Classi 2e
Dimostrazione sull’equivalenza dei poligoni
Costruzioni: utilizzando i teoremi sulle aree dei poligoni:
1)
Dato un triangolo ABC, costruire un rettangolo equivalente ad esso.
2)
Dato un triangolo ABC, costruire il triangolo isoscele ad esso equivalente e che ha per base AB.
3)
Dato un parallelogramma ABCD, costruire un rombo ad esso equivalente avente lato uno dei lati di ABCD.
4)
Dato un parallelogramma ABCD, costruire un rombo ad esso equivalente e che ha per diagonale una delle
diagonali del parallelogramma.
5)
Dato un parallelogramma, costruire un triangolo equivalente ad esso avente per base una diagonale del
parallelogramma.
6)
Dato un trapezio, costruire un triangolo ad esso equivalente e che ha come base la base maggiore del
trapezio.
7)
Assegnato un parallelogramma, costruire un parallelogramma equivalente ad esso, con il lati due segmenti
assegnati .
8)
Dividere un triangolo in due parti equivalenti con una retta che passa per un punto di uno dei suoi lati.
9)
Dividere un quadrilatero in due parti equivalenti con una retta che passa per un vertice.
10) Costruire un rettangolo equivalente ad un triangolo assegnato e avente altezza assegnata.
Dimostrazioni
1) Dimostrare che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli aventi la stessa area.
2) Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma lo dividono in quattro triangoli aventi la stessa area
3) Dimostrare che le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli equivalenti.
4) Dimostrare che, congiungendo i punti medi di due lati di un triangolo, questo risulta suddiviso in due parti,
una equivalente al triplo dell’altra.
5) Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD=DE=EC.
Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.
Dimostrare che l’area del quadrilatero DENM è la quarta parte dell’area del triangolo ABC. (si usa anche 14)
6) Il quadrilatero ABCD è circoscritto alla circonferenza di centro O.
Dimostrare che la somma delle aree dei triangoli ABO e DOC è equivalente alla somma delle aree dei
triangoli BCO e ADO
7) Dato il triangolo ABC siano M il punto medio del lato AB, N il punto medio del lato BC, L il punto medio del
∆
lato AC. Dimostrare che i quattro triangoli
∆
∆
∆
A M L , B M N , C N M e C M L hanno la stessa area.
8) Se dal punto medio M del lato BC di un qualunque triangolo ABC si tracciano le parallele agli altri due lati,
queste incontrano i lati AB e AC in due punti, L e, rispettivamente, N.
Dimostrare che si ottiene un parallelogramma ALMN che ha area la metà di quella del triangolo ABC.
9) Dimostrare che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero ha area
la metà dell’area del quadrilatero. (può essere utile 18)
10) Dato un trapezio ABCD, detti N e M i punti medi dei lati obliqui, dimostrare che i triangoli AND e BMC sono
equivalenti.
Classi 2e
Dimostrazione sull’equivalenza dei poligoni
11) Dato il parallelogramma ABCD, sia P un punto della diagonale AC. Da P si traccino le parallele ai lati del
parallelogramma, suddividendo quindi il parallelogramma in quattro parallelogrammi.
Dimostrare che i due parallelogrammi che non sono tagliati dalla diagonale AC hanno la stessa area
(questo risultato va sotto il nome di teorema dello gnomone ed è dovuto ad Euclide)
12) E’ dato un qualunque quadrilatero ABCD ed i punti medi N e M dei due suoi lati opposti AB e CD.
Congiunti tali punti con un estremo opposto (in modo tale che i due segmenti non si intersecano),
dimostrare che il quadrilatero BNDM ottenuto ha area la metà dell’area del quadrilatero ABCD.
13) ABCD è un parallelogramma e P un suo punto interno.
Dimostrare che la somma delle aree dei triangoli ABP e DCP equivale alla somma delle aree dei triangoli
APD e BCP.
14) Dimostrare che se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli tra essi compresi supplementari
allora sono equivalenti.
15) Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente a esso si costruiscano i tre quadrati ABDE,
BCFG e CAHL.
Dimostrare che i triangoli AHE, BDG e CFL sono equivalenti al triangolo ABC.
(confrontare i lati e gli angoli di questi triangoli con quelli del triangolo ABC. Si applica 24)
