=η kW 3.2 Q =η

Ottava esercitazione di Fisica I
Termodinamica 1
PROBLEMI RISOLTI
1. Il rapporto tra il lavoro compiuto ed il calore assorbito da una mole di gas monoatomico che si
espande isobaricamente alla pressione di una atmosfera, passando da 22.4 litri a 33.5 litri, é pari a
(A) 0.27
(B) 0.33
(C) 0.40
(D) 0.67
(E) 0.73
Soluzione. Si deve utilizzare l’espressione del calore assorbito fornito dal primo principio della
termodinamica ∆Q = ∆U + L = C v ∆T + p∆V . La temperatura iniziale è 0°C=273 K, poiché il gas
occupa il volume di una mole in condizioni normali (la temperatura si ottiene da T = pV / nR ). La
temperatura
finale
si
ricava
dalla
legge
della
trasformazione
isobara
Tin Tfin
Vfin
p = nRT / V = cost
=
Tfin = Tin
≈ 273 ⋅1.5 ≈ 408.3 K ∆T = 135.3 K
Vin Vfin
Vin
Il calore specifico molare del gas monoatomico è 3R/2 e il lavoro è p∆V = RTfin − RTin = R∆T
3
5
p∆V
R∆T
2
da cui si ottiene ∆Q = C v ∆T + p∆V = R∆T + R∆T = R∆T
=
=
2
2
∆Q 5 R∆T / 2 5
2. Una macchina termica reversibile fornisce 1 kW di lavoro operando tra le temperature di 427°C e
127°C. Quanto calore deve essere assorbito al secondo alla temperatura di lavoro più elevata?
(A) 2.3 kW
(B) 1.2 kcal/s
(C) 405 W
(D) 0.03 cal/s
(E)5.5 cal/s
Soluzione. Indicando con P la potenza e con t il tempo richiesto (1 s), dalla definizione di rendimento
si ottiene per il calore assorbito dalla sorgente più calda l’espressione P t = η Q1 = Q1 ∆T / T1 .
Sostituendo i valori dati ed esprimendo T1 in gradi Kelvin si ricava: Q1 = 2.3 kW
3. Un motore termico opera tra 480K e 300K producendo 1.2 kJ per ogni chilocaloria assorbita (1
cal=4.18 J). Il rapporto tra l'
efficienza del motore e quella di un ciclo di Carnot che opera tra le stesse
temperature è circa
(A) 1.00
(B) 0.851
(C) 0.766
(D) 0.667
(E) 0.500
Il lavoro LC prodotto da un ciclo di Carnot che assorbe 4180 J dal termostato caldo T1 vale
∆T
480 − 300
LC = η Q1 =
Q1 =
4180 = 1567.5 J
T1
480
Perciò l’efficienza relativa del motore termico è 1200/1567.5≈0.766
4. Un freezer preleva calore dal reparto congelatore a −20°C e passa calore all'
ambiente attraverso un
radiatore a 35°C. Se il costo del kilowattora fosse di 100 Lit., quanto costerebbe idealmente produrre
un kg di ghiaccio a −20 °C partendo da acqua a 10°C ? (calore di fusione del ghiaccio = 80 cal/g;
calore specifico del ghiaccio = 0.5 cal/g K)
(A) 2.5 Lit.
(B) 32 Lit.
(C) 273 Lit.
(D) 516 Lit
(E) 1070 Lit.
Soluzione. La quantità di calore prelevata dal reparto congelatore è la somma dei calori scambiati per
portare l’acqua da 10°C a 0°C (1×10 kcal), per congelarla (80×1 kcal), per portare il ghiaccio da 0°C a
−20 °C (0.5×20 kcal): Q2 = (1×10+80+0.5×20) kcal = 100 000 cal ≅ 420 000 J
Dal teorema del rendimento, il lavoro minimo richiesto L si ottiene dal teorema di Carnot per una
macchina che lavora come frigorifero (con segni cambiati rispetto al motore termico) tra la
temperatura del radiatore (35+273=308K) e quella della cella frigorifera (−20+273=253 K)
L Q1 − Q2 T1 − T2 308 − 253
91.3
=
=
=
≅ 0.2174 L ≅ 91.3kJ =
≅ 0.0253 kWh 2.5 Lit
Q2
Q2
T2
253
3600
5. Una pompa di calore mantiene un ambiente a 27°C prelevando calore da un corso d’acqua alla
temperatura di 2°C. Per trasferire 200 kcal/ora, la potenza minima del motore della pompa di calore è
(A) 1.1 W
(B) 19 W
(C) 230 W
(D) 2.75 kW
(E) ______
Ottava esercitazione di Fisica I
Termodinamica 2
Soluzione. La pompa di calore è un frigorifero ( = motore termico che lavora al contrario) in cui la
quantità di interesse è il calore trasferito al termostato caldo e l’efficienza ideale è sempre maggiore di
1 e uguale al reciproco dell’efficienza del motore Q1 / L = T1 / (T1 − T2 ) . Il lavoro richiesto per trasferire
27 − 2
Q1 è Q1 = 200 kcal ≈ 0.836 MJ è L = Q1 ⋅ ∆T / T1 = 0.836
MJ ≈ 69.67 kJ . Poiché tale lavoro è
27 + 273
compiuto in un’ora, occorre una potenza W = L / 3600 ≈ 19.35 W
6. Se il volume di un gas ideale viene raddoppiato a temperatura costante
(A) La pressione si riduce ad un quarto (B) l'
entropia rimane costante
(C) L'
energia cinetica media delle molecole aumenta
(D) l'
energia interna del gas non cambia
(E) il gas compie un lavoro pari a due volte il cambio di entropia moltiplicato per la temperatura
Soluzione. Raddoppiando il volume a temperatura costante la pressione si dimezza, l’entropia
aumenta logaritmicamente con il volume, l’energia interna, pari all’energia cinetica, rimane costante
perché è funzione della sola temperatura. Quindi, il lavoro compiuto nel caso in cui l’espansione sia
reversibile è pari all’aumento di entropia per la temperatura (risposta D).
7. Un gas ideale alla temperatura di 20°C inizialmente a 50 kPa viene compresso lentamente ed
isotermicamente. Se il lavoro compiuto sul gas è di 1000 J il cambio di entropia del gas in J/K vale
(A) − 3.41
(B) 50
(C) −50
(D) −2.5
(E) +2.5
Soluzione. Dal primo principio della termodinamica ∆Q = ∆U + L si ha che il gas cede una quantità
di calore corrispondente a 1000 J; infatti la sua energia interna non cambia poiché temperatura iniziale
e finale sono uguali e il lavoro è negativo, essendo compiuto sul sistema. Il cambio di entropia è
∆Q
− 1000
≈ −3.41 J/K
∆S =
=
T
20 + 273
8. Aggiungendo 50 kg di acqua a 0°C a una vasca con 250 kg di acqua a 90°C, il cambio d’entropia è
(A) 1.6 kcal/K
(B) −10.6 kcal/K (C) + 12.1 kcal/K (D) 13.7 kcal/K
(E) ______
Soluzione. Si deve calcolare la temperatura finale della vasca, Tfin, imponendo che il calore ricevuto
dall’acqua fredda (Mf) sia uguale a quello ceduto da quella calda (Mc): M f c(Tfin − 0) = M c c(90 − Tfin )
250
= 75°C
dove le temperature sono in °C, le masse in kg e c = 1 kcal/kg °C . Tfin = 90
250 + 50
Si calcola ora l’aumento di entropia di 50 kg di acqua che vengono portati da 0°C=273 K a
75°C=348 K (∆Q positivo) e la diminuzione di entropia di 250kg che vengono portati da
90°C=363 K a 348 K (∆Q negativo). La risposta è la somma algebrica dei cambi di entropia
348
348
M f cdT
dQ
348
∆S + =
=
= M f c ln
= 50 ⋅1 ⋅ 0.242 ≈ 12.14 kcal/K
T
T
273
273
273
∆S − =
348
348
M c cdT
dQ
348
=
= M c c ln
= −250 ⋅1 ⋅ 0.0422 ≈ −10.55 kcal/K
T
T
363
363
363
S = ∆S + + ∆S − ≈ 1.59 kcal/K
9. Una macchina termica reversibile fornisce 1 kW di lavoro operando tra le temperature di 427°C e
127°C. Quanto calore deve essere assorbito al secondo alla temperatura più elevata?
(A) 2.3 kW
(B) 1.2 kcal/s
(C) 405 W
(D) 0.03 cal/s
(E)5.5 cal/s
Soluzione. Indicando con P la potenza e con t il tempo richiesto (1 s), dalla definizione di rendimento
∆T
si ha per il calore assorbito dalla sorgente più calda P t = η Q1 =
Q1 Si ha: Q1 = 2.3 kW
T1
Ottava esercitazione di Fisica I
Termodinamica 3
Problemi proposti e svolti da________________________
1. Una macchina termica reversibile fornisce 1 kW di lavoro operando tra le temperature di 427°C e
127°C. Approssimativamente, quanto calore deve essere assorbito al secondo alla temperatura più
elevata?
(A) 2.3 kW
(B) 1.2 kcal/s
(C) 405 J/s
(D) 0.03 cal/s
(E)5.5 cal/s
2. Per raffreddare una stanza la soluzione migliore è
(A) mettere al centro un ventilatore
(B) utilizzare una pompa di calore con lo scambiatore freddo posto fuori della stanza
(C) mettere un condizionatore al centro con lo scambiatore caldo posto fuori dalla stanza
(D) mettere al centro un frigo con la porta aperta
(E) mettere al centro un frigo con la porta chiusa
3. La temperatura della caldaia di una locomotiva a vapore é di 200°C mentre il condensatore si trova
a 40°C. Idealmente, l’efficienza della locomotiva é di circa
(A) 0.2
(B) 0.34
(C) 0.67
(D) 0.80
(E) _____________
4. Per scaldare una aula di 300 m3 durante l'
inverno bisogna prevedere di installare una potenza di
riscaldamento di circa 10 kcal/s. Se l'
impianto di riscaldamento é una pompa di calore ideale
funzionante tra 25°C (temperatura dell'
aula) e 5°C (temperatura dell'
acqua dello scambiatore) bisogna
prevedere un motore con una potenza di circa
(A) 0.5 kW
(B) 1 kW
(C) 3 kW
(D) 42 kW
(E) __________
5. Una macchina di Carnot opera tra 30°C e 250°C. La sua efficienza è pari a
(A) 42%
(B) 45%
(C) 55%
(D) 88%
(E) ___________
6. Una pentola che bolle contiene inizialmente due litri d’acqua a 100°C. Quando metà dell’acqua è
evaporata, l’aumento di entropia dell’acqua è pari a circa (calore di evaporazione = 540 kcal/kg)
(A) 1450 cal/K
(B) 720 cal/K
(C) 310 cal/K
(D) 90 cal/K
(E) ___________
7. Agito l'
acqua dentro un pentolino che contiene 100 g d'
acqua a 20°C compiendo sull'
acqua un
lavoro di 100 J. Segnare con sì le risposte corrette e con no quelle errate
(A) Il cambio di entropia dell'
acqua é nullo perché non vi é cessione di calore
(B) Il cambio di entropia dell'
acqua é circa pari a 100/20 J/K
(C) Il cambio dell'
entropia dell'
acqua non é determinabile con i dati del problema
(D) La temperatura dell'
acqua aumenta di circa 1 K.
(E) Il lavoro compiuto si propaga immediatamente all'
intero ambiente sotto forma di calore
8. Un metro cubo di elio inizialmente a 100°C e 1 atmosfera è portato a 0.75 m3 e un’atmosfera.
Quanto calore viene ceduto dall’elio durante la trasformazione ____________________
9. Una mole di elio a 101.3 kPa e a 0°C viene portata isobaricamente al doppio del suo volume
iniziale. Il lavoro fatto dal gas è di circa
(A) 1510 J
(B) 2270 J
(C) 2600 J
(D) 9800 J
(E) ___________
10. Se due moli di gas ideale si espandono isotermicamente a 300K sino a che il volume raddoppia, il
cambio di entropia dal gas è pari a
(A) 11.5 J/K
(B) 23.1 J/K
(C) 27.7 J/K
(D) 31.4 J/K
(E) ________
Ottava esercitazione di Fisica I
Termodinamica 4
11. Il cambio di energia interna di una mole di ossigeno (pensato come gas perfetto) portata da 150K a
300K a volume costante è di circa
(A) 1870 J
(B) 3120 J
(C) 4360 J
(D)8310 J
(E)
12. Il rendimento di un ciclo di Carnot in cui il termostato caldo è a temperatura T1=500°C è del 65%.
Il termostato freddo è a temperatura T2 pari a
(A) 175°C
(B) 270K
(C) 55 K
(D) 325°C
(E) ______
13. La relazione tra pressione (p) e volume (V) per un gas perfetto a temperatura costante è
(A) di proporzionalità
(B) di tipo logaritmico
(C) di tipo geometrico
(D) di proporzionalità inversa
(E) tipo armonico
14. Comprimendo in modo isotermico 50 litri di gas alla pressione di un’atmosfera e alla temperatura
di 17°C in un cilindro di 10 litri, si sviluppa una quantità di calore pari a
(A) 7550 J
(B) 8160 J
(C) 11670 J
(D) 17240 J
(E) ________
15. Una nube d’aria a 40°C passa sopra un lago parzialmente gelato (a 0°C) e cede al lago
complessivamente 3500 kcal senza cambiare apprezzabilmente la propria temperatura. Il cambio di
entropia associato a questo scambio di calore è (in kcal/K)
(A) 0.875
(B) 1.64
(C) 2.13
(D) 12.8
(E) _______
16. Una mole di un gas ideale monoatomico è chiuso in un cilindro verticale da
un pistone di 60 cm2 di area su cui è appoggiato un peso di 8 kg. Il lavoro fatto
dal gas quando viene scaldato da 30°C a 100°C è di circa (pressione atmosferica
= 100kPa, R=8.314 J/K mole)
(A) 39.1 J
(B) 582 J
(C) 652 J
(D) 109 J
(E) 341 J
pressione
atmosferica
mg
gas
17. Un motore termico opera tra 480K e 300K producendo 1.2 kJ per ogni
chilocaloria assorbita (1 cal=4.18 J). Il rapporto tra l'
efficienza del motore e quella di un ciclo di
Carnot operante tra le stesse temperature è circa
(A) 1.00
(B) 0.851
(C) 0.765
(D) 0.667
(E) 0.500
18. Un gas alla temperatura di 20°C ed inizialmente a 50 kPa è compresso lentamente ed
isotermicamente. Se il lavoro compiuto sul gas è di 1000 J, il cambio di entropia del gas in J/K vale
all'
incirca
(A) −3.41
(B) 50
(C) −50
(D) −2.5
(E) +2.5
19. La combustione della benzina libera circa 40 MJ/litro e un motore da 60 kW (potenza massima o
nominale) consuma un litro di carburante in tre minuti di funzionamento alla massima potenza. Il
rendimento del motore alla massima potenza è del
(A) 0.33
(B) 0.30
(C) 0.27
(D) 0.24
(E) 0.21
20. Se un frigorifero ideale utilizza un motore da 3 kW e opera tra −20oC e 37oC, quanto calore puó
estrarre al secondo dalla cella frigorifera (in kcal) ?
(A) 0.76
(B) 1.95
(C) 3.19
(D) 13.3
(E) 16.3
21. Mescolando 1.8 kg di acqua a 10oC con 0.9 kg di acqua a 60oC, l'
entropia aumenta di (in cal/K)
(A) 15.9
(B) 33.3
(C) 66.7
(D) 101
(E) 314
Ottava esercitazione di Fisica I
Ottava Esercitazione: Termodinamica
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Risposta
(A) 2.3 kW
(C) mettere un condizionatore al
centro con lo scambiatore caldo posto
fuori dalla stanza
(B) 0.34 e (E) = 2.96
(C) 3 kW
(A) 42% e (E) = 237%
(A) 1450 cal/K
(E) vera, le altre false
15.16 kcal
(B) 2270 J
(A) 11.5 J/K
(B) 3120 J
(B) 270 K
(D) proporzionalità inversa
(B) 8160 J
(B) 1.64 kcal/K
(B) 582 J
(C) 0.765
(A) –3.41
(C) 0.27
(D) 20.33 kJ
(A) 15.9 cal/K
Termodinamica 5