Consigli e formule utili per risolvere un problema.
SUL DISEGNO, TI CONVERRA’
SEGNARE IMMEDIATAMENTE
CIO’ CHE E’ NOTO PER IPOTESI
(marcherai con simboli uguali i segmenti
e gli angoli che sai per ipotesi essere uguali,
indicherai con quadratini gli angoli che
sai per ipotesi essere retti, ecc. ecc.)
La tesi, invece, è meglio non segnarla:
essa è il tuo obiettivo ultimo,
esprime qualcosa che non “possiedi” ancora,
qualcosa che ti è richiesto di “conquistare”
con ragionamenti vari.
Soltanto al termine potrai finalmente dire:
La tesi è dimostrata!
E a questo punto, se lo desidero,
la rimarco vittoriosamente in figura.
Un’ultima raccomandazione:
evita accuratamente di tracciare una figura
che esprima un caso particolare.
Nel nostro esempio, sarebbe un caso particolare se il
triangolo ABC venisse disegnato equilatero, oppure se i
due
prolungamenti della base fossero presi uguali ai lati
obliqui, ecc.)
Beninteso: il teorema, essendo valido sempre,
mantiene la sua validità anche nei vari casi particolari,
ma utilizzando una figura che esprima un caso
particolare
c’è il pericolo di essere indotti a fare dei ragionamenti
che “funzionano”, appunto, solo in quel caso specifico,
ma non in generale.
SE VUOI LAVORARE BENE … RICAPITOLIAMO:
♪
Segna sempre sulla figura ciò che dice l’ipotesi
(marcando con simboli uguali i segmenti o gli angoli che si sa essere uguali,
indicando con un quadratino gli angoli che si sa essere retti, ecc. ecc.)
♫
… E quando riesci a dedurre qualche affermazione intermedia interessante,
ti conviene sempre segnare anche quella sul disegno prima di proseguire!
☼
Evita accuratamente di tracciare una figura che esprima un caso particolare
(ad es., se l’ipotesi parla di un triangolo isoscele, meglio non disegnarlo equilatero;
se parla di un angolo generico, meglio non farlo retto, ecc.)
Il simbolo più usato per indicare il perimetro è 2p;
p si riserva invece di norma al SEMIperimetro
( = metà del perimetro).
1
Applicazioni dell’algebra alla geometria
Un triangolo si chiama ERONIANO o PITAGORICO se i suoi lati e l’area sono numeri INTERI.
Un triangolo si chiama RAZIONALE se i suoi lati e l’area sono numeri RAZIONALI.
Il lato opposto al vertice A si indica con la lettera a; il lato opposto al vertice B si indica con la lettera b;
il lato opposto al vertice C si indica con la lettera c
hA è l’altezza che parte dal vertice A; mA è la mediana che parte dal vertice A; bA è la bisettrice che parte dal
vertice A;
hB è l’altezza che parte dal vertice B; mB è la mediana che parte dal vertice B; bB è la bisettrice che parte dal
vertice B;
hC è l’altezza che parte dal vertice C; mC è la mediana che parte dal vertice C; bC è la bisettrice che parte dal
vertice C;
Perimetro = 2p; semiperimetro = p
Quantificatori universali:
esiste; per ogni
Esistenza di un triangolo
Considerata la terna: a, b, c R0 per determinare se un triangolo esiste occorre verificare che: ogni lato del triangolo
sia minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza, cioè :
b c a b c vera
a c b a c vera
a b c a b vera
Natura di un triangolo
Per determinare la natura di un triangolo, dopo aver verificato la sua esistenza, occorre elevare il lato maggiore al
quadrato e confrontare il risultato ottenuto con il risultato che si ottiene sommando i quadrati degli altri due lati.
Il triangolo è:
Ottusangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è maggiore della somma dei quadrati
degli altri due lati
Acutangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è minore della somma dei quadrati
degli altri due lati
Rettangolo nell’angolo opposto al lato maggiore: se il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati
degli altri due lati
esempio se il lato a è maggiore dei lati b e c si ha:
se a b c il triangolo è ottusangolo nell’angolo A
2
2
2
se a b c il triangolo è acutangolo nell’angolo A
2
2
2
se a b c il triangolo è rettangolo nell’angolo A (verifica il teorema di Pitagora)
2
2
2
in base alla natura si disegna il triangolo.
C
b
A
a
c
B
2
TRIANGOLO
C
b
a
A
c
B
2A
base h
, h
; hA hB hC ; se non si conosce l’altezza, ma solo le misure dei tre
2
base
lati si applica la formula di ERONE A = p ( p a) ( p b) ( p c)
2A
base h
Triangolo isoscele (base AB = c): 2p = 2 b + c ; A =
oppure A = 2 AAHC ; h
; hA hB hC
2
base
2p = a + b + c; A =
base h
oppure A = 2 AACH ;
2
Triangolo equilatero: 2p =3a ; A =
2A
;
base
h
hA hB hC
misura delle MEDIANE di un triangolo
1
1
2b 2 2c 2 a 2 ;
2a 2 2c 2 b 2 ;
mB =
2
2
nel triangolo scaleno: mA mB mC
mA =
nel triangolo isoscele con base AB : mA
nel triangolo equilatero: mA
1
2a 2 2b 2 c 2 ;
2
mC =
mB mC
mB mC
misura delle BISETTRICI degli angoli INTERNI di un triangolo
bA
2
b c p p a ;
bc
bB
2
a c p p b ;
ac
bC
2
a b p p c ;
ab
bA bB bC
nel triangolo isoscele con base AB: bA bB bC
nel triangolo equilatero: bA bB bC
nel triangolo scaleno:
triangolo rettangolo
C
angolo A=90° ;
angolo B+C=90°(complementari)
2p = c1+c2+i ; A =
cc
A=
1
2
2
i
se si conoscono i 2 cateti oppure
hC= c1
M
mA
base h
se si conosce l’ipotenusa e l’altezza relativa ad essa.
2
La mediana relativa all’ipot. è uguale alla metà dell’ipot.. AM
Le altezze di un triangolo rettangolo : hC= c1 = AC;
BC
2
hB = c2 = AB;
A
hA =
cc
1
hB=c2
B
2
i
3
teorema di PITAGORA
BC AB AC
2
2
2
A
CH = proiezione ortogonale di AC su BC; BH = proiezione ortogonale di AB su BC
B
H
C
1° teorema di EUCLIDE
BC : AB AB : BH AB 2 BH BC
oppure
BC : AC AC : CH AC 2 HC BC
2° teorema di EUCLIDE
BH : AH AH : HC AH 2 BH HC
triangolo rettangolo con angoli di 60° e 30° ( metà di un triangolo equilatero)
BC = i
C
i
2
i 3
AC (lato opposto all’angolo di 60°) =
2
AB (lato opposto all’angolo di 30°) =
30°
h=
ABCD = 2AABC
i
i 3
2
D
60°
i
2
A
B
3
ES. Se si pone: AC = 2x; AB = x e AC = x
triangolo rettangolo isoscele con angolo di 45° (metà di un quadrato)
D
C
angolo A = 90°; angolo B=D=45°
AD=AB = c; BD = c
2 ; c
BD BD 2
2
2
c
misura delle tre altezze: hD= hB = c; AH = hA = mA = bA=
H
BD
2
A
c
B
triangoli con angoli di 120°, 150°oppure 135°
A
A
30°
A
60°
x 3
2x
45°
x
2x
60° 120°
H
x
B
x
x
30° 150°
C
H
x 3
B
2
45° 135°
C
H
x
B
C
4
Per verificare se un triangolo è rettangolo occorre che sia verificato o soddisfatto uno dei seguenti teoremi inversi dei
teoremi diretti seguenti:
1.
2.
3.
4.
teorema di Pitagora
1° teorema di Euclide
2° teorema di Euclide
un lato è doppio della mediana.
Naturalmente nel caso che il triangolo sia rettangolo il lato maggiore rappresenta l’ipotenusa e quindi l’angolo retto è
quello opposto all’ipotenusa.
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo occorre verificare
che i lati AB e AC,entrambi minori di BC, siano perpendicolari
e quindi che i lati verificano il teorema di Pitagora:
A
20
15
25 2 15 2 20 2 625 225 400 625 625
le misure dei lati verificano il teorema di Pitagora AB
AC .
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che l’altezza e le proiezioni ,
sul lato maggiore, di due lati verificano il 2°
teorema di Euclide: 12 16 9 144 144
2
B
25
A
20
12
B
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che 2 lati e la proiezione di
uno dei lati verificano il 1° teorema di Euclide:
15 2 9 25 225 225
15
16
H
9
25
C
A
20
B
15
16
H
25
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo
occorre verificare che la mediana mA relativa al
lato BC è la metà del lato 2AM=BC .
1
1
2
2
2
2b 2 2c 2 a 2 =
220 215 25 =
2
2
1
1
2 400 2 225 625 =
800 450 625 =
=
2
2
C
9
C
A
AM = mA =
m
A
20
B
15
M
C
25
1
1
25
25
625 =
25 2
25 ABC è un triangolo
=
verifico se è vera l’uguaglianza: 2AM=BC 2
2
2
2
2
rettangolo in A.
ES.
Per verificare se il triangolo ABC è rettangolo occorre verificare
che i lati AB e AC siano perpendicolari e quindi che i lati
verificano il teorema di Pitagora: 62 = 42 + 32 36=16+9 36=25
l’uguaglianza è falsa, quindi le misure dei lati non verificano il
teorema di Pitagora e quindi il triangolo ABC non è rettangolo.
A
4
B
3
6
C
5
teorema di PITAGORA generalizzato (o di Ippocrate)
In ogni triangolo il quadrato di un lato è equivalente alla somma dei quadrati degli altri due lati meno o più il doppio
rettangolo di uno di questi due lati e della proiezione su questo dell’altro lato, a seconda che l’angolo opposto al lato
considerato sia ACUTO oppure OTTUSO.
(quando il lato a è opposto all’angolo acuto)
B
angolo A minore di 90°
c
a
BC AC AB 2 AC AH a b c 2bc1
2
2
2
2
2
2
h
A
c1
H
b – c1
C
b
(quando il lato a è opposto all’angolo ottuso)
B
angolo A è maggiore di 90°
BC 2 AC 2 AB 2 2 AC AE a 2 b 2 c 2 2bc1
a
c
C
h
b
A
c1 E
QUADRILATERI
DELTOIDE
Perimetro ed area del deltoide:
2p = 2AB+2BC ;
A=
d1 d 2
oppure A = 2 AABC
2
Caratteristiche:
1) lati consecutivi uguali:
AB=AD e BC=DC
2) le diagonali sono
distinte e perpendicolari:
AC>BD e AC BD
Si può notare che il deltoide è
equivalente alla metà del
rettangolo tratteggiato, infatti è
composto da quattro triangoli
uguali a due a due (1 = 2 e 3 =
4), mentre il rettangolo è formato da 8 triangoli uguali a quattro a quattro (1 = 2 = I = II e 3 = 4 = III = IV). Gli angoli
del deltoide sono: A-B-C-D. Possiamo notare che: B è opposto a D e sono angoli opposti; A non è congruente a C ma
sono angoli opposti.- Il segmento AO è diverso da OC e il segmento BO è uguale a OD.
6
TRAPEZIO
caratteristica: AB parallelo DC con AB>DC
Perimetro ed area del trapezio:
( B b) h
2
2p = AD+AB+BC+DC ; A =
trapezio isoscele
b
D
C
AD =BC; angolo A = B e angolo D = C
AH
AB=2AH+HK;
BD = AC =
Bb
2
h
CK 2 AK 2
A
lato
H
K
B
B
Bb
B b
2
l h
; h l
2
2
2
2
2
PARALLELOGRAMMO
caratteristica: AB parallelo DC con AB = DC
Area e perimetro del parallelogrammo: 2p = 2(AB+BC);
A bh
oppure A = 2 AADB ;
D
Se in un parallelogrammo non si conosce l’altezza,
ma si conosce la misura di una delle due diagonali per
calcolare l’area del parallelogrammo basta calcolare
l ‘area del triangolo ADB con la formula di Erone e
poi moltiplicare per due.
C
h
A
h
H
B
S
Poiché l’altezza del parallelogrammo è uguale all’altezza del triangolo ADB = DBC, per calcolare l’altezza del
parallelogrammo basta calcolare l’area del triangolo ADB con Erone e poi applicare la formula inversa:
DH h
2 AADB 2 AADB
b
AB
PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI
Rettangolo:
D
C
2p= 2 (a + b) ; p = a + b; a = p – b; b = p - a
A bh ;
oppure
d
A 2 AABC ;
misura delle diagonali BD = AC =
a
AB2 BC 2
A
b
B
rombo o losanga :
2p = 4 AB;
p
D
AB
d D
; A=
oppure A 4 ADOC
2
2
lato
A
1
l
d12 d 22
2
0
C
B
7
D
C
quadrato
45°
2
lato
2p =
4 lato ; p = 2 lato ; A lato2 ; l
AC = lato
d
2
45°
2 ; AABCD = 2 AABC
A
lato
90°
lato
B
Poligoni con numero di lati maggiori di 4
B
C
BC parallelo AD AD parallelo FE
2p= AB+BC+CD+DE+EF+FA
A esagono = AT1+AT2
T1
esagono:
A
D
T2
F
pentagono:
E
t = triangolo; T = trapezio
AC parallelo ED
2p=AB+BC+CD+DE+EA
B
t
A pentagono=At+AT
A
T
C
E
D
CIRCONFERENZA
C = 2 r;
A = r2 ;
=
C
2r
C
d
;
= 3,14... è un numero irrazionale; r
A
Settore circolare
= angolo al centro del settore; l = lunghezza dell’arco corrispondente
l
r
A
180
r2
360
r
;
l 180
;
;
A 360
;
r2
r
l 180
;
r
A 360
;
Corona circolare
r = raggio del cerchio interno
R = raggio del cerchio esterno
A = area
A R2 r 2
8
