Cinematica

3 Cinematica
3 Cinematica .......................................................................................................................................... 42 3.1 Introduzione. ............................................................................................................................................ 42 3.2 Moti rettilinei. .......................................................................................................................................... 44 3.3 Alcuni esempi di grafici orari. ............................................................................................................ 46 3.4 Moti rettilinei: definizione della velocità. ...................................................................................... 47 3.5 Regole di derivazione ............................................................................................................................ 53 3.6 Relazione tra la velocità vettoriale istantanea e la velocità scalare istantanea. ............... 54 3.7 Moti rettilinei: definizione dell'accelerazione. ............................................................................. 55 3.8 Moti rettilinei: il problema del moto. ............................................................................................... 58 3.9 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (definizione dell’integrale). ............... 60 3.10 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (metodo alternativo più veloce) .... 63 3.11 Le soluzioni dell’equazione differenziale. Il problema delle condizioni iniziali ............ 65 3.12 L’integrale definito .............................................................................................................................. 65 3.13 Moto rettilineo uniforme. .................................................................................................................. 68 3.14 Moto rettilineo uniformemente accelerato. ................................................................................ 68 3.15 Velocità in funzione della posizione .............................................................................................. 71 3.16 Moto dei corpi in caduta libera. ....................................................................................................... 72 3.17 Moto smorzato ....................................................................................................................................... 75 3.18 Moto armonico ...................................................................................................................................... 81 3.19 Moto in due e tre dimensioni. Legge oraria. ................................................................................ 87 3.20 Moto nel piano: la velocità angolare. ............................................................................................. 87 3.21 Moto in due dimensioni: definizione del vettore velocità. ..................................................... 89 3.22 Rappresentazione della velocità riferita alla traiettoria ........................................................ 92 3.23 Rappresentazione cartesiana della velocità. .............................................................................. 92 3.24 Rappresentazione polare della velocità. ...................................................................................... 93 3.25 Moto in due (tre) dimensioni: definizione del vettore accelerazione. ............................... 96 3.26 Moto armonico e moto circolare uniforme ................................................................................ 102 3.27 Moto in tre dimensioni: il problema del moto. ......................................................................... 104 3.28 Moto del proiettile. ............................................................................................................................ 105 3.29 Moti relativi. ......................................................................................................................................... 108 3.1 Introduzione.
La cinematica, fornisce una descrizione del moto in termini delle grandezze caratteristiche del moto
stesso: la lunghezza, il tempo e le grandezze derivate da queste, cioè la velocità e l'accelerazione. La
cinematica, quindi, determina le relazioni tra queste grandezze.
La dinamica completa la descrizione del moto facendolo derivare dalle cause che lo hanno prodotto:
le forze.
Per descrivere il moto di un corpo, bisogna essere in grado di descrivere come varia la sua posizione
in funzione del tempo. Abbiamo già visto che la posizione di un corpo può essere specificata
introducendo un sistema di riferimento(*), per esempio una terna cartesiana.
La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento in cui viene studiato.
Consideriamo il moto di una persona che, rispetto ad un sistema di riferimento solidale con la
stanza in cui si trova, percorre un tratto di 5 m in 2 s. In un sistema di riferimento solidale con se
stesso, invece la persona non si è mossa per niente. In un sistema di riferimento con origine nel
centro della terra e assi invariabilmente orientati rispetto alle stelle fisse, la persona si è invece
spostata di circa 1 Km a causa del moto di rotazione della terra su se stessa. Si è spostata di una
(*) Il sistema di riferimento sarà spesso indicato nel seguito anche con il termine osservatore.
distanza ancora maggiore in un sistema di riferimento con origine nel centro del sole ed assi
invariabilmente orientati rispetto alle stelle fisse perché trascinato dalla terra nel suo moto di
rivoluzione attorno al sole. E, infine, se si scegliesse come riferimento una terna con origine nel
centro della Via Lattea e assi invariabilmente orientati rispetto alle galassie lontane, bisognerebbe
tenere conto anche del moto di tutto il sistema solare all'interno della Via Lattea. E così via.
Quale sistema di riferimento conviene scegliere per descrivere il moto?
• Quello in cui la descrizione del moto è la più semplice possibile, quello in cui si riescono ad
evidenziare meglio quegli aspetti del moto che maggiormente ci interessano.
Per un moto che avviene nel Laboratorio1, un sistema di riferimento solidale con il Laboratorio è
più che sufficiente. Per descrivere il moto della luna o dei satelliti artificiali attorno alla terra, si può
prendere un riferimento solidale con la Terra e con gli assi invariabilmente orientati rispetto alle
stelle fisse. Per descrivere il moto della Terra, o dei pianeti intorno al sole, va meglio un sistema di
riferimento solidale con il Sole2. Per descrivere un moto che avviene all'interno di un treno che si
muove con una certa velocità rispetto al suolo, si può usare un sistema di riferimento legato al treno.
Dal punto di vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti tra di loro, quello che
cambia scegliendo l'uno o l'altro, è che la descrizione del moto diventa più o meno complessa.
Questo vale per esempio per la descrizione del moto dei pianeti nel sistema geocentrico o
eliocentrico. Vedremo poi in dinamica che si può selezionare una classe di sistemi di riferimento in
cui le leggi della dinamica sono valide.
Con l'introduzione di un sistema di riferimento si può specificare la posizione di un corpo. Per
descriverne il moto, è necessario anche un orologio che scandisca il tempo e quindi permetta di
mettere in corrispondenza la posizione occupata dal corpo e l'istante di tempo in cui ciò accade. In
conclusione, per poter descrivere un moto, è necessario un sistema di riferimento e un orologio che
inizi a misurare il tempo a partire da un istante arbitrario, assunto come l'istante iniziale (t=0).
Cominceremo a studiare il moto dei corpi che possono essere localizzati specificando soltanto la
posizione di un punto, studieremo cioè il moto del punto materiale, un punto geometrico dotato di
massa.
Questa naturalmente è un'astrazione, serve per semplificare il problema: i corpi presenti in natura in
generale non sono puntiformi ma hanno delle strutture molto complesse: sono fatti di atomi e
molecole. A loro volta gli atomi sono fatti di protoni e neutroni confinati nel nucleo dell’atomo e di
elettroni che si spostano in tutto il volume atomico. Anche i componenti elementari dell’atomo, i
protoni ed i neutroni, si comportano come strutture complesse fatte a loro volta di quark; al
momento attuale solo gli elettroni e i quark mostrano una struttura semplice, puntiforme.
E’ giustificato rappresentare un corpo materiale mediante un punto?
Se siamo interessati al “moto di insieme” degli oggetti e non alla descrizione dettagliata del moto
di ogni loro parte, allora l’approssimazione del punto materiale è una buona approssimazione: così
se vogliamo descrivere il moto di una automobile che si sposta tra due città o di una nave che si
sposta tra due porti possiamo rappresentare questi oggetti come dei punti materiali. Ovviamente in
questo modo si rinuncia alla descrizione della rotazione delle ruote, del moto alternativo dei pistoni
nel motore, alla rotazione delle eliche, etc.
Anche corpi di grandi dimensioni come la terra possono essere rappresentati come un punto
materiale. Nello studio del moto della Terra intorno al Sole, dato che le dimensioni della Terra sono
molto più piccole rispetto alla distanza Terra-Sole, la Terra può essere pensata come un punto
1 Per Laboratorio si intende la stanza in cui si effettua la osservazione del moto.
2 Si noti che per molti anni, fino a Copernico, per la descrizione del:moto dei pianeti è stato usato un sistema di
riferimento solidale con la Terra (geocentrico).
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
43
materiale (RT = 6.4 106 m, distanza Terra-Sole = 1 UA = 1.5 1011 m). Ovviamente con questa
semplificazione si perderanno molti dettagli del moto terrestre, per esempio non riusciremo a
descrivere quei moti che dipendono proprio dalla estensione della terra, come per esempio la
rotazione attorno all’asse terrestre, il moto di precessione dell’asse terrestre e le variazioni delle
dimensioni della terra (fenomeno delle maree): infatti un punto materiale, proprio perché non ha
dimensioni, non può essere dotato di questi tipi di moto.
Il fatto che si possano approssimare corpi complessi con un punto materiale ha comunque un
fondamento teorico. Quando studieremo il moto dei “sistemi di punti materiali” faremo vedere
infatti che, dato un qualunque corpo, esiste un suo punto caratteristico, denominato Centro di
Massa: il moto del corpo, comunque complesso, può essere sempre scomposto nel moto del centro
di massa, che descrive il “moto di insieme” del corpo stesso, più il moto delle varie parti del corpo
rispetto al centro di massa. Ne risulta che se il corpo è rigido, le varie parti che costituiscono il
corpo non si muovono l’una rispetto all’altra ( si pensi ad un corpo solido), e se il suo moto è di
pura traslazione, cioè tutte le parti del corpo si muovono allo stesso modo, con la stessa velocità, il
moto del Centro di Massa è sufficiente da solo a descrivere completamente il moto dell’intero corpo
rigido.
3.2 Moti rettilinei.
Per semplificare ulteriormente il problema, cominceremo lo studio del moto dei corpi con lo studio
del moto rettilineo. La traiettoria, che è il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale, è in
questo caso una retta. Esistono diversi esempi di moti rettilinei: il moto di caduta di un corpo
abbandonato con velocità nulla da una certa altezza sulla superficie terrestre, il moto di
un’automobile su un tratto di strada rettilineo, il moto dell’ascensore, il moto oscillatorio di un
grave appeso ad un soffitto mediante una molla, etc.
Per descrivere la posizione del punto materiale durante il suo moto è sufficiente introdurre un
riferimento unidimensionale lungo la traiettoria rettilinea: occorre cioè fissare sulla traiettoria il
verso positivo e l'origine del sistema di riferimento (chiameremo "asse x" l'asse orientato così
definito).
Poi, con l'ausilio di un orologio che comincia a misurare il tempo dall'istante in cui inizia
l'osservazione del moto, mettiamo in corrispondenza la posizione occupata dal punto materiale
lungo la traiettoria con l'istante di tempo in cui tale posizione viene occupata. Definiamo cioè la
posizione del punto materiale in funzione del tempo x = x(t).
x (m)
1,00
0,99
0,98
0,95
0,91
0,86
0,80
0,73
0,65
0,56
0,46
0,34
0,22
0,08
1,20
1,00
Grafico orario
1,00
x (m)
0,80
0,80
0,60
0,60
x (m)
t (s)
0,00
0,03
0,07
0,10
0,13
0,17
0,20
0,23
0,27
0,30
0,33
0,37
0,40
0,43
Tabella 1
0,40
0,20
0,00
0,40
0,20
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60 t (s)
La posizione del punto materiale che si muove sulla traiettoria rettilinea in funzione del tempo,
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44
x=x(t) potrà essere rappresentata o mediante una espressione analitica:
1
x = 1,0 − 9, 81t 2
2
t in s
una
Grafico orario
Nel grafico orario si riporta sull'asse delle ascisse il
tempo t, mentre sull'asse delle ordinate la
posizione del punto materiale. (Poiché il tempo
non è una lunghezza, per rappresentare il tempo
sull'asse delle ascisse occorre definire una scala,
per esempio 1 cm = 0,1 s. D'altra parte spesso
anche la posizione, sebbene sia una lunghezza,
viene rappresentata mediante una scala: per
esempio 1 cm = 0.2 m).
1,00
0,80
x (m)
detta legge oraria, oppure mediante
rappresentazione grafica, il grafico orario.
x in m
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60 t (s)
Nel grafico precedente è riportata la posizione del punto materiale agli istanti di tempo riportati
nella Tab. 1. E' facile immaginare che misurando la posizione del punto materiale ad intervalli di
tempo sempre più piccoli si riesca a conoscere la posizione del punto materiale ad ogni istante di
tempo. In realtà, una volta determinati un certo numero di punti, si interpolano i punti misurati con
una curva continua: l'esperienza mostra infatti che un punto materiale per spostarsi da una posizione
ad un altra deve occupare tutte le posizioni intermedie, non è mai stato verificato sperimentalmente
che un corpo sia sparito da una posizione e riapparso allo stesso istante in un'altra posizione ad una
distanza finita della prima. La posizione è una vera funzione del tempo, nel senso che a ciascun
istante di tempo è associata una ed una sola posizione: in nessun caso è stato osservato
sperimentalmente che un corpo occupi due posizioni diverse allo stesso tempo (ubiquità).
Se si conosce la legge oraria, o il grafico orario, è facile determinare la posizione in cui si trovava il
punto materiale ad un particolare istante di tempo (per esempio, nel nostro caso al tempo t = 0.2 s).
Legge oraria
Se si conosce la legge oraria basta sostituire il valore del tempo nella espressione analitica e
calcolare la posizione:
1
x in m
x = 1.0 − 9,81t 2
2
t in s
1
1
2
x = 1,0 − 9, 81× 0, 2 = 1.0 − 9,81 × 0, 04 = 1,0 − 0,196 = 0, 803 (m)
2
2
Grafico orario
1,00
0,80
x (m)
Grafico orario
Dal punto sull'asse delle ascisse
corrispondente a 0,2 s, si manda la
parallela all'asse delle ordinate fino ad
intersecare la curva che rappresenta il
grafico orario. Dal punto di
intersezione si manda la parallela
all'asse delle ascisse fino ad intersecare
l'asse delle ordinate e si determina la
posizione di quest'ultimo punto
sull'asse delle ordinate.
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00
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0,20
0,40
0,60 t (s)
45
3.3 Alcuni esempi di grafici orari.
3.3.1 Punto materiale fermo.
Un punto materiale fermo occupa sempre la stessa posizione: se si va a misurare tale posizione ad
1,20
1,20
x (m)
1,00
0,80
0,80
x (m)
1,00
0,60
0,60
0,40
0,40
0,20
0,20
0,00
0,00
0,00
5,00
10,00
15,00 t (s)
intervalli regolari di tempo, si troverà sempre lo stesso valore. Il grafico orario è costituito da una
retta parallela all'asse delle ascisse, la cui pendenza è nulla. Si noti che anche la velocità del punto
materiale è nulla. La legge oraria sarà quindi:
x = xo
dove xo rappresenta la posizione costante del punto materiale.
Punto materiale in moto con velocità costante.
1,20
1,20
x (m)
1,00
1,00
0,80
0,80
0,60
x (m)
3.3.2
tan g α =
0,60
0,40
0,40
0,20
0,20
0,00
0,00
0,00
Δx
Δt
Δx
Δt
5,00
10,00
15,00
t (s)
Poiché la velocità è costante, il punto materiale percorrerà tratti uguali in intervalli di tempo uguali
(Δx = vΔt).
Il grafico orario sarà rappresentato da una retta inclinata. Maggiore è la velocità del punto materiale,
tanto più grande sarà la pendenza della retta nel grafico orario. D'altra parte la pendenza della retta è
proprio uguale alla velocità del punto materiale. Infatti
Δx
pendenza = tan gα =
=v
Δt
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46
La legge oraria, corrispondente all'equazione della retta nel grafico orario) sarà data da:
x(t) = x o + vt
dove xo è la posizione del punto materiale al tempo t = 0.
posizione
3.3.3 Moto di un automobile su di un tratto rettilineo.
Inizialmente l'automobile si trova in A ferma. Il grafico orario è una retta parallela all'asse delle
ascisse. All'istante t1 l'automobile
viene messa in moto e comincia ad
Moto di una automobile su un tratto rettilineo
acquistare velocità come si deduce
dalla pendenza variabile del grafico
orario. La pendenza del grafico
continua ad aumentare fino all'istante
di tempo t2, il che vuol dire che la
velocità dell'automobile continua ad
aumentare
fino
all'istante
t2 .
Successivamente il grafico orario ha
una pendenza costante e quindi
l'automobile percorre un tratto di
strada a velocità costante. All'istante
di tempo t3, l'automobile giunta nei
pressi della sua destinazione finale
comincia a rallentare: si può notare
che la pendenza del grafico
tempo
diminuisce fino a ridursi a zero
all'istante di tempo t4 in cui
l'automobile si ferma nella posizione B. Dopo t4 l'automobile resta ferma nella posizione B (tratto
orizzontale del grafico).
3.4 Moti rettilinei: definizione della velocità.
Supponiamo di conoscere l'equazione oraria del moto e che la dipendenza della posizione x dal
tempo sia del tipo
2
x = xo + vot + ½aot
dove xo è la posizione del punto materiale all'istante di tempo t=0 (supponiamo valga 7.2 m), vo e ao
sono delle costanti il cui significato apparirà più chiaro una volta completato lo studio del presente e
-1
del prossimo paragrafo. Le dimensioni di vo sono [LT ], pertanto nel Sistema Internazionale le unità
-2
di misura saranno m/s, mentre le dimensioni di ao sono [LT ] e le sue unità di misura saranno m/s2.
Supponiamo infine che i rispettivi valori numerici siano vo = 11.4 m/s e ao = -5.0 m/s2.
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47
x (m)
Grafico Orario
25
20
15
10
5
0
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
L'equazione oraria diventa pertanto:
x = 7.2 + 11.4 t - 2.5 t2
(x in m quando t è in s)
Questa funzione (cioè la dipendenza della posizione dal tempo) può essere rappresentata in un
grafico. Riportiamo sull'asse delle ascisse il tempo e sull'asse delle ordinate la posizione del punto
materiale. (Per poter rappresentare il tempo come una lunghezza sull'asse delle ascisse, dobbiamo
introdurre un coefficiente di proporzionalità, per cui per esempio 1 cm corrisponde a 1 s).
La curva disegnata, che rappresenta la funzione x(t) = 7.2 + 11.4 t - 2.5 t2, mette in relazione
l'istante di tempo con la posizione occupata sulla traiettoria rettilinea dal punto materiale.
Supponiamo di voler conoscere la posizione del punto materiale all'istante di tempo t1. Si manda per
t1 la parallela all'asse delle ordinate fino ad intersecare la curva nel punto 1; si proietta questo punto
sull'asse delle ordinate, ottenendo così la posizione, x1, occupata dal punto materiale all'istante di
tempo t1. In maniera analoga si può ricavare la posizione, x2, occupata dal punto materiale ad un
istante successivo t2.
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48
Si definisce spostamento del
punto materiale nell'intervallo di
tempo Δt = t2 - t1 sulla traiettoria
rettilinea, che abbiamo chiamato
asse x, la quantità:
Grafico Orario
x (m)
25
20
x2
15
x1
Δx = x2 - x1
2
Si osservi che lo spostamento non
ha niente a che vedere con il
“percorso effettuato ” dal punto
materiale nell'intervallo di tempo
Δt. Facendo riferimento alla
figura si vede che il cammino
percorso è dato dalla lunghezza
del segmento che va da x1 a
xmassimo più la lunghezza del
segmento per andare da xmassimo a
x1.
Δx
1
Δt
10
5
percorso effettuato = x max − x1 + xmax − x 2
0
t1 1
0
3 t2
2
4
t (s) 5
Se il punto materiale alla fine dell'intervallo Δt è tornato nella posizione di partenza, allora lo
spostamento è nullo, mentre non lo è il cammino percorso.
Si osservi infine che lo spostamento
Δx altro non è che la componente x
del vettore spostamento. Per altro
essendo il moto lungo l’asse x, lo
spostamento ha solo la componente x.
Grafico Orario
x (m)
25
20
x2
2
15
x1
Definizione della velocità vettoriale
media
Si definisce velocità (vettoriale)
media
del
punto
materiale
nell'intervallo di tempo Δt il rapporto
tra lo spostamento Δx subito dal punto
materiale
e
il
corrispondente
intervallo di tempo Δt.
Δx
1
Δt
tan α =
10
Δx
Δt
vm =
Δx x 2 − x 1
=
Δt
t 2 − t1
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
La velocità
tempo Δt =
coefficiente
passa per i
orario.
media nell'intervallo di
t2 - t1 altro non è che il
angolare della retta che
punti 1 e 2 del grafico
Poiché il moto del punto materiale avviene lungo l'asse x, indicheremo la velocità media con vxm (Il
pedice x indica anche che vxm è la componente x del vettore velocità. Nel paragrafo XX in cui verrà
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49
data la definizione del vettore velocità, mostreremo che la precedente definizione di velocità media
fornisce appunto la componente x del vettore velocità media). Pertanto:
Δx x 2 − x 1
v xm =
=
Δt
t 2 − t1
Se vxm è maggiore di zero (vxm > 0) allora x2 è maggiore di x1, ed il moto avviene nella direzione
positiva dell'asse delle x, se vxm à minore di zero (vxm < 0) allora x2 è minore di x1, ed il moto
avviene nella direzione negativa dell'asse delle x.
Definizione della velocità
scalare media
Si definisce invece velocità
scalare media nell’intervallo
Δt, il rapporto tra il percorso
effettuato e l’intervallo di
tempo impiegato.
v sm
percorso effettuato
=
Δt
La velocità scalare media in
generale è diversa dalla
velocità media: innanzitutto
essa e sempre positiva,
mentre la velocità media può
essere positiva o negativa a
seconda se il moto avviene
nel verso positivo dell’asse x
o in quello opposto. In
secondo luogo abbiamo fatto
vedere che il “percorso
effettuato” può essere diverso
dal modulo dello spostamento.
Grafico Orario
x (m)
25
x3
20
2
x2
x'3
15
x1
Δx
1
Δt
tan α =
10
Δx
Δt
5
0
0
t1 1
t3
2
3 t2
4
t (s) 5
Supponiamo ora che il punto materiale si muova, nell'intervallo di tempo tra t1 e t2, con velocità
costante pari alla velocità media appena calcolata. Allora il suo grafico orario in tale intervallo di
tempo sarà rappresentato dal segmento rettilineo tra i punti 1 e 2 del grafico. La corrispondente
legge oraria per t compreso tra t1 e t2, sarà data da:
x(t) = x1 + vxm (t − t1 ) = x1 +
x2 − x1
(t − t1 ) t
t2 − t1
c om preso tra t1 e t2
Come si vede dal grafico orario e della legge oraria, si riesce a predire con accuratezza la posizione
del punto materiale agli istanti t1 e t2, gli estremi dell'intervallo di tempo, ma la previsione fallisce
miseramente per gli istanti di tempo intermedi. La velocità media non fornisce una buona
descrizione del moto.
Delle previsioni più accurate si riescono a fare se si suddivide l'intervallo di tempo tra t1 e t2 in
intervalli più piccoli e in ciascuno di essi si calcola la velocità media, poi si sostituisce il moto
originario con tratti di moto a velocità costante pari alla velocità media calcolata in quell'intervallo
di tempo. Il grafico orario tra t1 e t2 diventa, in questo caso, la linea spezzata mostrata in figura.
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50
Dal grafico precedente si intuisce che la descrizione del moto sarà tanto più accurata quanto più
grande è il numero degli
Grafico Orario
x (m)
intervalli in cui si suddivide
25
l'intervallo tra t1 e t2, cioè quanto
più si riduce l'intervallo di tempo
in cui si calcola la velocità
media.
Per
ottenere
la
20 x3
descrizione
più
accurata
2
x2 x'3
possibile del moto occorrerebbe
ridurre a zero l'ampiezza
15
Δx
dell'intervallo di tempo in cui
Δt
1
calcolare la velocità media, in
x1
maniera da determinare il valore
della velocità ad un ben preciso
10
Δt/
Δt/
Δt/
istante di tempo: velocità
3
3
3
istantanea.
Naturalmente,
se
si
fa
riferimento alla definizione di
5
velocità media, si vede che non
ha senso parlare di velocità
media calcolata su un intervallo
0
di tempo di ampiezza nulla. Noi
t (s) 5
t1 1
0
2
3 t2
4
riusciamo ad attribuire al punto
materiale il valore della velocità posseduta ad ogni istante di tempo, o, in maniera equivalente
assegnare ad ogni posizione occupata dal punto materiale il valore della sua velocità in quella
posizione,
utilizzando
un Δx
Δx
in funzione di Δt
procedimento di passaggio al Δt (m/s)
Δt
limite.
10
Si parla quindi non più di
x ( t1 + Δt ) − x ( t1 )
v x( t1 ) = limΔt → 0
velocità media, ma di velocità
Δt
8
istantanea, cioè la velocità
posseduta dal punto materiale ad
6
ogni istante di tempo, oppure in
ciascuna posizione lungo la
4
traiettoria rettilinea.
Supponiamo quindi di voler
2
calcolare la velocità istantanea
all'istante di tempo t1, o,
0
equivalentemente nella posizione
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x(t1). Si procede nel seguente
modo: Si considera un intervallo
-2
Δt (s)
di tempo Δt (>0, maggiore di
-4
zero), sia x(t1+ Δt) la posizione
occupata dal punto materiale
all'istante di tempo (t1+ Δt).
La velocità media nell'intervallo Δt sarà data da:
v xm =
Δx x(t 1 + Δt )− x(t 1 )
=
Δt
Δt
.
Definizione della velocità istantanea (vettoriale)
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51
Grafico Orario
x (m)
25
20
2
x(t1+Δt)
15
Δx
x(t1)
Δt
1
10
v x ( t1) =
x ( t1 + Δt ) − x (t1 )
dx( t)
= lim Δt →0
dt t1
Δt
5
0
0
t1 1
2
3 t1+Δt
4
t (s) 5
Si definisce velocità istantanea all'istante di tempo t1 il limite del rapporto incrementale:
v x (t 1 ) = lim Δt → 0
x(t 1 + Δt ) − x (t 1 )
Δt
x( t1 + Δt ) − x( t1 )
si chiama infatti rapporto incrementale.
Δt
Dall'analisi matematica sappiamo che il limite del rapporto incrementale è uguale alla derivata,
rispetto al tempo, della funzione x(t) calcolata all'istante di tempo t1.
Il rapporto
v x (t 1 ) =
lim Δt → 0
x( t1+ Δt ) − x( t1) dx(t)
=
Δt
dt t = t
1
Dal grafico orario si può vedere che al tendere di Δt a 0, il punto 2 tende al punto 1. Per cui la
velocità istantanea, all'istante di tempo t1, corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al
grafico nel punto 1.
Nell'esempio che stiamo facendo, conoscendo l'espressione analitica della funzione rappresentata
nel grafico, possiamo calcolare esplicitamente la velocità istantanea all'istante di tempo t1.
x(t1 + Δt) − x(t1 )
=
Δt
$% xo + vo (t1 + Δt) + 12 ao (t1 + Δt)2 &' − $% xo + vo (t1 ) + 12 ao (t1 )2 &'
vx (t1 ) = lim Δt→0
lim Δt→0
lim Δt→0
=
Δt
#$ xo + vot1 + vo Δt + 12 ao (t1 )2 + aot1Δt + 12 ao (Δt)2 %& − #$ xo + vo (t1 ) + 12 ao (t1 )2 %&
Δt
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=
52
$% xo + vot1 + vo Δt + 12 ao (t1 )2 + aot1Δt + 12 ao (Δt)2 − xo − vo (t1 ) − 12 ao (t1 )2 &'
lim Δt→0
=
Δt
$%vo Δt + aot1Δt + 12 ao (Δt)2 &'
lim Δt→0
= lim Δt→0 [ vo + aot1 + 12 ao (Δt)] = vo + aot1
Δt
Possiamo concludere che la velocità all'istante di tempo t1 è
v x (t 1 ) = vo + a o t 1
che è anche il coefficiente
angolare della tangente al
grafico nel punto 1.
Grafico Orario
x (m)
25
20
L'istante di tempo t1 è stato
scelto in maniera arbitraria, il
risultato del limite del rapporto
incrementale sarà sempre lo
stesso qualunque sia l'istante t1
fissato. Così possiamo affermare
che il valore della velocità
istantanea a qualunque istante di
tempo t è dato da:
v x (t) = vo + a o t = 11.4 − 5.0t
2
x(t1+Δt)
15
Δx
x(t1)
Δt
1
10
v x ( t1) =
x ( t1 + Δt ) − x (t1 )
dx( t)
= lim Δt →0
dt t1
Δt
5
da cui si vede anche che vo è la
velocità del punto materiale
all'istante t=0.
0
0
t1 1
2
3 t1+Δt
4
t (s) 5
3.5 Regole di derivazione
Se si conosce la legge oraria, per conoscere la velocità in funzione del tempo è sufficiente fare la
derivata rispetto al tempo della posizione applicando le regole studiate in analisi per determinare la
derivata di una funzione.
3.5.1 Derivata di una funzione constante
La derivata di una funzione dà un’idea di come varia la funzione stessa. Una funzione costante, che
non varia ha una derivata nulla. Si pensi ad un oggetto fermo, che non varia la sua posizione, la sua
velocità è nulla.
f (t) = k = costante ⇒
df (t) dk
=
=0
dt
dt
3.5.2 La derivata di una somma di funzioni
La derivata di una somma di funzioni è pari alla somma delle derivate.
dF(t) d ( f (t) + g(t)) df (t) dg(t)
F(t) = f (t) + g(t) ⇒
=
=
+
dt
dt
dt
dt
3.5.3 La derivata di un prodotto di due funzioni
La derivata del prodotto di funzioni è uguale alla derivata della prima per la seconda funzione più la
prima funzione per la derivata della seconda.
dF(t) df (t)
dg(t)
F(t) = f (t)g(t) ⇒
=
g(t) + f (t)
dt
dt
dt
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53
3.5.4 La derivata di una costante per una funzione
La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante per la derivata della funzione.
dF(t) dk
df (t)
df (t)
F(t) = kf (t) ⇒
=
f (t) + k
=k
dt
dt
dt
dt
!
=0
3.5.5 La derivata del rapporto di due funzioni
La derivata del rapporto di due funzioni è uguale alla derivata del numeratore per il denominatore
meno il numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso per il denominatore al quadrato
df (t)
dg(t)
g(t) − f (t)
f (t)
dF(t)
dt
F(t) =
⇒
= dt
g(t)
dt
g 2 (t)
3.5.6 La derivata di una funzione di funzione.
A volte ci sono funzioni che dipendono da una variabile attraverso una seconda funzione. Per
esempio consideriamo la seguente legge oraria:
x(t) = A cos(ω t + ϕ )
Che si può immaginare in questo modo: la funzione coseno è funzione dell’angolo θ che varia nel
tempo secondo la legge θ=ωt+ϕ.
x(t) = A cos(θ ) con θ = ω t + ϕ
Per calcola la derivata di una funzione di funzione si può operare in questo modo: si moltiplica e si
divide per il rapporto del differenziale della variabile intermedia:
dF(t) df (g(t)) df (g(t)) dg df (g) dg
F(t) = f (g(t)) ⇒
=
=
=
dt
dt
dt dg
dg dt
Nel caso della funzione coseno:
x(t) = A cos(ω t + ϕ )
dx d ( A cos(ω t + ϕ ))
d cos(ω t + ϕ )
d cos(θ ) dθ
d(ω t + ϕ )
=
= !
A
=A
= A (−sen(θ ))
= −Aω sen(ω t + ϕ )
dt
dt
dt
dt dθ
dθ
costante
3.5.7
La derivata di alcune funzioni più comuni:
df (t) dt m
f (t) = t m con m reale ⇒
=
= mt m−1
dt
dt
df (θ ) d sin(θ )
f (θ ) = sin(θ )
⇒
=
= cos(θ )
dθ
dθ
df (θ ) d cos(θ )
f (θ ) = cos(θ )
⇒
=
= −sin(θ )
dθ
dθ
df (x) de x
f (x) = e x
⇒
=
= ex
dx
dx
df (x) d ln(x) 1
f (x) = ln(x)
⇒
=
=
dx
dx
x
3.6 Relazione tra la velocità vettoriale istantanea e la velocità scalare istantanea.
Definizione della velocità scalare istantanea
In analogia con la definizione della velocità vettoriale istantanea, la velocità scalare istantanea si
definisce come:
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54
v s (t 1) =
lim
percorso effettuato
Δt → 0
Δt
Si osservi dalla figura che, quando Δt tende a zero, il percorso effettuato in Δt diventa uguale al
valore assoluto dello spostamento. Pertanto:
v s (t 1) = lim Δt → 0
x(t1 + Δt) − x(t1 )
percorso effettuato
Δx
= lim Δt →0
= lim Δt →0
= vx ( t1 )
Δt
Δt
Δt
La velocità scalare istantanea è uguale al modulo della velocità vettoriale.
v (m/s)
3.7 Moti rettilinei: definizione dell'accelerazione.
Anche la velocità istantanea può essere rappresentata in un grafico. Riportiamo sull'asse delle
ascisse il tempo, e sull'asse delle ordinate la velocità. Siccome la velocità non è una lunghezza,
occorrerà definire anche per la velocità un coefficiente di proporzionalità: per esempio 1 tacca
corrisponde a 2 m/s.
grafico della velocità istantanea
15
10
v1
5
0
t1
0
-5
1
2
3
t2
4
t (s) 5
v2
-10
-15
Il grafico della velocità determina la corrispondenza tra l'istante di tempo e la velocità del punto
materiale in quell'istante. Nel nostro esempio il grafico della funzione è una retta, avente
coefficiente angolare ao.
Definizione dell'accelerazione media.
Come appare dal grafico, la velocità non è costante, ma varia con il tempo. Possiamo perciò
calcolarci l'accelerazione, cioè la rapidità con cui varia la velocità. Operando come abbiamo fatto
per la velocità, consideriamo l'intervallo di tempo Δt = t2 - t1. L'accelerazione media nell'intervallo
Δt si definisce come il rapporto tra la variazione di velocità subita dal punto materiale nell'intervallo
Δt = t2 - t1 e l'intervallo di tempo, ossia:
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55
Δv v 2 − v 1
=
Δt
t 2 − t1
am =
Poiché si tratta di un moto unidimensionale lungo l'asse x, possiamo aggiungere il pedice x
all'accelerazione così calcolata. Questo significa interpretare l'accelerazione come componente x del
vettore accelerazione. Come nel caso della velocità rimandiamo questa verifica al momento in cui
introdurremo l'accelerazione come vettore.
a xm =
Δv v x 2 − v x1
=
Δt
t 2 − t1
Applicando questa definizione al particolare moto che stiamo studiando otteniamo:
a xm =
v o + a o t 2 − (v o + a o t1 ) v o + a o t 2 − v o − a o t1 a o (t 2 − t1 )
=
=
= ao
t 2 − t1
t 2 − t1
t 2 − t1
Come per la velocità, anche nel caso dell’accelerazione possiamo passare all'accelerazione
istantanea per una migliore descrizione del moto.
Definizione dell'accelerazione istantanea.
L'accelerazione istantanea all'istante di tempo t1 si definisce come il limite del seguente rapporto
incrementale:
a x (t 1 ) = lim Δt →0
Δv
v (t + Δt) − vx (t1 )
= lim Δt → 0 x 1
Δt
Δt
Utilizzando la definizione di derivata, possiamo dire che l'accelerazione all'istante di tempo t1 è
uguale alla derivata della funzione vx(t) calcolata al tempo t1.
a x (t1 ) =
dv x ( t )
dt
t = t1
Grafico dell'accelerazione istantanea
Applicando questa definizione al
particolare moto che stiamo
studiando otteniamo:
0
t1
0
-1
a x (t 1 ) = lim Δt →0
1
2
3
t2
Serie3
4
5
v o + a o (t 1 + Δt) − vo − a o (t 1 )
a Δt
= lim Δ t→ 0 o = lim Δt →0a o = a o
Δt
Δt
-2
L'accelerazione
istantanea
all'istante di tempo t1 è uguale
all'accelerazione
media
nell'intervallo di tempo Δt = t2 t1, questo perché l'accelerazione è
costante durante il moto. Infatti,
poiché l'istante di tempo t1 è stato
scelto
arbitrariamente,
l'accelerazione ad un generico
A
c
c
el
r
a
zi
o
n
e
(
m
/s
^
2)
-3
-4
-5
ao
-6
-7
-8
-9
-10
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t(s)
56
istante di tempo si potrà scrivere come:
a x (t) =
dv x ( t )
dt
Nel nostro caso:
a x (t) =
dv x ( t )
= ao .
dt
Ovviamente anche l'accelerazione può essere rappresentata in un grafico. Essendo costante,
l'accelerazione è rappresentata da una retta parallela all'asse delle ascisse, che interseca l'asse delle
ordinate alla coordinata ao.
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57
3.8 Moti rettilinei: il problema del moto.
Nel dare la definizione della velocità istantanea e dell'accelerazione abbiamo supposto nota la legge
oraria (posizione in funzione del tempo) o la dipendenza della velocità dal tempo e quindi abbiamo
ricavato rispettivamente la velocità e l’accelerazione.
Supponiamo ora di conoscere l'accelerazione subita dal punto materiale P durante il suo
moto, di conoscere cioè l’accelerazione ad ogni istante di tempo, o in altri termini
l’accelerazione come funzione del tempo, siamo in grado di risalire alla sua legge oraria?
Possiamo riscrivere la definizione dell'accelerazione avendo cura di mettere a sinistra le quantità
incognite e a destra le quantità note, otteniamo:
dv x
= ax
dt
e poi passando allo spostamento:
dx
= vx
dt
Combinando le due, otteniamo la relazione tra l'accelerazione e lo spostamento.
d2x
= ax
dt 2
Allora risolvere il problema del moto significa risolvere l'equazione precedente. Poiché vi
compaiono le derivate, l'equazione si dice differenziale. In particolare è differenziale del
second'ordine perché vi compare la derivata seconda.
Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale?
Risolvere una equazione differenziale del tipo:
d 2 x( t )
= a x (t)
dt 2
significa ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo
x(t)
quelle che derivate due volte rispetto al tempo diano proprio la funzione accelerazione:
ax(t)
In analisi si dimostra che esistono infinito alla 2 soluzioni dell'equazione differenziale del secondo
ordine. Infatti se x1(t) è una soluzione dell'equazione differenziale, anche la funzione:
x( t ) = k 1 + k 2 t + x 1 ( t )
con k1 e k2 costanti, è soluzione della stessa equazione differenziale.
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58
d 2 x1 ( t)
= a x (t)
dt 2
dx ( t )
dx( t )
= k2 + 1
dt
dt
perchè
soluzione
d 2 x( t ) d 2 x 1 ( t )
=
= a x (t)
dt 2
dt 2
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59
3.9 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (definizione dell’integrale).
Cominciamo col supporre di conoscere l'andamento della velocità istantanea vx in funzione del
tempo, supponiamo per esempio che l'andamento sia quello mostrato nel grafico.
v (m/s)
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
14 t (s)
12
Per determinare la legge oraria del moto dobbiamo risolvere l'equazione differenziale:
dx(t)
= v x (t)
dt
Proviamo a calcolare lo spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo [0,t*] a
partire dall'istante iniziale t=0.
Se conoscessimo la velocità vettoriale media nell’intervallo [0,t*], lo spostamento subito potrebbe
essere calcolato attraverso la seguente espressione:
Δx = vm Δt ⇒
Purtroppo noi, pur
conoscendo la velocità v (m/s)
ad ogni istante di
24
tempo, non sappiamo
ancora calcolare la
20
velocità
media.
Sappiamo solo che la
velocità
media
è
16
compresa
tra
la
velocità massima e la
12
minima nell’intervallo
di tempo [0,t*].
8
Se però riduciamo
l’ampiezza
dell’intervallo [0,t*],
4
allora la differenza tra
il massimo ed il
0
minimo della velocità
0
nell’intervallo scelto
!
$
x (t *) − xo = vm ## t * −to && ⇒
!
"
=0 %
x (t *) = xo + vm t *
t*
2
4
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6
8
10
14 t (s)
12
60
diventa sempre più piccolo. Per l’ampiezza dell’intervallo che tende a zero tale differenza diventa
zero. Pertanto se l’ampiezza dell’intervallo tende a zero, la velocità media risulta essere uguale alla
velocità massima che però è anche uguale a quella minima nello stesso intervallo.
La strategia per calcolare lo spostamento subito dal punto materiale nell’intervallo [0,t*], è quello di
suddividere l’intero intervallo di osservazione in intervallini molto piccoli, infinitesimi, in maniera
da ridurre a zero la differenza tra il massimo e il minimo della velocità in ciascuno degli
intervallini, stimare lo spostamento in ciascun intervallino, sommare tutti gli spostamenti su tutti gli
intervallini di tempo in cui era stato suddiviso l’intervallo [0,t*] .
Dividiamo dunque l'intervallo [0,t*] in n intervalli ciascuno di ampiezza Δt. Abbiamo così definito
n+1 istanti di tempo:
0
to + Δt
t1 = to + Δt
t2 = to + 2Δt
…
ti = to + iΔt
…
tn = to+ nΔt = t*
Lo spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo Δt, tra ti-1 e ti, sarà dato da:
Δx i = vxm,i Δt
dove abbiamo indicato con vxm,i la velocità media del punto materiale nell'i-esimo intervallo di
tempo, cioè tra ti-1 e ti. Ovviamente lo spostamento complessivo nell'intervallo di tempo tra 0 e t*, si
ottiene sommando su tutti gli intervalli di tempo.
Se xo è la posizione della particella all'istante di tempo t=0, possiamo scrivere:
n
n
x(t*) − xo = ∑ Δxi = ∑ vxm,i Δt
i=1
i=1
Noi però non conosciamo la velocità media vxm,i in ciascuno degli n intervalli di tempo [1],
sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione
vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti.
Possiamo fornire una stima della velocità media vxm,i ponendola uguale al valore assunto dalla
funzione vx(t) nell'estremo iniziale dell'intervallo ti-1 e ti, cioè vxm,i ~ vx(ti-1)[2]. Di conseguenza
[1] In generale la velocità media nell'intervallo considerato non è uguale alla media dei valori della velocità agli estremi
dell'intervallo
vxm,i
≠
(v(ti-1) + v(ti))/2
né è uguale al valore assunto dalla velocità nel punto di mezzo dell'intervallo Dt
vxm,i
≠
v(ti-1+Δt/2)
Solo se la velocità varia linearmente nell'intervallo Dt, vale il segno di uguaglianza in entrambe le relazioni.
[2] Naturalmente la scelta di approssimare il valore medio della velocità nell'intervallo i-esimo con il valore assunto
dalla velocità istantanea all'istante iniziale dell'intervallo stesso è assolutamente arbitraria. Se per esempio si scegliesse
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61
la stima dello spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo tra ti-1 e ti sarà data
da:
Δx i = v x (t i −1 )Δt
che nel grafico è rappresentato dall'area del rettangolo di base Δt e altezza vx(ti-1). Una stima dello
spostamento complessivo subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo tra t=0 e t, si ottiene
sommando le stime parziali:
n
n
x(t*) − xo = ∑ Δxi ≈ ∑ vx (ti−1 )Δt
i=1
i=1
Questa stima dello spostamento, nel grafico, corrisponde all'area ricoperta dagli n rettangoli di
ampiezza Δt e altezza vx(ti-1).
La stima dello spostamento subito dal punto materiale è tanto migliore, quanto migliore è
l'approssimazione vxm,i ~ vx(ti-1) in ogni intervallo di tempo Δt. È abbastanza intuitivo che quanto
più piccolo è l'intervallo di tempo Δt, cioè quanto più grande è il numero n di intervalli in cui viene
diviso l'intervallo di tempo tra 0 e t, tanto più piccola è la differenza tra il valore minimo ed il valore
massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti, e, quindi, tanto migliore è
l'approssimazione vxm,i ~ vx(ti-1). Si può anzi affermare che queste due quantità coincidono nel
limite per Δt che tende a 0, o, equivalentemente, quando il numero degli intervalli, n, tende
all'infinito.
v (m/s)
24
20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
di approssimarla con il valore assunto dalla velocità istantanea nell'istante finale dell'intervallo i-esimo, tale scelta
sarebbe altrettanto valida per giungere alla definizione di integrale con la stessa identica procedura. Una scelta
particolarmente usata per le applicazioni numeriche è la seguente:
vxm,i ≈ (v(ti-1) + v(ti))/2
cosa che equivale ad approssimare l'area sotto la curva nell'intervallo i-esimo con l'area del trapezio di basi v(ti-1) e v(ti)
e altezza Δt, anziché con l'area del rettangolo di base v(ti-1) e altezza Δt.
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v (m/s)
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20
16
12
8
4
t*
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
Allora possiamo affermare che lo spostamento subito dal punto materiale nell'intervallo di tempo tra
0 e t* è dato da:
n
x(t*) − xo = lim n→∞ ∑ vx (ti−1 )Δt
i=1
Tale limite è, per definizione, l'integrale tra 0 e t* della funzione vx(t), e si scrive:
x(t*) − xo =
∫
t*
o
vx (t)dt
Si noti che in tale integrale abbiamo indicato la variabile di integrazione in corsivo per distinguerla
dal simbolo t* con cui abbiamo indicato l'estremo superiore dell'intervallo di tempo [0,t*] in cui
stiamo calcolando lo spostamento del punto materiale. Poiché l'istante t* è generico (è stato fissato
arbitrariamente), l'equazione precedente vale qualunque sia l'istante di tempo t. Pertanto l'equazione
oraria del moto del punto materiale si può scrivere in maniera formale come:
t
x(t) = x o + ∫o vx (t)dt
3.10 Risoluzione formale delle equazioni differenziali (metodo alternativo più
veloce)
Suddividiamo l’intervallo di osservazione del moto da 0 s a t* in infiniti intervallini di ampiezza dt.
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v (m/s)
24
20
16
12
8
4
t*
t t+dt
0
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
Partendo dalla definizione di velocità
dx
= vx
dt
e moltiplicando ambi i membri per dt, l’ampiezza di ciascuno intervallino di tempo3, possiamo
scrivere:
dx = vx dt
espressione che può essere interpretata in questo modo:
• In ciascuno degli infiniti intervallini dt in cui ho suddiviso l’intervallo di osservazione del
moto, lo spostamento subito dal punto materiale, dx, è dato dal prodotto della velocità del
punto materiale in quell’intervallino di tempo per l’ampiezza dell’intervallo di tempo dt.
• Nel grafico questo spostamento è rappresentata dall’area del rettangolino di base dt e altezza
vx(t).
Di queste equazioni ne possiamo scrivere infinite, una per ciascun intervallino di tempo dt.
L’eguaglianza tra primo e secondo membro continuerà a valere se sommo tutti i primi membri tra
loro e tutti i secondi membri. Sommare su infiniti termini infinitesimi significa fare l’integrale
sull’intero intervallo di osservazione del moto, tra 0 s (zero secondi) e t*.
∫
t*
0s
dx =
∫
t*
0s
vx dt
L’integrale al primo membro è proprio x(t*)-xo, con xo la posizione occupata dal punto materiale
all’istante 0 s, pertanto si arriva alla soluzione formale dellequazione differenziale già trovata:
x(t*) = xo +
∫
t*
0s
vx dt
Poiché l’istante t*, la fine dell’intervallo di osservazione del moto, è un istante scelto in modo
arbitrario, la relazione precedente vale per tutti i valori di t*, perciò potremo scriverla nella forma:
3 Si osservi che dt è infinitesimo ma sempre diverso da zero, per cui l’operazione di moltiplicare ambo i membri
dell’equazione è lecita.
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64
x(t) = xo +
∫
t
0s
vx dt
ed ottenere la posizione come funzione del tempo (legge oraria).
3.11 Le soluzioni dell’equazione differenziale. Il problema delle condizioni iniziali
L'espressione:
t
x(t) = k + ∫o v x (t)dt
dove k è una costante arbitraria, rappresenta la soluzione generale dell'equazione differenziale da
cui siamo partiti.
dx
= vx
dt
Esistono cioè "infinito alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale di primo grado, tante quante
sono le possibili scelte della costante arbitraria k. Infatti, siccome la derivata di una costante è
sempre uguale a zero, cambiando la costante additiva nell'espressione di x(t) non si cambia il valore
della derivata di x(t). Per passare dalle "infinito alla uno" soluzioni dell'equazione differenziale, alla
equazione oraria del moto bisogna fissare la costante additiva k sulla base delle condizioni iniziali.
Sapendo che all’istante iniziale il punto materiale si trova nella posizione xo (condizione iniziale),
imponendo che x(0) sia proprio uguale a xo si determina il valore della costante additiva k. Nel
nostro caso k è proprio uguale a xo.
Si dimostra in analisi che esiste una ed una sola funzione soluzione dell’equazione differenziale che
soddisfa anche le condizioni iniziali.
Nel caso di una equazione differenziale del secondo ordine le costanti da fissare sulla base delle
condizioni iniziali sono due, come vedremo nei prossimi esempi.
3.12 L’integrale definito
3.12.1 Interpretazione geometrica dell’integrale definito
Torniamo ancora alla definizione dell'integrale:
∫
t*
0
n
vx (t)dt = lim n→∞ ∑ vx (ti−1 )Δt
i=1
Osservando il grafico della funzione vx(t), vediamo che man mano che diminuiamo l'ampiezza
degli intervalli, l'area ricoperta dai rettangoli si avvicina sempre più all'area compresa tra l'asse dei
tempi e la curva vx(t) e delimitata dagli estremi dell'intervallo di tempo, 0 e t. Possiamo quindi
interpretare l'integrale
∫
t*
o
vx (t)dt
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65
può essere appunto interpretato come l'area delimitata dall'asse delle ascisse e dalla curva che
rappresenta la funzione integranda e compresa tra gli estremi dell'intervallo di integrazione. Si può
usare
questa v (m/s)
interpretazione per
24
risolvere
alcune
semplici equazioni
20
differenziali.
16
Bisogna
fare
12
attenzione,
nel
valutare
geometricamente
8
l'integrale, che le
aree vanno sommate
4
col proprio segno.
Intervalli di tempo in
cui la funzione è
0
positiva danno luogo
0
2
4
6
8
ad aree positive,
intervalli di tempo in cui la funzione è negativa danno luogo ad aree negative.
t*
10
12
14 t (s)
3.12.2 Richiamo delle regole per il calcolo dell’integrale definito
Una volta data la definizione dell’integrale attraverso l’operazione di limite, il calcolo dell’integrale
definito si basa su alcune regole specifiche basate sulle regole di derivazione. E’ un po’ come
accade per il calcolo della derivata: la definizione viene data come limite del rapporto
incrementale, ma poi per calcolare la funzione derivata di una funzione data si usano alcune regole
già richiamate al paragrafo 3.5.
Riprendendo la definizione di integrale definito data nel paragrafo 3.9-3.10 si vede che:
la sommatoria si è trasformata nel simbolo dell’integrale, una S (per somma) stilizzata,
l’intervallo Δt si è trasformato nell’intervallo infinitesimo dt,
il valore della velocità all’istante iniziale dell’intervallo Δt, nel valore della velocità
all’istante t.
• gli indici della sommatoria, i che va da 1 a n, nei limiti di integrazione.
La figura seguente mostra quali sono gli elementi di un integrale definito e il loro significato.
•
•
•
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66
Limite superiore
di integrazione
Integrale
definito
∫
f
i
Variabile di
integrazione
f
Il significato
f(t) dt
f(t)
Limite inferiore
di integrazione
Funzione
Integranda
t*
t t+dt
0
2
4
6
8
10
12
14 t (s)
3.12.2.1 Il calcolo di un integrale definito
Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), occorre ricercare una qualsiasi funzione F(t)
della variabile di integrazione t, tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione,
sia proprio uguale alla funzione integranda:
dF(t)
= f (t)
dt
La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t).
Una volta individuata una primitiva (di solito ce né più di una), il valore dell’integrale definito si
ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione primitiva nell’estremo superiore e
nell’estremo inferiore.
• In simboli:
∫
f
f
f (t)dt = [ F(t)]i = F(t f ) − F(ti )
i
3.12.2.2 Le proprietà degli integrali
L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è fatta su infiniti termini.
Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando l’ordine con cui vengono sommati i vari
termini, allora ne deduciamo che
• l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali.
•
f
f
∫ ( f (t) + g(t)) dt = ∫ ( f (t)dt + g(t)dt ) = ∫
i
i
f
i
f (t)dt +
∫
f
i
g(t)dt
Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere
messo in evidenza, così nell’integrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi
infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.
∫
f
i
f
kf (t)dt = k ∫ f (t)dt
i
Esempio: calcolo dell’integrale:
∫
f
i
dx
In questo caso:
• la variabile di integrazione è la variabile x
• la funzione integranda è la funzione costante f(x)=1
• la primitiva è F(x)=x
L’integrale diventa dunque:
∫
f
i
f
dx = [ x ]i = x f − xi = x(t * ) − xo
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67
3.13 Moto rettilineo uniforme.
E' un moto rettilineo che avviene con velocità costante, uguale alla velocità iniziale:
vx (t) = costante = vox
dove vox rappresenta appunto la velocità del punto materiale al tempo t=0 (vox = vx(0)).
v (m/s)
Nel paragrafo precedente abbiamo
visto che l'equazione oraria del
moto è data da:
t
x(t) = x o + ∫o vx (t)dt
vo
0
t
t (s)
dove xo è la posizione del punto
materiale all'istante di tempo t=0 e
l'integrale si calcola determinando
l'area delimitata dall'intervallo di
integrazione [0,t], dall'asse delle
ascisse e dalla curva che
rappresenta la velocità. Nel caso
che stiamo esaminando, cioè con
vx costante, l'area cercata è
proprio l'area del rettangolo di lati
t e vox , cioè voxt. Pertanto l'equazione oraria del moto è:
x(t) = x o + v o xt
3.14 Moto rettilineo uniformemente accelerato.
E' un moto rettilineo caratterizzato da una accelerazione costante, uguale a quella iniziale:
ax(t) = k = aox
Nel paragrafo precedente abbiamo risolto la seguente equazione differenziale
dx(t)
= vox
dt
con vox costante. Ora invece vogliamo trovare l'espressione della velocità partendo dalla
conoscenza dell'accelerazione costante, ax(t)=aox. Dobbiamo perciò risolvere la seguente equazione
differenziale:
dv x ( t )
= a ox
dt
Confrontando le due equazioni differenziali, si vede che esse sono formalmente identiche: nella
seconda vx gioca il ruolo di x e aox quello di vox. Ovviamente anche la soluzione avrà una
struttura simile.
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68
a (m/s2)
ao
t
0
t (s)
v x ( t ) = v ox + a ox t
Formalmente dunque, la soluzione all'equazione differenziale
dv x ( t )
= a x (t)
dt
si scrive come:
t
v x (t) = vo x + ∫ a x (t )dt
0
dove vox rappresenta la velocità del punto materiale all'istante di tempo t=0 e l'integrale può essere
calcolato valutando l'area compresa tra l'asse delle ascisse e la curva che rappresenta
l'accelerazione e delimitata dagli estremi dell'intervallo di integrazione.
v (m/s)
Possiamo ora fare un passo
ulteriore e determinare la
legge oraria del moto.
Riportiamo in un grafico la
velocità in funzione del
tempo.
Essa
sarà
rappresentata da una retta
che interseca l'asse delle
ordinate nel punto vox e
avente una pendenza pari ad
aox.
vo
0
t
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t (s)
Come
abbiamo
visto
precedentemente,
la
soluzione
dell'equazione
69
differenziale
dx( t )
= v x ( t ) si può scrivere come:
dt
t
x(t) = x o + ∫o vx (t)dt
L'integrale, al solito può essere valutato calcolando l'area sotto la curva della velocità che in questo
caso è l'area di un trapezio di basi vx(0)=vox e vx(t) ed altezza pari a t:
1
t
∫ v (t)dt = 2 (v
o
x
ox
+ vx (t))t =
1
1
v o x + ( vo x + a o xt ))t = v o xt + a o xt 2
(
2
2
La legge oraria del moto è dunque data da:
1
x( t ) = x o + v ox t + a ox t 2
2
Facciamo una osservazione: nell'esempio precedente per determinare l'espressione della legge
oraria è stato necessario risolvere due equazioni differenziali:
dx( t )
= v x (t)
dt
dv x ( t )
= a ox
dt
e questo ha richiesto la conoscenza di due costanti, la velocità iniziale e la posizione iniziale. Infatti
il problema che abbiamo affrontato è stato quello di determinare la funzione x(t) soluzione
dell'equazione del secondo ordine
dv x ( t )
= ao x
dt
⇔
d 2 x (t )
= a ox
dt 2
Per passare dalle infinito alla due soluzioni dell'equazione differenziale, all'unica che descrive il
moto del punto materiale è stato necessario fissare le condizioni iniziali del problema, cioè i valori
assunti dalla velocità e dalla posizione ad un istante di tempo t, che noi abbiamo assunto
coincidente con l'istante iniziale to = 0.
Questo è vero non solo per il moto uniformemente accelerato. Ogni qualvolta l'accelerazione è una
funzione nota del tempo o della posizione, integrando le due equazioni differenziali del primo
ordine:
dv x ( t )
= a x ( t)
dt
dx (t )
= v x ( t)
dt
corrispondenti alla seguente equazione differenziale del secondo ordine:
d 2 x( t )
= a x (t )
dt 2
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70
è possibile determinare la legge oraria del moto se vengono anche specificate le condizioni iniziale
del moto, cioè la posizione e la velocità assunte dal punto materiale all'istante iniziale to = 0.
Moto rettilineo uniforme
Moto uniformemente accelerato
a x (t ) = 0
a x (t ) = a x o = cos t
v x ( t ) = v xo = cos t
v x ( t ) = v ox + a ox t
x( t ) = x o + v ox t
1
x( t ) = x o + v ox t + a ox t 2
2
3.15 Velocità in funzione della posizione
Eliminando il tempo tra l'espressione della velocità e quella della posizione in funzione del tempo,
si può ottenere l'espressione della velocità in funzione della posizione.
v x ( t ) = v xo + a xo t
elevando al quadrato
v 2x = v 2xo + 2 v xo a xo t + a 2xo t 2
Da cui:
1
!
v 2x = v 2x o + 2a x o" v x ot + a x ot 2 #$
2
e tenendo conto che:
1
x(t) = x o + v x ot + a x ot 2
2
1
⇒ x(t) − x o = v x ot + a x ot 2
2
si ottiene
2
vx2 = vxo
+ 2axo ( x − xo ))
che ci fornisce l'espressione della velocità in funzione della posizione del punto materiale.
3.15.1 Accelerazione in funzione della posizione.
In alcuni casi può capitare di conoscere l’espressione della accelerazione in funzione della
posizione, x. In tal caso l’equazione differenziale si scriverà:
dvx
= a(x)
dt
Si possono moltiplicare entrambi i membri per dx, lo spostamento subito dal punto materiale
nell’intervallo dt, uni degli infiniti intervallini in cui è stato suddiviso l’intervallo di osservazione
del moto.
dvx
dx = a(x)dx
dt
Portando dt a dividere dx al primo membro si ottiene:
vx dvx = a(x)dx ⇒
∫
t
v dvx =
0s x
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∫
t
0s
a(x)dx
71
dal primo membro si ottiene:
∫
t
1
1
vx dvx = !"vx2 #$ = ( vx2 − vox2 )
0s
0s
2
2
t
e quindi
t
t
1 2 2
vx − vox ) = ∫ a(x)dx ⇒ vx2 = vox2 + 2 ∫ a(x)dx
(
0s
0s
2
Questo procedimento può essere applicato a tutti i moti. Per avere la soluzione completa occorre
conoscere l’espressione della accelerazione in funzione del tempo.
3.15.2 Il caso del moto uniformemente accelerato.
Nel caso particolare in cui l’accelerazione è costante:
t
t
0s
0s
t
vx2 = vox2 + 2 ∫ aox dx ⇒ vx2 = vox2 + 2aox ∫ dx ⇒ vx2 = vox2 + 2aox [ x ]0s ⇒ vx2 = vox2 + 2aox (x − xo )
Si riottiene cioè l’equazione tra velocità e posizione che avevamo ricavato eliminando il tempo
nella legge oraria.
3.16 Moto dei corpi in caduta libera.
Un esempio di moto con accelerazione costante è il moto di caduta libera dei corpi pesanti (gravi).
Infatti se si trascura la resistenza dell'aria, ed il moto avviene su di un percorso limitato nelle
vicinanze della superficie terrestre, si osserva che tutti i corpi, qualunque sia la loro forma,
dimensione, massa, composizione chimica, si muovono sottoposti ad una accelerazione, detta
accelerazione di gravità, il cui modulo vale circa 9.81 m/s2, la direzione è quella della verticale e
punta verso l'interno della terra. La direzione verticale in un punto della superficie terrestre può
essere determinata per mezzo di un filo a piombo. In generale la direzione della verticale non passa
per il centro della Terra (questo succede solo ai poli e all’equatore), ma ci passa molto vicino.
!
!
Indichiamo l'accelerazione di gravità con g . Il vettore g ha dunque modulo g=9.81 m/s2, direzione
quella della verticale, verso che punta verso l'interno della terra.
Si deve a Galilei l'osservazione sperimentale che tutti i corpi in caduta subiscono la stessa
accelerazione. Il moto di caduta libera è un moto piuttosto rapido: un corpo che parte da fermo dopo
1 secondo ha percorso circa 5 m, dopo 2 secondi circa 20 metri, dopo 3 secondi circa 45 metri, etc.
Galilei utilizzò per i sui esperimenti dei piani inclinati. In questo modo riusciva a lavorare con
accelerazioni più piccole di g. Egli, infatti, si rese conto che nel moto su di un piano inclinato, un
!
corpo subisce un'accelerazione pari alla componente di g lungo il piano inclinato. Lavorava così
con moti più lenti, che, quindi, a parità di distanza percorsa, duravano di più. In questo modo egli
riuscì a ridurre l'errore relativo nella misura degli intervalli di tempo, che effettuava con un orologio
ad acqua, osservando la variazione del livello dell'acqua in un recipiente forato. Non potendo a
quell'epoca produrre il vuoto, e quindi eliminare gli effetti dovuti alla resistenza dell'aria, utilizzò
oggetti aventi la stessa forma, ma massa e composizione differenti, ed osservò appunto che tutti i
corpi cadevano sottoposti alla medesima accelerazione.
Cominciamo col determinare il moto di un grave, nel caso in cui parte con velocità iniziale nulla
!
oppure con una velocità iniziale vo lungo la verticale, cioè parallela, o antiparallela, a g . In questo
caso il moto è rettilineo, ed avviene lungo la verticale. Introduciamo perciò un asse orientato
verticale diretto verso l'alto, l'asse y.
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72
y (m)
24
y max = v2oy /2g
18
t = voy/g
12
t = 2voy/g
6
0
0
1
2
3
4
t (s)
5
La componente dell'accelerazione lungo questo asse è quindi costante e vale ay = - g.
v y (m/s)
20
10
0
t = 2voy /g
-10
-20
t= voy /g
0
1
2
3
4
t (s)
5
Si tratta quindi di un moto rettilineo uniformemente accelerato. L'equazione oraria di tale moto è
data da:
1
1
y(t) = y o + v o yt + a y t 2 = y o + v o yt − gt 2
2
2
v y = v o y + a y t = vo y − gt
a y = −g
dove yo e voy sono la posizione del punto materiale e la sua velocità all'istante t=0.
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73
Problema: determinare le caratteristiche del moto di una palla lanciata verso l'alto con una velocità
di 20 m/s, trascurando gli effetti della resistenza dell'aria.
Fissiamo l'origine dell'asse verticale y, diretto verso l'alto, nel punto da cui parte il moto, che
supponiamo sulla superficie terrestre, e cominciamo a misurare il tempo dall'istante in cui inizia il
moto. In queste ipotesi yo= y(0) = 0 m, mentre voy = 20 m/s. Le leggi del moto diventano:
1
y(t) = v o yt − gt 2
2
v y = v o y − gt
Osservando l'equazione della velocità si vede che inizialmente il
corpo si muoverà verso l'alto: inizialmente infatti la componente y
della velocità
è positiva. Col passare del tempo, poiché
l'accelerazione è diretta in verso opposto al moto, la velocità del
corpo diminuisce fino ad annullarsi. Come mostrato nel grafico
della velocità, questo avviene al tempo t = voy/g.
v=0
voy=-gt=0
In seguito la componente y della velocità diventa negativa, questo
significa che il corpo comincia a muoversi verso il basso. Pertanto
all'istante t = voy/g in cui la velocità si annulla, si ha una inversione
del moto (vedi il grafico di y in funzione del tempo). Quindi y(t=voy/g) rappresenta la massima
quota raggiunta dal corpo.
!
v $
v
1 v2 o y 1 v2 o y
y max = y# t = o y = vo y o y − g 2 =
"
g %
g 2 g
2 g
A partire dal tempo t=voy/g, la velocità del corpo aumenta in modulo, mentre la quota diminuisce.
Dopo un certo tempo dall'istante iniziale, il corpo ritorna nel punto di partenza. Questo intervallo di
tempo, che è poi la durata del moto, può essere determinato imponendo, nell'equazione del moto,
che y sia uguale a zero e cercando gli istanti tempo in cui questa condizione è verificata.
L'equazione ammette due soluzioni: t = 0, che
corrisponde alle condizioni iniziali, e t = 2voy/g y=0
che corrisponde all'istante di tempo in cui il
corpo ritocca terra. La differenza tra questi due
tempi dà la durata del moto. Si osservi che la
durata del moto è esattamente uguale al doppio
del tempo
necessario per raggiungere la
massima quota. Quindi il moto di discesa dura
esattamente quanto il moto di salita.
Possiamo calcolare la velocità del corpo quando tocca terra, sostituendo il tempo t = 2voy/g
nell'espressione della velocità. Si trova:
"
2v %
2v
v y− finale = vy $ t = o y = vo y − g o y = − vo y
#
g &
g
Il modulo della velocità con cui il corpo ritorna al suolo è lo stesso di quella con cui era stato
lanciato. Possiamo anche esprimere il modulo della velocità, invece che in funzione del tempo,
come una funzione della quota y.
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74
v 2 = vy2 =
(v
oy
2
voy2 − 2voy gt + g 2 t 2 =
− gt ) =
⇓
#
&
1
= voy2 − 2g % voy t + gt 2 ( =
$
'
2
⇓
= voy2 − 2gy
Da questa espressione appare che, a parità di quota, il modulo della velocità è lo stesso sia durante
la fase ascendente del moto che in quella discendente.
3.17 Moto smorzato
Nel precedente paragrafo abbiamo risolto il caso in cui l'accelerazione del punto materiale è
costante. In questo paragrafo affronteremo il caso di una accelerazione dipendente dalla velocità.
Consideriamo dunque un punto materiale che si stia muovendo di moto rettilineo sull'asse x e
supponiamo che subisca una accelerazione che dipenda dalla velocità secondo la relazione:
a x = − bv x
in cui b è una costante positiva le cui dimensioni sono:
LT−2 = [ b] LT−1 ⇒ [ b] = T −1
e le corrispondenti unità di misura nel Sistema Internazionale saranno s-1 (secondi alla meno uno).
L'accelerazione è dunque opposta alla velocità, tende cioè a ridurre il valore assoluto della velocità,
ed è tanto più grande quanto più grande è il valore assoluto della velocità. Questa accelerazione
viene subita dai corpi quando si muovono all'interno di un fluido, almeno per un certo intervallo di
velocità ( un automobile che si muove nell'aria, un barca che si muove nell'acqua, etc.)
Supponiamo inoltre che all'istante iniziale (t=0 s), la velocità del punto materiale sia vox e la sua
posizione sia xo.
Il problema del moto in questo caso si risolve, risolvendo la seguente equazione differenziale:
dv x
= − bv x
dt
[
]
[
]
[ ]
Si osservi che la funzione vx(t)=0 (m/s) per ogni istante di tempo t tra 0 ed ∞, è soluzione
dell'equazione differenziale: infatti anche la derivata di una funzione costante è identicamente nulla:
quindi entrambi i membri dell'equazione differenziale sono sempre identicamente nulli. Se anche
vox è nulla, allora la funzione vx(t)=0 (m/s) soddisfa anche alle condizioni iniziali: essa quindi è la
soluzione dell'equazione differenziale e del problema delle condizioni iniziali; il punto materiale
rimane fermo nella posizione xo.
Se invece vox non è uguale a zero, allora la funzione vx(t)=0 (m/s) non è la soluzione della equazione
differenziale e del problema della condizioni iniziali. La soluzione, in questo caso, non sarà
identicamente nulla. Se ci limitiamo a considerare l'intervallo di tempo in cui la soluzione non è
uguale a zero, allora potremo dividere primo e secondo membro dell'equazione differenziale per vx.
Inoltre potremo moltiplicare i due membri dell'equazione differenziale per la variazione infinitesima
di tempo dt, che è molto piccolo, infinitesimo, ma non nullo. Si otterrà:
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75
dv x
= − bv x
dt
⇒
dv x dt
dt
= −bv x
dt vx
vx
dv x
= −bdt
vx
Questa espressione possiamo leggerla in questo modo: per ogni intervallo infinitesimo di tempo dt
in cui abbiamo suddiviso l'intervallo di tempo tra l'istante iniziale t=0 s e l'istante finale t1
(qualsiasi), la corrispondente variazione della velocità divisa per la velocità stessa è uguale al
prodotto della costante -b per dt.
Ripetiamo che questa eguaglianza vale per tutti gli intervalli infinitesimi di tempo in cui si
suddivide l'intervallo di tempo tra l'istante iniziale t=0 s e l'istante finale t1 (qualsiasi). Abbiamo
cioè infinite equazioni di questo tipo, una per ciascun intervallino di tempo dt.
L'eguaglianza continuerà a valere sommando membro a membro tutte le infinite equazioni
precedenti, ovvero su tutti gli intervalli di tempo infinitesimi in cui è stato suddiviso l'intervallo di
tempo tra l'istante iniziale t=0 s e l'istante finale t1 (qualsiasi). Ma fare la somma di infiniti termini
infinitesimi equivale a fare l'integrale dei due termini dell'equazione precedente tra l'istante iniziale
t=0 s e l'istante finale t1 (qualsiasi).
t1 dv
t1
dv x
x
= − bdt ⇒ ∫0
= ∫0 −bdt
vx
vx
Si osservi che al primo membro la variabile di integrazione è vx che all'istante iniziale t=0 s vale vxo
e all'istante finale t1 vale vx. Perciò
∫
v x (t1 )
vx o
t1
1
dv x = ∫0 −bdt
vx
Per risolvere l'integrale al primo membro, in cui la variabile di integrazione è vx, si va alla ricerca di
una primitiva, cioè di una funzione di vx la cui derivata rispetto alla variabile di integrazione vx, sia
1
proprio uguale alla funzione integranda
: la funzione ln(vx) (logaritmo naturale di vx) è la
vx
primitiva che fa al nostro caso. Per risolvere l'integrale al secondo membro, in cui la variabile di
integrazione è il tempo, si va alla ricerca di una primitiva, cioè di una funzione del tempo la cui
derivata rispetto al tempo sia uguale alla funzione integranda -b: la primitiva -bt è quella che fa al
nostro caso. Pertanto si può scrivere:
[ln v x ]vv
x
xo
t
= [− bt ]0
⇒
ln
vx
= − bt
v xo
sup
dove il simbolo […]inf indica il valore della primitiva valutato nell'estremo superiore meno il
valore della primitiva valutata nell'estremo inferiore.
Dalla definizione della funzione logaritmo, si ottiene:
vx
= e − bt
v xo
da cui
v x = v xo e − bt
dove il simbolo "e" è la base dei logaritmi naturali (e=2.718281828459)
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76
La prima cosa che dobbiamo osservare è che se vxo è diverso da zero, come stiamo supponendo,
allora anche vx(t) è diverso da zero per tutti gli istanti di tempo tra t=0 e ∞. Si giustifica così a
posteriori per tutto l'intervallo tra 0 e ∞ , la divisione per vx fatta all'inizio per risolvere l'equazione
differenziale.
L'esponente della funzione esponenziale e-bt, come del resto era da attendersi, è un numero puro,
dato che b, come abbiamo visto, ha le dimensioni di [T-1].
Ed ora cerchiamo di capire alcune delle caratteristiche della funzione esponenziale.
v x = v xo e − bt
15
All'istante iniziale t =0 s, la velocità vx è
uguale a vxo ( e0 =1), mentre per t che tende
v (m/s)
10
5
1
all'infinito, la velocità vx tende a 0 ( e−∞ = ∞
e
0
1
0
10
20
30 t (s) 40
50
60
70
= = 0). La velocità dunque non è mai
∞
nulla: la velocità nulla rappresenta infatti il valore limite, asintotico, per t che tende all'infinito.
L'espressione precedente si può anche scrivere nella forma
v x = v xo e
−
t
τ
dove τ = 1/b, ha le dimensione di un tempo [T], e si misura in
t
−
secondi. t ha quindi il significato di un intervallo di tempo e si v = 10e 10s m
s
chiama costante di tempo.
Se si confronta il valore della velocità ad un certo istante di tempo, diciamo t1, con il valore della
velocità dopo una costante di tempo, cioè al tempo t1+τ, allora si vede
()
−
t 1+ τ
τ
t + τ # t1 &
− %% − ((
$ τ'
− 1
v x (t 1 + τ) vx oe
τ
=
t1 = e
−
v x (t1 )
v x oe τ
−
=e
τ
τ
= e −1 =
1
e
che la velocità all'istante t1+t si è ridotta di un fattore 1/e rispetto al valore della velocità all'istante
di tempo t1 (si noti che l'istante t1 iniziale è stato fissato arbitrariamente e quindi può essere
qualunque valore tra zero ed infinito secondi).
Questa osservazione ci permette di definire la costante di tempo come l'intervallo di tempo
occorrente per ridurre di un fattore 1/e (circa un terzo) la funzione esponenziale.
Se si confronta invece il valore della velocità all'istante t = 0 s con quello all'istante t = 5τ, si
ottiene:
−
v x (5τ)
v e
= xo
v x ( t = 0)
v xo
5τ
τ
=e
−
5τ
τ
= e −5 =
1
1
5 =
148.41
e
Il valore della velocità dopo 5 costanti di tempo si è ridotto a meno dell'uno per cento del valore
iniziale: questo è il motivo per cui si afferma che i fenomeni esponenziali, come il moto che
abbiamo descritto, si esauriscono dopo 4÷5 costanti di tempo.
Ora cerchiamo di tracciare la tangente al grafico della velocità all'istante di tempo t=0 s. Utilizzando
l'interpretazione geometrica della derivata, possiamo affermare che la tangente dell'angolo formato
dalla retta tangente al grafico della velocità per t = 0 s è proprio uguale alla derivata della velocità
(l'accelerazione) calcolata al tempo t=0 s.
Poiché per ipotesi nel caso in esame l'accelerazione è data da:
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77
ax =
dv x
= −bv x
dt
⇒
t =0
dv x
dt
= −bv x o = −
t= 0
vx o
τ
D'altro lato anche calcolando la derivata si ottiene:
t
#
− &
# − tτ &
τ(
# t&
%
d vx oe
d %e (
t d −
−
$
'
$ '
$ τ'
v x o − tτ
τ
= vxo
= v x oe
=−
e
dt
dt
dt
τ
→
t=0
−
vxo
τ
vxo
180°-α
α
Δt
tan(180 − α ) =
# v & v
= − % − xo ( = xo
$ τ ' τ
t=0
vxo
dv
= − tan(α ) = − x
Δt
dt
da cui Δt = τ . La costante di tempo t è dunque l'ascissa del punto di intersezione della retta
tangente al grafico della velocità a t = 0 s con l'asse delle ascisse.
Una volta nota la velocità in funzione del tempo è possibile risalire alla legge oraria. Interpretando
la definizione di velocità come equazione differenziale si può scrivere:
t
−
dx
= v x = v xo e τ
dt
Da cui, moltiplicando ambo i membri per dt ed integrando tra 0 e t secondi, si ottiene:
−
t
dx = v x oe τ dt ⇒
∫
x( t )
xo
t
−
t
dx = ∫0 vx oe τ dt
Effettuando i calcoli si ottiene:
[ x]
x( t )
xo
t
− &
#
= % −v x oτe τ (
$
'
t
⇒
x(t) − xo = − v x oτe
−
t
τ
t=0
t
*
− − (− vx oτ ) = v x oτ , 1− e τ /
+
.
ed infine:
t
#
− &
x(t) = x o + v x oτ% 1− e τ (
$
'
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78
La posizione del punto materiale all'istante di tempo t=0 s è xo, mentre la posizione raggiunta per t
che tende ad infinito è xo+vxoτ. Il punto materiale percorre il segmento di estremi xo e xo+vxoτ. Lo
spostamento è dunque vxoτ.
120
100
x(m)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
t(s)
Velocità in funzione della posizione.
Per determinare la velocità in funzione della posizione si può
− eliminare il tempo dalle soluzioni;
− oppure eliminare il tempo dall'equazione differenziale.
Nel primo caso avremo:
x( t ) = x o +
v xo
(1 − e − bt )
b
v x = v xo e − bt
da cui
b( x − xo ) − v x o = −v x oe − bt ⇒ v x = v x o − b(x − xo )
Nel secondo invece si parte dall'equazione differenziale:
dv x
= − bv x
dt
E si moltiplicano entrambi i membri per lo spostamento, dx, subito dal punto materiale
nell'intervallo di tempo dt. Proprio dall'osservazione che vx non è mai nulla per t maggiore o uguale
a 0 s, deriva che anche dx è sempre diverso da zero qualunque sia l'intervallo infinitesimo dt scelto
per t maggiore o uguale a 0 s (dx=vxdt).
dv x
dx = − bv x dx
dt
Portando dt a dividere dx, al primo membro dell'espressione precedente, si ottiene:
dv x
dx
= −bv x dx ⇒ dv x (v x ) = − bv x dx ⇒
dt
dv x = −bdx
Sommando membro a membro su tutti gli intervallini infinitesimi di tempo compresi tra t=0 s e il
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79
generico istante di tempo t, tenendo conto che la velocità e la posizione al tempo t=0 s sono
rispettivamente vxo e xo, mentre le stesse quantità al generico istante di tempo t sonno
rispettivamente vx e x, si ottiene:
∫
vx
vx o
x
dv x = ∫x−bdx ⇒
o
v
[v x]v xx o = −b[ x]
x
xo
Ed infine:
v x − v x o = −b(x − x o ) ⇒ v x = v x o − b(x − xo )
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80
3.18 Moto armonico
Consideriamo ora il caso in cui l'accelerazione dipenda dalla posizione del punto materiale, in
particolare esamineremo il caso in cui l'accelerazione è proporzionale all'opposto della posizione
attraverso la costante ωp2. Cioè:
d2x
dt 2
= −ω 2p x
La costante ωp si chiama pulsazione angolare e le sue unità di misura sono s-1. Questa è l'equazione
differenziale del moto armonico.
Come appare dall'espressione precedente l'accelerazione è nulla nell'origine del sistema di
riferimento, x=0, è negativa per x>0 per cui tende a far diminuire la velocità del punto materiale
quando si muove nel verso positivo fissato sull'asse x, e far crescere il modulo della velocità quando
il punto materiale si muove nel verso negativo fissato sull'asse x. Parimenti l'accelerazione è
positiva per x<0 e quindi tende a far aumentare la velocità del punto materiale che si muove nel
verso positivo fissato sull'asse x, e far diminuire il valore assoluto della velocità se il punto
materiale si muove nel verso negativo fissato sull'asse x.
L'equazione differenziale precedente è un po' più complicata di quelle incontrate finora, pertanto
anziché introdurre in questo momento i metodi analitici per la determinazione della sua soluzione,
partiremo col ricordare che in analisi si dimostra che l'integrale generale di una tale equazione
differenziale, che è del secondo ordine, conterrà due costanti arbitrarie (ci saranno infinito alla 2
soluzioni dell'equazione differenziale), mentre esisterà una ed una sola soluzione dell'equazione
differenziale che soddisfa anche il problema delle condizioni iniziali (pertanto se noi riusciamo a
trovare, in qualunque modo, una soluzione dell'equazione differenziale che soddisfi anche il
problema delle condizioni iniziali, questa è la soluzione cercata).
Per ricercare una possibile soluzione dell'equazione differenziale precedente ricordiamo anche che
la derivata seconda della funzione senθ, o anche cosθ, è opposta alla funzione stessa. Infatti:
d 2 senθ d " dsen θ $ d( cosθ)
=
=
= −sen θ
dθ2
dθ # dθ %
dθ
d 2 cosθ d " d cosθ $ d( −sen θ)
d(senθ )
=
=
=−
= − cosθ
2
#
%
dθ
dθ dθ
dθ
dθ
Si può dunque pensare di poter costruire la soluzione dell'equazione differenziale del moto
armonico utilizzando le funzioni seno e coseno.
Ricordiamo che la soluzione che stiamo cercando è la legge oraria, cioè una funzione del tempo,
x(t). Il tempo deve perciò comparire come argomento della funzione seno o coseno. Occorre però
fare attenzione: mentre sappiamo calcolare il seno o il coseno di un angolo, non sappiamo invece
calcolare il seno, o il coseno, di un tempo. Possiamo pensare di far comparire il tempo come
argomento del seno, o del coseno, dopo averlo moltiplicato per una costante ω, in maniera che il
prodotto di ω per il tempo, ωt, dia proprio un angolo. Perché questo accada occorre che le
dimensioni di ω siano radianti al secondo (rad/s). Il radiante, da parte sua, non è una vera e propria
unità di misura, ma piuttosto rappresenta un numero puro. Le unità di misura di ω sono dunque s-1.
Se dunque si considerano le funzioni
x = a sen ωt
x = b cos ωt
in cui a e b sono delle costanti le cui dimensioni sono quelle di una lunghezza ([a]=[b]=[L]), esse
sono soluzioni dell'equazione differenziale del moto armonico se ω=ωp.
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81
Infatti:
d 2 (a sen ωt )
dt
2
d 2 (b cos ωt )
=
d d(a sen ωt ) d
= (aω cos ωt ) = −ω 2 (a sen ωt )
dt
dt
dt
d d(b cos ωt ) d
= (bω sen ωt ) = −ω 2 (b cos ωt )
2
dt
dt
dt
dt
Abbiamo così ottenuto due soluzioni indipendenti (infatti le due soluzioni non possono essere
ottenute l'una dall'altra moltiplicandola per un fattore). Si può dunque pensare di ottenere l'integrale
generale come combinazione lineare delle due soluzioni:
=
x = a sen ωt + b cos ωt
in cui i parametri a e b sono le due costanti arbitrarie che vanno determinate in base alle condizioni
iniziali.
La soluzione precedente si può scrivere anche in modo diverso. Supponiamo di aver fissato i
parametri a e b che compaiono nell'espressione precedente: è sempre possibile
determinare due nuovi parametri A (costante positiva) e ϕo tali che:
a = − A sen ϕ o
b = A cos ϕ o
Infatti quadrando e sommando si ottiene
a 2 + b 2 = A 2 sen 2 ϕ o + A 2 cos2 ϕ o = A 2 (sen 2 ϕ o + cos 2 ϕ o )= A 2
e dividendo la prima per la seconda si ottiene:
a
= − tanϕ o
b
Basterà infatti prendere
A = a 2 + b2
ϕ o = ar cot ang −
a
b
Con questi nuovi parametri l'integrale generale
x = − A sen ϕ o sen ωt + A cos ϕ o cos ωt
Che ricordando che cos(α + β ) = cos α cosβ − sen α sen β si può scrivere nella forma:
x = A cos(ωt + ϕ o )
che rappresenta l'integrale generale dell'equazione differenziale del moto armonico.
La costante positiva A si chiama ampiezza del moto armonico. Ricordando infatti che la funzione
coseno può assumere valori tra -1 e 1, allora si vede che la posizione del punto materiale sull'asse x
può assumere i valori tra -A e A.
La traiettoria coincide con il segmento, sull'asse x, di estremi [-A ,A.].
L'argomento del coseno, ωt+ϕo che è un angolo, si chiama fase; ϕo, invece, sarà la fase iniziale, il
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valore della fase all'istante t = 0 s. La costante ω si chiama pulsazione angolare.
Dall'integrale generale possiamo immediatamente ricavare l'espressione della velocità:
dx
vx =
= − Aω sen(ωt + ϕ o )
dt
La velocità può assumere i valori tra -Aω e Aω.
Verifichiamo innanzitutto che il moto armonico è un moto periodico. Si può vedere infatti che il
punto materiale ripassa per la stessa posizione con la stessa velocità ogni T secondi. T viene
chiamato periodo del moto armonico.
x( t + T) = x( t )
A cos(ω(t + T) + ϕ o )= A cos(ωt + ϕ o )
v x ( t + T) = v x ( t )
− Aω sen(ω(t + T) + ϕ o )= − Aω sen(ωt + ϕ o )
Le due eguaglianze precedenti risultano vere contemporaneamente se le fasi a primo e secondo
membro differiscono al minimo di 2π. Cioè:
[ω(t + T) + ϕ o ]− [ωt + ϕ o ]= 2π
Da cui si ottiene:
2π
ω
che ci fornisce la relazione tra il periodo e le pulsazione angolare del moto armonico.
ωT = 2π ⇒ T =
Tornando al termine fase, con cui abbiamo chiamato l'argomento della funzione coseno, possiamo
osservare che tale termine si usa anche nel linguaggio comune per indicare un particolare stato di un
sistema soggetto a un fenomeno ciclico. Particolarmente note sono le fasi lunari. Le espressioni
"luna nuova", "primo quarto", "luna piena" e "ultimo quarto" ci permettono di specificare in quale
parte del ciclo lunare ci troviamo.
Allo stesso modo la fase, in un moto armonico, ci permette di stabilire in quale parte del ciclo si
trova il punto materiale.
Così se la fase è uguale a 0°, il punto materiale si trova nel punto estremo della traiettoria sul
semiasse positivo, x=A. La velocità in questo caso è nulla.
Se la fase è uguale a 90° (π/2), la posizione del punto materiale coincide con l'origine del sistema di
riferimento, mentre la velocità è -ωA. Il punto materiale passa per l'origine mentre si muove nel
verso negativo dell'asse x.
Se la fase è 180° (π), il punto materiale si trova all'estremo della traiettoria sul semiasse negativo,
x=-A. La velocità è anche in questo caso nulla.
Quando la fase invece è uguale a 270° (3π/2) il punto materiale si trova ancora nell'origine del
sistema di riferimento ma questa volta si muove nel verso positivo fissato sull'asse x.
3.18.1 Determinazione dell’ampiezza e della fase iniziale a partire dalle condizioni iniziali
Ritornando all'integrale generale
x = A cos(ωt + ϕ o )
possiamo identificare le costanti A e ϕo con le due costanti che vanno determinate in base alle
condizioni iniziali; Supponiamo infatti che all'istante iniziale t=0 s la posizione iniziale sia xo
mentre la velocità iniziale sia vxo. Allora le costanti A e ϕo che permettono di risolvere il problema
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83
delle condizioni iniziali si possono ottenere nel seguente modo:
x = A cos(ωt + ϕ o )
t =0
v x = −ωAsen (ωt + ϕ o ) t = 0
⇒ x o = A cos(ϕ o )
⇒ v x o = −ωA sen(ϕ o )
Se si divide la seconda equazione per ω, quadrando e sommando si ottiene:
A 2 cos2 (ϕ o ) + A2 sen 2 (ϕ o ) = x 2o +
v2x o
v 2x o
2
⇒
A
=
x
+
o
ω2
ω2
Mentre dividendo la seconda per la prima si ottiene:
tan ϕ o = −
v xo
ωx o
Supponiamo di far partire il punto materiale dalla posizione iniziale xo con velocità nulla.
Le espressioni precedenti ci forniscono:
A = x 2o
tan ϕ o = 0
Da cui risulta che A = xo e ϕo=0.
Allo stesso risultato si arriva usando il seguente procedimento: si parte dall'espressione della
velocità e si impone che la velocità iniziale sia nulla:
v x o = −ωA sen(ϕ o ) = 0 ⇒ sen(ϕ o ) = 0 ⇒ ϕ o = 0, π
La velocità è nulla per due valori della fase, 0 e pigreco.
Il fatto che l'ampiezza del moto armonico debba essere positiva ci costringe a scegliere la soluzione
ϕo=0, così il valore dell'ampiezza del moto armonico è proprio uguale alla posizione iniziale xo.
x o = A cos(ϕ o ) ⇒ ϕ o = 0 ⇒ A = x o
La legge oraria, con queste condizioni iniziali, diventa:
x = A cos(ωt )
e la velocità in funzione del tempo sarà data da:
v x = −ωA sen(ωt )
Al tempo t=0, la fase è ωt=0, la posizione è x=A, la velocità è 0, mentre l'accelerazione è negativa e
pari a -ω Α. Proprio a causa dell'accelerazione non nulla il punto materiale si mette in moto nella
direzione negativa dell'asse delle x, la velocità è inizialmente negativa e il suo modulo va
aumentando fino a che l'accelerazione rimane negativa e cioè fino all'istante T/4.
All'istante T/4 la fase è π/2 (ωΤ/4 = (2π/Τ)Τ/4 = π/2), la posizione è x=0, la velocità è sempre
negativa, il suo modulo è massimo.
2
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84
0,15
0,1
(m)
0,05
x(t)
T
T/2
0
0
T/4
2
3T/4
4
t (s)
6
8
10
-0,05
-0,1
-0,15
0,2
0,15
(m/s)
0,1
0,05
T/2
v(t)
0
0
T/4
2
t (s)
T
3T/4
4
6
8
10
6
8
t (s) 10
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
0,3
0,2
T
T/2
0
0
a(t)
(m/s2)
0,1
T/4
2
3T/4
4
-0,1
-0,2
-0,3
Dopo T/4 l'accelerazione cambia segno, diventa positiva, e quindi tende a far diminuire il modulo
della velocità fino a ridurla a zero, questo accade al tempo T/2 quando la posizione è -A, la fase è π,
la velocità nulla, l'accelerazione è positiva e massima.
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85
A questo punto il punto materiale comincia a muoversi nella direzione positiva dell'asse delle x, e la
sua velocità continua ad aumentare fino a quando l'accelerazione rimane positiva, cioè fino la tempo
3T/4.
A tempo t=3T/4, la fase è 3π/2, il punto materiale si trova nell'origine del sistema di riferimento
x=0, muovendosi nel verso positivo dell'asse x con il valore massimo della velocità.
Dopo l'istante 3T/4, l'accelerazione diventa negativa, la velocità viene ridotta fino a diventare nulla
all'istante T, quando il punto materiale si ritrova al punto di partenza ed il ciclo riparte.
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86
3.19 Moto in due e tre dimensioni. Legge oraria.
Per affrontare lo studio del moto in due o tre dimensioni è necessario avere studiato cosa sono e
come possano essere rappresentate le grandezze vettoriali nonché l’algebra vettoriale.
Per studiare il moto di un punto materiale, muniamoci di un sistema di riferimento, una terna
cartesiana, e di un orologio. La curva
descritta dal punto materiale durante
il moto si chiama traiettoria. Il
generico punto sulla traiettoria è
!
individuato dal vettore posizione r .
Come è mostrato in figura, le
componenti !cartesiane del vettore
posizione r , sono proprio le
coordinate cartesiane del punto P.
Se si mette in relazione la posizione
!
del punto sulla traiettoria, r , con
l'istante di tempo, t, in cui tale
posizione viene assunta, si ottiene la
legge oraria del moto.
!
!
r = r (t)
Descrivere quindi il moto del punto
materiale significa specificare come
!
varia il vettore r in funzione del
!
tempo, cioè specificare la funzione r
(t).
Questa funzione è una funzione vettoriale, che equivale a tre funzioni scalari:
!
!
!
!
r(t) = x(t)u x + y(t)u y + z(t)u z
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
che sono anche dette equazioni parametriche della traiettoria (il parametro è, ovviamente, il tempo
t).
Si osservi che mentre il punto materiale P si muove sulla sua traiettoria, le sue proiezioni sugli assi,
Px, Py e Pz descrivono delle traiettorie rettilinee. Il moto di un punto materiale nello spazio (3
dimensioni), può essere pensato come la sovrapposizione di tre moti rettilinei (unidimensionali),
che avvengono sui tre assi del sistema di riferimento.
3.20 Moto nel piano: la velocità angolare.
Consideriamo un punto materiale che si muova su di un piano. Supponiamo che durante il suo
!
moto, il punto materiale P passi per la posizione P(t), individuata dal vettore posizione r (t ) ,
!
all'istante di tempo t1=t, e per la posizione P(t+Δt), individuata dal vettore posizione r (t + Δt ) , al
tempo t2=t+Δt.
!
L’angolo formato dal vettore r (t ) con l’asse x sarà θ(t), mentre quello formato dal vettore posizione
all’istante t2=t+Δt, sarà θ(t+Δt).
Nell’intervallo di tempo Δt, l’angolo è variato di Δθ = θ(t+Δt)- θ(t).
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87
y
P(t)
!
r(t)
P(t+Δt)
Δθ
!
r(t + Δt)
θ(t)
θ(t+Δt)
x
O
Si definisce velocità angolare media nell’intervallo Δt, il rapporto tra lo spostamento angolare del
vettore posizione e l’intervallo di tempo Δt:
ωm =
Δθ θ (t + Δt) − θ (t)
=
Δt
Δt
Naturalmente anche in questo caso siamo interessati alla velocità angolare istantanea, che si otterrà
mediante il solito passaggio al limite.
ω = lim Δt→0
Δθ
θ (t + Δt) − θ (t)
dθ
= lim Δt→0
⇒ ω =
Δt
Δt
dt
t
Chiaramente ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo nell’intervallo di
osservazione del moto potremo ottenere la velocità angolare in funzione del tempo:
dθ (t)
ω (t) =
dt
3.20.1 L’accelerazione angolare
Se la velocità angolare varia con il tempo possiamo calcolarci l’accelerazione angolare. Sia ω(t) la
velocità angolare all’istante t e ω(t+Δt) quella all’istante t+Δt. Nell’intervallo Δt la velocità
angolare è variata di Δω = ω (t+Δt)-w(t).
Si definisce accelerazione angolare media nell’intervallo Δt
αm =
Δω ω (t + Δt) − ω (t)
=
Δt
Δt
L’accelerazione angolare istantanea si ottiene passando al limite per Δt che tende a zero:
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Δω
ω (t + Δt) − ω (t) dω
= lim
=
Δt→0 Δt
Δt→0
Δt
dt
α = lim
t
Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo nell’intervallo di osservazione del
moto si ottiene l’accelerazione angolare in funzione del tempo:
dω (t) d 2θ (t)
α (t) =
=
dt
dt 2
Le definizioni della velocità angolare e dell’accelerazione angolare sono del tutto simili a quelle
della velocità ed accelerazione in moto rettilineo uniforme
Anche le soluzioni delle corrispondenti equazioni vettoriali saranno simili:
α (t) = α o = cost ⇒
α (t) = −bω ⇒
α (t) = −ω p2θ ⇒
1
θ = θ o + ω ot + α ot 2
2
ω = ω ot + α ot
ωo
1− e−bt )
(
b
ω = ω o e−bt
θ = θo +
θ = θ o cos (ω pt + ϕ o )
ω = −θ oω p sin (ω pt + ϕ o )
3.21 Moto in due dimensioni: definizione del vettore velocità.
Per una maggiore chiarezza delle figure, limitiamoci a considerare un moto in due dimensioni,
tenendo però presente che le conclusioni di questo paragrafo e di quelli successivi si estendono
anche ai moti in tre dimensioni.
Supponiamo che durante il suo moto, il punto materiale P passi per la posizione P(t), individuata dal
!
vettore posizione r (t ) , all'istante di tempo t1=t, e per la posizione P(t+Δt), individuata dal vettore
!
posizione r (t + Δt ) , al tempo t2=t+Δt. Lo spostamento subito dal punto materiale P nell'intervallo di
! !
!
tempo Δt = t2 - t1 è Δr = r (t + Δt ) - r (t ) . Si definisce velocità media del punto materiale P
nell'intervallo di tempo Δt = t2 - t1 il rapporto tra lo spostamento subito nel tempo Δt e l'intervallo
di tempo medesimo:
Δ!r !r (t + Δt ) − r!(t )
!
vm =
=
Δt
Δt
!
!
v m è un vettore perché prodotto di un vettore Δr per uno scalare 1/Δt. Le sue dimensioni sono
quelle di una lunghezza diviso un tempo, [LT-1], e le unità di misura nel S.I. sono metri al secondo,
m/s. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
89
y
P(t)
!
Δr
!
r(t)
P(t+Δt)
!
r(t + Δt)
x
O
!
Se nell'intervallo di tempo Δt, il punto materiale si fosse mosso con una velocità costante pari a v m ,
! !
!
allora si sarebbe mosso da P(t) a P(t+Δt) lungo il vettore Δr = r (t + Δt ) - r (t ) . La conoscenza
della velocità media nell'intervallo Δt non dà una buona descrizione del moto: la traiettoria rettilinea
tra P(t) a P(t+Δt) differisce dalla traiettoria reale in tutti i punti eccetto che negli estremi.
y
P(t)
!
Δr1
!
Δr2
!
Δr3
!
r(t)
P(t+Δt)
!
r(t + Δt)
O
x
Si può pensare di suddividere l'intervallo di tempo Δt = t2 - t1 in intervalli più piccoli e in ciascuno
!
di questi calcolare la velocità media v m . Si osserva che più piccoli sono gli intervalli, migliore è la
descrizione del moto: infatti la linea spezzata tra P(t) a P(t+Δt) approssima sempre meglio la
traiettoria reale quanto più piccoli sono gli intervalli in cui viene diviso l'intervallo Δt = t2 - t1.
Si può assegnare un valore del vettore velocità in ogni punto della traiettoria?
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90
C'è un problema logico: abbiamo definito la velocità come il rapporto tra uno spostamento, Δr, e
l'intervallo di tempo Δt in cui lo spostamento è avvenuto. Ovviamente in un punto, che corrisponde
a un ben preciso istante di tempo, sia lo spostamento che l'intervallo di tempo non possono essere
definiti.
Per definire la velocità in ciascun punto della traiettoria, dobbiamo far ricorso al concetto di limite.
Si procede nel seguente modo: sia P la posizione occupata dal punto materiale all'istante di tempo t,
!
individuata dal vettore posizione r (t). Dopo un intervallo di tempo Δt, il punto materiale si trova in
!
una nuova posizione individuata dal vettore r (t+Δt).
La velocità media nell'intervallo di tempo Δt è data da:
!
!
r(t + Δt) − r(t)
!
vm =
Δt
Questo rapporto, e quindi la velocità media, è definito per tutti i valori di Δt diversi da zero. Si
definisce velocità istantanea del punto materiale nel punto P il limite di tale rapporto per Δt che
tende a 0.
!
!
!
r(t + Δt) − r(t) dr
!
v = lim Δt♦ 0
=
Δt
dt
t
!
La velocità istantanea è la derivata di r rispetto al tempo calcolata all'istante di tempo t.
y
P(t)
!
Δr
!
r(t)
P(t+Δt)
!
r(t + Δt)
O
x
!
La velocità istantanea v come limite di un vettore, è un vettore.
!
!
Si noti che al tendere di Δt a 0, v m , o Δ r , tende a disporsi secondo la tangente alla traiettoria nel
punto considerato.
!
Possiamo concludere che la velocità istantanea v nel generico punto P della traiettoria è diretta
secondo la tangente alla traiettoria in quel punto, mentre il suo verso è quello del moto.
Calcolando il limite del rapporto incrementale ad ogni istante di tempo, o in ogni punto lungo la
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91
traiettoria,
!
!
r(t + Δt) − r(t)
Δt
possiamo determinare il valore della velocità istantanea ad ogni punto della traiettoria, il che
!
!
!
equivale a determinare la velocità istantanea v in funzione del tempo, v = v (t). Questo si
rappresenta scrivendo
dr!
!
v(t) =
dt
!
e dicendo che la velocità v è la derivata del vettore posizione fatta rispetto al tempo.
3.22 Rappresentazione della velocità riferita alla traiettoria
Indichiamo con Δs il percorso effettuato dal punto materiale lungo la traiettoria nell’intervallo di
tempo Δt. Il rapporto incrementale si può anche scrivere come:
Δ!r Δs Δr!
!
vm =
=
Δt Δt Δs
Osserviamo che per Δt che tende a 0, anche Δs tende a 0. Sappiamo che il limite per Δt che tende a
0 di Δs/Δt è proprio il modulo della velocità:
v = lim Δt →0
Δs
Δt
Osserviamo che, per Δt che tende a 0 s,
lim Δt →0
Δ !r
= lim Δt →0
Δs
lunghezza_ della _ corda
Lunghezza_ dell' arco
=1
!
Δr
Questo significa che il limite di
per Δt che tende a 0 s, è un versore.
Δs
!
Ricordando l'osservazione già fatta: per Δt che tende a 0, Δ r tende a disporsi secondo la tangente
alla traiettoria, potremo porre:
lim Δt→0
!
Δr !
= ut
Δs
!
dove u t è il versore tangente alla traiettoria diretto nel verso del moto.
La velocità istantanea nel punto P può quindi essere espressa come:
!
!
v = vut
3.23 Rappresentazione cartesiana della velocità.
!
La velocità v si può sempre esprimere in termini delle sue coordinate cartesiane:
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92
!
!
!
!
v = v x u x + v y u y + vz u z
!
D’altra parte, sappiamo che la velocità v è data da:
!
!
!
!
! dr d ( x(t)u x + y(t)u y + z(t)u z )
v=
=
dt
dt
Applicando la proprietà distributiva della derivata rispetto alla somma:
!
!
!
d ( x(t)u x ) d ( y(t)u y ) d ( z(t)u z )
=
+
+
=
dt
dt
dt
Applicando poi la regola della derivata di un prodotto ed osservando che i versori
!
!
!
ux , u y e uz
sono costanti nel sistema di riferimento in cui ci siamo messi, otteniamo:
!
!
!
du y dz(t) !
dvu z
dx(t) !
du x dy(t) !
=
u x + x(t)
+
u y + y(t)
+
u z + z(t)
=
dt
dt
dt
dt
dt
dt
=
dx(t) ! dy(t) ! dz(t) !
ux +
uy +
uz
dt
dt
dt
Da questo otteniamo:
vx =
dx(t)
dt
vy =
dy(t)
dt
vz =
dz(t)
dt
Si vede che la componente x della velocità dipende soltanto dalla componente x dello spostamento,
e lo stesso accade per le componenti y e z. Nel calcolo della velocità le componenti non si
mescolano.
3.24 Rappresentazione polare della velocità.
La rappresentazione polare è utilizzabile per descrivere moti che avvengono in un piano.
!
!
Consideriamo il punto P(t) individuato dal vettore posizione r (t). Se introduciamo i versori u r ,
!
!
uθ , con u r , il versore radiale, avente la stessa direzione e lo stesso verso del vettore posizione e
!
!
uθ , il versore trasverso, disposto a +90 gradi rispetto ad u r , allora il vettore posizione può essere
espresso nel seguente modo.
!
!
r(t) = r(t)u r
La velocità diventa allora:
!
!
!
! dr(t) dr(t)u r dr(t) !
du r
v =
=
=
u r + r(t)
dt
dt
dt
dt
!
Notiamo che la velocità presenta una componente diretta secondo u r . La componente radiale è data
da:
dr
vr =
dt
!
Per valutare le restanti componenti dobbiamo calcolarci la derivata del versore u r .
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93
y
P(t)
!
r(t)
!
uθ
! θ(t)
ur
x
O
!
3.24.1 Calcolo della derivata del versore u r .
!
!
Con riferimento alla figura precedente, i versori u r , uθ possono essere scritti, in termini delle loro
componenti cartesiane, nel seguente modo:



u r = cosθ u x + sin θ u y



uθ = −sin θ u x + cosθ u y
!
derivando u r rispetto al tempo e facendo attenzione che le funzioni seno e coseno sono funzioni
del tempo attraverso la funzione θ(t), si ottiene:

du r
d cosθ  d sin θ 
d cosθ dθ  d sin θ dθ 
=
ux +
uy =
ux +
uy =
dt
dt
dt
dθ dt
dθ dt
=−
 dθ



dθ
dθ
dθ 
sin θ u x + cosθ u x =
(−sinθ u x + cosθ u x ) = uθ
dt
dt
dt
dt
!
In conclusione la derivata rispetto al tempo del versore u r è data da4:


du r
= ω uθ
dt
!
3.24.2 Metodo alternativo per il calcolo della derivata del versore u r .
!
Possiamo calcolare la derivata del versore u r ricorrendo al limite del rapporto incrementale.
Facendo riferimento alla figura si vede che
!
!
!
!
du r
u r (t + Δt) − u r (t)
Δu r
= lim Δt→0
= lim Δt→0
dt
Δt
Δt
!
Dividiamo il calcolo del limite in due parti: il calcolo della direzione limite di Δu r ed il calcolo
dell’intensità.
4 Questo è un risultato generale: la derivata di un versore, quando non è nulla, diretta secondo il versore perpendicolare
(a + 90°) al versore stessa. La componente è pari ad ω la velocità con cui il versore cambia la sua orientazione.
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94
y
P(t+Δt)
P(t)
!
r(t)
!
u r (t + Δt )
!
u r (t + Δt )
!
u r (t )
Δθ
!
u r (t )
x
O
!
Δu r
!
Per quanto riguarda la direzione limite di Δu r , si osservi che al tendere a zero di Δt, anche Δθ tende
a zero. Tenuto anche conto che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 gradi, risulta
!
che l’angolo alla base del triangolo isoscele costruito con i versori u r al tempo t e al tempo t+ Δt,
!
diventa uguale a 90° al tendere a zero di Δt. Se ne deduce che la direzione limite di Δu r è
!
!
!
perpendicolare a u r e quindi parallela a uθ . Possiamo concludere che du r , il valore limite di
!
!
limite di Δu r per Δt che tende a zero, risulta parallelo a uθ .
D’altra parte osservando che per Δt che tende a zero, la lunghezza della corda è uguale a quella
!
dell’arco sotteso, che l’arco sotteso, avendo raggio pari a 1 (il modulo del versore u r ), ha una
lunghezza pari a dθ possiamo scrivere:
!
!
du r = dθ uθ
⇒
!
!
du r dθ uθ
=
dt
dt
⇒
!
du r dθ !
=
uθ
dt
dt
⇒
!
!
du r
= ω uθ
dt
3.24.3 La componente trasversa della velocità
Tornando alla rappresentazione polare della velocità, avremo dunque:
!
! dr(t) !
!
du r dr(t) !
v =
u r + r(t)
=
u r + r(t)ω uθ
dt
dt
dt
⇓
dr(t)
vr =
"$#dt
$
%
componente radiale
dθ
vθ = rω = r
dt
"$$#$$
%
componente trasversa
Al contrario di quanto abbiamo riscontrato nel caso della rappresentazione cartesiana, nel caso della
rappresentazione polare le coordinate si sono mescolate: infatti la componente trasversa della
velocità dipende sia da r che da θ.
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95
3.25 Moto in due (tre) dimensioni: definizione del vettore accelerazione.
Procediamo in maniera analoga a quanto è stato fatto per la velocità. Osserviamo dalla figura che la
velocità del punto materiale P varia mentre P si muove sulla sua traiettoria. La velocità è in ogni
!
punto tangente alla traiettoria e, per lo meno per quanto riguarda la direzione, il vettore velocità v
cambia mentre il punto materiale si sposta sulla traiettoria disegnata in figura.
!
v(t)
y
P(t)
!
v(t)
!
v(t + Δt)
!
r(t)
!
Δv
P(t+Δt)
Δθ
!
r(t + Δt)
θ(t)
θ(t+Δt)
!
v(t + Δt)
x
O
Il vettore accelerazione da una misura della rapidità con cui il vettore velocità cambia nel tempo.
!
Sia v( t ) la velocità del punto materiale al tempo t1=t, quando cioè si trova nella posizione P(t), e
!
v( t + Δt ) la velocità al tempo t2=t+Δt quando si trova nella posizione P(t+Δt).
Si definisce accelerazione media del punto materiale P nell'intervallo di tempo Δt la quantità:
!
! !
!
Δv v (t + Δt ) − v (t )
am =
=
Δt
Δt
!
!
a m è un vettore perché prodotto di uno scalare, 1/Δt , per un vettore, Δ v .
Ovviamente se si vuole una descrizione più accurata di come varia la velocità nell'intervallo t2-t1, si
può suddividere l'intervallo Δt in intervalli sempre più piccoli ed in ciascuno di questi calcolare
l'accelerazione media. Ma, così come abbiamo fatto per la velocità, possiamo anche definire
l'accelerazione istantanea, cioè l'accelerazione che il punto materiale P subisce punto per punto nel
percorrere la traiettoria.
!
Si definisce accelerazione istantanea a al tempo t1, il limite per Δt che tende a 0 del rapporto
incrementale, cioè:
Δ!v
v!(t + Δt ) − !v(t ) dv!
!
a = lim Δt →0
= lim Δ t→ 0
=
Δt
Δt
dt
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t= t1
96
!
!
Come si intuisce dalla figura l'accelerazione a , come Δ v , è diretta verso la concavità della
traiettoria. Ripetendo l'operazione di limite per tutti punti della traiettoria o, equivalentemente, per
ogni istante di tempo t, si ottiene la funzione accelerazione istantanea.
!
! dv
a=
dt
Tenendo conto dell'espressione della velocità in funzione del vettore posizione, si può anche
scrivere:
!
!
2!
! dv d ! dr # d r
a=
= " $= 2
dt dt dt
dt
3.25.1 Rappresentazione cartesiana della accelerazione
La precedente relazione vettoriale, è equivalente a tre relazioni scalari. Ricordando che sia la
posizione, che la velocità e l'accelerazione possono essere scritte in termini delle loro componenti:
!
!
!
r = xu x + yu y + zu z
!
!
!
v = v x u x + v y u y + vz u z
!
!
!
a = a x u x + a y u y + az u z
applicando le regole di derivazione della somma di funzioni prima e del prodotto di funzioni
! ! !
successivamente, tenendo presente che i versori u x , u y , u z sono costanti nel sistema di riferimento
usato per descrivere il moto, si ottiene:
!
! dv
!
!
!
d
d !
d !
d !
a=
= ( v x u x + v y u y + vz u z ) = v x u x + v y u y + vz u z =
dt dt
dt
dt
dt
!
!
!
du dv !
du
dv !
du dv !
= x u x + v x x + y u y + v y y + z u z + vz z =
dt
dt
dt
dt
dt
dt
!
!
!
=0
=
=0
=0
dvx ! dvy ! dvz !
ux +
uy +
uz
dt
dt
dt
Da cui segue, tenendo conto dell’espressione della accelerazione in termini delle sue componenti:




a = a x u x + a y u y + az u z
dvx d 2 x
= 2
dt
dt
dv d 2 y
ay = y = 2
dt
dt
dv d 2 z
az = z = 2
dt dt
ax =
⇒
 dv  dv  dv 
a = x ux + y uy + z uz
dt
dt
dt
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97
La componente x dell'accelerazione è uguale alla derivata prima fatta rispetto al tempo della
componente x della velocità, ed è anche uguale alla derivata seconda fatta rispetto al tempo della
coordinata x. Le altre componenti si comportano in maniera analoga alla componente x.
Anche in questo caso possiamo osservare che le componenti non si sono mescolate: la componente
x dell’accelerazione dipende solo dalla componente x della velocita e a sua volta questa dipende
solo dalla coordinata x del punto materiale. Lo stesso si può dire per le altre componenti
dell’accelerazione. Si intuisce cioè che quello che accade su un asse non influenza quanto accade
sugli altri assi.
3.25.2 Rappresentazione dell’accelerazione riferita alla traiettoria
Questa si ottiene partendo dall’espressione della velocità riferita alla traiettoria.
!
!
v = vu t
Ricordando che l’accelerazione è la derivata della velocità, risulta:
!
!
!
! dv d ( vu t ) dv !
du
a=
=
= ut + v t
dt
dt
dt
dt
Sappiamo già che la derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso.
Quindi possiamo dedurre che l’accelerazione ha una componente tangente pari alla derivata del
modulo della velocità ed una componente perpendicolare alla traiettoria.
Per valutare quanto vale la componente perpendicolare alla traiettoria, studiamo un moto su
traiettoria curva in cui il modulo della velocità rimane costante: il moto circolare uniforme.
3.25.3 Il moto circolare uniforme.
In natura ci sono diversi esempi di moto circolare o quasi circolare: il moto dei satelliti intorno alla
terra, il moto della terra intorno al sole, il moto di particelle cariche in un campo magnetico
uniforme. Ovviamente ci sono tantissimi esempi di moti che avvengono su traiettorie curve: lo
studio del moto circolare uniforme ci aiuta a comprendere quel che succede in questo tipo di moti.
Il moto circolare sebbene sia un moto piano, in cui cioè per individuare la posizione del punto
materiale sono richieste due distinte coordinate, può essere descritto utilizzando una sola variabile,
per esempio l’angolo formato dal vettore posizione con l’asse delle x (vedi figura).
Asse y
Δs
r(t+ Δt)
Δr = spostamento in Δt
Δs = arco percorso in Δt
Δr
r(t)
O
Θ(t)
Asse x
Utilizzando la definizione, la velocità scalare vs all'istante di tempo t, che come abbiamo già
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98
osservato coincide con il modulo v della velocità all’istante di tempo t, sarà data da:
v s = v = lim Δt →0
Δs
Δt
Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità, così come la velocità scalare è costante.
La velocità vettoriale invece dovendo essere in ogni istante tangente alla traiettoria, cambia con il
passare del tempo. Nella figura sono disegnati i due vettori della velocità rispettivamente agli istanti
di tempo t e t+Δt. Poiché il modulo della velocità è per ipotesi costante, i due vettori hanno la stessa
lunghezza.
Se dunque la velocità (vettoriale) cambia, possiamo calcolarci la variazione di velocità
!
nell’intervallo di tempo Δt. Quindi la variazione di velocità Δ v sarà data da
! !
!
Δ v = v(t + Δt ) − v( t )
!
e sarà rappresentato dal vettore Δ v della figura.
L’accelerazione media nell’intervallo di tempo Δt sarà data da:
Δ!v
!
am =
Δt
!
L’accelerazione media ha lo stesso verso di Δ v e cioè è diretta verso l’interno della traiettoria
circolare.
Per calcolare l’accelerazione istantanea all’istante di tempo t, occorre fare il limite per Δt che tende
a zero.
Δv!
!
a = lim Δ t→ 0
Δt
Valutiamo tale limite separatamente per quanto riguarda la direzione ed il verso e per quanto
!
riguarda il modulo. La direzione ed il verso di a saranno rispettivamente il limite della direzione e
!
del verso di Δ v quando Δt tende a zero. Osserviamo che per Δt che tende a zero anche l’angolo Δθ
tende a zero. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°, poiché il triangolo
!
!
!
di lati v( t ) , v( t + Δt ) e Δ v è isoscele con angolo al vertice Δθ, ne risulta che gli angoli alla base
tendono a 90° quando Δt tende a zero.
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99
Δv
Asse y
v(t+Δt)
v(t)
r(t+ Δt)
ΔΘ
v(t)
v(t+Δt)
ΔΘ
Sono
uguali
r(t)
O
Asse x
L’accelerazione all’istante di tempo t forma un angolo di 90° con la velocità all’istante di tempo t.
Dato che la velocità è tangente alla traiettoria circolare, l’accelerazione è diretta radialmente verso il
centro della traiettoria circolare. Per questo motivo si chiama accelerazione centripeta.
Calcoliamo ora il modulo dell’accelerazione centripeta.
!
!
!
Facendo riferimento alla figura si nota che i due triangoli, il primo di lati r (t) , r (t + Δt) e Δ r , ed il
!
!
!
secondo di lati v( t ) , v( t + Δt ) e Δ v , sono entrambi isosceli con lo stesso angolo al vertice: essi sono
quindi simili.
Si può scrivere allora che:
!
!
Δr
Δv
=
r
v
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100
Pertanto
a = lim Δt→ 0
Δv!
Δ !r v 1
v Δ!r
= lim Δt →0
= lim Δt → 0
Δt
r Δt
r Δt
!
Ma quando Δt tende a zero, | Δ r | tende a Δs il percorso effettuato. Allora:
!
v Δr
=
r Δt
v Δs
= lim Δt →0
=
r Δt
v
Δs v2
= lim Δ t→ 0
=
r
Δt
r
a = lim Δt→ 0
Possiamo concludere che il moto circolare uniforme è un moto accelerato, l’accelerazione è diretta
2
radialmente verso centro della circonferenza, e la sua intensità è proprio uguale a v r , il modulo
della velocità al quadrato diviso il raggio della traiettoria circolare.
3.25.4 Rappresentazione dell’accelerazione riferita alla traiettoria (conclusione)
Dallo studio del moto circolare uniforme, quando cioè il modulo della velocità è costante, è emerso
l’accelerazione è perpendicolare alla velocità, ed è diretta verso il centro della circonferenza stessa.
Si parla in questo caso di accelerazione centripeta o normale an.
Riprendendo il discorso cominciato nel paragrafo 3.24.2, un punto in moto su una traiettoria curva
ha una componente tangente dell’accelerazione, parallela alla velocità, uguale alla derivata del
modulo della velocità:
dv
at =
dt
ed una perpendicolare alla velocità, l’accelerazione centripeta o normale, la cui intensità è uguale al
quadrato del modulo della velocità nell’istante considerato diviso per il raggio della traiettoria
circolare (o, nel caso di una traiettoria non circolare, per il raggio di curvatura5 della traiettoria nel
punto considerato):
v2
an =
r
!
!
Utilizzando il versore tangente ut , ed il versore normale6 un , possiamo scrivere:
!
!
!
dv ! v 2 !
a = at u t + an u n = u t + u n
dt
r
In conclusione per qualunque traiettoria sia nel piano che nello spazio, l’accelerazione può essere
sempre scomposta in due componenti: la componente tangente dell’accelerazione che è
responsabile della variazione del modulo della velocità e la componente normale, perpendicolare
alla velocità, diretta verso il centro di curvatura della traiettoria, di intensità pari al modulo della
velocità al quadrato diviso il raggio di curvatura della traiettoria, che invece è responsabile del
cambiamento di direzione della velocità.
Per centro di curvatura e raggio di curvatura della traiettoria si intendono il centro ed il raggio della
5 Raggio di curvatura: raggio della circonferenza che meglio approssima la traiettoria curva ne punto considerato.
6 Il versore normale è perpendicolare la versore tangente sempre diretto dalla parte di concavità della curva versoil
centro di curvatura della traiettoria.
Il centro di curvatura della traiettoria è il centro della della circonferenza che meglio approssima la traiettoria curva ne
punto considerato.
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101
circonferenza che meglio approssima nel punto considerato la traiettoria data.
Se la traiettoria è rettilinea, il raggio di curvatura è infinito e pertanto l’accelerazione centripeta è
uguale a zero, se invece la traiettoria è circolare il centro di curvatura ed il raggio di curvatura sono
rispettivamente il centro ed il raggio della traiettoria circolare. Nei casi intermedi il centro di
curvatura si troverà dalla parte della concavità della curva, quindi anche l’accelerazione centripeta
sarà diretta verso la concavità della traiettoria.
In conclusione, ogni qualvolta noi osserviamo un moto su una traiettoria non rettilinea, possiamo
immediatamente concludere che il moto è accelerato in quanto esiste almeno la componente
normale dell’accelerazione (perpendicolare alla traiettoria) diretta verso la concavità della traiettoria
stessa, la cui intensità è pari al modulo della velocità al quadrato diviso il raggio di curvatura. A
questa si potrà aggiungere anche una componente tangenziale se il modulo della velocità non è
costante.
3.26 Moto armonico e moto circolare uniforme
!
L'accelerazione nel moto circolare uniforme è diretta in verso opposto al vettore posizione r . Se
!
!
indichiamo con u r il versore del vettore posizione r , allora l’accelerazione centripeta si può
scrivere come
v2 !
!
a = − ur
r
!
! !
Tenendo conto che il vettore posizione r può essere scritto come r = rur , l’accelerazione diventa:
v2 !
!
a=− 2 r
r
L'accelerazione nel moto circolare uniforme è quindi proporzionale, attraverso il coefficiente
v2
!
2
costante ω = 2 , all'opposto della posizione, − r .
r
L'equazione differenziale caratteristica del moto del punto P sulla traiettoria circolare con velocità
di modulo costante, sarà data da:
d 2 !r
2!
2 = −ω r
dt
v
. Sappiamo che il modulo della velocità è costante
r
trattandosi di un moto circolare uniforme, la lunghezza di arco percorsa nell’intervallo di tempo Δt
vΔt
sarà Δs= v Δt. Questo arco sottenderà un angolo Δθ pari a Δθ =
.
r
Dividendo per Δt possiamo calcolare la velocità angolare ω, cioè la rapidità con cui varia l’angolo
formato dal vettore posizione con l’asse x:
Cerchiamo di capire cos’è la costante ω =
Δθ vΔt r v
ω=
=
=
Δt
Δt
r
Si noti che la rapidità con cui cambia l’angolo formato dal vettore posizione con l’asse x è costante,
vengono percorsi angoli uguali in intervalli di tempo uguali: questa è una conseguenza del fatto che
il modulo della velocità è costante.
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102
L'equazione precedente è una equazione vettoriale che, trattandosi di un moto piano, è equivalente a
due equazioni scalari:
!
!
!
d 2r
2!
vettoriale
a = −ω 2 r
2 = −ω r
dt
d 2x
2
asse x
ax = −ω 2 x
2 = −ω x
dt
d2 y
asse y
a y = −ω 2 y
= −ω 2 y
dt2
Tali equazioni rappresentano le due equazioni differenziali cui obbediscono i moti rettilinei,
rispettivamente sugli assi x e y, dei punti proiezione, Px e Py, del punto P mentre esso si muove di
moto circolare uniforme sulla traiettoria circolare.
Le accelerazioni dei punti proiezione Px e
Py sono opposte alle rispettive posizioni.
y
θ(t)=ωt+ϕo
Le leggi orarie che descrivono il moto dei
moto circolare
punti proiezione Px e Py costituiscono
!
uniforme
v( t)
dunque due soluzioni delle equazioni
ω= costante
differenziali del moto armonico. Noi
Py !
P(t)
possiamo determinare tali leggi orarie
r( t)
proiettando sugli assi cartesiani il punto P
θ(t)
mentre si muove con velocità costante in
x
O
Px
modulo sulla traiettoria circolare.
x = R cosθ(t) = Rcos(ωt + ϕ o )
y = Rsen θ(t) = Rsen(ωt + ϕ o )
in cui ϕo rappresenta l'angolo formato dal
vettore posizione con l'asse x all'istante di tempo t=0 s.
Queste equazioni mostrano che il moto sull'asse delle x, così come quello sull'asse delle y, è un
moto periodico: infatti il punto proiezione Px ripassa per la stessa posizione dopo un intervallo di
tempo Δt tale che θ(t+Δt) - θ(t) = 2π. Δt è dunque uguale al tempo impiegato dal punto P a
percorrere un giro sulla circonferenza, e quindi coincide col periodo T del moto circolare uniforme.
Dalla definizione di velocità angolare ricaviamo la relazione tra il periodo T e ω. Infatti poiché la
velocità angolare è costante
x (m)
Δθ
10
ω=
Δt
per qualunque valore dell’intervallo di
tempo Δt.
5
In particolare se scegliamo l’intervallo
di tempo Δt pari al periodo T ,
l’angolo percorso in questo intervallo
0
di tempo è pari all’angolo giro (il
punto P sulla traiettoria circolare
ritorna nella stessa posizione dopo
-5
aver fatto un giro). Pertanto:
-10
ω=
1
6
11
16
Δθ 2π
=
Δt
T
⇒ T=
2π
ω
21
θ (rad)
L'andamento dello spostamento del
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
103
punto proiezione Px sull'asse delle x, in funzione dell'angolo formato dal vettore posizione con
l'asse delle x, è riportato nel grafico mostrato al lato ( si è supposto che l'angolo formato dal vettore
posizione con l'asse delle x all'istante t=0 s sia uguale ad 1 radiante). Poiché l'angolo è una funzione
lineare del tempo, l'andamento della posizione del punto Px in funzione del tempo sarà del tutto
simile a quello mostrato nel grafico al lato.
Richiamiamo ancora una volta l'attenzione sul fatto che le espressioni della velocità e
dell’accelerazione per il moto circolare, che abbiamo testé derivato, sono strettamente dipendenti
dal fatto di aver scelto l'origine del sistema di riferimento nel centro della traiettoria: infatti per una
scelta diversa, r non sarebbe stato costante, la velocità avrebbe avuto entrambe le componenti vr e
vθ, etc.
3.27 Moto in tre dimensioni: il problema del moto.
Supponiamo ora di conoscere l'accelerazione subita dal punto materiale P durante il suo moto,
siamo in grado di risalire da questo alla equazione oraria del moto?
Se riscriviamo la definizione dell'accelerazione avendo cura di mettere a sinistra le quantità
incognite e a destra le quantità note, otteniamo:
dv
=a
dt
dv x
= ax
dt
dv y
= ay
dt
dv z
= az
dt
e poi passando allo spostamento:
dr
=v
dt
dx
= vx
dt
dy
= vy
dt
dz
= vz
dt
Combinando le due, otteniamo la relazione tra l'accelerazione e lo spostamento.
d 2r
2 = a
dt
d 2x
= ax
dt 2
d 2y
2 = ay
dt2
d z
= az
dt 2
Allora risolvere il problema del moto significa risolvere le precedenti equazioni: l'equazione
vettoriale o, equivalentemente, le tre equazioni scalari. Poiché in esse compaiono le derivate, queste
equazioni si dicono differenziali. In particolare sono differenziali del second'ordine perché vi
compaiono le derivate seconde.
Cosa significa risolvere queste equazioni?
Significa trovare le funzioni
x(t)
y(t)
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
z(t)
104
che derivate due volte rispetto al tempo diano le funzioni:
ax(t)
ay(t)
az(t)
3.28 Moto del proiettile.
Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60° rispetto
all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,
1. la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
2. la velocità di impatto al suolo
3. la durata del moto
4. l’altezza massima raggiunta dal proiettile.
5. il tempo impiegato per raggiungerla.
6. il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata.
7. la gittata quando l’angolo è di 30°.
y (m)
Per studiare questo moto si sceglie un
250
sistema di riferimento con l’origine nella
posizione del cannone, cioè coincidente con
la posizione iniziale del proiettile, l’asse y
200
verticale, l’asse x orizzontale in maniera che
il vettore della velocità iniziale sia contenuto
nel piano xy (l’asse x cioè è diretto nella
150
direzione in cui punta la canna del cannone).
L’asse z è automaticamente fissato da queste
scelte e dal fatto che la terna cartesiana deve
100
essere costruita con la regola della mano
!
destra.
g
Una volta che il proiettile ha abbandonato la
50
canna del cannone, nell’ipotesi di poter
trascurare la resistenza dell’aria, sarà
!
θo
soggetto all’accelerazione di gravità g .
0
L’accelerazione di gravità sappiamo essere
0
50
100
150
200
250 x (m)
la stessa in ogni punto, diretta lunga la
verticale verso il basso.
Nel sistema di riferimento introdotto
l’accelerazione ha soltanto la componente verticale, lungo l’asse y, uguale a –g, le altre componenti
sono nulle. Avremo cioè:
x
ax = 0
y
ay = −g
z
az = 0
Esaminando con cura le tre componenti delle accelerazioni possiamo osservare che il moto:
lungo l’asse x è un moto uniforme (accelerazione nulla).
lungo l’asse y è uniformemente accelerato (accelerazione costante)
x(t) = x o + v o xt
1
y(t) = y o + v o yt − gt 2
2
z(t) = z o + vozt
lungo l’asse z è uniforme come quello lungo l’asse x.
Avendo scelto l’origine del sistema di riferimento coincidente con la posizione del cannone e quindi
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
105
con la posizione iniziale del proiettile avremo che:
xo = 0
yo = 0
zo = 0
mentre le componenti della velocità iniziale sono
v x o = vo cosθ o
v y o = vo sinθo
v zo = 0
La legge oraria del proiettile diventa:
x(t) = v o cosθo t
v x = v o cosθo
v y = v osinθ o − gt
vz = 0
1
y(t) = v o sinθ o t − gt 2
2
z(t) = 0
Il fatto che la coordinata z sia costantemente uguale a zero significa che il moto è piano ed
avviene nel piano xy.
Le equazioni parametriche della traiettoria sono:
x(t) = v o cosθo t
y(t) = v o sinθ o t −
1 2
gt
2
L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il parametro tempo. Ricaviamo il tempo dalla
prima equazione e sostituiamo nella seconda:
x
t=
vo cosθ o
⇒
x
1 $
x ')
y = vo sinθ o
− g&
vo cosθ o 2 % vo cosθ o (
2
1
x2
y = x tan θo − g 2
2 v o cos2 θ o
L'equazione è del tipo y = ax + bx 2 ed è
quella di una parabola come quella
rappresentata nel grafico.
Avendo determinato la traiettoria del
proiettile, è possibile rispondere alle
domande della traccia.
y (m)
250
y = (tan gθ o )x −
200
vo = 50 m / s
θ o = 60ϒ
150
1. la distanza dal punto di partenza del
punto di atterraggio del proiettile
(gittata).
Per calcolare la gittata occorre
determinare la coordinata x del
punto di impatto. Poiché la
coordinata y del punto di impatto
è uguale a zero, occorre ricercare
i valori della coordinata x quando
la y è uguale a 0.
1
g
x2
2
2
2 v o cos θ o
G
vy
100
vx
50
y
max
θo
0
0
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
50
100
150
200
250 x (m)
106
1
x2
y = 0 ⇒ 0 = x tan θo − g 2
2 v o cos2 θ o
x1 = 0
tan θ o 2v2o cos 2 θo 2v2o cos 2 θ o senθ o
x
=
=
#
&
2
1
x
g
g
cosθ o
%
(
0 = x tan θ o − g 2
⇒
2 v o cos2 θo '
$
2v2 senθ o cosθo
= o
g
La soluzione x1 rappresenta il punto di partenza, mentre x2 quello di arrivo. La gittata è
la differenza delle due coordinate:
2v2 senθ o cosθ o
G = x2 − x1 = o
= 220.6 m
g
2. la velocità di impatto al suolo
Conviene rispondere prima alla successiva domanda.
3. la durata del moto
Per calcolare la durata del moto occorre calcolare il tempo di impatto del proiettile. Si
usa la legge oraria lungo l’asse y imponendo che y sia uguale a zero.
t1 = 0
1 &
$
y = 0 ⇒ 0 = t % v osinθ o − gt ' ⇒ t = 2v o sinθo
2
2
g
Il tempo t1 corrisponde al punto di partenza, t2 al punto di impatto.
La durata del moto è la differenza tra i due tempi:
2v sen θo
D = t2 − t1 = o
= 8.82 s
g
La velocità finale si può ottenere calcolando le due componenti all’istante di tempo
dell’impatto t2.
vx = vo cosθ o
vy = vo sin θ o − gt
vx = vo cosθ o
vy = vo sin θ o − g
2vo sin θ o
= −vo sin θ o
g
La componente x è la stessa di quella all’inizio del moto, quella y è opposta a quella
iniziale. Il modulo della velocità, vo , è lo stesso sia allo sparo che all’impatto.
4. l’altezza massima raggiunta dal proiettile.
Anche qui conviene rispondere prima alla domanda seguente.
5. il tempo impiegato per raggiungerla.
Osserviamo che, essendo la velocità sempre tangente alla traiettoria, nel punto in cui la
traiettoria raggiunge la massima altezza, la velocità ha solo la componente orizzontale,
quindi la componente verticale della velocità è nulla. Si può usare questa condizione per
determinare l’istante di tempo in cui viene raggiunta la massima altezza.
v y = v o sinθo − gt
v sinθo
⇒
0 = v osinθ o − gt ⇒ t 3 = o
vy = 0
g
Il tempo per raggiungere la massima altezza è esattamente la metà della durata del moto.
Utilizzando la legge oraria possiamo calcolare le coordinate del punto in cui la traiettoria
raggiunge la massima altezza, cioè all’istante di tempo appena calcolato, t3.
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
107
x(t) = vo cosθ o t
t3 =
1
y(t) = vo sen θ o t − gt 2
2
vo sen θ o
g
xmax =
vo2 sen θ o cosθ o
g
v sen θ o 1 " vo sen θ o %
ymax = vo sen θ o o
− g$
'
g
2 #
g &
v2o sen θo cosθ o
= 110.3 m
g
1 v 2o sen2 θ o
=
= 95.6 m
2
g
x max =
y max
6. il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata.
Dall’espressione della gittata, usando la relazione trigonometrica 2sen θcosθ = sen(2θ )
otteniamo
2
2v2o senθ o cosθ o v o sen( 2θo )
G = x2 − x1 =
=
g
g
La gittata sarà massima, a parità di velocità iniziale, quando il seno sarà massimo. Il
massimo della funzione seno è uguale a 1 in corrispondenza di un angolo di 90°.
Possiamo concludere che la gittata sarà massima in corrispondenza di una angolo di
lancio di 45°. Il valore della gittata massima sarà:
G max
v2o
= = 254.8 m
g
7. la gittata quando l’angolo è di 30°.
v2o sen(2θ o ) v 2o sen(2 * 30°)
G=
=
= 220.6 m
g
g
Il valore della gittata con un angolo di tiro di 30 gradi è uguale alla gittata con un angolo
di tiro di 60°. Angoli che distano da 45° della stessa quantità hanno la stessa gittata.
3.29 Moti relativi.
Per concludere lo studio della cinematica, affrontiamo in questo paragrafo il problema della
determinazione delle leggi di trasformazione tra sistemi di riferimento diversi delle grandezze
cinematiche: posizione, velocità ed accelerazione.
Cerchiamo cioè di rispondere alla seguente domanda: supponiamo di saper descrivere il moto di un
punto materiale in un particolare sistema di riferimento, conosciamo cioè, come funzioni del tempo,
la posizione, la velocità e l'accelerazione del punto materiale rispetto ad un particolare osservatore,
in un particolare sistema di riferimento, possiamo determinare con questi dati i valori della
posizione, velocità ed accelerazione del punto materiale misurate da un differente osservatore, in un
altro sistema di riferimento? Supponiamo per esempio di aver determinato la posizione di Marte, la
sua velocità e la sua accelerazione, rispetto alla Terra, è possibile con queste informazioni
determinare la posizione, la velocità e l'accelerazione di Marte rispetto al Sole?
Per determinare le leggi di trasformazione consideriamo due sistemi di riferimento cartesiani, il
primo con l’origine in O e assi x,y,z, il secondo con origine in O' e x',y',z' (leggi O-primo, x-primo,
y-primo, z-primo).
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
108
2
Indicheremo la prima terna di assi come la terna Oxyz (senza apostrofo), la seconda la chiameremo
O'x'y'z' (con gli apostrofi).
Spesso alla prima terna ci
P
si riferisce come alla terna
z
"assoluta", alla seconda
z'
y'
terna come terna "relativa".
!
!
r
Deve essere però chiaro che
r'
O
la terna assoluta non ha
O
alcuna proprietà in più
O'
rispetto a quella relativa, ed
x'
y
i ruoli delle due terne
O
possono essere scambiati.
!
x
Indichiamo con r la
posizione
del
punto
materiale P nel sistema di
!
riferimento Oxyz e con r' la posizione sempre del punto P nel sistema di riferimento O'x'y'z'.
!
!
Come appare dalla figura, la relazione tra r ed r' è data da
! ! !!→
r = r' + OO'
!
!→
dove il vettore OO' è il vettore posizione dell'origine O' della terna O'x'y'z' nel sistema di
riferimento Oxyz.
Il caso rappresentato in figura è quello più generale
possibile, in cui con il passare del tempo cambia sia la
y
y'
posizione dell’origine O’ del secondo sistema rispetto
al primo, ma anche le orientazioni degli assi del
P
secondo sistema rispetto al primo.
Noi non affronteremo il caso più generale, ma ci
!
!
r
r'
limiteremo a considerare il caso di due sistemi di
x'
O'
riferimento in cui varia solo la posizione dell’origine
x
O
del secondo sistema rispetto al primo, mentre
z'
l’orientazione degli assi rimane costante. Tanto per
z
fissare le idee supporremo che gli assi x’, y’ e z’ siano
z
costantemente paralleli ai corrispondenti assi x, y ,z
del primo sistema. In questa ipotesi, rappresentata in
! ! !
y'
figura, i versori u' x , u' y , u'z della seconda terna
! ! !
P
coincidono con i corrispettivi versori u x , u y , u z della
y
prima terna.
y'
y
O'
P
O
O'
O
z'
x'
z'
x
z
z
x
z
z
Si osservi preliminarmente che se l’origine O’ della seconda terna subisce un certo spostamento in
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
109
x'
un fissato intervallo di tempo, allora tutti i punti dello spazio, supponendo che vengano trascinati
dal moto della terna, subiscono lo stesso spostamento (questo non è più vero se noi permettiamo dei
cambiamenti nella orientazione degli assi, ossia se siamo in presenza di rotazioni). Un moto che
avviene in questo modo, senza rotazioni, si chiama di “pura “ traslazione7.
Facendo riferimento alla figura della pagina precedente la posizione del punto materiale
! !
r = r' + OO'
!
!→
x = x' +x o'
⇔
y = y' + yo'
z = z' +z o'
dove xo’, yo’, e zo’ sono le coordinate dell’origine O’ del secondo sistema di riferimento come
misurate dal primo sistema.
Si osservi che:
!
!
!
!
r = xu x + yu y + zu z
x = x '+ xo'
!
!
!
!
!
!
!
r' = x ' u' x + y' u' y + z' u'z = x ' u x + y' u y + z' u z
⇔
y = y'+ yo'
! ""→ !
!
OO' = xO'u x + yO'u y + zO'u z
z = z'+ zo'
Cerchiamo ora di determinare la relazione tra le velocità misurate nei due sistemi di riferimento. Per
definizione noi sappiamo che
!
!
!
!
! dr d ( xu x + yu y + zu z ) dx ! dy ! dz !
v=
=
= ux + uy + uz
dt
dt
dt
dt
dt
! ! !
in cui l’ultimo passaggio si giustifica per il fatti che i versori u x , u y , u z sono costanti nel sistema di
riferimento in cui stiamo calcolando la velocità, cioè nel sistema di riferimento in cui stiamo
eseguendo la derivata.
Analogamente per il secondo sistema si avrà:
!
!
!
!
! dr' d ( x ' u' x + y' u' y + z' u'z ) dx ' !
dy' !
dz' !
v' =
=
=
u' x +
u' y +
u'z
dt
dt
dt
dt
dt
Anche in questo caso l’ultimo passaggio è giustificato dal fatto che nel secondo sistema di
! ! !
riferimento i versori u' x , u' y , u'z sono costanti.
La velocità di O’ rispetto a O sarà invece data da:
→
!
!
!
!
d OO' d ( xO'u x + yO'u y + zO'u z ) dxO' ! dyO' ! dzO' !
v O' =
=
=
ux +
uy +
uz
dt
dt
dt
dt
dt
Calcoliamo ora la velocità del punto P nel sistema di riferimento Oxyz utilizzando la relazione tra i
vettori posizione nei due sistemi di riferimento:
→
" !r' + OO'
$
→
!
d
#
% d!r' d OO' d !r' !
! dr
v=
=
=
+
=
+ v O'
dt
dt
dt
dt
dt
7 In generale un qualunque spostamento della terna O’x’y’z’ può essere immaginato come la sovrapposizione di una
“pura “ traslazione più una rotazione.
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
110
!
!
La velocità v è data dalla velocità dell’origine del secondo sistema di riferimento v O' più la derivata
!
!
di r' fatta rispetto al tempo. Questa derivata, in generale, può essere diversa dalla velocità v' , in
quanto essa deve essere valutata nel sistema di riferimento Oxyz e, in questo sistema, i versori
! ! !
!
u' x , u' y , u'z possono non essere costanti. Se così fosse, nel calcolare la derivata, oltre a v' ,
! ! !
comparirebbero dei termini derivanti dalla derivata non nulla dei versori u' x , u' y , u'z .
! ! !
Nel nostro caso, però, stiamo supponendo che i versori u' x , u' y , u'z siano sempre costantemente
! ! !
paralleli ai versori u x , u y , u z , pertanto, in questa ipotesi (e solo in questa ipotesi), quando valutiamo
!
!
la derivata di r' essa risulterà essere proprio uguale a v' .
In conclusione:
v x = v' x' +v xO'
! ! !
v = v' + v O'
⇔
v y = v' y' +v yO'
vz = v' z' + vzO'
In maniera del tutto analoga possiamo procedere nel calcolo dell’accelerazione:
! !
!
!
!
!
! dv d(v' + vO' ) dv' dv O' dv' !
a=
=
=
+
=
+ aO'
dt
dt
dt
dt
dt
dv!' !
e con una analogo ragionamento otteniamo che
= a' è proprio uguale all’accelerazione del
dt
punto P misurata nel sistema di riferimento O’x’y’z’.
Quindi, quando i due sistemi si muovono in modo tale che gli assi della terna O’x’y’z’ mantengono
una orientazione fissa rispetto a quelli della terna Oxyz, per esempio sono sempre paralleli ai
corrispondenti assi della terna Oxyz, l’accelerazione misurata nel sistema Oxyz è la somma
dell’accelerazione dell’origine O’ del secondo sistema più l’accelerazione misurata nel secondo
sistema:
a x = a' x' +a xO'
! ! !
a = a' + a O'
⇔
a y = a' y' +a yO'
a z = a' z' +a zO'
Come caso particolare si deduce quindi che se l’accelerazione dell’origine O’ della seconda terna è
uguale a zero, cioè quando il moto della terna con gli apostrofi rispetto all'altra terna è traslatorio
uniforme, l'accelerazione del punto materiale misurata dai due sistemi di riferimento ha lo stesso
valore.
!
! !
a O' = 0 ⇒ a = a'
Viceversa se l'accelerazione dell'origine O' della terna O’x’y’z’ è diversa da zero, ovvero se le
orientazioni dei suoi assi cambiano rispetto a quelle della prima terna, l'accelerazione del punto
materiale misurata dai due sistemi di riferimento è differente.
Può succedere quindi che un punto materiale abbia accelerazione nulla in un sistema di riferimento
ed accelerazione non nulla in un diverso sistema di
y'
y
riferimento a causa delle proprietà del secondo sistema
di riferimento.
Se l’origine O’ del secondo sistema si muove
mantenendosi sempre sull’asse delle x, vedi figura, le
leggi di trasformazione diventano:
!
r
!
r'
O
O'
x≡x'
G.P.
z Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
z'
111
! !
r = r' + OO'
!
!→
! ! !
v = v' + v O'
! ! !
a = a' + a O'
x = x' +x o'
y = y'
z = z'
v x = v' x' +v xO'
⇔
vy = v' y'
v z = v' z'
⇔
a x = a' x' +a xO'
a y = a' y'
a z = a' z'
⇔
L’ultima di queste, se la velocità dell’origine O’ è costante, diventa:
a x = a' x'
! !
a = a'
⇔
a y = a' y'
Le relazioni
a z = a' z'
! !
r = r' + OO'
!
!→
→
→
→
→
→
v = v' + v O'
a = a'
sono anche indicate con il nome di "trasformazioni di Galilei".
3.29.1 Moto di traslazione uniforme lungo l'asse x.
Supponiamo che all'istante di tempo t=0 la terna fissa, senza apostrofi, e quella mobile coincidano.
Supponiamo poi che l'origine O' della terna mobile si muova con velocità costante lungo l'asse x.
Poiché il moto della seconda terna è di pura traslazione gli assi x ed x', y ed y', z e z' risulteranno
sempre paralleli tra loro, quindi ad ogni istante di tempo saranno verificate le seguenti relazioni:
!
!
u x = u' x
! !
u y = u' y
! !
u z = u' z
Facendo riferimento alla figura i vettori posizione nei due sistemi di riferimento sono dati da:
!
!
!
!
r = xu x + yu y + zu z
!
!
!
!
!
!
!
r' = x ' u' x + y' u' y + z' u' z = x ' u x + y' u y + z' k z
→
!
OO' = xO'u x
Poiché deve essere:
!
!
!
!
r = xu x + yu y + zu z =
→
!
!
!
!
!
= r'+ OO' = x ' u x + y' u y + z' u z + xO'u x
Otteniamo le seguenti relazioni tra le componenti:
x = x' + xO'
y = y'
z = z'
G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Generale per Ingegneria Edile AA 2013/2014
112
Osserviamo infine che xO' può essere espresso in termini della velocità di traslazione, vxO'. Tendo
conto delle condizioni iniziali, le due terne coincidono all'istante t=0, la relazione cercata è:
xO'=vxO't
Questa ci permette di riscrivere le relazioni tra le componenti nel seguente modo:
x = x' + vxO' t
y = y'
z = z'
Per quanto riguarda le velocità sappiamo che:
→
→
→
v = v'+ v O'
!
!
!
!
!
!
!
vx u x + vy u y + vz u z = v' x u x + v' y u y + v'z u z + vxO'u x
Da cui si ottiene per le componenti:
v x = v' x +v xO'
v y = v' y
v z = v' z
→
→
Infine per l'accelerazione a = a' , e quindi:
a x = a' x
a y = a' y
a z = a' z
Esaminiamo ora alcuni moti e vediamo come appaiano dai due sistemi di riferimento in moto
relativo traslatorio uniforme.
Caso I: Il punto materiale si muove con velocità costante vPx (vPy = vPz =0)lungo l'asse x, la sua
legge oraria è data da xP=xPo+ vPxt (yP = zP = 0).
Utilizzando le leggi di trasformazione:
x = x' + vxO' t
v x = v' x +v xO'
y = y'
z = z'
Otteniamo che:
x' P = x Po + v xPt − v xO' t = x Po + (v xP − v xO' )t
v y = v' y
v z = v' z
v' xP = vxP − v xO'
y' P = y P = 0
v' yP = 0
z' P = z P = 0
v' zP = 0
Da cui possiamo dedurre le seguenti informazioni: il moto nella terna con gli apostrofi è ancora un
moto rettilineo uniforme che avviene lungo l'asse x'; la velocità del punto materiale nel secondo
sistema di riferimento è vxP -vxO'. Se per esempio abbiamo una automobile che percorre una strada
rettilinea con velocità vxP, essa ci apparirà ferma se osservata da un'altra automobile che procede
nello stesso senso di marcia con la stessa velocità. Sembrerà che possieda una velocità doppia se
osservata da una automobile che procede con la stessa velocità ma in verso opposto.
Caso II: supponiamo ora che il punto materiale si muova di moto rettilineo uniforme nel piano xy;
siano vxP e vyP le due componenti della velocità (vzP= 0), mentre la legge oraria è:
xP = xPo + vxP t
yP = yPo + vyP t
zP = 0
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y
La pendenza della traiettoria, che corrisponde alla tangente
dell'angolo formato dalla velocità con l'asse delle x, è data da:
v
tan θ =
vyP
vxP
yPo
v yP
v xP
Si vede che la pendenza non dipende dal tempo, come appunto
deve essere nel caso di una retta.
Utilizzando le leggi di trasformazione:
x = x' + vxO' t
v x = v' x +v xO'
θ
x
xPo
y = y'
z = z'
v y = v' y
v z = v' z
si ottiene:
x' P = x Po + v xPt − v xO' t = x Po + (v xP − v xO' )t
v' xP = vx p − vxO'
y' P = y Po + v yPt
v' yP = vyP
z' P = 0
v' zP = 0
La pendenza della traiettoria sarà data da:
tan θ' =
v' yP
v yP
=
v' xP v xP − v xO'
Come si vede la pendenza non dipende dal tempo, e questo ci dice che la traiettoria è ancora
rettilinea anche nel sistema di riferimento con gli apostrofi. Le pendenze della traiettoria nei due
sistemi di riferimento, cioè la tangente dell'angolo formato rispettivamente con l'asse x ed x', sono
diverse.
Applicazione.
Una persona ferma sul marciapiede della stazione spara un proiettile perpendicolarmente ai binari
mentre sta transitando un treno alla velocità di 40km/h. La velocità di uscita del proiettile dalla
canna della pistola è di 100 m/s. Il proiettile entra ed esce dal treno lasciando due fori nei finestrini
posti sui lati opposti del treno senza diminuire apprezzabilmente la sua velocità. Qual è la distanza
del foro di uscita del proiettile dal punto direttamente opposto al foro di ingresso se il treno è largo
2 m?
y
y'
vP
O
Foro di uscita
d
-vT
v'P vP
vT
x
O'
θ
x'
Foro di ingresso
In questo caso faremo coincidere la terna senza apostrofi con quella legata al marciapiede della
stazione con l'asse x parallelo ai binari. In questo sistema di riferimento il treno ha velocità vT
diretta lungo l'asse x, ed il proiettile viene sparato nella direzione dell'asse y con velocità vP. La
terna con gli apostrofi è invece legata al vagone ferroviario e quindi la velocità dell'origine O'
rispetto alla terna fissa coincide con la velocità del treno vT. In base alla legge di trasformazione
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delle velocità
→
→
→
v = v' + v O'
si ottiene:
→
→
→
v' P = v P − v T
la velocità del proiettile nel sistema legato al treno è la somma vettoriale della velocità del proiettile
rispetto al marciapiede della stazione ed il vettore "meno velocità del treno". Tale somma vettoriale
è rappresentata nella seconda figura. Se ne deduce che
tan gθ =
vT
=
vP
1000
3600 = 1
100
9
40
La distanza d richiesta è:
1
d = l arg hezza _ treno × tan gθ = 2 = 0.22m
9
Caso III: il punto materiale si muove, nel sistema con gli apostrofi, di moto rettilineo
uniformemente accelerato, per esempio lungo l'asse y'.
La legge oraria nel sistema con gli apostrofi, supponendo che il moto del punto materiale inizi
all'istante 0 con velocità nulla, è data da:
y'P=y'Po+1/2 a'yPt2
v'yP=a'yPt
a'yP= cost
Nel sistema senza apostrofi, utilizzando le leggi di trasformazione, si ha:
x P = vxO' t
v xP = v xO'
1
y P = y' Po + a yPt 2
2
zP = 0
v yP = a yPt
v zP = 0
La pendenza della traiettoria nel sistema senza apostrofi è data da:
tan gθ =
vyP a yPt
=
vxP vxO'
La pendenza risulta essere dipendente dal tempo, e questo indica che la traiettoria nel sistema senza
apostrofi non è rettilinea.
Naturalmente l'accelerazione misurata dai due sistemi di riferimento è la stessa.
Come esempio si può fare riferimento al moto di un grave che viene lasciato cadere dalla sommità
dell'albero di una nave. Per un osservatore posto sulla nave il moto appare rettilineo uniformemente
accelerato lungo l'asse verticale o, in altri termini, lungo l'albero. Un osservatore posto sulla
banchina del porto, rispetto al quale la nave si muove con velocità costante, osserverà un moto che è
la composizione del moto di caduta nella direzione verticale con il moto uniforme della nave nella
direzione orizzontale: il moto del grave che cade dall'albero della nave apparirà dunque come il
moto del proiettile (vedi il prossimo capitolo) e la sua traiettoria sarà parabolica.
Si osservi che entrambi gli osservatori vedono giungere il corpo nello stesso punto sulla tolda della
nave, cioè ai piedi dell'albero: non è possibile distinguere quale dei due osservatori sia in moto e
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quale in quiete.
y'
O'
y
x'
O
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x
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