SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
di un Polinomio
Programma svolto al primo anno del liceo artistico
2009/2010 da Cotroni Grazia
Che cosa significa “scomposizione”?
Scomporre un polinomio significa esprimerlo sotto
forma di prodotto di polinomi di grado inferiore
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Come faccio a scomporre in
fattori un polinomio?
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Ripassiamo i prodotti notevoli
NOME
TIPO
Quadrato
di un
binomio
( a + b )2
Somma
per
differenza
(a+b)(a–b)
SVILUPPO
a2 + 2ab + b2
a2 – b2
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PROSEGUIAMO
PRIMA DI TUTTO…
•
Vedo se c’è da raccogliere un
fattore comune fra tutti i
monomi, cioè faccio il:
RACCOGLIMENTO TOTALE
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Racccoglimento a fattor comune
o raccoglimento totale
Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore
comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si
cerca di prendere come fattore comune il M.C.D. fra i
termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è
possibile. In questo modo si esegue una scomposizione del
polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori.
Es. ax + ay + az = a(x + y + z)
Es. 15 x2y – 9xy2 + 3xy = 3xy(5x – 3y + 1)
in questo caso i coefficienti sono tutti
divisibili per 3 poi tutti hanno la x e la y
Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b)=(a+b)(x – 2a + 3y)
in questo caso tutti hanno in comune la
stessa parentesi (a+b)
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ritorna
RACCOGLIMENTO TOTALE:
raccolgo l’ M.C.D. dei monomi
3a2b - 5a3b4 + a4b6 =
a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )
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Raccoglimento parziale
A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor
comune perché non c’è un divisore comune a tutti i monomi.
In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di
questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di
monomi.
Es. 2a + 2b + ax + bx
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I primi due monomi hanno in comune 2 che
si può mettere in evidenza, mentre gli altri
due hanno in comune x, per cui
2(a + b) + x(a + b)
E poiché le due parentesi sono uguali,
tale espressione si può mettere in evidenza,
raccogliendo a fattor comune
(a + b)(2 + x)
Quindi
2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)
RACCOGLIMENTO PARZIALE
10a3b + 2xb - 5a3 – x =
5a3 ( b – 1 ) + 2x ( b - 1) =
( b – 1 )( 5a3 + 2x )
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ALTRIMENTI
Conto quanti monomi costituiscono
il polinomio ed eventualmente cerco
di riconoscervi qualche prodotto
notevole
• BINOMIO
• TRINOMIO
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Binomi
• Differenza di due quadrati
A2 – B2 = (A-B)(A+B)
• Somma di due quadrati
A2 + B2 : è indecomponibile
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Differenza di due quadrati
Se un binomio è costituito dalla differenza di due
monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati,
per scomporlo basta individuare le basi dei due
quadrati ed indicare il prodotto della loro somma
per la loro differenza.
Es. x2 – 4y2
Basi:(x) (2y) si scompone come somma per differenza
quindi
x2 – 4y2 = (x + 2y)(x – 2y)
Es. 25x4 – 16y6
(5x2) (4y3)
Quindi
25x4 – 16y6 = (5x2 + 4y3)(5x2 - 4y3)
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Trinomi
Sviluppo del quadrato di un binomio : A2±2AB+B2 = (A±B)
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Trinomio particolare di secondo grado:
b1) primo tipo:
x2 + sx + p = (x +a )( x+b ) dove s = a+b e p= ab ;
es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 )
infatti è
-5 =-2-3
e
+6 = (-2)(-3)
b2) secondo tipo:
ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn.
Il polinomio si scrive
a x2 +mx + nx +c
quindi si applica il raccoglimento parziale.
Es 3x2 -7x +4 =
3 x2 -3x -4x+4=
3x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3x-4);
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Quadrato di un binomio
è un trinomio formato da:
due quadrati e dal doppio prodotto delle basi
16a4 + b2 - 8a2b =
(4a2 - b)2
Es.
4x2 – 12xy + 9y2 =
basi:
(2x)
Quindi
(3y)
4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2
Questo termine non scompare, va
dentro il quadrato!
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Trinomio particolare primo tipo
Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di
una certa lettera che ha:
Grado due rispetto a quella lettera
Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1
Coefficiente del termine di primo grado che può essere
espresso come somma di due numeri a e b
Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e b
quindi del tipo:
x2 + (a+b)x + ab=
si scompone come (x + a)(x + b)
Infatti è x2 + (a+b)x + ab =
x2 + ax + bx + ab =
x(x+a) + b(x+a) =
(x + a)(x + b)
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Esempio trinomio primo tipo
Esercizio:
x2 -5x + 6=
Cerco due numeri che moltiplicati danno +6 e
sommati danno +5. Parto dal prodotto e
considero tutte le possibilità
Una volta trovati i due numeri
+6·+1
-6 ·-1
scriverò al posto del -5
+3 ·+2
x2 +(-3-2)x+6=
-3·-2
2
x -3x-2x + 6=
e farò il raccoglimento parziale
x(x-3)-2(x–3)=
(x-3)(x-2)
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Trinomio particolare secondo tipo
Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una
certa lettera che ha:
Grado due rispetto a quella lettera
Coefficiente del termine di primo grado che può essere
espresso come somma di due numeri
Il termine noto per il coefficiente del termine di grado
massimo uguale al prodotto degli stessi numeri
quindi del tipo:
ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn.
Il polinomio si scrive
a x2 +mx + nx +c
quindi si applica il raccoglimento parziale.
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Trinomio particolare secondo tipo
Es 3x2 -7x +4 =
devo trovare due numeri che moltiplicati
danno +12 e sommati danno -7.
Scrivo tutte le possibilità
3x2 -3x -4x+4=
3x(x-1) -4(x-1) =
raccogliamo (x-1)
e abbiamo (x-1)(3x-4);
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+12· +1
-12 · -1
+6 · +2
-6 · -2
-3 · -4
+3 · +4
Riassunto programma svolto
sulla scomposizione
Binomio
Trinomio
Quadrinomio
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Differenza di quadrati
a2 – b2
Somma di quadrati
a2 + b2
Sviluppo quadrato di un binomio
a2 +2ab+ b2
oppure a2 -2ab+ b2
Trinomio particolare
x2 + (a+b)x + ab=
oppure
ax2 +bx + c
vedi se c’è un raccoglimento parziale
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