LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) 1. Giochi di

LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA
(A.A. 12/13)
DISPENSA N. 9
Sommario. Caratterizziamo l’equivalenza elementare in termini di sistemi di isomorfismi parziali e di giochi
di Ehrenfeucht-Fraı̈ssé.
1. Giochi di Ehrenfeucht-Fraı̈ssé
Vogliamo sviluppare strumenti per dimostrare l’assiomatizzabilità o la non-assiomatizzabilità finita di
classi di strutture che sia applicabile anche a strutture finite. Una struttura relazionale finita è essenzialmente
una base di dati e studiare quali proprietà di strutture finite sono definibili in una logica è studiare quali
queries (booleane) sono esprimibili in un dato linguaggio di interrogazione. La Compattezza non è adeguata
a questo scopo perché non garantisce che il modello ottenuto sia finito! La relazione di equivalenza elementare
è qui centrale. Due strutture sono dette elementarmente equivalenti se soddisfano gli stessi enunciati. In
questo caso scriviamo A ≡ B. (Si osserva che la nozione è più debole di quella di isomorfismo: se A e B sono
isomorfe allora A ≡ B ma il viceversa non vale. Basti pensare a un modello non-standard di {E : N |= E}.
Un tale modello è elementarmente equivalente al modello standard N ma non isomorfo ad esso).
Sia K una proprietà di strutture. Se esistono A e B tali che A ≡ B, A ∈ K e B ∈
/ K allora K non è
assiomatizzabile. Per l’analisi della assiomatizzabilità finita è utile una versione limitata dell’equivalenza
elementare. Due strutture sono dette elementarmente equivalenti per formule di grado al più k se soddisfano
gli stessi enunciati di grado al più k. In questo caso scriviamo A ≡k B e diciamo che A e B sono indistinguibili
da enunciati di grado k.
Qui il grado di una formula è il numero di annidamenti di quantificatori, ossia la misura di complessità
sintattica definita come segue: il grado di una formula atomica è 0, il grado di ϕ ∨ ψ e ϕ ∧ ψ è il massimo
tra i gradi di ϕ e di psi, il grado di ¬ϕ è il grado di ϕ, il grado di ∀xϕ e ∃xϕ è il grado di ϕ più 1.
Ovviamente vale A ≡ B se e solo se A ≡k B per ogni k ∈ N. Se una proprietà di strutture K è finitamente
assiomatizzabile, e k è il grado dell’enunciato che la assiomatizza, non possono esistere due strutture che
sono k-elementarmente equivalenti ma tale che l’una ha la proprietà K e l’altra no. Entrambe soddisfano
l’enunciato che assiomatizza K (e allora hanno K), oppure no (e allora non hanno K). Detto altrimenti: se
per ogni bound di complessità k esistono due strutture che possono essere distinte rispetto alla proprietà K
ma sono indistinguibili da formule di complessità k, allora la proprietà K non è una proprietà finita del I
ordine.
Se K è una proprietà finitamente assiomatizzabile relativamente alle strutture finite, non possono esistere
A, B come sopra e finite.
Riassumiamo questa osservazione nel seguente teorema.
Teorema 1.1. Sia K una classe di strutture. Se per ogni k esistono strutture A e B tali che
• A∈K eB∈
/ K, ma
• A ≡k B
allora K non è finitamente assiomatizzabile. Se A e B esistono finite, allora K non è finitamente assiomatizzabile nel finito.
Come dimostrare che la condizione è soddisfatta? Cominciamo con il dare una caratterizzazione dell’equivalenza elementare limitata in termini di proprietà di estendibilità di isomorfismo parziali. Daremo poi
una caratterizzazione di queste in termini di giochi (i giochi di Ehrenfeucht-Fraı̈ssé).
Note preparate da Lorenzo Carlucci, [email protected].
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2. Relazioni di Back-and-Forth
Diamo una caratterizzazione dell’equivalenza elementare limitata in termini di una proprietà di estendibilità di isomorfismi parziali. L’idea è una generalizzazione del Teorema di Cantor per gli ordini densi senza
estremi (ogni ordine lineare denso senza estremi numerabile è isomorfo a (Q, <)). Due strutture relazionali
A e B sono isomorfe se esiste una biiezione f da A in B tale che per ogni simbolo di relazione a k posti P ,
per ogni a1 , . . . , ak in A, vale (a1 , . . . , ak ) ∈ P A se e solo se (f (a1 ), . . . , f (ak )) ∈ P B .
Definizione 2.1 (Isomorfismo Parziale). Siano (a1 , . . . , an ) scelti in |A| e (b1 , . . . , bn ) scelti in |B|. La mappa
a1 7→ b1 , ..., an 7→ bn è un isomorfismo parziale tra A e B se e solo se
(1) Per ogni i, j ≤ n, ai = aj se e solo se bi = bj ,
(2) Per ogni i ≤ n, ai = cA se e solo se bi = cB ,
(3) Per ogni relazione k-aria P , per ogni (i1 , . . . , ik ) in [1, n], (ai1 , . . . , aik ) ∈ P A se e solo se (bi1 , . . . , bik ) ∈
PB
Per le definizioni e le dimostrazioni che seguono è utile introdurre il concetto di espansione di una struttura.
Sia A una struttura per un linguaggio L e siano c1 , . . . , cn nuove costanti. Siano a1 , . . . , an in A. Indichiamo
con (A, a1 , . . . , an ) la struttura per il linguaggio Lc = L ∪ {c1 , . . . , cn } che coincide con A sul linguaggio L e
interpreta ci in ai . Se ϕ(x1 , . . . , xn ) è una formula in L con n variabili libere indichiamo con ϕc l’enunciato
in Lc ottenuto sostituendo ogni occorrenza di xi con ci . Allora vale che
(A, a1 , . . . , an ) |= ϕc ⇐⇒ A |= ϕ(x1 , . . . , xn )[a1 , . . . , an ].
Nota bene: nel linguaggio Lc adeguato per (A, a1 , . . . , an ) ci sono più enunciati (e in particolare più enunciati
atomici) che nel linguaggio L.
Definizione 2.2 (Relazione Back-and-Forth, Condizioni di Fraı̈ssé). Definiamo per induzione una famiglia
di relazioni ∼
=k su coppie di strutture.
∼0 B se e solo se A e B soddisfano gli stessi enunciati atomici.
(1) A =
∼k+1 B se e solo
(2) A =
(a) (Forth) Per ogni a ∈ A esiste b ∈ B tale che (A, a) ∼
=k (B, b).
(b) (Back) Per ogni b ∈ B esiste a ∈ A tale che (A, a) ∼
=k (B, b).
Supponiamo che A ∼
=1 B, A e B strutture per L. Supponiamo
che A |= ∃xϕ(x) dove ϕ(x) è una formula
atomica con una variabile libera. Sia a ∈ A tale che A |= ϕ(x) xa . Consideriamo
x
TaA = {ψ(x) in L atomica con una variabile libera : A |= ψ(x)
}.
a
Per quanto osservato sopra questo insieme coincide con {ϕc in L∪{c} : (A, a) |= ψ c }. La condizione A ∼
=1 B
c
c
(B,
b).
Dunque
{ψ
in
L
∪
{c}
:
(B,
b)
|=
ψ
}
coincide
con
TbB e
implica che esiste b ∈ B tale che (A, a) ∼
=0
anche con {ψ(x) in L atomica con una variabile libera : B |= ψ xb }. Dunque B |= ϕ(x) xb . Dunque anche
B |= ∃xϕ(x).
Abbiamo appena usato la condizione (Forth) per dimostrare come A ∼
=1 B segue l’implicazione
A |= ∃xϕ(x) =⇒ B |= ∃xϕ(x),
con ϕ(x) formula atomica (i.e., di grado 0) con una variabile libera.
La condizione (Back) permette analogamente di dimostrare l’implicazione
B |= ∃xϕ(x) =⇒ A |= ∃xϕ(x),
con ϕ(x) formula atomica (i.e., di grado 0) con una variabile libera. Vedremo sotto che questo è essenziale
per dimostrare che A ≡1 B.
Ogni formula di complessità ≤ 0 è una combinazione booleana di formule atomiche. Inoltre ogni formula
di complessità ≤ k + 1 è equivalente a una combinazione booleana di formule ∃xϕ(x) con ϕ di complessità
≤ k: Se ϕ è una congiunzione o una disgiunzione o una negazione il risultato è ovvio. Se ϕ è ∃xψ o ∀xψ, ψ
è di complessità k.
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Da questo segue che per dimostrare che A ≡k+1 B basta dimostrare che A e B soddisfano gli stessi
enunciati di tipo ∃xψ con ψ di complessità ≤ k (il valore delle combinazioni booleane è conservato per
logica).
Inoltre da questa caratterizzazione segue che se il linguaggio è finito, allora per ogni k per ogni m, l’insieme
delle formule di complessità ≤ k con m variabili libere è finito modulo equivalenza logica. Si ricorda che
due formule ϕ(x1 , . . . , xm ) e ψ(x1 , . . . , xm ) sono logicamente equivalenti se e solo se |= ϕ(x1 , . . . , xm ) ↔
ψ(x1 , . . . , xm ) se e solo se |= (∀x1 ) . . . (∀xm )(ϕ(x1 , . . . , xm ) ↔ ψ(x1 , . . . , xm )).
Fatto 2.3. Se L è finito, le formule di complessità ≤ k con m variabili libere sono un numero finito modulo
equivalenza logica.
3. Tipi
Ad ogni scelta di A, ~a = (a1 , . . . , am ) in A è possibile associare il tipo di ~a in A, i.e., l’insieme delle
formule con m variabili libere che sono soddisfatte da ~a in A. Si osserva facilmente che il tipo di ~a descrive
la struttura (A, ~a) a meno di isomorfismo, se A è finito, nel senso che B, ~b) soddisfa il tipo di ~a in A se e solo
se (A, ~a) e (B, ~b) sono isomorfe. Dunque la nozione è troppo forte per i nostri scopi.
Ad ogni scelta di A, ~a = (a1 , . . . , am ), k ≥ 0, m ≥ 0 è possibile associare il k-tipo di ~a in A, restringendo
l’attenzione alle formule con m variabili libere e di grado ≤ k.
(A, ~a) → Tkm (A, ~a) ⊆ {Fomule di complessità ≤ k con m variabili libere}.
Mostriamo come associare ad ogni k-tipo S di una m-pla una formula αS di grado ≤ k con m variabili libere
che lo descrive completamente, nel senso che, per ogni k-tipo S, per ogni A, per ogni ~a ∈ Am ,
A |= αS se e solo se S è il k-tipo di ~a in A modulo equivalenza logica.
Ogni k-tipo è ovviamente soddisfacibile.
Fatto 3.1. Ogni k-tipo è massimalmente consistente, relativamente alle formule di complessità ≤ k con m
variabili libere.
Per m fissato, l’insieme delle formule con m variabili e complessità ≤ k è finito modulo equivalenza logica.
Un k-tipo (di dimensione m) è un sottinsieme di questo e dunque è anch’esso finito modulo equivalenza
logica.
Fatto 3.2. Ogni k-tipo è finito modulo equivalenza logica.
Sia
X = {ϕ1 (~x), . . . , ϕM (~x)}
un insieme completo di rappresentanti delle formule di complessità ≤ k in m variabili libere modulo equivalenza logica. Allora un qualunque k-tipo per una m-pla è unicamente determinato (modulo equivalenza
logica) da un sottinsieme di X, ossia, per ogni A, per ogni (a1 , . . . , am ) in A,
Tkm (A, (a1 , . . . , am )) equivale a {ϕi1 (~x), . . . , ϕis (~x)}
per qualche s, i1 , . . . , is ≤ M . Sia S = {i1 , . . . , is }.
Dato che tanto S quanto M − s sono finiti si può riassumere in una unica formula il fatto che ~x soddisfa
tutte e sole le ϕi con i ∈ S. Per un qualunque S ⊆ M definiamo
^
^
αS (~x) =
ϕi ∧
¬ϕj .
i∈S
j ∈S
/
Ovviamente anche la formula αS (~x) ha complessità ≤ k.
Abbiamo allora che, per ogni A e per ogni (a1 , . . . , am ) in A, esiste un S ⊆ M tale che
A |= αS (~a) ⇐⇒ (Tkm (A, ~a) equivale a {ϕi : i ∈ S}).
Si osserva facilmente che, per S 0 6= S, αS (~x) e αS 0 (~x) sono mutualmente esclusivi, nel senso che A |= αS (~a)
implica A |= ¬αS 0 (~a).
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DISPENSA N. 9
Inoltre, ogni formula di complessità ≤ k è equivalente a una disgiunzione di formule di tipo
W αS . Se F ha
complessità ≤ k, allora F è equivalente a ϕi per qualche 1 ≤ i ≤ M . Ma ϕi è equivalente a S t.c. i∈S αS .
_
ϕi (~x) ≡
αS (~x).
S⊆M,i∈S
4. Caratterizzazione di ≡k con ∼
=k
Teorema 4.1. Sono equivalenti, per ogni k ∈ N,
(1) A ≡k B, e
(2) A ∼
=k B.
Dimostrazione. Il caso base è lasciato per Esercizio.
Dimostriamo da (1) a (2). Supponiamo A ≡k+1 B. Vogliamo dimostrare A ∼
=k+1 B, ossia (Forth) Per ogni
a ∈ A esiste b ∈ B tale che (A, a) ∼
=k (B, b) e (Back) Per ogni b ∈ B esiste a ∈ A tale che (A, a) ∼
=k (B, b).
Dimostriamo (Forth). Sia a ∈ A, e consideriamo il k-tipo di a in A. Sappiamo come associare a questo tipo
una formula α(x) di complessità ≤ k con una variabile libera, tale che A |= α(a). Dunque A |= ∃xα(x), e si
osserva che ∃xα(x) è un enunciato di grado ≤ k + 1. Per ipotesi allora B |= ∃xα(x). Dunque esiste un b ∈ B
tale che B |= α(b). Dunque il k-tipo di a in A coincide con il k-tipo di b in B, perché vale B |= α(b) se e
solo se Tk1 (B, b) coincide modulo equivalenza logica con {ϕi : ϕi compare positivamente in α(x)}. Dunque
x
{ϕ(x) : ϕ(x) di grado ≤ k con una variabile libera e t.c. A |= ϕ(x)
}
a
coincide con
x
{ϕ(x) : ϕ(x) di grado ≤ k con una variabile libera e t.c. B |= ϕ(x)
}
b
Da questo possiamo dedurre che (A, a) ≡k (B, b).
Nota bene: vogliamo dimostrare che (A, a) e (B, b) soddisfano gli stessi enunciati di grado ≤ k nel
linguaggio adeguato per queste strutture, ossia nel linguaggio L adeguato per A e B espanso con una nuova
costante c. Questo linguaggio ha più enunciati di grado ≤ k rispetto al linguaggio originario L. In particolare,
se ϕ(x) è una formula di grado ≤ k con una variabili libera nel linguaggio L allora ϕc è un enunciato di
grado ≤ k nel nuovo linguaggio Lc . Tutti gli enunciati di grado ≤ k nel nuovo linguaggio che contengono la
costante c si possono ottenere in questo modo dalle formule aperte di grado ≤ k con una variabile libera nel
vecchio linguaggio. Per enunciati di complessità ≤ k nel linguaggio L di A e B la tesi (A, a) ≡k (B, b) segue
dall’ipotesi A ≡k+1 B. Per enunciati di complessità ≤ k nel linguaggio L ∪ {c} la tesi segue perché il k tipo
di a in A coincide con il k tipo di b in B, e vale che
x
A |= ϕ(x)
⇔ (A, a) |= ϕc .
a
e analogamente
x
B |= ϕ(x)
⇔ (B, b) |= ϕc .
b
Ma abbiamo visto che
x
x
A |= ϕ(x)
⇔ B |= ϕ(x)
,
a
b
(per formule con una variabile libera e grado ≤ k), e dunque per ogni enunciato E di grado ≤ k nel linguaggio
espanso Lc vale
(A, a) |= E ⇔ (B, b) |= E.
∼
Per ipotesi induttiva (A, a) =k (B, b). Allora possiamo soddisfare la proprietà (Forth) mandando a in b.
La proprietà (Back) si dimostra analogamente.
Dimostriamo da (2) a (1). Assumiamo A ∼
=k+1 B e dimostriamo A ≡k+1 B. Come già osservato basta
dimostrarlo per enunciati del tipo ∃xϕ(x), dove ϕ(x) ha complessità ≤ k (e al più una variabile libera, x).
Se A |= ∃xϕ(x) allora esiste a ∈ A tale che A |= ϕ(a). Come osservato, questo è vero se e solo se (A, a) |= ϕc
(dove ϕc è l’enunciato ottenuto da ϕ(x) sostituendo a x una nuova costante c). Per la proprietà (Forth)
esiste un b ∈ B tale che (A, a) ∼
=k (B, b). Per ipotesi induttiva (A, a) ≡k (B, b). Dunque (B, b) |= ϕc . Per
quanto già osservato allora B |= ϕ(b). Pertanto B |= ∃xϕ(x).
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5. Giochi di Ehrenfeucht-Fraı̈ssé
Usando le nozioni della sezione precedente possiamo caratterizzare la relazione ∼
=k in termini di giochi a
due giocatori.
Dati k ≥ 0, t ≥ 0, strutture A e B per un linguaggio L, e t-ple (t ≥ 0) (a1 , . . . , at ) in At e (b1 , . . . , bt )
in B t , il gioco Gk su (A, ~a) e (B, ~b) è cosı̀ definito. Il gioco è giocato da due giocatori, il Duplicator e
lo Spoiler, che muovono come segue. Il gioco ha k mosse. Alla mossa i (1 ≤ i ≤ k), lo Spoiler sceglie
un elemento in uno dei due domini. Il Duplicatore risponde scegliendo un elemento nell’altro dominio.
Dopo k mosse restano determinati k elementi in A, siano a01 , . . . , a0k e k elementi in b corrispondenti,
siano b01 , . . . , b0k (accoppiando quelli scelti nella stessa mossa). Il Duplicatore vince la partita se e solo
A
0
0
B
B
0
0
se (cA
1 , . . . , cn , a1 , . . . , at , a1 , . . . , ak ) 7→ (c1 , . . . , cn , b1 , . . . , bt , b1 , . . . , bk ), dove c1 , . . . , cn sono le costanti
del linguaggio L, è un isomorfismo parziale di A in B. Il Duplicatore vince il gioco se vince tutte le
partite.
Si osserva facilmente che se A e B sono isomorfe, allora il Duplicatore vince il gioco (usando l’isomorfismo
e il suo inverso per scegliere le risposte).
Si osserva anche facilmente che se il Duplicatore vince Gm (A, B) per un m > |A|, allora A e B sono
isomorfe. Almeno una partita del gioco definisce un isomorfismo parziale con dominio uguale ad A.
B
Per definizione il Duplicatore vince il gioco con 0 mosse su (A, ~a) e (B, ~b) se e solo se la mappa cA
i 7→ ci
~
~
e ~a 7→ b è un isomorfismo parziale di A in B. Consideriamo il caso in cui i vettori ~a e b sono vuoti. Allora il
B
Duplicatore vince il gioco a 0 mosse su A e B se e solo se la mappa χ : cA
i 7→ ci è un isomorfismo parziale.
Se la mappa χ è un isomorfismo parziale, allora per ogni relazione R a k posti in L, per ogni scelta di
costanti ci1 , . . . , cik in L, vale A |= R(ci1 , . . . , cik ) se e solo se B |= R(ci1 , . . . , cik ) perché per definizione di
A
A
B
B
B
isomorfismo parziale vale (cA
i1 , . . . , cik ) ∈ R se e solo se (ci1 , . . . , cik ) ∈ R . Inoltre A |= (ci = cj ) se e solo se
strB |= (ci = cj ). Dunque A e B soddisfano gli stessi enunciati atomici: il linguaggio è relazionale dunque i
soli termini sono le costanti e i soli enunciati atomici sono di forma R(ci1 , . . . , cik ) con R simbolo di relazione
a k posti in L e ci1 , . . . , cik costanti in L. Ricordiamo che A ∼
=0 B vale per definizione se e solo se A e B
soddisfano gli stessi enunciati atomici. Ogni enunciato di complessità ≤ 0 è una combinazione booleana di
enunciati atomici e dunque A e B soddisfano gli stessi enunciati atomici se e soltanto se A ≡0 B. Abbiamo
dunque l’equivalenza tra
Il Duplicatore vince il gioco G0 su A, B ⇐⇒ A ≡0 B ⇐⇒ A ∼
=0 B.
Il caso base è coperto e ci resta da considerare il passo induttivo, per ottenere la caratterizzazione di ∼
=k in
termini di giochi Gk .
Il lemma seguente è semplice ed è utile a mettere in relazione la vittoria del Duplicatore su Gk (A, B) e la
relazione A ∼
=k B.
Lemma 5.1. Per ogni k ≥ 1, per ogni t ≥ 0, per ogni (a1 , . . . , at ) ∈ At , (b1 , . . . , bt ) ∈ B t , sono equivalenti
(1) Il Duplicatore vince il gioco Gk su (A, ~a) e (B, ~b).
(2) Sono soddisfatte le due proprietà seguenti.
(2.1) Per ogni a ∈ A esiste un b ∈ B tale che il Duplicatore vince Gk−1 su (A, ~aa) e (B, ~bb),
(2.2) Per ogni b ∈ B esiste un a ∈ A tale che il Duplicatore vince Gk−1 su (A, ~aa) e (B, ~bb).
Dimostrazione. Dimostriamo da (1) a (2). Questa direzione è quasi ovvia per definizione. Supponiamo che
il Duplicatore vince il gioco Gk+1 su (A, ~a) e (B, ~b). Alla prima mossa del gioco lo Spoiler può giocare un
a ∈ A qualunque o un b ∈ B qualunque. In entrambi i casi il Duplicatore deve essere in grado di rispondere
mantenendo l’isomorfismo parziale. Quindi ~aa e ~bb per ogni coppia (a, b) scelta cosı̀ è un isomorfismo parziale.
Inoltre il Duplicatore sa come rispondere ad altre k mosse del gioco, per ogni configurazione della prima
mossa. Dunque per ogni coppia (a, b) determinata dalla prima mossa, il Duplicatore sa giocare altre k mosse
del gioco su (A, ~aa) e (B, ~bb). Quindi vale (2.1). Se lo Spoiler sceglie un a ∈ A, allora il Duplicatore sa come
scegliere un b ∈ B tale che ~aa 7→ ~bb è un isomorfismo parziale di A in B. (2.2) si dimostra analogamente.
Dimostriamo da (2) a (1). Supponiamo che siano soddisfatte le due proprietà, per k. Dimostriamo
che il Duplicatore vince il gioco Gk+1 su (A, ~a) e (B, ~b). Alla prima mossa, se lo Spoiler sceglie a ∈ A
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DISPENSA N. 9
allora il Duplicatore può scegliere b ∈ B che soddisfa la condizione (2.1). Se lo Spoiler sceglie b ∈ B allora il
Duplicatore può scegliere a ∈ A che soddisfa la condizione (2.2). In entrambi i casi abbiamo che il Duplicatore
può vincere il gioco Gk su (A, ~aa) e (B, ~bb). Per definizione di gioco abbiamo la tesi.
6. Caratterizzazione di ∼
=k con Gk
Teorema 6.1. Sono equivalenti, per ogni k ≥ 0, i due punti seguenti.
(1) Il Duplicatore vince il gioco Gk su (A, B).
(2) A ∼
=k B.
Dimostrazione. Il caso base è già dimostrato. Consideriamo il caso k + 1.
Dimostriamo da (1) a (2). Supponiamo che il Duplicatore vince il gioco Gk+1 su (A, B). Per il Lemma
abbiamo che
• Per ogni a ∈ A esiste un b ∈ B tale che il Duplicatore vince Gk su (A, a) e (B, b),
• Per ogni b ∈ B esiste un a ∈ A tale che il Duplicatore vince Gk su (A, a) e (B, b).
Per ipotesi induttiva abbiamo che
• Per ogni a ∈ A esiste un b ∈ B tale che (A, a) ∼
=k (B, b),
• Per ogni b ∈ B esiste un a ∈ A tale che (A, a) ∼
=k (B, b).
∼
Per definizione di =k+1 abbiamo la tesi.
Supponiamo A ∼
=k+1 B. Se lo Spoiler muove a ∈ A, per la proprietà Forth troviamo b ∈ B tale che
(A, a) ∼
=k (B, b). Per ipotesi induttiva il Duplicatore vince Gk su (A, a) e (B, b). Se lo Spoiler muove b ∈ B,
per la proprietà Back troviamo un a ∈ a tale che (A, a) ∼
=k (B, b). Per ipotesi induttiva il Duplicatore vince
Gk su ((A, a), (B, b)). Per il Lemma, le due condizioni appena dimostrate sono equivalenti al fatto che il
Duplicatore vince Gk+1 su A e B.
Mettendo insieme i due teoremi dimostrati abbiamo l’equivalenza di
A∼
=k B ⇐⇒ Il Duplicatore vince Gk (A, B) ⇐⇒ A ≡k B.
7. Giochi illimitati ed equivalenza elementare
Se consideriamo un gioco di Ehrenfeucht-Fraı̈ssé senza limite sul numero di mosse otteniamo una caratterizzazione della relazione di equivalenza elementare ≡. Ad ogni partita lo Spoiler sceglie un k, e la partita
continua giocando il gioco a k mosse. Lo Spoiler vince il gioco illimitato se vince il gioco a k mosse per
qualche k. Il Duplicatore vince il gioco illimitato se vince il gioco a k mosse per ogni k. La dimostrazione
che abbiamo dato dimostra essenzialmente che il Duplicatore vince il gioco illimitato su due strutture A, B
se e solo se A ≡ B, i.e., A e B soddisfano gli stessi enunciati.