ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” I NUMERI REALI E I RADICALI – I PARTE CLASSI III A E III B Prof. Erasmo Modica [email protected] www.galois.it INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI – NOTA STORICA La teoria delle monadi è stata elaborata dai Pitagorici nel V secolo a.C. Secondo tale teoria un punto è un corpuscolo indivisibile che prende il nome di monade. Questa definizione lascia intuire che un segmento è dato da un insieme finito di tantissime monadi e, di conseguenza, tutti i segmenti sono commensurabili, cioè il loro rapporto è sempre esprimibile mediante un numero razionale. Infatti, dati i due segmenti a e b, il segmento a è costituito da m monadi e il segmento b è costituito da n monadi, cioè: a = m monadi e b = n monadi con m ed n numeri naturali diversi da zero. Di conseguenza il rapporto: I Pitagorici dovettero quindi confrontarsi con due realtà: secondo la teoria delle monadi il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un numero razionale; per il teorema di Pitagora il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un numero irrazionale. Essendo vero il teorema di Pitagora, i Pitagorici conclusero che la teoria delle monadi era falsa, ma nascosero questa scoperta per mantenere alto il prestigio della scuola. Questo perché sulla teoria delle monadi erano stati costruiti tutti i ragionamenti matematici. Negata la teoria delle monadi, i Pitagorici dedussero che non esistono le monadi, che un segmento non è costituito da un numero finito di punti e che esistono coppie di segmenti incommensurabili. Nel dialogo Menone del filosofo Platone, l’autore riporta, già nel IV secolo a.C. il seguente problema: «Determinare la misura in metri della diagonale di un quadrato il cui lato misura 1 metro». Per il teorema di Pitagora1 si ha: √ √ Bisogna quindi dimostrare la seguente proposizione: «Il numero √ non è razionale». Per dimostrare ciò procediamo per assurdo supponendo che esso sia razionale. Quindi possiamo scrivere: √ con e . Si ricordi che il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. 1 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” Si possono presentare due possibilità: 1. la frazione può essere semplificata, quindi va ridotta ai minimi termini e poi si ragiona come nel punto seguente; 2. la frazione è già ridotta ai minimi termini (ovvero m e n non hanno fattori comuni) e quindi si elevano al quadrato ambo i membri della precedente uguaglianza, ottenendo: Poiché e non hanno fattori comuni, nemmeno e avranno fattori comuni, in quanto sono formati dagli stessi fattori di e con esponenti raddoppiati. Quindi la frazione non può essere semplificata, ovvero non può mai essere uguale a 2. La contraddizione nasce dall’aver supposto che √ quindi concludere che √ . è un numero razionale. Dobbiamo NUMERI IRRAZIONALI E NUMERI REALI Definizione: Dicesi numero irrazionale un numero che non può essere rappresentato con una frazione. Sono esempi di numeri irrazionali: √ , √ , . Osservazione. Ogni numero irrazionale può essere rappresentato da un numero decimale illimitato e non periodico. Infatti si ha: √ Definizione: Dicesi numero reale ogni numero razionale o irrazionale. Osservazione. L’insieme dei numeri reali può essere considerato come l’unione dell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali, cioè: PROPRIETÀ DELL’INSIEME DEI NUMERI REALI L’insieme dei numeri reali è un insieme infinito e ordinato, ma gode di una proprietà di cui non gode l’insieme dei numeri razionali. Infatti, dato un numero razionale, è possibile associare ad esso un punto su una retta; viceversa non a tutti i punti della retta si può associare un numero razionale. Infatti, se si considera la figura seguente: E. Modica, 2011/2012 www.galois.it 2 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” è possibile notare che esiste il punto P che ha una distanza da O pari a √ al quale non corrisponde nessun numero razionale. Per tale ragione si dice che l’insieme dei numeri reali completa la retta e quindi vale la seguente proprietà: esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e i punti di una retta. Grazie a tale proprietà l’insieme si dice completo. CALCOLO APPROSSIMATO L’insieme dei numeri reali è costituito da tutti e soli i numeri che possono essere rappresentati in forma decimale. Si ha: { Quando siamo in presenza di un numero decimale, è possibile stabilire quale cifra bisogna considerare. Per esempio, partendo dal numero: se ci si ferma alla prima cifra decimale, allora ; se ci si ferma alla seconda cifra decimale, allora ; se ci si ferma alla terza cifra decimale, allora . Tutti i numeri inferiori a vengono detti valori approssimati per difetto di , tutti i numeri maggiori di vengono detti valori approssimati per eccesso di . Poiché: si dice che il numero 25,7 è il valore approssimato per difetto a meno di mentre 25,8 il valore approssimato per eccesso a meno di Dato il numero 31,25488 del numero ; del numero . i valori approssimati per difetto a meno di sono 3,2 3,25 3,254 3,2548 3,3 3,26 3,255 3,2549 mentre i valori approssimati per eccesso a meno di sono La differenza fra il valore approssimato dato e la sua approssimazione prende il nome di errore assoluto di approssimazione. Esistono due metodi di approssimazione di un numero e sono descritti di seguito. E. Modica, 2011/2012 www.galois.it 3 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” APPROSSIMAZIONE PER ARROTONDAMENTO Se si considera il numero 4,37457291, arrotondato alla: terza cifra decimale diventa 4,375; quinta cifra decimale diventa 4,37457. Regola. Per arrotondare un numero decimale all’n-esima cifra decimale, basta considerare il valore della cifra successiva e: se tale cifra è minore o uguale a 4, allora la si trascura insieme a tutte quelle che la seguono; se tale cifra è maggiore o uguale a 5, allora si aumenta di uno la cifra stabilita e si trascurano tutte le cifre successive. APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO Per approssimare un numero decimale per troncamento, basta trascurare tutte le cifre successive a quella stabilita. Per esempio il numero 4,37457291, troncato alla: seconda cifra decimale diventa 4,37; terza cifra decimale diventa 4,374. LE RADICI QUADRATE Definizione: Si dicono radici quadrate elevati al quadrato, danno come risultato . 2 di un numero reale tutti quei numeri che, Osservazione: Lo 0 ha come unica radice quadrata se stesso! Infatti √ . “Perché i numeri reali negativi non ammettono alcuna radice quadrata?” La risposta alla domanda è semplice, basti pensare al fatto che qualsiasi numero reale elevato al quadrato dà come risultato un numero positivo! 3, ma Notazione: Il simbolo utilizzato per indicare la radice quadrata di un numero è in realtà esso indica solamente il valore assoluto delle radici quadrate del numero, cioè: √ | | { Per tale ragione il simbolo suddetto prende il nome di radice quadrata assoluta. Inoltre, il simbolo viene detto segno di radice quadrata e il numero a viene detto radicando. Bisogna quindi stare attenti e ricordare che nell’insieme dei numeri reali: 2 3 ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ ; lo zero ammette come unica radice quadrata se stesso; i numeri negativi non ammettono alcuna radice quadrata. Il termine radice quadrata deriva dal fatto che √ esprime il lato di un quadrato di area a. Simbolo introdotto dal matematica tedesco Christoph Rudolff (1500 – 1545) come abbreviazione della parola radix. E. Modica, 2011/2012 www.galois.it 4 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” Dalle precedenti considerazioni appare evidente che di fronte alla scrittura √ , si debba avere: , perché i numeri reali negativi non ammettono radice quadrata; √ , perché il simbolo √ rappresenta la radice quadrata assoluta. Quando ci si trova di fronte alla radice quadrata di un numero reale a si possono verificare i due casi seguenti: il numero a è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un numero intero: ad esempio √ ; il numero a non è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un numero irrazionale: ad esempio √ Concludiamo questo paragrafo osservando che, se si considerano i soli numeri reali non negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato: (√ ) In base a quanto abbiamo osservato, se il radicando di una radice quadrata è un’espressione letterale, bisogna determinare le cosiddette condizioni di esistenza (C.E.) in , cioè quei valori delle variabili del radicando per cui il radicale sia definito. Esistenza del radicale √ ( ) Il radicale √ ( ), con ( ) polinomio, è definito in corrispondenza di tutti i valori dell’indeterminata x per cui risulta: ( ) e assume, per tali valori di x, valore positivo o nullo. Esempio 1. Determinare le condizioni di esistenza del radicale √ . Tale radicale è definito purché sia: ovvero per i valori di ). . Quindi Esempio 2. Determinare le condizioni di esistenza dell’espressione √ √ . Tale espressione è definito purché i radicandi di entrambe le radici siano contemporaneamente maggiori o uguali a zero, cioè: { Risolvendo il sistema si ottiene che E. Modica, 2011/2012 www.galois.it ]. 5 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” LE RADICI CUBICHE Definizione: Si dice radice cubica4 di un numero reale a quel numero che, elevato al cubo, dà come risultato a. Si osserva facilmente che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del numero in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stesso segno della base. Esempi: o o o √ √ √ Quando ci si trova di fronte alla radice cubica di un numero reale a si possono verificare i due casi seguenti: il numero a è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero intero; il numero a non è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero irrazionale. In base a quanto abbiamo osservato, poiché la radice cubica di un numero esiste sempre e ha lo stesso segno del numero, non serve imporre le condizioni di esistenza che sono state imposte nel caso della radice quadrata. Esistenza del radicale √ ( ) Il radicale √ ( ), con ( ) polinomio, è definito in corrispondenza di ogni valore dell’indeterminata x e risulta: positivo se ( ) ; nullo se ( ) ; negativo se ( ) . LE RADICI N-ME Definizione: Si dicono radici n-esime di un numero reale a quei numeri che, elevati ad n, danno come risultato a: (√ ) ⏟ ⏟ 4 √ ⏟ Il termine radice cubica deriva dal fatto che √ esprime il lato di un cubo di volume v. E. Modica, 2011/2012 www.galois.it 6 ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ” Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione al fatto che l’indice sia pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi: se l’indice n è dispari la √ è definita per qualsiasi valore di , inoltre è negativa se , positiva se e nulla se ; se l’indice n è pari la √ è definita solo per i valori di e si ha che √ . Definizione: Siano , con e , si chiama radice aritmetica n-esima di e si indica con √ l’unico numero reale e positivo tale che . Se si pone, di conseguenza, (ovvero 0 ha come unica radice n-esima se stesso). Si ritiene utile ribadire i concetti precedentemente discussi mediante le seguenti: Osservazioni: 1. Se si parla di radice quadrata e la scrittura √ indica tutti quei numeri reali che, elevati al quadrato, danno come risultato a. Ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ , infatti: ( √ ) ( √ ) e( √ ) ( √ ) ; 2. √ 3. √ non esiste perché non esistono le radici n-esime di numeri negativi quando n è pari. 4. √ perché la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del numero, in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stesso segno della base, ma si può generalizzare e dire che esistono le radici nesime di numeri negativi quando n è dispari. Osservazione: Attenzione! Se si calcola la radice aritmetica di poiché la scrittura ha significato ma non sappiamo a priori se a è positivo o negativo, quindi è un errore scrivere: √ È invece corretto scrivere: √ | | Se si considerano i soli numeri reali non negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato: (√ ) In questo caso non si ricorre al valore assoluto perché la scrittura ha significato se quindi il quadrato della radice aritmetica di un numero positivo è il numero stesso. e E. Modica, 2011/2012 www.galois.it 7