Serie 31: Soluzioni Esercizio 3 Effetto Hall

FAM
Serie 31: Soluzioni
C. Ferrari
Esercizio 1 Potenza della forza magnetica e forza magnetica
~ · ~v = 0. Le forze per le quali la potenza è nulla sono
1. P = F~m · v = (q~v ∧ B)
dette forze passive.
2. Fm = |q|vB sin α = 0.
3. Fm = |q|vB sin α = 6 · 10−13 N e quindi F~m = −6 · 10−13 N ~ez .
Esercizio 2 Forza di Lorentz
La velocità dell’elettrone si deduce dal teorema dell’energia meccanica che in questo
caso dà −∆E pot = ∆E cin = 1 mv 2 (possiamo utilizzare la formula non relativistica
2
poiché E cin ≪ Mc2 che per l’elettrone è 0,51 MeV), otteniamo v = 1,87 · 107 m/s. Il
campo elettrico tra le placche vale E = ϕ/d = 5 kV/m. Per far si che si ha un MRU
è necessario che F~m + F~el = ~0 ossia
evB = eE =⇒ B = E
v .
Otteniamo quindi B = 2,67 · 10−4 T.
Esercizio 3 Effetto Hall
1. Gli elettroni sono deviati lungo l’asse x nel verso negativo, cosı̀ da creare un
eccesso di cariche elettriche negative sul lato sinistro ed un eccesso di cariche
positive sul lato destro, cosı̀ da ottenere un campo elettrico lungo l’asse x
diretto nel verso degli x negativi.
2. La situazione di equilibrio si crea quando l’effetto della forza magnetica è
compensato dal nuovo campo elettrico creatosi lungo l’asse x, si ha evd B = eE
3. Abbiamo
E = ϕH /d,
j = ρvd = nevd
da cui con la condizione vd B = E si ottiene il risultato cercato.
4. vd = 6,7 · 10−4 m/s e n = 2,8 · 1029 el/m3 .
1
Osservazione: L’apparizione di una differenza di potenziale perpendicolare alla corrente elettrica in presenza di un campo magnetico è stata scoperta nel 1879 da Edwin
Hall e porta quindi il nome di effetto Hall .
Da notare che la situazione studiata, a basse temperature (∼ 4 K) presenta delle
caratteristiche completamente diverse da quello che ci si aspetta dalla fisica classica,
si parla di effetto Hall quantistico.
Esercizio 4 Forza magnetica su un filo
1. Poiché q = ρ(Sℓ), possiamo scrivere la forza magnetica nel modo seguente
~ = ρ~v Sℓ ∧ B
~ = ~jSℓ ∧ B
~
F~m = (ρSℓ)~v ∧ B
~ = L~j/k~jk otteniamo l’espressione della forza magneintroducendo il vettore L
tica subita da un filo percorso da una corrente I di lunghezza ℓ:
~ .
F~m = I ~ℓ ∧ B
2. B = 0,33 · 10−7 N/(mA) = 0,33 · 10−7 T.
3. kF~m k = 0,29 N.
4. kF~m k = 0,98 N.
Esercizio 5 Legge di Biot–Savard
1.+2. Disegni.
~
B
~
B
1. Intensità: sia r il raggio della spira allora dℓ = r dθ e quindi
Z 2π
µ0 I dℓ
µ0 I
µ
dB =
r dθ = 0 Ir
2 =⇒ B =
2
4π r
4π r
0
2
2. Intensità: osserviamo che per simmetria il campo magnetico è invariato in una
traslazione parallelamente al filo, quindi introducendo un sistema di coordinate
xy in modo usuale possiamo scrivere
B(x, y) = B(x, 0)
2
∀y ∈ R
ma
I dy|x|
µ
dB(x, 0) = 4π0 2
(x + y 2 )3/2
e ponendo |x| = r
µ0 I
B(r) = 4π
Z
∞
−∞
(r 2
µ0 I
µ0 I 2
r
dy = 4π
.
=⇒ B(r) =
r
2
3/2
2π r
+y )
3. Nelle situazioni: (a) sul piano a uguale distanza dai due fili; (c) sul piano a
+45◦ ; (e) sull’asse delle due spire.
Esercizio 6 Forza magnetica tra fili paralleli
1. Abbiamo visto che l’intensità della forza magnetica su un filo vale Fm = IℓB sin θ,
qui θ = π/2 e quindi utilizzando per esempio B2 (r) =
Fm2→1 = I1 ℓB2 (d) =
µ 0 I2
otteniamo
2π d
µ0 ℓI1 I2
2π d
2. I1 = I2 = I = 1 A.
3. Attrazione: stesso senso della corrente, Repulsione: senso della corrente opposto.
I1
I1
I2
F~m2→1
F~m1→2
F~m2→1
Esercizio 7 “Motore magnetico”
La forza è costante e vale:
F~m = −IdB~ex
da cui ~a = −IdB/m~ex e quindi
~v (t) = − IdB
m t~ex .
3
I2
F~m1→2