I fluidi
Approfondimento I
statica dei fluidi
Legge di Stevino, Principio di Pascal, Principio di Archimede e
applicazioni
dinamica dei fluidi ideali
Flusso di un fluido e continuità
Equazione di Bernoulli e applicazioni
fluidi reali
Viscosità, resistenza del mezzo
Tensione superficiale
Sostanze caratterizzate dal non avere
forma propria e in grado di scorrere
statica
Equilibrio statico nei fluidi:
pressione e profondità
Fsup = Pat A
W = Mg = ρVg = ρ(hA)g
Finf = Fsup + W
Finf = PatA + ρ(hA)g
P = F/A
Pinf = Pat + ρgh
Legge di Stevino
La relazione tra pressione e profondità
è valida per due punti qualunque del liquido
Nel 1985 fu ritrovato il relitto del Titanic
Sul fondo dell’Atlantico del Nord a una
profondità di 4000 m.
Quale è la pressione a questa
profondità?
P = Pat + ρgh
= 4.1 107 Pa
= circa 400 atmosfere
ad esempio, nell’acqua la pressione varia
linearmente con la profondità h: ∆P = ρg ∆h
al contrario, nei gas ove
la densità non è costante, la relazione tra
pressione e quota h è di tipo esponenziale.
come è possibile mostrare mediante l’equazione di stato
dei gas ideali
Barometro di Torricelli
Pat = ρgh
Misura diretta della pressione atmosferica
Utilizzando il mercurio come liquido barometrico
h = Pat / (ρg) = 760 mm
Una atmosfera è la pressione esercitata da una colonna di 760 mm di mercurio
L’acqua tende a livellarsi …
questo
è vero se la pressione sulla superficie dell’acqua (o di un qualunque fluido)
è la stessa in ogni punto della superficie
L’acqua tende a livellarsi …
Una componente tangenziale alla superficie
costringerebbe il liquido a muoversi …
In condizioni di equilibrio,
la superficie libera di un liquido assume una configurazione ben definita,
esattamente tale che ogni molecola che si trova sulla superficie sia sollecitata
da una risultante di tutte le forze ad essa applicate
perpendicolare alla superficie stessa
Esempio: la superficie di un lago in assenza di
vento
Contro esempio:
un secchio pieno di acqua
ruota attorno al suo asse …
La superficie del liquido si mantiene normale alla
risultante delle forze applicate ad una molecola di
acqua (forza peso e forza centrifuga)
L’acqua tende a livellarsi …
∆P = 0
equilibrio
∆P = ρgh
Flusso da destra verso sinistra
Principio di Pascal
∆P = Fsup / A
Psup = Pat + ∆P
Pinf = Pat + ρgh + ∆P
La pressione esterna applicata ad un fluido racchiuso in un recipiente
viene trasmessa inalterata in ogni punto del fluido
Principio di Pascal
- L’elevatore idraulico
F2 = ∆P/A2
∆P = F1/A1 = F2/A2
F2 = F1(A2 / A1) > F1
N.B.
A1d1 = A2d2
Principio di Archimede
Un cubo è immerso in un liquido di densità ρ …
P2 = P1 + ρgL
Ftot = F2 - F1 = (ρV) g
F2 = F1 + ρg L3
Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto
di intensità uguale al peso del liquido spostato
Il Principio di Archimede
è del tutto generale e la spinta di Archimede
non dipende dalla forma del corpo immerso …
FArchimede
Baricentro
del liquido
spostato
Peso del corpo
Peso
del liquido spostato
Forze (dovute alla pressione del liquido
sul corpo) delle quali la spinta di Archimede
è la risultante
… ma solo dal peso del volume di liquido spostato dal corpo
come si deduce dalla condizione di equilibrio del fluido (Fig. B)
Quindi è sempre diretta lungo la verticale verso l’alto …
FArchimede = (ρV)g
… ed è applicata nel baricentro del liquido spostato
galleggiamento…
FArchimede
mg
Un corpo galleggia se sposta una quantità di liquido pari al suo peso
galleggiamento
per oggetti di densità più grande
di quella dell’acqua …
galleggiamento:
equilibrio statico
FArchimede
mg
La nave è in equilibrio se ...
ΣF = 0
Στ = 0
G baricentro
C centro di spinta
galleggiamento:
equilibrio stabile e instabile
FArchimede
mg
La nave è in equilibrio se ...
ΣF = 0
Στ = 0
M è il metacentro (intersezione tra GC e GC’ )
È facile verificare che se M è più alto di G si ha equilibrio stabile
galleggiamento…
in acqua dolce e in acqua molto salata …
L’acqua del mar Morto è eccezionalmente densa …
Sostanze caratterizzate dal non avere
forma propria e in grado di scorrere
Dinamica dei fluidi ideali
In moto stazionario
Un fluido ideale è un fluido incomprimibile
e privo di viscosità
Un fluido è in moto stazionario quando
la velocità delle sue particelle in una
qualunque sezione del condotto
non dipende dal tempo
Flusso di un fluido e continuità
La quantità di fluido che passa per il punto 1 (sezione grande) è uguale
a quella che passa per il punto 2 (sezione piccola).
Altrimenti nel condotto
ci dovrebbero essere pozzi o sorgenti …
Flusso di un fluido e continuità
∆x2
∆x1
Nel tempo ∆t …
Quindi …
analogamente
∆V1 =A1 (v1∆t)
con ∆x1 = v1∆t
∆m1 = ρ1∆V1 = ρ1 A1 (v1∆t)
∆m2 = ρ2∆V2 = ρ2 A2 (v2∆t)
Flusso di un fluido e continuità
Nell’intervallo di tempo ∆t, la quantità di fluido che attraversa la sezione 1 è uguale
a quella che attraversa la sezione 2:
Quindi …
Analogamente
e se ρ è costante
come per i liquidi …
∆m1 = ∆m2
ρ1 A1 (v1∆t) = ρ2 A2 (v2∆t)
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 Equazione di continuità
A1 v1 = A2 v2
La portata ∆V/∆t = Av è costante!
La portata di un condotto ∆V/∆t è il volume di fluido che attraversa
la sezione del condotto nell’unità di tempo. Se il fluido è incomprimibile
la portata ≡ Av è costante!
A1 v1 = A2 v2
Equazione di Bernoulli
per un fluido ideale
Incomprimibile e
in grado di muoversi senza attrito
W = ∆K
P + ½ ρv2 + ρgy = costante
In ogni punto del liquido in movimento
le grandezze fisiche
pressione, velocità e quota
sono collegate dalla relazione di Bernoulli
Equazione di Bernoulli
per un fluido ideale
W = ∆K
∆K = ½ ∆m v22 - ½ ∆mv12
= ½ ρ ∆V (v22 – v12)
W = Wg + WP
Wg = - ∆m g (y2-y1)
F∆x = P(A∆x) = P ∆V
WP = -P2∆V +P1 ∆V
P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv22 + ρgy2
∆m = ρ∆V
Equazione di Bernoulli
Condotto orizzontale …
Variazione di velocità
P1 + ½ ρv12 = P2 + ½ ρv22
v2 > v1 ----- P2 < P1
Se la velocità aumenta, la pressione diminuisce
N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ
Equazione di Bernoulli
Condotto a sezione costante …
Variazione di quota
P1 + ρgy1 = P2 + ρgy2
y2 > y1 ----- P2 < P1
Se la quota aumenta, la pressione diminuisce
N.B. per i liquidi ρ1 = ρ2 = ρ
Equazione di Bernoulli
applicazioni
La forza verso l’alto (detta portanza) è dovuta alla diminuzione della pressione
nella parte superiore dell’ala e rende possibile il volo …
P + ½ ρv2 = costante
Equazione di Bernoulli
applicazioni
Legge di Torricelli
Pat + 0 + ρgy1
= Pat + ½ ρv22 + ρgy2
vuscita =
P1 + ½ ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ ρv22 + ρgy2
√ 2gh
Fluidi reali
La caratteristica di un fluido di opporsi al moto
è chiamata viscosità
Liquido ideale
Il sangue è un tipico esempio di fluido reale.
Infatti occorre una differenza di pressione ∆P
per mantenerlo in movimento …
Le lamine di fluido scorrono una sull’altra
con attrito,
per questo è necessario esercitare una
forza sul fluido reale per mantenerlo in
movimento
Liquido reale
viscosità
misura della viscosità
[η] = [ML-1T-1]
A = -η S (v/L)
tipica
unità di misura nel cgs è il poise
poise = dine s /cm2
Moto laminare
Le lamine di fluido scorrono una sull’altra con attrito
A∝v
Velocità critica
vC = R (η/ρ) (1/r)
Moto vorticoso
nel fluido si formano macrovortici e l’attrito è più rilevante
A ∝ v2
R = 1200
Numero di Reynolds
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
Legge di Poiseuille
La forza è fornita dalla differenza di
pressione
∆P = P1 – P2 ai capi del condotto …
sperimentalmente si osserva che
∆P è direttamente proporzionale
alla lunghezza L del condotto e alla
velocità media v* del fluido e inversamente
proporzionale alla sezione A
è necessario esercitare una
forza sul fluido reale per
mantenerlo in movimento
P1 – P2 = 8πη (vL/A)
η è il coefficiente
di viscosità del fluido
Fluido
viscosità ( N s /m2)
Glicerina
Sangue
Acqua (0°)
Acqua (100°)
1.50
0.0027
0.00179
0.00030
Liquido reale in moto laminare
*La velocità media è la media delle velocità delle particelle di liquido sulla sezione A
17. Esempio svolto
Velocità del sangue nella arteria polmonare
L’arteria polmonare è lunga 8.5 cm e ha una differenza di pressione
ai suoi estremi di 450 Pa.
Se il raggio interno è 2.4 mm, determinare la velocità media del sangue
nella arteria.
P1 – P2 = 8πη (vL/A)
v = A (P1 – P2) / (8πη L) = 1.4 m/s
Equazione di Poiseuille
v = A (P1 – P2) / (8πη L)
Portata: Q = ∆V/∆t ≡ vA
= A2 (P1 – P2) / (8πη L)
… dipende dalla sezione
ed essendo per un condotto
a sezione circolare A = π r2
Q = π r4 (P1 – P2) / (8πη L)
R = ∆P/Q = (8 η L)/ (π r4)
È detta resistenza del condotto
Per condotti di sezione molto piccola (capillari) l’effetto è fortemente esaltato
Resistenza del mezzo
Quando un corpo si muove in un fluido reale è soggetto ad una forza
che si oppone al suo movimento
ed è direttamente proporzionale alla velocità del corpo rispetto al fluido.
La costante di proporzionalità k dipende dalla forma del corpo e dalla viscosità
del fluido
Esempio 1: caduta verticale in aria (si trascura la spinta di Archimede)
La velocità aumenta fino a quando
la resistenza del mezzo bilancia
esattamente la forza peso (e il corpo
raggiunge la velocità limite vLimite)
Se il corpo ha forma sferica
k = 6 πη r
(legge di Stokes)
e la velocità limite può essere
espressa in funzione del
raggio della sfera r e
della viscosità del fluido η
Velocità limite
Velocità in assenza
della resistenza del mezzo
Velocità limite vL
k
La rapidità con la quale viene raggiunta la velocità limite
dipende dal rapporto τ = m/k, costante che caratterizza
l’evoluzione temporale del fenomeno
N.B. vedasi anche Walker A 30-31
Esempio 2: caduta verticale in acqua
Velocità limite
Tensione superficiale
per r ∼ r0
F = - K ∆r
repulsiva
F
r0
r
attrattiva
Forza esercitata tra due molecole
vs. la distanza intermolecolare r
Per portare una molecola del liquido in superficie,
e quindi aumentarla, occorre compiere un lavoro …
Che si traduce in un aumento della energia
potenziale del sistema
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
Tensione superficiale
La tensione superficiale di un liquido è
il lavoro necessario ad aumentare la sua
superficie di una superficie unitaria:
τ = ∆W/∆S
repulsiva
F
r0
r
attrattiva
Forza esercitata tra due molecole
vs. la distanza intermolecolare r
La forma sferica corrisponde al minimo di energia
potenziale …
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
