Approfondimento - Dipartimento di Fisica
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I fluidi Approfondimento I statica dei fluidi Legge di Stevino, Principio di Pascal, Principio di Archimede e applicazioni dinamica dei fluidi ideali Flusso di un fluido e continuità Equazione di Bernoulli e applicazioni fluidi reali Viscosità, resistenza del mezzo Tensione superficiale Sostanze caratterizzate dal non avere forma propria e in grado di scorrere statica Equilibrio statico nei fluidi: pressione e profondità Fsup = Pat A W = Mg = ρVg = ρ(hA)g Finf = Fsup + W Finf = PatA + ρ(hA)g P = F/A Pinf = Pat + ρgh Legge di Stevino La relazione tra pressione e profondità è valida per due punti qualunque del liquido Nel 1985 fu ritrovato il relitto del Titanic Sul fondo dell’Atlantico del Nord a una profondità di 4000 m. Quale è la pressione a questa profondità? P = Pat + ρgh = 4.1 107 Pa = circa 400 atmosfere ad esempio, nell’acqua la pressione varia linearmente con la profondità h: ∆P = ρg ∆h al contrario, nei gas ove la densità non è costante, la relazione tra pressione e quota h è di tipo esponenziale. come è possibile mostrare mediante l’equazione di stato dei gas ideali Barometro di Torricelli Pat = ρgh Misura diretta della pressione atmosferica Utilizzando il mercurio come liquido barometrico h = Pat / (ρg) = 760 mm Una atmosfera è la pressione esercitata da una colonna di 760 mm di mercurio L’acqua tende a livellarsi … questo è vero se la pressione sulla superficie dell’acqua (o di un qualunque fluido) è la stessa in ogni punto della superficie L’acqua tende a livellarsi … Una componente tangenziale alla superficie costringerebbe il liquido a muoversi … In condizioni di equilibrio, la superficie libera di un liquido assume una configurazione ben definita, esattamente tale che ogni molecola che si trova sulla superficie sia sollecitata da una risultante di tutte le forze ad essa applicate perpendicolare alla superficie stessa Esempio: la superficie di un lago in assenza di vento Contro esempio: un secchio pieno di acqua ruota attorno al suo asse … La superficie del liquido si mantiene normale alla risultante delle forze applicate ad una molecola di acqua (forza peso e forza centrifuga) L’acqua tende a livellarsi … ∆P = 0 equilibrio ∆P = ρgh Flusso da destra verso sinistra Principio di Pascal ∆P = Fsup / A Psup = Pat + ∆P Pinf = Pat + ρgh + ∆P La pressione esterna applicata ad un fluido racchiuso in un recipiente viene trasmessa inalterata in ogni punto del fluido Principio di Pascal - L’elevatore idraulico F2 = ∆P/A2 ∆P = F1/A1 = F2/A2 F2 = F1(A2 / A1) > F1 N.B. A1d1 = A2d2 Principio di Archimede Un cubo è immerso in un liquido di densità ρ … P2 = P1 + ρgL Ftot = F2 - F1 = (ρV) g F2 = F1 + ρg L3 Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto di intensità uguale al peso del liquido spostato Il Principio di Archimede è del tutto generale e la spinta di Archimede non dipende dalla forma del corpo immerso … FArchimede Baricentro del liquido spostato Peso del corpo Peso del liquido spostato Forze (dovute alla pressione del liquido sul corpo) delle quali la spinta di Archimede è la risultante … ma solo dal peso del volume di liquido spostato dal corpo come si deduce dalla condizione di equilibrio del fluido (Fig. B) Quindi è sempre diretta lungo la verticale verso l’alto … FArchimede = (ρV)g … ed è applicata nel baricentro del liquido spostato galleggiamento… FArchimede mg Un corpo galleggia se sposta una quantità di liquido pari al suo peso galleggiamento per oggetti di densità più grande di quella dell’acqua … galleggiamento: equilibrio statico FArchimede mg La nave è in equilibrio se ... ΣF = 0 Στ = 0 G baricentro C centro di spinta galleggiamento: equilibrio stabile e instabile FArchimede mg La nave è in equilibrio se ... ΣF = 0 Στ = 0 M è il metacentro (intersezione tra GC e GC’ ) È facile verificare che se M è più alto di G si ha equilibrio stabile galleggiamento… in acqua dolce e in acqua molto salata … L’acqua del mar Morto è eccezionalmente densa … Sostanze caratterizzate dal non avere forma propria e in grado di scorrere Dinamica dei fluidi ideali In moto stazionario Un fluido ideale è un fluido incomprimibile e privo di viscosità Un fluido è in moto stazionario quando la velocità delle sue particelle in una qualunque sezione del condotto non dipende dal tempo Flusso di un fluido e continuità La quantità di fluido che passa per il punto 1 (sezione grande) è uguale a quella che passa per il punto 2 (sezione piccola). Altrimenti nel condotto ci dovrebbero essere pozzi o sorgenti … Flusso di un fluido e continuità ∆x2 ∆x1 Nel tempo ∆t … Quindi … analogamente ∆V1 =A1 (v1∆t) con ∆x1 = v1∆t ∆m1 = ρ1∆V1 = ρ1 A1 (v1∆t) ∆m2 = ρ2∆V2 = ρ2 A2 (v2∆t) Flusso di un fluido e continuità Nell’intervallo di tempo ∆t, la quantità di fluido che attraversa la sezione 1 è uguale a quella che attraversa la sezione 2: Quindi … Analogamente e se ρ è costante come per i liquidi … ∆m1 = ∆m2 ρ1 A1 (v1∆t) = ρ2 A2 (v2∆t) ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 Equazione di continuità A1 v1 = A2 v2 La portata ∆V/∆t = Av è costante! La portata di un condotto ∆V/∆t è il volume di fluido che attraversa la sezione del condotto nell’unità di tempo. Se il fluido è incomprimibile la portata ≡ Av è costante! A1 v1 = A2 v2 Equazione di Bernoulli per un fluido ideale Incomprimibile e in grado di muoversi senza attrito W = ∆K P + ½ ρv2 + ρgy = costante In ogni punto del liquido in movimento le grandezze fisiche pressione, velocità e quota sono collegate dalla relazione di Bernoulli Equazione di Bernoulli per un fluido ideale W = ∆K ∆K = ½ ∆m v22 - ½ ∆mv12 = ½ ρ ∆V (v22 – v12) W = Wg + WP Wg = - ∆m g (y2-y1) F∆x = P(A∆x) = P ∆V WP = -P2∆V +P1 ∆V P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv22 + ρgy2 ∆m = ρ∆V Equazione di Bernoulli Condotto orizzontale … Variazione di velocità P1 + ½ ρv12 = P2 + ½ ρv22 v2 > v1 ----- P2 < P1 Se la velocità aumenta, la pressione diminuisce N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ Equazione di Bernoulli Condotto a sezione costante … Variazione di quota P1 + ρgy1 = P2 + ρgy2 y2 > y1 ----- P2 < P1 Se la quota aumenta, la pressione diminuisce N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ Equazione di Bernoulli applicazioni La forza verso l’alto (detta portanza) è dovuta alla diminuzione della pressione nella parte superiore dell’ala e rende possibile il volo … P + ½ ρv2 = costante Equazione di Bernoulli applicazioni Legge di Torricelli Pat + 0 + ρgy1 = Pat + ½ ρv22 + ρgy2 vuscita = P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv22 + ρgy2 √ 2gh Fluidi reali La caratteristica di un fluido di opporsi al moto è chiamata viscosità Liquido ideale Il sangue è un tipico esempio di fluido reale. Infatti occorre una differenza di pressione ∆P per mantenerlo in movimento … Le lamine di fluido scorrono una sull’altra con attrito, per questo è necessario esercitare una forza sul fluido reale per mantenerlo in movimento Liquido reale viscosità misura della viscosità [η] = [ML-1T-1] A = -η S (v/L) tipica unità di misura nel cgs è il poise poise = dine s /cm2 Moto laminare Le lamine di fluido scorrono una sull’altra con attrito A∝v Velocità critica vC = R (η/ρ) (1/r) Moto vorticoso nel fluido si formano macrovortici e l’attrito è più rilevante A ∝ v2 R = 1200 Numero di Reynolds Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005 Legge di Poiseuille La forza è fornita dalla differenza di pressione ∆P = P1 – P2 ai capi del condotto … sperimentalmente si osserva che ∆P è direttamente proporzionale alla lunghezza L del condotto e alla velocità media v* del fluido e inversamente proporzionale alla sezione A è necessario esercitare una forza sul fluido reale per mantenerlo in movimento P1 – P2 = 8πη (vL/A) η è il coefficiente di viscosità del fluido Fluido viscosità ( N s /m2) Glicerina Sangue Acqua (0°) Acqua (100°) 1.50 0.0027 0.00179 0.00030 Liquido reale in moto laminare *La velocità media è la media delle velocità delle particelle di liquido sulla sezione A 17. Esempio svolto Velocità del sangue nella arteria polmonare L’arteria polmonare è lunga 8.5 cm e ha una differenza di pressione ai suoi estremi di 450 Pa. Se il raggio interno è 2.4 mm, determinare la velocità media del sangue nella arteria. P1 – P2 = 8πη (vL/A) v = A (P1 – P2) / (8πη L) = 1.4 m/s Equazione di Poiseuille v = A (P1 – P2) / (8πη L) Portata: Q = ∆V/∆t ≡ vA = A2 (P1 – P2) / (8πη L) … dipende dalla sezione ed essendo per un condotto a sezione circolare A = π r2 Q = π r4 (P1 – P2) / (8πη L) R = ∆P/Q = (8 η L)/ (π r4) È detta resistenza del condotto Per condotti di sezione molto piccola (capillari) l’effetto è fortemente esaltato Resistenza del mezzo Quando un corpo si muove in un fluido reale è soggetto ad una forza che si oppone al suo movimento ed è direttamente proporzionale alla velocità del corpo rispetto al fluido. La costante di proporzionalità k dipende dalla forma del corpo e dalla viscosità del fluido Esempio 1: caduta verticale in aria (si trascura la spinta di Archimede) La velocità aumenta fino a quando la resistenza del mezzo bilancia esattamente la forza peso (e il corpo raggiunge la velocità limite vLimite) Se il corpo ha forma sferica k = 6 πη r (legge di Stokes) e la velocità limite può essere espressa in funzione del raggio della sfera r e della viscosità del fluido η Velocità limite Velocità in assenza della resistenza del mezzo Velocità limite vL k La rapidità con la quale viene raggiunta la velocità limite dipende dal rapporto τ = m/k, costante che caratterizza l’evoluzione temporale del fenomeno N.B. vedasi anche Walker A 30-31 Esempio 2: caduta verticale in acqua Velocità limite Tensione superficiale per r ∼ r0 F = - K ∆r repulsiva F r0 r attrattiva Forza esercitata tra due molecole vs. la distanza intermolecolare r Per portare una molecola del liquido in superficie, e quindi aumentarla, occorre compiere un lavoro … Che si traduce in un aumento della energia potenziale del sistema Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005 Tensione superficiale La tensione superficiale di un liquido è il lavoro necessario ad aumentare la sua superficie di una superficie unitaria: τ = ∆W/∆S repulsiva F r0 r attrattiva Forza esercitata tra due molecole vs. la distanza intermolecolare r La forma sferica corrisponde al minimo di energia potenziale … Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
