Prezzi Relativi II: Potere d`Acquisto e Tassi Reali Intro 1 Moneta e

Prezzi Relativi II: Potere d'Acquisto e Tassi Reali
Salvatore Modica
21 maggio 2011
Intro
Continuiamo qui il capitolo sui prezzi relativi, concentranoci sugli aspetti Macro. L'introduzione è
quella della parte I.
La parola reale crea complicazioni, è bene dirlo subito. Il problema è che ci sono di mezzo indici
di variazioni (spaziali o temporali) dei prezzi, e questi sono di fatto medie ponderate che dipendono
dai pesi che si usano. La scelta dei pesi è dunque cruciale, ma purtroppo in certa misura arbitraria.
In questa sezione cercheremo di chiarire il problema. Non è pura curiosità accademica, perché qui
si vedrà come valutare progetti alternativi di investimento, o paragonare stipendi in luoghi o tempi
diversi in termini di potere d'acquisto.
1 Moneta e Potere d'Acquisto
La moneta si usa per comprare beni, ma anche si trasferisce da un periodo all'altro o da un paese
all'altro per trasferire dipsonibilità di beni.
D'altra parte, i prezzi relativi di monete a tempi o
luoghi diversi non riettono i rapporti di scambio dei beni la cui disponibilità si vuole trasferire.
Per esempio un tasso di interesse del 5% non dice quanti panini domani ottengo rinunciando alla
disponibilità di un panino oggi; il risultato dipende dai prezzi dei panini, per esempio in termini di
euro: se un panino costa 100 euro oggi e 100 domani con un panino oggi ottengo 1.05 panini domani;
ma se domani costa 105 ne ottengo soltanto 1. Allo stesso modo se 1 euro vale 1.5 dollari, non so
quanti panini dipsonibili in USA (per esempio per un amico) ottengo rinunziando a un panino in
Italia nché non so quanti dollari costa un panino in USA: se costa 300 dollari ne ottengo mezzo, se
costa 75 ne ottengo 2.
Nei casi appena visti il problema di tradurre rapporti di scambio di monete in rapporti di scambio di
beni ha soluzione facile: dividere per il rapporto dei prezzi dei beni in questione. Per esempio, nel caso
del panino e interesse nominale al
5%, se il panino oggi costa 100 e domani 105 ottengolo il rapporto di
1
scambio fra panini oggi e domani (cioè 1) facendo
(1 + i)/(105/100) = (1 + it )/(ppanino,t+1 /ppanino,t ).
Nel caso del trasferimento dall'Italia agli USA, se il cambio
qui e 75 dollari in USA ottengo 2 dividendo
E $/e = 1.5
e il panino costa 100 euro
1.5/(75/100) = E $/e /(ppanino,$ /ppanino,e ).
In questo
caso il prezzo del panino qui in termini di panino in USA è 2, quindi qui costa il doppio che lì.
Nel caso generale la dicoltà sorge dal fatto che la moneta si trasferisce per trasferire non un
particolare bene ma potere d'acquisto .
E non si può usare un solo bene come rappresentativo
perché i prezzi relativi variano per beni diversi. Per esempio con tasso al
5%,
può essere che panino
e briosche valgono entrambi 100 oggi, e domani un panino vale 100 e una briosche 110: in questo
caso sui panini c'è interesse positivo, ma per le briosche è negativo (una briosche oggi vale più di
una domani). Stesso problema per i trasferimenti nello spazio. Conclusione, per parlare di interesse
o tasso di cambio in termini di potere d'acquisto i cosiddetti tassi
reali si deve necessariamente
utilizzare un paniere di beni e sostituire al rapporto fra prezzi di un bene, come
ppanino,t+1 /ppanino,t ,
il rapporto fra i prezzi di questo aggregato.
Che tipo di paniere si ha in mente quando si pensa di trasferire potere d'acquisto? Chiaramente
ognuno ha una risposta diversa. Si vuole una risposta che mediamente vada bene, e a quel punto la
variazione del prezzo di quel paniere si può considerare come variazione (nel tempo o nello spazio) del
livello generale dei prezzi. Una risposta ragionevole è: una copia del vettore dei beni nali prodotti
nell'economia (cioè al netto delle quantità usate come beni intermedi), il cui valore è il PIL.
Ma c'è un ulteriore problema: il vettore dei beni prodotti nell'economia
o paese di partenza) o nell'economia
di partenza
di arrivo (data nale o economia di arrivo)?
(data iniziale
La risposta è che se
si vuole denire in modo semplice e consistente una relazione di scambiabilità fra diverse economie,
in particolare in modo che valga la transitività, si deve ssare una economia base
B del cui prodotto
si trasferisce la disponibilità, nel tempo o nello spazio.
2 Indici di Prezzo
Cominciamo dagli indici di prezzo dove il problema si vede subito. Sia
di prezzi in un'economia al tempo
pt = (pt,1 , . . . pt,n )
t = 1, 2, . . . , dove per ogni t si usa lo stesso numerario, dalle nostre
parti convenzionalmente l'Euro. Il numerario potrebbe essere qualunque bene
free, se hai fatto quella parte), il punto è chept è riscalato ad ogni
così gli altri prezzi sono in termini di
Supponi di voler confrontare
pt
e
i
(perché
t
i (per l'esattezza non-
in modo che
pt
un
indice,
pt,i = 1
per ogni
t,
pt,j = pt,j /pt,i ).
ps , dove s è un altro periodo.
Di quanto sono cambiati i prezzi?
Che equivale a chiedersi, Come è cambiato il potere d'acquisto della moneta?
vettore
il sistema
Per ottenere dal
cioè un numero, che lo rappresenta, se ne può prendere una media ponderata,
2
P
i
pt,i wi ,
con
w = (w1 , . . . , wn )
vettore di pesi.
La scelta è ragionevole, ma ovviamente tutto
dipende dai pesi. I pesi devono essere le quantità scambiate, in modo che nell'indice il peso di un
bene cresce col crescere della quantità che di esso si produce (e che quindi si consuma).
In altre
parole, il vettore dei pesi deve essere il vettore del PIL. Ma il PIL a che data? Vediamo le alternative.
Notazione.
Abbrevieremo somme di prodotti, ponendo per vettori
es. la somma pesata sopra è semplicemente
Sia ora
Xt = (Xt,1 , . . . Xt,n )
valore è il PIL, al tempo
x, y ∈ Rn , xy ≡
P
i
xi yi .
Per
pw.
il vettore dei beni nali prodotti nell'economia, cioè il vettore il cui
t = 1, 2, . . . .
Il PIL è
P
i
pt,i Xt,i = pt Xt .
Per stimare la variazione dei
prezzi nel tempo una scelta solida, quella fatta per esempio dal Fondo Monetario Internazionale,
è quella di ssare un tempo
b.
base t = b
In questo modo si ottiene
e ponderare tutti i
pt
usando come vettore-peso
l'indice dei prezzi di Laspeyres a t
Xb ,
il PIL a
(Laspeyres è l'economista che l'ha
inventato):
PtLA =
dove la divisione rende
Osservazione 1. PtLA
che si comprava a
Dimostrazione.
la frazione
b
PbLA = 1.
Questo indice si chiama anche
t
la stessa frazione di
1
Xb
con 1 Euro.
Abbiamo per denizione, per
α = 1/pb Xb
di
Xb
s = b, t,
t = b,
1 Xb ' ps Xb es ; quindi
1 eb oppure PtLA et .
che
ci vogliono (per linearità)
si può prendere come peso al tempo
t
il PIL a
per comprare
t, Xt .
Così si
Indice di Paasche
PtP A =
Si chiama anche
prodotto a
t
Deattore del PIL,
calcolato a prezzi
Osservazione. PtP A
l'indice
Indice dei Prezzi al Consumo.
è uguale al numero di Euro necessari a comprare a
Alternativamente, ssato
ottiene l'
pt Xb
,
pb Xb
pb
pt Xt
.
pb Xt
perché a denominatore c'è il cosiddetto PIL reale, il vettore
dell'anno base.
è in eetti ottenuto dividendo l'indice di variazione totale
QLA
= pb Xt /pb Xb
t
pt Xt /pb Xb
che è l'indice di Laspeyres di variazione delle quantità (con peso
pb ).
per
La
variazione totale è dovuta in parte alla variazione dei prezzi e in parte a quella delle quantità, e
la divisione la depura dall'eetto della variazione della quantità lasciando dentro solo quello della
variazione del prezzo.
E' meglio Laspeyres o Paasche come indice della variazione del potere d'acquisto?
sostenere che
1 Ovviamente
PtLA
è troppo alto, perchè i consumatori a
essendo tutto riferito a
t
t = b l'indice dipende anche da b,
b.
ma ovviamente è scomodo e ometteremo la
3
Si può
reagiscono alla variazione dei prezzi
e si dovrebbe scrivere qualcosa come
PtLA,b ,
relativi cambiando le scelte, e a prezzi
pt
non sceglierebbero
Xb ,
quindi il numeratore è una stima
troppo alta del costo della vita. Ma analogamente si può sostenere che in
PtP A
è il denominatore ad
essere troppo alto. Comunque, vedremo presto che è spesso più appropriato usare
PtLA .
3 Inazione
Indichiamo con
Pt
l'indice prescelto del livello dei prezzi, sia esso Laspeyres o Paasche. L
πt,t+s da t a t + s,
è allora denita da
1 + πt,t+s =
πt,t+s = (Pt+s − Pt )/Pt
l'inazione fra
t
t + 1.
e
a inazione
Pt+s
.
Pt
è la variazione relativa dei prezzi.
In particolare porremo
πt ≡ πt,t+1 ,
Così
1 + πt =
Pt+1
.
Pt
E' quasi superuo ma lo rimarchiamo, la denizione dipende da quale indice del livello dei prezzi si
usa. Per esempio se si usa Laspeyres, con
πt,t+s
La relazione fra
X = Xb ,
e i tassi di inazione fra
risulta
t
e
1 + πt = pt+1 X/pt X
t+s
(giusto?).
è la seguente, come è facile vericare:
1 + πt,t+s = (1 + πt ) · (1 + πt+1 ) · . . . · (1 + πt+s−1 ).
3.1
Esempio: Conversione di Somme in Periodi Diversi
La domanda è: si ha una certa quantità
k
di Euro al tempo
t,
per esempio uno stipendio; quanto
t+s? In termini più precisi la domanda può essere formulata
come segue: ssa un X = Xb ; con k et si comprava una frazione α di X , cioè k et ' α X ; quanto
0
0
ci vorrebbe ora per ricomprarla, cioè, per quale k vale k et+s ' α X ? La risposta è pronta nella
LA
LA LA denizione di Pt
, per linearità. Infatti, dalla Osservazione 1, Pt
et e Pt+s
et+s comprano
varrebbe in termini reali questa somma a
la stessa frazione
equivalenti anche
k
Euro al tempo
α di Xb , quella che si comprava a b con un Euro. Per linearità saranno quindi
LA
LA
1 et e Pt+s
/PtLA et+s , e quindi anche k et e kPt+s
/PtLA et+s . Conclusione,
t
sono equivalenti a
caso è opportuno scegeliere
k(1 + πt,t+s ) et+s :
LA
k 0 = kPt+s
/PtLA
P t = PtLA ,
Euro al tempo
t + s.
nel qual caso il risultato dice che
il moltplicatore è l'eetto inazione fra
4
t
e
t + s.
Ovviamente in questo
k et
sono equivalenti a
What's Next
Nell'esempio appena visto
k et
e
kπt,t+s et+s
comprano entrambi la stessa frazione
Domanda: queste quantità di Euro a tempi diversi sono
possibile scambiare il paniere
rinunciando ad
Xb
ad
Xb
disponibile ad
t riotterrai Xb
a
t
scambiabili ?
di
Xb .
Se lo fossero, sarebbe di fatto
con lo stesso paniere disponibile a
t + s, senza interessi.
α
t + s.
Quindi,
Più precisamente, senza interessi reali.
Il prossimo passo è precisare questo concetto di interesse reale, che riguarda scambi di panieri nel
tempo.
Vedremo che lo stesso concetto serve ad esaminare a scambi di paneri nello spazio, per
denire il tasso di cambio reale. Poiché il discorso è lo stesso conviene avere una notazione comune.
Stiamo dicendo che due beni diversi possono essere anche lo stesso bene disponibile in tempi o
luoghi diversi. Abbiamo già visto un esempio, notando che
per un qualunque paniere
per esempio
X,
et
con riferimento al tempo o allo spazio. Siano
I = t, J = t + 1,
oppure
I = Italia,J = USA.
Sia
idee il vettore del PIL dell'economia al tempo o luogo base
disponibile ad
è diverso da
b.
X
et+1 .
Lo stesso dicasi
I 6= J
tempi o luoghi,
un paniere dato, per ssare le
Indicheremo con
XI
il paniere
X
I.
4 Il Tasso di Interesse Reale
Il tasso reale di interesse
rt
denisce i termini ai quali si può trasferire potere d'acquisto da un
periodo all'altro in una data economia. Prendiamo in particolare
PIL al tempo
b; X t
sarà quindi questo vettore disponibile a
et
1 + it
è il prezzo di
X t+1 ,
dalla relazione
in termini di
et+1 .
Il tasso reale
t,
rt
I = t, J = t + 1. X
è il vettore del
ecc. Ricorda che per il tasso nominale
è analogamente denito usando
Xt
ed
1 X t ' 1 + rt X t+1 .
1+rt
sono le unità di
X
che si ottengono a
t+1 sacricandone una a t.
Nota che dipende da
X = Xb
ma ssare un paniere è inevitable.
5 La relazione fra it ed rt
Ricorda che nel caso del trasferimento di panini il tasso reale l'abbiamo calcolato come
(1 + it )/(ppanino,t+1 /ppanino,t ).
1 + rt =
Il denominatore è un indice di variazione di prezzo del panino; nel
caso generale sarà un indice di variazione del prezzo di
1 X t ' pt X et ' (1 + it )pt X et+1 =
X , che rimane ssato.
Abbiamo
1 + it
1 + it t+1
pt+1 X et+1 '
X ,
pt+1 X/pt X
1 + πt
5
dove
πt
è denita usando ancora una volta Laspeyres,
deriva per linearità da
1 X t+1 ' pt+1 X et+1 .
Se
i = 200%, π = 100%
Pt = PtLA ,
risulta
1 + it
.
1 + πt
r = 50%:
allora
(vedi sezione 3), e l'ultima relazione
Conclusione, con
1 + rt =
Esempio.
Pt = PtLA
100
e
oggi fruttano 300
e
fra un anno, ma
valgono 150 perché i prezzi sono raddoppiati.
5.1
Approssimazione
r = i − π,
Il conto che si fa normalmente è
visto darebbe un tasso reale del
mativamente
100%,
tasso nominale meno inazione. Nell'esempio appena
che è sbagliato. E' sbagliato ma
giusto, usando l'approssimazione
1 + rt = (1 + it )/(1 + πt )
ln(1 + x) ' x
per
per valori piccoli
x ' 0:
è
approssi-
prendi i logaritmi nella
e ottieni direttamente
rt ' it − πt .
6 Interesse e Sconto
Abbiamo già avuto modo di notare che
convenzionalmente sconto, da
t+1
a
1/(1 + it )
t.
è il prezzo di
et+1
Analogamente lo sconto reale è dato da
discorso di interesse e sconto si estende facilmente a più periodi.
reale
da t a t + s
dove per il caso reale abbiamo ancora ssato
1 + rt,t+s ]
et .
Si chiama
1/(1 + rt ).
Il
Deniamo interesse nominale e
con le relazioni
1 et ' 1 + it,t+s et+s ,
[risp.
in termini di
è il prezzo di
et
[risp.
X t]
1 X t ' 1 + rt,t+s X t+s ,
X = Xb
(vettore PIL al tempo
in termini di
et+s
[risp.
X t+s ].
b).
Dunque
1 + it,t+s
Abbiamo per esempio
1 et ' 1 + it et+1 ' (1 + it ) · (1 + it+1 ) et+2 ,
cioè
1 + it,t+2 = (1 + it ) · (1 + it+1 ).
In modo analogo (se vuoi essere preciso, per induzione) si trovano
facilmente le relazioni seguenti:
1 + it,t+s = (1 + it ) · (1 + it+1 ) · . . . · (1 + it,t+s−1 )
1 + rt,t+s = (1 + rt ) · (1 + rt+1 ) · . . . · (1 + rt,t+s−1 ).
6
E da queste segue immediatamente che
1 + rt,t+s =
Per lo sconto da
t + s a t si divide
per
1 + it,t+s
1 + it,t+s
.
1 + πt,t+s
1 + rt,t+s
o per
a seconda che si voglia usare interesse
nominale o reale. La dierenza è importante, come vedremo subito nell'esempio che segue.
Osservazione.
Nel caso di tassi costanti
it+s = i, rt+s = r
1 + it,t+s = (1 + i)s ,
6.1
per ogni
s≥0
le formule si semplicano:
1 + rt,t+s = (1 + r)s .
Esempio: Valutazione di Investimenti
I progetti di investimento sono l'esempio tipico in cui a fronte di un costo
t
si prospettano ricavi futuri derivanti da vendite a
t + 1, t + 2, . . . t + T ,
concreti, per realizzare l'investimento si deve comprare un paniere
di
p t x et ≡ C
yt+1 , . . . yt+T
x
C
sostenuto a un tempo
per qualche
T.
Per essere
di fattori produttivi, del valore
che si deve prendere a prestito, per ottenere un usso di panieri di beni vendibili
con valori
ricavi supera il costo
C
pt+s yt+s et+s
nei vari periodi futuri. Se il valore del usso scontato dei
il progetto va intrapreso, altrimenti no. Ma il usso scontato come, con tassi
reali o nominali?
x a t per produrre
t+1
beni yt+1 . Il costo è C , quindi si dovranno restituire, a t+1, (1+it )C e
= (1+rt )(1+πt )C et+1 .
t+1
t+1
yt+1
D'altra parte i ricavi saranno, sempre a t + 1, pt+1 yt+1 e
= pt+1
. Assumendo
pt yt+1 pt yt+1 e
Per capirlo prendiamo il caso semplice di
che l'incremento di valore del paniere
prezzi
Pt
avremo
yt+1
T = 1:
il progetto richiede fattori
sia proporzionale all'incremento del livello generale dei
pt+1 yt+1 /pt yt+1 = P t+1 /P t = 1 + πt ,
quindi i ricavi saranno
Una volta espressi costi e ricavi nella stessa unità di misura
genera protti positivi se
et+1
(1 + πt )pt yt+1 > (1 + rt )(1 + πt )C ,
o
(1 + πt )pt yt+1 et+1 .
si può concludere che l'investimento
pt yt+1 > (1 + rt )C ,
cioè
pt yt+1
> C.
1 + rt
Il tasso rilevante è quello reale, e l'intuizione è semplice: nell'interesse
1 + it = (1 + rt )(1 + πt )
che
devo pagare c'è dentro anche l'inazione, ma questa la recupero perché anche il valore delle vendite
cresce ed è dalla mia parte.
Conclusione, per valutare gli investimenti si deve usare l'interesse reale.
Nel caso generale la condizione di prottabilità dell'investimento diventa (ricorda che
XT
s=1
pt yt+s
> C.
1 + rt,t+s
7
rt ≡ rt,t+1 ):
Osservazione.
Questo discorso è importante in Macroeconomia, perché è la ragione per cui gli in-
vestimenti in un'economia dipendono dai tassi reali, cosa che ritroveremo nei modelli Macro che
studieremo.
Esercizio. Il discorso è importante anche in pratica, perché se invece di
a conclusioni sbagliate e potenzialmente costose.
dimostra che per ogni dato
C
X2
s=1
Soluzione.
Prendi per esempio
Rt+1 , Rt+2
esistono ricavi
Rt+s
>C
1 + it,t+s
ma
si usa
T = 2,
i
si può arrivare
assumi
πt+s > 0
e
tali che
XT
s=1
Rt+s
< C.
1 + rt,t+s
Come sempre, se guardi la soluzione prima di tentare di farlo bruci l'esercizio. Osserva
preliminarmente che sotto la nostra ipotesi è sempre
cioè
(Rt+1 , Rt+2 )
1 + it+s ≥ 1 + rt+s .



 Rt+1 +
1+it
Rt+2
(1+it )(1+it+1 )
>C


 Rt+1 +
1+rt
Rt+2
(1+rt )(1+rt+1 )
<C



R
> (1 + it,t+2 )C − Rt+1 (1 + it+1 )


Rt+2
< (1 + rt,t+2 )C − Rt+1 (1 + rt+1 )
t+2
Nel piano
r
Il sistema è
se al posto di maggiore e minore metti uguale ottieni due rette, una con
intercetta più alta e più ripida, l'altra con intercetta più bassa ma meno ripida (disegna!), che si
incontrano per
Rt+1 =
it,t+2 − rt,t+2
C.
it+1 − rt+1
Dunque le due disuguaglianze sono soddisfatte dalle innite coppie
Rt+1 , Rt+2
con
Rt+1
maggiore
del valore appena trovato che si trovano fra le due rette.
7 Tasso di Cambio Reale
In questo caso si vuole trasferire potere d'acquisto da un Paese all'altro quindi siamo nel caso per es.
I = Italia,J = USA.
Di nuovo ssiamo
quindi il vettore PIL non al tempo
Laspeyres. Il tasso di cambio reale
in termini di
XJ .
Dunque
E J/I è
b
X = Xb ,
dove adesso
ma nel Paese
E J/I
fra
I
e
J
b.
indica non un tempo ma un luogo,
Dunque di nuovo stiamo usando il metodo
è il prezzo di
denito dalla relazione
1 X I ' E J/I X J .
8
b
XI ,
cioè
X
disponibile nel Paese
I,
E J/I
Dunque
è il numero di unità di
L'interpretazione è che se per esempio
in
J.
X
in
J
cui bisogna rinunciare per averne una unità in
E J/I = 2
, vuol dire che in
Ovviamente, come al solito tutto dipende da
I
I.
il livello dei prezzi è doppio che
X.
8 Cambio Reale, Cambio Nominale e PPP
Vediamo la relazione fra cambio reale e cambio nominale. A questo punto il discorso dovrebbe essere
chiaro: il tasso di cambio reale sarà il rapporto fra il cambio nominale e un analogo di
che in questo contesto deve essere un indice di variazione dei prezzi fra
I
ed
J.
LA(t+1)/t ,
E' quest'ultimo che
ci resta da calcolare.
Chiamiamo
valuta.
I
e
J
le monete di
Così per esempio
Power Parity
fra
I
e
J
pI,i
I
e
J,
ed esprimiamo i prezzi interni in termini della rispettiva
è il prezzo in
I
del bene
eetti la
misura le unità di
PPP
J /I
disponibile in
I.
Si chiama
Purchasing
il rapporto
PPP J /I =
PPP J /I
i
J
pJ X
.
pI X
necessarie ad acquistare la frazione di
è il rapporto fra gli indici Laspeyres di
1 X I ' pI X I '
E J /I
J
e
I
· pJ X J '
PPP J /I
X
su base
che vale un
b.
I.
Nota che in
Abbiamo allora
E J /I J
X ,
PPP J /I
da cui la relazione cercata è
E J/I =
Osservazione.
E J /I
PPP J /I
.
Invertendo gli indici si ha anche
E J/I =
Per esempio, nelle Penn World Tables si calcola
PPP I/J
.
E I/J
E US /I = (pI X/p$ X)/E I/$ .
9 Paasche (Optional) DA RIVEDERE
L'argomento è analogo per trasferimenti nello spazio e nel tempo, prendiamo prima il tempo per
ssare le idee. Gli indici di prezzo Paasche e Laspeyres per l'economia a
PAt/b =
pt Xt
,
pb Xt
LAt/b =
9
pt Xb
.
pb Xb
t
rispetto alla base
b
sono:
PAt/b
reale'.
da
t
PA
t/b
e
LA
t/b
in base
b,
il rapporto fra `PIL nominale e PIL
Sono entrambi rapporti di medie pesate di prezzi di beni, ma i pesi dipendono
in Paasche, mentre sono ssi in Laspeyres; questo fa la dierenza.
Scriveremo
Xt
t+1
non è altro che il `deatore del PIL' a
XIJ
per indicare il prodotto
b.
disponibile al tempo
XI ∈ Rn
disponibile in
J.
Così per esempio
Xtb
è il prodotto
Possiamo denire
Sb t
1 Xtb '
Xt ,
St
(1)
b
e la denizione ha un senso: in fondo se voglio trasferire potere d'acquisto da
munirmi di una copia di
Xt ,
a
t
farò bene a
altrimenti rischio di fare i conti con beni che poi magari non valgono
niente. L'idea è di trasferire una copia del prodotto dell'economia di arrivo. Ma la denizione non
riette consistentemente variazioni di potere d'acquisto, perché per trasferire da
Xb dovremmo avere il prezzo inverso
St /Sb ;
t
a
b
il prodotto
ma
St b
1 Xbt 6'
X .
Sb b
E' istruttivo vedere perché. Sia
Calcoliamo
ν t/b = (1 + ib ) · · · · · (1 + it−1 )
il valore di
1 eb
in termini di
et .
Sb /St :
pb Xt
ν t/b t
1 Xtb ' pb Xt eb ' ν t/b
pt Xt et '
Xt .
pt Xt
PAt/b
D'altra parte, analogamente si trova
1 Xbt '
pt Xb /pb Xb
ν t/b
b
X =
b
LAt/b Xbb
ν t/b
6=
PAt/b Xbb .
ν t/b
Come si
vede, il problema sorge dalla variazione delle quantità con cui sono pesati i prezzi.
Denizione Paasche di Inazione e Tasso reale.
è
1 + st = St /St+1 .
Da
La denizione di tasso reale derivante dalla (1)
St /St+1 = (Sb /St+1 )/(Sb /St )
1 + st =
viene allora
1 + it
PA
(t+1)/b
/PAt/b
.
In modo analogo a come fatto prima si può denire come sistema di livelli dei prezzi nominali la
sequenza dei deatori del PIL
PA
(t+1)/b
/PA
t/b
PAt/b .
In tal modo il tasso di inazione
ρt
è denito da
1 + ρt =
, e risulta
1 + st =
1 + it
.
1 + ρt
Questo modo di procedere è internamente consistente, nel senso che il tasso a due periodi risulta
giustamente
(1 + st )(1 + st+1 ).
Ma come abbiamo visto,
scambiabilità fra aggregati di beni.
10
non
deriva da una relazione consistente di
Trasferimenti nello Spazio.
J,
Per misurare il rapporto fra il potere d'acquisto in un Paese
posso chiedermi: con una unità di
XI
in
I
I
e il mio,
quante ne vengono a casa mia? se la risposta è 2, lì il
livello dei prezzi è doppio che qui. Questo vuol dire denire
SI /SJ
ponendo
SI J
XI .
1 XII '
SJ
Calcoliamo
SI /SJ :
pI XI J
pI XI /pJ XI J
1 XII ' pI XI I ' E J /I
XI '
XI .
pJ XI
E I/J
pI XI /pJ XI
è un indice Paasche della variazione di prezzi nominali fra
I
e
J.
Come nel caso
temporale, anche qui la denizione ha senso ma non è consistente. Per esempio, se voglio trasferire
XI
da
I
a
J
passando per
K
non ottengo le stesse unità che ottengo facendolo direttamente:
SI K
pK XI SI K
pK XI pJ XK SI J
1 XII '
XI '
XK '
XI .
SK
pK XK SK
pK XK pJ XI SJ
11