La conversione A/D
Segnali analogici
Un segnale analogico può essere
rappresentato mediante una funzione del
tempo
che
gode
delle
seguenti
caratteristiche:
1) la funzione è definita per ogni valore
del tempo (è cioè continua nel dominio)
2) la funzione è continua.
Segnali digitali
A differenza del segnale analogico quello
digitale è costituito da una funzione "tempo
discreta" e "quantizzata“:
1) definita solamente in un insieme
numerabile di istanti "equispaziati“
2) dotata di un codominio costituito da un
insieme discreto di valori.
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1
La conversione A/D
Segnali analogici e digitali
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2
La conversione A/D
Pregi del segnale digitale ( altrimenti detto
"numerico" )
I segnali digitali hanno una maggiore
reiezione ai disturbi rispetto ai segnali
analogici (rumore).
I segnali digitali possono essere
elaborati più facilmente dei segnali
analogici
(elaborazione
con
microcontrollori o microprocessori e non
con
circuiti
analogici)
I segnali digitali possono essere
registrati in maniera più fedele e stabile
dei segnali analogici
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3
La conversione A/D
La discretizzazione dei segnali
La trasformazione di un segnale continuo nel dominio
del tempo e dell’ampiezza in una sequenza di parole,
formate da un numero finito di cifre, richiede una
discretizzazione, sia nel dominio del tempo, sia nel
dominio dell’ampiezza, noti rispettivamente come:
•campionamento
•quantizzazione.
L’intero processo è noto col nome di conversione
analogico-digitale (A/D conversion).
I dispositivi che effettuano la conversione sono noti
come
Convertitori
Analogico
Digitale
(A/D
Converters).
8.0
6.0
4.0
2.0
[V] 0.0
-2.0
-4.0
-6.0
-8.0
samples
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4
La conversione A/D
La discretizzazione dei segnali
Obiettivi:
•Scelta del numero di campioni in un
periodo (frequenza di campionamento) atti
a fornire una corretta rappresentazione
(ricostruzione) del segnale originale.
•Tecniche per la codifica nel dominio
digitale (es. 0001) del valore analogico di un
campione (es. 2.54V) e viceversa.
8.0
6.0
4.0
2.0
[V] 0.0
-2.0
-4.0
-6.0
-8.0
samples
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5
La conversione A/D
Il teorema del campionamento
Il teorema del campionamento ci assicura che se
sono soddisfatte alcune ipotesi, il processo di
discretizzazione nel dominio del tempo, non produce
alcuna perdita d’informazione:
Sia f(t) un segnale con trasformata di Fourier F(ω), tale
ω|>= ωc. Si ha, allora:
che F(ω)=0 per |ω|>=
f (t ) = ∑
sin ωc (t − nT )
f (nT )
ωc (t − nT )
ω s = 2ωc ;
T = 2π / ω s
Cioè partendo dai campioni f(nT) è
teoricamente possibile ricostruire il
segnale originale!!!
Limite teorico!!!!!
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6
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
•Utilizzando un filtro ricostruttore ideale:
1
H (ω ) =
0
f (t ) = ∑ f (nT
ω s = 2ωc ;
)
per ω < ω c
per ω ≥ ω c
sin ωc (t − nT
ωc (t − nT
)
)
T = 2π / ω s
f(t)
fs(t)
fRicostruita
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7
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il mantenitore cardinale
La
formula
introdotta
nel
teorema
del
campionamento è nota come serie cardinale e la
funzione:
c
sin ω t
g (t ) =
ω ct
è detta mantenitore cardinale e la pulsazione ωc=ω
ωs/2
è nota in letteratura come frequenza di Nyquist..
Un mantenitore cardinale è un filtro non fisicamente
realizzabile. Esso può essere soltanto approssimato.
Per questo motivo:
Si utilizza una frequenza di campionamento superiore
a quella prevista dal teorema di Shannon
(tipicamente 10 volte);
•Si utilizzano dei filtri ricostruttori o mantenitori.
I filtri più comunemente utilizzati sono:
•Il ricostruttore di ordine zero;
•Il ricostruttore del primo ordine;
•Il connettore ideale di punti.
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8
La conversione A/D
Il processo di campionamento
L’uscita
di
un
campionatore
può
essere
rappresentata come una serie numerica, i cui
elementi coincidono con i valori assunti dal segnale
tempo-continuo in istanti multipli del tempo di
campionamento
T
f(t)
{f(nT)}
Un segnale campionato può essere pensato come il
risultato del prodotto tra il segnale analogico e un
treno di impulsi di durata finita.
T
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9
La conversione A/D
Il campionamento
•Il segnale campionato vale quindi:
f s (t ) = f (t ) s(t )
Il processo di campionamento equivale ad
un’operazione di modulazione ad ampiezza
di impulsi (PAM).
•il treno di impulsi costituisce la portante;
•il segnale da campionare rappresenta la
modulante.
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10
La conversione A/D
Il campionamento
Si ottiene un campionamento ideale quando s(t) è un
treno di impulsi di Dirac.
0
t≠0
s (t ) = δ (t ) =
singolare t = 0
La singolarità è tale che:
ξ
∫ξδ (t )dt = 1
∀ξ > 0
−
•Intuitivamente, la funzione impulso di Dirac può
essere immaginata come il limite per ∆ che tende a
zero dell’impulso di durata finita p∆(t).
•L’impulso di Dirac gode della proprietà
selezione. Sia g(•) una funzione continua, si ha:
di
ξ
∫ξ g (t )δ (t )dt = g (0)
∀ξ > 0
−
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11
La conversione A/D
Il campionamento
Nel caso di un campionatore ideale si utilizza un
treno di impulsi di Dirac!
∞
s(t ) = ∑ δ (t − nT )
f s (t ) = f (t )s( t )
n =∞
∞
∞
n =∞
n =∞
f s (t ) = f (t )∑ δ (t − nT ) = ∑ f (t )δ (t − nT ) =
∞
= ∑ f (nT )δ (t − nT )
n =∞
Il segnale campionato viene rappresentato da un
treno di impulsi.
f(t)
fs(t)
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12
La conversione A/D
Il campionamento nel dominio
della frequenza
•il segnale s(t) è un segnale periodico
di periodo T; è quindi possibile farne lo
sviluppo in serie di Fourier:
s(t ) =
∞
∑ µne
jn
2π
t
T
n = −∞
∞
=
jnω t
µ
e
∑ n
s
n = −∞
2π
ωs =
, t ∈ (− ∞, ∞ )
T
T /2
1
− jnω s t
(
)
µn =
s
t
e
dt
∫
T −T / 2
Quindi, il segnale campionato assume la forma:
f s (t ) = f (t )
∞
∑µ e
n
n = −∞
jnω s t
=
2π
ωs =
, t ∈ (− ∞, ∞ )
T
∞
=
jnω t
(
)
µ
f
t
e
∑ n
s
n = −∞
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13
La conversione A/D
Il campionamento nel dominio della frequenza
Nel caso del campionamento ideale nel dominio
della frequenza si ha:
T /2
1
1
− jnω s t
µn =
δ (t )e
dt =
∫
T −T / 2
T
1 ∞ jnωst
s(t ) = ∑ e .
T n =∞
1 ∞
Fs (ω ) = ∑ F (ω − nω s ).
T n =∞
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14
La conversione A/D
Il campionamento nel dominio della
frequenza
Si noti che fs(t)è un segnale transiente ed è quindi
possibile calcolarne la trasformata di Fourier:
∞
∞
jnω s t
jnω s t
(
)
Fs (ω ) = F ∑ µ n f (t )e
=
µ
F
f
t
e
∑ n
n = −∞
n = −∞
{
}
Poiché la trasformata di Fourier di un segnale f(t) vale
per definizione:
F (ω ) =
∞
∫
f (t )e − jωt dt
−∞
Per il segnale campionato si ottiene:
Fs (ω ) =
∑
n = −∞
∞
∞
=
∑
n = −∞
µn
∞
∞
∫
−∞
µn
∫
f (t )e jnωs t e − jωt dt =
−∞
∞
f (t )e − j (ω − nωs )t dt = ∑ µ n F (ω − nω s )
n = −∞
Essendo F(ω)=F(f(t)) la trasformata di Fourier del
segnale modulante.
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15
La conversione A/D
Il campionamento
L’operazione
di
campionamento
introduce nuove componenti spettrali
che corrispondono alla traslazione
dello spettro in banda base F(ω) del
segnale.
F(ω)
-ωc
ωc
ω
Fs(ω)
-ωc
ωs ωc
ωc -ωc ωs ωc -ωc 2ω
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ω
16
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Se f(t) è un segnale con spettro limitato
F(ω
ω)=0 per |ω|>
ω|> ωc e ωs> 2ωc, allora le varie
ripetizioni non si sovrappongono ed il
segnale originario può essere ricostruito a
meno di un fattore di scala elaborando il
segnale campionato fs(t), utilizzando un filtro
che abbia come funzione di trasferimento:
1
H (ω ) =
0
per ω < ω c
per ω ≥ ω c
Fs(ω)
-ωc
ωc
ωs
ωc ωc
2ω
ωs
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ω
17
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale: aliasing
Se la condizione ωs> 2ωc non viene rispettata le
ripetizioni dello spettro del segnale originario si
sovrappongono e si verifica il fenomeno dell’alias. In
tali condizioni non è più possibile ricostruire il segnale
originario attraverso un’operazione di filtraggio.
F(ω)
-ωc
-ωc
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ω
18
La conversione A/D
Il campionamento: caso reale
Nel caso di un campionatore reale (si utilizza un treno
di impulsi di durata finita T1) si ha:
+∞
s (t ) =
∑
k = −∞
1
2T1
rect
()
t
T1
Il segnale campionato viene rappresentato da un
treno di funzioni impulsive e l’area di ogni impulso
corrisponde al valore del generico campione.
Nel dominio della frequenza:
µ n = T1 sinc (nω sT1 )
s
∞
Fs (ω ) = T1s sinc(nω sT1 )∑ F (ω − nω s )
Fs(ω) n = ∞
-ωc
-2ω
ωs
-ω
ωc c
-ω
ωs
ωc
-ωc
-ωc ωs ωc 2ω
ωs
-ωc
ωc
ωc
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ω
19
La conversione A/D
Il campionamento
F(ω)
-ωc
Fs(ω)
-2ω
ωs
-ω
ωs
-ωc
ω
ωc
Nel
caso
di
un
campionatore ideale:
ωc
ωs
ω
ωc ωc
ωc ωc
Fs(ω)
-2ω
ωs
2ω
ωs
-ω
ωs
Nel
caso
di
un
campionatore reale:
ωs
2ω
ωs
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ω
20
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
F(ω)
-ωc
Fs(ω)
ω
ωc
Nel
caso
di
un
campionatore ideale:
H(ω)
-ωc
-2ω
ωs
-ω
ωc c
-ω
ωs
ωc
-ωc
Fs(ω)
-ωc ωs ωc 2ω
ωs
-ωc
ωc
ωc
Nel
caso
di
campionatore reale:
ω
un
H(ω)
-ωc
-2ω
ωs
-ω
ωc c
-ω
ωs
ωc
-ωc
-ωc ωs ωc 2ω
ωs
-ωc
ωc
ωc
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ω
21
La conversione A/D
Dimostrazione del teorema campionamento
Poiché f(t) è un segnale con spettro limitato è
possibile calcolare lo sviluppo in serie esponenziale
dello spettro. Si ha, quindi:
T
⇒ ωc ;
2
t ⇒ ω;
∞
F (ω ) = ∑ f n e
π
− jn
ωc
ω
;
−∞
fn =
1
2ωc
ωc
∫ω F (ω )e
−
c
π
jn
ωc
ω
2π 1
dω =
2π 2ωc
∞
∫ F (ω )e
π
jn
ωc
ω
dω
−∞
Per la definizione di antitrasformata di Fourier di un
segnale vale la relazione:
1
X (t ) =
2π
∞
jωt
(
)
X
ω
e
dω,
∫
−∞
Il generico coefficiente del nostro sviluppo in serie di
potenze può essere, allora, riscritto come:
π
fn =
ωc
nπ
f ,
ωc
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22
La conversione A/D
Dimostrazione del teorema campionamento
quindi lo spettro del segnale assume la forma
∞
π
F (ω ) = ∑
−∞ ωc
0
π
f n e
ωc
π
− jn ω
ωc
per ω < ωc
per ω ≥ ωc .
e antitrasformando
f (t ) =
1
2π
∞
j ωt
(
)
F
ω
e
dω =
∫
−∞
∞
=
∑
n = −∞
∞
=
∑
n = −∞
∞
=
∑
n = −∞
nπ
f
ωc
1
2ωc
ωc
1
2π
∫ω e
−
ωc
j ωt
(
)
F
ω
e
dω =
∫
−ωc
nπ
j t −
ωc
ω
c
nπ 1 e
f
nπ
ωc 2ωc j t − ωc
nπ 1 e
f
ω
2
ω
c c
nπ
j t −
ωc
nπ
j t −
ωc
dω =
ωc
−e
nπ
j t −
ωc
ω
ωc
=
−ωc
nπ
− j t −
ωc
ωc
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ωc
=
−ωc
23
La conversione A/D
Dimostrazione del teorema campionamento
∞
=
∑
n = −∞
e
nπ
1
f
ω
nπ
c
ωc t −
ωc
∞
=
∑
n = −∞
∞
=
∑
n = −∞
f (nT )
nπ
j t −
ωc
ωc
−e
2j
nπ
− j t −
ωc
ωc
ωc
=
−ωc
nπ
ωc
sin t −
nπ ωc
f
=
ωc nπ
t −
ωc
ωc
sin[t − nT ]ωc
,
[t − nT ]ωc
ω s = 2ωc
essendo π = 2π = 2π .
ωc ω s 2πT
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24
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il ricostruttore di ordine zero
E’ il filtro ricostruttore più comune ed è noto anche
come sample-and-hold o mantenitore di ordine zero.
Esso è caratterizzato dalla risposta all’impulso:
1
h(t ) =
0
Se T→0
0≤t ≤T
altrove
per T finito
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25
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il ricostruttore di ordine zero
Quindi la qualità (visiva) dell’approssimazione di un
segnale aumenta al diminuire dell’intervallo T.
La risposta in frequenza del S&H vale:
1− e−sT
H (s) =
s
jω
T
2
− jω
1− e− jωT 2 e 1− e− jωT 2 e
H ( jω) =
=
=
T
jω
ω jω 2 2 j
ω
e
− jω
=
2e
ω
T
2
T
2
e
jω
T
2
− jω
−e
2j
T
2
=
T
− jω sin(ωT / 2)
T
sinω = Te 2
.
ωT / 2
2
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26
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il ricostruttore del primo ordine
Il filtro ricostruttore del primo ordine predice il
campione f((n+1)T) utilizzando la retta che passa per i
punti f((n-1)T) e f(nT).
f (nT ) − f ((n −1)T )
y(t ) = f (nT ) +
(t − nT )
T
per nT ≤ t < (n + 1)T ;
e la risposta all’impulso è (per T=1):
u(t)+rect(t)-2u(t-1)-2rect(t-1)+u(t-2)+rect(t-2)
y(t)
f((n-1)T)
f(nT)
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T
27
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il ricostruttore del primo ordine
Le corrispondenti fdt e risposta armonica valgono:
(
s +1)(1− 2e−s + e−2s )
H (s) =
s2
(
jω +1) 1− 2e− jω + e−2 jω
H ( jω) =
.
2
( jω)
(
)
NB:
la
risposta
in
frequenza di un FOH ha
una
minore
attenuazione alle basse
frequenze ma amplifica
le componenti ad alta
frequenza, rispetto al
ricostruttore di ordine
zero.
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28
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il ricostruttore del primo ordine
Le prestazioni di un FOH possono essere migliorate
utilizzando un filtro con correzione parziale della
velocità:
f (nT ) − f ((n −1)T )
y(t ) = f (nT ) + α
(t − nT )
T
per nT ≤ t < (n + 1)T ;
0 ≤ α ≤1
α
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29
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il connettore ideale di punti
Se è possibile accettare un ritardo di un campione, un
buon ricostruttore è il connettore ideale di punti.
t − nT
(n +1)T − t
y(t ) = f (nT )
+ f [(n −1)T ]
T
T
per nT ≤ t < (n +1)T ;
e la risposta all’impulso è (per T=1):
h(t)=rect(t)-2rect(t-1)+rect(t-2)
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30
La conversione A/D
La ricostruzione del segnale
Il connettore ideale di punti
Le corrispondenti fdt e risposta armonica valgono:
(
1− 2e
H (s) =
−s
(
1− 2e
H ( jω) =
s2
− jω
+ e−2s
)
)
+ e−2 jω
.
2
( jω)
NB:
un
connettore
ideale ha caratteristiche
migliori in termini di
filtraggio
delle
componenti ad alta
frequenza
e
di
ampiezza
dei
lobi
secondari.
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31
La conversione A/D
La quantizzazione
Da un punto di vista di principio, per quantizzare
il segnale si deve innanzitutto definire il campo di
valori entro cui il segnale deve mantenersi per
permettere una corretta quantizzazione. Per il
campo sopra citato, chiamato "campo di misura",
vengono usualmente considerate due alternative:
•campo unipolare con estremo inferiore nullo ed
estremo superiore Ec :
campo di misura = [ 0, +Ec ]
•campo bipolare con estremo inferiore -Ec ed
estremo superiore +Ec :
campo di misura = [ -Ec, +Ec ].
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32
La conversione A/D
La quantizzazione
Definito il campo di misura lo si deve suddividere
in un numero arbitrario (ma finito) di intervalli
contigui. Anche in questo caso si possono avere
due alternative principali:
•suddivisione in intervalli di ampiezza costante:
quantizzazione uniforme
•suddivisione in intervalli di ampiezze diverse:
quantizzazione NON uniforme.
Si individua poi il valore centrale di ciascun
intervallo in cui è stato suddiviso il campo di
misura.
Si sostituisce infine al valore di ciascun
campione del segnale campionato il valore
centrale dell'intervallo in cui esso si trova.
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33
La conversione A/D
Incertezza di quantizzazione
L’ampiezza di un singolo livello è detta step di
quantizzazione (step size).
Se con VFS indichiamo il valore massimo che può
assumere la tensione, l’ampiezza del livello di
quantizzazione è:
n
VLSB=VFS/2
Il livello di quantizzazione è detto anche LSB.
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34
La conversione A/D
La quantizzazione
Incertezza di quantizzazione
L’alterazione che al massimo può essere apportata al valore di
ciascun campione è pari alla semi-ampiezza dell'intervallo entro
cui il valore del campione (analogico) si trova. Se si indica con il
simbolo e l’ampiezza dell'intervallo, l’incertezza introdotta dalla
fase di quantizzazione (chiamata "incertezza di quantizzazione")
risulta di ± e/2.
Quantizzazione uniforme
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35
La conversione A/D
La quantizzazione
Incertezza di quantizzazione
Quantizzazione non uniforme: contenimento della massima
incertezza relativa di quantizzazione
Nella quantizzazione non uniforme gli intervalli in cui viene
suddiviso il campo di misura possono avere ampiezza che
decresce mano a mano che il livello centrale dell'intervallo
diminuisce: sono state sviluppate diverse quantizzazioni non
uniformi, ciascuna delle quali caratterizzata per la legge con la
quale varia l'ampiezza degli intervalli (leggi lineari, logaritmiche,
ecc.).
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36
La conversione A/D
Schemi pratici per la quantizzazione uniforme
Quantizzazione non silenziata
Una prima forma di quantizzazione uniforme, detta
"quantizzazione non silenziata", prevede che il campo sia
suddiviso in un numero pari di intervalli di uguale ampiezza dei
quali una coppia (quella centrale) abbia come estremo comune lo
zero.
Il campo di misura si estende da -Ec a +Ec
L'ampiezza del singolo intervallo (chiamato "bit meno
significativo" o LSB) è fornita dal rapporto fra l'ampiezza del
campo di misura ( +2 Ec ) ed il numero di intervalli creati.
Il principale difetto della quantizzazione non silenziata è
costituito dal fatto che qualsiasi valore compreso fra 0+ e + 1
LSB viene associato al codice 100 mentre qualsiasi valore
compreso fra – 1 LSB e 0- viene associato al codice 011: un
campione prelevato dal segnale che avesse valore nullo verrebbe
comunque associato sempre ad un valore non nullo positivo o negativo
esclusivamente in funzione del contributo dato dal rumore e dall'offset dei
dispositivi analogici utilizzati nella circuiteria del quantizzatore reale.
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37
La conversione A/D
Schemi pratici per la quantizzazione uniforme
Quantizzazione silenziata
Una forma più evoluta di quantizzazione uniforme è quella detta
"quantizzazione silenziata" la quale prevede che il campo sia
ancora suddiviso in un numero pari di intervalli, tutti di uguale
ampiezza salvo i due estremi, e con un intervallo centrato sullo
zero.
100…000
Il campo di misura ha per estremo inferiore -Ec e superiore
(+Ec - 1 LSB) ed è suddiviso in N intervalli dei quali:
N - 2 sono intervalli di ampiezza uguale a 1 LSB
2 hanno ampiezza uguale a ½ LSB
Questa particolare soluzione permette di avere un intervallo
"centrato" sullo zero pertanto tutti quei campioni prelevati dal
segnale di ingresso a cui si sovrappone un rumore che avessero
un valore compreso fra - ½ LSB e + ½ LSB verrebbero associati a
zero. Il sistema presenta quindi una reiezione (insensibilità) ai
rumori che si sovrappongono ad un segnale nullo azzerandone
l'effetto nel segnale quantizzato fino a quando il loro contributo
non supera ± ½ LSB.
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38
La conversione A/D
La codifica
La fase di codifica consiste nell'associare ad ogni intervallo in cui
è stato suddiviso il campo di misura una parola (di solito espressa
in codice binario) che lo identifica in modo univoco.
Sono in uso diverse codifiche binarie fra le quali le più diffuse
sono le seguenti:
binario puro:
usata per campi unipolari [ 0, +Ec ] con la corrispondenza
0 = 000...000 - +Ec - 1 LSB = 111...111
binario con offset - "OB Code":
usata per campi bipolari [ -Ec , +Ec ] con la corrispondenza
-Ec = 000...000 - +Ec - 1 LSB = 111...111
binario con offset complementato a due - "COB Code":
usata per campi bipolari [ -Ec , +Ec ] con la corrispondenza
-Ec = 111...111 - +Ec - 1 LSB = 000...000
La figura sotto riportata mostra un esempio di codifica di tipo
"binario con offset":
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La conversione A/D
La codifica
Un esempio:
Codifica a 3 bit, ±Ec
Quantizzazione non silenziata (tutti gli intervalli sono uguali a
2Ec/2N)
e codifica Binaria con Offset: (-Ec = 000, +Ec-1 LSB = 111)
COD
da
A
000
-Ec
-Ec+Ec/4
001
-Ec+Ec/4
-Ec+Ec/2
010
-Ec+Ec/2
-Ec+3Ec/4
011
-Ec+3Ec/4
0
100
0
Ec/4
101
Ec/4
Ec/2
110
Ec/2
3Ec/4
111
3Ec/4
Ec
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40
La conversione A/D
La codifica
Un esempio:
Codifica a 3 bit, ±Ec
Quantizzazione silenziata
e codifica Binaria con Offset: (-Ec = 000, +Ec-1 LSB = 111)
COD
Da
A
000
-Ec
-Ec+Ec/8
001
-Ec+Ec/8
-Ec+Ec/8+Ec/4
010
-Ec+3Ec/8
-Ec+5Ec/8
011
-Ec+5Ec/8
-Ec+7Ec/8
100
-Ec/8
Ec/8
101
Ec/8
3Ec/8
110
3Ec/8
5Ec/8
111
5Ec/8
5Ec/8+Ec/8
6Ec/8
+Ec-1 LSB = 111
Ec-2Ec/8
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La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
Un convertitore A/D accetta in
ingresso un segnale continuo (spesso
una tensione Vx) e la converte in una
parola che può essere facilmente
manipolata da un calcolatore.
Anche per un convertitore A/D
vengono
introdotte
delle
caratteristiche metrologiche statiche e
dinamiche.
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42
La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
Le caratteristiche statiche più comuni
sono:
•La curva di conversione;
•L’errore di offset e di guadagno;
•L’errore di linearità (differenziale o
integrale);
•L’errore di monotonicità;
•Il missing code.
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La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
•La curva di conversione;
s A/D
sq
sq
111
110
101
100
Passo di
quantizzazione:
VFS/2N=1LSB
011
010
001
000
1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8
s/VFS
Incertezza di quantizzazione:
“indeterminazione intrinseca con cui opera il
dispositivo nel quantizzare il segnale analogico in un
numero finito di livelli”:
±0.5LSB
In un A/D tutte le cause di incertezza
dovrebbero essere inferiori all’errore di
quantizzazione.
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44
La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
s
A/D
sq
•L’Errore di offset implica che la prima
transizione non si verifica quando il
segnale d’ingresso assume un valore
pari a 1/2LSB.
•L’Errore di guadagno
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45
La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
sq
111
110
101
100
110 is a
MISSING CODE
011
010
001
000
1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8
s
A/D
sq
s/VFS
COD
STEP DIFF
SIZE ERR
INT
ERR
000
0.5
0
0
001
1.5
0.5
0.5
010
0.5
-0.5
0
011
1
0
0
100
1
0
0
101
2
1
1
110
0
-1
0
111
1.5
0
0
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La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
Gli errori dinamici dipendono:
•Dalla variazione del segnale durante il
periodo di conversione: EA;
•Da una frequenza di campionamento
non idonea alla frequenza del segnale
da convertire: ES
•Incertezza sull’istante effettivo di
campionamento (JITTER)
•Un indice globale per la stime delle
incertezze in un convertitore A/D:
E T = EST +
E 2A + ES2
dove EST =
∑
E i2
i
ed E i sono le incertezze di tipo statico
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47
La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
Esistono alcuni indici sintetici che vengono utilizzati
per dare informazioni sul comportamento globale di un
convertitore:
SNR (Signal to Noise ratio)
ENOB (Effective Number of Bits)
L’SNR è il rapporto tra la potenza di segnale e la potenza
di rumore.
Se aumenta N migliora il rapporto segnale-rumore.
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48
La conversione A/D
Note generali sui convertitori A/D
Nel caso ideale l’unico errore durante una conversione
è quello di quantizzazione.
Nel caso reale la potenza di rumore aumenta e quindi
l’SNR diminuisce rispetto al caso ideale.
SNRideale=6.02 N +1.87 (dB)
SNRreale=6.02 N’ +1.87 (dB)
N’= ENOB = (SNRreale-1.87)/6.02.
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49
La conversione A/D
Bit equivalenti
Disponendo di un convertitore che
quantizza il segnale s(t) su n bit, si avrà
un PASSO DI QUANTIZZAZIONE
Q=
V
2n
e dunque una varianza (incertezza di
quantizzazione) pari a:
∞
σ = ∫ ( x − µ X ) 2 f ( x)dx
2
X
−∞
∞
= ∫ x 2 f ( x) dx − µ X2 .
−∞
2
σq
2
2
2
σs
2n
Q
1V
=
= n =
12 12 2 2
(σs)2 è la varianza di un segnale generico che può
assumere valori in [0 V].
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50
La conversione A/D
Bit equivalenti
In un convertitore ideale
σ s2
σs
1
n = log 2 2 = log 2
σq
σq
2
In un convertitore reale
2
c
2
q
σ = σ +σ
2
n, A/D
convertitore
reale
+σ
2
n, ext
>σ
rumore
esterno
2
q
2
1
σs
ne ≡ log 2 2 < n
2
σc
σ2
1
ne = n − log 2 c2
σ
2
q
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51
La conversione A/D
La conversione D/A
I convertitori D/A (Digital to Analog Converters)
rappresentano un’interfaccia tra i segnali digitali del
mondo dei computer e il mondo analogico.
Un D/A accatta come ingresso un segnale digitale e
fornisce un’uscita (in tensione o in corrente a seconda
della tecnologia utilizzata e dell’applicazione
prevista) dipendente dall’ingresso fornito, secondo la
relazione:
[
]
Vo = K VFS a1 2 −1 + a2 2 −2 + ... + an 2 − n + VOS
a1,…an
DAC
Vo
VREF
Essendo:
•Vo la tensione d’uscita;
•K il guadagno (tipicamente è K=1);
•a1,…,an la parola digitale da convertire;
•Vos la tensione di offset (tipicamente è Vos=0)
•VFS la tensione di fondo-scala (legata a VREF, valori tipici
sono 2.500, 5.000, 10.00, 5.120, 10.24 V o i corrispondenti
valori bipolari e 2.0mA).
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52
La conversione A/D
La conversione D/A
COD
Anal.
000
V1
0
001
V2
VFS/8
010
V3
2VFS/8
011
V4
3VFS/8
100
V5
4VFS/8
101
V6
5VFS/8
110
V7
6VFS/8
111
V8
7VFS/8
1LSB
La transizione tra due codici consecutivi
corrisponde ad una variazione del segnale
analogico di 1LSB.
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53
La conversione A/D
La conversione D/A
I convertitori D/A sono caratterizzati
mediante
caratteristiche
statiche
e
caratteristiche dinamiche.
Le caratteristiche statiche più importanti
sono:
•La risoluzione ;
•La curva caratteristica ;
•L’errore di linerità;
•L’errore di monotonicità;
Le caratteristiche dinamiche più importanti
sono:
•Il settling time;
•Il fenomeno del glitching.
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54
La conversione A/D
La conversione D/A
La risoluzione
La risoluzione di un convertitore è pari alla minima
variazione del segnale d’uscita che il dispositivo può
generare. Essa è pari a 1 LSB (Least Significant Bit) ed
è legata alla tensione di fondo scala e al numero di
bit (parallelismo del convertitore) dalla relazione:
VLSB=VFS/2n
1 LSB= 1/2n
se si tratta di un dispositivo unipolare
VLSB=VFS/2n-1
1 LSB= 1/2n-1
Nel caso di un dispositivo bipolare
Valori tipici di risoluzione vanno da 8 a 16 bit.
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55
La conversione A/D
La conversione D/A
La risoluzione
ESEMPIO: Un convertitore AD ad 8 bit ha una tensione di
riferimento pari a 5V.
•La tensione corrispondente alla parola 10110100 è:
Vref*(2-1+2-3+2-4+2-6)=Vref*(1/2+1/8+1/32+1/64)=3.5156V
•Il LSB vale:
1LSB=1/2-8=1/256
VLSB=5/256=19.5 mV
NB: espressioni equivalenti per
risoluzione sono:
•8 bit di risoluzione,
•0.4% del fondo scala [(1/256)*100],
•1 parte su 256.
l’espressione
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della
56
La conversione A/D
La conversione D/A
La curva caratteristica
La curva caratteristica di un DA rappresenta il legame
esistente tra i codici in ingresso e i valori forniti in
uscita (tensione o corrente in accordo con la
tecnologia utilizzata)
VOS = 0;
K =1.
Il valore massimo della tensione d’uscita è pari
al valore del fondo scala VFS meno 1LSB.
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57
La conversione A/D
La conversione D/A
La curva caratteristica
Vengono definiti gli errori (in LSB) di:
•Offset
•Guadagno
EOS =
VOUT
VLSB
;
0...0
con errore di offset annullato
VOUT
EK =
VLSB
V
− OUT
VLSB
1...1
− 2N −1
0...0
(
)
NB: Le case costruttrici suggeriscono i circuiti da
utilizzare per eliminare tali cause di errore!
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58
La conversione A/D
La conversione D/A
Finora si è fatta l’ipotesi che nel passaggio
da una parola alla successiva la variazione
della tensione in uscita sia sempre costante e
pari a 1 LSB e che quindi la curva
caratteristica sia una retta. Nei dispositivi
reali, a causa di imperfezioni circuitali, i
valori di tensione in uscita non si trovano su
una retta.
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59
La conversione A/D
La conversione D/A
La curva caratteristica
Dopo aver corretto l’errore di guadagno e di offset la
curva (retta) caratteristica viene determinata
attraverso un processo di approssimazione.
•Least-square fit
Utilizza il metodo dei minimi quadrati per determinare
la retta che approssima le uscite del DAC;
•Zero-base method
Determina la curva caratteristica imponendo il
passaggio per il primo punto e determinando il
guadagno minimizzando il valore assoluto dell’errore
massimo.
Terminal-point method
Approssima la curva caratteristica con la retta che
passa per il primo e l’ultimo valore in uscita dal DAC
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60
La conversione A/D
La conversione D/A
Errore
di
linearità:
Indica lo scarto
massimo in LSB tra l’uscita reale e quella
ideale.
Ad esempio nel caso in figura si hanno i
seguenti errori di non linearità:
IN
001
011
100
110
Linearity
Error
-0.5
LSB
-0.5
LSB
0.5
LSB
0.5
LSB
L’errore di linearità sarà dunque pari a: 0.5LSB
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61
La conversione A/D
La conversione D/A
Quando l’ingresso varia di un bit la tensione
di uscita dovrebbe variare di 1LSB.
Step size
2.5
Variazione effettiva del
segnale d’uscita tra due
codifiche successive.
2
1.5
1
0.5
0
000
001
010
011
100
101
110
111
Errore di linearità differenziale
Differential error
1
Scarto massimo in LSB
tra la variazione effettiva e
la variazione prevista di
1LSB.
0.5
0
-0.5
-1
000
001
010
011
100
101
110
111
Errore di linearità integrale
Integral error
1
0.5
0
-0.5
-1
000
001
010
011
100
101
110
111
Valore
massimo
della
somma degli errori di
linearità differenziale fino al
valore
dell’ingresso
considerato
(massimo
scostamento dalla curva
interpolante).
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62
La conversione A/D
La conversione D/A
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63
La conversione A/D
La conversione D/A
Errore di monotonicità
A valori di ingresso crescenti devono corrispondere
valori di uscita crescenti; in caso contrario il
dispositivo si comporta in maniera non monotona!!!!
NB: Se il convertitore presenta un errore di
monotonicità l’errore differenziale è maggiore di 1LSB.
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64
La conversione A/D
La conversione D/A
Accuratezza relativa:
massimo scarto tra l’uscita reale e
quella ideale dopo che siano state
apportate le correzioni per l’errore di
guadagno e di offset.
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65
La conversione A/D
La conversione D/A
Stabilità:
degrado delle prestazioni con
l’invecchiamento, la temperatura e
la tensione di riferimento
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66
La conversione A/D
La conversione D/A
Settling time:
Tempo di assestamento che impiega il segnale
d’uscita per portarsi al valore di regime dopo una
variazione del segnale d’ingresso.
Glitches:
La transizione del segnale d’uscita conseguente
alla transizione tra due stati prossimi del segnale di
ingresso può produrre dei disturbi sul segnale
d’uscita. Tali disturbi dipendono da stati intermedi
che si possono presentare come ingressi del DAC,
dovuti a ritardi introdotti dai circuiti interni al DAC
stesso.
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67
La conversione A/D
Convertitori D/A: a resistenze pesate
Il convertitore a resistenze pesate utilizza una rete di
resistenze, i cui valori crescono come potenze
successive di due, per realizzare i diversi bit della
parola da convertire.
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68
La conversione A/D
Convertitori D/A: a resistenze pesate
Cause di incertezza
•instabilita' a lungo termine di Ec
•scostamenti fra i valori teorici e reali dei rapporti fra le
resistenze
dei
resistori.
Le variazioni di resistenza prodotte dalla temperatura
possono invece non influire se i resistori hanno tutti lo
stesso coefficiente di temperatura e e la medesima
temperatura.
•guadagno non infinito, offset non nullo degli OpAmp.
Pregi
Il circuito è semplice ed il generatore campione opera "a
carico costante", situazione questa che permette di
evitare fluttuazioni della tensione Ec provocate dal variare
del numero N.
Difetti
Tecnologicamente non è facile avere a disposizione
resistori di precisione con una ampia gamma di valori ed in
questo circuito i valori dei resistori variano con le potenze
di 2: per realizzare un convertitore a n bit servono resistori
tali che il rapporto fra il massimo ed il minimo risulti pari a
2n. Per questo motivo non è consuetudine trovare
convertitori di questo tipo con più di 4 bit.
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69
La conversione A/D
Convertitori D/A: R/2R
Il convertitore a rete R/2R utilizza, per realizzare i diversi
bit della parola da convertire, una rete di resistenze
caratterizzati soltanto da due diversi valori.
Tipicamente il valore di R varia nell’intervallo 2.5kΩ10kΩ.
Con questa tecnologia vengono spesso realizzati
dispositivi monolitici a a levata risoluzione.
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70
La conversione A/D
Convertitori D/A: R/2R
Cause di incertezza
•instabilita' a lungo termine di Ec
•scostamenti fra i valori nominali e reali delle resistenze dei
resistori.
Le variazioni di resistenza prodotte dalla temperatura possono
invece non influire se i resistori hanno tutti lo stesso coefficiente
di temperatura e e la medesima temperatura.
•non idealità dello OpAmp:
guadagno non infinito,
impedenza di ingresso non infinita,
CMRR non infinito,
offset non nullo.
Pregi
Il circuito è semplice ed i resistori hanno solamente due valori
relativamente simili: R e 2R.
Difetti
Il circuito presenta due principali difetti:
Il generatore campione non opera "a carico costante",
situazione questa che può provocare delle fluttuazioni della
tensione Ec al variare del numero N.
Vi è una tensione di modo comune non trascurabile in ingresso
allo OpAmp che, non disponendo di un CMRR infinito, ne resta
influenzato.
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71
