Studio cinematico del moto armonico di un punto materiale per la determinazione di due relazioni utili all’analisi di circuiti in corrente alternata. prof. Dario Benetti §1 Introduzione. In riferimento alla figura sottostante, un punto materiale C compie un moto circolare uniforme su una circonferenza di centro O e raggio r, muovendosi a una velocità !
tangenziale vC = ω r in senso antiorario, dove ω indica la velocità angolare. Supponiamo che al tempo t0 = 0 il punto C si trovi sul semiasse positivo delle ascisse. Altresì supponiamo che ad un certo tempo t il punto C si trovi nella posizione mostrata in figura, compiendo così un angolo α = ωt . Consideriamo la proiezione A del punto C sull’asse delle ascisse. Il punto A compie un moto armonico, di pulsazione ω e periodo T = 2π ω (il tempo che impiega, partendo da un’estremità, a ritornare nello stesso punto). §2 Il vettore spostamento. !
La posizione del punto A è determinata dal vettore s t . Per determinare l’espressione analitica ()
del vettore spostamento, consideriamo il triangolo ACO: si ha ()
( )
s t = r cos ωt . 1 di 8 (1) §3 Il vettore velocità. La prima relazione. !
!
La velocità del punto A è determinata dal vettore v t , la proiezione del vettore vC sull’asse delle ()
ascisse, quindi in modulo corrisponde alla lunghezza del segmento BC. Per determinare l’espressione analitica del vettore velocità, considero il triangolo BCD, simile al triangolo ACO con rapporto di similitudine ω ( CD OC = vC r = ω r r = ω ): si ha ()
( )
v t = −ω r sin ωt , (2) dove il segno “–” indica che il vettore velocità ha verso opposto rispetto al vettore spostamento. ( ) ⇒ v t = Δr cos (ωt ) ⇒ v t = rΔcos (ωt ) , confrontando questa relazione ( ) Δt ( ) Δt
( ) Δt
Ora, poiché v t =
Δs t
con la (2) otteniamo: ( ) = −ω sin ωt . ( )
Δt
Δcos ωt
2 di 8 §4 Il vettore accelerazione. La seconda relazione. !
!
L’accelerazione del punto A è determinata dal vettore a t , la proiezione del vettore aC sull’asse ()
delle ascisse, quindi in modulo corrisponde alla lunghezza del segmento EF. Per determinare l’espressione analitica del vettore velocità, considero il triangolo CEF, simile al triangolo ACO con rapporto di similitudine ω 2 ( EF OC = aC r = ω 2r r = ω 2 ): si ha a t = −ω 2r cos ωt , ()
( )
(3) dove il segno “–” indica che il vettore accelerazione ha verso opposto rispetto al vettore spostamento. Δ !"−ω r sin(ωt )#$
−ω rΔsin(ωt )
(
)
⇒ a (t ) =
⇒ a (t ) =
Ora, poiché a (t ) =
, confrontando questa Δt
Δt
Δt
Δv t
relazione con la (3) otteniamo: ( ) = ω cos ωt . ( )
Δt
Δsin ωt
3 di 8 §5 La fem di un alternatore. Ricordiamo le due relazioni determinate nel paragrafi precedenti, che legano la variazione di una funzione goniometrica a un’altra funzione goniometrica. Precisamente: ( ) = −ω sin ωt ( )
Δt
(4) ( ) = ω cos ωt . ( )
Δt
(5) Δcos ωt
e Δsin ωt
Consideriamo un alternatore il cui rotore (ad esempio una spira) ruoti con una velocità angolare ω . Supponiamo che al tempo t0 = 0 il rotore si trovi in posizione traversale rispetto al campo magnetico (per cui il flusso assume il valore massimo). Altresì supponiamo che ad un certo tempo t il rotore si trovi inclinato di un angolo un angolo α = ωt rispetto alla posizione iniziale. ()
La legge di Faraday-­‐Lenz afferma che f t = −
ΔφB
Δt
()
⇒ f t =−
( ) ⇒ f t = −BS Δcos (ωt ) . ()
Δt
Δt
ΔBScos ωt
Utilizzando la relazione (4), si ottiene: ()
( )
()
( )
f t = BSω sin ωt ⇒ f t = f0 sin ωt . §6 Circuito puramente resistivo. Supponiamo che l’alternatore alimenti un circuito puramente resistivo. Dalla prima legge di Ohm, indicato con R la resistenza presente nel circuito, otteniamo l’espressione analitica della corrente indotta: ()
i t =
( ) ⇒ i t = f sin ωt ⇒ i t = i sin ωt . () R ( ) ()
( )
R
f t
0
0
()
()
Osserviamo che la tensione f t e l’intensità di corrente i t sono in fase. §7 Circuito puramente capacitivo. Supponiamo che l’alternatore alimenti un circuito puramente capacitivo. Dalla definizione di ( ) f (t ) , indicato proprio con C la capacità presente nel circuito, otteniamo capacità, C = q t
l’espressione analitica della corrente indotta: 4 di 8 ( ) ⇒ i t = ΔCf (t ) ⇒ i t = Cf Δsin(ωt ) . ( ) Δt ( ) Δt
()
Δt
i t =
Δq t
0
Utilizzando la relazione (5), si ottiene: "
π%
i t = ωC! f0 cos ωt ⇒ i t = i0 cos ωt ⇒ i t = i0 sin$ωt + ' . 2&
#
()
( ) ()
( ) ()
Osserviamo che la tensione f è in ritardo di fase (di un tempo pari a T 4 , dove T = 2π ω rappresenta il periodo dell’oscillazione) rispetto all’intensità di corrente i. Osserviamo anche che, in accordo con la prima legge di Ohm, f0 =
1
i ⇒ f0 = XC i0 , dove XC ![Ω] ωC 0
indica la reattanza capacitiva. §8 Circuito puramente induttivo. Supponiamo che l’alternatore alimenti un circuito puramente induttivo. Ricordiamo che ()
f t = −L
( ) , dove L indica l’induttanza presente nel circuito. Δi t
Δt
L’espressione analitica della corrente indotta è "
π%
i t = i0 sin$ωt − ' , 2&
#
()
dove i0 =
()
f t = −L
f0
ωL
. In effetti: ( ) ⇒ f t = −L Δ$%i sin(ωt − π 2)&' ⇒ f t = −Li
()
()
Δt
Δt
Δi t
0
Δ $%sin ωt − π 2 &'
⇒
0
Δt
(
)
$
&
Δ $%cos ωt &'
f0 Δ %cos ωt '
⇒ f t = −Li0
⇒ f t =−
Δt
ω
Δt
()
( )
()
( )
()
( )
e, utilizzando la relazione (4), si ottiene proprio che f t = f0 sin ωt . Osserviamo che la tensione f è in anticipo di fase (di un tempo pari a T 4 ) rispetto all’intensità di corrente i. Osserviamo anche che, in accordo con la prima legge di Ohm, f0 = ωLi0 ⇒ f0 = X Li0 , dove X L ![Ω] indica la reattanza induttiva. 5 di 8 §9. Il circuito RLC in serie e l’impedenza. Si nota che le reattanze dipendono dalla frequenza ν = ω 2π . In particolare, se la frequenza è sufficientemente bassa, la reattanza capacitiva non è più trascurabile. Viceversa, se la frequenza è sufficientemente alta, è la reattanza induttiva a non essere più trascurabile. Nasce spontaneamente la domanda: esiste una frequenza ottimale, per la quale siano trascurabili le reattanze? Per rispondere a tale domanda, consideriamo un circuito RLC in serie, composto da un resistore, ()
un’induttanza e un condensatore collegati in serie e sottoposti a una fem pari a f t e attraversati ()
da un’intensità di corrente i t . Determiniamo un circuito elementare equivalente a quello dato. Per fare ciò, considero un dispositivo che contempli i tre aspetti (resistivo, induttivo e capacitivo) presenti nel circuito. Tale dispositivo prende nome di impedenza, è indicato con Z ![Ω] e si rappresenta con un rettangolo. i(t) i f f(t) Come mostreremo nel successivo paragrafo, si ha che il modulo e l’argomento dell’impedenza sono pari a 1
2
ωL −
"
%
1
ωC Z = R2 + $ωL −
' e ϑ = arctan
R
ω
C
#
&
(6 e 7) rispettivamente. Ora, per minimizzare gli effetti della presenza dell’impedenza, bisogna: i. Scegliere i materiali costituenti il circuito in modo tale da minimizzare la resistenza R. 6 di 8 ii. Regolare la frequenza del generatore in modo tale da annullare la parte reattiva, ovvero scegliere la frequenza ν r = ω r 2π tale che ω r L −
La frequenza ottimale quindi esiste ed è pari a ν r =
1
= 0 . ωrC
1
2π LC
. Tale frequenza prende il nome di frequenza di risonanza. §10. Dalla corrente alternata ai numeri complessi. ()
(
)
Consideriamo un generatore di corrente alternata di fem pari a f t = f0 cos ωt + ϕ , dove ϕ indica un possibile sfasamento. Ricordando che un numero complesso z = x + iy si può scrivere in forma trigonometrica come z = ρ cosϑ + i sinϑ e in forma esponenziale come z = ρ!e iϑ . (
)
Consideriamo il numero complesso F t = f0 !"cos ωt + ϕ + i sin ωt + ϕ #$ ; si nota che la sua parte ()
( ) ( ( ))
()
(
(
reale è proprio f: f t = ℜ F t ⇒ f t = ℜ f0 "e
(
i ωt+ϕ
)
)
(
)
) ⇒ f t = ℜ f e iϕ "e iωt
. Il numero complesso 0
() (
)
f = f0e iϕ , indipendente da t, è chiamato fasore. In pratica, ad ogni funzione f t = f0 cos ωt + ϕ è ()
(
)
possibile associare uno e un solo fasore f = f0e iϕ , e viceversa, per un determinato valore di ω . Il fasore gode di proprietà utili per analizzare un circuito non elementare in corrente alternata. Proposizione: Δ f/ Δ t = iω f. Dimostrazione: riprendiamo la relazione (4), dalla quale Riprendiamo la relazione (5), dalla quale In termini di numeri complessi, si ha che Consideriamo l’espressione scritte, ricavo che ( ) = −ω sin ωt ⇒ Δcos (ωt + ϕ ) = −ω sin ωt + ϕ . ( )
( )
Δt
Δt
Δcos ωt
( ) = ω cos ωt ⇒ Δsin(ωt + ϕ ) = ω cos ωt + ϕ . ( )
( )
Δt
Δt
Δsin ωt
( ( )) = −ω!ℑ F (t ) e che Δℑ(F (t )) = ω!ℜ F (t ) . ( )
( )
Δt
Δt
Δℜ F t
( ( )) − i Δℜ(F (t )) . Tenendo conto delle due relazioni appena Δℑ F t
Δt
Δt
( ( )) − i Δℜ(F (t )) = ω!ℜ F (t ) + iω!ℑ F (t ) = ωF (t ) . Considerando invece la ( ) ( )
Δt
Δt
Δℑ F t
7 di 8 proprietà delle differenze Δ troviamo che ( ( )) − i Δℜ(F (t )) =
Δℑ F t
Δt
Δt
Δ %ℑ F t − iℜ F t '
&
(
=
Δt
( ( )) ( ( ))
−iΔ %ℜ F t + iℑ F t '
ΔF t
&
(
=
. = −i
Δt
Δt
( ( )) ( ( ))
()
Confrontando i due risultati trovati otteniamo che −i
( ) = ωF t ⇒ ΔF (t ) = iωF t . In termini di ( ) Δt
()
Δt
ΔF t
fasori, otteniamo proprio Δ f/ Δ t = iω f. □ () ()
Ora, per un circuito puramente resistivo, fR t = Ri t ⇒ f = R i. ()
Dalla proposizione segue che, per un circuito puramente capacitivo, i t = C
poter applicare la prima legge di Ohm, consideriamo la forma f = −
()
Invece, in un circuito puramente induttivo, fL t = L
( ) ⇒ i = iωC f. Per ΔfC t
Δt
i
i. ωC
( ) ⇒ f = iωL i. Δi t
Δt
Siamo ora pronti a ridurre il circuito RLC in serie a un circuito elementare. () () () ()
() ()
Si ha che f t = fR t + fL t + fC t ⇒ f t = Ri t + L
relazione diventa f = R i +iωL i −
( ) + 1 q t . In termini di fasori questa ()
Δt C
Δi t
(
"
i
1 %+
i ⇔ f = *R + i $ωL −
'- i. Il termine tra parentesi quadrate è ωC
ωC &-,
*)
#
1
. Di ωC
fatto, vale la legge di Ohm generalizzata f = Z i. Ora, essendo l’impedenza un numero complesso, l’impedenza Z = R + iX , dove R indica la resistenza e X la reattanza complessiva, X = ωL −
non ha senso chiedersi quando questa è “piccola” o “grande”. Possiamo però valutare il modulo di Z. Ricordando che un numero complesso z = x + iy ha modulo z = x 2 + y 2 e argomento y
ϑ = arctan , risultano dimostrate le relazioni (6 e 7) del paragrafo precedente. x
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