ATTRITO VISCOSO NEI FLUIDI
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19/03/2012
VISCOSITÀ
La viscosità è un fenomeno che si manifesta in un fluido reale
in moto quando i vari strati di fluido scorrono gli uni rispetto
agli altri, con dissipazione di energia meccanica e riscaldamento del fluido. La descrizione della viscosità risulta semplice nel caso di moto laminare - per averne un’idea si pensi
allo scorrimento delle carte da gioco in un mazzo.
Si consideri (vedere la figura della slide successiva) una piattaforma di area A galleggiante su uno spessore h di fluido
e trainata con velocità costante v◦.
Il fluido a contatto
con la piattaforma si muove con la stessa velocità v◦ della
piattaforma mentre il fluido a contatto con il fondo, alla
profondità h, è fermo.
2
In regime laminare i vari strati di fluido scorrono gli uni
rispetto agli altri ed hanno velocità crescenti dal fondo (v =
0) fino in superficie (v = v◦). Per mantenere la piattaforma
in moto uniforme con velocità v◦ bisogna applicare alla piattaforma una forza costante F la cui intensità è data da
A v◦
F =η
; η = coefficiente di viscosita0 dinamica . (1)
h
3
COEFFICIENTI DI VISCOSITÀ
La quantità η che compare nella relazione (1) quantifica gli
effetti di viscosità del fluido e viene chiamata coefficiente di
viscosità dinamica. Nel SI si ha [η] = kg m−1 s−1 = P a s
(equivalentemente, dove P a = N m−2 è l’unità di pressione
nel SI).
Introdotta la densità del fluido ρ, dove [ρ] = kg m−3, si
definisce coefficiente di viscosità cinematica la quantità ν
collegata a η dalle relazioni
η
ν=
ρ
;
η =ρ ν.
(2)
Nel SI si ha [ν] = m2 s−1.
4
VALORI DEI COEFFICIENTI DI
VISCOSITÀ DINAMICA η
E CINEMATICA ν A 20◦ C
mezzo
η in P a s ν in m2 s−1
aria
1.8 · 10−5 1.5 · 10−5
acqua
1.0 · 10−3 1.0 · 10−6
sangue (37◦ C) 4.0 · 10−3 3.9 · 10−6
glicerina
1.5
1.2 · 10−3
mercurio
1.5 · 10−3 1.1 · 10−7
alcool
1.2 · 10−3 1.5 · 10−6
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FORZA DI ATTRITO VISCOSO
Un corpo che si muove con velocità v in un fluido subisce
una forza di attrito che si oppone al suo moto. Per semplicità si considera un corpo che non dia apprezzabili effetti
di portanza (= forza perpendicolare alla direzione del moto).
Se l’attrito è originato in maniera predominante dalla viscosità del fluido, la forza di attrito Fattr agente sul corpo di
dimensione trasversale L può essere scritta nella forma
Fattr = −k η L v ,
(3)
dove k è un coefficiente numerico che dipende dalla forma
del corpo e η è il coefficiente di viscosità dinamica del fluido. L’intensità dell’attrito è quindi proporzionale al modulo
v della velocità ed alla dimensione trasversale L del corpo.
6
LEGGE DI STOKES
Nel caso che il corpo sia una sfera di raggio r, la forza di
attrito (3) può essere scritta come
Fattr = −6 π η r v
LEGGE DI STOKES .
(4)
Affinché la legge (3-4) valga, il moto del fluido attorno al
corpo deve essere laminare. Nel disegno il corpo va verso
destra e “vede” il fluido muoversi verso sinistra.
7
CORPO CHE SI MUOVE IN MEZZO VISCOSO
Si studia il moto rettilineo (lungo l’asse z) di un corpo di
massa m che affonda in un mezzo viscoso sotto l’azione della
forza di attrito (3) Fattr = −K v dove K = k η L. Sul corpo
agisce verso il basso il peso efficace P ∗, dato dal peso del
corpo meno la spinta di Archimede. Nel caso che il corpo
sia una sfera omogenea di densità ρc e raggio r, immersa in
un fluido di densità ρ, la componente z del peso
efficace P∗ sarà data da
Pz∗
4 π r3
=
(ρc − ρ) g .
3
(5)
Il II Principio della Dinamica applicato al corpo
di massa m conduce alla seguente equazione differenziale nella funzione incognita vz (t)
8
dvz (t)
m
= Pz∗ − K vz (t) ,
dt
(6)
dove si può imporre la condizione iniziale vz (0) = 0.
Al
passare del tempo la velocità vz (t) crescerà da zero verso il
valore limite vzl =
Pz∗
K
che corrisponde al valore di velocità
tale da annullare il secondo membro della (6). Si può dimostrare che la soluzione della (6) è data da
"
vz (t) = vzl
t
1 − exp −
τ
!#
Pz∗
=
K
"
t
1 − exp −
τ
!#
,
(7)
m . Nella
dove la costante di tempo caratteristica τ è data da K
figura successiva è illustrato l’andamento temporale della velocità che tende al valore limite vzl .
9
∼
Come indicazione di come vz (t) si avvicina a vzl si ha vz (τ ) =
∼ 0.86 v , v (3 τ ) =
∼ 0.95 v e v (4 τ ) =
∼
0.63 vzl , vz (2 τ ) =
z
z
zl
zl
∼v .
0.98 v . Trascorse 4 o 5 costanti di tempo si ha v =
zl
z
zl
10
Nel caso che il corpo sia una sfera omogenea di raggio r e
densità ρc si avrà
4 π r 3 ρc
;
m=
3
2 r2 (ρc − ρ)
vzl =
g ;
9 η
2 r 2 ρc
τ =
(8)
9 η
dove ρ è la densità del fluido viscoso.
ESEMPIO: goccia di aerosol (nebbia) in aria.
Si ha r = 4 · 10−5 m, ρc = 103 kg m−3, ρ = 1.2 kg m−3
(densità dell’aria), η = 1.8 · 10−5 P a s, g = 9.8 m s−2.
Si ottiene m = 2.7 · 10−10 kg, vzl = 1.9 · 10−1 m s−1 e
τ = 2.0·10−2 s. La goccia di aerosol raggiunge la velocità di
regime in un tempo brevissimo e scende troppo lentamente
per poter apprezzabilmente sedimentare sotto l’azione del
proprio peso.
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Mediante integrazione la relazione (7) ci permette di risalire
alla legge oraria z = z(t), se si pone ad esempio z(0) = 0.
Si scrive l’integrale definito
z(t) =
Z t
0
vz (t0) dt0
(9)
e si ottiene
t
z(t) = vzl t − vzl τ 1 − exp −
.
(10)
τ
L’equazione (10) dà una legge oraria che per valori di t
"
!#
maggiori di alcune costanti di tempo τ differisce ben poco
da un moto rettilineo uniforme con velocità vzl . Trascorse
alcune costanti di tempo, il corpo si muove praticamente con
legge oraria z(t) = vzl t − vzl τ e, quindi, si muove di moto
uniforme, restando indietro di vzl τ rispetto ad un corpo che
fosse partito al tempo t = 0 già con la velocità limite vzl .
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