Problema della
misura e metrologia
Esempi di leggi fisiche
Abbiamo visto che la fisica descrive i fenomeni
naturali stabilendo delle relazioni (matematiche) tra
le grandezze fisiche
F ma
II legge di Newton
T2
1
T1
Rendimento massimo di una macchina
termica operante tra le temperature
T1 e T2 (T1 > T2)
V RI
Legge di Ohm
Per confrontare i due membri delle relazioni occorre
misurare le grandezze fisiche
2
Misura di una grandezza fisica
Misurare una grandezza significa esprimere il suo
valore in relazione a quello di un campione ad essa
B
A
omogeneo
Per misurarla occorre
Campione C
Definire un campione
Sottomultipli del campione
Definire una procedura per confrontare la grandezza
con il campione
Risultato della misura:
Un numero e un’unità di misura LAB=3.6 campioni
Va specificato il campione per ogni
grandezza fisica ? grandezze derivate numero
unità di misura
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Notazione
Il valore numerico di una grandezza G verrà rappresentato
simbolicamente in questo modo
G = g {G}
dove con g indicheremo il valore numerico e con {G} l’unità di
misura, ovvero il tipo di campione prescelto.
Ad esempio scriveremo
l=4m
per indicare che il rapporto tra la lunghezza l di un segmento e
quella del campione prescelto ad essa omogeneo vale 4.
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Fondamentale: per esprimere una misura, NON
BASTA esprimere il risultato (numero reale) seguito
dall’unità di misura:
Una caratteristica intrinseca di ogni
misura fisica è l’incertezza di misura.
Ad ogni misura fisica va associato il
corrispondente errore di misura.
Dunque il concetto di
misura viene formalizzato
da tre entità distinte:
- Un numero reale
- Un’unità di misura
- L’errore di misura
Vedremo successivamente come
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Misura in fisica classica e quantistica
In fisica classica oggetto e osservatore sono entità indipendenti
In fisica quantistica oggetto e osservatore sono inscindibili
precisazione cruciale nel contesto quantistico
La natura ci pone un limite invalicabile sulla “misurabilità” di
grandezze coniugate: principio di indeterminazione di Heisenberg
quando l’oggetto è confrontabile con la lunghezza d’onda della luce,
l’osservazione modifica l’oggetto da studiare
Osservabili = grandezze fisiche misurabili
l’osservazione di un oggetto macroscopico non modifica (generalmente)
l’oggetto stesso da studiare
Esempio:
DxDp ≥ ћ/2 ≈ 5×10-35 Js
In questo corso ci occuperemo di sistemi “grandi” rispetto alla
costante d’azione ћ contesto classico
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Grandezze fondamentali e derivate
Esempio: lunghezza (fondamentale) ed area (derivata)
Si esprimono in termini delle unità di misura fondamentali
(esempio: area → m2 )
Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono
derivate da quelle fondamentali attraverso le relazioni che
legano ciascuna grandezza a quelle fondamentali
(definizione ↔ legge fisica, e.g. p=F/S ↔ F=ma)
la distinzione tra grandezze fondamentali e grandezze derivate
è del tutto arbitraria, è solo una questione di scelta
L’insieme delle grandezze fondamentali prescelte con i
rispettivi campioni (unità di misura) definisce un
sistema di unità di misura
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Dimensione delle grandezze fisiche
Due grandezze omogenee (tali dunque da poter essere
confrontate mediante l’utilizzo dello stesso campione), si
dice che hanno la stessa dimensione.
Formalmente la dimensione di una grandezza G viene
indicata tra parentesi quadre
dimensione di G = [G]
Di fatto, [G] può anche essere vista come la classe di tutte
le possibili unità di misura di G.
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Dimensione delle grandezze fisiche
Dato un sistema di unità di misura (esempio M, L e T nel SI della
meccanica classica), allora qualunque grandezza G può essere espressa
come
G= g{G} = k· ma{M}a· lb{L}b· tg{T}g
dove k è una costante adimensionale (k≡1 coerenza)
la dimensione (a, b, g) di G sarà allora data da
[G]=[M]a[L]b[T]g
con a, b, g numeri razionali
Se a, b, g sono nulli, la grandezza è adimensionale, come ad esempio i
numeri puri, gli angoli espressi in radianti, oppure alcune funzioni
analitiche (exp, log, sin...)
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Osservazione
la dimensione (a, b, g) di una grandezza G sarà sempre della forma
[G]=[M]a[L]b[T]g... [X]d
con a, b, g, d numeri razionali? Sì, dimostriamolo.
Posso sempre sviluppare G=f(X) in un intorno di un suo particolare
valore:
f(X)=f(X0)+f’(X0)(X-X0)+f’’(X0)(X-X0)2/2+f’’’(X0)(X-X0)3/6+…
Tutti gli addendi di questa espressione sono omogenei se e solo se
f(X) è una legge di potenza: infatti d(n)(Xd) Xn =cost Xd-n Xn=cost Xd
Negli altri casi, scriverò G=f(X/[X]), ad esempio: G = log(M/kg)
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Applicazioni dell’analisi dimensionale (1)
L’analisi dimensionale risulta molto utile per il “dubugging”
dei problemi:
Nell’equazione A+B+... = C+D+... tutti i termini devono
avere le stesse dimensioni.
Esempio 1
Esempio 2
F ma
MLT 2 F
1
x x o v o t at 2
2
x o posizione iniziale
v o velocità iniziale
a accelerazione
ma ML T 2
x L
[ x0 ] [ L ]
v ot LT 1 T L
1 2
2
2
a
t
LT
T
L
2 o
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Applicazioni dell’analisi dimensionale (2)
Permette di ricavare in modo approssimato alcune leggi fisiche
a prescindere dalla conoscenza della dinamica del sistema
Esempio 1: Quanto tempo impiega un corpo di massa
m a cadere da un’altezza h? Suggerimento: impostare
Dt=khxmygz
[T]=[k][L]x[M]y[LT-2]z=[Lx+zMyT-2z]
Esempio 2: Ricavare il periodo delle piccole
oscillazioni di un pendolo.
Esempio 3: Ricavare la terza legge di Keplero.
Esempio 4: Ricavare la velocità di propagazione delle
onde trasversali in una corda (conoscendo tensione,
lunghezza e massa)
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Riassumendo:
Abbiamo definito cosa sono gli osservabili in fisica
grandezze fisiche (misurabili) =
numero reale + incertezza
Grandezze omogenee unità di misura (campione)
dimensione fisica delle grandezze
Formalmente scriveremo:
G = g {G} ± dg {G}
dove G è la grandezza, {G} è l’unità di misura e g e dg
sono rispettivamente il valore della grandezza e della
sua incertezza. Con [G] abbiamo indicato invece la
dimensione fisica di G.
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Sistemi di unità di misura
Un buon sistema di unità di misura deve essere assoluto, coerente e
possibilmente decimale:
assoluto (o completo) ≡ ogni grandezza fisica si può ricavare dalle grandezze
fondamentali con una relazione analitica
coerente ≡ tali relazioni analitiche (sia tra le grandezze sia tra le unità di misura)
hanno come costante di proporzionalità l’unità
esempio: v = l/t
se {v}= m/s = 1 {l}/{t} coerente
se {v} = km/h = 1000 m / 3600 s = 0.278 m/s = 0.278 {l}/{t} non coerente
decimale ≡ multipli e sottomultipli delle unità sono potenze di 10
Per definire il sistema di unità di misura, bisogna prima scegliere le
grandezze fondamentali:
Se G è il numero delle quantità misurabili e NR è il numero delle leggi che le legano, il
numero minimo di quantità indipendenti è: GM = G – NR
Ad esempio, tra le grandezze Velocità, Spazio e Tempo solo due sono indipendenti:
quali scegliamo come fondamentali?
Criterio guida:
- facile disponibilità del campione e
- non variabilità del campione nel tempo.
14
Sistema Internazionale (S.I.)
Introdotto nel 1961 nella XI Conferenza Generale dei Pesi e Misure
Legalmente adottato in Italia dal 1982
Il S.I. è completo, coerente e decimale
Il S.I. codifica anche le modalità di scrittura (e.g. i nomi delle unità
vanno scritti sempre minuscoli e non hanno plurale)
Chi decide?
Ufficio Internazionale dei Pesi e Misure (BIPM) controllato da
Comitato Internazionale dei Pesi e Misure controllato da
Conferenza Generale dei Pesi e Misure (si riunisce ogni 4 anni)
In Italia l’ente preposto è l’Ente Nazionale per l’Unificazione,
i campioni sono realizzati dal Galileo Ferraris e dall’Istituto
Colonnetti (entrambi a Torino)
Codifica ISO-31
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Multipli e sottomultipli nel S.I.
Il S.I. codifica l'uso dei prefissi moltiplicativi secondo le potenze di 1000
(e, in aggiunta, prefissi per 10 e 100):
Fattore
Prefisso
Simbolo
Fattore
Prefisso
Simbolo
1024
yotta-
Y-
10-24
yocto-
y-
1021
zetta-
Z-
10-21
zepto-
z-
1018
exa-
E-
10-18
atto-
a-
1015
peta-
P-
10-15
femto-
f-
1012
tera-
T-
10-12
pico-
p-
109
giga-
G-
10-9
nano-
n-
106
mega-
M-
10-6
micro-
µ-
103
chilo-
k-
10-3
milli-
m-
102
etto-
h-
10-2
centi-
c-
10
deca-
da-
10-1
deci-
d-
16
Grandezze fondamentali nel S.I.
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Guida alla scelta del campione
la precisione delle misure dipende dalla
definizione del campione.
la definizione può cambiare nel tempo man mano che si
dispone di nuova tecnologia e di nuove conoscenze per
migliorare la precisione delle misure
un campione deve essere:
accessibile e riproducibile
invariabile
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Il campione del tempo
Il campione del tempo ha subito cambiamenti nel corso degli anni:
~1830 (su proposta di Gauss)
1s = 1/86400 del giorno solare medio
1960
1s = 1/31 556 925.97474 dell’anno tropicale 1900
(rotazione terrestre aumenta di circa 1 secondo
l’anno per effetto delle maree)
1967 [definito nella XIII CGPM]
1s = durata di 9 192 631 770 periodi della
radiazione emessa dall'atomo 133Cesio nella
Altro modo di misurare
transizione tra i due livelli iperfini
il tempo: si contano
(F=4, M=0) e (F=3, M=0) dello stato
le oscillazioni
2
10
fondamentale S(1/2) n = DE/h ~ 10 Hz
dell’atomo di azoto
1 s ≡ 9192631770 * 1/n
nella molecola di
N
H
H
H
N
(precisione ~1 parte su 1016!)
ammoniaca NH3
19
Il campione della lunghezza
Anche il metro ha cambiato diverse volta definizione nel corso degli anni:
1795
1 m = 1/40000000 del meridiano terrestre passante per Parigi
(tale lunghezza fu riprodotta con una sbarra di platino-iridio)
1889
1 m = la distanza tra due tacche della sbarra di platino-iridio
(precisione delle incisioni 0.2 micron → precisione di circa 10-7)
1960
1 m = 1650763.73 lunghezze d’onda della luce emessa dal 86Kr
(riga rosso-arancione → precisione di circa 10-8)
1983 [definito nella XVII CGPM]
Poiché la velocità della luce nel vuoto c è una costante fondamentale della natura, si è pensato di ridefinire il metro in
questo modo:
1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a
1/299792458 secondi (fa uso della definizione di secondo)
Nella pratica si utilizza la relazione l=c/nn, ovvero si misura la lunghezza d’onda a
partire dalla frequenza di oscillazione: il metro è la distanza tra 1579800,298728
lunghezze d’onda della luce laser elio-neon. Bisogna anche tener conto del vuoto non
perfetto (in cui non vale n=1)
(precisione raggiunta ~1 parte su 1011)
20
Il campione della massa
Finora non è stato ancora possibile definire il
campione di massa (il kilogrammo) sulla base
delle proprietà atomiche: ancora conviene
(da un punto di vista della precisione) usare metodi “classici”
[definito nella III CGPM, 1901]
1kg ≡ massa contenuta in un cilindro di platino iridio conservato nel BIPM
di Sèvres (circa 1 dm3 di H2O distillata)
Il confronto di massa si ottiene con la bilancia
(precisione ~1 parte su 108)
A livello atomico è definita l’unità di massa atomica
(non appartiene al S.I.)
1 unità di massa atomica = 1/12 della massa del 12C.
relazione tra le due unità:
1 unità di massa atomica =1.6605402 10-27 kg
21
Le altre grandezze fondamentali del S.I.
ampere (A) [definito nella IX CGPM, 1948]
intensità della corrente costante che percorrendo due fili conduttori, rettilinei,
posti nel vuoto, paralleli, di lunghezza infinita e di sezione circolare con diametro
infinitesimo, posti alla distanza di 1 metro uno dall'altro è tale da far sì che i due
conduttori si attirino o si respingano con una forza pari a 2x10-7 N/m.
kelvin (K) [definito nella XIII CGPM, 1967]
1/273.16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua
mole (mol) [definito nella XIV CGPM, 1971]
quantità di materia di un sistema che contiene tante unità elementari quanti
sono gli atomi contenuti in 0.012 kg di Carbonio 12 (=NA)
candela (cd) [definito nella XVI CGPM, 1979]
intensità luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromatica
di frequenza pari a 540*1012 Hz con un’intensità energetica di 1/683 watt/sr.
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Alcune grandezze fisiche derivate nel S.I.
Grandezza
Area
Volume
Densità
Definizione
Unità di misura
A=base per altezza
metri quadri
m2
V=area di base per altezza
metri cubi
m3
=massa diviso volume occupato
kilogrammi per
metro cubo
metri al secondo
kg/ m 3
metri al secondo
quadrato
newton
m/s2
N
kg m/ s2
P=(forza normale)/area
pascal
Pa
N/ m2
Lavoro=forza per spostamento
joule
J
Nm
K= 1/2 massa per velocità al quadrato joule
J
Nm
P=(lavoro effettuato)/(tempo
impiegato)
p=massa per velocità
watt
W
J/s
kilogrammi per
metri al secondo
kg m/ s
M=r x F (erre vettor F) prodotto
vettoriale tra il vettore posizione e
laForza
Nm
v=(Distanza percorsa)/(tempo
impiegato)
Accelerazione a=(Variazione di velocità)/(tempo
impiegato)
F=massa per accelerazione
Forza
Velocità
Pressione
Lavoro
Energia
cinetica
Potenza
Quantità di
moto
Momento di
una forza
m/s
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Altri sistemi di unità di misura
Sistema cgs:
Questo sistema, per quel che riguarda la meccanica, utilizza le stesse grandezze
fondamentali del SI, cambiano invece le unità di misura (i campioni): il centimetro per la
lunghezza e il grammo per la massa.
L'unità di tempo è la stessa nei due sistemi di riferimento.
Sistema britannico:
Le grandezze fondamentali della meccanica sono la lunghezza (misurata in piedi),
la forza (misurata in libbre), e il tempo (misurato in secondi).
Il sistema britannico non è un sistema decimale (ad esempio un piede è uguale a
12 pollici). Attualmente i campioni di libbra e di piede vengono definiti sulla base
del kilogrammo e del metro del sistema SI. Per esempio un pollice è uguale 2.54 cm.
Sistema pratico degli ingegneri:
Utilizza come grandezze fondamentali la lunghezza (metro), il tempo (secondo) e la forza, la
cui unità di misura è il kilogrammo-peso che corrisponde al peso del campione di massa del
S.I., quando si trova al livello del mare e a 45° di latitudine.
Sistema delle unità naturali:
Usato principalemente in fisica quantistica, ha come grandezze fondamentali (adimensionali)
c, h e G (velocità della luce, costante di Planck e costante di gravitazione)
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La misura del tempo
Il tempo deve svolgere una doppia funzione:
Scandire gli eventi, dare origine ad una cronologia (tempo civile =
calendario)
Misurare degli intervalli di tempo (il tempo trascorso tra due eventi)
Come si fa la misura del tempo (degli intervalli di tempo)?
Si usa un fenomeno periodico, un fenomeno che si ripete identico a
se stesso dopo un intervallo di tempo.
Si contano il numero dei cicli e delle frazioni di ciclo del fenomeno
periodico contenute nell’intervallo di tempo che si vuole misurare
Come si misura:
l’intervallo di tempo intercorso tra il Big Bang ed oggi (4· 1017 s)?
l’intervallo di tempo che intercorre tra la produzione di una Z0 e il
suo decadimento in due leptoni (10-23 s)?
ci servirebbe un orologio che copra 40 ordini di grandezza!
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Misure di tempi
Misure dirette:
Pendoli
Oscillazioni molecolari
Orologi al Cesio
Misure indirette:
Datazioni con radioisotopi (con 14C, 238U etc)
N(t) = N(0)e-t/t
N(t)/t è l’attività e si misura in
becquerel (1 bq= 1 disintegrazione/s)
N(0) concentrazione in atmosfera
Tempi di reazioni chimiche (ordine del ps)
Tempi in fisica nucleare e sub-nucleare
(vite medie fino a 10-25 s)
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Misure di lunghezze
Misure dirette con prototipi del campione
Triangolazioni:
C
A
CD AB
D
tan tan
tan tan
B
Esempio: distanze astronomiche (metodo della parallasse)
Misure di lunghezze basate su misure di tempi (si basano
sul doppio percorso di segnali luminosi o onde sonore)
Misure di lunghezze nucleari: scattering alla Rutherford
R
2
N TOT NSCATTERED
A
NINPUT
R ~ 1 fm=10-15m
27
