Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico

Applicazioni delle leggi della meccanica:
moto armnico
Discutiamo le caratteristiche del moto armonico utilizzando
l’esempio di una molla di costante k e massa trascurabile a
cui è fissato un oggetto di massa m libero di muoversi su
un piano orizzontale privo di attrito. Sia x = 0 la posizione
della massa quando la molla è a riposo.
All’istante t = 0 la molla viene allungata di un tratto x0 e
poi viene rilasciata con velocità iniziale nulla v0(0) = 0.
Sulla molla agisce una forza F = −kx diretta in verso opposto a quello del vettore ~
x che rappresenta l’allungamento
(o l’accorciamento) rispetto alla lunghezza a riposo (la forza
peso e la forza normale sono uguali ed opposte e non c’è
moto nella direzione y).
F~
O
O
x
x
x
~ = m~a, il moto è rePer la seconda legge della dinamica F
golato dall’equazione
d2x
−kx = m 2
dt
con la condizione iniziale x(0) = x0 e v(0) = 0.
Ogni volta che in un’equazione si ha che la derivata seconda
di una funzione è uguale a meno la funzione stessa, moltiplicata per una costante positiva (nel nostro caso la funzione
è x(t) e la costante vale ω 2 ≡ k/m), la soluzione è un moto
armonico
x(t) = A cos(ωt + ϕ)
con A e ϕ costanti
che dipendono dalle condizioni iniziali.
La verifica è immediata: si calcola la derivata seconda della
soluzione e si inserisce nell’equazione, che risulta essere sod√
disfatta se ω = k/m (ω prende il nome di pulsazione).
Si noti che [ω] = [T −1].
La presenza delle due costanti A e ϕ nella soluzione è dovuta
al fatto che l’equazione è un’equazione differenziale di secondo grado. Queste costanti si determinano imponendo le
condizioni iniziali. Dalla derivata di x(t)
dx
= −ωA sin(ωt + ϕ)
dt
Le condizioni iniziali sono:
{
x(0) = x0
→ x0 = A cos ϕ
v(0) = 0
→ 0 = −ωA sin ϕ
v(t) =
Dalla seconda si ricava ϕ = 0 e quindi A = x0 .
Sostituendo si trova
√
k
t)
x(t) = x0 cos(
m
Notiamo che x(t) è compreso nell’intervallo [−x0, x0]: quindi
x0 è detta ampiezza dell’elongazione della molla, mentre la
constante ϕ è detta costante di fase.
L’energia cinetica e l’energia potenziale del sistema sono:
{
U = 12 kx2 = 12 kx20 cos2(ωt)
2
1
kx
⇒
K
+
U
=
0
2
K = 12 mv 2 = 12 mx20ω 2 sin2(ωt)
l’energia meccanica del sistema è costante nel tempo ed
è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’elongazione.
Quando x = ±x0 (cioè ωt = ±π), K = 0 e U è massima;
quando x = 0 (cioè ωt = π/2), U = 0 e K è massima.
La soluzione è quindi data da una funzione periodica nel
tempo con periodo
√
2π
T =
con ω = k/m = 2πν
ω
Ogni moto che si ripete ad intervalli regolari di tempo si
chiama moto periodico.
Se un corpo si muove avanti e indietro sullo stesso percorso
il moto è detto oscillatorio.
Si chiama periodo T di un moto oscillatorio l’intervallo di
tempo necessario per avere un’oscillazione completa.
La frequenza è il numero di oscillazioni nell’unità di tempo
(nel sistema SI in un secondo):
ν=
1
T
unità (SI)= Hertz (Hz)
Esercizio: determinare la soluzione nel caso in cui all’istante
iniziale la massa m è nella posizione di equilibrio e le viene
impartita una velocità iniziale v0, cioè le condizioni iniziali
sono: x(0) = 0 e v(0) = v0.
Soluzione:
√
k
π
v0
v0
cos(ωt − ) =
sin(ωt) ,
ω=
x(t) =
ω
2
ω
m
Esempio: Pendolo semplice
Il pendolo semplice è un sistema ideale formato da una massa
puntiforme sospesa ad un filo inestensibile e privo di massa.
Quando il pendolo viene spostato
dalla sua posizione di equilibrio e
lasciato andare compie delle oscillazioni su un piano verticale sotto
l’azione della forza di gravità. Il
moto è oscillatorio e periodico. Sia
L la lunghezza del filo e m la massa
dell’oggetto. Ad un fissato istante
di tempo consideriamo il sistema di
riferimento che ha come origine il
punto occupato dall’oggetto in quell’istante, l’asse x diretto
come la tangente alla traiettoria, che è un arco della circonferenza di raggio L, e l’asse y diretto come il filo. Indichiamo
con θ l’angolo che l’asse y forma con la verticale.
Spostando il pendolo dalla posizione di equilibrio θ = 0 alla
posizione θ, il pendolo percorre un arco di traiettoria lungo
s = Lθ. La componente lungo l’asse x della seconda legge
della dinamica è
−mg sin θ = mat
dove at = Lα è l’accelerazione tangenziale e α = d2θ/dt2 è
l’accelerazione angolare.
Possiamo semplificare questa equazione supponendo che θ
sia molto piccolo cosı̀ che sia possibile approssimare sin θ ∼ θ,
dove θ è espresso in radianti, ottenendo
d2θ
−mgθ = mL 2
dt
che è un’equazione analoga a quella della molla.
La legge oraria del moto è θ = θ0 sin(ωt + ϕ) dove l’ampiezza
θ0 e la fase ϕ sono costanti che dipendono dalle condizioni
iniziali del moto. Il periodo T del moto è dato da
√
L
2π
T =
periodo delle piccole oscillazioni
= 2π
ω
g
Lo spostamento lungo l’arco di circonferenza è
s(t) = Lθ(t) = Lθ0 sin(ωt + ϕ)
la velocità angolare
dθ
= ωθ0 cos(ωt + ϕ)
dt
e la velocità lineare
v(t) =
ds
dθ
=L
= Lωθ0 cos(ωt + ϕ)
dt
dt
La velocità è massima quando il punto passa per la verticale
ed è nulla agli estremi dell’oscillazione, quando il moto si
inverte.
Esempio: Moto armonico smorzato
Quando il moto di un oscillatore (pendolo semplice o molla)
viene rallentato da una forza impressa dall’esterno, si dice
che l’oscillatore e il suo moto sono smorzati.
Consideriamo ad esempio un blocco di massa m appeso alla
estremità libera di una molla di costante elastica k, sotto
il blocco vi è un’asta che termina con una pala (entrambe
prive di massa) immersa in un liquido.
Il
liquido
esercita
una
forza frenante; lentamente,
l’ampiezza delle oscillazioni
diminuisce e con essa l’energia
meccanica del sistema che si
trasforma in energia termica
del liquido.
Supponiamo che la forza
di smorzamento sia proporzionale alla velocità del
blocco
Fsm = −bv
b è detta costante di smorzamento e dipende dalle caratteristiche del sistema (liquido, paletta in questo caso).
Il segno − indica che questa forza di oppone al moto.
Trascurando per semplicità la forza di gravità l’equazione del
moto del blocco è
−bv − kx = ma
ponendo v = dx/dt e a = d2x/dt2 si ottiene
d2x
dx
+ kx = 0
m 2 +b
dt
dt
la cui soluzione è
x(t) = xme−bt/(2m) cos (ωsmt + ϕ)
dove xm è l’ampiezza dell’oscillazione e ωsm è la pulsazione
dell’oscillatore smorzato ed è data da
√
k
b2
ωsm =
−
m 4m2
Per b = 0 si ritrovano i risultati precedenti del moto non
smorzato.
√
Nel caso in cui ci sia smorzamento ma b << km si ha
ωsm ∼ ω, mentre l’ampiezza dell’oscillazione diminuisce nel
tempo in modo esponenziale:
A → xm e−bt/(2m)
Poichè l’energia meccanica di un oscillatore è proporzionale
all’ampiezza dell’oscillazione, se l’oscillatore è smorzato l’energia non è costante, ma diminuisce nel tempo.