E` solo questione di metodo - Dipartimento di Matematica

E’ solo questione di metodo:
problemi e algoritmi di matematica elementare
Progetto Lauree Scientifiche – Scuola Estiva di Matematica (4.09.2015)
Stefano Finzi Vita
Dipartimento di Matematica - Sapienza Università di Roma
Collaborano: Cecilia Andreotti, Antonio Fanelli e Andrea Minotti
Per risolvere un problema matematico è opportuno analizzarlo a fondo alla ricerca del punto migliore da
cui attaccarlo, riscrivendolo magari in modo diverso, scomponendolo, usando la logica delle implicazioni per
trasformarlo in una sequenza di passaggi più semplici, fino a trovare una soluzione accettabile. In genere non
esisterà un’unica strada per arrivarci, e si può sempre migliorare quella già trovata per renderla più efficiente.
Se poi il tutto dovrà essere eseguito da un computer, che può fare milioni di operazioni in pochi secondi ma va
’istruito’ in modo opportuno, ecco che la scelta di un metodo efficace diventa essenziale.
Qui ci occuperemo di problemi elementari che hanno a che fare essenzialmente coi numeri, cercando per ognuno di essi di arrivare ad un algoritmo risolutivo. In qualche caso confronteremo più algoritmi per lo stesso
problema, al fine di valutarne la convenienza (contando ad esempio il numero di operazioni necessarie effettuate), perché mai come in questo caso il tempo (di calcolo) è denaro.
Ci occuperemo inoltre di un altro aspetto cruciale che non può essere trascurato lavorando con un computer. Noi
siamo abituati a ragionare nell’insieme dei numeri reali, sfruttandone le proprietà di continuità e illimitatezza.
Nella memoria di un computer di numeri ne sono rappresentabili solo un numero finito (li chiameremo i numeri macchina), e l’algebra di questi numeri è molto diversa da quella abituale, cosı̀ che possono diventare false
alcune ovvie identità matematiche, con effetti a volte disastrosi nella risoluzione dei problemi. Comprendere
questi fenomeni è fondamentale per costruire algoritmi veramente efficaci.
1
Somme, prodotti e potenze
Le operazioni più semplici di tutte sono somme e moltiplicazioni. Proprio perché le più usate, e in genere su
grandi quantità di dati, è importante che siano fatte nel modo più efficiente. Una situazione frequente è che ci
si trovi a sommare o moltiplicare tra loro diverse quantità indicizzate:
somma =
n
X
ai = a1 + a2 + .. + an ;
prodotto =
i=1
n
Y
bi = b1 ∗ b2 ∗ .. ∗ bn .
i=1
Lo strumento ideale in entrambi i casi (pensando al computer che dovrà fare i conti per noi) è un ciclo attraverso
il quale accumulare tali quantità in una variabile opportuna (che andrà inizializzata a zero nel primo caso, a uno
nel secondo). Ecco gli schemi (o pseudocodici) corrispondenti:
1) somma = 0; per i = 1, .., n calcola:
2) prodotto = 1; per i = 1, .., n calcola:
somma = somma + ai
prodotto = prodotto ∗ bi
In qualche caso la matematica potrà venirci incontro per risparmiare calcoli. E’ nota la formula (attribuita
al giovane Gauss):
n(n + 1)
1 + 2 + ... + n =
2
1
che ci consente di sommare i primi n numeri interi mediante solo due operazioni, un prodotto e una divisione.
Questa formula ci sarà utile in seguito anche per valutare la complessità degli algoritmi.
A partire dall’algoritmo del prodotto ricaviamo subito quello della potenza intera di un numero q. Infatti
qn = q ∗ q ∗ ... ∗ q, e rientriamo nello schema precedente:
dato q,
pot=1;
per i=1,..,n calcola:
pot=pot*q
Stavolta l’indice i non compare nelle espressioni da calcolare, ma serve solo a contare il numero dei fattori in
gioco, tutti uguali tra loro. Misuriamoci con un paio di esempi dove confrontare approcci diversi.
Esercizio 1 Sia q un numero reale assegnato; siamo interessati alla quantità:
S n (q) = 1 + q + q + .. + q =
2
n
n
X
qi ,
i=0
cioè alla somma dei primi n termini della progressione geometrica di ragione q.
(i) Contare quante operazioni sono necessarie per calcolare S n (q) (in funzione di n) eseguendo i calcoli cosı̀
come sono scritti.
(ii) Sapreste trovare un’altra strada per ottenere lo stesso risultato con soli n prodotti e n somme?
(iii) Una nota formula matematica potrebbe ridurre ulteriormente il calcolo a n prodotti, un quoziente e due
somme. Qualcuno la ricorda?
Esercizio 2 Supponiamo di dover valutare in un punto x = x̄ un polinomio di grado n
pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn .
(i) Quante operazioni (somme e prodotti) sono necessarie per calcolare pn ( x̄)?
(ii) Provate ora a riscrivere il polinomio in un altro modo:
pn (x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + ...(an−1 + an x))...)
ed eseguite il calcolo dall’interno all’esterno delle parentesi:
dato x = x̄;
s = an ;
per i = 1, .., n calcola: s = s ∗ x + an−i .
E’ l’algoritmo di Horner, molto noto in Analisi numerica e particolarmente utile quando in un problema occorrono molte valutazioni polinomiali. Quanti sono ora i prodotti effettuati?
(iii) Calcolate il valore di p5 (2) mediante l’algoritmo di Horner per il polinomio p5 (x) = 3x5 −2x4 + x2 −4x+1 .
2
Pari e dispari, divisori, multipli
Sappiamo tutti riconoscere istantaneamente se un numero intero n è pari o dispari. Ma come può farlo un
computer? Possiamo ricorrere al valore del resto della divisione (intera) di n per 2. Se tale resto varrà 0 il
numero sarà pari, altrimenti dispari. Con variabili intere, il quoziente di due interi sarà un intero, e quindi:
se (n/2)*2=n
-->
n pari;
altrimenti
n dispari;
Ad esempio, per n = 6 avremo n/2 = 3 e 3 ∗ 2 = 6 = n. Invece per n = 7 si avrà n/2 = 3 (!) e quindi
3 ∗ 2 = 6 , n. Più in generale un numero intero a sarà un multiplo di un altro numero b (o, il che è lo stesso, b
sarà un divisore di a) se la divisione di a per b dà resto zero.
Il resto della divisione tra interi è anche alla base della suddivisione dei numeri interi in classi resto modulo
n mediante la seguente relazione di equivalenza:
a≡b
mod n (a congruo b modulo n) ⇔ (a − b) è multiplo di n.
2
Se a e b sono entrambi positivi, la definizione precedente equivale ad affermare che i due numeri divisi per n
danno lo stesso resto. Questa relazione suddivide tutto l’insieme dei numeri interi in esattamente n classi di
equivalenza, in base al valore del resto della divisione per n: [0], [1], [2], .., [n − 1]. Ad esempio se n = 2 le 2
classi di equivalenza coincideranno con l’insieme dei numeri pari (la classe [0]) e quello dei numeri dispari (la
classe [1]). Oppure se n = 5, la classe [3] mod 5 sarà ad esempio l’insieme
[3] = {3, 8, 13, 18, ..., −2, −7, −12, ...}
2.1
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Le note formule apprese a scuola per il calcolo di MCD e mcm di due numeri interi a e b si basano sulla
preventiva scomposizione di entrambi i numeri in fattori primi: nel primo caso si parlava di prendere tutti i
fattori comuni col minimo esponente, nel secondo di prendere tutti i fattori comuni e non comuni col massimo
esponente. Questo approccio non è in generale conveniente perché costoso. Vediamo come possiamo calcolare
il MCD senza scomporre i due numeri, e come questo ci fornisca facilmente anche il mcm.
Algoritmo 1 per il MCD. (Sottrazioni successive) Se due numeri a e b (con per esempio 0 < a < b) sono
entrambi divisibili per un intero d, lo sarà anche la loro differenza b − a. Allora:
MCD(b, a) = MCD(b − a, a)
e si ripete il ragionamento a partire da numeri più piccoli finché uno dei due numeri diventa zero. Ad esempio:
MCD(60, 18) = MCD(42, 18) = MCD(24, 18) = MCD(18, 6) = MCD(12, 6) = MCD(6, 6) = MCD(6, 0)
Se assumiamo per convenzione MCD(n, 0) = n, 6 sarà il valore cercato. L’algoritmo è dunque:
dati 0<a<b, ripeti:
{ r=b-a;
se r=0
mcd=a;
altrimenti
se (r<a) poni b=a; a=r;
finche’ (r>0)
altrimenti
poni b=r
}
Questo algoritmo potrebbe essere molto lento: se i due numeri fossero ad esempio 900 e 15, servirebbero ben
60 passaggi per concludere che 15 è proprio il loro MCD, come era subito determinabile dal fatto che si tratta
di un divisore di 900. Seguiamo quindi un’altra strada.
Algoritmo 2 per il MCD. (Divisioni successive) Se due numeri a e b (sempre con 0 < a < b) sono entrambi
divisibili per un intero d, lo sarà anche il resto r della divisione di b per a (b = a ∗ q + r, con 0 ≤ r < a).
In particolare, se r = 0 allora MCD(b, a) = a, altrimenti MCD(b, a) = MCD(a, r) e possiamo ripetere
il ragionamento a partire da numeri più piccoli finché non si perviene anche in questo caso alla situazione
MCD(s, 0) = s. Nell’esempio precedente si avrebbe ora:
MCD(60, 18) = MCD(18, 6) = MCD(6, 0) = 6.
Quindi l’algoritmo diventa:
dati 0<a<b; ripeti:
{r=b-a*(b/a);
se r non e’ 0 poni b=a; a=r;
altrimenti
mcd=a;}
finche’ (r>0)
3
Algoritmo per il mcm. Vale la seguente formula:
(∗)
mcm(a, b) = (a ∗ b)/MCD(a, b) .
Esercizio 3 Le classi resto mod p ci possono essere utili ad esempio per stampare una lista di numeri a gruppi
di p (cioè p per riga), come nel caso di una tabella. Ad esempio sapreste scrivere uno pseudocodice per
stampare i numeri interi da 1 a 25 su 5 righe ?
Esercizio 4 Dimostrare la formula (*).
Esercizio 5 Calcolare mediante gli Algoritmi 1 e 2 il MCD dei numeri 6510 e 5880.
3
3.1
L’algebra dei numeri macchina e le sue conseguenze
La rappresentazione dei numeri: il caso continuo
Ogni numero reale può essere rappresentato come un numero decimale illimitato:
a1
a2
ak
+ 2 + ··· + k + ...
10 10
10
x = n.a1 a2 . . . ak · · · = n +
dove n ∈ Z, ai = 0, 1, . . . , 9. In particolare:
• periodici → razionali : 2(.00000...), 3.5(00000...), 0.6, 7.02428
√ √
• non periodici → irrazionali : 2, 3, π, e
Ogni numero reale x può essere approssimato (con precisione arbitraria) mediante un numero razionale x
[densità di Q in R] e la retta reale ”non ha buchi” [continuità dei numeri reali]. Definiremo:
• errore assoluto: eA (x) = |x − x|, errore relativo: eR (x) =
|x−x|
|x|
• troncamento (arrotondamento per difetto) di x a k cifre:
=
eA
|x| .
x(k) = n.a1 a2 . . . ak
• arrotondamento per eccesso di x a k cifre: x(k) = n.a1 a2 . . . (ak + 1) = x(k) + 10−k
• arrotondamento di x alla k-ma cifra : f lk (x) = x(k) se ak+1 < 5; f lk (x) = x(k) se ak+1 ≥ 5
• x(k) ≤ x < x(k) , |x − x(k) | < 10−k , |x − x(k) | < 10−k , |x − f lk (x)| < 0.5 ∗ 10−k .
Per operare con i numeri decimali è spesso comodo rappresentarli in una forma normalizzata che ne mette in
risalto l’ordine di grandezza, la rappresentazione in virgola mobile:
x = ±m · 10z = (±m, z),
0.1 ≤ m < 1,
z∈Z
con m = mantissa, z = esponente. La corrispondenza x → (m, z) è unica. Esempi:
9 → (0.9, 1),
3.2
−123.81471 → (−0.12381471, 3),
0.0000715 → (0.715, −4).
La memoria del computer e i numeri macchina
I computer elaborano le informazioni (istruzioni e dati) in formato digitale. L’unità di informazione binaria è
il bit (binary digit) che può assumere solo i valori 0 o 1. I mattoni fondamentali (le celle di memoria) sono i
byte, sequenze di 8 bit scritte o lette per intero con un’unica operazione. Un numero verrà quindi rappresentato
attraverso la sua espressione in base due, usando in genere 2, 4 o 8 byte (dipende dal tipo, intero o reale, e dalla
precisione desiderata). I reali in particolare saranno memorizzati in virgola mobile, con un numero fissato di
cifre rappresentative per la mantissa e l’esponente, che dipendono dalla macchina utilizzata. Se chiamiamo
A l’insieme dei numeri rappresentabili, avendo a disposizione k cifre per la mantissa e j per l’esponente, allora
non apparterranno ad A i numeri:
4
• irrazionali (decimali illimitati non periodici)
• decimali periodici (periodo diverso da zero)
• decimali finiti con più di k cifre significative per la mantissa
• in modulo maggiori di M (massimo numero macchina) [overflow]
• in modulo minori di m (minimo numero macchina positivo, o zero macchina) [underflow]
Il nostro insieme A è dunque un colabrodo, e tutti i numeri che non sono in A vanno approssimati per arrotondamento con il più vicino numero macchina. Per capire come stanno le cose ragioniamo d’ora in avanti su di
un esempio semplificato, una sorta di computer giocattolo che però riproduce fedelmente il tipo di limitazioni
del caso reale e le sue conseguenze:
TOY COMPUTER. Supponiamo di avere a disposizione solo TRE cifre per la mantissa e UNA per l’esponente
(per comodità ragioniamo in base 10 con solo numeri positivi). Allora se x ∈ A:
x = 0.a1 a2 a3 · 10±e = (a1 a2 a3 , ±e),
a1 , 0.
Esercizio 6 Indicare in questo caso chi sono M e lo zero macchina m.
Esercizio 7 Dire quali dei seguenti numeri appartengono all’insieme A dell’esempio giocattolo e quali no.
Per ognuno scrivere la sua rappresentazione come numero macchina (arrotondando quando necessario):
√
0.000715, 12.7, 2, 1/3, 39210, 10−8 , 217.5, 109 , 700.000.000, 10−11
Vediamo un po’ di conseguenze (a volte drammatiche!) del fatto di lavorare nell’insieme A.
L’insieme A non è chiuso rispetto alle operazioni elementari: x, y ∈ A non implica x + y, x − y, xy, x/y ∈ A.
Esercizio 8 Eseguire nel computer giocattolo i seguenti calcoli. Per ognuno scrivere la rappresentazione dei
numeri in ingresso (appartenenti ad A) e quella del risultato rappresentabile in A, ragionando sulla sua
correttezza:
823 + 195; 13.4 − 2.75; 4 × 5 · 108 ; 1000/32;
Le operazioni non rispettano sempre le proprietà di cui godono tra i reali (associativa, distributiva, ecc.)
Esercizio 9 Controllare che per a = 1, b = 0.005 e c = 0.007 non vale (a + b) + c = a + (b + c);
analogamente per a = 3, b = 815 e c = 521 mostrare che non vale a × (b − c) = a × b − a × c.
In entrambi i casi qual è la sequenza che fornisce il risultato migliore?
L’elemento neutro della somma non è unico: x + y = x non implica y = 0.
Lo zero macchina ci dice qual è il primo numero rappresentabile a destra dello zero, quindi ci dà un’idea della
solitudine del numero zero, e grazie alla rappresentazione in virgola mobile può davvero essere molto piccolo:
le cifre significative del numero possono infatti scorrere liberamente verso destra giocando sull’esponente.
Chiameremo invece precisione macchina il più piccolo numero positivo ε tale che 1 + ε > 1. Essa ci dà
quindi la misura della solitudine del numero uno, cioè della taglia dei buchi più grandi del nostro ’colabrodo’,
indicando lo spazio vuoto che c’è tra un numero intero non nullo e il successivo numero rappresentabile: poichè
stavolta non possiamo perdere la prima cifra significativa relativa all’unità, agire sull’esponente non ci aiuterà
molto. In genere, se b indica la base utilizzata e k il numero di cifre a disposizione per la mantissa, vale ε = b1−k .
Esercizio 10 Calcolare nel nostro esempio la precisione macchina ε e confrontarla con lo zero macchina.
Indicare un numero macchina y minore di ε tale che 1 + y = 1.
5
Fenomeni di propagazione dell’errore: quando x e y sono due numeri positivi molto vicini tra loro, anche se
gli errori relativi eR (x), eR (y) sono piccoli può risultare eR (x − y) molto grande. In altre parole sottrarre tra loro
numeri quasi uguali provoca la perdita di cifre significative del risultato, compromettendo i nostri calcoli.
Esercizio 11 (Due successioni o una?) Considerate le due successioni numeriche
√
√
1
ak = k + 1 − k, bk = √
√ .
k+1+ k
(i) Dimostrate che sono matematicamente equivalenti.
(ii) Al crescere di k a quale valore tenderanno?
(iii)
√ Nel nostro esempio
√ giocattolo calcolate con le cifre a disposizione i valori di a90 e b90 (tenendo conto che
91 = 9.5394... e 90 = 9.4868...). Quale vi sembra la formula più affidabile?
Esercizio 12 (Il numero di Nepero) Il numero di Nepero e = 2.718281828458... viene in genere introdotto
come il limite della successione monotona crescente
!n
1
an = 1 +
.
n
Si potrebbe pensare quindi di utilizzare questa successione per approssimarlo dal basso fino ad una precisione
desiderata. La cosa purtroppo non funziona affatto. Infatti la crescita è molto lenta (per n = 10 milioni si
troverebbero appena 6 cifre esatte del numero). Ma soprattutto per valori di n troppo grandi si osserva che la
successione smette di essere monotona per poi ’convergere’ (!) al numero 1. In altre parole da un certo n in poi
an = 1. Sapete spiegare il perché? Nel nostro computer giocattolo, da quale valore di n in poi succederebbe?
Le equazioni di secondo grado
Tutti ricordano come si risolve un’equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0 . Ecco lo pseudocodice di una
possibile procedura per la sua risoluzione (limitandoci al solo caso delle soluzioni reali distinte):
1. Leggi a, b, c e calcola ∆ = b2 − 4ac.
2. Se ∆ > 0, poni: x1 =
√
−b− ∆
2a ,
x2 =
√
−b+ ∆
2a .
Tutto bene, se non che abbiamo scoperto nel paragrafo sui numeri macchina che certe operazioni sono potenzialmente pericolose, in particolare le sottrazioni tra quantità quasi uguali possono portare alla cancellazione di
cifre significative del risultato.
Esercizio 13 Nel nostro giocattolo assumiamo a = −0.005, b = c = 1. Calcolare in A le due soluzioni con
l’algoritmo precedente e il loro residuo (per residuo r(z) intendiamo il valore dell’espressione az2 + bz + c, che
ci dà un’idea di quanto la soluzione trovata soddisfi l’equazione di partenza; ovviamente in aritmetica esatta
il residuo sarebbe zero).
Risolviamo ora il problema ricorrendo ad altre formule, matematicamente equivalenti. Vale infatti:
√
√
√
−b ± ∆ −b ± ∆ −b ∓ ∆
2c
=
√ =
√
2a
2a
−b ∓ ∆ −b ∓ ∆
dove quando nella prima formula scegliamo il segno ’+’, nella seconda prenderemo quello ’-’, e viceversa.
Esercizio 14 Calcolare in A le due soluzioni dell’esercizio precedente ma con le nuove formule. Confrontare
i risultati e i relativi residui.
Un algoritmo più affidabile per le equazioni di secondo grado dovrebbe quindi ricorrere a una formula o
all’altra, in base al segno di b. Ecco come andrebbe modificato lo pseudocodice (per le sole radici distinte):
1. se b > 0 allora x1 =
2. altrimenti
x1 =
√
−b− ∆
2a
2c√
−b+ ∆
;
;
x2 =
x2 =
2c√
;
−b− ∆
√
−b+ ∆
2a .
6
E’ solo questione di metodo: problemi e algoritmi di matematica elementare
Progetto Lauree Scientifiche – Scuola Estiva di Matematica (4.09.2015)
Soluzioni degli esercizi
1. (i) 1 + 2 + .. + (n − 1) = n(n − 1)/2 prodotti per calcolare le potenze più n somme;
(ii) si può fare di meglio: poiché ogni volta la nuova potenza da sommare non è altro che quella sommata
al passo precedente moltiplicata per q, ci basterà un solo ciclo e una sola moltiplicazione per ogni nuovo
addendo se avremo cura di memorizzare quanto già fatto, quindi in totale solo n prodotti e n somme.
Ecco come potrebbe funzionare:
dato q; x=1, s=1;
per i=1,..,n calcola:
x=x*q;
s=s+x;
Nella variabile x (inizializzata ad 1) andranno accumulandosi via via le potenze successive di q da aggiungere ad s, la variabile che alla fine conterrà la sommatoria richiesta.
(iii) Si prova facilmente (ad esempio per induzione) che per q , 1 vale la relazione:
1 + q + q2 + .. + qn =
1 − qn+1
,
1−q
per cui per calcolare S n (q) avremmo potuto eseguire direttamente il quoziente a destra, quindi ci sarebbero serviti n prodotti per il calcolo di qn+1 , un quoziente e due somme.
2. (i) Per ogni valore dato di x saranno necessari n(n + 1)/2 prodotti e n somme.
(ii) I prodotti sono diventati solo n. Se n è grande ma soprattutto se dobbiamo valutare il polinomio su
tanti valori diversi di x il risparmio sarà notevole.
(iii) p5 (2) = 1 + 2 ∗ (−4 + 2 ∗ (1 + 2 ∗ (0 + 2 ∗ (−2 + 2 ∗ 3)))) = 1 + 2(−4 + 2(1 + 16)) = 1 + 60 = 61.
3. per i=1,...,25
stampa i ;
se
i-(i/5)*5=0 vai a capo;
4. Se d = MCD(a, b), allora dovrà essere a = q ∗ d, b = p ∗ d, e necessariamente p e q dovranno essere
primi tra loro. Allora (a ∗ b)/d = p ∗ q ∗ d, quindi otteniamo un multiplo di a e b, necessariamente minimo
perché p, q sono primi tra loro.
5. ALG1:
(6510,5880)=(5880,630)=(5250,630)=(4620,630)=(3990,630)=(3360,630)=(2730,630)=
(2100,630)=(1470,630)=(840,630)=(630,210)=(420,210)=(210,210)=(210,0).
ALG2:
(6510,5880)=(5880,630)=(630,210)=(210,0).
6. In questo caso avremo: M = 0.999 · 109 (999 milioni), m = 10−10 = 0.1 · 10−9 .
7. Appartengono ad A: 0.000715 = (715, −3), 12.7 = (127, 2), 10−8 = (100,√−7), 700.000.000 = (700, 9);
non appertengono ad A (tra parentesi il loro valore per arrotondamento): 2 = (141, 1), 1/3 = (333, 0),
39210 = (392, 5), 217.5 = (218, 3), 109 = M, 10−11 = 0.
8. 823+195 = (823, 3)+(195, 3) = (101, 4) , 1018 (si è usato il troncamento, (102,4) per arrotondamento);
13.4 − 2.75 = (134, 2) − (275, 1) = (107, 2) , 10.65
4 × 5 · 108 = (400, 1) × (500, 9) = 2 · 109 (over f low);
1000/32 = (100, 4)/(320, 2) = (312, 2) , 31, 25
9. (a + b) + c = (1 + 0.005) + 0.007 = 1 + 0.007 = 1;
a × (b − c) = 3 × (815 − 521) = 3 × 294 = 882;
a + (b + c) = 1 + 0.012 = 1.01
a × b − a × c = 3 × 815 − 3 × 521 = 2440 − 1560 = 880.
7
10. ε = 101−3 = 10−2 = 0.01. Infatti:
1 + 0.01 = 1.01,
mentre si avrà : 1 + 0.009 = 1.
11. a90 = (954, 1) − (949, 1) = (500, −1) = 0.05;
b90 = (100, 1)/((954, 1) + (949, 1)) = (100, 1)/(190, 2) = (526, −1) = 0.0526,
valore corretto alle prime 3 cifre significative.
12. Per quanto visto sui numeri macchina il motivo è chiaro: nelle formule usate si deve sommare il numero
1 al numero via via più piccolo 1/n; appena questo diviene minore della precisione macchina la somma
restituisce semplicemente 1, che elevato alla n farà sempre 1; nel toy computer succederebbe da n = 101.
13. Soluzioni esatte dell’equazione: x1 = 200.99504..., x2 = −0.99504....
Con le formule
√ tradizionali in A si ottiene:
∆ = 1.02, ∆ = 1.00995... = 1.01 ∈ A (per arrotondamento), x1 = −2.01
−0.01 = 201, x2 =
quindi x1 = 201, r(x1 ) = −0.005, x2 = −1, r(x2 ) = −0.005 .
0.01
−0.01
= −1;
2
2
14. Con le formule alternative si ottiene x1 = 0.01
= 200, x2 = −2.01
= −0.99502... = −0.995 ∈ A,
quindi x1 = 200, r(x1 ) = 1, x2 = −0.995, r(x2 ) = 4.98e − 05 .
Notate che i risultati migliori si ottengono con le prime formule per x1 , con le seconde per x2 .
8