DINAMICA DEI FLUIDI
APPROCCIO LAGRANGIANO
Descrive il moto di un fluido pensandolo scomposto in
elementi infinitesimali di volume (le particelle fluide) di cui si
cerca di esprimere posizione e velocità in funzione del tempo.
Diretta generalizzazione della meccanica del punto materiale.
Procedimento estremamente complicato.
APPROCCIO EULERIANO
Descrive il moto di un fluido esprimendo, in ogni punto dello
spazio occupato dal fluido, la massa volumica e la velocità del
fluido stesso in funzione del tempo.
Approccio statistico molto più conveniente.
CARATTERISTICHE GENERALI DEL FLUIDO IN MOTO
1. Il fluido in moto può essere comprimibile o incomprimibile.
Se la massa volumica è costante rispetto a x, y, z e t, il fluido è
definito incomprimibile. In caso contrario viene detto
comprimibile.
N.B.: Anche per gas largamente comprimibili, in molte
situazioni le variazioni di massa volumica sono trascurabili ⇒
in tali casi essi possono essere considerati incomprimibili.
2. Il fluido in moto può essere viscoso o non viscoso. Il fluido
si dice viscoso se un elemento di fluido, in movimento rispetto
ad elementi confinanti (o rispetto a pareti di confinamento), è
soggetto ad una forza che ne ostacola il moto (viscosità o
attrito interno). Se tale attrito interno può essere trascurato, il
fluido si può considerare non viscoso.
N.B.: Quanto maggiore è la viscosità tanto più intensa è la
forza esterna da applicare per mantenere il flusso.
3. Il regime di flusso può essere stazionario o turbolento.
Se in ciascun punto le grandezze che descrivono il flusso
(pressione, massa volumica, velocità) non variano nel tempo, il
regime di flusso è detto stazionario. In caso contrario è detto
turbolento.
N.B.: In un flusso stazionario i valori delle varie grandezze
possono variare da punto a punto, ma in ciascun punto non
cambiano nel tempo.
4. Il regime di flusso può essere rotazionale o irrotazionale.
Se un minuscolo oggetto, muovendosi con la corrente, non
ruota intorno ad un asse passante per il suo centro di massa, il
regime di flusso è chiamato irrotazionale. Altrimenti è detto
rotazionale.
N.B.: Anche se un elemento di fluido descrive una traiettoria
circolare, il regime di flusso può avere ancora caratteristiche
irrotazionali.
Un fluido in moto si definisce ideale se è incomprimibile e non
viscoso ed è in regime stazionario ed irrotazionale.
LINEE E TUBI DI FLUSSO
In un flusso stazionario il moto del fluido è descritto dalle
cosiddette linee di flusso.
In ciascun punto di una linea di flusso il vettore velocità risulta
sempre tangente alla linea stessa.
Due linee di flusso non si possono mai intersecare (nel punto
d’incrocio il vettore velocità non sarebbe univocamente
determinato ed il flusso non sarebbe più stazionario).
Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso.
La superficie laterale di un tubo di flusso è costituita da linee di
flusso ⇒ nessuna linea di flusso può attraversare tale superficie
⇒ il tubo di flusso si comporta come una conduttura reale
La stessa quantità di fluido che entra da una estremità di un
tubo di flusso deve uscire dall’altra estremità.
L’EQUAZIONE DI CONTINUITA′
La massa di fluido che nel tempo dt attraversa la sezione A1
centrata intorno a P (v. figura precedente) è:
dm1 = ρ1 dV1 = ρ1 A1 v1 dt
Si definisce portata massica in P la grandezza:
dm1
= ρ1 A1 v1
dt
Analogamente in Q:
dm2
= ρ 2 A2 v2
dt
Per la caratteristica di “impermeabilità” del tubo di flusso si ha:
ρ1 A1 v1 = ρ 2 A2 v2
Essendo P e Q due punti qualsiasi si può scrivere, in generale:
ρ A v = c o s t a nt e
(Equazione di continuità: esprime la conservazione della
massa nella dinamica dei fluidi)
Se il fluido è incomprimibile (ρ1 = ρ2), la precedente diventa:
A v = c o s t a nt e
Per un fluido incomprimibile in regime stazionario la velocità
di scorrimento in un tubo è inversamente proporzionale
all’area della sezione trasversale del tubo stesso.
Ricordando che dV = A v dt è il volume di fluido che nel
tempo dt attraversa la sezione trasversale di area A, allora,
introducendo la cosiddetta portata volumica, si ha:
R=
dV
= A v = c o s t a nt e
dt
Nel SI l’unità di misura della portata volumica è il m3/s.
Esempio di portata volumica costante del flusso d’acqua che
esce da un rubinetto: allontanandosi da quest’ultimo, il getto
diventa sempre più sottile.
L’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Si consideri un fluido ideale che scorre in un tubo.
Il lavoro esterno totale eseguito sul sistema è:
dLext = dL1 + dL2 + dL3 = F1 dx1 − F2 dx2 − dm g ( y2 − y1 )
dLext = p1 A1 dx1 − p2 A2 dx2 − dm g ( y2 − y1 )
(1)
Per la incomprimibilità del fluido, risulta:
A1 dx1 = dV1 = dV2 = A2 dx2
A1 dx1 = A2 dx2 = dV =
dm
ρ
Sostituendo in (1) si ha pertanto:
dLext = ( p1 − p2 )
dm
ρ
− dm g ( y2 − y1 )
La variazione di energia cinetica nel tempo dt è:
dEk =
1
1
dm v22 − dm v12
2
2
Per il teorema dell’energia cinetica:
dEk = dLext
Quindi:
dm
1
1
dm v22 − dm v12 = ( p1 − p2 )
− dm g ( y2 − y1 )
ρ
2
2
p1 +
1 2
1
ρ v1 + ρ g y1 = p2 + ρ v22 + ρ g y2
2
2
(2)
Poiché gli indici 1 e 2 rappresentano posizioni scelte
arbitrariamente, si può scrivere più in generale:
p+
1 2
ρ v + ρ g y = costante
2
(Equazione di Bernoulli per fluidi ideali: esprime il principio di
conservazione dell’energia).
Casi particolari della (2)
a) Il fluido non scorre (v1 = v2 = 0)
p1 + ρ g y1 = p2 + ρ g y2
ossia:
p1 = p2 + ρ g ( y2 − y1 )
Legge di Stevino (pressione idrostatica)
b) Il fluido scorre orizzontalmente (y1 = y2)
p1 +
1 2
1
ρ v1 = p2 + ρ v22
2
2
Nei punti in cui la pressione è più bassa la velocità del fluido è
più elevata, e viceversa.
La grandezza ½ ρ v2 è detta pressione dinamica.
APPLICAZIONI DELL’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Il tubo di Venturi
Apparecchio per determinare la velocità di un fluido in un
condotto, tramite la misura della pressione nel condotto ed in
una strozzatura in esso inserita (effettuata con i due manometri
G1 e G2).
Per l’equazione di continuità:
A1 v1 = A2 v2
⇔
v2 =
A1
v1
A2
Essendo il condotto orizzontale per l’equazione di Bernoulli si
ha:
p1 +
1 2
1
ρ v1 = p2 + ρ v22
2
2
che diventa:
p1 +
1 2
1 A
ρ v1 = p2 + ρ 1 v1
2
2 A2
2
2
1 2 1 A1
ρ v1 − ρ v1 = p2 − p1
2
2 A2
In definitiva:
v1 =
2 ( p2 − p1 )
=K
A 2
ρ 1− 1
A2
p2 − p1
dove K è una costante che dipende dalla geometria del tubo e
dalla densità del fluido.
La portanza
La portanza, o forza di sollevamento dinamico, è la forza
diretta verso l’alto che agisce su un corpo per effetto del suo
spostamento in un fluido.
Esempio di portanza sull’ala di un aeroplano.
L’ala è sagomata in modo tale che v1 > v2, il che implica per
l’equazione di Bernoulli che p1 < p2. Ne scaturisce una
portanza:
F = A ( p2 − p1 ) =
1
A ρ (v12 − v22 )
2
dove A è l’area dell’ala.
A questa forza si aggiunge quella dovuta al fatto che l’ala
deflette l’aria verso il basso e quindi subisce una forza di
reazione diretta verso l’alto.
