Scomposizioni e p. notevoli

SCOMPOSIZIONi
RACCOGLIMENTO TOTALE
Esiste un monomio (numero-lettera) comune a tutti i termini del
polinomio
Es.
6 x 2 y + 3x 3 yz − 9 x 3 y 2 − 12 x 4 y
(
= 3x 2 y 2 + xz − 3xy − 4 x 2
)
monomio comune 3x 2 y
PRODOTTI NOTEVOLI
Conto i termini:
Due termini:
Differenza di quadrati:
quadrati
A 2 − B 2 = ( A − B )( A + B)
Cerco i termini che stanno al di sotto del quadrato A e B
Scrivo ( A − B)( A + B)
Es.
9x 4 − y 2
I termini al di sotto del quadrato sono
A = 3x 2
B= y
(
)(
= 3x 2 − y 3x 2 + y
Somma di cubi:
cubi
)
A 3 + B 3 = ( A + B)( A 2 − AB + B 2 )
Cerco i termini che stanno al di sotto del cubo A e B
Scrivo ( A + B)( A 2 − AB + B 2 )
Es.
27 x 3 + y 6
I termini al di sotto del cubo sono A = 3x
B = y2
(
)(
= 3x + y 2 9 x 2 − 3xy 2 + y 4
)
Differenza di cubi:
cubi
A 3 − B 3 = ( A − B)( A 2 + AB + B 2 )
Cerco i termini che stanno al di sotto del cubo A e B
Scrivo ( A − B)( A 2 + AB + B 2 )
Es.
8x 3 − y 6 z 9
I termini al di sotto del cubo sono A = 2 x
B = y2 z3
(
)(
= 2 x − y 2 z 3 4 x 2 + 2 xy 2 z 3 + y 4 z 6
)
Tre termini
Quadrato di binomio:
( A + B )2 = A 2 + 2 AB + B 2
( A − B )2 = A 2 − 2 AB + B 2
Trovo i due quadrati A 2 e B 2
Trovo i termini al di sotto dei quadrati A e B
Calcolo il doppio prodotto 2AB e controllo che sia uguale a
quello del testo (dato)
Se - il doppio prodotto (2AB) è positivo scrivo ( A + B )2
-
il doppio prodotto (2AB) è negativo scrivo ( A − B )2
Es.
4 x 2 − 4 xy 2 + y 4
I due quadrati sono A 2 = 4x 2 e B 2 = y 4
I termini al di sotto del quadrato sono A = 2 x
e B = y2
Il doppio prodotto 2 AB = 4 xy 2
che è proprio
uguale a quello del testo
Essendo il doppio prodotto negativo scrivo:
(
= 2x − y 2
)
2
Quattro termini
Cubo di binomio:
( A + B )3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3
Trovo i due cubi A 3 e B 3
Trovo i termini al di sotto dei cubi A e B
Calcolo 3 A 2 B e 3AB 2 e controllo che siano uguali a quelli del
testo (dato)
Es.
− 27 x 3 + 27 x 2 y − 9 xy 2 + y 3
I due cubi sono A 3 = 27x 3 e B 3 = y 3
I termini al di sotto del cubo sono A = 3x e
B= y
3 A 2 B = 3(3x ) 2 y = 27 x 2 y
e
3 AB 2 = 3 ⋅ 3x ⋅ ( y ) 2 = 9 xy 2
sono proprio uguali a quelli del testo
3
Essendo A negativo e B 3 positivo scrivo:
= (− 3x + y )3
Sei termini
che
Quadrato di trinomio:
( A + B + C )2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2 AB + 2 AC + 2 BC
Trovo i tre quadrati A 2 B 2 e C 2
Trovo i termini al di sotto dei quadrati A B e C
Calcolo i doppi prodotti 2AB 2AC e 2BC e controllo che siano
uguali a quelli del testo (dato)
Ragiono su i segni e scrivo il risultato ( A + B + C )2
Es.
4 x 2 + 9 y 4 + x 2 z 6 − 12 xy 2 − 4 x 2 z 3 + 6 xy 2 z 3
I tre quadrati sono A 2 = 4x 2 B 2 = 9 y 4 e C 2 = x 2 z 6
I termini al di sotto dei quadrati sono A = 2 x
B = 3y 2 e C = xz 3
I doppi prodotti
2 AB = 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 y 2 = 12 xy 2
2 AC = 2 ⋅ 2 x ⋅ xz 3 = 4 x 2 z 3
e
2 BC = 2 ⋅ 3 y 2 ⋅ xz 3 = 6 xy 2 z 3
che sono proprio uguali
a quelli del testo
Essendo 2AB e 2AC negativi e 2BC positivo scrivo:
(
= − 2 x + 3 y 2 + xz 3
)
2
RACCOGLIMENTO PARZIALE
Non esiste un monomio comune a tutti i termini del polinomio,
ma monomi comuni a parti del polinomio: applico il
raccoglimento tra gruppi e poi successivamente il raccoglimento
totale a quello che ho ottenuto
Es.
6 x 2 − 2 x + 3xy − y
Non posso fare il raccoglimento totale
perché non tutti i termini hanno qualcosa in
comune.
Faccio un raccoglimento tra i primi due e gli
ultimi due, esattamente
tra i primi due raccolgo 2x
2 x(3x − 1)
tra gli ultimi due y
y (3x − 1)
Quindi ho ottenuto
2 x(3x − 1) + y (3x − 1)
A questo punto le parentesi sono uguali, posso fare il
raccoglimento totale, raccogliendo proprio (3x − 1)
(3x − 1)(2 x + y )
N.B. Dopo il raccoglimento parziale le parentesi devono sempre
venire uguali, in modo da poter fare il raccoglimento totale.
TRINOMIO CARATTERISTICO (PARTICOLARE
(PARTICOLARE TRINOMIO DI II GRADO)
Trinomio di secondo grado dove il coefficiente di grado due è 1
x 2 + sx + p
Cerco due numeri la cui somma sia s e il cui prodotto sia p
Supponiamo che i numeri siano a e b, allora scrivo ( x + a )( x + b)
Es.
x 2 + 5x + 6
Devo trovare due numeri la cui somma sia 5 e il
cui prodotto sia 6
6 ⋅1 = 6 , ma
Conviene partire dal prodotto: 3 ⋅ 2 = 6
6 + 1 = 7 e 3 + 2 = 5 , quindi i numeri giusti sono 3 e 2
Allora scrivo:
( x + 3)( x + 2)
R UFFINI
Trovo i divisori (con i relativi opposti) del termine noto (se non
basta prendo i divisori dei coefficienti del polinomio)
Applico il teorema del resto sul polinomio da scomporre con i
divisori precedentemente trovati (suggerimento: parti da ± 1) ⇒
trovo il valore che annulla il polinomio
Costruisco la tabella di scomposizione
Es.
x3 − x − 6
I divisori del termine noto (-6) sono:
+1, -1, +2, -2, +3, -3
Quello che mi dà resto zero è 2
1
2
↓+
1
0
-1
6
2
2
4
3
6
0
Cambiato
*
di segno
grado 2
Allora la scomposizione è:
(x − 2 )(x 2 + 2 x + 3)
grado1
grado 0