Dispensa di Informatica – I.5
LE MACCHINE COMBINATORIE
La capacità elaborativa del calcolatore risiede nel processore; il processore è in grado di eseguire
un set di azioni elaborative elementari più o meno complesse
Le istruzioni sono comandi espliciti che:
•
governano il trasferimento di informazioni sia all’interno del calcolatore sia tra il
calcolatore e i dispositivi di I/O
•
specificano le operazioni aritmetiche e logiche che devono essere effettuate
I dati di ingresso e di uscita dell’elaborazione, nonchè la stessa sequenza di istruzioni sono
immagazzinati nella memoria centrale
Il processore preleva ed esegue le istruzioni dalla memoria una ad una
Una sequenza di istruzioni memorizzate nella memoria centrale costituisce un PROGRAMMA.
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ALGEBRA DI BOOLE – TABELLE DELLA VERITA’
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ALGEBRA DI BOOLE – PROPRIETA’
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FUNZIONI BOOLEANE
Anche AND OR e NOT sono funzioni Booleane e vengono definite funzioni fondamentali
dell’algebra. Una funzione che è costituita dall’insieme di AND OR e NOT si dice Algebrica o
razionale.
Una funzione Booleana può essere definita tramite la TABELLA DELLA VERITA’
n
Una funzione costituita da n variabili potrà assumere 2 valori e dunque la tabella della verità
n
avrà 2 righe.
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INSIEMI FUNZIONALMENTE COMPLETI
Qualsiasi funzione Booleana può essere espressa come combinazione delle funzioni AND OR e NOT
dunque l’insieme { AND , OR , NOT} si dice funzionalmente completo.
Ad esempio
xor = xy + xy
Esistono altri insiemi funzionalmente completi.
Si noti che grazie alla legge di DE MORGAN si può costruire la AND come combinazione di OR e
NOT oppure la OR come combinazione di AND e NOT. Quindi anche l’insieme {OR , NOT} e
l’insieme {AND , NOT} sono insiemi funzionalmente completi.
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RETI LOGICHE
I valori booleani possono essere rappresentati da grandezze elettriche. Ad esempio:
0 <=> tensione di 0 Volt
1 <=> tensione di +5 Volt
In tal caso le funzioni booleane possono essere realizzate mediante circuiti elettronici detti reti
logiche.
Le porte logiche (gates) sono circuiti logici elementari che realizzano le operazioni fondamentali.
Le reti logiche si costruiscono connettendo più porte logiche.
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MACCHINE COMBINATORIE
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SEMPLIFICAZIONE MEDIANTE MAPPE DI KARNAUGH
Le semplicazioni di una funzione logica possono essere effettuate mediante i teoremi dell'algebra
di Boole. Esiste però un metodo molto più pratico di semplificazione che e quello costituito dalle
mappe di Karnaugh. Tale metodo di facile applicazione per funzioni di poche variabili, in genere
fino ad un massimo di quattro o cinque, risulta alquanto difficoltoso se le variabili diventano
numerose. Di seguito sono riportate le mappe di Karnaugh (di forma quadra o rettangolare) per
funzioni di due, tre o quattro variabili.
Ogni mappa contiene tante caselle quante sono le 2n combinazioni delle n variabili della funzione
logica. Caselle che hanno un lato in comune sono dette adiacenti. Debbono essere considerate
adiacenti anche le caselle all'estremità' di una riga o di una colonna, come se la mappa fosse
disegnata su una superficie chiusa su se stessa.
Sono caselle adiacenti, ad esempio, le caselle 0 e 8, 10 e 8, 5 e 7; non lo sono invece le caselle 4 e
13, 1 e 13 etc. Le caselle inoltre sono disposte in modo tale che passando da una qualsiasi ad una
adiacente sulla stessa rigao sulla stessa colonna cambia di valore una sola variabile. Per
rappresentare una funzione Y sulla mappa basta scrivere 1 nelle caselle corrispondenti alle
combinazioni per le quali la funzione vale 1. Ad esempio alla funzione:
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corrisponde la mappa di Karnaugh
Si considerino ora le due caselle comprese nel rettangolo tratteggiato; esse corrispondono alle
combinazioni 010 e 011 delle variabili A, B, C, e quindi nell'espressione algebrica della funzione alla
somma del secondo e terzo termine che vale:
Il prodotto così ottenuto e'sopra evidenziato dal rettangolo che racchiude i due 1 adiacenti. I due
fattori che lo compongono sono dati da quelle variabili (A, B) che non cambiano di valore (0,1)
nelle due caselle del rettangolo.
Questo prodotto può essere scritto direttamente dall'osservazione della mappa, assumendo come
fattori le variabili che mantengono il loro valore, negando quelle a valore 0 e lasciando inalterate
quelle a valore 1.
Le considerazioni precedenti possono essere estese al raggruppamento delle quattro caselle
contigue dell'ultima riga ottenendo come risultato dei quattro 1 adiacenti il solo termine C. Infatti
lungo tutta la riga la sola variabile che resta costante e' la C, (che non va poi negata perché vale 1).
Poiché tutti gli 1 della mappa sono stati inclusi nei rettangoli tratteggiati, la somma dei termini
corrispondenti a detti rettangoli da' come risultato l'espressione minima della funzione:
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ESEMPIO DI SEMPLIFICAZIONE
Realizzare lo schema logico che soddisfa la seguente tabella di verità:
La forma canonica della somma vale:
e la rappresentazione della funzione sulla mappa di Karnaugh e la seguente:
Si nota che è possibile minimizzare i termini cercando di raggruppare gli uni in varie maniere.
Entrambe le espressioni sono minime. A queste espressioni corrispondono le seguenti reti
logiche.
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