Calcolo Combinatorio

Prof.ssa Garagnani Elisa – ISIS Archimede
Quanti sono ...?
Introduzione al Calcolo Combinatorio
Per cominciare... aiutati con un grafo ad albero
• Noti 3 vincitori, in quanti modi diversi possono salire sul podio?
• Quanti sono gli anagrammi della parola MATE (anche prinvi di significato)?
Nella maggior parte dei casi disegnare il grafo ad albero è noioso e può dare problemi di
spazio. Soprattutto, nella maggior parte dei casi, quello che interessa è contare il numero
delle possibilità e non elencarle tutte.
È, quindi, utile considerare il seguente risultato generale.
Primo risultato generale del C.C.
Teorema 1. Consideriamo r “caselle”. Se la prima ammette n1 valori possibili, e per ognuna
di esse la seconda ammette n2 valori possibili, e se per ogni risultato delle prime due caselle
ve ne sono n3 per la terza e così via, allora in totale ci saranno
n1 · n2 · n3 · · · nr
possibilità per le r “caselle” considerate assieme.
Dimostrazione. ...per il grafo ad albero che ti stai immaginando...
Questo risultato di rifermento permette già ora di rispondere a molti quesiti... vediamone
qualcuno.
• Quante password composte da 4 lettere e 2 cifre è possibile ottenere? (Supponi un
alfabeto di 26 lettere).
• Quante combinazioni sono possibili con un lucchetto con 3 cifre? E con un lucchetto
con n cifre?
• Il comitato studenti di una scuola è composto da 3 studenti di prima, 4 di seconda, 5
di terza e 2 di quarta. Un sottocomitato di 4 studenti in cui figura un rappresentante
per anno deve essere scelto. Quanti sottocomitati è possibile formare?
Secondo risultato generale del C.C.
• Quanti sono gli anagrammi della parola MUSICA?
• In quanti modi possibili si possono appendere consecutivamente 7 quadri?
Teorema 2. Dati n oggetti, essi si possono “mettere in fila” in n! (leggi: “n fattoriale”) modi
diversi, dove il simbolo n! indica il numero n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
Dimostrazione. È conseguenza diretta del teorema precedente. Infatti, per la scelta del primo
oggetto della fila abbiamo n possibilità; a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n−1)
possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila; ad ognuna delle possibilità per i primi
due oggetti corrispondono (n − 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila; e così
via... In totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati in n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
modi diversi.
Terzo principio generale del C.C.
E se l’ordine non ci interessa?
• In quanti modi diversi potevate eleggere i vostri rappresentanti di classe?
• In quanti modi possibili potete scegliere i gusti di un gelato se ne potete scegliere 3 in
una gamma di 10 gusti?
Teorema 3. Se in un certo problema noi abbiamo considerato inizialmente tutte le n-uple
ordinate, ma in realtà ci interessano le n-uple NON ordinate, dobbiamo pensare il nostro
elenco di n-uple ordinate ripartito in tanti gruppi, avendo noi posto in ciascun gruppo tutte
le n-uple “equivalenti” ad una n-upla data (cioè, contenenti gli stessi elementi, se pure in
ordine diverso). Abbiamo così tanti gruppi, ciascuno formato da n! n-uple, e ciascun gruppo
va contato “come se si trattasse di una sola n-upla”. È chiaro allora che il numero totale
delle n-uple ordinate andrà diviso per n!.
Ragionando analogamente possiamo anche rispondere alle seguenti domande, riguardanti i
casi in cui occorre diporre in ordine oggetti che possono anche ripetersi.
• I nomi SOFIA, MARTA e LUCIA hanno lo stesso numero di anagrammi? Quanti sono
i loro anagrammi?
• I nomi UGO e ADA hanno lo stesso numero di anagrammi?
anagrammi?
Quanti sono i loro
• I nomi DEBORA e SILVIA hanno lo stesso numero di anagrammi? Quanti sono i loro
anagrammi?
Ed ora diamo i nomi e i simboli ai concetti che abbiamo visto!
Innanzitutto la prima grande distinzione riguarda il fatto se ci interessano sequenze ordinate (come in una password) o solo la collezione di oggetti in cui l’ordine non è importante
(ad esempio nella scelta dei rappresentanti di classe). Nel primo caso si parla di DISPOSIZIONI, mentre nel secondo di COMBINAZIONI. Quando nel disporre di n oggetti, li utilizzo
tutti si parla di PERMUTAZIONI.
Una seconda classificazione avviene in base al fatto se gli elementi tra cui posso attingere
sono tutti distinti e li posso usare una sola volta o se si possono ripetere degli elementi uguali.
Nel primo caso si parla di Disposizioni SEMPLICI (ad esempio gli anagrammi della parola
UGO) o di Combinazioni SEMPLICI (quanti gelati con tre gusti posso comprare da una
scelta di 10 gusti); nel secondo caso si parla di Disposizioni CON RIPETIZIONE (ad es. gli
anagrammi di ADA) o di Combinazioni CON RIPETIZIONE (ad es. quanti possibili lanci
posso fare con tre dadi?). Vediamo in dettaglio.
Permutazioni semplici
• In un torneo sportivo si affrontano 3 squadre A, B, C. Terminata la gara, quante
classifiche sono possibili?
• Quattro persone arrivano contemporaneamente alla cassa del supermercato. In quanti
modi diversi possono mettersi in fila?
Cosa hanno in comune tutte le situazioni sopra descritte?
Definizione. Ogni sequenza ordinata di n oggetti distinti è chiamata permutazione. In
genere si indica col simbolo Pn .
Definizione. Sia n un numero naturale. L’espressione n!, che si legge n fattoriale, è definita
dall’espressione
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Per convenzione (... in realtà per diversi motivi...) si definisce
0! = 1
Siamo in grado di riformulare il secondo principio visto in questi termini:
Teorema 4. Il numero di permutazioni di n oggetti è
Pn = n!
In altre parole, n oggetti possono essere “messi in fila” in n! modi diversi.
• Quanti sono gli anagrammi della parola SCUOLA (anche prinvi di significato)?
• In quanti modi è possibile mescolare un mazzo di 40 carte?
• Le targhe automobilistiche sono costituite da 2 lettere, 3 cifre, 2 lettere. Sapendo che
le lettere possono venire scelte tra le 26 lettere dell’alfabeto anglosassone, determina
quante targhe differenti possono essere ottenute e quindi quante automobili possono
essere immatricolate.
• Ad una gara di sci partecipano 6 ragazzi e 4 ragazze. I partecipanti sono classificati in
base al loro tempo di discesa (si assume che non ‘e possibile ottenere due volte lo stesso
tempo). Quante classifiche sono possibili? Se i ragazzi sono classificati tra loro, come
pure le ragazze, quante classifiche globali possiamo avere?
Disposizioni semplici
• Quanti gruppi di 3 oggetti possiamo costruire scegliendoli tra i 5 oggetti distinti A, B,
C, D, E? (L’ordine all’interno del gruppo è da prendere in considerazione).
Definizione. Una disposizione di k oggetti scelti tra n oggetti distinti è un sottoinsieme di
k oggetti scelti senza ripetizione, considerando l’ordine, da un’insieme che ne contiene n.
Teorema 5. Il numero di disposizioni di k oggetti scelti tra n è
Dkn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Dimostrazione. È conseguenza diretta del primo teorema del calcolo combinatorio. Infatti
per la prima scelta abbiamo n possibilità e a scalare per le rimanneti, fino alla k_esima ed
ultima scelta per la quale rimangono (n − k − 1) possibilità.
Dkn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
Per esprimere questo risultato in maniera più corretta e precisa moltiplichiamo e dividiamo
per i fattori che mancano per comporre n!, cioè per (n − k)!,
Dkn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) ·
(n − k)!
n!
=
(n − k)!
(n − k)!
• In quanti modi posso sistemare cinque diverse automobili in tre garages?
• In quanti modi possibili posso scegliere di esporre tra 7 quadri in 5 postazioni?
• Nell’ippica è denominata corsa Tris una corsa in cui gli scommettitori devono indovinare i cavalli che arriveranno al 1◦ , 2◦ e 3◦ posto. Supponendo che partano 10 cavalli,
quanti sono i possibili ordini d’arrivo nelle prime tre posizioni?
• In quanti modi è possibile formare un comitato composto da un presidente, un vicepresidente ed un segretario da un insieme di 10 persone?
Disposizioni con ripetizione
• Quante combinazioni possibili ha un lucchetto con 4 caselle?
• Quante colonne occorre giocare, nel gioco del Totocalcio, per fare con certezza un
tredici? A partire dalla stagione 2003-2004 la formula del Totocalcio venne decisamente
ritoccata: le partite da pronosticare passarono da 13 a 14. Di quanto si è abbassata la
probabilità di vincere?
• In quanti modi posso colorare tre rettangoli avendo a disposizione cinque colori diversi
avendo la possibilità di usare lo stesso colore per più rettangoli?
Permutazioni con ripetizione
• Quanti sono gli anagrammi della parola FISICA?
• Quanti sono gli anagrammi della parola LIMITI?
• Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
• Una partita di calcio tra la squadra A e B è finita 4 a 3. In quanti modi diversi possono
essersi succedute le reti?
Permutazioni cicliche
• In quanti modi dieversi 7 cavalieri possono sedersi attorno ad una tavola rotonda?
Combinazioni semplici
• Quanti gruppi di 3 oggetti possiamo costruire scegliendoli tra i 5 oggetti distinti A, B,
C, D, E? (L’ordine all’interno del gruppo non importa).
• Di un comitato di 5 persone 2 fanno parte dell’ufficio presidenziale. Quante possibilità
vi sono per l’ufficio presidenziale?
• In quanti modi diversi posso scegliere due colori tra i 7 dell’arcobaleno?
Definizione. Una combinazione di k oggetti scelti tra n oggetti distinti è un sottoinsieme
di k oggetti scelti senza ripetizione, senza considerare l’ordine, da un’insieme che ne contiene
n.
Teorema 6. Il numero di combinazioni di k oggetti scelti tra n è
Ckn =
n!
(n − k)!k!
Definizione. Per comodità, per i numeri interi n e k tali che 0 ≤ k ≤ n, l’espressione nk è
definita dalla relazione:
n
n!
=
k
(n − k)!k!
Per il teorema
precedente, possiamo anche osservare che un modo equivalente di definire il
numero nk è
n
in quanti modi diversi, da un insieme che contiene n elementi,
=
k
è possibile scegliere un sottogruppo di k elementi
n
I numeri k sono chiamati coefficienti binomiali poiché intervengono nella formula che
esprime le potenze di un binomio.
Teorema 7. Sia n naturale e x, y reali, allora
n n n
n n−1
n n−2 2
n n X n k n−k
(x + y)n =
x +
x
y+
x
y + ··· +
y =
x y
0
1
2
n
k
k=0
n
Dimostrazione. (x+y) = (x+y)(x+y) · · · (x+y) dove a secondo membro abbiamo n fattori.
Bene! Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, si può pensare
di effettuare la moltiplicazione scegliendo, da ciascuno degli n fattori (x + y) il termine x, o il
termine y, in tutti i modi possibili, per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti.
Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore x e, di conseguenza, (n − k) volte il fattore
y, avrò il monomio xk y n−k .
Ma QUANTE VOLTE comparirà, questo monomio, nella somma finale? Tante volte
quanti sono i modi coi quali, fra gli n fattori, posso selezionare quei k dai quali scegliere x.
E tali modi sono nk . Di qui la formula...
È interessante come i coefficienti così ricavati per gli sviluppi delle potenze successive di un
binomio coincidano con quelli che si possono ottenere con il noto schema chiamato triangolo
di Tartaglia, schema derivante da un ragionamento completamente diverso!
• Espandi i binomi (x + y)3 , (x + y)4 e (x + y)5 con il teorema del binomio, confronta poi
il risultato con il calcolo diretto.
• Quanti possibili risultati vi sono ad una lotteria con 45 numeri in cui ne vengono estratti
6?
• Ho a disposizione 5 ingredienti per una torta, ma ne posso usare solo 3; quanti tipi di
torta posso ottenere?
• Nel gioco del lotto un terno si dice semplice se non conta l’ordine di uscita; troviamo
quanti sono i possibili terni semplici che possiamo ottenere estraendo 3 numeri (che nel
lotto possono variare da 1 a 90).
• In quanti modi diversi potevate eleggere i vostri rappresentanti di classe?
• Cinque premi devono essere attribuiti a degli studenti meritevoli in una classe di 25
persone. Quante possibilità vi sono? (Si suppone che il cumulo dei premi sia escluso).
Combinazioni con ripetizioni
• Quante sono le combinazioni con ripetizione di 3 elementi di A?
Teorema 8. Nelle combinazioni di n oggetti con ripetizione di lunghezza k, ogni elemento
può essere ripetuto fino a k volte. Il loro numero è uguale al numero di combinazioni semplici
di (n + k − 1) oggetti di lunghezza k:
R
Ckn = Ckn+k−1 =
(n + k − 1)!
(n − 1)!k!
Dimostrazione. ...
Proprietà dei coefficienti binomiali
I coefficienti binomiali godono di alcune ineteressanti proprietà. Vediamone alcune.
Per ognuna delle seguenti proprietà, determiniamo la dimostrazione algebrica, ma soprattutto vediamone il significato combinatorio!
Proprietà di simmetria.
n
n
=
k
n−k
Formula di Stifel. (Michael Stifel, 1487-1567, in Arithmetica Integra)
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
o, equivalentemente,
n+1
n
n
=
+
k+1
k
k+1
Questa proprietà è alla base della costruzione del triangolo di Tartaglia.
Proprietà di ricorrenza. Questa formula permette di ricavare un algoritmo per il calcolo
dei coefficienti binomiali facilmente traducibile in un’applicazione per PC.
n
n
n−k
=
·
k+1
k
k+1