Trigonometria

Trigonometria
Introduzione storica
La trigonometria nasce dal problema pratico di calcolare a partire dalla misura di tre elementi di
un triangolo (di cui almeno un lato) le misure dei tre elementi mancanti.
La parola trigonometria deriva dal greco e significa misurazione del triangolo.
Risultati concernenti rapporti fra lati di triangoli simili erano già noti a egiziani e babilonesi, ma
è con i greci che per la prima volta vengono studiate le relazioni fra angoli (archi) di una circonferenza e le lunghezze delle corde che li sottendono. Essi studiano e usano queste relazioni per
applicarle a problemi astronomici. Vanno ricordati Eratostene di Cirene (280-195 a.C. ca), che
determina il raggio della terra e Aristarco di Samo (310-230 a.C.) che stabilisce il rapporto fra le
distanze luna-terra e terra-sole.
Le origini della trigonometria si confondono con le origini dell’astronomia. Il sorgere del Sole,
l’alternarsi dei giorni e delle notti, il succedersi sempre uguale delle fasi della Luna sono fenomeni che hanno sempre interessato l’uomo. Due sono gli astri che colpiscono maggiormente
l’attenzione: il Sole e la Luna. Quanto distano dalla Terra? Quanto sono grandi? E’ con queste
domande che ha inizio l’astronomia, ma anche la trigonometria.
L’astronomo greco Aristarco di Samo affronta il seguente problema.
“Quando la Luna si presenta come una perfetta mezzaluna, l’angolo fra le visuali del Sole e della
Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante; quanto è più lontano dalla
Terra il Sole rispetto alla Luna?”
Traducendo in linguaggio attuale e considerando la misurazione degli angoli in gradi sessagesimali (misurazione che non era ancora nota all’astronomo), diremo che:
•
il quadrante è un angolo di 90
•
un trentesimo di quadrante è un angolo ampio
•
l’angolo “inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante” è ampio un quadrante meno un trentesimo e cioè 87.
90 ◦
30
= 3◦
Perciò il problema può essere schematizzato con il triangolo rettangolo LAS di cui si conosce
l’angolo Â=87 e si vuole calcolare il rapporto LA/AS, rapporto che è legato all’angolo da una
funzione trigonometrica; si ha infatti:
LA
AS
= cos 87◦
Le invenzioni di Aristarco non erano nate dal nulla; risentivano certamente di osservazioni e di
studi condotti, lungo molti secoli, dagli egizi e dai babilonesi.
E’ però Ipparco di Nicea (180-125 a.C. ca) che per primo si preoccupa di compilare una tavola
trigonometrica, dove per diverse ampiezze sono tabulati i valori corrispondenti dell’arco e della
corda.
A Ipparco, considerato il padre della trigonometria, si deve l’introduzione sistematica della suddivisione del cerchio in 360, già usata dai babilonesi.
L’opera fondamentale per l’astronomia e la trigonometria dell’antichità è la Sintassi matematica
di Claudio Tolomeo, astronomo greco vissuto ad Alessandria d’Egitto. Quest’opera è nota a noi
con il nome d’origine araba Almagesto; essa ci è pervenuta in buono stato e non presenta soltanto delle tavole delle corde migliori rispetto a quelle di Ipparco, ma anche un’esposizione dei
metodi usati per la loro costruzione.
1
Il contributo della trigonometria indiana è essenziale per l’introduzione di un concetto equivalente alla funzione seno, in sostituzione delle tavole delle corde della matematica greca, che si
deve a Aryabhata (ca 500 d.C).
Gli arabi usano sia la trigonometria indiana basata sulle tavole dei seni sia quella greca basata
sulle tavole delle corde. Ben presto però prevale il sistema indiano. L’astronomia di Al-Battani
(850-925 d.C.) contribuisce a diffondere quest’uso. Nell’opera di Abu’l-Wafa (940-998 d.C.) vengono usate tutte le funzioni trigonometriche e vengono stabilite le relazioni esistenti fra esse.
Inoltre è data anche una nuova tabella per i seni degli angoli, con valori esatti fino all’ottava
cifra decimale. La trigonometria, come del resto l’algebra, fiorisce in Europa con la fine del
Medioevo, in particolare grazie a Johann Müller von Königsberg (1436-1476) noto come Regiomontanus. Uomo tipicamente “rinascimentale”, è forse il matematico più influente del XV secolo.
Sperava di poter pubblicare traduzioni sue di Archimede, Apollonio, Tolomeo ma la morte
improvvisa glielo impedì. La sua opera “De triangulis omnimodis”, scritta nel 1464, rappresenta
un’esposizione sistematica dei metodi per risolvere problemi relativi ai triangoli. In quest’opera
per la prima volta la trigonometria viene presentata come disciplina indipendente dall’astronomia. La forma che Regiomontanus ha dato alla trigonometria è pressocché rimasta invariata
fino ad oggi.
Altri risultati per lo sviluppo della trigonometria sono stati ottenuti da N.Copernico (14731543), J. Rhaeticus (1514-1576), F. Viète (1540-1603), J. Napier (1550-1617), J. Kepler (15711630) e Leonhard Euler (1707-1783), che considerò la trigonometria come una parte dell’analisi e
introdusse le notazioni abbreviate per le funzioni trigonometriche, che ancor oggi usiamo.
Un criterio di similitudine tra triangoli
Due triangoli sono simili quando hanno gli angoli isometrici.
Questo significa che bastano gli angoli a determinare la forma di un triangolo: ci deve essere
allora una relazione fra i lati e gli angoli di un triangolo, relazione che obbliga un triangolo ad
assumere una data forma, quando ne siano fissati gli angoli.
I triangoli considerati sono simili (criterio angolo-angolo). Dunque il rapporto fra le misure di
due lati di un triangolo è uguale al rapporto fra le misure dei lati corrispondenti in ognuno degli
altri.
Il rapporto fra la misura del cateto opposto all’angolo di ampiezza α e la misura dell’ipotenusa è
costante e dipende unicamente da α:
2
|B C |
|A B |
= |A ′B ′| = |A ′′B ′′| = |B ′C ′|
|B ′′C ′′|
Esso viene indicato con: sin(α) e si legge seno di α
E’ costante anche il rapporto fra la misura del cateto adiacente all’angolo di ampiezza α e la
misura dell’ipotenusa.
|A C |
|A B |
= |A ′B ′| = |A ′′B ′′| = |A ′C ′|
|A ′′C ′′|
Esso viene indicato con: cos(α) e si legge coseno di α
E’ pure costante il rapporto fra le misure del cateto opposto e del cateto adiacente all’angolo di
ampiezza α:
|B C |
|A C |
= |A ′C ′| = |A ′′C ′′| = |B ′C ′|
|B ′′C ′′|
Esso viene indicato con: tan(α) e si legge tangente di α
Il rapporto inverso fra le misure del cateto adiacente e del cateto opposto all’angolo di ampiezza
α si indica con cotg(α) e si legge cotangente di α.
Conclusione: dato un triangolo rettangolo in C, indicato con:
•
α l’ampiezza di un angolo in A
•
|AC| la misura del cateto AC adiacente all’angolo α
•
|BC| la misura del cateto BC opposto all’angolo α
•
|AB| la misura dell’ipotenusa AB
Valgono le seguenti uguaglianze:
|B C|
sin(α) = |AB|
|B C|
|AC |
cos(α) = |A B|
tan(α) = |AC |
|AC|
cot(α) = |BC |
Osservazioni:
sin(90 − α) = cos(α)
cos(90 − α) = sin(α)
3
0 < sin α < 1
0 < cos α < 1
Rapporti trigonometrici per alcune ampiezze particolari
a) Angolo di 30◦ e di 60◦
Un triangolo rettangolo con un angolo di 30◦ è la “metà” di un triangolo equilatero.
Per il teorema di Pitagora vale che:
Seno, coseno e tangente dell’angolo di 30
.... = .... = sin(30)
.... = .... = cos(30)
.... = .... = tan(30)
Seno, coseno e tangente dell’angolo di 60
.... = .... = sin(60)
.... = .... = cos(60)
.... = .... = tan(60)
Osservazioni:
sin(60) = cos(90-60) = cos(30) =
√
1
tan(60) = tan(30 ◦) = 3
√
3
2
1
cos(60) = sin(90-60) = sin(30) = 2
b) Angolo di 45
Un triangolo rettangolo con un angolo di 45 è un triangolo rettangolo isoscele
Sia a = 1
dunque:
perciò:
4
Applicazioni della trigonometria
Supponiamo che un osservatore posto in cima ad un faro veda una barca a vela e che la direzione del suo sguardo formi un angolo di 22,97 con l’orizzontale: chiameremo quest’angolo angolo
di depressione.
Nello stesso tempo una persona che si trova sulla barca deve sollevare il suo sguardo di 22,97 al
di sopra dell’orizzontale se vuole vedere la cima del faro: in questo caso parleremo di angolo di
elevazione.
Se la cima del faro si trova a 25 m sul livello del mare, la distanza x fra la barca e la base del
faro può essere calcolata nel seguente modo:
Ampiezze degli angoli
a) Sistema di misura sessagesimale
L’unità di misura è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell’angolo giro.
Sottounità: 1 grado si suddivide in 60 primi e un primo si suddivide in sessanta secondi
Notazione:
1 grado:
1 primo:
1 secondo:
Quindi:
1
1
1 ′ = 60 ◦ · 1◦
1
1 ′′ = 60 · 1 ′ = 3600 · 1◦
Ad esempio l’ampiezza di 32 gradi, 45 primi e 12,6 secondi si indica: 32 45’ 12,6”
A volte si usano sottounità decimali del grado:
32 45’ 12,6” =
Inversamente: 32,7535 =
b) Sistema di misura circolare
I gradi sessagesimali usati soprattutto per calcoli trigonometrici elementari sono sostituiti dai
radianti per applicazioni più complesse. Come unità di misura si assume il radiante. Un radiante
è l’angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.
Quanto misura l’angolo giro in radianti?
La circonferenza di raggio r misura 2πr ⇒ l’angolo giro 2π = 360◦
Quindi 2π = 360◦
Sia α un angolo espresso in radianti e α un angolo espresso in gradi, abbiamo che vale:
360 ◦
2π
=
α◦
α
5
Trasformiamo le seguenti ampiezze in radianti.
Gradi Radianti Gradi Radianti
0
90
1
120
30
180
45
270
60
360
Oss: in generale la misura in radianti è un numero irrazionale, quindi la si indica come multiplo
o frazione di π.
Esercizi:
1. Calcola in gradi l’ampiezza di un angolo di 1 radiante,
π
3
radianti
2. Trasforma in radianti 20; 48,5
Uso della calcolatrice
Ampiezze angoli
Le calcolatrici scientifiche di uso corrente permettono l’impostazione di ampiezze con sottounità
sessagesimali. Per il calcolo, se non lo fa direttamente la calcolatrice, queste ampiezze devono
essere convertite con sottounità decimali.
Conversione: sessagesimale – decimale
decimale – sessagesimale
Di solito le comuni calcolatrici scientifiche dispongono di tre modi di calcolo delle ampiezze; noi
ne vediamo due che vengono indicate sul display di lettura:
DEG o
D gradi sessagesimali
RAD o
R radianti
Rapporti trigonometrici
Conoscendo α i rapporti trigonometrici sin α , cos α e tan α si calcolano premendo i tasti corrispondenti sin, cos e tan.
Inversamente noti sin α , cos α e tan α si risale ad α con i comandi sin−1, cos−1, tan−1
Esercizi:
1. Imposta 126 ′9 ′′
2. Converti 12, 1025 in sottounità sessagesimali
π
3. Calcola sin(30), cos( 4 )
1
4. Determina α (in) se sin(α) = 2
5. Determina α in radianti se cos(α) =
√
2
2
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Esercizi di trigonometria del triangolo rettangolo
Dato un triangolo rettangolo ABC come in figura, indichiamo con a, b i cateti del triangolo e
con c l’ipotenusa.
Per definizione si ha:
a
c
b
cosα = c
b
sinα =
⇔ a = c sinα sinβ = c ⇔ b = c sinβ
⇔ b = c cosα cosβ =
tanα =
a
b
a
c
⇔ a = c cosβ
b
tanβ = a
Problemi relativi al triangolo rettangolo
Problema 1. In un triangolo rettangolo si conosce l’angolo α =15 e l’ipotenusa 4
angolo e i due cateti.
√
2 cm. Calcolare l’altro
Problema 2. Siano noti α =15, il cateto a = 2 cm. Calcolare l’altro angolo, l’altro cateto e l’ipotenusa.
Problema 3. Siano noti l’ipotenusa c = 2
√
3 cm e il cateto a = 3 cm. Trovare i dati mancanti.
Problema 4. Siano noti i due cateti a = 4 cm e b = 2 cm. Trovare la misura degli altri angoli e dell’ipotenusa.
Problema 5. Disegnare un triangolo rettangolo ABC con il cateto BC lungo 3 cm ed il cateto AC lungo 4
cm.
•
Calcolare la lunghezza dell’ipotenusa AB e misurare con il goniometro l’ampiezza degli angoli
•
Trovare la misura degli angoli nel caso non si possa disporre di un goniometro.
Problema 6. Usa la calcolatrice per trovare il valore delle seguenti espressioni:
s in 1 5 ◦
a) co s1 5 ◦
c)(sin10 ◦)2 + (cos10◦)2
b)tan15◦
Problema 7. L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo ABC hanno le seguenti lunghezze: c = 10
cm, a = 6 cm. Calcolare l’altro cateto e gli angoli del triangoli
Problema 8. Un cateto e un angolo di un triangolo rettangolo ABC hanno le seguenti misure a = 50 cm, α
= 55. Calcolare l’altro angolo, l’ipotenusa e l’altro cateto.
Problema 9. Un triangolo ABC, rettangolo in A, ha il cateto AC lungo 2 cm e l’altezza AH 1,4 cm. Determinare gli angoli ed i lati del triangolo valendosi della trigonometria
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