ricerche
L’insegnamento della geometria nella scuola secondaria di I grado
Contributi di una ricerca
Geometry teaching in secondary school (first grade)
ANTONIO MARZANO • ARCISIO BRUNETTI
Ad Arcisio, la cui prematura scomparsa
ci priva della gioia di poter vivere insieme
questa pubblicazione
•
•
Dall’analisi dei risultati delle indagini
nazionali e internazionali (Invalsi,
Timms, Ocse-Pisa) sulle competenze
degli studenti italiani in matematica
emergono diverse criticità. In particolare è stato evidenziato come gli studenti non sono in grado di utilizzare le
abilità apprese in contesti meno strutturati.
Alla luce di queste risultanze da più
parti viene richiamata la necessità di rivedere le metodologie di insegnamento puntando su percorsi didattici
orientati alla costruzione di significati
degli oggetti geometrici attraverso attività laboratoriali basate sulla ricerca e
sull’apprendimento collaborativo.
Il contributo espone i risultati di una
sperimentazione condotta nella scuola
secondaria di I grado con lo scopo di
valutare l’efficacia di un percorso di didattica dei triangoli basato sulla teoria
di van Hiele e utilizzando un software
di geometria dinamica come strumento di insegnamento-apprendimento.
The results of national and international
researches (Invalsi, Timms, Ocse-Pisa)
about Italian students competences in
maths, show several problems. In particular
they found that students cant’t use their
abilities in less structured contests.
They think it is necessary to check teaching
methodologies and head for didactic course
based on the meaning construction of geometric objects through research and cooperative learning laboratories.
This work contains the results of a research
made in a scuola media. The goal of this
research is to evaluate the efficacy of a didactic course of triangles based on van Hiele
theory using a dynamic geometry software
as teaching-learning tool.
Parole chiave: triangoli, geometria
dinamica, teoria di van Hiele, pensiero
geometrico, risoluzione di problemi.
Key words: triangle, dynamic geometry, van Hiele theory, geometrical
thinking, problem solving.
Antonio Marzano, professore a contratto, Università degli Studi di Salerno.
Arcisio Brunetti, professore di matematica, scuola secondaria di I grado.
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Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
Presentazione, obiettivi e ipotesi
La problematicità legata alla didattica delle discipline è di natura duplice: va individuata, da
una parte, nella trasformazione dello statuto epistemologico di ogni singola materia di studio
(fenomeno che nella società complessa dell’innovazione scientifica e tecnologica è ancora
più rapido) e, dall’altra, nelle difficoltà che i docenti possono incontrare nel predisporre itinerari didattici validi ed efficaci per la co-costruzione dei saperi e lo sviluppo delle specifiche
competenze disciplinari. In tal senso anche l’insegnamento della geometria si trova a dover
fronteggiare questi nodi problematici e gli esiti non sono incoraggianti. Dall’analisi dei risultati delle indagini nazionali e internazionali (Invalsi,Timms, Ocse-Pisa), infatti, emergono
aspetti di forte criticità: nella sostanza e in sintesi, gli studenti non sono in grado di applicare
le abilità apprese a scuola in un contesto meno strutturato. La lacuna riguarda il modo di
pensare ed analizzare secondo, come aveva espresso Pascal, l’esprit de géométrie.
In Italia, d’altra parte, sono ben note le difficoltà che incontrano gli studenti delle scuole
secondarie di secondo grado nell’affrontare lo studio della geometria, ed in modo particolare
nella dimostrazione dei teoremi.Tali difficoltà sono spesso dovute alla mancanza di adeguate
esperienze nella manipolazione e nell’esplorazione di figure geometriche nel corso degli
studi precedenti. Queste di attività sono indispensabili per far progredire gli allievi nella capacità di osservazione e di analisi.
Gli studenti ricevono definizioni e spiegazioni preconfezionate e non sono stimolati a
formulare congetture. Frequentemente le figure rappresentate creano dei misconcetti poiché
hanno sempre una orientazione standard. Va poi aggiunto come la costruzione di figure
geometriche con riga e compasso viene spesso evitata o ridotta al minimo dagli insegnanti,
sia perché queste attività portano via molto tempo, sia perché le figure ottenute risultano il
più delle volte poco accurate. Individuare metodologie didattiche più efficaci diventa, dunque, un’operazione cruciale oltre che significativa. In questa prospettiva la teoria sullo sviluppo del pensiero geometrico di Van Hiele1 e le critiche sollevate da Fuys, Geddes e
Tischler2 nei confronti delle metodologie e dei contenuti dei libri di testo di geometria
adottati nelle scuole, risultano in gran parte attuali ancora oggi. Questi autori concordano
nel ritenere necessario modificare le attività e i relativi materiali presentati nei libri di testo
1 Dina van Hiele-Geldof e Pierre M. van Hiele presentano per la prima volta la teoria sullo sviluppo del
pensiero geometrico nel 1957 con la dissertazione di dottorato De problematick van het inzicht gedmonstreed
van het inzicht van schodkindren in meetkundeleerstof (Unpublished doctoral dissertation) all’Università di
Utrecht. Segue un’intensa attività testimoniata da numerosi articoli accademici tra i quali si ricordano:
(1958), A method of initiation into geometry at secondary schools. In H. Freudenthal (Ed.), Report on
methods of initiation into geometry (pp. 67–80). Groningen,The Netherlands: J. B.Wolters; (1959), Development
and the learning process. Acta Paedogogica Ultrajectina (pp. 1-31); (1973), Begrip en inzicht. Purmerend, The
Netherlands: Muusses; (1980), Levels of thinking, how to meet them. how to avoid them. Paper presented at the
presession meeting of the Special Interest Group for Research in Mathematics Education, National Council
of Teachers of Mathematics, Seattle, WA.; (1984), A child’s thought and geometry. In D. Fuys, D. Geddes,
& R.Tischler (Eds.), English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and P. M. van Hiele
(pp. 243-252). Brooklyn: Brooklyn College; (1987), Finding levels in geometry by using the levels in arithmetic.
Paper presented at the Conference on Learning and Teaching Geometry, Syracuse University, Syracuse,
NY. Pierre M. van Hiele pubblicherà la sua opera fondamentale Structure and Insight: A Theory of Mathematics
Education (Academic Press, New York) nel 1986.
2 Fuys D., Geddes D., Tischler R., (1984), English translations of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and
Pierre M. van Hiele, School of Education, Brooklyn College, New York. Successivamente, Fuys, Geddes e
Tischler ribadiranno le loro critiche nell’articolo: The van Hiele model of thinking in geometry among
adolescents,in Journal for Research in Mathematics Education Monographs n. 3, NCTM, Reston, USA, 1988.
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SIRD • Ricerche
per favorire negli studenti lo sviluppo di processi cognitivi quali la capacità di adattare le
proprie conoscenze a nuove situazioni e la risoluzione di problemi in contesti nuovi e inconsueti.
Tenuto conto di queste premesse, il presente contributo espone i risultati di una sperimentazione condotta su allievi del primo anno di scuola secondaria di primo grado con lo
scopo (hp) di verificare e valutare l’efficacia di un percorso di didattica dei triangoli mediante
una serie di applicativi progettati, implementati e sviluppati da Arcisio Brunetti3, coautore
del presente contributo, utilizzando l’ambiente di sviluppo open source Geogebra4 e seguendo un itinerario che ha avuto come base di riferimento le cinque fasi di apprendimento
della teoria di van Hiele.
Dopo aver illustrato brevemente il quadro di riferimento teorico e il software utilizzato,
verranno descritte le diverse fasi della sperimentazione, alcune delle attività realizzate con
gli alunni appartenenti al gruppo sperimentale ed i risultati ottenuti.
Il punto di partenza
Una teoria che si è dimostrata particolarmente efficace nella progettazione di itinerari didattici in geometria è quella strutturata e sviluppata dei coniugi olandesi P.M van Hiele e
Dina van Hiele-Geldof tra il 1957 e il 19865. Questa teoria ha motivato importanti ricerche,
prima in Unione Sovietica e successivamente negli Stati Uniti, che hanno indotto numerosi
cambiamenti nel curricolo di geometria adottato nei due Paesi.
Secondo tale teoria lo sviluppo del pensiero geometrico degli studenti procede in modo
progressivo attraverso livelli di pensiero e dipende più dall’esperienza maturata dallo studente
su un determinato argomento piuttosto che dall’età o dalla maturazione biologica dello
stesso (in questo senso, la teoria si discosta da quella di Piaget): le esperienze scolastiche progettate dall’insegnante sono quindi di fondamentale importanza per far progredire lo studente da un livello inferiore a quello successivo.
Il modello di van Hiele6 si caratterizza essenzialmente per tre aspetti: l’esistenza di livelli
di pensiero, le proprietà dei livelli e la progressione da un livello di pensiero al successivo.
Van Hiele distingue cinque livelli di pensiero nella comprensione dei concetti geometrici da parte degli studenti le cui caratteristiche possono essere così descritte:
• Livello 0 (Visualizzazione): Gli allievi percepiscono le figure geometriche in base al loro
aspetto globale. Essi riconoscono triangoli, quadrati, rettangoli, eccetera, in base alla loro
forma, ma non riescono ad individuare espressamente le proprietà di queste figure o le
relazioni che intercorrono fra le varie parti che compongono la figura stessa.
• Livello 1 (Analisi): Gli allievi possono analizzare le figure geometriche (anche se in modo
3 Le versioni shareware sono scaricabili dal sito: www.arcisio.com.
4 Geogebra è un software libero per l’apprendimento e l’insegnamento della matematica (www.geogebra.org/cms/). Il nome deriva da “GEOmetria e alGEBRA”. È stato sviluppato da Markus Hohenwarter
presso la Florida Atlantic University per la didattica della matematica nella scuola.
5 van Hiele Pierre M., (1986), Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education, Academic Press, New
York.
6 La teoria sullo sviluppo del pensiero geometrico, è stata seguita da successivi arrangiamenti. A tal riguardo,
si suggerisce: Clements D. H., Battista M.T., (1992), Geometry and spatial reasoning, in Handbook of research
on mathematics teaching and learning, Macmillan, New York, pp. 420-464.
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Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
informale), classificarle, individuare le principali proprietà ed utilizzare l’opportuna terminologia per descriverle, ma non sono in grado di collegare tra loro figure e proprietà.
• Livello 2 (Deduzione informale): Lo studente espone in modo logico le proprietà delle
figure, è in grado di fare brevi catene di deduzioni, di formulare definizioni ed è capace
di stabilire se una determinata proprietà è condizione necessaria e/o sufficiente per classificare una figura geometrica.
• Livello 3 (Deduzione formale): Lo studente può sviluppare sequenze logiche di deduzioni
più lunghe, comprende il significato e il ruolo dei postulati, degli assiomi, dei teoremi e
delle dimostrazioni.
• Livello 4 (Rigore): Gli studenti possono lavorare in diversi sistemi assiomatici, cioè possono
studiare le geometrie non euclidee e confrontarle.
Circa le proprietà di ciascun livello,Van Hiele identifica alcune criteri qualitativi strutturati
in maniera gerarchica e che Usiskin7 ha sintetizzato nel modo seguente:
• Ordine fisso: gli studenti progrediscono attraverso i vari livelli secondo un ordine fisso; in
altre parole, uno studente non può trovarsi al livello n senza aver superato prima il livello
n-1.
• Adiacenza: ad ogni livello di pensiero ciò che era intrinseco nel precedente livello diviene
estrinseco nel livello corrente.
• Distinzione: ogni livello ha i propri simboli linguistici ed una propria rete di relazioni che
collega questi simboli; una relazione che è “corretta” ad un livello può rivelarsi non corretta ad un altro livello.
• Separazione: due persone che ragionano a diversi livelli non possono comprendersi l’un
l’altro. Questo è quello che spesso accade fra insegnante e studente. Nessuno dei due riesce a seguire il pensiero dell’altro e il loro dialogo può procedere solo se l’insegnante riesce a formarsi un’idea del pensiero dello studente e a conformarsi ad esso.
Van Hiele afferma che il passaggio da un livello al successivo deve essere realizzato dagli
alunni stessi e che la funzione dell’insegnante è quella di progettare attività che favoriscono
questa transizione. Van Hiele ha individuato cinque fasi progressive di apprendimento per
guidare l’alunno ad un più alto livello di pensiero di cui tener conto in sede di progettazione
delle attività didattiche. Nello specifico:
• Fase 1 – Informazione: lo studente inizia ad avere un primo contatto con gli oggetti di
studio, sia attraverso il materiale che gli viene fornito, sia attraverso la discussione con
l’insegnante e con i compagni. In questa fase l’insegnante si renderà conto delle conoscenze possedute degli studenti sull’argomento, del loro livello di apprendimento, di eventuali misconcetti, ecc.
• Fase 2 – Orientazione rigida: lo studente inizia ad esplorare l’oggetto di studio per mezzo
di attività opportunamente predisposte dall’insegnante. Il materiale è selezionato in modo
che le strutture caratteristiche gli appaiano in modo graduale. Le attività consistono in
compiti facili e brevi che richiedono risposte specifiche.
7 Cfr. Usiskin Z., (1982), Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry, Final report of the cognitive
development and achievement in secondary school geometry Project, University of Chicago, Department of Education.
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SIRD • Ricerche
• Fase 3 – Esplicitazione: le esperienze acquisite sono collegate ad esatti simboli linguistici
e gli studenti imparano ad esprimere le loro opinioni sulle strutture osservate durante le
attività e le discussioni in classe. L’insegnante deve avere cura che durante queste discussioni venga utilizzato il linguaggio naturale. È durante questa fase che il sistema di relazioni è parzialmente formato.
• Fase 4 – Orientazione libera: gli studenti applicano le conoscenze acquisite in nuove investigazioni, possibilmente per mezzo di compiti che possono essere portati a termine in
modo differente.
• Fase 5 – Integrazione: lo studente ha orientato se stesso, ma deve ancora acquisire una panoramica di tutti i metodi che sono a sua disposizione. Così egli cerca di condensare in
un unico complesso il dominio che ha esplorato il suo pensiero. A questo punto l’insegnante può (aiutare) accelerare questo lavoro fornendo una veduta di insieme. È importante che questo quadro d’insieme non presenti nulla di nuovo per lo studente; esso deve
solo essere una ricapitolazione di quello che lo studente già conosce.
Durante le transizioni van Hiele considera la discussione la parte più importante del processo di insegnamento-apprendimento. In particolare nella fase di esplicitazione l’insegnante
ha il ruolo di guida nel senso che inserisce la discussione nel flusso dell’attività della classe
e ne influenza lo sviluppo attraverso interventi mirati allo scopo di socializzare e valutare
collettivamente le strategie usate dai singoli allievi nella soluzione di un problema e costruire
(quando è possibile) una o più rappresentazioni e soluzioni condivise da tutta la classe8.
Circa i software di geometria dinamica (DGS: Dynamic Geometry Software), la loro
comparsa è avvenuta negli anni ’80, rivitalizzando l’insegnamento della geometria e suscitando l’attenzione di molti ricercatori in tutto il mondo sul ruolo svolto da questi ambienti
applicativi nei processi di insegnamento-apprendimento della geometria.
L’importanza di una rappresentazione dinamica delle figure veniva d’altronde sottolineata
già negli Orientamenti per la lettura dei contenuti dei “Nuovi programmi per la scuola media”
del 1979: “Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle
figure, che ne renda evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi”.
I DSG, quali ad esempio Cabri, Geometer’s Sketcpad, Cindirella, permettono di costruire
sullo schermo del computer enti geometrici in modo rapido e preciso con azioni molto vicine a quelle utilizzate nell’ambiente “carta e matita”. Una volta create, queste figure, possono
essere modificate dinamicamente con l’aiuto del mouse trascinando gli elementi base. In
questo modo è possibile far assumere alla figura un’infinità di posizioni e configurazioni
differenti, mentre le proprietà e le relazioni imposte al momento della costruzione si conservano quando la figura viene modificata. Come afferma Emma Castelnuovo, anche “la
costruzione di una figura con riga e compasso vincola la libertà di pensiero per il fatto che
porta a considerare solo un numero finito di casi: il disegno, per la sua staticità, non stimola
l’osservazione e non può quindi condurre a fare scoperte” (Castelnuovo E., 2009).
Queste attività contribuiscono a sviluppare un processo di apprendimento per scoperta:
gli allievi, infatti, possono osservare ed esplorare la figura e le sue proprietà, formulare congetture e ricevere un feedback immediato alle loro ipotesi. In questo modo, secondo Clements9 e in coerenza con quanto affermato da van Hiele, la manipolazione dinamica aiuta
8 Cfr. Bartolini Bussi M.G., Boni M., Ferri F., (1995), Interazione sociale e conoscenza a scuola: la discussione matematica, Rapporto tecnico n.21 NRD di Modena, Comune di Modena.
9 Clements D. H., Battista M.T., Sarama J., Swaminathan S., (1997), Development of students’ spatial thinking
in a unit on geometric motions and area, in The Elementary School Journal, 98 (2), pp. 171-186.
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Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
gli studenti a transitare dal livello della visualizzazione a quello dell’analisi. Queste attività,
quindi, contribuiscono allo sviluppo del pensiero matematico facilitando e mettendo in grado
gli studenti di procedere ad un livello superiore. Come già anticipato in premessa, ci si è serviti dell’ambiente di sviluppo Geogebra mediante il quale sono stati progettati, implementati
e sviluppati tutti gli applicativi utilizzati per la sperimentazione che viene presentata in questo contributo.
Una delle funzioni più importanti dei DGS, per le implicazioni cognitive che comporta,
è il dragging (trascinamento di un oggetto con il mouse). Olivero e Arzarello10 descrivono le
differenti modalità di dragging osservate nel corso di sperimentazioni condotte con diversi
studenti frequentanti la scuola secondaria di II grado:
• Wandering dragging: trascinare a caso i componenti della figura, per scoprire eventuali regolarità, invarianti, proprietà.
• Bound dragging: trascinare un punto che è già vincolato a un oggetto.
• Guided dragging: trascinare i punti base della figura per darle una particolare forma.
• Lieu muet dragging: trascinare un punto della figura lungo una traiettoria privilegiata (lieu
muet = percorso silenzioso), costruita empiricamente mediante l’interazione percettiva
tra figure sullo schermo e movimenti del mouse, in modo da conservare una certa proprietà o regolarità.
• Line dragging: segnare i punti che mantengono una proprietà della figura; (con il line dragging il lieu muet diventa esplicito a livello visivo).
• Linked dragging: vincolare un punto a un oggetto (ad esempio quello del line dragging,
ove possibile) muovendo poi il punto sull’oggetto.
• Dragging test: è la prova del trascinamento effettuata per vedere se la figura disegnata mantiene quelle proprietà geometriche che le si volevano attribuire (se ciò avviene la figura
supera il test, altrimenti la figura non è stata costruita secondo le proprietà che le si volevano attribuire).
La descrizione della ricerca
L’indagine ha coinvolto quattro classi del primo anno della scuola secondaria di primo grado
“S. Penna” di Battipaglia per un totale di 80 alunni11. Due classi (il Gruppo di Controllo,
GC), per complessivi 40 alunni, hanno seguito il percorso tradizionale con lezioni frontali
e attività con “carta e matita”, mentre due classi (il Gruppo Sperimentale, GS), per un totale
di 40 alunni, sono state impegnate in attività di esplorazione di figure dinamiche mediante
gli applicativi all’uopo sviluppati seguendo un itinerario che ha avuto come base di riferimento la teoria di van Hiele.
10 Olivero F. (1999), Cabri-géomètre as a mediator in the process of transition to proofs in open geometric situations. In:
W. Maull & J. Sharp (eds), Proceedings of the 4th International Conference on Technology in Mathematics
Teaching, University of Plymouth, UK; Arzarello, Olivero, Paola, Robutti (2002), A cognitive analysis of
dragging practices in Cabri environments, ZDM 2002,34(3).
11 Non potendo procedere al campionamento dei soggetti, siamo ricorsi ad un disegno quasi-sperimentale
con gruppo di controllo non equivalente. “La parola quasi significa come se o in un certo grado. Così, un quasiesperimento assomiglia ad un esperimento, ma manca almeno di una caratteristica che può renderlo tale:
se in un vero esperimento è possibile assegnare i soggetti alle condizioni sperimentali, in un quasi-esperimento i soggetti da assegnare alle diverse condizioni sono selezionati da gruppi già esistenti” (McBurney
D. H., 2001, Metodologia della ricerca in psicologia, Il Mulino, Bologna, p.319).
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SIRD • Ricerche
La sperimentazione, svolta nei mesi di marzo e aprile del 2009 e per una durata complessiva di 20 ore, si è concentrata sui primi tre livelli di van Hiele (visualizzazione, analisi,
deduzione informale), che sono quelli più pertinenti per alunni di questa età (11-12 anni),
ed è stata articolata in tre fasi.
La prima fase ha avuto lo scopo di investigare e verificare le conoscenze possedute dagli
alunni sui triangoli, attraverso la somministrazione di test diagnostici e la susseguente discussione in classe. Successivamente gli allievi sono stati impegnati in attività di esplorazione
di figure geometriche dinamiche realizzate utilizzando l’ambiente di sviluppo Geogebra. Infine sono state somministrate delle prove per verificare il livello di analisi di figure geometriche raggiunto e la capacità di argomentare circa la risposta fornita e/o la strategia adottata.
Entriamo nello specifico.
La prima fase, si è detto, ha avuto lo scopo di accertare le conoscenze possedute sull’argomento dagli allievi. A tal fine è stato somministrato un test appositamente predisposto per
verificare la situazione di partenza dei due gruppi. Le risposte degli studenti sono state successivamente oggetto di discussione in classe per stimolare negli allievi osservazioni ed interrogativi. In questo modo si è potuto rilevare la presenza di misconcetti e il vocabolario
utilizzato alfine di chiarire il significato di alcuni termini e di introdurne di nuovi.
Nella tabella 1 si riportano i risultati dell’analisi descrittiva. L’elaborazione dei dati è stata
effettuata considerando i punteggi conseguiti nell’area delle conoscenze (ACn, 9 sub-item
per l’accertamento delle conoscenze) e nell’area delle competenze (ACp, 13 sub-item per
l’accertamento dei livelli di competenza posseduti).
ACn al pre-test
ACp al pre-test
GS
Media
Dev
6,15
1,46
0,75
1,13
GC
Media
Dev
6,03
1,23
0,68
1,29
Tab. 1
Tenuto conto della numerosità ridotta del campione coinvolto, inoltre, si è ritenuto opportuno, per la verifica delle ipotesi della ricerca, utilizzare il test non parametrico di MannWhitney per il confronto dei due campioni (tabb. 2 e 3).
ACn
ACp
GS
GC
GS
GC
Media dei ranghi
41,00
40,00
42,58
38,42
Somma dei ranghi
1640,00
1600,00
1703,00
1537,00
Tab. 2
Pre-test
Mann-Whitney U
p
ACn
780,00
0,844
Tab. 3
59
ACp
717,00
0,351
Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
Da un punto di vista statistico, l’analisi della situazione di partenza non ha evidenziato
sostanziali differenze fra i due gruppi. Questi risultano equivalenti, con una leggera migliore
prestazione complessiva (tab. 1) degli alunni del gruppo sperimentale. Circa il controllo delle
prestazioni per genere, inoltre, non si sono rilevate differenze statisticamente significative tra
maschi e femmine. Va sottolineato, inoltre, come il test iniziale abbia evidenziato in tutti i
soggetti coinvolti ampie carenze relative da un lato all’analisi degli elementi di una figura e
il riconoscimento delle proprietà e, dall’altro, alla capacità di mettere in atto nuove strategie
risolutive utilizzando le conoscenze possedute (ACp).
Il test iniziale comprendeva cinque domande (per un totale di num. 22 sub-item) che
di seguito vengono descritte. Con la prima si chiedeva di identificare dei triangoli in un insieme di figure assegnate (fig. 1) con lo scopo di sondare l’immagine mentale che gli studenti
avevano del triangolo (livello di visualizzazione).
Va notato, dall’analisi delle risposte, che diversi studenti hanno considerato come triangoli
le figure 1, 4 e, soprattutto, la 6. Nella discussione successiva, alla richiesta di motivare le
scelte operate, sono state fornite delle spiegazioni quali:
Il triangolo 1 è un triangolo con la base storta.
Il Il triangolo 4 è un triangolo con un lato curvo.
Il triangolo 6 è un triangolo con un pezzo mancante.
Quest’ultima risposta, in particolare, ha fatto
registrare una elevata percentuale di risposte
sbagliate (intorno all’84%). Alcuni alunni hanno
corretto la figura prolungando i due segmenti
Fig. 1
fino a formare il triangolo. Altri, invece, hanno
descritto la figura 2 come un “triangolo capovolto” e la 5 come “un triangolo inclinato”.
Il prototipo di triangolo che più si avvicina alla loro immagine mentale è il triangolo 3,
da alcuni definito come un triangolo “perfetto” oppure con frasi del tipo “è proprio un
triangolo”.
La seconda e la terza domanda avevano lo scopo di comprendere se gli allievi conoscessero alcune proprietà fondamentali dei triangoli (proprietà dei lati12 e somma degli angoli
interni). In queste domande si è preferito non inserire delle figure per evitare che gli allievi
potessero trarre da esse un valore approssimato che influenzasse la loro risposta.
2. Due lati di un triangolo misurano rispettivamente cm 3 e cm 5. Secondo te, quale potrebbe essere
la misura del terzo lato ?
Segna con una croce la risposta che ritieni corretta.
c
c
c
c
A. Cm 6
B. Cm 8
C. Cm 10
D. Qualsiasi lunghezza
12 La proprietà dei lati di un triangolo secondo cui ciascun lato è minore della somma degli altri due lati.
60
SIRD • Ricerche
La percentuale di risposte corrette è stata molto bassa in entrambi i gruppi (intorno al
15-16%). Agli alunni che hanno risposto correttamente è stato chiesto di motivare la loro
risposta, ma solo tre di essi (due del GC e uno del GS) hanno risposto “altrimenti il triangolo
non si chiude”. Ciò, almeno in parte, va attribuito alla poca attenzione prestata, nella scuola
primaria, ad attività di esplorazione e manipolazione di figure geometriche prediligendo il
calcolo di perimetro e aree che non forniscono, da soli, alcun contributo alla costruzione
del pensiero geometrico.
3. Due angoli interni di un triangolo misurano 70° e 80°. Secondo te, quale potrebbe essere
la misura del terzo angolo?
Segna con una croce la risposta che ritieni corretta.
c
c
A. 30°
B. 90°
c
c
D. 180°
E. Qualsiasi valore
Anche in questo caso la percentuale di risposte corrette è stata molto bassa in entrambi
i gruppi (intorno all’11%).
Con il quarto item (fig. 2) era richiesto agli allievi di classificare alcuni triangoli in base
ai lati e agli angoli effettuando, se lo ritenevano necessario, anche delle misure. Lo scopo
della domanda era quello di comprendere se i ragazzi fossero in grado di riconoscere i vari
tipi di triangoli e classificarli in modo
duplice, vale a dire se erano capaci di
riconoscere che un triangolo può essere, ad esempio, sia rettangolo che
isoscele.
La maggior parte degli allievi ha
classificato i triangoli esclusivamente
rispetto ai lati inserendoli in una sola
delle seguenti classi: equilatero, isoscele, scaleno e rettangolo. Per quasi
tutti gli alunni, in sostanza, se un
triangolo appartiene ad una classe
non può appartenere contemporaneamente ad un’altra. Diversi hanno
classificato il triangolo 8 come isoscele “perché il triangolo isoscele è
appuntito”. Anche in questo caso
l’errore è dovuto all’immagine
mentale che i bambini si sono costruiti del triangolo isoscele veicolata spesso dai libri di testo che
rappresentano, il più delle volte, il
triangolo isoscele con la base molto
più piccola rispetto ai lati obliqui e
in posizione orizzontale. Anche per
questo motivo il triangolo 6 è stato
Fig. 2
Fig. 2
classificato unicamente come rettan-
La maggior parte degli allievi ha classificato i triangoli esclusivamente rispetto ai lati
in una sola delle seguenti classi: equilatero, isoscele, scaleno e rettangolo. Per quasi tut
in sostanza, se un triangolo appartiene
61 ad una classe non può appartenere contemporan
un’altra. Diversi hanno classificato il triangolo 8 come isoscele “perché il triangolo
triangolo isoscele.
anda (fig. 3), infine,
siItaliano
chiedeva
di disegnare
relativa• 2010
al lato AB di
Giornale
della Ricerca
Educativa l’altezza
• III • 1 / GIUGNO
o scopo di sondare il concetto che gli alunni avevano di “altezza relativa alla
golo e nessuno lo ha riconosciuto come triangolo isoscele.
Nella quinta domanda (fig. 3), infine,
si chiedeva di disegnare l’altezza relativa
al lato AB di alcuni triangoli con lo scopo di sondare il concetto che gli alunni
avevano di “altezza relativa alla base”.
L’alta percentuale di errori, soprattutto per le altezze delle figure 2, 5 e 6
è stata certamente influenzata dall’orientamento della figura. In sostanza
l’altezza viene disegnata quasi sempre
all’interno del triangolo.
In conclusione, le risposte fornite
alla prova ci permettono di avanzare le
seguenti riflessioni: gli allievi percepiscono le figure in base al loro aspetto
complessivo senza essere consapevoli
delle loro proprietà e delle relazioni che
legano i vari elementi delle figure (Livello 0 di van Hiele); sono emersi molti
misconcetti dovuti spesso alle immagini
standardizzate presentate nei libri di teFig. 3
sto e alla confusione fra linguaggio naFig. 3
turale e linguaggio matematico.
Nella seconda fase gli alunni del gruppo sperimentale sono stati impegnati in attività di
esplorazione guidata di figure geometriche dinamiche con lo scopo di condurli alla scoperta
e alla comprensione dei concetti e delle proprietà dei triangoli.
Le attività hanno interessato i seguenti nodi concettuali: proprietà dei lati di un triangolo,
somma degli angoli interni ed esterni, relazione fra lati e angoli di un triangolo, altezze, mediane, bisettrici, assi. Di seguito vengono brevemente descritte le attività più significative.
L’elemento base di ogni attività consiste nella presentazione di una figura geometrica dinamica accompagnata da una scheda contenente delle domande. La figura dinamica è costituita, in genere, da un triangolo (fig. 4) che può essere modificato con continuità
trascinando i vertici con il mouse, facendogli assumere tutte le configurazioni possibili.
Le caselle di controllo permettono di visualizzare i vari elementi (altezze, mediane, bisettrici, assi, ecc.). Durante il trascinamento sullo schermo vengono visualizzate le misure
delle ampiezze degli angoli e della lunghezza dei segmenti.
La funzione della scheda è quella di guidare e di orientare l’osservazione degli studenti per
mezzo di domande inducendoli a focalizzare la loro attenzione su una particolare proprietà;
infatti, per rispondere alle domande, l’allievo deve manipolare la figura trascinando i suoi elementi “liberi” fino a quando essa non soddisfa determinate condizioni, osservare che cosa
succede, fare delle congetture e verificarle. In questa fase l’attività richiede facili compiti, con
poche domande dirette che richiedono una risposta specifica (orientamento guidato).
Gli studenti lavorano in gruppi di due o tre elementi per favorire la discussione. Il docente
riveste il ruolo cruciale di suggeritore/stimolatore, ponendo domande appropriate per favorire la discussione nei gruppi in modo da indirizzare gli studenti a trovare la soluzione.
Successivamente le osservazioni e le congetture dei singoli gruppi sono condivise con l’intera
classe e discusse pervenendo a conclusioni accettate da tutti.
62
assumere tutte le configurazioni possibili.
elle di controllo permettono di visualizzare i vari elementi (altezze, mediane, bis
SIRD • Ricerche
Durante il trascinamento sullo schermo
vengono visualizzate le misure delle am
li e della lunghezza dei segmenti.
Fig. 4
Fig. 4
Al termine segue l’attività di integrazione, affidata all’insegnante, allo scopo di sistematizzare
le conoscenze acquisite in un quadro più ampio attraverso la discussione e il confronto. È
questa fase che
lo studentedi
diventa
consapevole
delleorientare
relazioni che intercorrono
fra i vari degli studen
zione dellainscheda
è quella
guidare
e di
l’osservazione
elementi della figura, tenta di esprimerle a parole, impara il linguaggio tecnico che accomdomande inducendoli
focalizzare
lamodo,
lorounaattenzione
sudi una
particolare proprietà;
pagna l’oggetto dia studio
creando, in tal
rete concettuale
relazioni.
Si riportano,
a questo punto
e a manipolare
titolo esemplificativo,
alcune attività
svolte con l’ausilio
dere alle domande,
l’allievo
deve
la figura
trascinando
i suoi elementi “
dell’applicativo Triangoli.
ando essa non soddisfa determinate condizioni, osservare che cosa succede, fare
e verificarle. In questa fase l’attività richiede facili compiti, con poche domande
Lati di un triangolo
dono una risposta
specifica
(orientamento
Questa attività
ha avuto lo
scopo di guidare gli guidato).
allievi verso la scoperta della seguente proprietà
dei
lati
di
un
triangolo:
in
ogni
triangolo,
ciascun
lato è minore
somma degli
due
denti lavorano in gruppi di due o tre elementi
per della
favorire
laaltridiscussione.
Il d
lati.
ruolo crucialeLa di
suggeritore/stimolatore,
ponendo
domande
appropriate
per favo
figura
dinamica (fig. 5) è costituita da tre segmenti
consecutivi
la cui lunghezza
può
modificatada
agendo
sugli slider (cursori).
Gli estremi
e D possono
essere trascinati Successivam
e nei gruppiessere
in modo
indirizzare
gli studenti
a Ctrovare
la soluzione.
restando invariate le lunghezze dei rispettivi segmenti. Gli alunni, divisi in gruppi, avevano
ni e le congetture
singoli
gruppi
sono uncondivise
con l’intera classe e di
il compito di fardei
coincidere
i due estremi
per ottenere
triangolo.
o a conclusioni accettate da tutti.
mine segue l’attività di integrazione, affidata all’insegnante, allo scopo di sistematiz
e acquisite in un quadro più ampio attraverso la discussione e il confronto. È in
o studente diventa consapevole delle relazioni che intercorrono fra i vari element
63
Lati
di un attività
triangolo
Questa
ha avuto lo scopo di guidare gli allievi verso la scoperta della seguente proprietà dei
Questa
ha avuto
scopo
di guidare
gli allievi
verso ladella
scoperta
della
seguente
proprietà
lati diattività
un triangolo:
in lo
ogni
triangolo,
ciascun
lato è minore
somma
degli
altri due
lati. dei
latiLadi figura
un triangolo:
in
ogni
triangolo,
ciascun
lato
è
minore
della
somma
degli
altri
due
lati.
dinamicaItaliano
(fig. 5) della
è costituita
da Educativa
tre segmenti
consecutivi
la cui lunghezza
Giornale
Ricerca
• III
• 1 / GIUGNO
• 2010 può essere
Lamodificata
figura dinamica
è costituita
da tre
la cuiessere
lunghezza
può restando
essere
agendo(fig.
sugli5) slider
(cursori).
Glisegmenti
estremi consecutivi
C e D possono
trascinati
modificata
agendo
suglidei
slider
(cursori).
Gli estremi
C edivisi
D possono
essere
trascinati
restando
invariate le
lunghezze
rispettivi
segmenti.
Gli alunni,
in gruppi,
avevano
il compito
di far
invariate
le
lunghezze
dei
rispettivi
segmenti.
Gli
alunni,
divisi
in
gruppi,
avevano
il
compito
di
far
coincidere i due estremi per ottenere un triangolo.
coincidere i due estremi per ottenere un triangolo.
Costruisci, se possibile, i triangoli i cui lati hanno le lunghezze
riportate se
in possibile,
tabella (il ilato
AB è iilcui
latolati
piùhanno
lungo).
Costruisci,
triangoli
le lunghezze
riportate in tabella (il lato AB è il lato più lungo).
Lato
Lato
Lato
Triangolo
AB Lato
AC Lato
BD
Lato
Triangolo
AB18 AC 9 BD14
1
1 2
18 20
9 12 14 10
2 3
20 25 12 15 10 12
3 4
25 22 15 18 12 16
4 5
22 21 18 15 16 10
5 6
21 25 15 10 10 13
6 7
25 20 10 9
13 10
7 8
20 25
9 11 10 13
8
25
11
13
Fig. 5
Fig.
Fig.55
Gli alunni si sono resi immediatamente conto che in alcuni casi (triangoli 6, 7 e 8) non era possibile
Gli
alunni
si sono
resiper
immediatamente
alcuni
casi (triangoli
7 eera
8) non
Glifaralunni
si sono
resi
immediatamente
conto
checonto
in alcuni
casi
(triangoli
6,dalla
7 e lunghezza
8)6,non
possibile
coincidere
i due
estremi
ottenere
il triangolo
eche
chein
ciò
dipendeva
dei
lati, ma
era
possibile
far
coincidere
i
due
estremi
per
ottenere
il
triangolo
e
che
ciò
dipendeva
dalla
farnon
coincidere
i
due
estremi
per
ottenere
il
triangolo
e
che
ciò
dipendeva
dalla
lunghezza
dei
lati,
ma il
erano in grado di cogliere la condizione che dovevano soddisfare i tre segmenti per ottenere
lunghezza
dei
lati,
ma
non
erano
in
grado
di
cogliere
la
condizione
che
dovevano
soddisfare
non
erano inLa
grado
di cogliere
la condizione
dovevano soddisfare
i tre gli
segmenti
ottenere il la
triangolo.
discussione
collettiva
guidatache
dall’insegnante
ha condotto
alunni per
a focalizzare
i treLa
segmenti
per ottenere
il triangolo.
La discussione collettiva
guidata
dall’insegnante
ha la
triangolo.
discussione
collettiva
guidata
dall’insegnante
gli alunni
a focalizzare
loro attenzione
sulla lunghezza
dei
due segmenti
minori ha
e acondotto
individuare
la proprietà
che devono
condotto
gli
alunni
a
focalizzare
la
loro
attenzione
sulla
lunghezza
dei
due
segmenti
minori
loro
attenzione
lunghezza
dei dueAlcune
segmenti
minorifornite
e a individuare
la per
proprietà
chequello
devonoche
soddisfare
persulla
ottenere
il triangolo.
risposte
dagli allievi
spiegare
e
a
individuare
la
proprietà
che
devono
soddisfare
per
ottenere
il
triangolo.
Alcune
risposte
soddisfare
per ottenere
il state:
triangolo. Alcune risposte fornite dagli allievi per spiegare quello che
avevano osservato
sono
fornite
dagli sono
allievistate:
per spiegare quello che avevano osservato sono state:
avevano
osservato
• Annamaria: Ho osservato che alcuni triangoli non si possono costruire come il 6, 7 e 8, perché
hanno il lato più lungo.
• Giorgio: Il triangolo non si può costruire perché AC e BD sono più corti di AB.
• Chiara: Quando hanno una lunghezza differente non sufficiente per non far toccare i due punti,
secondo me per unire i tre punti c’è bisogno che 2 lati siano uguali e 1 maggiore, oppure uno maggiore dell’altro.
• Luca: Secondo me la somma dei 2 lati minori deve essere maggiore del lato maggiore per potersi
incontrare in un punto.
64
Chiara: Quando hanno una lunghezza differente non sufficiente per non far toccare
secondo me per unire i tre punti c’è bisogno che 2 lati siano uguali e 1 maggiore,
SIRD • Ricerche
maggiore dell’altro.
Luca: Secondo me la somma dei 2 lati minori deve essere maggiore del lato maggi
incontrare in un punto.
Francesca: Secondo me i triangoli 6-7-8 non sono possibili perché se sommiamo i l
un numero più piccolo del lato AB.
• Francesca: Secondo me i triangoli 6-7-8 non sono possibili perché se sommiamo i lati AC e BD
Antonio: Perché se AC e BD sono minori di AB, AC e BD non si possono incontrar
esce un numero più piccolo del lato AB.
• Antonio: Perché se AC e BD sono minori di AB, AC e BD non si possono incontrare in nessun
punto.
Successivamente
gli studenti sono stati coinvolti in attività di costruzione
di trian
lunghezza assegnata utilizzando gli strumenti di Geogebra. Il docente non
Successivamente gli studenti sono stati coinvolti in attività di costruzione di triangoli
procedimento
tecnico,
ad esso
è giunti
attraverso
una non
discussione
guidata.
con lati di lunghezza
assegnatama
utilizzando
gli si
strumenti
di Geogebra.
Il docente
ha spiegato il procedimento tecnico, ma ad esso si è giunti attraverso una discussione guidata.
Altezze di un triangolo
Al
termine
scuola primaria, gli allievi hanno un’immagine mentale dell’altezz
Altezze
di undella
triangolo
Al termine
primaria, gli allievi hanno
mentale
dell’altezza
un
ancora
in della
via scuola
di accomodamento.
Comeun’immagine
risulta dalle
risposte
datedidagli
alunni duran
triangolo
ancora
in
via
di
accomodamento.
Come
risulta
dalle
risposte
date
dagli
alunni
du6), la misconcezione più frequente è che il piede dell’altezza di un triangolo cade
rante il pretest (fig. 6), la misconcezione più frequente è che il piede dell’altezza di un trianopposto.
Questo
frequente
in parte
attribuibile
un concetto
golo cade sempre
sul errore
lato opposto.
Questo èerrore
frequente
è in parte ad
attribuibile
ad un errato di rette
concetto
di rettediperpendicolari.
Nei
librierrato
di testo
geometria per la scuola secondaria di primo grado l’argomento
Nei
libri
di
testo
di
geometria
per laperpendicolari
scuola secondaria die primo
grado l’argomento
viene
dando la definizione di rette
illustrando
il procedimento
per la loro
affrontato dando la definizione di rette perpendicolari e illustrando il procedimento per la
riga
e compasso.
nessun sforzo
è fatto
collegare
questo concetto a
loro costruzione
con Normalmente
riga e compasso. Normalmente
nessun
sforzo per
è fatto
per collegare
questo concetto
ad una situazione
Il risultato
che gli alunni
sanno ripetere ladi rette perpend
concreta.
Il risultato
è che concreta.
gli alunni
sannoè ripetere
la definizione
definizione
perpendicolari
ma il piùnel
delletracciare
volte incontrano
difficoltà
delle
voltedi rette
incontrano
difficoltà
l’altezza
di nel
unatracciare
figura geometrica q
l’altezza di una figura geometrica quando questa è posta in una posizione non standard.
posta
in una
posizione
non standard.
In questo
caso,
ed in altri simili,
occorre far precedere la trattazione da esperienze volte
a ricostruire i nuovi concetti. Tali esperienze possono essere situazioni problematiche, applicate in un contesto reale
e motivante per gli studenti, che non
possono essere risolte con l’applicazione
delle conoscenze già in loro possesso,
ma necessitano di sperimentare nuove e
diverse strategie. Per questi motivi, prima di affrontare lo studio delle altezze
di un triangolo, gli allievi sono stati impegnati in una situazione-problema
avente le scopo di condurli alla ri-costruzione del concetto di rette perpendicolari e di distanza di un punto da una
retta come “distanza più breve”. Agli studenti è stato chiesto di risolvere il seguente compito un appositamente
predisposto utilizzando l’ambiente di
sviluppo Geogebra (Fig. 7).
Fig. 6
Fig. 6
In questo caso, ed in altri simili, occorre far precedere la trattazione da esperienze v
i nuovi concetti. Tali esperienze 65
possono essere situazioni problematiche, applicat
reale e motivante per gli studenti, che non possono essere risolte con l’app
Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
stato chiesto di risolvere il seguente compito un appositamente predisposto utilizzando l’ambiente
di sviluppo Geogebra (Fig. 7).
stato chiesto di risolvere il seguente compito un appositamente predisposto utilizzando l’ambiente
di sviluppo Geogebra (Fig. 7).
Fig. 7
Fig. 7
Un cavaliere vive in una torre e deve
portare ad abbeverare il suo cavallo al
fiume.
Unparte
cavaliere
vive in
torre e deve
Egli
dal punto
A una
e deve
portare ad la
abbeverare
il suo cavallo al
raggiungere
riva del fiume
fiume.
rappresentata
dalla retta PQ.
Egli parte
dal punto
A e deve
Sapresti
aiutare
il cavaliere
ad
raggiungere
la riva del
fiume
individuare
il percorso
più
breve per
rappresentata
dalla retta PQ.
giungere
al fiume?
Sapresti aiutare il cavaliere ad
individuare il percorso più breve per
giungere al fiume?
Fig. 7problematica per tentativi inserendo dei punti
I discenti inizialmente hanno affrontato la situazione
I
discenti
inizialmente
hanno
affrontato
la situazione
problematica
in prossimità della riva del fiume e misurando
la distanza
dal puntoper
Atentativi
fino adinserendo
individuare
dei
punti
in
prossimità
della
riva
del
fiume
e
misurando
la
distanza
dal
punto
A fiume
fino ad(PQ).
in- A
approssimativamente
il
punto
B
che
rendeva
minima
la
distanza
di
A
dalla
retta
del
I discenti
inizialmente
hanno
affrontato
la
situazione
problematica
per
tentativi
inserendo
dei
dividuare
approssimativamente
il punto
B che
rendeva
minima
la distanza di A dalla retta punti
questo
punto
l’insegnante
ha
posto
alcune
domande
per
stimolare
l’osservazione:
in prossimità
del fiume
misurandohalaposto
distanza
punto A
ad individuare
del fiumedella
(PQ).riva
A questo
punto el’insegnante
alcunedaldomande
perfino
stimolare
l’osapprossimativamente
il
punto
B
che
rendeva
minima
la
distanza
di
A
dalla
retta
del
fiume (PQ). A
servazione:
In che posizione devono trovarsi il segmento AB e la retta PQ?
questo punto Che
l’insegnante
ha AB
posto
domande per stimolare l’osservazione:
angolo forma
con alcune
la retta PQ?
un angolo
particolare?
InÈ che
posizione
devono trovarsi il segmento AB e la retta PQ?
che posizione
devono
il segmento AB e la retta PQ?
CheInangolo
forma AB
con latrovarsi
retta PQ?
Che
angolo
forma
AB
con
la
retta
PQ?
È un
angolo
particolare?
Gli allievi dopo
aver
tracciato
il segmento AB
e misurato l’angolo che esso forma con PQ (fig. 8a)
È un angolo particolare?
sono giunti alla conclusione che il percorso più breve si ottiene quando AB forma un angolo retto
allievi
dopoA aver
tracciato
segmento AB
misurato
l’angolo
checaso
esso siforma
con AB
con
rettaGli
PQ
(fig.
8b).
questo
punto ill’insegnante
ha espiegato
che
in questo
Glilaallievi
dopo
aver
tracciato
ilalla
segmento
AB eche
misurato
l’angolo
che
esso
forma quando
condice
PQche
(fig. 8a)
PQ
(fig.
8a)
sono
giunti
conclusione
il
percorso
più
breve
si
ottiene
AB
e sono
PQ sono
perpendicolari
e cheche
Geogebra
offre
labreve
possibilità
di tracciare
la
perpendicolare
ad una
giunti
alla
conclusione
il
percorso
più
si
ottiene
quando
AB
forma
un
angolo
forma
un angolo
rettoecon
la retta PQil (fig.
8b). A questo
punto Gli
l’insegnante
ha spiegato
che retto
retta
per
un
punto
assegnato
ha
illustrato
procedimento
tecnico.
alunni
sono
stati
invitati
con la in
retta
PQ (fig.
8b).
A questo
punto
l’insegnante
ha spiegato
cheGeogebra
in questo
caso
si dice che ad
AB
questo
caso
si
dice
che
AB
e
PQ
sono
perpendicolari
e
che
offre
la
possibilità
effettuare
unaperpendicolari
verifica costruendo
la retta perpendicolare
a PQ di
passante
perlaAperpendicolare
ed osservandoadche
e PQ sono
e
che
Geogebra
offre
la
possibilità
tracciare
una
di tracciare la perpendicolare
ad una
retta per unilpunto
assegnato
e ha illustratoadil una
procediessa
sovrapponeva
ad AB. Acquisito
correttamente
concetto
di perpendicolare
retta perad
rettasi per
un
punto
assegnato
e
ha
illustrato
il
procedimento
tecnico.
Gli
alunni
sono
stati
invitati
mento
tecnico.
Gli
alunni
sono
stati
invitati
ad
effettuare
una
verifica
costruendo
la
retta
uneffettuare
punto, si una
è proceduto
ad
esplorare la
come variano
le altezze diPQ
un passante
triangoloper
e leAloro
proprietà.
verificaa PQ
costruendo
perpendicolare
passante perretta
A edperpendicolare
osservando che aessa
si sovrapponeva
ad ed
AB.osservando
Acquisito che
essa sicorrettamente
sovrapponevailadconcetto
AB. Acquisito
correttamente
il concetto
ad una retta
di perpendicolare
ad una
retta perdiunperpendicolare
punto, si è proceduto
ad per
un punto,
si è proceduto
ad esplorare
come
le altezze
di proprietà.
un triangolo e le loro proprietà.
esplorare
come variano
le altezze
di unvariano
triangolo
e le loro
Fig. 8a
Fig. 8b
Anche in questo caso la Fig.
figura
alla scoperta delle
8a dinamica utilizzata per condurre gli
Fig.alunni
8b
Fig.
8a
Fig.
8b
proprietà delle altezze è costituita da un triangolo (fig. 9) i cui vertici possono essere trascinati. Le
caselle
permettono
di dinamica
visualizzare
le altezze
ai gli
tre lati
e l’ortocentro.
Anchediincontrollo
questo caso
la figura
utilizzata
perrelative
condurre
alunni
alla scopertaSullo
delle
schermo
vengono
visualizzate
le
ampiezze
degli
angoli
interni
per
permettere
di
riconoscere
i variLe
proprietà delle altezze è costituita da un triangolo (fig. 9) i cui vertici possono essere trascinati.
tipi
di triangoli.
caselle
di controllo permettono di visualizzare le altezze relative ai tre lati e l’ortocentro. Sullo
schermo vengono visualizzate le ampiezze degli66
angoli interni per permettere di riconoscere i vari
tipi di triangoli.
SIRD • Ricerche
Anche in questo caso la figura dinamica utilizzata per condurre gli alunni alla scoperta
delle proprietà delle altezze è costituita da un triangolo (fig. 9) i cui vertici possono essere
trascinati. Le caselle di controllo permettono di visualizzare le altezze relative ai tre lati e
l’ortocentro. Sullo schermo vengono visualizzate le ampiezze degli angoli interni per permettere di riconoscere i vari tipi di triangoli.
Gli alunni, guidati dalle schede, visualizzando inizialmente una sola altezza e osservando
la sua posizione nei diversi tipi di triangoli (acutangolo, rettangolo e ottusangolo), hanno
constatato che l’altezza del triangolo non è sempre interna ad esso. La discussione collettiva
ha fatto emergere anche altre caratteristiche non espressamente richieste nella scheda:
• Ins.: In quali casi l’altezza è interna al triangolo?
• Valentina: Se il triangolo è acutangolo l’altezza è interna al triangolo. Se abbiamo un triangolo
rettangolo l’altezza è il cateto.
• Chiara: Non è vero, dipende da come facciamo l’altezza. Io ho visto
che anche nel triangolo rettangolo
l’altezza può essere interna. Se per
esempio facciamo l’altezza che parte dall’angolo di 90° l’altezza cade
dentro il triangolo anche se è rettangolo…
• Emanuela: …nel triangolo rettangolo due altezze cadono sui cateti
e una cade dentro il triangolo.
• Luca: Anche nel triangolo ottusanFig. 9
golo due altezze cadono fuori e una
cade dentro. L’altezza che parte
dall’angolo ottuso cade dentroGli
il alunni, guidati dalle schede, visualizzando inizialmente un
posizione nei diversi tipi di triangoli (acutangolo, rettangolo e
triangolo le altre due cadono fuori.
l’altezza del triangolo non è sempre interna ad esso. La discus
anche altre caratteristiche non espressamente richieste nella sched
Caccia al tesoro
Nella fase dell’orientamento libero
gli allievi sono stati impegnati in
compiti più complessi e meno familiari rispetto ai precedenti, che
possono essere affrontati e risolti in
modi differenti. L’alunno deve fare
ricorso alle sue conoscenze e alla
rete di relazioni che si è costruita
per trovare una sua strategia per risolvere il problema. Si riporta di
seguito una delle attività svolte.
Caccia
Fig.
9
Ins.: In quali casi l’altezza è interna al triangolo?
Valentina: Se il triangolo è acutangolo l’altezza è interna al
rettangolo l’altezza è il cateto.
Chiara: Non è vero, dipende da come facciamo l’altezza. Io h
rettangolo l’altezza può essere interna. Se per esempio facci
90° l’altezza cade dentro il triangolo anche se è rettangolo…
Emanuela: …nel triangolo rettangolo due altezze cadono su
Luca: Anche nel triangolo ottusangolo due altezze cadono fu
dall’angolo ottuso cade dentro il triangolo le altre due cado
Fig. 9
al tesoro
Nella fase dell’orientamento libero gli allievi sono stati impegna
rispetto
precedenti,
possono essere
ni, guidati dalle schede, visualizzando familiari
inizialmente
unaaisola
altezza eche
osservando
la sua affrontati e
deverettangolo
fare 67
ricorso
alle sue conoscenze
e alla reteche
di relazioni che
nei diversi tipi di triangoli (acutangolo,
e ottusangolo),
hanno constatato
risolvere ilcollettiva
problema.ha
Si fatto
riporta
di seguito una delle
del triangolo non è sempre interna adstrategia
esso. Laperdiscussione
emergere
Agli alunni
re caratteristiche non espressamente richieste
nella (fig.10)
scheda: è stato posto il seguente problema:
Luca: Anche
nel triangolo
ottusangolo
cadono
fuorieeuna
una
cade
dentro.
L’altezza che parte
Emanuela:
…nel triangolo
rettangolodue
due altezze
altezze cadono
sui cateti
cade
dentro
il triangolo.
dall’angolo
ottuso
dentro ottusangolo
il triangolo
altrecadono
due cadono
fuori.
Luca:
Anchecade
nel triangolo
duelealtezze
fuori e una
cade dentro. L’altezza che parte
dall’angolo ottuso cade dentro il triangolo le altre due cadono fuori.
Giornale
Caccia al
tesoro Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
Caccia al tesoro
Nella fase dell’orientamento
libero gli allievi sono stati impegnati in compiti più complessi e meno
Nella fase dell’orientamento libero gli allievi sono stati impegnati in compiti più complessi e meno
familiari rispetto
ai precedenti, che possono essere affrontati e risolti in modi differenti. L’alunno
familiari rispetto ai precedenti, che possono essere affrontati e risolti in modi differenti. L’alunno
deve fare ricorso
alle sue conoscenze e alla rete di relazioni che si è costruita per trovare una sua
deve fare ricorso alle sue conoscenze e alla rete di relazioni che si è costruita per trovare una sua
strategia perstrategia
risolvere
il problema.
Si riporta
didiseguito
unadelle
delle
attività
svolte.
per risolvere
il problema.
riporta
seguito una
attività
svolte.
Agli alunni (fig.10)
è stato
posto il Siseguente
problema:
Agli alunniAgli
(fig.10)
stato èposto
il seguente
problema:
alunniè(fig.10)
stato posto
il seguente
problema:
Luca, Silvia e Giulio hanno ritrovato in soffitta una
vecchia mappa sulla quale il pirata Barbanera aveva
annotato il luogo in cui era stato sepolto il suo tesoro.
“Il tesoro è stato sepolto sull’isola di Mathland. Nei
pressi della vecchia torre troverai un tronco d’albero.
momento gli alunni procedono per tentativi. Inseriscono un
e lo
trascinano
A 25punto
metri daPesso
spunta
una roccia. Il tesoro è stato
sepolto
una distanza
di 20 metrisidal tronco (punto
posizionarlo in modo da soddisfare le condizioni richieste.
Maad questa
strategia
A) e di 28 metri dalla roccia (punto B).”
primo
do di
tra abbastanzaIndifficoltosa
non permette
di individuare
in per
modo
esatto ilInseriscono
punto doveun
è stato
un primo emomento
gli alunni
procedono
tentativi.
punto P e lo trascinano
lito il tesoro.cercando
L’insegnante
chiede
agli
alunni
di
trovare
un
metodo
più
semplice
per questa strategia si
può essere sepolto
il tesoro?Ma
di posizionarlo in modo da soddisfare leDove
condizioni
richieste.
duare esattamente
il
punto.
Gli
alunni
discutendo
tra
loro
si
rendono
ben
presto
conto
che
i
treil punto dove è stato
Fig. 10
dimostra abbastanza difficoltosa e non permette di individuare
in modo esatto
costituiscono seppellito
i vertici diil un
triangolo
(fig. 11) chiede
con i lati
e procedono
sua più semplice per
Fig. 10di
tesoro.
L’insegnante
agliassegnati
alunni
trovare un alla
metodo
zione tracciando
le
due
circonferenze
per
individuare
il
terzo
vertice.
Si
rendono
anche
conto
Fig. 10 tra loro si rendono ben presto conto che i tre
individuare esattamente il punto. Gli alunni discutendo
soluzione nonpunti
è unica.
costituiscono i vertici di un triangolo (fig. 11) con i lati assegnati e procedono alla sua
costruzione tracciando le due circonferenze per individuareInil un
terzo
vertice.
Si rendono
primo
momento
gli anche
alunni conto
che la soluzione non è unica.
procedono per tentativi. Inseriscono un
punto P e lo trascinano cercando di posizionarlo in modo da soddisfare le condizioni richieste. Ma questa strategia si
dimostra abbastanza difficoltosa e non
permette di individuare in modo esatto
il punto dove è stato seppellito il tesoro.
L’insegnante chiede agli alunni di trovare un metodo più semplice per individuare esattamente il punto. Gli alunni
discutendo tra loro si rendono ben presto conto che i tre punti costituiscono i
vertici di un triangolo (fig. 11) con i lati
Fig. 11
assegnati e procedono alla sua costruFig. 11
zione tracciando le due circonferenze
individuare il terzo vertice. Si rene attività aiutano gli allievi a sviluppare la capacità di “modellizzazione
matematica”.
Fig. 11 per
anchereale
conto
chemodello
la soluzione
non è unica.
no deve tradurre un dono
problema
in un
matematico,
trovare la soluzione e valutare
Queste attività
aiutano
a sviluppare la capacità di “modellizzazione matematica”.
a è compatibileQueste
con il attività
problema
reale gli
(fig.
12).gliaallievi
aiutano
allievi
sviluppare la capacità di “modellizzazione matematica”.
L’alunno deve tradurre un problema reale in un modello matematico, trovare la soluzione
L’alunno deve tradurre un problema reale in un modello matematico, trovare la soluzione e valutare
e valutare se essa è compatibile con il problema reale (fig. 12).
se essa è compatibile con il problema reale (fig. 12).
Fig. 12
alisi dei risultati
Fig. 12
Fig. 12
termine delle attività
é stato
somministrato ai due gruppi un post-test finalizzato a verificare il
4. Analisi
dei risultati
di analisi di figure geometriche raggiunto e la capacità di argomentare circa la risposta
e/o la strategia adottata.
Ledelle
domande
(suddivise
in 23 sub-item)
erano
centrate
sui seguenti
68
Al termine
attività
é stato somministrato
ai due
gruppi
un post-test
finalizzato a verificare il
ti geometrici: livello di analisi di figure geometriche raggiunto e la capacità di argomentare circa la risposta
fornita e/o la strategia adottata. Le domande (suddivise in 23 sub-item) erano centrate sui seguenti
SIRD • Ricerche
Analisi dei risultati
Al termine delle attività è stato somministrato ai due gruppi un post-test finalizzato a verificare il livello di analisi di figure geometriche raggiunto e la capacità di argomentare circa
la risposta fornita e/o la strategia adottata. Le domande (suddivise in 23 sub-item) erano
centrate sui seguenti concetti geometrici:
•
•
•
•
•
•
proprietà dei lati di un triangolo: sub-item 1,3,4,5;
proprietà degli angoli di un triangolo: sub-item 2,3,4,6,7,8,9,10;
altezze di un triangolo: sub-item 11, 16, 18;
mediane: sub-item12, 19,21, 22, 23;
bisettrici: sub-item 13, 17;
assi: sub-item 14,15, 20;
Nella tabella 4 si riportano i risultati dell’analisi descrittiva. L’elaborazione dei dati è stata
Nella tabella
4 si riportano
i risultati
dell’analisi
descrittiva.
L’elaborazione
dei8 dati
è stata
effettuata
considerando
i punteggi
conseguiti
nell’area
delle conoscenze
(ACn,
sub-item)
effettuata
considerando
i
punteggi
conseguiti
nell’area
delle
conoscenze
(ACn,
8
sub-item)
e
e nell’area delle competenze (ACp, 15 sub-item).
nell’area delle competenze (ACp, 15 sub-item).
Nella tabella 4 si riportano i risultati dell’analisi descrittiva. L’elaborazione dei dati è stata
GS
GC
effettuata
considerando
i punteggi
conseguiti
nell’area
delle conoscenze
(ACn,dei
8 dati
sub-item)
Nella tabella
4 si riportano
i risultati
dell’analisi
descrittiva.
L’elaborazione
è statae
Media
Dev
Media
Dev
nell’area
delle
competenze
(ACp,
15
sub-item).
effettuata considerando i punteggi conseguiti nell’area delle conoscenze (ACn, 8 sub-item) e
ACn(ACp,
al post-test
6.55
1.24
6.10
1.39
nell’area delle competenze
15 sub-item).
ACp al post-test
8.85GS 2.02
1.53GC 2.48
Tab. 4Dev
Media
Media
GS
GC Dev
41.24
ACn al post-test
6.55 Tab.Dev
6.10
1.39
Media
Media
Dev
Nell’ACn i due ACp
gruppi
non presentano
sostanziali
differenze.
I 2.48
valori delle medie e delle
al post-test
post-test
8.85
2.02
1.53
ACn
al
1.24
6.10 in linea
1.39con le nostre ipotesi, che
deviazioni standard sono sostanzialmente6.55
omogenei.
È nell’ACp,
Tab.
42.02
Nell’ACn
i dueACp
gruppi
non presentano
sostanziali
valori èdelle
e dellela
al post-test
1.53 tra leI2.48
le differenze
diventano
significative
oltre 8.85
che rilevanti.
Lo differenze.
scarto
medie
pari amedie
7.33 punti,
deviazionidei
standard
sono
omogenei.
È nell’ACp, in linea con le nostre ipoTab.
4
dispersione
punteggi
del sostanzialmente
GC nettamente superiore
al 50%.
Nell’ACn i due gruppi non presentano sostanziali differenze. I valori delle medie e delle
A sostegno
di questi risultati,
quanto
emerso dall’utilizzazione
delLo
testscarto
non parametrico
di èManntesi,
che
le
differenze
diventano
significative
oltre
che
rilevanti.
tra le medie
pari
deviazioni
standard
sono
sostanzialmente
omogenei.
È nell’ACp,
in linea
con delle
le nostre
ipotesi,
che
Nell’ACn
i due
gruppi
nondei
presentano
sostanziali
differenze.
I valori
medie
delle
Whitney
ha confermato
l’efficacia
della sperimentazione
e corroborato
le stesse
ipotesi
die ricerca
a
7.33
punti,
la
dispersione
punteggi
del
GC
nettamente
superiore
al
50%.
le
differenze
diventano
significative
oltre
che
rilevanti.
Lo
scarto
tra
le
medie
è
pari
a
7.33
punti,
la
deviazioni
sono sostanzialmente omogenei. È nell’ACp, in linea con le nostre ipotesi, che
(tabb. 5 e standard
6).
A
sostegno
di
questi
risultati,
quanto
emerso
dall’utilizzazione
del
test
non
parametrico
dispersione
dei
punteggi
del
GC
nettamente
superiore
al
50%.
le differenze diventano significative oltre che rilevanti. Lo scarto tra le medie è pari a 7.33 punti, la
sostegno
questiha
risultati,
quanto l’efficacia
emerso
dall’utilizzazione
del test non
parametrico dileManndiA Mann-Whitney
della sperimentazione
e corroborato
stesse
dispersione
dei di
punteggi
delconfermato
GC nettamente
superiore
Media
dei ranghial 50%.
Somma
dei ranghi
Whitney
ha
confermato
l’efficacia
della
sperimentazione
e
corroborato
le
stesse
ipotesi
di
ricerca
A
sostegno
di
questi
risultati,
quanto
emerso
dall’utilizzazione
del
test
non
parametrico
di
Mannipotesi di ricerca (tabb. 5 eGS
6).
44,13
1765,00
(tabb. 5 eha
6).confermato
ACn
Whitney
l’efficacia della sperimentazione e corroborato le stesse ipotesi di ricerca
GC
36,88
1475,00
(tabb. 5 e 6).
dei ranghi
Somma
dei ranghi
GS Media 58,83
2353,00
ACp
GS
1765,00
GC Media44,13
22,17
887,00
dei ranghi
Somma dei ranghi
ACn
GC
36,88 Tab. 5
1475,00
GS
44,13
1765,00
ACn
GS
58,83
2353,00
GC
36,88
1475,00
ACp
Post-test
GC
22,17
887,00
GS
58,83
2353,00
ACp
ACn
GC
22,17 Tab. 5
887,00ACp
Mann-Whitney U
655,00
67,00
Tab.
Tab.
55
p
Post-test
0.152
p < 0,01
ACn
ACp
Tab. 6 Post-test
Mann-Whitney U
655,00
67,00
ACn
ACp
Se nell’ACn i risultatip sono mediamente0.152
comparabili, nell’ACp
differenze sono evidenti e
p67,00
< le
0,01
Mann-Whitney U
655,00
facilmente confrontabili. In sostanza, non si hanno differenze significative fra i due gruppi quando
Tab. 6
p
0.152
0,01
si tratta di affrontare problemi
e situazioni
di routine come, p
ad< esempio,
quando la figura è
Tab. 6 che la somma degli angoli interni di un triangolo
rappresentata nella posizione standard, riconoscere
Se nell’ACn i risultati sono mediamente comparabili, nell’ACp le differenze sono evidenti e
è un angolo piatto (item 2), calcolare un angolo
noti gli altri due (item 3), oppure
Tab.del
6 triangolo
facilmente
confrontabili.
sostanza,
non si hanno
differenze
significative
fra i due
gruppi
quando
Se nell’ACn
i risultatidiIn
sono
mediamente
comparabili,
nell’ACp
le 11-14).
differenze
sono
evidenti
e
individuare
gli elementi
un triangolo
(altezze,
mediane, ecc.)
(items
si tratta diconfrontabili.
affrontare problemi
e situazioni
di routine
come,
ad
esempio,
quando
la
figura
è
facilmente
In
sostanza,
non
si
hanno
differenze
significative
fra i due
Le differenze diventano rilevanti, spesso con scarti superiori
al 50%, quando
gligruppi
allieviquando
devono
rappresentata
nella posizione
standard,
riconoscere
che la somma
degli
angoli interni
di un
triangolo
si
tratta
di
affrontare
problemi
e
situazioni
di
routine
come,
ad
esempio,
quando
la
figura
è
affrontare situazioni che per essere risolte richiedono di saper analizzare gli elementi di una figura e
è un angolo piatto
(item 2), standard,
calcolarericonoscere
un angolo che
del la
triangolo
noti gli
altriinterni
due (item
oppure
rappresentata
posizione
somma
angoli
di un3),
triangolo
riconoscere nella
le proprietà,
oppure quando
è necessario
metteredegli
in atto
nuove strategie
risolutive
individuare
gli
elementi
di
un
triangolo
(altezze,
mediane,
ecc.)
(items
11-14).
è utilizzando
un angolo le
piatto
(item 2),
calcolareAlcuni
un angolo
del triangolo noti gli altri due (item 3), oppure
conoscenze
possedute.
esempi.
Le differenze
diventano
rilevanti,
conmediane,
scarti superiori
al 50%,
quando gli allievi devono
individuare
gli 4elementi
di un
triangolospesso
(altezze,
(items
11-14).
Nell’item
(fig. 13),
si chiedeva
di
spiegare
perché ecc.)
il triangolo
rappresentato era impossibile.
affrontare
situazioni
che perrilevanti,
essere risolte
richiedono
disuperiori
saper analizzare
gli
elementi
di una devono
figura e
Le
differenze
diventano
spesso
con
scarti
al
50%,
quando
gliGC.
allievi
Hanno risposto correttamente il 77,3% degli allievi del GS e lo 0% degli allievi del
riconoscere
le
proprietà,
oppure
quando
è
necessario
mettere
in
atto
nuove
strategie
risolutive
affrontare situazioni che per essere risolte richiedono di saper analizzare gli elementi di una figura e
utilizzando le
possedute.
Alcuni
riconoscere
le conoscenze
proprietà, oppure
quando
è esempi.
necessario mettere in atto nuove strategie risolutive
Nell’item
4
(fig.
13),
si
chiedeva
di
spiegare
perché il triangolo rappresentato era impossibile.
utilizzando le conoscenze possedute. Alcuni esempi.
69
Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
Se nell’ACn i risultati sono mediamente comparabili, nell’ACp le differenze sono evidenti
e facilmente confrontabili. In sostanza, non si hanno differenze significative fra i due gruppi
quando si tratta di affrontare problemi e situazioni di routine come, ad esempio, quando la
figura è rappresentata nella posizione standard, riconoscere che la somma degli angoli interni
di un triangolo è un angolo piatto (item 2), calcolare un angolo del triangolo noti gli altri
due (item 3), oppure individuare gli elementi di un triangolo (altezze, mediane, ecc.) (items
11-14).
Le differenze diventano rilevanti, spesso con scarti superiori al 50%, quando gli allievi
devono affrontare situazioni che per essere risolte richiedono di saper analizzare gli elementi
di una figura e riconoscere le proprietà, oppure quando è necessario mettere in atto nuove
strategie risolutive utilizzando le conoscenze possedute. Alcuni esempi.
Nell’item 4 (fig. 13), si chiedeva di spiegare perché il triangolo rappresentato era impossibile. Hanno risposto correttamente il 77,3% degli allievi del GS e lo 0% degli allievi del
GC.
Fig. 13
Con il quesito 5 si poneva la seguente situazione problematica:
L’insegnante di matematica di Luca e di Silvia ha assegnato per casa il seguente esercizio:
Calcola il perimetro di un triangolo isoscele avente i lati di cm 10 e cm 4.
Luca ha calcolato il perimetro nel seguente modo:
Invece Silvia ha calcolato il perimetro in questo modo:
Secondo te chi ha risposto correttamente ?
Luca
Silvia
Entrambi
Spiega perché:…………………………………………………………
…………………………………………………………………………
70
P = 4 + 4 + 10 = 18 cm
P = 10 + 10 + 4 = 24 cm
SIRD • Ricerche
Anche in questo caso, la differenza nelle percentuali di risposte corrette tra i due gruppi è
stata rilevante: il 59% degli alunni del GS ha risposto in maniera corretta e nessun alunno
del GC. Nella figura 14 è riportata la risposta data da un alunno del gruppo sperimentale.
Fig. 14
Negli ultimi due quesiti gli alunni dovevano ricostruire un triangolo a partire da alcuni
suoi elementi. Con l’item 23 si chiedeva di ricercare il terzo vertice di un triangolo noti gli
altri due vertici e il baricentro. Nessun alunno del CG ha risposto correttamente, mentre il
27,3% dello SG è stato in grado di ricostruire il triangolo spiegando il procedimento seguito
(fig. 15).
Fig. 15
Fig. 15
I risultati conseguiti, per concludere, mostrano chiaramente i sensibili progressi ottenuti dagli
I risultati
conseguiti,
concludere,
chiaramente
i sensibili
progressi ottenuti
alunni
del GS,
in lineaper
con
le ipotesimostrano
formulate.
In tal senso
e coerentemente
con l’ipotesi di
dagli
alunni
del
GS,
in
linea
con
le
ipotesi
formulate.
In
tal
senso
e
coerentemente
con nell’ACp.
l’ipopartenza, l’esame delle prestazioni del GC mostra un incremento non significativo
Non si
tesi
di
partenza,
l’esame
delle
prestazioni
del
GC
mostra
un
incremento
non
significativo
hanno differenze sostanziali fra i due gruppi se si propongono problemi e situazioni di routine (ad
esempio riconoscere che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, calcolare
un angolo del triangolo noti gli altri due o individuare gli elementi di un triangolo ). Le differenze
diventano rilevanti quando gli allievi devono affrontare situazioni che per essere risolte richiedono
di saper analizzare gli elementi di una 71
figura e riconoscerne le proprietà, oppure quando è
necessario mettere in atto nuove strategie risolutive utilizzando le conoscenze possedute.
Giornale Italiano della Ricerca Educativa • III • 1 / GIUGNO • 2010
nell’ACp. Non si hanno differenze sostanziali fra i due gruppi se si propongono problemi e
situazioni di routine (ad esempio riconoscere che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, calcolare un angolo del triangolo noti gli altri due o individuare gli
elementi di un triangolo ). Le differenze diventano rilevanti quando gli allievi devono affrontare situazioni che per essere risolte richiedono di saper analizzare gli elementi di una
figura e riconoscerne le proprietà, oppure quando è necessario mettere in atto nuove strategie risolutive utilizzando le conoscenze possedute.
Conclusioni
La strada della ricerca e dell’innovazione, delle prove e degli errori, costituisce lo sfondo e
l’orizzonte di senso di una scuola intesa come organizzazione che matura, si sviluppa, apprende ed aiuta ad apprendere. Bisogna essere in grado, soprattutto, di coniugare il sapere, il
saper fare e il saper essere: sapere cosa, sapere come e sapere chi. Bisogna “imparare a conoscere” e “imparare a fare”, passando dal concetto di abilità a quello di competenza, ma soprattutto imparare ad essere scoprendo l’altro e cooperando per raggiungere obiettivi
comuni. L’innovazione, se correttamente pianificata, “entra in ogni livello del quadro educativo, una grande gerarchia che si estende dalle scuola primarie alla ricerca, e nella quale la
relazione tra insegnamento ed apprendimento funziona come la colla che lega tra loro i vari
livelli di scuola” (Freudenthal, 1994).
In quest’ottica ci siamo orientati per attuare il percorso di sperimentazione che è stato
fin qui descritto. Pur nei limiti oggettivi legati al numero di studenti coinvolti, ci sembra
comunque di poter affermare che i risultati a cui siamo pervenuti possono fornire utili elementi di riflessione.
Appare evidente, analizzando le risposte fornite dagli studenti del gruppo di controllo,
come la maggior parte degli errori sia dovuta alla mancata sistemazione di alcuni nodi concettuali come, ad esempio, la perpendicolarità, l’angolo, le relazioni fra lati e angoli di un
triangolo. Di certo possiamo affermare che, almeno in questo caso, sono mancate esperienze
significative basate sull’esplorazione e sull’analisi delle figure geometriche.
Le attività didattiche di geometria tradizionali, basate soprattutto sulla lezione frontale,
sulla costruzione geometrica con carta e matita e sul calcolo di lunghezze, angoli o perimetri
in contesti poco significativi sembrano non favorire l’acquisizione dei concetti fondamentali.
Anzi, abbiamo osservato come molti misconcetti presenti all’inizio del corso permangono
in percentuale non insignificante anche alla fine.
Al contrario, la metodologia adottata e il percorso seguito dal gruppo sperimentale ha
condotto gli allievi a ricostruire e riorganizzare le conoscenze geometriche fondamentali,
rimuovendo gli ostacoli e i misconcetti emersi nella fase iniziale. L’esplorazione dinamica
delle figure geometriche guidata dalle schede ha fatto maturare negli alunni una maggiore
capacità di osservazione abituandoli a focalizzare l’attenzione sulle proprietà, contribuendo
in tal modo a dare il giusto significato ai concetti geometrici.
L’utilizzo di schede guidate spinge gli alunni ad analizzare le caratteristiche visive del
triangolo e a stabilire relazioni fra i vari componenti delle sue parti. Queste attività sono essenziali per progredire verso il Livello 1, il livello di analisi nella gerarchia di van Hiele, e
contribuisce alla costruzione di una rete concettuale sui triangoli e allo sviluppo del pensiero
geometrico.
Va rimarcato, tuttavia, che i risultati positivi conseguiti non vanno attribuiti al semplice
utilizzo dell’applicativo Triangoli ma piuttosto all’impianto metodologico utilizzato. L’interazione con figure dinamiche, infatti, avvia certamente gli allievi all’esplorazione e alla sco-
72
SIRD • Ricerche
perta delle proprietà geometriche, ma il software da solo non garantisce il passaggio a livelli
più alti di pensiero geometrico.
Un ruolo decisivo hanno giocato la scansione delle attività sulla base delle fasi di apprendimento di van Hiele, il cooperative learning, le frequenti discussioni sulla condivisione
delle esperienze, così come la presentazione agli alunni di problemi geometrici situati in
concreti contesti di vita quotidiana.
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