Diss. ETH No. 20892
Stable Numerical Schemes
for Magnetic Induction Equation
with Hall Effect
A dissertation submitted to
ETH Zurich
for the degree of
Doctor of Sciences
presented by
PAOLO CORTI
Dipl. Phys. ETH
born September 2, 1976
place of origin Aranno, Ticino
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Siddhartha Mishra, ETH Zurich, examiner
Prof. Dr. Ralf Hiptmair, ETH Zurich, co-examiner
Prof. Dr. Nils Henrik Risebro, University of Oslo, co-examiner
2013
Abstract
Magnetic reconnection (a change in magnetic field topology) is an important phenomenon in plasma physics. Standard ideal magnetohydrodynamic models are inadequate for describing reconnection and extended magnetohydrodynamic models are necessary. A popular model that accounts for fast reconnection are the Hall magnetohydrodynamic equations. In this model, the Ohm’s law for the electric field is augmented
with magnetic resistivity as well as small scale effects such as electron inertia and Hall
effect. In absence of explicit solution formulas, numerical simulations are essential in
the study of the Hall magnetohydrodynamic equations.
Given the fact that the additional terms in the Hall magnetohydrodynamic equations
vis-à-vis the ideal magnetohydrodynamic equations are only present in the evolution
equation for the magnetic field, a necessary first step in the design of efficient numerical
methods for the Hall magnetohydrodynamic equations is to construct stable numerical
discretisation for the magnetic induction equation with Hall effect. The aim of this thesis
is to develop such schemes.
In this thesis, we consider the magnetic induction equation with Hall effect in several
space dimensions with given velocity fields and density distributions. We prove apriori
energy estimates for the magnetic induction equation with Hall effect and show that the
magnetic field is in the Sobolev space H 1 .
Two classes of energy stable discretisation frameworks are proposed. First we design
high-order semi discrete finite difference discretisation using summation by parts discrete
derivative operators. Standard Runge Kutta methods are used for the time discretisation. Finite difference methods are suitable for Cartesian meshes. In order to deal with
complex domain geometries, we propose energy stable discontinuous Galerkin methods
to approximate the magnetic induction equation with Hall effect. These methods are
based on a mixed (first order) variational formulation of the underlying system. Highorder temporal extrapolation methods are proposed for an implicit-explicit IMEX time
discretisation.
Due to the electron inertia term, “large” linear algebraic systems have to be solved
at every time step. Efficient preconditioners need to be designed in order to invert
ill-conditioned matrices, arising at each time step.
The discontinuous Galerkin methods are particularly suitable for preconditioning using
auxiliary space techniques. We describe this procedure and illustrate the resulting gain
in efficiency, at least in one space dimension. The finite difference and discontinuous
iii
Galerkin methods are compared on a set of numerical experiments that demonstrate
robustness.
iv
Riassunto
La riconnessione magnetica, un cambio di topologia dei campi magnetici, rappresenta un
fenomeno di interesse nella fisica dei plasmi. Modelli più raffinati si rendono necessari
per descrivere fenomeni di riconnessione magnetica dal momento che il modello più
comune, la magnetoidrodinamica ideale, risulta inadeguato. Tra questi quello che tiene in
considerazione la riconnessione magnetica rapida è la magnetoidrodinamica con l’effetto
Hall. In questa modellizzazione si generalizza la legge di Ohm considerando la resistività
ed altri fenomeni che accadono su distanze brevi come quelli derivati dall’inerzia degli
elettroni e l’effetto Hall. Formule di risoluzione di questi modelli generalizzati non sono
conosciute, quindi ne deriva un ruolo centrale delle simulazioni numeriche nello studio
delle equazioni della magnetoidrodinamica che includono l’effetto Hall.
La magnetoidrodinamica ideale e quella che include l’effetto Hall, si differenziano nel
modo in cui descrivono l’evoluzione del campo magnetico. Ne deriva che un primo
passo necessario nello sviluppo di metodi efficienti per la soluzione delle equazioni della
magnetoidrodinamica con l’effetto Hall è quello di costruire dei metodi stabili per la
soluzione dell’induzione magnetica. Lo scopo di questo lavoro è di sviluppare suddetti
schemi numerici.
In questa tesi consideriamo l’induzione magnetica con l’effetto Hall assumendo che
i campi di velocità e la distribuzione di densità siano dati. In questo caso possiamo dimostrare l’esistenza di stime sull’energia delle soluzioni dell’equazione che regola
l’induzione magnetica con l’effetto Hall e di conseguenza anche di dimostrare che il
campo magnetico è nello spazio di Sobolev H 1 .
In questo lavoro proponiamo due classi di metodi per risolvere l’induzione magnetica con
l’effetto Hall. La prima consiste in schemi semi-impliciti alle differenze finite di ordine
elevato nello spazio. Per l’evoluzione nel tempo usiamo metodi standard di Runge Kutta.
I metodi basati alle differenze finite sono adatti alla discretizzazione su griglie cartesiane.
Nel caso di domini più complessi, abbiamo sviluppato dei metodi discontinui di Galerkin
che risultano stabili possedendo delle stime sull’energia a livello discreto. Questi metodi
sono basati su una formulazione variazionale (di primo ordine) del sistema di equazioni
preso in considerazione. Metodi di estrapolazione di ordine elevato vengono usati per
una discretizzazione temporale di tipo esplicito-implicito (IMEX).
La presenza di fenomeni di inerzia degli elettroni dà origine a sistemi lineari di grandi
dimensioni che devono essere risolti ad ogni passo dell’evoluzione temporale. La necessità
di invertire, ad ogni passo di tempo, le matrici mal condizionate risultanti da questi
sistemi richiede lo sviluppo di efficaci precondizionatori.
v
I metodi discontinui di Galerkin sono idonei a esser precondizionati usando tecniche
basate su spazi ausiliari. Descriveremo tali tecniche e ne illustreremo l’efficacia, almeno
in una dimensione spaziale. I metodi basati sulle differenze finite e quelli basati su
metodi discontinui di Galerkin sono confrontati su un serie di esperimenti numerici che
ne dimostrano la robustezza.
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