1 DUE – ZERO - ZERO – SETTE
Con le cifre a disposizione, il numero più grande è 7200; quello più piccolo è 2007. La loro differenza è 5193.
2 DA 1 A 2007
I numeri devono essere inseriti come nel seguente schema :
2
2007
2004
2002
2005
2006
2003
1
3 “VEDERE LE STELLE”
Dovendo trovare un numero la cui “distanza” da 36 sia il doppio della sua “distanza” da 24, si calcola la differenza tra
36 e 24 e la si divide per 3. Si ottiene 4 che, sommato a 24, fornisce la soluzione richiesta: 28.
0-------------------------------------------------24--------\--------\--------36
4 PESANTE COME UN MATTONE
Dividiamo il mattone in 5 parti uguali. Una di queste parti è 1/5 del mattone; le altre 4 parti pesano 1 kg (1000 grammi).
Allora ognuna di queste quattro parti (che corrispondono ad 1/5 del mattone) pesa 250 grammi.
Il mattone pesa 1250 grammi.
5 LE 4 PENNE
Indicando con C le penne di Carla e con M quelle di Milena, si ha:
M+4=2(C-4)
e C+4=2(M-4)
Con semplici passaggi, si ricava:
C=12 e M=12
Insieme, Carla e Milena hanno 24 penne.
6 DA 1 A 9
Il problema ammette due soluzioni
1 5 9 1 6 8
2 6 7 2 4 9
3 4 8 3 5 7
7 LE CARAMELLE SONO GIALLE E VERDI
Indichiamo con G le caramelle gialle (al limone) e con V quelle verdi (alla menta).
Dalle condizioni, abbiamo il sistema:
a) V+G+1=4(G+1)
b) V+G-1=5(G-1)
che, risolto, fornisce le seguenti soluzioni:
G=7 e V=24
Le caramelle verdi sono 24.
8 I PASSI DELL’ORCO
Prendiamo come unità di misura la lunghezza del passo di Sara.
Dato che 3 passi di Sara corrispondono a due passi di Sergio, il passo di Sergio è lungo 1,5.
Essendo 5 passi dell’orco lunghi come 15 passi di Sergio, 1 passo dell’orco è lungo come 3 passi di Sergio, cioè 4,5
(passi di Sara).
In 8 secondi, l’orco compie 8 passi percorrendo una distanza pari a 36 passi di Sara, la quale nel frattempo ha compiuto
solo 8 passi. Se il vantaggio di Sara fosse minore o uguale a 28 passi, l’orco la raggiungerebbe. Il vantaggio di Sara
deve essere, al minimo, di 29 passi.
9 ATTENZIONE A QUELLO CHE SCRIVETE
Nello schema di partenza sono già scritti 15 numeri che non possono essere modificati. Di questi :
5 sono multipli di 3 (3-6-9-12-3)
4 sono multipli di 4 (4-8-12-4)
3 sono multipli di 5 (5-10-5)
Dopo che avrò completato lo schema, avrò scritto altri tre numeri.
Se nella prima riga scrivessi 5 (un multiplo 5), allora nell’ultima riga dovrei scrivere un altro 5 facendoli però
diventare 6 (un nuovo multiplo di 3), il che li farebbe diventare di nuovo 5 … Nella prima riga non posso
scrivere il numero 5!
Provo allora a scrivere 6 (un multiplo di 3). La prima riga risulterà esatta se i numeri che scriverò nelle due
righe successive non saranno multipli di 3.
Nella terza riga scrivo 4. Così facendo i multipli di 4 diventano 5 (numero che scriverò nella seconda riga) e i
multipli di 5 saranno effettivamente diventati 4.
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11 , 12
In questo box, ci sono …6….numeri che sono multipli di 3
In questo box, ci sono …5….numeri che sono multipli di 4
In questo box, ci sono …4.…numeri che sono .multipli di 5
10 ANCORA, IL 2007!
Indichiamo con 2 la cifra delle migliaia, con 0 quella delle centinaia, con D quella delle decine e con U quella delle
unità.
Abbiamo:
2*1000+0*100+D*10+U-(2+0+D+U)=2*1000+7
da cui:
9D-2=7 e D=1
Soddisfano allora la condizione i 10 numeri che vanno da 2010 a 2019.
11 QUANTE RICHIESTE!
Usando la scomposizione del binomio otteniamo (senza l’aiuto di una calcolatrice) la scomposizione in fattori primi del
numero dato:
224 – 312 = (212 + 36) x (212 - 36) = (212 + 36) x (26 + 33) (26 - 33) = (4096+729) x (64+27) x (64-27) = 4825x91x37 =
52x193x13x7x37.
L’unico numero che soddisfa le condizioni richieste è 13.
12 LE COORDINATE DEL NOSTRO ANNO
Osserviamo che la successione dei numeri scritti nell’ultima casella di ogni riga è la successione dei quadrati perfetti.
L’ultimo quadrato che precede il numero 2007 è 1936, scritto nella 44 a riga.
Il primo numero della riga successiva è 1937; l’ultimo di questa 45a riga è 2025.
Il numero 2007 è scritto 18 caselle prima di quest’ultimo, in corrispondenza del 27° (45-18) quadrato perfetto, cioè di
729.
Le coordinate richieste sono (1937;729)
13 IL PAESE DEI NUMERI
Proviamo a vedere che cosa succede a partire dalle coppie sposate dal 1980.
Il figli delle coppie sposate tra il 1980 e il 1989 nasceranno negli anni pari che vanno dal 1998 (1980+18) al
2016 (1989+27)
I figli delle coppie sposate negli anni dal 1990 al 1999, nasceranno negli anni dispari che vanno dal 2009
(1990+19) al 2027 (1999+28).
I figli delle coppie sposate negli anni dal 2000 al 2009, nasceranno negli anni pari che vanno dal 2002
(2000+2) al 2020 (2009+11). (Abbiamo tutti i numeri pari da 1998 a 2020)
I figli delle coppie sposate negli anni dal 2010 al 2019, nasceranno negli anni dispari che vanno dal 2013
(2010+3) al 2031 (2019+12). (Abbiamo tutti i numeri dispari da 2009 a 2031)
I figli delle coppie sposate negli anni dal 2020 al 2029, nasceranno negli anni pari che vanno dal 2024
(2020+4) al 2042 (2029+13).
……
manca l’anno 2022.
14 IL GIOCO DELLE CARTE
Nelle tabelle successive, scriviamo nella prima riga le mosse di Angelo, nella seconda riga le mosse di Desiderio, con
le possibili alternative tra loro equivalenti (quando è necessario, in parentesi è scritto il valore delle carte tolte dal tavolo
alle singole mosse).
1 (1)
7–8-9
5(4)
Angelo perde
11
16
1 (1)
6 (1)
11 (1)
5(4)
10(4)
15(4)
Angelo perde, perché non ha più 1 a disposizione
21
16 (1)
20 (4)
Se Angelo gioca 2 o 4, Desiderio gioca successivamente 6 –11- 16 - 21 e vince
Se Angelo gioca 3 e Desiderio non risponde con 6 allora Angelo gioca successivamente 6 – 11 – 16 –21 e vince.
Se Angelo gioca 3 e Desiderio risponde con 6, Angelo non gioca 8, Desiderio gioca successivamente 11 – 16 –21 e
vince.
Se Angelo gioca 3, Desiderio risponde con 6 e Angelo gioca 8:
3 (3)
8 (2)
6 (3)
11 (2)
16
12 – 13 – 14 - 15
9 (1)
21
17-18-19 -20
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
11 (1)
16
12 - 13 –14 -15
10 (2)
21
17-18-19
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
13 (2)
11 (3)
16 (2)
14 (1)
21
17-18-19
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
13 (2)
11 (3)
18 (3)
15 (2)
19-20-22
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
13 (2)
11 (3)
21(4)
17 (4)
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
16 (4)
12 (4)
21
17-18-19-20
Vince
3 (3)
8 (2)
6 (3)
16 (4)
12 (4)
21
17-18-19-20
Vince
Giocando 3, Angelo è sicuro di poter vincere.
15 IL TERRENO DI PADRE NANDO
Quello disegnato è un triangolo “speciale”:
Se dal vertice in alto, tracciamo l’ altezza, questa divide la base in due triangoli particolari:
i lati del triangolo di sinistra formano una terna pitagorica 25, 60, 65 (del tipo 5h, 12h, 13h)
i lati del triangolo di destra forma una terna pitagorica 45, 60, 75 (del tipo 3k, 4k e 5k) e la sua area misura
1350 m2
Il triangolo avente per altezza il segmento AB è simile al triangolo rettangolo di destra precedentemente
individuato.
L’area dell’intero terreno è (70x60)/2 = 2100 m2, la sua metà è di 1050 m2.
Per risolvere il problema si può procedere in due diversi modi:
1.
2.
da (3k x 4k)/2=1050 si ricava k2 = 175 e (4k)2=2800
essendo il rapporto tra le aere di due triangoli simili uguale al quadrato del rapporto di similitudine, si ha:
AB2:602=1050:1350 da cui AB2= 2800
16 I VENTAGLI
Calcoliamo inizialmente quanti triangoli possiamo “leggere” nella figura sopra rappresentata.
Chiamiamo con a, b, c, d le quattro stecche che partono dal vertice in basso a sinistra (partendo da quella di
base del triangolo grande); chiamiamo con 1, 2, 3 le stecche che partono dal vertice in basso a destra (esclusa
quella di base del triangolo grande che abbiamo già considerata).
Il primo triangolino in basso è formato con la terna di stecche (a,b,1) : due stecche che escono dal primo
vertice ed una stecca che esce dal secondo vertice.
Partendo dal vertice di sinistra, calcoliamo tutte le possibili combinazioni di 4 stecche prese a 2 a 2 (C 4,2).
Ognuna di queste coppie di stecche va a formare un triangolo con ognuna della 3 stecche che escono dal
vertice di destra. In tutto abbiamo 3 C4,2 = 3 x 6 = 18 triangoli.
Partiamo ora dal vertice di destra. Possiamo leggere i triangoli ottenuti dalle combinazioni di 3 elementi a 2 a 2
e dalle loro intersezioni con le 3 stecche b,c,d (la stecca a non deve più essere considerata). In tutto abbiamo
altri 3 C3,2 = = 3 x 3 = 9 triangoli.
Nel ventaglio della figura abbiamo complessivamente: 27 triangoli (27=3 3).
Procedendo in modo analogo, calcoliamo i triangoli che si possono leggere nel ventaglio con 2007 stecche. Sono:
2006 C2007,2 + 2006 C2006,2 = 2006 x (2007 x 2006/2) + 2006 x (2006 x 2005/2) = 2006 x 2006 x [ (2007+2005)/2] =
20063 = 8 072 216 216
17 MODESTA, MA SIMMETRICA
I numeri di 4 cifre che non cominciamo con 0 e che hanno come centro di simmetria il centro del rettangolo formato dai
quattro display sono:
2002
2222
2552
2692
2882
2962
5005
5225
5555
5695
5885
5965
6009
6229
6559
6699
6889
6969
8008
8228
8558
8698
8888
8968
9006
9226
9556
9696
9889
9966
Presenta inoltre un centro di simmetria (centro del rettangolo avente per lati i segmenti accesi della prima e della quarta
cifra) il numero 1111.
Complessivamente, abbiamo 31 numeri che soddisfano le condizioni richieste.
18 DOPO LA VIRGOLA
Risolviamo il problema in due diversi modi:
1. Guardiamo solo quello che succede dalla 2004ma cifra, tenendo come riferimento centrale il numero 2007 (tutte
le cifre decimali precedenti non interessano).
…….. …… ….
2
0
0
2
0
2
3
2.
4
5
4
0
0
2
6
5
0
0
2
7
6
0
0
2
9
7
0
0
2
0
8
0
0
2
1
9
1
0
2
2
0
1
0
2
3
1
1
0
….
4
2
1
….
5
Le cifre decimali che compaiono dopo la virgola sono, nell’ordine, 1-2-3-4-5-6-7-9-0 e proseguono con
periodicità 9. La nona cifra di questo numero è 0. Allora, anche la 2007 ma cifra è 0.
