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Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni 2 e 4 Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi Lezione 7 Viscosità, pressione, vasi comunicanti Barometro di Torricelli Legge di Stevino Principio di Archimede Portata, Flusso, Corrente Equazione di Continuità Fisica Medica [email protected] Lezione 7 1 2 FLUIDI Comprendono i liquidi e i gas I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo di taglio I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare (approssimativamente) costante La meccanica dei fluidi si divide in Statica Dinamica Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi immersi in essi o le pareti che li contengono Fisica Medica [email protected] 3 Fluidi Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati da densità r e composti di elementi di massa dm e volume dV: In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura discreta, cioè è costituita di atomi e molecole Considerarli sistemi continui è un’utile approssimazione I fluidi possono trasmettere sforzi: Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio d’azione Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono Fisica Medica [email protected] 4 VISCOSITÀ In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata la sollecitazione Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria dei fluidi detta viscosità (e indicata con ) Quando c’è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, compaiono sull’area di contatto forze tangenziali d’attrito interno I due elementi esercitano l’uno sull’altro due forze uguali e contarie (3° principio) Fisica Medica [email protected] 5 Viscosità In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le stesse per fluidi viscosi e non viscosi Non esiste il corrispondente dell’attrito statico: in assenza di moto (v=0) non c’è attrito viscoso Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido ideale) Fisica Medica [email protected] 6 PRESSIONE In un intorno di un punto P qualunque di una superficie a contatto con un fluido, consideriamo una superficie infinitesima di area dA Su di essa il fluido agisce con una forza dF Definiamo (in termini differenziali) la pressione come forza per unità di superficie: La forza dF, e quindi la pressione, possono variare da punto a punto della superficie, perciò abbiamo usato la definizione differenziale Fisica Medica [email protected] 7 Pressione TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio statico su una superficie è perpendicolare alla stessa, punto per punto DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche Fisica Medica [email protected] 8 PRESSIONE In un fluido in equilibrio statico la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma, le cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo rettangolo z y x z y x Fisica Medica [email protected] 9 Pressione Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma (per simmetria è quella mediana) • Le risultanti delle forze di pressione sulle facce, F1, F2, F3, siano applicate ai punti P1, P2 , P3 F1 • Il fluido è in equilibrio, usiamo la 1a eq. cardinale F1 F3 sin F2 F3 cos W Fisica Medica [email protected] F3 P3 z P1 CM W x P2 F2 10 Pressione In termini di pressione: p1 A1 p3 A3 sin p2 A2 p3 A3 cos rVg l P1 Esprimendo le aree in funzione dei lati p1zy p3 ly sin 1 p2 xy p3 ly cos rxyzg 2 • E semplificando p1 P1 p3 P3 1 p2 P2 p3 P3 zrg 2 Fisica Medica [email protected] P3 z F1 F3 CM W x P2 F2 11 Pressione • Se facciamo tendere le dimensioni del prisma a zero, mantenendo fisso il CM: p1 rCM p3 rCM p2 rCM p3 rCM • E quindi la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce p1 p2 p3 Fisica Medica [email protected] 12 Legge di Stevino TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di gravità la pressione aumenta linearmente con la profondità • DIM: sia dato un elemento cilindrico di fluido di volume V, base A e altezza z2-z1 • L’equilibrio statico impone che la forza risultante sia nulla • Nel piano xy questo è dovuto alla simmetria p1, z1 W p2, z2 z Fisica Medica [email protected] 13 Legge di Stevino Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono bilanciarsi p1 A W p2 A Detta r la densità del fluido W V p2 p1 p1 r g p1 r z 2 z1 g A A Se le quote differiscono per un infinitesimo p2 p1 p rgz Abbiamo cioè la versione differenziale della legge p rg z Fisica Medica [email protected] 14 Legge di Pascal Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine (z=0) la superficie limite del liquido, sia p0 la pressione esterna agente su tale superficie, abbiamo pz p0 rgz Ogni variazione della pressione esterna comporta un uguale cambiamento della pressione in ciascun punto delfluido Fisica Medica [email protected] 15 PRESSA IDRAULICA E` un’applicazione della legge di Pascal E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C1 e C2 , collegati da un condotto e dotati di due pistoni scorrevoli di area A1 e A2 Applicando una forza F1 sul pistone 1, la pressione in ogni punto del fluido aumenta di p F1 A1 Sul pistone 2 questo aumento di pressione si traduce in una forza F2 pA2 F1 A2 A1 F2 A2 Fisica Medica [email protected] C2 F1 C1 16 Vasi comunicanti L’altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti e` uguale in tutti i vasi: h1=h2 Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la pressione sulla superficie libera è uguale per i diversi vasi, così come quella alla base Ne segue che la differenza di pressione è uguale per i diversi vasi, il che si traduce in un’uguale altezza delle colonne di fluido p1 rgh1 p2 rgh2 h1 Fisica Medica h2 [email protected] 17 PARADOSSO IDROSTATICO • • • La pressione dipende solo dall’altezza del fluido sovrastante e non dalla sua massa Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia diversa nei tre casi Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono con una forza che si compone col peso del fluido Pressione all’interno del contenitore Fisica Medica [email protected] 18 BAROMETRO DI TORRICELLI E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un’estremita` e riempito di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio in cui capovolgere il tubo Esso servì a dimostrare per la prima volta che l’atmosfera ha un peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione atmosferica (barometro di Fortin) • La pressione esercitata dalla colonna di mercurio di altezza h e` bilanciata dalla pressione atmosferica agente sulla h p superficie libera del mercurio nella vaschetta rgh p Fisica Medica [email protected] 19 MANOMETRO A LIQUIDO E` costituito da un tubo a ”U” riempito da un liquido di densita` nota r Serve per misurare una differenza di pressione (o pressione differenziale) p p0 rgh Fisica Medica [email protected] 20 SUPERFICI ISOBARICHE Dalla legge di Stevino Vediamo che per z=costante la pressione è costante Ma z=costante rappresenta un piano orizzontale Superfici di questo tipo per cui la pressione è costante si dicono isobare Fisica Medica [email protected] 21 FORZA DI ARCHIMEDE Sia dato un corpo di peso M e densità r immerso in un fluido di densità rf Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo, uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e diretta in direzione opposta al suo peso • Il corpo sia delimitato da una superficie S • Immaginiamo un secondo corpo, fluido, delimitato dalla stessa superficie S e costituito dello stesso fluido in cui è immerso Fisica Medica [email protected] S 22 FORZA DI ARCHIMEDE Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in equilibrio, questo significa che la sua forza peso Wf è bilanciata dalla forza risultante A dovuta all’azione della pressione del fluido esterno sulla superficie S, quindi A W f M f g Vr f g • Ove V è il volume comune dei due corpi e Mf è la massa del corpo fluido • Ma la forza A dipende solo dalla superficie S e non da quello che essa contiene • Ne segue che A agisce anche sul primo corpo Fisica Medica [email protected] A W2 A W1 23 Forza di Archimede • La forza risultante è infine W A Mg M f g V r r f g • E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a scendere nel fluido) o opposto (tenderà a salire) a seconda del segno della differenza delle densità Fisica Medica [email protected] 24 Forza di Archimede Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di Archimede è relativa a questa parte soltanto Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una barca), avremo in generale anche un momento risultante A A W W Fisica Medica [email protected] Situazione di non equilibrio 25 GALLEGGIAMENTO DI UNA BARCA G: centro di gravita` della barca B: centro di spinta di Archimede M: metacentro : rappresenta il punto per il quale ruota la retta d'azione della spinta idrostatica per tutte le piccole inclinazioni. f f: angolo di inclinazione Fisica Medica [email protected] 26 GALLEGGIAMENTO Iceberg in equilibrio statico A G B W WA • Ovvero r iVi g r aVa g • Da cui troviamo il volume immerso Va r i Vi r a Fisica Medica [email protected] 27 MISURA DI DENSITA` DI UN LIQUIDO: DENSIMETRO Sia m la massa del densimetro, A sia la sezione dello stelo su cui e` incisa una scala che permette di leggere la lunghezza immersa h dello stelo • Sia V0 il volume del bulbo • All’equilibrio W A mg rVim g r V0 Ah g m • Da cui la densita` del liquido r V0 Ah Fisica Medica [email protected] 28 MISURA DI DENSITA` DI UN CORPO SOMMERSO Mediante un dinamometro (misurazione forza a molla) si eseguono due misure, la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo immerso in un liquido di densita` nota rL T W rVg ' T W A T r LVg T T T V rL g T T r rL ' Vg T T T’ ' A W Fisica Medica [email protected] W 29 TUBO DI FLUSSO • • • Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di flusso Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è un esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è una generica sezione del condotto Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e due superfici di base • In situazione stazionaria le linee di flusso non possono intersecare la superficie laterale Fisica Medica [email protected] 30 PORTATA Consideriamo un tubo di flusso di sezione dS (e area dA) perpendicolare alle linee di corrente Il volume di fluido che attraversa dS nel tempo dt è pari al volume del solido di base dS e altezza vdt dV dAvdt vdt Fisica Medica dA [email protected] v 31 PORTATA • Il volume di fluido passato nell’unità di tempo prende il nome di portata dV dq La portata ha dimensioni q L3T 1 E l’unità di misura è il m3/s Fisica Medica [email protected] dt vdA Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione 32 PORTATA, FLUSSO, CORRENTE Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al concetto di flusso e di corrente in altri ambiti dV Supposta la velocita` Portata volumica q vA uniforme sulla superficie dt Flusso di massa dm dV rm r m vA J m A dt dt Corrente elettrica dQ d r eV dV i re r e vA J e A dt dt dt Ove J rv e` la densita` di corrente Fisica Medica [email protected] 33 EQUAZIONE DI CONTINUITA` Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione Siano dS1 e dS2 le sezioni diverse del tubo e consideriamo il volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da dS1 e uscire da dS2 ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso La massa entrante da dS1 e quella uscente da dS2 sono dS1 v1dt dA1 Fisica Medica v1 dS2 dA2 [email protected] v2dt v2 dm1 r1dV1 r1v1dA1dt dm2 r 2 dV2 r 2 v2 dA2 dt 34 EQUAZIONE DI CONTINUITA` Poiche’ la massa si conserva, esse devono essere uguali dm1 dm2 r1v1dA1 r 2 v2 dA2 dV dm const. rvdA r dt dt dS Fisica Medica [email protected] 35 CONSERVAZIONE DELLA PORTATA • Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle eqq., ottenendo q q 1 • • 2 Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato intervallo di tempo, tanto volume entra da S1 quanto ne esce da S2, in quanto non è possibile che il volume tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è uguale Fisica Medica [email protected] 36 LEGGE DI LEONARDO Usando il valore medio della velocità sulla sezione, la portata può scriversi q v A E su sezioni di area diversa, il teorema precedente diviene v1 A1 v2 A2 Ovvero area e velocità sono inversamente proporzionali Fisica Medica [email protected] 37 DENSITA` DELLE LINEE DI FLUSSO • Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e` n1 N A1 • n2 N A2 Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali all’area della sezione attraversata e, per la legge di Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita` del fluido nelle sezioni v1 n1 A2 n2 A1 v2 Fisica Medica [email protected] 38 • • Consideriamo un tubo di flusso e due sezioni perpendicolari S1, S2 Supponiamo che la velocità del fluido su ciascuna sezione abbia un valore uniforme v1, v2 S1 S’1 ds1=v1dt • Nell’intervallo dt la sezione S1 si trasformerà nella sezione S’1 e la sezione S2 nella sezione S’2 e la massa di fluido che al tempo t si trova tra S1 e S2, al tempo t+dt si troverà tra S’1 e S’2 ds2=v2dt z1 S2 S’2 z2 Fisica Medica [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 39 Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S1 e S’1 e quello contenuto tra S2 e S’2 è dV A1ds1 A1v1dt dV A2 ds2 A2v 2 dt S1 S’1 ds1=v1dt • Per la legge di Leonardo, i volumi sono uguali; le corrispondenti masse sono pure uguali dm1 dm rdV rA1v1dt ds2=v2dt z1 S2 S’2 z2 Fisica Medica dm2 dm rdV rA2v 2 dt [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 40 • Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica alla massa di fluido che al tempo t si trova tra S1 e S2 e al tempo t+dt si trova tra S’1 e S’2 S1 S’1 ds1=v1dt ds2=v2dt z1 S2 S’2 z2 Fisica Medica [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 41 Basterà quindi applicare la conservazione dell’energia alle due masse dm1, dm2 Il lavoro delle forze di pressione e di gravità dev’essere uguale alla variazione di energia cinetica • Lavoro della forze di gravità S1 dW g dmgz1 z2 S’1 • Le forze di pressione agiscono sulle sezioni S1, S2, e sulle pareti laterali del tubo ds1=v1dt ds2=v2dt z1 S2 S’2 z2 Fisica Medica [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 42 Queste ultime (le forze sulle pareti laterali sono perpendicolari al fluido) compiono lavoro nullo, in quanto in assenza di viscosità la forza è perpendicolare alla superficie laterale e quindi al moto del fluido Il lavoro delle forze di pressione agenti sulle sezioni è dW p p1dV1 p2 dV2 p1 p2 dV S1 S’1 ds1=v1dt • La variazione di energia cinetica è 1 1 1 2 2 dK dm2v 2 dm1v1 dmv 22 v12 2 2 2 ds2=v2dt z1 Fisica Medica S2 S’2 z2 [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 43 dW g dW p dK 1 dmgz1 z2 p1 p2 dV dmv 22 v12 2 E dividendo per il volume 1 2 2 r g z z p p r v v 2 1 S1 1 2 1 2 2 S’ Abbiamo dunque • Ovvero, vista l’arbitrarietà delle sezioni 1 1 2 1 2 rgz1 rv1 p1 rgz2 rv 2 p2 const. 2 2 ds1=v1dt ds2=v2dt z1 Fisica Medica S2 S’2 z2 [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 44 • • I risultati calcolati con questa legge sono casi limite, poiché in un fluido reale bisogna sempre spendere lavoro contro gli attriti Quindi c.p. la variazione di velocità del fluido sarà minore di quanto calcolato Fisica Medica [email protected] LEGGE DI BERNOULLI 45 2 Serve per misurare la velocità e la portata di un fluido in un condotto 1 M • E` dotato di un manometro differenziale M per la misura della pressione • Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni 1 e 2, entrambe alla stessa quota media z 1 2 1 2 rv1 p1 rv2 p2 2 2 Fisica Medica [email protected] v2 v1 2 2 2 r p 1 p2 TUBO DI VENTURI 46 2 1 M • Usando l’eq. di continuita`, possiamo esprimere la velocita` in 2 in termini della velocita` in 1 v2 A1v1 A2 v2 • Per la velocita` otteniamo A1 v1 A2 A22 p1 p2 2 2 v1 r A1 A2 2 Fisica Medica [email protected] TUBO DI VENTURI 47 p1 e` anche detta pressione totale e p2 pressione statica, mentre il termine 1/2rv2 e` detto pressione dinamica Un tubo di Pitot è infatti fornito di due prese di pressione, una all'estremità anteriore disposta tangenzialmente alla corrente (presa totale) e una sul corpo del tubo disposta perpendicolarmente al flusso (presa statica). Come da definizione, la differenza tra queste due pressioni (la pressione dinamica, ottenibile con l'utilizzo di un manometro differenziale opportunamente collegato alle due prese) risulta proporzionale al quadrato del modulo della velocità del fluido Ne segue 1 p1 rv22 p2 2 Fisica Medica [email protected] v2 2 r p 1 p2 TUBO DI PITOT Corsi di Laurea in 48 Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione Descrive la velocita` di efflusso di un bacino Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei punti 1 e 2 e` uguale a quella atmosferica 1 2 1 2 rgz1 rv1 p1 rgz2 rv2 p2 2 2 Quindi 1 2 1 2 gz1 v1 gz 2 v2 2 2 1 2 Applichiamo la conservazione della portata alle sezioni 1e2 Av A v 1 1 Fisica Medica [email protected] 2 2 LEGGE DI TORRICELLI Corsi di Laurea in 49 Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione Se A1>> A2 , la velocità v1 è trascurabile e otteniamo: v2 v12 2 g z1 z 2 2 g z1 z 2 Che è uguale alla velocità di caduta libera dalla medesima altezza Fisica Medica [email protected] 1 2 LEGGE DI TORRICELLI Corsi di Laurea in Tecnici di Laboratorio Biomedico, Dietistica e Tecnici della Prevenzione RIFERIMENTI 1) http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/Slides/Forces2.pdf 2) http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/Slides/LavoroEnergia.pdf 3) http://www.youtube.com/watch?v=8VX0hnIIqK0 4) http://www.youtube.com/watch?v=YVmB81SAIDY 5) http://www.youtube.com/watch?v=hBVyJGO1RDA Fisica Medica [email protected] 50
