La precisione in matematica
Di Cristiano Armellini, [email protected]
Consideriamo il tema del calcolo dei decimali di un qualunque numero reale con una precisione infinita.
Consideriamo lo sviluppo binomiale di
1 1 Ove i termini dello sviluppo sono i coefficienti binomiali C.
Consideriamo quindi a = ½, a = 1/3 ecc.
Nel caso a = ½, per -1 < x <= 1 ho la seguente formula
1
1 13 135 √1 1 2
24
246
2 4!
Per x = 1 ho immediatamente la √2
√
Se x =1/2 ho posso calcolare √1 1 ma sconoscendo già il valore esatto del denominatore
√
mi ricavo facilmente il valore del numeratore.
Continuando così per x = 1/3 mi calcolo la radice quadrata di 4 (che già so essere un quadrato perfetto),
quindi per x = ¼ mi calcolo la radice quadrata di 5, conoscendo la radice di 4, e per x = 1/5 la radice di 6
conoscendo già al passo precedente la radice quadrata di 5, ecc.
Il metodo iterattivo è immediato quando 1 1/ 1/ e n o n+1 sono quadrati perfetti perché
in questo caso applicando la formulo dello sviluppo binomiale e conoscendo il valore del quadrato perfetto,
il calcolo dell’altra radice quadrata risulta immediato.
Stesso ragionamento per le radici cubiche ricordando che per a = 1/3 (per -1 < x <= 1)
1
2 25 √1 1 3
36
369
Il sistema descritto consente di ottenere valori con una precisione arbitraria ma a volte risulta poco pratico.
Consideriamo allora un’altra semplice tecnica. Partiamo dall’equazione 0 che ha come
soluzioni ,
!"√!#
. Allora se il mio obiettivo è calcolare (ad esempio) la radice quadrata di 5 basterà
porre 1-4c=5, quindi c = -1, quindi 1 0, !"√$
.
Per ottenere la soluzione in modo preciso
possiamo risolvere l’equazione usando i metodi del calcolo numerico (tangenti, Newton, punto unito,
bisezione) . Una volta trovato x basterà calcolare 2x+/-1 per ottenere il risultato finale.
E se devo calcolare la radice ennesima di x ? n > 2 . Si possono studiare regole ad hoc come abbiamo fatto
sopra per ogni n > 2 ma in generale si considera l’equazione % 0 che risolta con le tecniche di analisi
numerica dà la radice ennesima di a.
Un altro possibile approccio (sempre grazie a Taylor-Mc-Laurin) consiste nel considerare lo sviluppo di
& ' &(% 1 ) )
)
2!
3!
Che vale per ogni x ma nella quale compare ln(a) ovvero il logaritmo naturale di a che però possiamo
calcolare con una precisione infinita usando una delle formule riportate qui sotto.
Usando lo sviluppo in serie di Taylor già sappiamo che possiamo calcolare con estrema accuratezza i valori
di sen(x), cos(x), tan(x), ln(x), alla base di molti calcoli e applicazioni matematiche (per l’accuratezza basterà
considerare molti termini della serie)
Ad esempio
$ +
. .
3! 5! 7!
2
cos 1 . .
2! 4! 6!
' & 1 . .
2! 3!
1
1 1 1 1 $
ln 2 56
7 6
7 6
7 8, 9 0
1
2 1
5 1
*' 1
1 1 1 1 ln 56
7 6
7 6
7 8 , 9 1/2
2
3
Di queste espressioni sappiamo anche stimare l’errore che si commette considerando i primi k termini della
serie
La precisione è molto importante anche per il calcolo dei numeri trascendenti, il più famoso dei quali è
certamente il PI greco. Usando la formula di Wallis ho
2% 4!
:
lim
2 %=>? @2!A
2 1
Con questa formula molto compatta proviamo a scrivere una applicativo in Python per calcolare le cifre
decimali di pigreco con una precisione praticamente infinita
import math;
def wallis(n):
m = 10**n;
pi = ((2**(4*m))*(math.factorial(m))**4)/((2*m+1)*(math.factorial(2*m)**2));
k = 2*pi;
return k*10^n;
Ma in questo caso per ottenere una estrema precisione occorre disporre di un calcolatore particolarmente
potente
