)
1.2] ABCD è un rettangolo, DH e CK sono perpendicolari ad AC
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
scrivi tutte le proprietà del rettangolo che conosci…………………..
indica 3 coppie di triangoli congruenti ……………………..
indica 2 coppie di triangoli simili ……………………….
Indica i triangoli rettangoli …………………..
DHBK è un …………………………..
Proiettando ortogonalmente D sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente AD sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente AB sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta DH si ottiene …….
Nel triangolo ABC, AC è …………………………………… , AB è ……………………………………….. ,
BK è …………………………………….. , BO è …………………………………………..
l) Nel triangolo ADC, per il 1° teorema di Euclide, …………………………………..
m) Nel triangolo ADC, per il 2° teorema di Euclide, …………………………………..
n) Segna nella figura il baricentro P di ABC, il circocentro Q di OBK, il circocentro Z di KBC
o) I triangoli DHO e DOK non sono congruenti ma hanno uguale area: sai spiegare perché?
ESERCIZIO2. Dimostra i seguenti teoremi:
2.1] Sia ABCD un parallelogramma in cui la diagonale DB ha la stessa lunghezza del lato AD. Nella simmetria
avente come centro M, punto medio di AB, il punto D ha come corrispondente D'. Dimostra che:
a) il quadrilatero ADBD' è un rombo;
b) il quadrilatero DBCB' è un rombo, essendo M' e B' i punti di intersezione fra la retta parallela a DD',
tracciata da B, e i lati DC e AD;
c) DD'⊥ DC;
d) MM' ≅ DB.
2.2] Dato il parallelogramma ABCD siano P,Q,R,S i baricentri dei triangoli ABD, ABC, BCD e CDA.
Dimostra che:
a) il quadrilatero PQRS è un parallelogramma con lo stesso centro di ABCD;
b) se ABCD è un rombo, anche PQRS è un rombo.
2.3] Siano AB e CD due segmenti perpendicolari nel punto O tale che OB≅2OA e OD≅2OC, siano P, M e Q i
punti medi di BO, BD e DO rispettivamente e sia E il punto comune alle rette BC e AD. Dimostra che:
a) il quadrilatero ACPQ è un rombo;
b) AC≅½ BD;
c) il quadrilatero ACBM è un parallelogramma;
d) il punto E è il corrispondente del punto D nella simmetria di centro A e il corrispondente del punto B
nella simmetria di centro C;
e) E, O, M sono allineati (O è il ………………… del triangolo EBD).
2.4] Sia ABCD un quadrato di centro O e siano M il punto medio di AB ed E il baricentro di ABD. L’asse di CO
interseca DC in N. Dimostra che:
a) DE è parallelo a BN;
b) i punti E ed E’ sono simmetrici rispetto ad O ( essendo E’ il punto di intersezione fra BN ed AC);
c) il quadrilatero EF’E’F è un quadrato ( essendo F il punto di intersezione fra BD ed AN, F’ il punto di
intersezione fra BD e CM).
2.5] Sia ABCD un parallelogramma e siano M e N i punti medi di BC e di AB; sia poi P il simmetrico di M
rispetto ad N e Q il simmetrico di B rispetto a P. Dimostra che:
a) i quadrilateri PAMB, PACM e QPMA sono parallelogrammi;
b) i punti P, A, D sono allineati e PA ≅ ½ AD;
c) A è il baricentro del triangolo BDQ;
d) i punti Q, A ed il centro del parallelogramma ABCD sono allineati;
e) A è il punto medio di QC;
f) PM ≅ ½ QC.
Scheda n°3 Data
Classe
Nome
di geometria
Tempo
Contenuti: punti notevoli di un triangolo, problemi
ESERCIZIO1. Dimostra i teoremi:
1.1] Sia ABCD un trapezio rettangolo la cui base maggiore AB è doppia della base minore CD e sia AD il
lato perpendicolare alle basi. Traccia la retta passante per B e perpendicolare al lato BC, che interseca il
prolungamento di AD in P. Siano poi: Q il punto di intersezione delle diagonali del trapezio, H la proiezione
ortogonale di C AB, E il punto comune ai segmenti AC e DH, O il punto comune ai segmenti CH e DB ed F il
punto medio di BC. Dimostra che:
a) AC≅DH
b) DB dimezza l’altezza CH
c) CEHF è un rombo
d) EO≅ ¼ AB
e) il punto H è ortocentro del triangolo DBP
f) il punto Q è baricentro del triangolo DHC
g) AQ≅2QC
Come deve essere ABCD affinché CEHF sia un quadrato?
1.2] ABC è un triangolo rettangolo in A; siano A’ il simmetrico di A rispetto alla retta BC e A’’ il simmetrico di
A rispetto al punto medio M di BC. Chiama H il punto di intersezione delle rette AA’ e BC, P il punto di
intersezione delle rette BA’ e CA’’ e Q il punto di intersezione delle rette PM e BA’’ Dimostra che:
a) il triangolo PBC è isoscele
b) MP è bisettrice dell’angolo BPC
c) AA’ e PM sono paralleli
d) PC e AC sono perpendicolari
e) I punti A’ e A’’ sono simmetrici rispetto alla retta PM
f) I segmenti MA, MA’ e MA’’ sono congruenti
g) Il triangolo CAA’ è isoscele sulla base AA’
h) CA’ è perpendicolare a BP: che cosa rappresenta il punto Q per il triangolo BPC?…………………….
Quindi BA’’ è ………………………… a PC
i) Che punto notevole è M nel triangolo AA’A’’?
ESERCIZIO2. Risolvi i seguenti problemi:
(
)
2.1] In un rombo il perimetro misura 40a 2 −1 e le diagonali sono una i 3 dell’altra.
4
a) Dimostra che il quadrilatero ottenuto congiungendo i punti medi dei lati è un rettangolo.
b) Trova la misura del perimetro, dell’area di tale rettangolo.
[28a(
)
(
2 − 1 ; 48a 2 3 − 2 2
)]
2.2] ABCD è un trapezio isoscele avente gli angoli adiacenti alla base maggiore che misurano 45° e tale che
ciascuna diagonale sia bisettrice dell’angolo adiacente alla base maggiore.
a) Dimostra che la base minore è congruente ai lati obliqui.
b) Sapendo che la misura dell’area è 12a2 2 2 + 2 , determina la misura del perimetro e della
diagonale del trapezio.
(
)
(
)
(
)
4a 3 4 + 2 ;4a 3 2 + 2
2.3] Sulla circonferenza di centro O e diametro AB prendi un punto C tale che la sua proiezione ortogonale H
su AB divida il diametro in modo che sia AH ≅ 16 HB e, sulla semicirconferenza opposta, prendi un punto
9
D tale che AD sia congruente al raggio della circonferenza.
Sapendo che la misura del perimetro è 5 3 19 + 5 3 (cm), determina la misura dell’area del quadrilatero
ADBC e la distanza di ciascuno dei lati dal centro della circonferenza.
(
)
2.4] In un parallelogramma ABCD il lato AB è i
2
5 del lato AD e la diagonale BD è perpendicolare ad AD.
3
Sapendo che la misura della sua area è 96a
a) determina la misura del perimetro dei parallelogrammi ABCD e DHBK ottenuto proiettando
ortogonalmente D e B sui lati opposti;
b) dimostra che il quadrilatero AXCD avente come vertici, nell’ordine, A, la proiezione X di A sulla retta
BC, ed i vertici C e D del parallelogramma, è un trapezio rettangolo avente la base maggiore doppia
della base minore e poi determina la misura della sua area.
112a 2
32a 2;
5
2.5] ABCD è un trapezio isoscele avente gli angoli adiacenti alla base maggiore che misurano 30° e tale che
la base minore sia congruente ai lati obliqui.
a) Dimostra che ciascuna diagonale è bisettrice dell’angolo adiacente alla base maggiore.
b) Sapendo che la misura del perimetro è 2a 6 4 + 3 , determina la misura dell’area e della diagonale
del trapezio.
(
[6a (2 + 3 ); 2a(3 + 3 )]
2
)
Scheda n°4 Data
Classe
di geometria
Tempo
Contenuti: la circonferenza
Nome
ESERCIZIO1
1.1] AC è il diametro di una circonferenza di centro O e raggio r; AB≅BC; AĈD ≅ CÂE = 60°
a) ABC è un triangolo ……………… e …………………………. perché ……………………………………..
b) Gli angoli BÂC e BĈA misurano ………………
c) BO, nel triangolo ABC, è la ………………………… quindi è anche …………………………………..
d) ODC e OAE sono triangoli ………………………………….. perché ………………………………………
quindi l’angolo EÔD misura ……………….. e, di conseguenza, EDO è un triangolo ……………….
e) gli angoli AÊD e CD̂E misurano ………….; le rette DE e AC sono …………………………………
ACDE è un …………………………………………….
f) l’angolo CB̂D misura ………….. perché …………………..
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
l’angolo AÊB misura ………….. perché …………………..
l’angolo EB̂D misura ………….. perché …………………..
l’angolo AD̂C misura ………….. perché …………………..
DE è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
AD è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
AB è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
Misure: DE = .......... . AD = .......... .......... AB = .......... .......... .... DH = .......... ........
1.2] ABCD è un trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza di centro O
a)
b)
c)
d)
e)
f)
indica 4 coppie di segmenti perpendicolari …………………..
indica 4 coppie di angoli congruenti ……………………..
indica 4 coppie di angoli supplementari ………………………
indica 4 coppie di angoli complementari ……………………………
indica le coppie di triangoli congruenti …………………
indica le coppie di triangoli simili ………………………… e le proporzioni tra i lati
corrispondenti…………………………………………………………..
g) ………………………………………………… sono triangoli isosceli
h) ………………………………………………… sono triangoli rettangoli
i) …………………………………………………… sono corde congruenti della circonferenza
j) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco
PM minore di una semicirconferenza con i lati entrambi secanti
k) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco
PM minore di una semicirconferenza con un lato secante e uno tangente
l) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono sull’arco
PM maggiore di una semicirconferenza
m) NQM è un angolo ……………. perché …………….
n) COB è un angolo ………………. perchè ………………
o) PÔQ ≅ ..........PM̂Q perché ……………………………………………………………….;
DÔC ≅ ........PÔQ perché …………………………………………………………… ⇒
…………………….
⇒ i triangoli DOC e PMQ sono …………………………………
ESERCIZIO2 Dimostra i teoremi
1.
Dati due segmenti AB e AC adiacenti (AC>AB), disegna le due circonferenze γ e γ’ di centri O e O’ e
diametri AB e AC rispettivamente. La retta passante per B e tangente a γ’ in D interseca in P la retta
passante per A e perpendicolare ad AC, interseca in E la circonferenza γ e interseca in Q la retta
tangente a γ’ in C. Dimostra che :
a)i segmenti AE e DO’ sono paralleli;
b)l’angolo DÂE è congruente alla semisomma degli angoli AÔE e AÔ' D ;
c) il quadrilatero DQCO’ è circoscrittibile ad una circonferenza e inscrittibile in una circonferenza
(indicane centri e raggi);
d)essendo M il punto di intersezione della circonferenza γ’ con O’Q, M è un punto notevole per il
triangolo DCQ, quale? Rispondi motivando;
e)AM è bisettrice dell’angolo DÂC ;
f) i triangoli DO’C e PAD hanno gli angoli ordinatamente congruenti e così pure DQC e ADO’;
g)gli angoli DÂO' e QÔ' C sono congruenti e DA e QO’ sono segmenti paralleli.
Nell’ipotesi che DA e AO’ siano congruenti e misurino r e che N sia il punto diametralmente opposto ad
M, calcola le ampiezze degli angoli DĈO' , AP̂D , QD̂C , MÂN , AN̂D , QN̂C e DN̂M e le misure del
perimetro e dell’area del quadrilatero APQC.
2. Un trapezio ABCD, rettangolo in A e D, è circoscritto ad una circonferenza di centro O ed ha l’angolo di
vertice B che misura 60°; indica con R, S, P, Q i punti di tangenza della circonferenza con i lati AB, BC,
CD e DA rispettivamente.
2.1 Dimostra che:
a) I triangoli RBS e POS sono equilateri;
b) I triangoli PQR e DOA sono rettangoli ed isosceli;
c) POAQ è un parallelogramma e OPDQ è un quadrato;
d) Il quadrilatero SORB è sia inscrittibile che circoscrittibile (indica centri e raggi);
e) L’arco PS è metà dell’arco SR ;
f) Le rette OC e SR sono parallele;
g) Gli angoli CŜP e PQ̂S sono congruenti;
h) I triangoli CPS e ROS sono simili
i) PS, PQ e SR sono lati di poligoni regolari inscritti nella circonferenza: quali?
2.2 Calcola:
a) Le ampiezze degli angoli del quadrilatero PQRS;
b) Le misure del perimetro e dell’area di ABCD e di PQRS in funzione del raggio r
della circonferenza .
3. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e sia CH l’altezza relativa ad AB. Detta γ la circonferenza di
centro H e raggio HM, dove M è la proiezione ortogonale di H su AC, sia DE la corda del triangolo
parallela ad AB ( con D punto di AC) e tangente alla circonferenza in P.
Dimostra che:
a) i triangoli AMH e CDP, AMH e AHC sono simili;
b) i triangoli MHD e DHP sono congruenti;
c) CM è medio proporzionale tra CP e CQ, dove Q è il punto di γ diametralmente opposto a P.
2
Sapendo che l’area del triangolo ABC misura 192(cm ) e che la base AB supera di 8(cm) l’altezza ad
essa relativa:
a) calcola il perimetro di ABC;
b) calcola le misure del perimetro e dell’area del triangolo CDE;
c) calcola le misure dei due raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta al
triangolo CDE;
d) verifica se il quadrilatero ABED è inscrittibile o circoscrittibile ad una circonferenza.
ESERCIZIO3 Risolvi il seguente problema
Data una circonferenza di diametro AB, si tracci la retta r tangente alla circonferenza in B e da A una
retta che incontra la circonferenza in C e la retta r in D. Il triangolo ABC, il cui lato BC è congruente a 3
5
2
del diametro, ha area che misura 72(cm ). Calcola le misure dei perimetri dei triangoli ABC e ABD e
dell’area del quadrilatero CHBD, dove H è la proiezione ortogonale di C su AB.
Scheda n°5 Data
Classe
Nome
di geometria
Tempo 120’ Contenuti: teorema di Talete, omotetia e similitudine, problemi e teoremi
ESERCIZIO1 Con riferimento alle figure a lato, completa in modo da ottenere proposizioni corrette:
1.1
Supponendo che PQ//AD//BE//CF risulta
AB : AC = …… : ……
BC : …… = AC : …….
…… : …… = DE : EF
AP : AO = …… : …….
DO: EF = ……. : ……
OP : ……. = AB : …….
1.2
Ipotesi
DE//BC ∧ BÂQ ≅ QÂC
Per il teorema di Talete applicato alle rette parallele rBC
e rDE con trasversali rAB e rAC
AE : AD = ……….. : …………..
Per il teorema della bisettrice nel triangolo ABC
…………………………………………………..
Per il teorema della bisettrice nel triangolo AED
…………………………………………………..
Dal confronto delle tre proporzioni si può dedurre che
EP : PD = ……. : ………
1.3
Ipotesi
AA’⊥BC ∧ BB’⊥AC ∧ CC’⊥AB ∧ A’P⊥AB ∧ A’Q⊥AC
Il punto O è ……………………………. del triangolo ABC.
A’P …… CC’ e A’Q …….. BB’ perché ……………………………
…………………………………………………………………………………
Il quadrilatero AC’OB’ è …………………………………………..
… una circonferenza di diametro ………….
Il quadrilatero APA’Q è …………………………………………..
… una circonferenza di diametro ………….
Il quadrilatero ……………. è un parallelogramma perché
………………………………………………………………………….
AC’ : …… = AO : ………. per il teorema ……………………..
applicato al triangolo ……….
AB’ : ……. = AO : ……… per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che ……………………………….
⇒ C’B’ …… PQ per il teorema ………………………………………………………………………………
BP : ……. = ……… : A’C per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
B’Q : ……. = …….. : A’C per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che
BP : ……… = ……… : QC
B' B̂A ' ≅ QÂ ' C perché ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
BÂ ' U ≅ A ' ĈV perché ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
⇒ gli angoli …….. e ………. sono congruenti perché ..…………………………………………………………
…………………….
ESERCIZIO 2
ABCD è un trapezio e AB la sua base maggiore. Per il punto O di intersezione delle sue diagonali traccia la
retta parallela alle basi che interseca i lati AD e BC rispettivamente in P e in Q. La parallela alla diagonale
BD passante per P interseca la base maggiore nel punto R e la parallela alla diagonale AC passante per Q
interseca la base maggiore nel punto S. Dimostra che i segmenti AS e BR sono congruenti.
ESERCIZIO 3
In un triangolo rettangolo ABC, il cateto AB misura 40 dm, mentre un punto D dell’ipotenusa AC dista 20 dm
dal vertice A e dista 12 dm da AB. Detta E la proiezione ortogonale di D su AB,
a. calcola le misure dei lati del triangolo ADE e del trapezio BCDE;
b. dimostra che BD è bisettrice dell’angolo ED̂C ;
c. calcola le distanze di P da E e da C, essendo P il punto di intersezione dei segmenti BD e
CE;
d. calcola il rapporto BP , senza calcolare le misure dei due segmenti, e verifica che tale
DP
rapporto è uguale a quello tra i segmenti AB ed AE.
ESERCIZIO 4
ABC è un triangolo rettangolo in C. Disegnata la retta tangente in C alla circonferenza γ circoscritta al
triangolo ABC, siano H e K le proiezioni ortogonali di A e B su tale tangente. Dimostra che:
∧
∧
1. AC e BC sono bisettrici degli angoli H A B e A B K ;
2. C è punto medio di HK;
3. H e R sono simmetrici rispetto ad AC e R e K sono simmetrici rispetto a BC, dove R è la proiezione
ortogonale di C su AB;
4. HR e RK, HA e AP sono perpendicolari, essendo P il punto d’intersezione fra la circonferenza e BK;
5. il quadrilatero CRBK è sia inscrittibile in una circonferenza che circoscrittibile ad una circonferenza;
6. i triangoli AHC e CBK, HAR e RCK sono simili;
7. CH ⋅ CK = AH ⋅ BK
8.
2
CK = BK ⋅ BP
Se AB =2a e CR =
3
a calcola la misura del perimetro di ABC e le misure del perimetro e dell’area di
2
ABKH. Determina, infine, in tal caso la misura degli angoli del quadrilatero ABKC.
Allegato1
DISEQUAZIONI
ESERCIZIO1] Risolvi le seguenti disequazioni:
x
5x + 3
>
x - 3 x2 − 9
3x + 4 1 x + 19
2)
− >
x + 3 2 4x + 6
x−2
x2
x −1
3)
<
−
x − 1 (x − 1)(x − 2) 2 − x
1)
1
1
x−2
− <
x + 4 8 2x 2 + 8
3x + 1
x2
x
5)
− 2
>
−4
x−2 x −4 x+2
4)
Risultati:
1) x < -3 ∨ -1 < x < 3 ∨ x > 3
2
7
3
<x<− ∨x>2
3
2
3) x < −3 ∨ x > 2
2) x < -3 ∨ -
4) x < −6 ∨ x > 2
5) x < −
14
∨ −2 < x < 1 ∨ x > 2
5
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
ESERCIZIO2] Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni:
− x 2 + 4x − 4 < 0
1) x 2 − 3x − 4 < 0
2
x − 2x 7 + 7 > 0
3x x + 1 1
2 − 3 < 2 (1 − x )
2) 2
x − 1 + 2x > x + 3 + 1
3
4
3x − 2 x + 1 x − 5
2 − 4 > 4
3) 2
x + 1 − x < 1 + x
2
2 2
x + 2 2x + 1
−
<0
4) 3
2
3x 2 + x − 4 > 0
Risultati:
1 − x
3x (x + 1) x + 2
+
<
5
8
5) 4
1
1
2
2
(x + 1) − (x − 1) > 1
2
3
6
25
4
3) 0 < x < 3
1) − 1 < x < 2 ∨ 2 < x < 4
2
2) x < −
4) x > 1
5) nessun valore di x
(x − 1)3 + (x + 1)3 > 0
6) 1
1
x +1
2
(2x − 1) − (1 − x ) <
2
6
9
6) 0 < x <
5
4
ESERCIZI SUI RADICALI
ESERCIZIO3] Calcola il valore delle seguenti espressioni ricordando che, quando porti un fattore fuori
da un radicale ad indice pari, devi controllare che si mantenga il segno
1)3 − 3 − 3 − 81
7 x 3 + 2x 2 + x + x 3 + 4x 2 + 4x
2)4 162 − 4 512 − 4 2
3 ) − 2a + − 8a − − 72a
4 ) 32 + 2a
4
4
4
8 x 3 + 2x 2 + x + x 3 − 4x 2 + 4x
9) x 3 − 2x 2 + x + x 3 − 4x 2 + 4x
10 ) x 2 (x − 1) −
5 ) x 3 − 9x
(x + 2)2 (x − 1)
6 ) 2a 2 − 4a + 2 + 2
Soluzioni
1) 23 3
7 )(2x + 3 ) x con x ≥ 0
2) − 2 2
8 ) 3 x se 0 ≤ x < 2; (2x - 1) x se x ≥ 2
3) − 3 − 2a con a ≤ 0
9 )(3 − 2x ) x se 0 ≤ x < 1; x se 1 ≤ x < 2;
4
4)(2 + a)4 2 se a ≥ 0;
(2 - a) 2 se a < 0
5)(x − 3) x con x ≥ 0
6) a 2 se a ≥ 1;
(2 - a)
(2x - 3)
x se x ≥ 2
10 ) − 2 x − 1 con x ≥ 1
4
2 se a < 1
ESERCIZIO4] Semplifica le seguenti espressioni ricordando:
1. di scrivere il dominio
2. di fare attenzione nelle semplificazioni per un indice pari
3. di fare attenzione nei passaggi da indice dispari a indice pari
13 x 2 − x 4
x2
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
4x
3
1− x
1− x
3
(x + 1)
2
(x + 1)2
4x
16x
− 1 6
(x − 1)4
1
1
2 )3 + x : − x 1 − x 2
x
x
4 )6
Soluzioni
3 ) 3 2 se 0 < x < 1; - 3 2 se x > 1
1) Operazione assurda
(
2) 1 + x
6
4 )6
) (1 − x ) con - 1 < x < 1 ∧ x ≠ 0
2 2
2
1
1
+ 4x − 4 3 + 4x + 4
x
x
x
4x
2
−1
2x + 1
1
con x >
2x − 1
2
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ESERCIZIO5] Risolvi ed eventualmente discuti le seguenti equazioni
x
2x + 1
1
=
+
2
x-3 9−x
x+3
1
2
3
4
2)
=
x - 4 x - 3 x - 2 x -1
2x + 1 3x − 4
x2 + 6
9
3)
−
− 2
=
2x - 4 3x + 6 6x − 24 x + 2
soluzioni
1)
[
4) (x + 2a ) − (x − 2a ) = 4a 7x 2 + 3(x + a )
3
5)
3
2
1) ∅
5
2)
;5
2
3 ) - 23 ;
a
4) - a ;
7
]
5) se .............. ⇒ -
a
2x − a x − a + 1
−
= 2
x +1 x −1
x −1
1
; a -1
2
ESERCIZIO6] Senza risolverle, indica se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e calcolane somma e
prodotto. Stabilisci poi il loro segno, nel caso siano reali.
(
)
1 2x 2 − 2 3 x + 1 = 0
4) x 2 − 2 2 − 3 x + 2 − 2 3 = 0
2) 4x + 3 2x − 1 − 2 = 0
5) 5x − 4 3 x + 3 = 0
3 ) 2x − 2 6 x + 3 = 0
6 ) x 2 − 2x + 3 − 3 = 0
2
2
2
ESERCIZIO7] Calcola le soluzioni delle seguenti equazioni usando solo somma e prodotto
1) x 2 − 2x − 35 = 0
2) 2x 2 − 5x + 2 = 0
3 ) 2x 2 − 5x − 3 = 0
4 ) x 2 − 3 2x + 4 = 0
5) x +
2
(
)
2− 3 x− 6 =0
1) - 5 ; 7
1
2) 2 ;
2
6) x 2 + 2 3 x − 9 = 0
6) - 3 3 ;
7) x 2 − 3 3x + 4 − 6 = 0
7)
1
2
2 ; 2 2
3) 3 ; 4)
5) - 2 ;
3
ESERCIZIO8]
2
1) Nella equazione parametrica ( 2a+1)x - ( a-1)x +2a-1 = 0 determina per quali valori di a:
NON E’ RICHIESTO CHE LE SOLUZIONI SIANO REALI
a) le soluzioni sono entrambe positive
b) una soluzione sia √5
c) le soluzioni sono discordi
d) la somma delle soluzioni è maggiore del loro prodotto
e) 2x1+2x2 - 3x1x2 =2
3
3− 2 ;
2 3+ 2
soluzioni; a) a<-1/2 ∨ a>1; b)
a=
− 53 − 16 5
; c) -1/2<a<1/2; d) -1/2<a<0; e) a=-1/8
139
2
2
2) Nella equazione parametrica ( k -6k+8)x -2(k-1)x -3 = 0 determina per quali valori di k :
a) le soluzioni sono reali e distinte
b) le soluzioni sono coincidenti e calcola il loro valore
c) le soluzioni hanno somma positiva
d) la somma delle soluzioni diminuita del loro prodotto è negativa
e) la somma dei reciproci delle soluzioni è maggiore di 4
soluzioni; a) k ≠ 5/2; b)
k=
5
⇒ x 1 = x 2 = −2 …; c) 1<k<2 ∨ k>4; d) k<-1/2 ∨ 2<k<4; e) k<-5
2
SISTEMI LINEARI
ESERCIZIO9] Risolvi i seguenti sistemi:
1
x−y
5 1 + 2xy + 2y 2
x
y
x
y
+
(
+
)
−
−
=
2
6
3
3
1)
1 (2x − 1)2 + 1 (y − 3 ) = x 2 − 3
4
2
4
R : (1;3 )
(2x + y )2 − 8x (y − 1) = (2x − y )2 − 8
2)
2x + 3y = 1
R : (- 1;1)
(x - y - 1)2 − (x + y − 3 )2 − 4 = 4x (2 − y )
3)
(x - y - 1)2 + (x + y − 3 )2 + 2x (2y + 3 ) = 2(x + y )2
(
)
R : (1;2 )
(x + y )3 + (x − y )3 = x 2x 2 + 1 + 3y (2xy + 1) − 5
4)
R : (- 1;2 )
(x + y )3 − (x − y )3 = 2x (3xy − 1) + y 2y 2 + 1 − 4
x
1
y
x - y − y − x = 3
1
5)
R : ∀ (x, y ) x ≠ y ∧ x ≠ y
y
2
x
1
−
=
2x − y y − 2x 5
2x − 3y = 7
6) 1
R : (2;-1 )
2
1
x + y − x − y = x2 − y2
(
2x + y = 0
7)
− x + 2y = 2
2 3 x + 2y = 3
8)
3 x + 2y = 6
)
2 2
R : −
;
3 3
9
R : − 3;
2
2
SISTEMI DI SECONDO GRADO
ESERCIZIO10] Risolvi i seguenti sistemi nelle incognite x e y
3x + 2y = 0
1)
2
x(x - y ) = 2 y − 4
1
1
(x + 3 ) + (y − 1) = 1
4
2) 2
(x − 1)2 = (y + 3)2
(
)
R : (− 2;3 ) ; (2;-3 )
R : (1;-3 )
x 1
3 + y = 2
3)
R : (7;-3 ) ; (3;1)
2
2x + 2y + 1) − 45
(
2
(x + y - 1) =
4
2x + 2y = 18
6)
R : (4;5 ) ; (5;4 )
xy = 20
1
x + y = 3
4
4
7)
R : ;−1 ; - 1;
3
3
x 2 + y 2 + xy = 13
9
x 2 + y 2 = 20
8)
R : (± 2;±4 ) ; (± 4;±2)
xy = 8
2
y −1 +
4)
2x −
y − 1
1
=0
x −1
y
=3
x −1
1
5
1
x 2 − x + xy − y = xy
5)
y − x = 5
2
x − x xy − y xy
x 2 + y 2 = 39
9)
R : 2 3;−3 3 ; − 3 3 ;2 3
x + y = − 3
4(y − x ) = −8 2
10)
xy = x − 2
(
R : (0;3 )
R : (2;3 )
R:
(
)(
)(
R : ( 3; 2 ); (
)
3)
2 + 2;2 − 2 ; 2 − 1;−1 − 2
x − 3 = 2 − y
11)
xy = 6
2;
ESERCIZIO10] Risolvi e interpreta graficamente i seguenti sistemi:
6 = 6 y − 3 x
x = 2y − 2
2y = x + 2
x = 6 − 2y
y = x − 2
1)
2)
3)
y = 5
4)
2
y = x − 2x − 3
2x 2 + y = 2x + 4
5)
2x + y = 6
xy = 4
8)
x + 2y = 3
x 2 + y 2 = 2
9)
xy − 1 = 0
x 2 + y 2 = 4
7)
x − y = 0
y = x − 2x + 1
x 2 = y
6)
2
x + y = 1
2
SOLUZIONI
1) sistema indeterminato
2) (2;2)
con soluzione tutte le coppie
(2k + 2,k ) con k∈R
Graficamente sono due rette incidenti
Graficamente sono rette
in A. La soluzione del sistema è
coincidenti:
rappresentata dalle coordinate del
punto comune alle curve: A.
3) sistema impossibile
4) (-2;5); (4;5)
5) (1;4) (soluzione doppia)
Graficamente sono una
retta parallela all’asse x e
una parabola che hanno
due punti in comune. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
Graficamente sono una retta e una
parabola che hanno un unico punto
d’intersezione. La soluzione del
sistema è rappresentata dalle
coordinate del punto comune alle
curve: A (con molteplicità doppia)
− 2 ; 1 ; 2 ; 1
2 2 2 2
6)
segue …
)
Graficamente sono una retta
e una parabola che non
hanno alcun punto in
comune.
Graficamente sono due
parabole che hanno due punti
di intersezione. La soluzione
del sistema è rappresentata
dalle coordinate dei punti
comuni alle curve: A e B.
(
)(
)
7) 2; 2 ; − 2;− 2
Graficamente sono una
circonferenza con centro
nell’origine degli assi e
raggio 2 e una retta. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B.
9) Nessuna soluzione reale
9) (1;1); (− 1;−1) (con
molteplicità doppia)
Graficamente sono una iperbole e una
retta che non hanno alcun punto in
Graficamente sono una
comune.
circonferenza con centro
nell’origine degli assi e raggio
2 e una iperbole. La
soluzione del sistema è
rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B (con
molteplicità doppia).
PROBLEMI
1) Un rettangolo ABCD ha i due lati consecutivi AB, BC, di lunghezza 2a ed a rispettivamente. Determina
su CD un punto E in modo che, indicato con M il punto medio di AB, risulti verificata la relazione
AE
2
+ BE
2
+ EM
2
=
23 2
a
4
2) Calcola le basi e l’altezza di un trapezio rettangolo ABCD sapendo che il lato obliquo BC è lungo 2a,
che l’angolo formato dalla base maggiore AB con il lato obliquo è di 60 ° e che la somma dei quadrati delle
2
sue diagonali AC e BD è 11a , verificando che il triangolo ABC è equilatero.
3) Sulla diagonale AC di un quadrato ABCD di lato a determina un punto E in modo che, indicate con M ed
2
N rispettivamente le sue proiezioni ortogonali sui lati AB e BC, sia 13/16a la somma dell’area del
rettangolo BMEN e quella di un quadrato costruito sul segmento DE.
4) Nel triangolo isoscele ABC di base BC di lunghezza 2a gli angoli adiacenti alla base misurano 30°.
Determina sul lato AC un punto D in modo che sia verificata la relazione
2
2
80 2
BD + CD =
a
27
5) I lati di un rettangolo ABCD sono AB di lunghezza 2a e BC di lunghezza a. Considerati i punti A’, B’, C’,
D’ posti rispettivamente sul prolungamento di DA oltre A, sul prolungamento di AB oltre B, sul
prolungamento di BC oltre C e sul prolungamento di CD oltre D in modo che i segmenti AA’, BB’, CC’ e
2
DD’ abbiano tutti la stessa lunghezza, determina tale lunghezza in modo che sia 18a la somma dei
quadrati dei lati del quadrilatero convesso A’B’C’D’.
6) Sul lato AD di lunghezza a di un rettangolo ABCD e sui prolungamenti, oltre B e oltre C, del lato
opposto BC sono dati, rispettivamente, i quattro punti D’, A’, B’, C’ con A’ interno al segmento AD’, i quali,
con i vertici del rettangolo, formano segmenti legati dalla relazione
BB' CC' AA '
=
=
= DD'
4
3
2
Sapendo inoltre che AB e CD hanno entrambi lunghezza 2a, determina i punti A’, B’, C’, D’ in modo che la
2
somma dei quadrati dei lati del trapezio convesso A’B’C’D’ sia 16a .
7) Un parallelogramma ABCD ha i lati AB e CD di lunghezza 4a ed i lati BC e AD di lunghezza 2a e
l’angolo BCD di ampiezza 60°. Considerati,sui lati AB e CD rispettivamente, i punti E ed F tali che sia AE
doppio di DF, determina detti punti in modo che si abbia
2
2
DE + BF =
64 2
a
5
8) Le diagonali AC e BD di un rombo ABCD sono rispettivamente lunghe 4a e 2a. Considera sulla prima i
punti A’ e C’ in modo che AA’≅CC’≤2a e, sui prolungamenti della seconda, considera i punti B’, oltre B e
D’, oltre D, con BB’≅DD’≅2AA’. Determina i punti A’,B’,C’,D’ in modo che l’area del rombo avente tali punti
2
per vertici misuri 6a .
9) Su una circonferenza di diametro AB di lunghezza 2r determina un punto C in modo che, detta D la sua
2
2
2
proiezione ortogonale sulla tangente in B alla semicirconferenza sia:
2AC + 2CD + BD = 7r 2 .
10) Sui lati CD, BC, AD di un rettangolo ABCD considera, rispettivamente, i punti L, M, N con BM e DN
aventi entrambi lunghezza uguale al doppio della lunghezza di CL. Determina i suddetti punti quando la
lunghezza di CD è a e quella di BC è 2°, mentre la somma dei quadrati dei lati del triangolo LMN è 38 a 2 .
9
2
11) Determina le diagonali 2x e 2y di un rombo avente il lato di 5√2 (cm) e l’area di 48(cm ). Calcola poi la
2 .
misura del perimetro di un rombo simile ad esso avente l’area di 108 (cm )
12) Nel triangolo isoscele ABC la base AB misura 4(cm) e la bisettrice dell’angolo di vertice A interseca BC
nel punto D che dista 3(cm) da B. Determina il perimetro del triangolo ABC. Se per D tracci la retta
parallela ad AB che interseca AC in E, qual è il rapporto tra le aree dei triangoli ABC e DCE ( senza
calcolarle)?
2
13) Determina le misure x,y,z dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che 2p=40(cm) e A=60(cm ).
Calcola poi le misure dei raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta e il perimetro
2
di un triangolo simile a quello dato e la cui area misura 48(cm ).
(problemi di massimo e di minimo)
14. Al quadrato ABCD di lato 2 cm vengono tolti i due triangoli rettangoli
isosceli FGD come in figura. Indica con x la misura del lato DF e
rispondi ai seguenti quesiti:
a. determina l’area A(x) della regione colorata e tracciane il grafico
mettendo in evidenza l’arco che si riferisce al problema;
b. calcola il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando
anche per quali valori di x si ottengono;
c.
calcola per quali valori di x risulta
2 ≤ A (x ) ≤
12
5
15. Nel triangolo ABC è costante e uguale a 6 la somma della base AB e dell’altezza CH a essa relativa.
Poni AB = x e costruisci la funzione A(x) area del triangolo ABC e rispondi:
a. traccia il grafico di A(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. determina il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando anche per quali valori di x si
ottengono;
c.
calcola per quali valori di x risulta
5
≤ A( x ) ≤ 4
2
16. Detto C un punto del segmento AB di lunghezza 3 cm e indicato con x la misura di AC, scrivi la
( )
2
funzione f x = AC − AB ⋅ CB e rispondi alle seguenti domande:
a. traccia il grafico di f(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
b. determina il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x), indicando anche per quali valori
di x si ottengono;
c.
2
calcola per quali valori di x risulta AC = AB ⋅ CB
Osservazione: il segmento AC che gode di questa proprietà si chiama sezione aurea di AB
d. determina per quali valori di x risulta
2
AC ≥ AB ⋅ CB
Risultati
a
3
1) DE = ∨ DE = a
2
2
2) DC = a
a
3
3) AM = ∨ AM = a
4
4
2 3
4) DC =
a
9
a
2
a
6) DD' =
5
2
8
7) DF = a ∨ DF = a
5
5
5) AA ' =
a
∨ AA ' = a
2
9) CD = r
8) AA ' =
10) CL =
14.a. A (x ) = − x 2 + 2x + 2 con 0 ≤ x ≤ 2
vedi grafico a lato
b. A MAX = 3 per x=1; A min = 2 per x=0 o x=2
c. 0 ≤ x ≤
5 − 15 5 + 15
∨
≤x≤2
5
5
15.a. A (x ) = −
1 2
x + 3 x con 0 ≤ x ≤ 6
2
vedi grafico a lato
b. A MAX =
9
per x=3; A min = 0 per x=0 o x=6
2
c. 1 ≤ x ≤ 2 ∨ 4 ≤ x ≤ 5
16.a. f (x ) = x 2 + 3 x − 9 con 0 ≤ x ≤ 3
vedi grafico a lato
b. fMAX = 9 per x=3; fmin = −9 per x=0
c. x = 3 ⋅
…d. 3 ⋅
− 1+ 5
2
− 1+ 5
≤x≤3
2
a
2
∨ CL = a
3
3
11) 8 2cm; 6 2cm; 30 2cm
2
A ABC 12
16
= =
A DCE 9
9
13) x = 8cm; y = 15cm; z = 17cm;
12) 2p ABC = 28cm;
r = 3cm; R =
17
cm; 2p = 16 5cm
2
TEOREMI
1] Se a partire dai vertici di un triangolo ABC si conducono tre semirette parallele e dello stesso verso e
su di esse si prendono tre segmenti uguali AA', BB', CC', il triangolo A'B'C' risulta uguale ad ABC.
2] Se in un triangolo la bisettrice di un angolo esterno è parallela al lato opposto, il triangolo è isoscele, su
questo lato come base.
3] Una retta perpendicolare alla base di un triangolo isoscele incontra i lati uguali in punti equidistanti dal
vertice.
4] Nel triangolo ABC si considerino le bisettrici degli angoli B e C e per il loro punto d'incontro si conduca
la parallela a BC. Se D ed E sono i punti d'intersezione di questa rispettivamente con i lati AB e AC,
dimostra che DE≅BD+CE.
5] Le parallele ai lati di un triangolo condotte dai vertici opposti determinano quattro triangoli congruenti.
6] In ogni quadrangolo convesso le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo congruente alla
semisomma degli altri due.
7] Due circonferenze di centri O e O' sono tangenti esternamente in A e sia BC una tangente comune e D
il suo punto dì intersezione con la tangente comune in A. Dimostra che:
a) D è il punto medio del segmento BC
b) i triangoli ABC e ODO' sono rettangoli
c) il quadrilatero OBCO' è un trapezio rettangolo
d) il segmento BC è medio proporzionale tra i diametri delle due circonferenze.
8] Si considerino due circonferenze secanti in A e B. Si conduca per A una secante che incontri le
circonferenze in M e N e per B un'altra secante che incontra le circonferenze rispettivamente in M' e N'.
Dimostra che MM'//NN'.
9] Siano A e B le intersezioni di due circonferenze secanti e C e D le ulteriori intersezioni di una retta per
B con le due circonferenze. Si traccino le tangenti alle circonferenze per C e D e sia M il loro punto
d'incontro. Dimostra che il quadrilatero CADM è inscrittibile in una circonferenza.
10] Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O si traccino le tangenti PQ e PR. Dimostra che
a) il circocentro del triangolo PQR è il punto medio di PO
b) l'ortocentro S del triangolo PQR ed i punti R, O, Q sono i vertici di un rombo
11] Detto P il punto medio dell'arco AB di una circonferenza di centro O, siano PC e PD due corde che
intersecano la corda AB rispettivamente in Q ed R. Dimostra che il quadrilatero CQRD è inscrittibile in
una circonferenza.
12] Sia I un punto della circonferenza circoscritta al triangolo ABC, appartenente all'arco AC. Se L è un
punto dell'arco AB tale che l'angolo LAB sia uguale all'angolo CAI ed M un punto dell'arco BC tale che
l'angolo MCB sia uguale all'angolo ICA, dimostrare che le rette AL e CM sono parallele.
13] Un triangolo ABC ottusangolo in B è inscritto in una circonferenza. Sia P il punto diametralmente
opposto a B e sia Q il punto in cui la perpendicolare in B ad AB interseca il segmento PC ed L il punto
in cui la stessa perpendicolare interseca la circonferenza. Dimostra che il quadrilatero BAPL è un
rettangolo e che i triangoli ABC e BPQ sono simili.
14] Un quadrato ha un lato sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo e due vertici sui cateti. Dimostra che il
lato del quadrato è medio proporzionale tra i due segmenti dell'ipotenusa che esso separa.
15] Sia ABC un triangolo rettangolo in B e sia H la proiezione ortogonale di B su AC. Dette L e K le
proiezioni ortogonali di H rispettivamente su AB e BC, dimostra che:
a) il quadrilatero BLHK è inscrittibile in una circonferenza
b) AL:HL=HK:KC
16] Dato il triangolo ABC isoscele sulla base AB si tracci la semicirconferenza di centro O, punto medio di
AB, e tangente ai lati AC e BC; siano P e Q i due punti di tangenza. Si tracci poi la corda MN del
triangolo, tangente alla semicirconferenza, e sia T il punto di tangenza. Dimostra che AOM, OMN, BNO
sono tra loro simili.
17] Se da un punto dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare ad essa, il
segmento di questa perpendicolare compreso fra l'ipotenusa e la circonferenza circoscritta al triangolo
è medio proporzionale fra i segmenti in cui il punto divide l'ipotenusa.
18] Sia ABC un qualunque triangolo inscritto in una circonferenza e si conduca la bisettrice dell'angolo A
che incontri il lato opposto in D e la circonferenza in E. Dimostra che il segmento BE è medio
proporzionale fra AE e DE.
19] Se un trapezio isoscele è circoscritto ad una circonferenza, il diametro di questa è medio proporzionale
fra le basi del trapezio stesso.
20] Il triangolo equilatero ABC è inscritto in una circonferenza. Preso un punto D dell'arco BC (che non
contiene A) si chiamino E ed F rispettivamente i punti d'intersezione delle rette AB, CD e AC, BD.
Dimostra che BCE e BCF sono simili.
21] Sono date due circonferenze secanti nei punti A e B. Per il punto A si conducano le tangenti alle due
circonferenze e siano M ed N i punti in cui ciascuna tangente incontra l'altra circonferenza. Dimostra
che la corda AB è media proporzionale fra le corde BM e BN.
22] Sia G il baricentro del triangolo ABC; disegna la retta per G parallela al lato AB e siano P e Q le sue
intersezioni con i lati AC e BC. Dimostra che la retta PQ divide AC e BC in due parti una doppia
dell’altra e che G è punto medio del segmento PQ. Stabilisci:
a) qual è il rapporto di similitudine dei triangoli ABC e PQC;
b) qual è il rapporto tra le aree dei suddetti triangoli;
c) qual è il rapporto tra l’area del trapezio ABQP e quella del triangolo ABC.
23] Nel triangolo ABC rettangolo in A sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa e siano M e N i punti simmetrici
di H rispetto ai cateti AB e AC. Dimostra che:
a) MH ⊥ HN
b) A è il punto medio di MN
c) La circonferenza circoscritta ad AMBH è tangente in A ad AC
d) La circonferenza circoscritta ad ABC è tangente in A ad MN
e) La circonferenza di diametro MN è tangente in H a BC
f) Le circonferenze di centri B e C e raggi BM e CN sono tangenti a MN e tangenti tra loro
g) ABM e ANC sono simili
Sapendo che AB = 3 BH e BC = 45(cm) calcola perimetro e area del trapezio BMNC e individua i centri
2
e i rapporti delle due omotetie che trasformano BM in CN.
24]
Dato un triangolo acutangolo ABC sia H la proiezione ortogonale di A su BC e siano P e Q le
proiezioni ortogonali di H su AB e su AC rispettivamente. Dimostra che:
a) APQH è inscrittibile in una circonferenza ( indicane centro e raggio e disegnala)
b) BCQP è inscrittibile in una circonferenza
25] Sia ABC un triangolo inscritto in una circonferenza e siano M e N i punti medi degli archi AB e AC; il
segmento MN incontra in F e in G i lati AB e AC. Dimostra che:
a) AB̂C ≅ 2 ⋅ CM̂N e AĈB ≅ 2 ⋅ BN̂M
b) MN è bisettrice degli angoli AM̂C e AN̂B
c) I triangoli AMF e AGN hanno gli angoli congruenti
d) AFG è un triangolo isoscele.
26] Su una circonferenza di centro O si predano 4 archi congruenti AB, BC, CD, DE. Dimostra che:
a) CO è asse di BD e di AE: ABDE che tipo di quadrilatero è?
b) IL quadrilatero OBCD è sia inscrittibile che circoscrittibile? rispondi motivando.
c) Essendo F = AD ∩ BE, i triangoli AFE e BCD sono isosceli e hanno gli angoli congruenti.
Nell’ipotesi che BÔD = 60o , calcola le ampiezze degli angoli CB̂E, BÂD, DÂE, BĈD, AB̂D.
27] Dimostra che la retta tangente ad una circonferenza nel punto medio M di un arco AB è parallela alla
corda AB; viceversa la retta tangente ad una circonferenza e parallela ad una corda AB tocca la
circonferenza nel punto medio M dell’arco AB.
28] Sia ABCDE un pentagono regolare inscritto in una circonferenza di centro O e sia P=AC∩BE.
Dimostra che le diagonali AC e BE si dividono in parti rispettivamente congruenti. Calcola le ampiezze
degli angoli dei triangoli ABE e APE e del quadrilatero DEPC: qual è la natura di tale quadrilatero?
