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Moto parabolico
Un moto parabolico è caratterizzato da una velocità iniziale v0 (in m/s) e da un angolo di tiro .
Allora il suo moto orizzontale è uniforme, con velocità costante uguale a
v0 cos().
Quindi, assumendo che nell’istante t=0 il punto si trovi nell’origine, la posizione orizzontale è
descritta dalla funzione
x = v0 cos() t.
Che cosa succede verticalmente? È come se lanciassimo un sasso verso l’alto. La velocità verticale
varia, perché la forza di gravità determina un’accelerazione diretta verticalmente verso il basso; se
non ci fosse l’accelerazione di gravità la velocità verticale sarebbe costante, pari a
v0 sin().
Invece l’accelerazione di gravità (circa 9.8 m/s2, indichiamola con g) produce una diminuzione
della velocità pari a g m/s ogni secondo. Quindi la velocità verticale varia nel tempo nel seguente
modo:
v0 sin()  gt.
Come varia la posizione verticale? Possiamo svolgere il seguente ragionamento: consideriamo
l’istante iniziale t=0 (in cui la velocità verticale vale v0 sin()) e un istante qualsiasi t (in cui la
velocità verticale vale v0 sin()gt); nell’intervallo di tempo da 0 a t, poiché la velocità varia
uniformemente, la velocità media sarà stata uguale alla media tra la velocità iniziale e la velocità
“finale” (considero l’istante t come l’istante finale dell’intervallo di tempo considerato, ma t può
essere qualsiasi istante, il ragionamento non cambia): dunque la velocità media sarà stata
v0 sin     v0 sin     gt
2v sin     gt
1
= 0
= v0 sin     gt .
2
2
2
Come è noto, se nell’intervallo di tempo che va da 0 a t (cioè in t secondi) un punto si muove con
1
velocità media pari a v0 sin     gt , allora avrà percorso
2
1 

 v0 sin     gt  t
2 

metri, cioè la sua posizione verticale sarà
1
y = v0 sin() t  gt2.
2
Riassumendo, le funzioni parametriche di un moto parabolico caratterizzato da velocità iniziale v0 e
angolo di tiro  sono le seguenti:
x = v0 cos() t
1
y = v0 sin() t  gt2
2
Problema
Lanciamo un sasso con una velocità iniziale v0 = 10 m/s in direzione  = 60°. Si assuma g=9.8 m/s2,
1
e dunque g = 4.9 m/s2.
2
a) Scrivere le funzioni parametriche del moto.
b) (se avete le calcolatrici grafico – simboliche) In ambiente Parametric impostare xt1= e yt1=
secondo le funzioni stabilite. In ambiente Window ponete tmin=0 e tmax uguale ad un numero
opportuno di secondi (non troppo grande, quanto resta in aria un sasso lanciato a 60° con velocità
1
10 m/s?). Ponete xmin=0 e xmax uguale ad un numero opportuno di metri (quanto procede il sasso
in orizzontale prima di cadere a terra?). Ponete ymin=0 e ymax uguale ad un numero opportuno
(quanto in alto sale?). In Y=Editor, con il cursore su xt1= oppure su yt1= settate F6 Style, Path, in
modo da vedere una “pallina” che si muove lasciando dietro di sé la traiettoria. Finalmente andate
in Graph e osservate il moto; se occorre cambiate i parametri in Window, in modo da osservare
bene il moto sullo schermo della calcolatrice.
c) Osservando il grafico (eventualmente simulato con Cabri) e usando qualunque metodo riteniate
opportuno rispondete alle seguenti domande:
 Quanti metri percorre in orizzontale prima di cadere a terra? Questa distanza si
chiama gittata del moto parabolico.
 Per quanti secondi rimane in aria prima di cadere a terra? Questo intervallo di tempo
si chiama tempo di volo.
 Quanto in alto sale? Cioè qual è la altezza massima raggiunta?
e) Che cosa succede se, mantenendo la stessa velocità iniziale, si cambia l’angolo di tiro?
Compilare la seguente tabella. Approssimare le distanze ai cm e gli angoli al decimo di grado.
v0 (m/s)
gittata (m)
tempo di volo (s) altezza max (m)
 (°)
10
10°
10
30°
10
40°
10
50°
10
60°
10
80°
f) Che cosa succede se, mantenendo lo stesso angolo di tiro, si cambia la velocità iniziale?
Compilare la seguente tabella. Approssimare le distanze ai cm e gli angoli al decimo di grado.
v0 (m/s)
gittata (m)
tempo di volo (s) altezza max (m)
 (°)
2
60°
5
60°
10
60°
15
60°
20
60°
30
60°
Problema 1
Si consideri un moto parabolico con v0 = 10 m/s e =55°. Approssimare sul grafico della
calcolatrice (o con Cabri) la gittata, l’altezza massima e il tempo di volo.
La velocità all’istante t = 0 è ovviamente 10 m/s. Si può dimostrare (e si può intuire) che quando
tocca terra la sua velocità è ancora 10 m/s, anche se la direzione è cambiata, è 55°. Secondo te
come varia la velocità durante il moto? Cioè (a naso) come tracceresti il grafico della velocità
rispetto al tempo (con t che varia tra 0 e il tempo di volo, indicato con tv nel grafico)?
v
10
t
tv
Quanto vale circa la velocità nel punto di altezza massima?
2
La velocità verticale varia durante il moto. Inizialmente (e quando tocca terra) vale 10sin(55) 
8.2 m/s. Tracciare il grafico della velocità verticale in funzione del tempo (sempre tra 0 e tv).
Tracciare il grafico della velocità orizzontale in funzione del tempo (sempre tra 0 e tv).
Problema 2
Si consideri un bersaglio posto nel punto di coordinate (10, 1). Si vuole lanciare un proiettile che,
partendo dall’origine, colpisca il bersaglio: si tratta di approssimare v0 e . Suggerimento: andate a
tentativi usando la calcolatrice (o Cabri); provate con una certa velocità iniziale e un certo angolo, e
poi  aggiustate il tiro, modificando opportunamente v0 e .
Abbiamo visto che un moto che abbia funzioni parametriche (lunghezze in m, tempo in s)
 x  v0 cos    t


1 2
 y  v0 sin    t  gt

2
(queste funzioni vengono chiamate in fisica la legge del moto) è caratterizzato da una traiettoria
parabolica, la cui equazione è
g
y = tan    x  2
x2 .
2
2v0 cos   
La gittata risulta allora
2v 2 sin    cos   
gittata = 0
.
g
Problemi
3) Calcolare ora il tempo di volo, nel seguente modo: il tempo di volo corrisponde al tempo
necessario affinché la y del punto in moto (che parte da y=0) ritorni di nuovo a 0. Si tratta quindi di
risolvere l’equazione y = 0, cioè
1
v0 sin    t  gt 2 = 0.
2
Si tratta di un’equazione (incognita = t) di secondo grado, in cui la prima soluzione è evidentemente
t1 = 0. Raccogliendo t si ottiene la seconda soluzione, che è il tempo di volo tv.
4) Calcolare ora l’altezza massima nel seguente modo: il punto raggiunge l’altezza massima
all’istante tv/2, cioè la metà del tempo di volo. Sostituendo questo valore a t nella y delle funzioni
parametriche si ottiene l’altezza massima raggiunta.
5) Quale deve essere la velocità iniziale di un punto in moto parabolico lanciato con direzione 30°
se si vuole che la gittata sia di 50 m?
6) Un sasso viene lanciato verso l’alto (quindi con direzione 90°). A che velocità deve essere
lanciato se si vuole che arrivi fino ad una altezza massima di 12 m?
7) Un sasso viene lanciato con velocità iniziale di 15 m/s. Lungo quale direzione occorre lanciare
affinché il tempo di volo sia massimo?
3
8) Un proiettile viene sparato con velocità iniziale v0= 1000 m/s (è un dato reale). Qual è la gittata
massima che può raggiungere? In quest’ultimo caso qual è il tempo di volo?
9) Si consideri un bersaglio posto nel punto di coordinate (5, 5). Stabilire un valore di v0 e un valore
di  affinché il corrispondente moto parabolico colpisca il bersaglio.
10) Un punto si muove di moto parabolico con v0= 8 m/s e =45°. Scrivere la legge del moto (cioè
le funzioni parametriche). Calcolare, utilizzando i risultati precedenti, gittata, tempo di volo e
altezza massima. Compilare la seguente tabella, aiutandosi con un calcolatrice o con TI-InterActive!
in cui vx è la velocità orizzontale, vy è la velocità verticale e v è il modulo del vettore velocità (si
ottiene con il teorema di Pitagora).
t
t1
t2
x1
x2
y1
y2
vx
vy
v
t
x
y
0.2 0.19 0.21 0.02 1.075 1.188 0.113
0.
0.972 0.074 5.657 3.697 6.756
898
0.25 0.24 0.26
0.3
0.35
0.4
1.0 0.99 1.01
Dopo aver compilato la tabella, fare le seguenti osservazioni: la velocità orizzontale vx è costante, e
vale v0cos(). La velocità verticale, invece, varia: se non ci fosse l’accelerazione di gravità varrebbe
costantemente v0sin(); l’accelerazione di gravità la fa diminuire (perché è diretta in verso opposto
alla velocità verticale iniziale) uniformemente (cioè linearmente) di g=9.8 m/s ogni secondo. In
funzione del tempo, in definitiva, risulta:
v x  v0 cos   

v y  v0 sin     gt
v=
vx 2  v y 2
Controllare ora, con quest’ultimo risultato generale, i valori ottenuti nella tabella: corrispondono?
L’altezza massima viene raggiunta quando la velocità verticale è 0: ricavare da vy=0 il tempo
necessario affinché ciò avvenga e controllare quindi un risultato già ottenuto.
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