Calcolo delle Probabilità e Statistica

Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore
Calcolo delle Probabilità e Statistica
Marzo-Aprile 2011
Laboratorio Didattico effediesse
Dipartimento di Matematica – Politecnico di Milano
Ciclo di lezioni del prof. Marco Bramanti
Struttura del corso. 5 incontri di 3 ore l’uno, nell’aula informatizzata del laboratorio didattico
(Dipartimento di Matematica, Via Bonardi 9, Edificio “La Nave”, 4° piano). Gli incontri si terranno
il lunedì pomeriggio dalle 14.30 (puntuali) alle 17.30, nelle seguenti date: 21 marzo, 28 marzo, 4
aprile, 11, aprile, 18 aprile.
Obiettivo del corso
Le indicazioni nazionali dell’attuale riforma della scuola, relative all’insegnamento della
matematica nei licei, indicano esplicitamente la probabilità e la statistica come sviluppo
caratteristico della matematica moderna e come uno dei 3 grandi gruppi di concetti e metodi che lo
studente dovrà padroneggiare. Queste discipline quindi acquisiscono oggi un particolare rilievo
nell’insegnamento scolastico, non tanto dal punto di vista della quantità di contenuti, quanto per la
sottolineatura che viene data alla loro importanza e specificità metodologica. Di queste discipline si
richiede un insegnamento nell’arco dei 5 anni, con un’attenzione sia alle relazioni con le scienze e
in generale con le applicazioni al mondo reale, sia prevedendo l’utilizzo dello strumento
informatico (in particolare il foglio elettronico) per eseguire effettivamente analisi statistiche.
Le lezioni di questo corso forniranno un’introduzione ad alcuni argomenti di base del calcolo delle
probabilità e della statistica descrittiva. L’esposizione alternerà la presentazione teorica allo
svolgimento di esempi ed esercizi e al lavoro col foglio elettronico: si mostrerà come utilizzare
Excel per eseguire concretamente le procedure statistiche fondamentali di elaborazione dati,
calcolo, creazione di grafici. Il docente potrà così acquisire uno strumento ulteriore per affrontare
l’insegnamento di queste materie in modo creativo ed autonomo. L’itinerario logico proposto è
quello che si potrebbe seguire con gli allievi. Si darà spazio ad osservazioni didattiche, critiche e
storiche sui problemi concettuali sottostanti gli argomenti trattati.
Materiale didattico
Il testo di riferimento per le lezioni è:
M. Bramanti: Calcolo delle Probabilità e Statistica. Teoria ed esercizi. Ed. Esculapio, Bologna,
1997.
I partecipanti al corso potranno usufruire di altro materiale didattico di varia natura; in particolare è
consentito copiare su proprio supporto i file prodotti al computer durante le lezioni.
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Altri riferimenti bibliografici:
D. Bertacchi, M. Bramanti, G. Guerra: Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ed.
Esculapio, Bologna, 2003.
E. Battistini: Probabilità e Statistica un approccio interattivo con Excel. Edizioni McGraw - Hill,
Milano, 2004. (Con CD-ROM).
A. M. Paganoni, L. Pontiggia: Laboratorio di Statistica con excel. Pearson Educational, 2007.
(Con files scaricabili dal sito).
Programma del corso
Il corso sarà strutturato in 5 incontri di 3 ore l’uno, in aula informatizzata. Ogni partecipante avrà a
disposizione un computer. La modalità delle lezioni prevede esposizione teorica, esercizi, ed anche
simulazioni ed elaborazioni al computer svolte sia dal docente che dai partecipanti. Si consiglia di
portare anche una chiave USB per poter copiare i files prodotti o messi a disposizione. Il
programma di massima è quello che segue; l’effettiva suddivisione degli argomenti nei vari incontri
potrà subire modifiche.
Primo Incontro
0. Introduzione al corso e alle discipline su cui verte
1. Statistica descrittiva (prima parte)
Indagini statistiche. Variabili statistiche. Tavole e grafici di distribuzioni di frequenza. Indici di
posizione e di dispersione (media, mediana, moda, varianza).
Osservazione congiunta di due variabili; diagramma di dispersione, correlazione tra variabili;
covarianza e coefficiente di correlazione; metodo dei minimi quadrati, retta di regressione.
Utilizzo di Excel per costruire tabelle e grafici e per calcolare indici, nei casi sopra illustrati.
Secondo Incontro
1b. Statistica descrittiva (seconda parte)
Completamento della lezione precedente e dei relativi esempi pratici con Excel.
2a. Probabilità elementare (prima parte)
Un’introduzione elementare della probabilità nel discreto. Esperimenti aleatori, eventi elementari,
eventi, probabilità e sua algebra. Il calcolo combinatorio come strumento della probabilità classica.
Utilizzo del generatore di numeri casuali di Excel per produrre un esperimento aleatorio con un
numero finito di esiti possibili, di probabilità assegnate; utilizzo del software per eseguire calcoli di
probabilità complessi o iterativi.
Terzo Incontro
2b. Probabilità elementare (seconda parte)
Probabilità condizionata, indipendenza di eventi ed esempi. Osservazioni critiche, storiche e
didattiche sulla probabilità.
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3a. Variabili aleatorie discrete e modelli discreti (prima parte)
Il concetto di variabile aleatoria (v.a.), v.a. discrete. Legge di una v.a. discreta; densità discreta,
funzione di ripartizione. Indipendenza di v.a. Cenni alle variabili aleatorie doppie; densità congiunta
e densità marginali.
Valore atteso di una v.a. e sue proprietà. Varianza di una v.a. e sue proprietà; disuguaglianza di
Cebicev. Covarianza, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, coefficiente di correlazione.
Quarto Incontro
3b. Variabili aleatorie discrete e modelli discreti (seconda parte)
Il processo di Bernoulli: legge bernoulliana, binomiale, geometrica.
Utilizzo di Excel per: calcolo di densità discreta o funzione di ripartizione di v.a., e sua
rappresentazione grafica; simulazione di processo di Bernoulli, in particolare di v.a. binomiale, e
confronto grafico con la densità teorica.
Legge di Poisson, processo di Poisson, confronto col processo di Bernoulli.
Esempi di applicazioni modellistiche.
Quinto Incontro
4. Variabili aleatorie continue
Generalità sulle v.a. continue: legge di una v.a. continua; densità continua; funzione di ripartizione.
Valore atteso e varianza; qualche formula di calcolo. Esempi di leggi continue.
La legge normale e le sue proprietà: definizione, significato modellistico; esempi di risoluzione di
problemi che coinvolgono calcoli con leggi normali con l’uso di Excel.
5. Teorema centrale del limite
Enunciato del teorema, esempi numerici e grafici della sua applicazione. Approssimazione della
binomiale mediante la normale.
6. Conclusione:
discussione di alcuni possibili percorsi didattici per insegnare una parte dei precedenti argomenti
nelle scuole.
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