Presentazione standard di PowerPoint

Corsi di Laurea dei
Tronchi Comuni 2 e 4
Dr. Andrea Malizia
Prof. Maria Guerrisi
Lezione 7
Viscosità, pressione, vasi comunicanti
Barometro di Torricelli
Legge di Stevino
Principio di Archimede
Portata, Flusso, Corrente
Equazione di Continuità
Fisica Medica
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Lezione 7
1
2
FLUIDI
Comprendono i liquidi e i gas
I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei
solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo di
taglio
I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente
incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare
(approssimativamente) costante
La meccanica dei fluidi si divide in
Statica
Dinamica
Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi immersi
in essi o le pareti che li contengono
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3
Fluidi




Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati
da densità r e composti di elementi di massa dm e volume
dV:
In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura
discreta, cioè è costituita di atomi e molecole
Considerarli sistemi continui è un’utile approssimazione
I fluidi possono trasmettere sforzi:


Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio
d’azione
Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono
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4
VISCOSITÀ
In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche
perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata la
sollecitazione
Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria
dei fluidi detta viscosità (e indicata con )
Quando c’è scorrimento relativo tra due elementi di fluido,
compaiono sull’area di contatto forze tangenziali d’attrito
interno
I due elementi esercitano l’uno sull’altro due forze uguali e
contarie (3° principio)
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5
Viscosità



In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze
viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le stesse
per fluidi viscosi e non viscosi
Non esiste il corrispondente dell’attrito statico: in
assenza di moto (v=0) non c’è attrito viscoso
Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui
la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido
ideale)
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6
PRESSIONE
In un intorno di un punto P qualunque di una superficie a
contatto con un fluido, consideriamo una superficie
infinitesima di area dA
Su di essa il fluido agisce con una forza dF
Definiamo (in termini differenziali) la pressione come
forza per unità di superficie:
La forza dF, e quindi la pressione, possono variare da
punto a punto della superficie, perciò abbiamo usato la
definizione differenziale
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7
Pressione


TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio
statico su una superficie è perpendicolare alla stessa,
punto per punto
DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido
scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche
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8
PRESSIONE
In un fluido in equilibrio statico la pressione non dipende
dalla giacitura della superficie su cui agisce
Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma, le
cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo
rettangolo
z
y
x
z
y
x
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9
Pressione

Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma
(per simmetria è quella mediana)
• Le risultanti delle forze di
pressione sulle facce, F1, F2,
F3, siano applicate ai punti
P1, P2 , P3
F1
• Il fluido è in equilibrio,
usiamo la 1a eq. cardinale
F1  F3 sin 
F2  F3 cos  W
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F3
P3
z
P1
CM
W
x

P2
F2
10
Pressione


In termini di pressione:
p1 A1  p3 A3 sin 
p2 A2  p3 A3 cos  rVg
l
P1
Esprimendo le aree in funzione dei lati
p1zy  p3 ly sin 
1
p2 xy  p3 ly cos   rxyzg
2
• E semplificando
p1 P1   p3 P3 
1
p2 P2   p3 P3   zrg
2
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P3
z
F1
F3
CM
W
x

P2
F2
11
Pressione
• Se facciamo tendere le dimensioni del prisma a
zero, mantenendo fisso il CM:
p1 rCM   p3 rCM 
p2 rCM   p3 rCM 
• E quindi la pressione non dipende dalla giacitura
della superficie su cui agisce

p1  p2  p3
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
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12
Legge di Stevino

TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di
gravità la pressione aumenta linearmente con la
profondità
• DIM: sia dato un elemento cilindrico di
fluido di volume V, base A e altezza z2-z1
• L’equilibrio statico impone che la forza
risultante sia nulla
• Nel piano xy questo è dovuto alla
simmetria
p1, z1
W
p2, z2
z
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13
Legge di Stevino


Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono
bilanciarsi
p1 A  W  p2 A
Detta r la densità del fluido
W
V
p2  p1 
 p1  r g  p1  r  z 2  z1 g
A


A
Se le quote differiscono per un infinitesimo
p2  p1  p  rgz
Abbiamo cioè la versione differenziale della legge
p
 rg
z
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14
Legge di Pascal


Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine
(z=0) la superficie limite del liquido, sia p0 la
pressione esterna agente su tale superficie,
abbiamo
pz  p0  rgz
Ogni variazione della pressione esterna comporta
un uguale cambiamento della pressione in ciascun
punto delfluido
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15
PRESSA IDRAULICA
E` un’applicazione della legge di Pascal
E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C1 e C2 ,
collegati da un condotto e dotati di due pistoni
scorrevoli di area A1 e A2
Applicando una forza F1 sul pistone 1, la pressione in
ogni punto del fluido aumenta di p  F1 A1
Sul pistone 2 questo aumento di pressione si traduce in
una forza F2  pA2  F1 A2 A1
F2
A2
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C2
F1
C1
16
Vasi comunicanti



L’altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti
e` uguale in tutti i vasi: h1=h2
Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la
pressione sulla superficie libera è uguale per i
diversi vasi, così come quella alla base
Ne segue che la differenza di pressione è uguale
per i diversi vasi, il che si traduce in un’uguale
altezza delle colonne di fluido
p1  rgh1  p2  rgh2
h1
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h2
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
17
PARADOSSO IDROSTATICO
•
•
•
La pressione dipende solo dall’altezza del fluido
sovrastante e non dalla sua massa
Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul
fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia
diversa nei tre casi
Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono
con una forza che si compone col peso del fluido
Pressione all’interno
del contenitore
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18
BAROMETRO DI TORRICELLI
E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un’estremita` e riempito
di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio in cui
capovolgere il tubo
Esso servì a dimostrare per la prima volta che l’atmosfera ha un
peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione atmosferica
(barometro di Fortin)
• La pressione esercitata dalla colonna di
mercurio di altezza h e` bilanciata dalla
pressione atmosferica agente sulla
h
p
superficie libera del mercurio nella
vaschetta
rgh  p
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19
MANOMETRO A LIQUIDO
E` costituito da un tubo a ”U” riempito
da un liquido di densita` nota r
Serve per misurare una differenza di
pressione (o pressione differenziale)
p  p0  rgh
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20
SUPERFICI ISOBARICHE
Dalla legge di Stevino
Vediamo che per z=costante la pressione è
costante
Ma z=costante rappresenta un piano orizzontale
Superfici di questo tipo per cui la pressione è
costante si dicono isobare
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21
FORZA DI ARCHIMEDE
Sia dato un corpo di peso M e densità r immerso in un fluido di
densità rf
Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo,
uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e diretta
in direzione opposta al suo peso
• Il corpo sia delimitato da una
superficie S
• Immaginiamo un secondo corpo, fluido,
delimitato dalla stessa superficie S e
costituito dello stesso fluido in cui è
immerso
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S
22
FORZA DI ARCHIMEDE
Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in
equilibrio, questo significa che la sua forza peso Wf è
bilanciata dalla forza risultante A dovuta all’azione della
pressione del fluido esterno sulla superficie S, quindi
A  W f  M f g  Vr f g
• Ove V è il volume comune dei due
corpi e Mf è la massa del corpo fluido
• Ma 
la forza A dipende solo dalla
superficie S e non da quello che essa
contiene
• Ne segue che A agisce anche sul
primo corpo
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A
W2
A
W1
23
Forza di Archimede
• La forza risultante è infine
W  A  Mg  M f g  V r  r f g
• E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a scendere
nel fluido) o opposto (tenderà a salire) a seconda del
segno
 della differenza delle densità
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24
Forza di Archimede



Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il
peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM
Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di
Archimede è relativa a questa parte soltanto
Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso
dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una
barca), avremo in generale anche un momento risultante
A
A
W
W
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Situazione di
non equilibrio
25
GALLEGGIAMENTO DI UNA BARCA
G: centro di gravita` della barca
B: centro di spinta di Archimede
M: metacentro : rappresenta il punto per il quale ruota
la retta d'azione della spinta idrostatica per tutte le
piccole inclinazioni.
f
f: angolo di inclinazione
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26
GALLEGGIAMENTO
Iceberg in equilibrio statico
A
G
B
W
WA
• Ovvero
r iVi g  r aVa g
• Da cui troviamo il
volume immerso
Va r i

Vi r a
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27
MISURA DI DENSITA` DI UN LIQUIDO:
DENSIMETRO
Sia m la massa del densimetro, A sia la
sezione dello stelo su cui e` incisa una scala
che permette di leggere la lunghezza
immersa h dello stelo
•
Sia V0 il volume del bulbo
•
All’equilibrio W  A
mg  rVim g  r V0  Ah g
m
•
Da cui la densita` del liquido r 
V0  Ah
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28
MISURA DI DENSITA` DI UN CORPO
SOMMERSO
Mediante un dinamometro (misurazione forza a molla) si eseguono due misure,
la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo immerso in un liquido di
densita` nota rL
T  W  rVg
'
T  W  A  T  r LVg
T
T T
V
rL g
T
T
r

rL
'
Vg T  T
T’
'
A
W
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W
29
TUBO DI FLUSSO
•
•
•
Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica
superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di flusso
Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è un
esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è una
generica sezione del condotto
Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e
due superfici di base
• In situazione stazionaria le
linee di flusso non possono
intersecare la superficie
laterale
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30
PORTATA
Consideriamo un tubo di flusso di sezione dS (e area dA)
perpendicolare alle linee di corrente
Il volume di fluido che attraversa dS nel tempo dt è pari al
volume del solido di base dS e altezza vdt
dV  dAvdt
vdt

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dA
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v
31
PORTATA
• Il volume di fluido passato nell’unità di tempo prende
il nome di portata
dV
dq 
La portata ha dimensioni
q  L3T 1
E l’unità di misura è il m3/s

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dt
 vdA
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32
PORTATA, FLUSSO, CORRENTE
Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al concetto
di flusso e di corrente in altri ambiti
dV
Supposta la velocita`
Portata volumica
q
 vA
uniforme sulla superficie
dt
Flusso di massa
dm
dV

 rm
 r m vA  J m A
dt
dt
Corrente elettrica
dQ d r eV 
dV
i

 re
 r e vA  J e A
dt
dt
dt
Ove J  rv e` la densita` di corrente
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33
EQUAZIONE DI CONTINUITA`
Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione
Siano dS1 e dS2 le sezioni diverse del tubo e consideriamo il
volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni
In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da dS1 e
uscire da dS2 ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso
La massa
entrante da dS1 e quella uscente da dS2 sono
dS1
v1dt
dA1
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v1
dS2
dA2
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v2dt
v2
dm1  r1dV1  r1v1dA1dt
dm2  r 2 dV2  r 2 v2 dA2 dt
34
EQUAZIONE DI CONTINUITA`
Poiche’ la massa si conserva, esse devono essere uguali
dm1  dm2
r1v1dA1  r 2 v2 dA2
dV
 dm 
 const.

  rvdA  r
dt
 dt  dS
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35
CONSERVAZIONE DELLA PORTATA
•
Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle
eqq., ottenendo
q q
1
•
•
2
Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato
intervallo di tempo, tanto volume entra da S1 quanto
ne esce da S2, in quanto non è possibile che il volume
tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi
Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è
uguale
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36
LEGGE DI LEONARDO
Usando il valore medio della velocità sulla sezione, la
portata può scriversi
q v A
E su sezioni di area diversa, il teorema precedente diviene
v1 A1  v2 A2
Ovvero area e velocità sono inversamente proporzionali
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37
DENSITA` DELLE LINEE DI FLUSSO
•
Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di
flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e`
n1  N A1
•
n2  N A2
Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali
all’area della sezione attraversata e, per la legge di
Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita`
del fluido nelle sezioni
v1
n1 A2


n2 A1
v2
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38
•
•
Consideriamo un tubo di flusso e due sezioni perpendicolari S1, S2
Supponiamo che la velocità del fluido su ciascuna sezione abbia un
valore uniforme v1, v2
S1
S’1
ds1=v1dt
• Nell’intervallo dt la sezione S1 si trasformerà
nella sezione S’1 e la sezione S2 nella sezione
S’2 e la massa di fluido che al tempo t si trova
tra S1 e S2, al tempo t+dt si troverà tra S’1 e
S’2
ds2=v2dt
z1
S2
S’2
z2
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LEGGE DI BERNOULLI
39
Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S1 e S’1 e quello contenuto
tra S2 e S’2 è
dV  A1ds1  A1v1dt
dV  A2 ds2  A2v 2 dt
S1
S’1
ds1=v1dt
• Per la legge di Leonardo, i volumi sono
uguali; le corrispondenti masse sono pure
 uguali
dm1  dm  rdV  rA1v1dt
ds2=v2dt
z1
S2
S’2
z2
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dm2  dm  rdV  rA2v 2 dt

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LEGGE DI BERNOULLI
40
• Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica alla massa
di fluido che al tempo t si trova tra S1 e S2 e al tempo t+dt si
trova tra S’1 e S’2
S1
S’1
ds1=v1dt
ds2=v2dt
z1
S2
S’2
z2
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LEGGE DI BERNOULLI
41
Basterà quindi applicare la conservazione dell’energia alle due
masse dm1, dm2
Il lavoro delle forze di pressione e di gravità dev’essere uguale alla
variazione di energia cinetica
• Lavoro della forze di gravità
S1
dW g  dmgz1  z2 
S’1
• Le forze di pressione agiscono sulle
sezioni S1, S2, e sulle pareti laterali
del tubo

ds1=v1dt
ds2=v2dt
z1
S2
S’2
z2
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LEGGE DI BERNOULLI
42
Queste ultime (le forze sulle pareti laterali sono perpendicolari al fluido)
compiono lavoro nullo, in quanto in assenza di viscosità la forza è
perpendicolare alla superficie laterale e quindi al moto del fluido
Il lavoro delle forze di pressione agenti sulle sezioni è
dW p  p1dV1  p2 dV2  p1  p2 dV
S1
S’1
ds1=v1dt
• La variazione di energia cinetica è
1
1
1
2
2
dK  dm2v 2  dm1v1  dmv 22  v12 
2
2
2

ds2=v2dt
z1

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S2
S’2
z2
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LEGGE DI BERNOULLI
43
dW g  dW p  dK
1
dmgz1  z2    p1  p2 dV  dmv 22  v12 
2

E dividendo per il volume
1
2
2
r
g
z

z

p

p

r
v

v




 2 1
S1
1
2
1
2
2
S’

Abbiamo dunque
• Ovvero, vista l’arbitrarietà delle sezioni
1
1 2
1 2
rgz1  rv1  p1  rgz2  rv 2  p2  const.
2
2
ds1=v1dt

ds2=v2dt
z1

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S2
S’2
z2
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LEGGE DI BERNOULLI
44
•
•
I risultati calcolati con questa legge sono casi limite,
poiché in un fluido reale bisogna sempre spendere lavoro
contro gli attriti
Quindi c.p. la variazione di velocità del fluido sarà
minore di quanto calcolato
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LEGGE DI BERNOULLI
45
2
Serve per misurare la
velocità e la portata di
un fluido in un condotto
1
M
• E` dotato di un manometro differenziale M per la
misura della pressione
• Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni 1 e 2,
entrambe alla stessa quota media z
1 2
1 2
rv1  p1  rv2  p2
2
2
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v2  v1 
2
2
2
r
p
1
 p2 
TUBO DI VENTURI
46
2
1
M
• Usando l’eq. di continuita`, possiamo esprimere la
velocita` in 2 in termini della velocita` in 1
v2 
A1v1  A2 v2
• Per la velocita` otteniamo
A1
v1
A2
A22
 p1  p2  2 2
v1 
r
A1  A2
2
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TUBO DI VENTURI
47
p1 e` anche detta pressione
totale e p2 pressione statica,
mentre il termine 1/2rv2 e`
detto pressione dinamica
Un tubo di Pitot è infatti fornito di due prese di pressione, una
all'estremità anteriore disposta tangenzialmente alla corrente (presa
totale) e una sul corpo del tubo disposta perpendicolarmente al flusso
(presa statica). Come da definizione, la differenza tra queste due
pressioni (la pressione dinamica, ottenibile con l'utilizzo di
un manometro differenziale opportunamente collegato alle due prese)
risulta proporzionale al quadrato del modulo della velocità del fluido
Ne segue
1
p1  rv22  p2
2
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v2 
2
r
p
1
 p2 
TUBO DI PITOT
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Descrive la velocita` di efflusso di un bacino
Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei
punti 1 e 2 e` uguale a quella atmosferica
1 2
1 2
rgz1  rv1  p1  rgz2  rv2  p2
2
2
Quindi
1 2
1 2
gz1  v1  gz 2  v2
2
2
1
2
Applichiamo la conservazione della portata alle sezioni
1e2
Av  A v
1 1
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2
2
LEGGE DI TORRICELLI
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Se A1>> A2 , la velocità v1 è trascurabile e
otteniamo:
v2  v12  2 g  z1  z 2   2 g  z1  z 2 
Che è uguale alla velocità di caduta libera
dalla medesima altezza
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1
2
LEGGE DI TORRICELLI
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RIFERIMENTI
1) http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/Slides/Forces2.pdf
2) http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/Slides/LavoroEnergia.pdf
3) http://www.youtube.com/watch?v=8VX0hnIIqK0
4) http://www.youtube.com/watch?v=YVmB81SAIDY
5) http://www.youtube.com/watch?v=hBVyJGO1RDA
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