Numeri reali e radicali - Matematica e

ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE “NINNI CASSARÀ”
I NUMERI REALI E I RADICALI – I PARTE
CLASSI III A E III B
Prof. Erasmo Modica
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INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI – NOTA STORICA
La teoria delle monadi è stata elaborata dai Pitagorici nel V secolo a.C. Secondo tale
teoria un punto è un corpuscolo indivisibile che prende il nome di monade. Questa
definizione lascia intuire che un segmento è dato da un insieme finito di tantissime monadi
e, di conseguenza, tutti i segmenti sono commensurabili, cioè il loro rapporto è sempre
esprimibile mediante un numero razionale.
Infatti, dati i due segmenti a e b, il segmento a è costituito da m monadi e il segmento b è
costituito da n monadi, cioè:
a = m monadi
e
b = n monadi
con m ed n numeri naturali diversi da zero. Di conseguenza il rapporto:
I Pitagorici dovettero quindi confrontarsi con due realtà:
 secondo la teoria delle monadi il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un
numero razionale;
 per il teorema di Pitagora il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato è un
numero irrazionale.
Essendo vero il teorema di Pitagora, i Pitagorici conclusero che la teoria delle monadi era
falsa, ma nascosero questa scoperta per mantenere alto il prestigio della scuola. Questo
perché sulla teoria delle monadi erano stati costruiti tutti i ragionamenti
matematici. Negata la teoria delle monadi, i Pitagorici dedussero che non esistono le
monadi, che un segmento non è costituito da un numero finito di punti e che esistono
coppie di segmenti incommensurabili.
Nel dialogo Menone del filosofo Platone, l’autore riporta, già nel IV
secolo a.C. il seguente problema: «Determinare la misura in
metri della diagonale di un quadrato il cui lato misura 1
metro».
Per il teorema di Pitagora1 si ha:
√
√
Bisogna quindi dimostrare la seguente proposizione: «Il numero √ non è razionale».
Per dimostrare ciò procediamo per assurdo supponendo che esso sia razionale. Quindi
possiamo scrivere:
√
con
e
.
Si ricordi che il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
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Si possono presentare due possibilità:
1. la frazione può essere semplificata, quindi va ridotta ai minimi termini e poi si ragiona
come nel punto seguente;
2. la frazione è già ridotta ai minimi termini (ovvero m e n non hanno fattori comuni) e
quindi si elevano al quadrato ambo i membri della precedente uguaglianza, ottenendo:
Poiché e non hanno fattori comuni, nemmeno
e
avranno fattori comuni, in
quanto sono formati dagli stessi fattori di
e con esponenti raddoppiati. Quindi la
frazione
non può essere semplificata, ovvero non può mai essere uguale a 2.
La contraddizione nasce dall’aver supposto che √
quindi concludere che √
.
è un numero razionale. Dobbiamo
NUMERI IRRAZIONALI E NUMERI REALI
Definizione: Dicesi numero irrazionale un numero che non può essere rappresentato
con una frazione.
Sono esempi di numeri irrazionali: √ , √ , .
Osservazione. Ogni numero irrazionale può essere rappresentato da un numero decimale
illimitato e non periodico. Infatti si ha: √
Definizione: Dicesi numero reale ogni numero razionale o irrazionale.
Osservazione. L’insieme
dei numeri reali può essere considerato come l’unione
dell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali, cioè:
PROPRIETÀ DELL’INSIEME DEI NUMERI REALI
L’insieme dei numeri reali è un insieme infinito e ordinato, ma gode di una proprietà di
cui non gode l’insieme dei numeri razionali.
Infatti, dato un numero razionale, è possibile associare ad esso un punto su una retta;
viceversa non a tutti i punti della retta si può associare un numero razionale. Infatti, se si
considera la figura seguente:
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è possibile notare che esiste il punto P che ha una distanza da O pari a √ al quale non
corrisponde nessun numero razionale.
Per tale ragione si dice che l’insieme dei numeri reali completa la retta e quindi vale la
seguente proprietà: esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e i
punti di una retta. Grazie a tale proprietà l’insieme si dice completo.
CALCOLO APPROSSIMATO
L’insieme dei numeri reali è costituito da tutti e soli i numeri che possono essere
rappresentati in forma decimale. Si ha:
{
Quando siamo in presenza di un numero decimale, è possibile stabilire quale cifra bisogna
considerare. Per esempio, partendo dal numero:
 se ci si ferma alla prima cifra decimale, allora
;
 se ci si ferma alla seconda cifra decimale, allora
;
 se ci si ferma alla terza cifra decimale, allora
.
Tutti i numeri inferiori a vengono detti valori approssimati per difetto di , tutti i
numeri maggiori di vengono detti valori approssimati per eccesso di .
Poiché:
si dice che il numero 25,7 è il valore approssimato per difetto a meno di
mentre 25,8 il valore approssimato per eccesso a meno di
Dato il numero 31,25488
del numero ;
del numero .
i valori approssimati per difetto a meno di
sono
3,2
3,25
3,254
3,2548
3,3
3,26
3,255
3,2549
mentre
i valori approssimati per eccesso a meno di
sono
La differenza fra il valore approssimato dato e la sua approssimazione prende il nome di
errore assoluto di approssimazione.
Esistono due metodi di approssimazione di un numero e sono descritti di seguito.
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APPROSSIMAZIONE PER ARROTONDAMENTO
Se si considera il numero 4,37457291, arrotondato alla:
 terza cifra decimale diventa 4,375;
 quinta cifra decimale diventa 4,37457.
Regola. Per arrotondare un numero decimale all’n-esima cifra decimale, basta
considerare il valore della cifra successiva e:
 se tale cifra è minore o uguale a 4, allora la si trascura insieme a tutte quelle che la
seguono;
 se tale cifra è maggiore o uguale a 5, allora si aumenta di uno la cifra stabilita e si
trascurano tutte le cifre successive.
APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO
Per approssimare un numero decimale per troncamento, basta trascurare tutte le cifre
successive a quella stabilita. Per esempio il numero 4,37457291, troncato alla:
 seconda cifra decimale diventa 4,37;
 terza cifra decimale diventa 4,374.
LE RADICI QUADRATE
Definizione: Si dicono radici quadrate
elevati al quadrato, danno come risultato .
2
di un numero reale
tutti quei numeri che,
Osservazione: Lo 0 ha come unica radice quadrata se stesso! Infatti √
.
“Perché i numeri reali negativi non ammettono alcuna radice quadrata?”
La risposta alla domanda è semplice, basti pensare al fatto che qualsiasi numero reale
elevato al quadrato dà come risultato un numero positivo!
3, ma
Notazione: Il simbolo utilizzato per indicare la radice quadrata di un numero è
in realtà esso indica solamente il valore assoluto delle radici quadrate del numero, cioè:
√
| |
{
Per tale ragione il simbolo suddetto prende il nome di radice quadrata assoluta.
Inoltre, il simbolo
viene detto segno di radice quadrata e il numero a viene detto
radicando.
Bisogna quindi stare attenti e ricordare che nell’insieme dei numeri reali:



2
3
ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ ;
lo zero ammette come unica radice quadrata se stesso;
i numeri negativi non ammettono alcuna radice quadrata.
Il termine radice quadrata deriva dal fatto che √ esprime il lato di un quadrato di area a.
Simbolo introdotto dal matematica tedesco Christoph Rudolff (1500 – 1545) come abbreviazione della parola radix.
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Dalle precedenti considerazioni appare evidente che di fronte alla scrittura √ , si debba
avere:

, perché i numeri reali negativi non ammettono radice quadrata;
 √
, perché il simbolo √ rappresenta la radice quadrata assoluta.
Quando ci si trova di fronte alla radice quadrata di un numero reale a si possono verificare
i due casi seguenti:


il numero a è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un
numero intero: ad esempio √
;
il numero a non è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un
numero irrazionale: ad esempio √
Concludiamo questo paragrafo osservando che, se si considerano i soli numeri reali non
negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è l’operazione inversa dell’elevazione al
quadrato:
(√ )
In base a quanto abbiamo osservato, se il radicando di una radice quadrata è
un’espressione letterale, bisogna determinare le cosiddette condizioni di esistenza
(C.E.) in , cioè quei valori delle variabili del radicando per cui il radicale sia definito.
Esistenza del radicale √ ( )
Il radicale √ ( ), con ( ) polinomio, è definito in corrispondenza di tutti i valori
dell’indeterminata x per cui risulta:
( )
e assume, per tali valori di x, valore positivo o nullo.
Esempio 1. Determinare le condizioni di esistenza del radicale √
.
Tale radicale è definito purché sia:
ovvero per i valori di
).
. Quindi
Esempio 2. Determinare le condizioni di esistenza dell’espressione √
√
.
Tale espressione è definito purché i radicandi di entrambe le radici siano
contemporaneamente maggiori o uguali a zero, cioè:
{
Risolvendo il sistema si ottiene che
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LE RADICI CUBICHE
Definizione: Si dice radice cubica4 di un numero reale a quel numero che, elevato al
cubo, dà come risultato a.
Si osserva facilmente che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno
del numero in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stesso
segno della base.
Esempi:
o
o
o
√
√
√
Quando ci si trova di fronte alla radice cubica di un numero reale a si possono verificare i
due casi seguenti:


il numero a è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero intero;
il numero a non è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero
irrazionale.
In base a quanto abbiamo osservato, poiché la radice cubica di un numero esiste sempre e
ha lo stesso segno del numero, non serve imporre le condizioni di esistenza che sono state
imposte nel caso della radice quadrata.
Esistenza del radicale √ ( )
Il radicale √ ( ), con ( ) polinomio, è definito in corrispondenza di ogni valore
dell’indeterminata x e risulta:
 positivo se ( )
;
 nullo se ( )
;
 negativo se ( )
.
LE RADICI N-ME
Definizione: Si dicono radici n-esime di un numero reale a quei numeri che, elevati ad
n, danno come risultato a:
(√ )
⏟
⏟
4
√
⏟
Il termine radice cubica deriva dal fatto che √ esprime il lato di un cubo di volume v.
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Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione al fatto
che l’indice sia pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi:


se l’indice n è dispari la √ è definita per qualsiasi valore di
, inoltre è negativa se
, positiva se
e nulla se
;
se l’indice n è pari la √ è definita solo per i valori di
e si ha che √
.
Definizione: Siano
, con
e
, si chiama radice aritmetica n-esima di 
e si indica con √ l’unico numero reale e positivo  tale che
. Se
si pone, di
conseguenza,
(ovvero 0 ha come unica radice n-esima se stesso).
Si ritiene utile ribadire i concetti precedentemente discussi mediante le seguenti:
Osservazioni:
1. Se
si parla di radice quadrata e la scrittura √ indica tutti quei numeri reali
che, elevati al quadrato, danno come risultato a.
Ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: √ ,
infatti: ( √ ) ( √ )
e( √ ) ( √ )
;
2. √
3. √
non esiste perché non esistono le radici n-esime di numeri negativi
quando n è pari.
4. √
perché la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno
del numero, in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo
stesso segno della base, ma si può generalizzare e dire che esistono le radici nesime di numeri negativi quando n è dispari.
Osservazione: Attenzione! Se si calcola la radice aritmetica di
poiché
la
scrittura ha significato ma non sappiamo a priori se a è positivo o negativo, quindi è un
errore scrivere:
√
È invece corretto scrivere:
√
| |
Se si considerano i soli numeri reali non negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è
l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato:
(√ )
In questo caso non si ricorre al valore assoluto perché la scrittura ha significato se
quindi il quadrato della radice aritmetica di un numero positivo è il numero stesso.
e
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